Jos haluat käyttää esitysten esikatselua, luo Google-tili (tili) ja kirjaudu sisään: https://accounts.google.com

Diojen kuvatekstit:

Esikatselu:

Aihe

Aritmeettinen progressio

PÄÄMÄÄRÄ :

• opettaa tunnistamaan aritmeettinen eteneminen käyttämällä sen määritelmää ja etumerkkiä;
• opettaa ratkaisemaan ongelmia käyttämällä etenemisen yleisen jäsenen määritelmää, merkkiä, kaavaa.

OPPIEN TAVOITTEET:

antaa aritmeettisen progression määritelmä, osoittaa aritmeettisen progression merkki ja opettaa soveltamaan niitä tehtävien ratkaisussa.

OPETUSMENETELMÄT:

opiskelijoiden tiedon aktualisointi, itsenäinen työskentely, yksilötyöskentely, ongelmatilanteen luominen.

MODERNI TEKNOLOGIA:

ICT, ongelmalähtöinen oppiminen, eriytetty oppiminen, terveyttä säästävät tekniikat.

TUNTISUUNNITELMA

	Oppitunnin vaiheet.	Toteutusaika.
	Ajan järjestäminen.	2 minuuttia
	Menneisyyden toistoa	5 minuuttia
	Uuden materiaalin oppiminen	15 minuuttia
	Liikuntaminuutti	3 minuuttia
	Aiheeseen liittyvien tehtävien suorittaminen	15 minuuttia
	Kotitehtävät	2 minuuttia
	Yhteenveto	3 minuuttia

TUTKIEN AIKANA:

1. Viimeisellä oppitunnilla tutustuimme "sekvenssin" käsitteeseen.

Tänään jatkamme lukujonojen tutkimista, määrittelemme niitä, tutustumme niiden ominaisuuksiin ja ominaisuuksiin.

1. Vastaa kysymyksiin: Mikä on sarja?

Mitkä ovat sekvenssit?

Kuinka voit määrittää sarjan?

Mikä on numerosarja?

Mitä tapoja määrittää numeerinen sekvenssi tiedät? Mitä kaavaa kutsutaan rekursiiviseksi?

1. Numerosarjat on annettu:

1. 1, 2, 3, 4, 5, …
2. 2, 5, 8, 11, 14,…
3. 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
4. 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

Etsi jokaisesta sekvenssistä kuvio ja nimeä kunkin kolme seuraavaa jäsentä.

1. a n = a n -1 +1
2. a n \u003d a n -1 + 3
3. a n = a n -1 + (-2)
4. a n \u003d a n -1 + 0,5

Nimeä kunkin sekvenssin rekursiivinen kaava.

dia 1

Numeerista sarjaa, jonka jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen samaan numeroon lisätty jäsen, kutsutaan aritmeettiseksi progressioksi.

Lukua d kutsutaan aritmeettisen progression erotukseksi.

Aritmeettinen progressio on numeerinen sarja, joten se voi olla kasvava, laskeva, vakio. Anna esimerkkejä tällaisista sarjoista, nimeä kunkin etenemisen ero, tee johtopäätös.

Johdetaan kaava aritmeettisen progression yhteiselle termille.

Taululla: anna a 1 on etenemisen ensimmäinen jäsen, d on sen ero

a 2 \u003d a 1 + d

a 3 \u003d (a 1 + d) + d \u003d a 1 + 2d

a 4 \u003d (a 1 + 2d) + d \u003d a 1 + 3d

a 5 \u003d (a 1 + 3 d) + d \u003d a 1 + 4 d

a n \u003d a 1 + d (n-1) - aritmeettisen progression n:nnen jäsenen kaava.

Ratkaise tehtävä: Aritmeettisessa progressiossa ensimmäinen termi on 5 ja ero on 4.

Etsi tämän etenemisen 22. termi.

Opiskelija päättää hallituksessa: a n =a 1 + d(n-1)

A 22 \u003d a 1 + 21d \u003d 5 + 21 * 4 \u003d 89

Fizkultminutka.

Nousimme ylös.

Kädet vyöllä. Kallistus vasemmalle, oikealle, (2 kertaa);

Kallistaa eteenpäin, taaksepäin (2 kertaa);

Nosta kädet ylös, hengitä syvään, laske kädet alas, hengitä. (2 kertaa)

He kättelivät. Kiitos.

Istui alas. Jatkamme oppituntia.

Ratkaisemme tehtäviä aritmeettisen progression yleistermin kaavan soveltamisesta.

Opiskelijoille annetaan seuraavat tehtävät:

1. Aritmeettisessa progressiossa ensimmäinen termi on -2, d=3, a n = 118.

Etsi n.

1. Aritmeettisessa progressiossa ensimmäinen termi on 7, viidestoista termi on -35. Etsi ero.
2. Tiedetään, että aritmeettisessa progressiossa d=-2, a39=83. Etsi etenemisen ensimmäinen termi.

Oppilaat jaetaan ryhmiin. Tehtävälle annetaan 5 minuuttia. Sitten 3 ensimmäistä oppilasta, jotka ratkaisivat tehtävät, ratkaisevat ne taululla. Ratkaisu kopioidaan dioille.

Harkitse aritmeettisen progression tunnusomaisia ​​ominaisuuksia.

Aritmeettisessa progressiossa

a n-d=a (n-1)

n+d=a (n+1)

Lisäämme nämä kaksi yhtäläisyyttä termi kerrallaan, saamme: 2а n=a(n+1)+a(n-1)

A n =(a (n+1) +a (n-1))/2

Tämä tarkoittaa, että jokainen aritmeettisen progression jäsen, ensimmäistä ja viimeistä lukuun ottamatta, on yhtä suuri kuin edellisen ja seuraavien jäsenten aritmeettinen keskiarvo.

LAUSE:

Numeerinen sarja on aritmeettinen progressio, jos ja vain jos sen jokainen jäsen, paitsi ensimmäinen (ja viimeinen, jos kyseessä on äärellinen sekvenssi), on yhtä suuri kuin edellisen ja sitä seuraavien jäsenten aritmeettinen keskiarvo (luonnollinen ominaisuus aritmeettinen progressio).

Monien matematiikan ja fysiikan aiheiden ymmärtäminen liittyy lukusarjojen ominaisuuksien tuntemiseen. 9. luokan koululaiset pitävät "algebraa" opiskellessaan yhtä tärkeistä numerosarjoista - aritmeettista etenemistä. Esitetään aritmeettisen progression peruskaavat (luokka 9) sekä esimerkkejä niiden käytöstä tehtävien ratkaisussa.

Algebrallinen tai aritmeettinen progressio

Numerosarjaa, jota käsitellään tässä artikkelissa, kutsutaan kahdella eri tavalla, jotka esitetään tämän kappaleen otsikossa. Matematiikan aritmeettinen progressio ymmärretään siis sellaiseksi lukusarjaksi, jossa mitkä tahansa kaksi vierekkäistä lukua eroavat saman verran, jota kutsutaan erotukseksi. Tällaisen sarjan numerot merkitään yleensä kirjaimilla, joilla on pienempi kokonaislukuindeksi, esimerkiksi a1, a2, a3 ja niin edelleen, missä indeksi ilmaisee sarjan elementin numeron.

Yllä oleva aritmeettisen etenemisen määritelmän perusteella voidaan kirjoittaa seuraava yhtälö: a2-a1 =...=an-an-1=d, tässä d on algebrallisen progression erotus ja n mikä tahansa kokonaisluku. Jos d>0, voidaan odottaa, että sarjan jokainen seuraava termi on suurempi kuin edellinen, tässä tapauksessa puhutaan kasvavasta progressiosta. Jos d

Aritmeettiset etenemiskaavat (luokka 9)

Tarkasteltavana olevalla numerosarjalla on kaksi sen käytön kannalta tärkeää ominaisuutta, koska se on järjestetty ja noudattaa tiettyä matemaattista lakia:

Ensinnäkin, kun tiedät vain kaksi numeroa a1 ja d, voit löytää minkä tahansa sekvenssin jäsenen. Tämä tehdään seuraavalla kaavalla: an = a1+(n-1)*d.

Toiseksi, ensimmäisten termien n summan laskemiseksi ei ole tarpeen lisätä niitä järjestyksessä, koska voit käyttää seuraavaa kaavaa: Sn = n*(an+a1)/2.

Ensimmäinen kaava on helppo ymmärtää, koska se on suora seuraus siitä, että jokainen tarkasteltavan sarjan jäsen eroaa naapuristaan ​​samalla erolla.

Toinen aritmeettinen progressiokaava voidaan saada huomioimalla, että summa a1+an vastaa summia a2+an-1, a3+an-2 ja niin edelleen. Todellakin, koska a2 = d+a1, an-2 = -2*d+an, a3 = 2*d+a1 ja an-1 = -d+an, niin korvaamalla nämä lausekkeet vastaavilla summilla saadaan, että ne ovat samat. Kerroin n/2 toisessa kaavassa (Sn:lle) johtuu siitä, että tyypin ai+1+an-i summaa on tasan n/2, tässä i on kokonaisluku, joka vaihtelee välillä 0 - n/2-yksi .

Säilyneiden historiallisten todisteiden mukaan kaavan summalle Sn sai ensimmäisenä Karl Gauss (kuuluisa saksalainen matemaatikko), kun koulun opettaja antoi hänelle tehtävän laskea yhteen 100 ensimmäistä numeroa.

Esimerkkiongelma 1: Etsi ero

Tehtävät, jotka esittävät kysymyksen seuraavasti: aritmeettisen progression kaavojen tunteminen, kuinka löytää q (d), ovat yksinkertaisimpia, mitä vain tälle aiheelle voi olla.

Tässä on esimerkki: annettu numeerinen sekvenssi -5, -2, 1, 4, ..., on tarpeen määrittää sen ero, eli d.

Tämän tekeminen on yhtä helppoa kuin päärynöiden kuoriminen: sinun on otettava kaksi elementtiä ja vähennettävä pienempi suuremmasta. Tässä tapauksessa meillä on: d = -2 - (-5) = 3.

Saavutetun vastauksen varmuuden vuoksi on suositeltavaa tarkistaa jäljellä olevat erot, koska esitetty sekvenssi ei välttämättä täytä algebrallisen etenemisen ehtoa. Meillä on: 1-(-2)=3 ja 4-1=3. Nämä tiedot osoittavat, että saimme oikean tuloksen (d=3) ja osoittivat, että ongelmalauseen lukusarja on todellakin algebrallinen eteneminen.

Esimerkkitehtävä #2: Etsi ero tietäen kaksi edistymisen termiä

Harkitse toista mielenkiintoista ongelmaa, jonka aiheuttaa kysymys eron löytämisestä. Aritmeettista progressiokaavaa on tässä tapauksessa käytettävä n:nnelle termille. Joten, tehtävä: annettuna sarjan ensimmäinen ja viides luku, joka vastaa esimerkiksi kaikkia algebrallisen progression ominaisuuksia, nämä ovat luvut a1 = 8 ja a5 = -10. Miten löytää ero d?

Sinun tulisi aloittaa tämän ongelman ratkaiseminen kirjoittamalla n:nnen elementin kaavan yleinen muoto: an = a1+d*(-1+n). Nyt voit edetä kahdella tavalla: joko korvata numerot heti ja käsitellä niitä jo tai ilmaista d ja siirtyä sitten tiettyihin a1:een ja a5:een. Käytettäessä viimeistä menetelmää saadaan: a5 = a1+d*(-1+5) tai a5 = 4*d+a1, mikä tarkoittaa, että d = (a5-a1)/4. Nyt voit turvallisesti korvata tunnetut tiedot ehdosta ja saada lopullisen vastauksen: d = (-10-8)/4 = -4,5.

Huomaa, että tässä tapauksessa etenemisero osoittautui negatiiviseksi, eli numerosarja on laskeva. On tarpeen kiinnittää huomiota tähän tosiasiaan ongelmia ratkaistaessa, jotta merkit "+" ja "-" eivät sekoita. Kaikki yllä olevat kaavat ovat yleismaailmallisia, joten niitä tulee aina noudattaa riippumatta numeroiden merkistä, joilla toiminnot suoritetaan.

Esimerkki ongelman nro 3 ratkaisemisesta: etsi a1, kun tiedät eron ja elementin

Muutetaan hieman ongelman tilaa. Olkoon kaksi lukua: ero d=6 ja progression 9. alkio a9 = 10. Kuinka löytää a1? Aritmeettisen progression kaavat pysyvät ennallaan, käytämme niitä. Luvulle a9 meillä on seuraava lauseke: a1+d*(9-1) = a9. Mistä saamme helposti sarjan ensimmäisen alkion: a1 = a9-8*d = 10 - 8*6 = -38.

Esimerkki ongelman #4 ratkaisemisesta: etsi a1, tietäen kaksi elementtiä

Tämä ongelman versio on monimutkainen versio edellisestä. Olemus on sama, täytyy laskea a1, mutta nyt eroa d ei tiedetä, ja sen sijaan annetaan toinen etenemisen elementti.

Esimerkki tämäntyyppisestä ongelmasta on seuraava: etsi ensimmäinen luku sekvenssistä, jonka tiedetään olevan aritmeettinen progressio ja jonka 15. ja 23. alkio ovat 7 ja 12.

Tämä tehtävä on ratkaistava kirjoittamalla lauseke n:nnelle termille jokaiselle ehdosta tunnetulle elementille, meillä on: a15 = d*(15-1)+a1 ja a23 = d*(23-1)+a1. Kuten näet, olemme saaneet kaksi lineaarista yhtälöä, jotka on ratkaistava suhteessa a1:een ja d:hen. Tehdään näin: vähennetään ensimmäinen yhtälö toisesta yhtälöstä, niin saadaan seuraava lauseke: a23-a15 = 22*d - 14*d = 8*d. Viimeistä yhtälöä johdettaessa a1:n arvot jätettiin pois, koska ne kumoutuvat vähennettäessä. Korvaamalla tunnetut tiedot saadaan ero: d = (a23-a15)/8 = (12-7)/8 = 0,625.

D:n arvo on korvattava millä tahansa kaavalla tunnetulle elementille, jotta saadaan sekvenssin ensimmäinen jäsen: a15 = 14*d+a1, mistä: a1=a15-14*d = 7-14*0,625 = - 1.75.

Tarkastetaan tulos, tälle löytyy a1 toisen lausekkeen kautta: a23 = d*22+a1 tai a1 = a23-d*22 = 12 - 0,625*22 = -1,75.

Esimerkki ongelman nro 5 ratkaisemisesta: etsi n elementin summa

Kuten näette, tähän asti ratkaisussa käytettiin vain yhtä aritmeettista progressiokaavaa (luokka 9). Nyt esitämme ongelman, jonka ratkaisemiseksi meidän on tiedettävä toinen kaava, eli summalle Sn.

Kun otetaan huomioon seuraavat järjestetyt numerosarjat -1.1, -2.1, -3.1,..., sinun on laskettava sen 11 ensimmäisen alkion summa.

Tästä sarjasta voidaan nähdä, että se on pienenemässä, ja a1 = -1,1. Sen ero on: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Määritetään nyt 11. termi: a11 = 10*d + a1 = -10 + (-1.1) = -11.1. Valmistelevien laskelmien suorittamisen jälkeen voit käyttää yllä olevaa kaavaa summalle, meillä on: S11 \u003d 11 * (-1,1 + (-11,1)) / 2 \u003d -67,1. Koska kaikki termit olivat negatiivisia lukuja, on niiden summalla myös vastaava etumerkki.

Esimerkki ongelman nro 6 ratkaisemisesta: etsi alkioiden summa n:stä m:ään

Ehkä tämäntyyppinen ongelma on vaikein useimmille opiskelijoille. Otetaan tyypillinen esimerkki: annettuna sarja numeroita 2, 4, 6, 8 ..., sinun on löydettävä summa 7. - 13. termistä.

Aritmeettisia etenemiskaavoja (luokka 9) käytetään täsmälleen samoin kuin kaikissa tehtävissä aiemmin. Tämä tehtävä suositellaan ratkaistavaksi vaiheittain:

Etsi ensin 13 termin summa vakiokaavalla.

Laske sitten tämä summa ensimmäisille 6 elementille.

Vähennä sitten 1. summasta toinen.

Mennään ratkaisuun. Kuten edellisessä tapauksessa, teemme alustavat laskelmat: a6 = 5*d+a1 = 10+2 = 12, a13 = 12*d+a1 = 24+2 = 26.

Lasketaan kaksi summaa: S13 = 13*(2+26)/2 = 182, S6 = 6*(2+12)/2 = 42. Ota ero ja saat halutun vastauksen: S7-13 = S13 - S6 = 182-42 = 140. Huomaa, että tätä arvoa hankittaessa aliosana käytettiin progression 6 elementin summaa, koska 7. termi sisältyy S7-13:n summaan.

Luokka: 9

Oppitunnin tyyppi: uuden materiaalin oppitunti.

Oppitunnin tarkoitus: Aritmeettisen progression käsitteen muodostaminen yhtenä jonotyypeistä, n:nnen jäsenen kaavan johtaminen, aritmeettisen progression jäsenten tunnusomaisuuden tunteminen. Ongelmanratkaisu.

Oppitunnin tavoitteet:

• Koulutuksellinen- esitellä aritmeettisen progression käsite; n:nnen jäsenen kaavat; ominaisuus, joka aritmeettisen progression jäsenillä on.
• Koulutuksellinen- kehittää kykyä vertailla matemaattisia käsitteitä, löytää yhtäläisyyksiä ja eroja, kykyä havainnoida, havaita kuvioita, päätellä analogisesti; muodostaa kyky rakentaa ja tulkita matemaattinen malli jostain todellisesta tilanteesta.
• Koulutuksellinen- edistää kiinnostuksen kehittymistä matematiikkaa ja sen sovelluksia kohtaan, aktiivisuutta, kykyä kommunikoida ja puolustaa näkemyksiään järkevästi.

Varustus: tietokone, multimediaprojektori, esitys (Liite 1)

Oppikirjat: Algebra 9, Yu.N.

Tuntisuunnitelma:

1. Organisatorinen hetki, tehtävien asettaminen
2. Tiedon toteutus, suullinen työskentely
3. Uuden materiaalin oppiminen
4. Ensisijainen kiinnitys
5. Yhteenveto oppitunnista
6. Kotitehtävät

Näkyvyyden ja materiaalin kanssa työskentelyn mukavuuden lisäämiseksi oppituntiin liittyy esitys. Tämä ei kuitenkaan ole edellytys, ja sama oppitunti voidaan pitää luokkahuoneissa, joissa ei ole multimedialaitteita. Tätä varten tarvittavat tiedot voidaan valmistaa taululle tai taulukoiden ja julisteiden muodossa.

Tuntien aikana

I. Organisaatiohetki, tehtävän asettaminen.

Terveisiä.

Tämän päivän oppitunnin aiheena on aritmeettinen progressio. Tällä oppitunnilla opimme, mitä aritmeettinen progressio on, mikä sen yleinen muoto on, miten aritmeettinen progressio erotetaan muista sarjoista ja ratkaistaan ​​aritmeettisen progression ominaisuuksia hyödyntäviä tehtäviä.

II. Tiedon toteutus, suullinen työskentely.

Sarja () saadaan kaavalla: =. Mikä on tämän sarjan jäsenen lukumäärä, jos se on 144? 225? 100? Ovatko luvut 48 tämän sarjan jäseniä? 49? 168?

Jaksosta () tiedetään, että . Millä nimellä tällaista sekvensointia kutsutaan? Etsi tämän sarjan neljä ensimmäistä termiä.

Jaksosta () tiedetään, että . Millä nimellä tällaista sekvensointia kutsutaan? Etsi jos?

III. Uuden materiaalin oppiminen.

Progressio - arvosarja, joista jokainen on jossain määrin yhteinen koko etenemiselle edellisestä riippuen. Termi on nyt suurelta osin vanhentunut ja esiintyy vain "aritmeettisen etenemisen" ja "geometrisen etenemisen" yhdistelmissä.

Termi "eteneminen" on latinalaista alkuperää (progression, mikä tarkoittaa "edemmäksi siirtymistä"), ja sen esitteli roomalainen kirjailija Boethius (6. vuosisadalla). Tämä termi matematiikassa viittasi mihin tahansa numerosarjaan, joka on rakennettu sellaisen lain mukaan, joka sallii tämän sekvenssin jatkua loputtomasti yhteen suuntaan. Tällä hetkellä termiä "eteneminen" sen alkuperäisessä laajassa merkityksessä ei käytetä. Kaksi tärkeää progressiotyyppiä - aritmeettinen ja geometrinen - ovat säilyttäneet nimensä.

Harkitse numerosarjoja:

• 2, 6, 10, 14, 18, :.
• 11, 8, 5, 2, -1, :.
• 5, 5, 5, 5, 5, :.

Mikä on ensimmäisen sekvenssin kolmas termi? Seuraava jäsen? Edellinen jäsen? Mitä eroa on toisella ja ensimmäisellä termillä? Kolmas ja toinen jäsen? Neljäs ja kolmas?

Jos sekvenssi rakennetaan yhden lain mukaan, mikä on ero ensimmäisen sekvenssin kuudennen ja viidennen jäsenen välillä? Seitsemännen ja kuudennen välillä?

Nimeä kunkin sarjan kaksi seuraavaa jäsentä. Miksi luulet niin?

(Oppilas vastaa)

Mitä yhteistä ominaisuutta näillä sarjoilla on? Ilmoita tämä omaisuus.

(Oppilas vastaa)

Numeerisia sekvenssejä, joilla on tämä ominaisuus, kutsutaan aritmeettisiksi progressioiksi. Kehota oppilaita yrittämään muotoilla määritelmä itse.

Aritmeettisen etenemisen määritelmä: Aritmeettinen progressio on sarja, jossa jokainen termi toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, lisättynä samalla numerolla:

( on aritmeettinen progressio if , missä on jokin luku.

Määrä d, joka osoittaa kuinka paljon sekvenssin seuraava jäsen eroaa edellisestä, kutsutaan etenemiseroksi: .

Katsotaanpa sekvenssejä uudelleen ja puhutaan eroista. Mitä ominaisuuksia kullakin sarjalla on ja mihin ne liittyvät?

Jos aritmeettisessa progressiossa ero on positiivinen, niin progressio kasvaa: 2, 6, 10, 14, 18, :. (

Jos aritmeettisessa progressiossa ero on negatiivinen ( , niin eteneminen pienenee: 11, 8, 5, 2, -1, :. (

Jos ero on nolla () ja etenemisen kaikki jäsenet ovat yhtä suuria, sekvenssiä kutsutaan stationääriseksi: 5, 5, 5, 5, :.

Kuinka asettaa aritmeettinen progressio? Harkitse seuraavaa ongelmaa.

Tehtävä. Varastossa oli 1. päivänä 50 tonnia hiiltä. Joka päivä kuukauden ajan varastolle saapuu rekka, jossa on 3 tonnia hiiltä. Kuinka paljon hiiltä on varastossa 30. päivänä, jos varaston hiiltä ei ole kulutettu tänä aikana.

Jos kirjoitamme kunkin luvun varastossa olevan hiilen määrän, saamme aritmeettisen progression. Kuinka ratkaista tämä ongelma? Onko todella tarpeen laskea hiilen määrä kuukauden jokaisena päivänä? Onko mahdollista jotenkin pärjätä ilman? Huomioimme, että ennen 30. päivää varastolle tulee 29 hiiltä sisältävää kuorma-autoa. Näin ollen 30. päivänä on varastossa 50+329=137 tonnia hiiltä.

Siten, kun tiedämme vain aritmeettisen etenemisen ensimmäisen jäsenen ja eron, voimme löytää minkä tahansa sekvenssin jäsenen. Onko se aina näin?

Analysoidaan kuinka sekvenssin jokainen jäsen riippuu ensimmäisestä jäsenestä ja erosta:

Siten olemme saaneet kaavan aritmeettisen progression n:nnelle jäsenelle.

Esimerkki 1 Sekvenssi () on aritmeettinen progressio. Etsi jos ja .

Käytämme kaavaa n:nnelle termille ,

Vastaus: 260.

Harkitse seuraavaa ongelmaa:

Aritmeettisessa progressiossa parilliset jäsenet osoittautuivat ylikirjoitetuiksi: 3, :, 7, :, 13: Onko mahdollista palauttaa kadonneet luvut?

Opiskelijat todennäköisesti laskevat ensin etenemisen eron ja sitten löytävät etenemisen tuntemattomat termit. Sitten voit kutsua heidät etsimään sekvenssin tuntemattoman jäsenen, edellisen ja seuraavan välisen suhteen.

Päätös: Käytetään sitä, että aritmeettisessa progressiossa vierekkäisten termien välinen ero on vakio. Antaa olla sekvenssin haluttu jäsen. Sitten

.

Kommentti. Tämä aritmeettisen progression ominaisuus on sen ominaisuus. Tämä tarkoittaa, että missä tahansa aritmeettisessa progressiossa jokainen termi toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellisen ja seuraavan ( . Ja päinvastoin, mikä tahansa sekvenssi, jossa jokainen termi toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellisen ja seuraavan aritmeettinen keskiarvo, on aritmeettinen progressio.

IV. Ensisijainen kiinnitys.

• Nro 575 ab - suullisesti
• Nro 576 awd - suullisesti
• Nro 577b - itsenäisesti varmennuksella

Jakso (- aritmeettinen eteneminen. Etsi jos ja

Käytetään n:nnen jäsenen kaavaa,

Vastaus: -24.2.

Etsi aritmeettisen progression 23. ja n:s jäsen -8; -6,5; :

Päätös: Aritmeettisen progression ensimmäinen termi on -8. Selvitetään aritmeettisen etenemisen ero, jota varten edellinen on vähennettävä sekvenssin seuraavasta jäsenestä: -6.5-(-8)=1.5.

Käytetään n:nnen termin kaavaa:

Etsi aritmeettisen progression () ensimmäinen termi, jos .

Muistakaamme oppituntimme alkua, kaverit. Onnistuitko oppimaan jotain uutta tämän päivän oppitunnilla, tekemään löytöjä? Mitkä ovat oppitunnin tavoitteet? Olemmeko mielestäsi saavuttaneet tavoitteemme?

Kotitehtävät.

Kohta 25, nro 578a, nro 580b, nro 582, nro 586a, nro 601a.

Luova tehtävä vahvoille opiskelijoille: Todista, että aritmeettisella progressiolla millä tahansa sellaisella luvulla k tasa-arvot ja .

Kiitos oppitunnista kaverit. Olet tehnyt kovasti töitä tänään.

Matematiikassa on oma kauneutensa, kuten myös maalauksella ja runoudella.

Venäläinen tiedemies, mekaanikko N.E. Žukovski

Matematiikan pääsykokeissa hyvin yleisiä tehtäviä ovat aritmeettisen progression käsitteeseen liittyvät tehtävät. Tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi onnistuneesti on välttämätöntä tuntea aritmeettisen progression ominaisuudet hyvin ja olla tiettyjä taitoja niiden soveltamisessa.

Muistetaan ensin aritmeettisen progression pääominaisuudet ja esitellään tärkeimmät kaavat, liittyy tähän käsitteeseen.

Määritelmä. Numerosarja, jossa jokainen seuraava termi eroaa edellisestä samalla numerolla, kutsutaan aritmeettiseksi progressioksi. Samalla numerokutsutaan etenemiseroksi.

Kaavat ovat voimassa aritmeettiselle progressiolle

, (1)

missä . Kaavaa (1) kutsutaan aritmeettisen progression yhteisen termin kaavaksi, ja kaavaa (2) on aritmeettisen progression pääominaisuus: progression jokainen jäsen osuu yhteen sen viereisten jäsenten aritmeettisen keskiarvon kanssa ja .

Huomaa, että juuri tämän ominaisuuden vuoksi tarkasteltavaa etenemistä kutsutaan "aritmeettiseksi".

Yllä olevat kaavat (1) ja (2) on tiivistetty seuraavasti:

(3)

Summan laskemiseen ensimmäinen aritmeettisen progression jäseniäkaavaa käytetään yleensä

(5) missä ja .

Jos otamme huomioon kaavan (1), niin kaava (5) tarkoittaa

Jos nimeämme

missä . Koska , kaavat (7) ja (8) ovat vastaavien kaavojen (5) ja (6) yleistys.

Erityisesti , kaavasta (5) seuraa, mitä

Useimmille opiskelijoille vähän tunnettu ominaisuus on aritmeettinen progressio, joka on muotoiltu seuraavan lauseen avulla.

Lause. Jos sitten

Todiste. Jos sitten

Lause on todistettu.

Esimerkiksi , lausetta käyttämällä, se voidaan osoittaa

Siirrytään tarkastelemaan tyypillisiä esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta aiheesta "Aritmeettinen progressio".

Esimerkki 1 Anna ja . Löytää .

Päätös. Kaavaa (6) soveltamalla saadaan . Koska ja , sitten tai .

Esimerkki 2 Olkoon kolme kertaa enemmän, ja kun jaetaan osamäärällä, saadaan 2 ja jäännös on 8. Määritä ja.

Päätös. Yhtälöjärjestelmä seuraa esimerkin ehdosta

Koska , , ja , niin yhtälöjärjestelmästä (10) saadaan

Tämän yhtälöjärjestelmän ratkaisut ovat ja .

Esimerkki 3 Etsi jos ja .

Päätös. Kaavan (5) mukaan meillä on tai . Kuitenkin käyttämällä ominaisuutta (9) saamme .

Koska ja , sitten tasa-arvosta yhtälö seuraa tai .

Esimerkki 4 Etsi jos.

Päätös.Kaavan (5) mukaan meillä on

Lauseen avulla voidaan kuitenkin kirjoittaa

Tästä ja kaavasta (11) saadaan .

Esimerkki 5. Annettu: . Löytää .

Päätös. Siitä lähtien . Kuitenkin .

Esimerkki 6 Anna , ja . Löytää .

Päätös. Kaavan (9) avulla saamme . Siksi, jos , sitten tai .

Siitä lähtien ja niin tässä meillä on yhtälöjärjestelmä

Ratkaisemalla minkä saamme ja .

Yhtälön luonnollinen juuri on .

Esimerkki 7 Etsi jos ja .

Päätös. Koska kaavan (3) mukaan meillä on, niin yhtälöjärjestelmä seuraa ongelman ehdosta

Jos korvaamme lausekkeenjärjestelmän toiseen yhtälöön, niin saamme tai .

Neliöyhtälön juuret ovat ja .

Tarkastellaan kahta tapausta.

1. Anna sitten . Siitä lähtien ja sitten .

Tässä tapauksessa kaavan (6) mukaan meillä on

2. Jos , niin , ja

Vastaus: ja.

Esimerkki 8 Tiedetään, että ja Löytää .

Päätös. Ottaen huomioon kaavan (5) ja esimerkin ehdon, kirjoitamme ja .

Tämä tarkoittaa yhtälöjärjestelmää

Jos kerromme järjestelmän ensimmäisen yhtälön kahdella ja lisäämme sen sitten toiseen yhtälöön, saamme

Kaavan (9) mukaan meillä on. Tässä yhteydessä (12):sta seuraa tai .

Siitä lähtien ja sitten .

Vastaus:.

Esimerkki 9 Etsi jos ja .

Päätös. Koska , ja ehdon mukaan , sitten tai .

Kaavasta (5) se tiedetään, mitä . Siitä lähtien .

Siksi tässä meillä on lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Täältä saamme ja . Kun otetaan huomioon kaava (8), kirjoitamme .

Esimerkki 10 Ratkaise yhtälö.

Päätös. Annetusta yhtälöstä seuraa, että . Oletetaan, että , , ja . Tässä tapauksessa .

Kaavan (1) mukaan voimme kirjoittaa tai .

Koska , yhtälöllä (13) on ainutlaatuinen sopiva juuri .

Esimerkki 11. Etsi suurin arvo edellyttäen, että ja .

Päätös. Siitä lähtien, jolloin harkittu aritmeettinen eteneminen on laskemassa. Tässä suhteessa lauseke saa maksimiarvon, kun se on etenemisen positiivisen vähimmäisjäsenen numero.

Käytämme kaavaa (1) ja tosiasiaa, mikä ja . Sitten saamme sen tai .

Koska sitten tai . Kuitenkin tässä eriarvoisuudessasuurin luonnollinen luku, Siksi .

Jos arvot ja korvataan kaavalla (6), saamme .

Vastaus:.

Esimerkki 12. Etsi kaikkien kaksinumeroisten luonnollisten lukujen summa, joiden jäännös on 5, kun se jaetaan 6:lla.

Päätös. Merkitään kaikkien kaksiarvoisten luonnollisten lukujen joukolla, ts. . Seuraavaksi rakennetaan osajoukko, joka koostuu niistä joukon alkioista (luvuista), jotka jaettuna luvulla 6 antavat jäännöksen 5.

Helppo asentaa, mitä . Ilmeisesti, että joukon elementitmuodostavat aritmeettisen progression, jossa ja .

Määrittääksemme joukon kardinalisuuden (elementtien lukumäärän) oletamme, että . Koska ja , niin kaava (1) tarkoittaa tai . Kun otetaan huomioon kaava (5), saadaan .

Yllä olevat esimerkit ongelmien ratkaisemisesta eivät voi missään tapauksessa väittää olevan tyhjentäviä. Tämä artikkeli on kirjoitettu nykyaikaisten menetelmien analyysin perusteella tietyn aiheen tyypillisten ongelmien ratkaisemiseksi. Aritmeettiseen progressioon liittyvien ongelmien ratkaisumenetelmien syvempään tutkimiseen on suositeltavaa viitata suositellun kirjallisuuden luetteloon.

1. Matematiikan tehtäväkokoelma teknisiin korkeakouluihin hakijoille / Toim. MI. Scanavi. - M .: Maailma ja koulutus, 2013. - 608 s.

2. Suprun V.P. Matematiikka lukiolaisille: koulun opetussuunnitelman lisäosia. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 s.

3. Medynsky M.M. Täydellinen alkeismatematiikan kurssi tehtävissä ja harjoituksissa. Kirja 2: Numerosekvenssit ja edistyminen. – M.: Editus, 2015. - 208 s.

Onko sinulla kysymyksiä?

Saadaksesi ohjaajan apua - rekisteröidy.

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Aihe: Aritmeettinen ja geometrinen progressio

Luokka: 9

Koulutusjärjestelmä: materiaalia aiheen opiskelun valmisteluun algebrassa ja valmisteluvaiheeseen OGE-kokeen läpäisemiseksi

Kohde: aritmeettisen ja geometrisen progression käsitteiden muodostuminen

Tehtävät: opettaa erottamaan etenemistyypit, opettaa oikein, käyttää kaavoja

Aritmeettinen progressio nimeä numerosarja (etenemisen jäseniä)

jossa jokainen seuraava termi eroaa edellisestä terästermillä, jota kutsutaan myös askel- tai etenemiseroksi.

Näin ollen asettamalla etenemisen askel ja sen ensimmäinen termi, voit löytää minkä tahansa sen elementin kaavan avulla

1) Jokainen aritmeettisen progression jäsen toisesta numerosta alkaen on etenemisen edellisen ja seuraavan jäsenen aritmeettinen keskiarvo

Päinvastoin on myös totta. Jos progression vierekkäisten parittomien (parillisten) jäsenten aritmeettinen keskiarvo on yhtä suuri kuin niiden välissä oleva jäsen, tämä lukusarja on aritmeettinen progressio. Tällä väitteellä on erittäin helppo tarkistaa mikä tahansa järjestys.

Myös aritmeettisen etenemisen ominaisuuden perusteella yllä oleva kaava voidaan yleistää seuraavaan

Tämä on helppo tarkistaa, jos kirjoitamme termit yhtäläisyysmerkin oikealle puolelle

Sitä käytetään usein käytännössä yksinkertaistamaan laskutoimituksia tehtävissä.

2) Aritmeettisen etenemisen n ensimmäisen ehdon summa lasketaan kaavalla

Muista hyvin aritmeettisen progression summan kaava, se on välttämätön laskelmissa ja on melko yleinen yksinkertaisissa elämäntilanteissa.

3) Jos sinun ei tarvitse löytää koko summaa, vaan osa sekvenssistä alkaen sen k:nnestä jäsenestä, niin seuraava summakaava on hyödyllinen sinulle

4) Käytännön kiinnostavaa on löytää aritmeettisen progression n jäsenen summa alkaen k:nnesta luvusta. Käytä tätä varten kaavaa

Etsi aritmeettisen progression 4;7;...

Päätös:

Tilanteen mukaan meillä on

Määritä etenemisvaihe

Tunnetun kaavan mukaan löydämme etenemisen neljäskymmenes termin

Aritmeettisen progression antaa sen kolmas ja seitsemäs jäsen. Etsi progression ensimmäinen termi ja kymmenen summa.

Päätös:

Kirjoitamme annetut etenemisen elementit kaavojen mukaan

Aritmeettinen progressio saadaan nimittäjästä ja yhdestä sen jäsenistä. Etsi progression ensimmäinen termi, sen 50 termin summa alkaen 50 ja ensimmäisten 100 summa.

Päätös:

Kirjoitetaan kaava etenemisen sadasosalle

ja löytää ensimmäinen

Ensimmäisen perusteella löydämme etenemisen 50. termin

Etenemisen osan summan löytäminen

ja ensimmäisen 100 summa

Etenemisen summa on 250. Laske aritmeettisen progression jäsenten lukumäärä, jos:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Päätös:

Kirjoitamme yhtälöt etenemisen ensimmäisen termin ja askeleen mukaan ja määrittelemme ne

Korvaamme saadut arvot summakaavaan määrittääksemme termien lukumäärän summassa

Yksinkertaistusten tekeminen

ja ratkaise toisen asteen yhtälö

Kahdesta löydetystä arvosta vain numero 8 sopii ongelman tilaan. Näin ollen etenemisen kahdeksan ensimmäisen ehdon summa on 111.

ratkaise yhtälö

1+3+5+...+x=307.

Päätös:

Tämä yhtälö on aritmeettisen progression summa. Kirjoitamme sen ensimmäisen termin ja löydämme etenemisen eron

Korvaamme löydetyt arvot etenemisen summan kaavaan termien lukumäärän löytämiseksi

Kuten edellisessä tehtävässä, teemme yksinkertaistuksia ja ratkaisemme toisen asteen yhtälön

Valitse kahdesta arvosta loogisempi. Meillä on, että progression 18 jäsenen summa annetuilla arvoilla a1=1, d=2 on yhtä suuri kuin Sn=307.

Esimerkkejä ongelmanratkaisusta: Aritmeettinen progressio

Tehtävä 1

Opiskelijatiimi sopi keraamisten laattojen asettamisesta lattialle nuorisokerhon saliin, jonka pinta-ala on 288m2. Kokemusta kertyessään opiskelijat joka seuraava päivä toisesta alkaen asetelivat 2 m2 edellistä enemmän, ja heillä oli tarpeeksi laattoja tasan 11 päivän työhön. Suunnitellen tuottavuuden kasvua samalla tavalla, työnjohtaja päätti, että työn suorittamiseen kuluisi vielä 5 päivää. Kuinka monta laatikkoa laattoja hänen tarvitsee tilata, jos 1 laatikko riittää 1,2 m2 lattialle ja 3 laatikkoa tarvitaan huonolaatuisten laattojen korvaamiseen?

Päätös

Tehtävän ehdon mukaan on selvää, että puhumme aritmeettisesta progressiosta, jossa let

a1 = x, Sn = 288, n = 16

Sitten käytämme kaavaa: Sn= (2а1+d(n-1))*n/0.86=200mm Hg. Taide.

288=(2x+2*15)*16/2

Laske kuinka paljon m2 opiskelijat sijoittavat 11 päivässä: S11=(2*3+2*10)*11.2=143m 2

288-143=145m2 jäljellä 11 työpäivän jälkeen, ts. 5 päivän ajan

145/1,2=121(noin) laatikkoa tulee tilata 5 päiväksi.

121+3=124 laatikkoa tulee tilata viallisina

Vastaus: 124 laatikkoa

Tehtävä 2

Jokaisen laimennuspumpun männän liikkeen jälkeen 20 % siinä olevasta ilmasta poistetaan astiasta. Määritetään ilmanpaine aluksen sisällä kuuden männän liikkeen jälkeen, jos alkupaine oli 760 mm Hg. Taide.

Päätös

Koska 20 % käytettävissä olevasta ilmasta poistetaan astiasta jokaisen männän liikkeen jälkeen, 80 % ilmasta jää jäljelle. Jotta saat selville aluksen ilmanpaineen seuraavan männän liikkeen jälkeen, sinun on lisättävä edellisen männän liikkeen painetta 0,8.

Meillä on geometrinen progressio, jonka ensimmäinen termi on 760 ja jonka nimittäjä on 0,8. Luku, joka ilmaisee ilmanpainetta astiassa (mm Hg) kuuden männän iskun jälkeen, on tämän etenemisen seitsemäs jäsen. Se on yhtä suuri kuin 760 * 0,86 = 200 mm Hg. Taide.

Vastaus: 200 mmHg

Esitetään aritmeettinen progressio, jossa viides ja kymmenes termi ovat 38 ja 23. Etsi progression viidestoista termi ja sen kymmenen ensimmäisen termin summa.

Päätös:

Etsi aritmeettisen progression 5,14,23,... termin luku, jos sen -:s termi on yhtä suuri kuin 239.

Päätös:

Löytää aritmeettisen progression termien määrä on 9,12,15,..., jos sen summa on 306.

Päätös:

Etsi x, jolle luvut x-1, 2x-1, x2-5 muodostavat aritmeettisen progression

Päätös:

Etsi ero etenemisen 1 ja 2 jäsenen välillä:

d=(2x-1)-(x-1)=x

Etsi ero 2 ja 3 etenemisen jäsenen välillä:

d=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4

Koska ero on sama, niin etenemisen ehdot voidaan rinnastaa:

Kun molemmissa tapauksissa tarkistetaan, saadaan aritmeettinen progressio

Vastaus: kun x=-1 ja x=4

Aritmeettinen progressio annetaan sen kolmannella ja seitsemällä jäsenellä a3=5; a7=13. Etsi progression ensimmäinen termi ja kymmenen summa.

Päätös:

Vähennämme ensimmäisen yhtälön toisesta yhtälöstä, minkä tuloksena löydämme etenemisaskeleen

a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8, joten d=2

Löytynyt arvo korvataan mihin tahansa yhtälöihin aritmeettisen etenemisen ensimmäisen termin löytämiseksi

Laske edistymisen kymmenen ensimmäisen ehdon summa

S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100

Vastaus: a1=1; S10 = 100

Etsi viides ja yksitoista termi aritmeettisesta progressiosta, jonka ensimmäinen termi on -3,4 ja ero on 3.

Joten tiedämme, että a1 = -3,4; d = 3. Hae: a5, a11-.

Päätös. Aritmeettisen progression n:nnen jäsenen löytämiseksi käytämme kaavaa: an = a1+ (n – 1)d. Meillä on:

a5 \u003d a1 + (5 - 1) d = -3,4 + 4 3 \u003d 8,6;

a11 \u003d a1 + (11 - 1) d \u003d -3,4 + 10 3 \u003d 26,6.

Kuten näette, tässä tapauksessa ratkaisu ei ole vaikea.

Aritmeettisen progression kahdestoista termi on 74 ja ero on -4. Etsi tämän etenemisen kolmaskymmenesneljäs termi.

Meille kerrotaan, että a12 = 74; d = -4, ja sinun on löydettävä a34-.

Tässä tehtävässä ei ole mahdollista soveltaa välittömästi kaavaa an = a1 + (n – 1)d, koska ensimmäistä termiä a1 ei tunneta. Tämä ongelma voidaan ratkaista useissa vaiheissa.

1. Käyttämällä termiä a12 ja n:nnen termin kaavaa löydämme a1:

a12 = a1 + (12 – 1)d, yksinkertaista nyt ja korvaa d: a12 = a1 + 11 (-4). Tästä yhtälöstä löydämme a1: a1 = a12 - (-44);

Tiedämme tehtävän ehdosta kahdestoista termin, joten laskemme a1 ilman ongelmia

a1 = 74 + 44 = 118. Siirrytään toiseen vaiheeseen - a34:n laskemiseen.

2. Jälleen kaavan an = a1 + (n - 1)d mukaan, koska a1 on jo tiedossa, määritetään a34-,

a34 = a1 + (34 - 1) d = 118 + 33 (-4) = 118 - 132 = -14.

Vastaus: Aritmeettisen progression 34. termi on -14.

Kuten näet, toisen esimerkin ratkaisu on monimutkaisempi. Samaa kaavaa käytetään kahdesti vastauksen saamiseksi. Mutta kaikki on niin monimutkaista. Ratkaisua voidaan lyhentää käyttämällä lisäkaavoja.

Kuten jo todettiin, jos a1 tunnetaan tehtävässä, on erittäin kätevää käyttää kaavaa aritmeettisen progression n:nnen jäsenen määrittämiseksi. Mutta jos ehdossa ei ole määritelty ensimmäistä termiä, niin avuksi voi tulla kaava, joka yhdistää tarvitsemamme n:nnen termin ja tehtävässä määritellyn termin ak.

an = ak + (n – k)d.

Ratkaistaan ​​toinen esimerkki, mutta käyttämällä uutta kaavaa.

Annettu: a12 = 74; d = -4. Etsi: a34-.

Käytämme kaavaa an = ak + (n – k)d. Meidän tapauksessamme se on:

a34 = a12 + (34 - 12) (-4) = 74 + 22 (-4) = 74 - 88 = -14.

Vastaus ongelmaan saatiin paljon nopeammin, koska ei tarvinnut suorittaa lisätoimia ja etsiä etenemisen ensimmäistä jäsentä.

Yllä olevia kaavoja käyttämällä voit ratkaista tehtäviä aritmeettisen etenemisen eron laskemiseksi. Joten käyttämällä kaavaa an = a1 + (n - 1)d, voimme ilmaista d:

d = (an - a1) / (n - 1). Tietyn ensimmäisen termin ongelmat eivät kuitenkaan ole niin yleisiä, ja ne voidaan ratkaista kaavallamme an = ak + (n – k)d, josta voidaan nähdä, että d = (an – ak) / (n – k). Ajatellaanpa tällaista tehtävää.

Laske aritmeettisen etenemisen ero, jos tiedetään, että a3 = 36; a8 = 106.

Saamamme kaavan avulla ongelman ratkaisu voidaan kirjoittaa yhdelle riville:

d = (a8 - a3) / (8 - 3) = (106 - 36) / 5 = 14.

Jos tämä kaava ei olisi arsenaalissa, ongelman ratkaiseminen veisi paljon enemmän aikaa, koska pitäisi ratkaista kahden yhtälön järjestelmä.

geometriset progressiot

1. th:n jäsenen kaava (progression yleinen jäsen).
2. Progression ensimmäisten jäsenten summan kaava:. Kun on tapana puhua suppenevasta geometrisestä progressiosta; tässä tapauksessa voit laskea koko etenemisen summan kaavalla .
3. "Geometrisen keskiarvon" kaava: jos , , ovat geometrisen progression kolme peräkkäistä termiä, niin määritelmän perusteella meillä on suhde: tai tai .