Tässä artikkelissa puhun kuinka soveltaa kykyä löytää funktion tutkimiseen: löytää sen suurin tai pienin arvo. Ja sitten ratkaisemme useita ongelmia tehtävästä B15 Open Task Bankista varten.

Kuten tavallista, aloitetaan ensin teoriasta.

Minkä tahansa funktion tutkimuksen alussa löydämme sen

Funktion suurimman tai pienimmän arvon löytämiseksi on tutkittava, millä aikaväleillä funktio kasvaa ja millä pienenee.

Tätä varten sinun on löydettävä funktion derivaatta ja tutkittava sen vakiomerkkivälejä, eli intervalleja, joilla derivaatta säilyttää etumerkkinsä.

Välit, joilla funktion derivaatta on positiivinen, ovat kasvavan funktion intervalleja.

Välit, joilla funktion derivaatta on negatiivinen, ovat pienenevän funktion intervalleja.

yksi . Ratkaistaan ​​tehtävä B15 (nro 245184)

Sen ratkaisemiseksi noudatamme seuraavaa algoritmia:

a) Etsi funktion toimialue

b) Etsi funktion derivaatta.

c) Aseta se nollaksi.

d) Etsitään funktion vakiomerkkivälit.

e) Etsi piste, jossa funktio saa suurimman arvon.

f) Etsi funktion arvo tässä pisteessä.

Kerron tämän tehtävän yksityiskohtaisen ratkaisun VIDEOTUNNUSSA:

Todennäköisesti selaintasi ei tueta. Jos haluat käyttää Unified State Examination Hour -simulaattoria, yritä ladata
Firefox

2. Ratkaistaan ​​tehtävä B15 (nro 282862)

Etsi funktion suurin arvo segmentillä

On selvää, että funktio saa suurimman arvon janasta maksimipisteessä, kohdassa x=2. Etsi funktion arvo tässä vaiheessa:

Vastaus: 5

3. Ratkaistaan ​​tehtävä B15 (nro 245180):

Etsi funktion suurin arvo

1.title="(!LANG:ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Alkuperäisen funktion title="(!LANG:4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Osoittaja on nolla kohdassa . Tarkastetaan, kuuluuko ODZ toimintoon. Voit tehdä tämän tarkistamalla, onko ehto title="(!LANG:4-2x-x^2>0"> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

joten piste kuuluu funktion ODZ:hen

Tarkastelemme derivaatan etumerkkiä pisteen oikealla ja vasemmalla puolella:

Näemme, että funktio saa suurimman arvon pisteessä . Etsitään nyt funktion arvo osoitteesta:

Huomautus 1. Huomaa, että tässä tehtävässä emme löytäneet funktion aluetta: korjasimme vain rajoitukset ja tarkistimme, kuuluuko piste, jossa derivaatta on yhtä suuri kuin nolla, funktion alueeseen. Tässä ongelmassa tämä osoittautui riittäväksi. Näin ei kuitenkaan aina ole. Riippuu tehtävästä.

Huomautus 2. Monimutkaisen funktion käyttäytymistä tutkittaessa voidaan käyttää seuraavaa sääntöä:

• jos yhdistelmäfunktion ulkofunktio kasvaa, niin funktio saa suurimman arvonsa samassa pisteessä, jossa sisäfunktio saa suurimman arvonsa. Tämä seuraa kasvavan funktion määritelmästä: funktio kasvaa välissä I, jos tämän välin argumentin suurempi arvo vastaa funktion suurempaa arvoa.
• jos kompleksisen funktion ulkofunktio pienenee, niin funktio saa suurimman arvon samassa pisteessä, jossa sisäfunktio saa pienimmän arvon . Tämä seuraa pienenevän funktion määritelmästä: funktio pienenee välillä I, jos argumentin suurempi arvo tästä intervallista vastaa funktion pienempää arvoa.

Esimerkissämme ulompi funktio - kasvaa koko määritelmäalueen yli. Logaritmin merkin alla on lauseke - neliötrinomi, joka negatiivisella seniorikertoimella saa suurimman arvon pisteessä . Seuraavaksi korvaamme tämän x:n arvon funktion yhtälöllä ja löytää sen suurin arvo.

Anna toiminnon y=f(X) jatkuva segmentillä [ a, b]. Kuten tiedetään, tällainen toiminto saavuttaa maksimi- ja vähimmäisarvonsa tällä segmentillä. Funktio voi ottaa nämä arvot joko segmentin sisäpisteestä [ a, b] tai segmentin rajalla.

Löytääksesi funktion suurimmat ja pienimmät arvot segmentistä [ a, b] tarpeen:

1) etsi funktion kriittiset pisteet välillä ( a, b);

2) laskea funktion arvot löydetyissä kriittisissä pisteissä;

3) laske funktion arvot segmentin päissä, eli for x=a ja x = b;

4) valitse kaikista funktion lasketuista arvoista suurin ja pienin.

Esimerkki. Etsi funktion suurin ja pienin arvo

segmentillä.

Kriittisten kohtien löytäminen:

Nämä pisteet sijaitsevat segmentin sisällä; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

pisteessä x= 3 ja pisteessä x= 0.

Konveksiteettifunktion ja käännepisteen tutkiminen.

Toiminto y = f (x) nimeltään kupera välissä (a, b) , jos sen kuvaaja on tämän välin mihin tahansa pisteeseen piirretyn tangentin alla, ja sitä kutsutaan alaspäin kupera (kovera) jos sen kuvaaja on tangentin yläpuolella.

Siirtymäkohtaa, jonka kautta kupera korvataan koveruudella tai päinvastoin, kutsutaan käännekohta.

Algoritmi kuperuuden ja käännepisteen tutkimiseksi:

1. Etsi toisen lajin kriittiset pisteet, eli pisteet, joissa toinen derivaatta on nolla tai ei ole olemassa.

2. Aseta kriittiset pisteet numeroviivalle jakamalla se väleiksi. Etsi kunkin intervallin toisen derivaatan etumerkki; jos , niin funktio on kupera ylöspäin, jos, niin funktio on kupera alaspäin.

3. Jos se kulkiessaan toisenlaisen kriittisen pisteen läpi vaihtaa etumerkkiä ja tässä pisteessä toinen derivaatta on yhtä suuri kuin nolla, niin tämä piste on käännepisteen abskissa. Etsi sen ordinaatti.

Funktion kaavion asymptootit. Asymptoottien funktion tutkiminen.

Määritelmä. Funktion kaavion asymptoottia kutsutaan suoraan, jolla on ominaisuus, että etäisyys mistä tahansa kaavion pisteestä tähän viivaan pyrkii nollaan, kun kuvaajapiste poistetaan rajattomasti origosta.

Asymptootteja on kolmenlaisia: pystysuoraan, vaakasuoraan ja kaltevaan.

Määritelmä. Suora soitto vertikaalinen asymptootti funktiokaavio y = f(x), jos ainakin yksi funktion yksipuolisista rajoista tässä pisteessä on yhtä suuri kuin ääretön, se on

missä on funktion epäjatkuvuuspiste, eli se ei kuulu määritelmäalueeseen.

Esimerkki.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - murtumispiste.

Määritelmä. Suoraan y=A nimeltään horisontaalinen asymptootti funktiokaavio y = f(x) osoitteessa , jos

Esimerkki.

x
y

Määritelmä. Suoraan y=kx +b (k≠ 0) kutsutaan vino asymptootti funktiokaavio y = f(x) missä

Yleinen kaavio funktioiden tutkimisesta ja piirtämisestä.

Funktiotutkimusalgoritmiy = f(x) :

1. Etsi funktion toimialue D (y).

2. Etsi (jos mahdollista) kuvaajan leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa (ja x= 0 ja at y = 0).

3. Tutki parilliset ja parittomat funktiot ( y (‒ x) = y (x) ‒ pariteetti; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ outo).

4. Etsi funktion kaavion asymptootit.

5. Etsi funktion monotonisuuden intervallit.

6. Etsi funktion ääripää.

7. Etsi funktion kuvaajan kuperuus (koveruus) ja käännepisteet.

8. Muodosta tehdyn tutkimuksen perusteella funktion kuvaaja.

Esimerkki. Tutki funktiota ja piirrä sen kaavio.

1) D (y) =

x= 4 - murtumispiste.

2) Milloin x = 0,

(0; – 5) – leikkauspiste kanssa oi.

klo y = 0,

3) y(‒ x)= yleinen toiminto (ei parillinen eikä pariton).

4) Tutkimme asymptootteja.

a) pystysuora

b) vaakasuora

c) etsi vinot asymptootit missä

‒vino asymptoottiyhtälö

5) Tässä yhtälössä ei tarvitse löytää funktion monotonisuuden intervalleja.

6)

Nämä kriittiset pisteet jakavat funktion koko alueen välillä (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ja (10; +∞). Saadut tulokset on kätevä esittää seuraavan taulukon muodossa.

Katsotaanpa, kuinka funktiota tutkitaan kaavion avulla. Osoittautuu, että katsomalla kaaviota voit selvittää kaiken, mikä kiinnostaa meitä, nimittäin:

• toiminnon laajuus
• toimintoalue
• funktion nollia
• nousun ja laskun jaksot
• korkeat ja matalat kohdat
• segmentin funktion suurin ja pienin arvo.

Selvennetään terminologiaa:

Abskissa on pisteen vaakakoordinaatti.
Ordinate- pystysuora koordinaatti.
abskissa- vaaka-akseli, jota useimmiten kutsutaan akseliksi.
Y-akseli- pystyakseli tai akseli.

Perustelu on itsenäinen muuttuja, josta funktion arvot riippuvat. Useimmiten ilmoitettu.
Toisin sanoen me itse valitsemme , korvaamme funktiokaavassa ja saamme .

Verkkotunnus funktiot - niiden (ja vain niiden) argumentin arvojen joukko, joille funktio on olemassa.
Merkitään: tai .

Kuvassamme funktion alue on segmentti. Tälle segmentille piirretään funktion kaavio. Vain täällä tämä toiminto on olemassa.

Toimintoalue on joukko arvoja, jotka muuttuja ottaa. Kuvassamme tämä on segmentti - pienimmästä suurimpaan arvoon.

Toimintojen nollia- pisteet, joissa funktion arvo on nolla, eli . Kuvassamme nämä ovat pisteet ja .

Toimintoarvot ovat positiivisia missä . Kuvassamme nämä ovat intervallit ja .
Toimintojen arvot ovat negatiivisia missä . Meillä on tämä aikaväli (tai väli) alkaen -.

Tärkeimmät käsitteet - lisäävät ja vähentävät toimintoja jossain setissä. Joukkona voit ottaa segmentin, intervallin, intervalliliiton tai koko numeroviivan.

Toiminto lisääntyy

Toisin sanoen mitä enemmän , sitä enemmän , eli kaavio menee oikealle ja ylöspäin.

Toiminto vähenee joukossa jos jollekin ja joukkoon kuuluminen merkitsee epätasa-arvoa .

Pienevälle funktiolle suurempi arvo vastaa pienempää arvoa. Kaavio liikkuu oikealle ja alas.

Kuvassamme funktio kasvaa intervalleilla ja pienenee intervalleilla ja .

Määritellään mikä on funktion maksimi- ja minimipisteet.

Maksimipiste- tämä on määritelmäalueen sisäinen piste, jossa funktion arvo on suurempi kuin kaikissa tarpeeksi lähellä olevissa pisteissä.
Toisin sanoen maksimipiste on sellainen piste, funktion arvo, jossa lisää kuin naapureissa. Tämä on paikallinen "kukkula" kartalla.

Kuvassamme - maksimipiste.

Matala kohta- määritelmäalueen sisäinen piste, jossa funktion arvo on pienempi kuin kaikissa sitä riittävän lähellä olevissa pisteissä.
Eli minimipiste on sellainen, että funktion arvo siinä on pienempi kuin viereisissä. Kaaviossa tämä on paikallinen "reikä".

Kuvassamme - minimipiste.

Pointti on raja. Se ei ole määritelmäalueen sisäinen piste, eikä siksi sovi maksimipisteen määritelmään. Loppujen lopuksi hänellä ei ole naapureita vasemmalla. Samalla tavalla kaaviossamme ei voi olla minimipistettä.

Maksimi- ja minimipisteitä kutsutaan yhteisesti funktion ääripisteet. Meidän tapauksessamme tämä on ja .

Mutta entä jos sinun on löydettävä esim. funktion minimi leikkauksessa? Tässä tapauksessa vastaus on: koska funktion minimi on sen arvo minimipisteessä.

Vastaavasti funktiomme maksimi on . Se saavutetaan kohdassa .

Voimme sanoa, että funktion ääripäät ovat yhtä suuria ja .

Joskus tehtävissä sinun täytyy löytää funktion suurimmat ja pienimmät arvot tietyllä segmentillä. Ne eivät välttämättä sovi yhteen äärimmäisyyksien kanssa.

Meidän tapauksessamme pienin funktion arvo on yhtä suuri kuin funktion minimi ja on sen kanssa sama. Mutta sen suurin arvo tällä segmentillä on yhtä suuri kuin . Se saavutetaan segmentin vasemmassa päässä.

Joka tapauksessa janan jatkuvan funktion suurimmat ja pienimmät arvot saavutetaan joko janan ääripisteissä tai päissä.

Kuinka löytää segmentin funktion suurimmat ja pienimmät arvot?

Tätä varten noudatamme tunnettua algoritmia:

1 . Löydämme ODZ-toiminnot.

2 . Funktion derivaatan löytäminen

3 . Yhdistä derivaatta nollaan

4 . Löydämme välit, joilla derivaatta säilyttää etumerkkinsä, ja määritämme niistä funktion kasvu- ja laskuvälit:

Jos välillä I funktion 0 derivaatta" title="(!LANG:f^(alkuluku)(x)>0">, то функция !} kasvaa tällä aikavälillä.

Jos välillä I funktion derivaatta, niin funktio pienenee tällä aikavälillä.

5 . Löydämme funktion maksimi- ja minimipisteet.

AT funktion maksimipiste, derivaatta muuttaa etumerkin "+":sta "-".

AT funktion minimipistejohdannainen muuttaa merkin "-" arvosta "+".

6 . Löydämme funktion arvon segmentin päistä,

• sitten vertaamme funktion arvoa janan päissä ja maksimipisteissä, ja Valitse niistä suurin, jos haluat löytää funktion suurimman arvon
• tai vertaamme funktion arvoa janan päissä ja minimipisteissä, ja Valitse niistä pienin, jos haluat löytää funktion pienimmän arvon

Kuitenkin riippuen siitä, kuinka funktio käyttäytyy välissä, tätä algoritmia voidaan vähentää merkittävästi.

Harkitse toimintoa . Tämän funktion kaavio näyttää tältä:

Tarkastellaan useita esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta Open Task Bank for

yksi . Tehtävä B15 (#26695)

Leikkauksessa.

1. Funktio on määritelty kaikille x:n todellisille arvoille

Ilmeisesti tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja, ja derivaatta on positiivinen kaikille x:n arvoille. Siksi funktio kasvaa ja saa suurimman arvon intervallin oikeassa päässä, eli kohdassa x=0.

Vastaus: 5.

2 . Tehtävä B15 (nro 26702)

Etsi funktion suurin arvo segmentillä.

1.ODZ-toiminto title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Derivaata on nolla kohdassa , mutta näissä kohdissa se ei muuta etumerkkiä:

Siksi title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} kasvaa ja ottaa suurimman arvon intervallin oikeassa päässä, klo .

Tehdäksemme selväksi, miksi derivaatta ei muuta etumerkkiä, muunnamme derivaatan lausekkeen seuraavasti:

Title="(!LANG:y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Vastaus: 5.

3. Tehtävä B15 (#26708)

Etsi funktion pienin arvo väliltä .

1. ODZ-funktiot: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Laitetaan tämän yhtälön juuret trigonometriselle ympyrälle.

Väli sisältää kaksi numeroa: ja

Laitetaan merkit. Tätä varten määritetään derivaatan etumerkki pisteessä x=0: . Pisteiden läpi kulkiessaan derivaatta muuttaa etumerkkiä.

Kuvataan funktion derivaatan etumerkkien muutos koordinaattiviivalla:

Ilmeisesti piste on minimipiste (jossa derivaatta muuttaa merkin "-":sta "+":ksi), ja löytääksesi segmentin funktion pienimmän arvon, sinun on verrattava funktion arvoja minimipiste ja janan vasemmassa päässä, .

Prosessi funktion pienimpien ja suurimpien arvojen löytämiseksi segmentiltä muistuttaa kiehtovaa lentoa kohteen ympäri (funktion kaavio) helikopterilla, jossa ammutaan pitkän kantaman tykistä tietyissä pisteissä ja valitaan jostakin. Nämä pisteet ovat erittäin erityisiä kontrollilaukauksia. Pisteet valitaan tietyllä tavalla ja tiettyjen sääntöjen mukaan. millä säännöillä? Puhumme tästä lisää.

Jos toiminto y = f(x) jatkuva segmentillä [ a, b] , niin se saavuttaa tämän segmentin vähiten ja korkeimmat arvot . Tämä voi tapahtua joko sisällä ääripisteet tai jakson päissä. Siksi löytää vähiten ja funktion suurimmat arvot , jatkuva segmentillä [ a, b], sinun on laskettava sen arvot kokonaisuudessaan kriittiset kohdat ja segmentin päissä ja valitse sitten niistä pienin ja suurin.

Olkoon esimerkiksi tarpeen määrittää funktion maksimiarvo f(x) segmentillä [ a, b] . Voit tehdä tämän etsimällä sen kaikki kriittiset kohdat [ a, b] .

Kriittinen piste kutsutaan pisteeksi, jossa funktio määritetty, ja hän johdannainen on joko nolla tai sitä ei ole olemassa. Sitten sinun tulee laskea funktion arvot kriittisissä pisteissä. Ja lopuksi on verrattava funktion arvoja kriittisissä pisteissä ja segmentin päissä ( f(a) ja f(b) ). Suurin näistä luvuista on segmentin funktion suurin arvo [a, b] .

Löytämisen ongelma funktion pienimmät arvot .

Etsimme yhdessä funktion pienintä ja suurinta arvoa

Esimerkki 1. Etsi funktion pienin ja suurin arvo segmentillä [-1, 2] .

Päätös. Löydämme tämän funktion derivaatan. Yhdistä derivaatta nollaan () ja saat kaksi kriittistä pistettä: ja . Tietyn segmentin funktion pienimmän ja suurimman arvon löytämiseksi riittää, että lasketaan sen arvot janan päissä ja pisteessä , koska piste ei kuulu segmenttiin [-1, 2] . Nämä funktioarvot ovat seuraavat: , , . Tästä seuraa, että pienin funktion arvo(merkitty punaisella alla olevassa kaaviossa), joka on yhtä suuri kuin -7, saavutetaan janan oikeaan päähän - pisteessä , ja suurin(myös punainen kaaviossa), on yhtä suuri kuin 9, - kriittisessä pisteessä .

Jos funktio on jatkuva tietyllä aikavälillä ja tämä intervalli ei ole jana (mutta on esimerkiksi intervalli; intervallin ja janan välinen ero: intervallin rajapisteet eivät sisälly väliin, mutta segmentin rajapisteet sisällytetään segmenttiin), niin funktion arvojen joukossa ei välttämättä ole pienintä ja suurinta. Joten esimerkiksi alla olevassa kuvassa esitetty funktio on jatkuva ]-∞, +∞[, eikä sillä ole suurinta arvoa.

Kuitenkin millä tahansa aikavälillä (suljettu, avoin tai ääretön) seuraava jatkuvien funktioiden ominaisuus pätee.

Esimerkki 4. Etsi funktion pienin ja suurin arvo segmentillä [-1, 3] .

Päätös. Löydämme tämän funktion derivaatan osamäärän derivaatana:

.

Yhdistämme derivaatan nollaan, mikä antaa meille yhden kriittisen pisteen: . Se kuuluu väliin [-1, 3] . Löytääksemme funktion pienimmän ja suurimman arvon tietyltä segmentiltä, ​​löydämme sen arvot segmentin päistä ja löydetystä kriittisestä pisteestä:

Verrataan näitä arvoja. Johtopäätös: yhtä suuri kuin -5/13, pisteessä ja suurin arvo yhtä suuri kuin 1 pisteessä .

Jatkamme funktion pienimmän ja suurimman arvon etsimistä yhdessä

On opettajia, jotka funktion pienimpien ja suurimpien arvojen löytämisestä eivät anna opiskelijoille monimutkaisempia esimerkkejä kuin juuri tarkastelut, eli niitä, joissa funktio on polynomi tai murtoluku, osoittaja ja joiden nimittäjä on polynomi. Mutta emme rajoita tällaisiin esimerkkeihin, koska opettajien joukossa on ystäviä, jotka haluavat saada opiskelijat ajattelemaan kokonaan (johdannaisten taulukko). Siksi käytetään logaritmia ja trigonometristä funktiota.

Esimerkki 6. Etsi funktion pienin ja suurin arvo segmentillä .

Päätös. Löydämme tämän funktion johdannaisen muodossa tuotteen johdannainen :

Yhdistämme derivaatan nollaan, mikä antaa yhden kriittisen pisteen: . Se kuuluu segmenttiin. Löytääksemme funktion pienimmän ja suurimman arvon tietyltä segmentiltä, ​​löydämme sen arvot segmentin päistä ja löydetystä kriittisestä pisteestä:

Kaikkien toimien tulos: funktio saavuttaa minimiarvonsa, yhtä suuri kuin 0, pisteessä ja pisteessä ja suurin arvo yhtä kuin e² , kohdassa .

Esimerkki 7. Etsi funktion pienin ja suurin arvo segmentillä .

Päätös. Löydämme tämän funktion johdannaisen:

Yhdistä derivaatta nollaan:

Ainoa kriittinen piste kuuluu segmenttiin. Löytääksemme funktion pienimmän ja suurimman arvon tietyltä segmentiltä, ​​löydämme sen arvot segmentin päistä ja löydetystä kriittisestä pisteestä:

Johtopäätös: funktio saavuttaa minimiarvonsa, yhtä suuri kuin , pisteessä ja suurin arvo, yhtä suuri kuin , pisteessä .

Sovelletuissa äärimmäisissä ongelmissa pienimpien (suurimpien) funktioarvojen löytäminen on pääsääntöisesti vähennetty minimiin (maksimi). Mutta itse minimit tai maksimit eivät ole suurempaa käytännön mielenkiintoa, vaan argumentin arvot, joilla ne saavutetaan. Sovellettuja ongelmia ratkaistaessa syntyy lisävaikeus - funktioiden kokoaminen, jotka kuvaavat tarkasteltavaa ilmiötä tai prosessia.

Esimerkki 8 Säiliö, jonka tilavuus on 4 ja joka on suuntaissärmiön muotoinen neliömäisellä pohjalla ja ylhäältä avoin, on tinattava. Mitkä pitäisi olla säiliön mitat, jotta se peittyy mahdollisimman vähän materiaalia?

Päätös. Anna olla x- pohjapuoli h- säiliön korkeus, S- sen pinta-ala ilman kantta, V- sen tilavuus. Säiliön pinta-ala ilmaistaan ​​kaavalla, ts. on kahden muuttujan funktio. Ilmaista S yhden muuttujan funktiona käytämme sitä tosiasiaa, että mistä . Korvaa löydetyn lausekkeen h kaavaan S:

Tarkastellaan tätä funktiota ääripäälle. Se on määritelty ja differentioituva kaikkialla ]0:ssa, +∞[ , ja

.

Yhdistämme derivaatan nollaan () ja löydämme kriittisen pisteen. Lisäksi, kun derivaatta ei ole olemassa, mutta tämä arvo ei sisälly määritelmäalueeseen, eikä se siksi voi olla ääripiste. Joten, - ainoa kriittinen kohta. Tarkistetaan ääripään olemassaolo toisella riittävällä kriteerillä. Etsitään toinen derivaatta. Kun toinen derivaatta on suurempi kuin nolla (). Tämä tarkoittaa, että kun toiminto saavuttaa minimin . Koska tämä minimi - tämän funktion ainoa ääriarvo, se on sen pienin arvo. Joten säiliön pohjan sivun tulee olla 2 m ja sen korkeus.

Esimerkki 9 Kappaleesta A, joka sijaitsee rautatien varrella, pisteeseen Kanssa, kaukana siitä l, tavarat on kuljetettava. Painoyksikön kuljetuskustannus etäisyysyksikköä kohti rautateitse on yhtä suuri kuin ja maantiellä se on yhtä suuri kuin . Mihin pisteeseen M rautatie olisi pidettävä valtatie kuljettaa rahtia MUTTA sisään Kanssa oli edullisin AB rautatien oletetaan olevan suora)?