Suurin yhteinen jakaja ja pienin yhteinen kerrannainen ovat keskeisiä aritmeettisia käsitteitä, joiden avulla voit helposti käyttää tavallisia murtolukuja. LCM ja niitä käytetään useimmiten useiden murtolukujen yhteisen nimittäjän löytämiseen.

Peruskonseptit

Kokonaisluvun X jakaja on toinen kokonaisluku Y, jolla X on jaollinen ilman jäännöstä. Esimerkiksi luvun 4 jakaja on 2 ja 36 on 4, 6, 9. Kokonaisluvun X kerrannainen on luku Y, joka on jaollinen X:llä ilman jäännöstä. Esimerkiksi 3 on 15:n kerrannainen ja 6 on 12:n kerrannainen.

Jokaiselle lukuparille voimme löytää niiden yhteiset jakajat ja kerrannaiset. Esimerkiksi 6:lle ja 9:lle yhteinen kerrannainen on 18 ja yhteinen jakaja on 3. On selvää, että pareilla voi olla useita jakajia ja kerrannaisia, joten laskelmissa käytetään GCD:n suurinta jakajaa ja LCM:n pienintä kerrannaista. .

Pienimmällä jakajalla ei ole järkeä, koska mille tahansa numerolle se on aina yksi. Suurin kerrannainen on myös merkityksetön, koska kerrannaissekvenssillä on taipumus äärettömään.

GCD:n löytäminen

Suurimman yhteisen jakajan löytämiseen on monia menetelmiä, joista tunnetuimmat ovat:

• jakajien peräkkäinen luettelointi, yhteisten valitseminen parille ja suurimman etsiminen;
• lukujen hajottaminen jakamattomiksi tekijöiksi;
• Eukleideen algoritmi;
• binäärialgoritmi.

Nykyään oppilaitoksissa suosituimmat menetelmät hajottaa alkutekijöiksi ja euklidinen algoritmi. Jälkimmäistä puolestaan ​​​​käytetään diofantiiniyhtälöiden ratkaisemisessa: GCD-haku vaaditaan, jotta voidaan tarkistaa yhtälön mahdollisuus ratkaista se kokonaislukuina.

NOC:n löytäminen

Pienin yhteinen kerrannainen määräytyy myös täsmällisesti iteratiivisella numeraatiolla tai jakamattomiksi tekijöiksi jakamalla. Lisäksi LCM on helppo löytää, jos suurin jakaja on jo määritetty. Numeroille X ja Y LCM ja GCD liittyvät toisiinsa seuraavalla suhteella:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

Esimerkiksi jos gcd(15,18) = 3, niin LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. LCM:n ilmeisin käyttö on löytää yhteinen nimittäjä, joka on annettuja murtolukuja.

Koprime-luvut

Jos lukuparilla ei ole yhteisiä jakajia, niin tällaista paria kutsutaan koprimeksi. Tällaisten parien GCM on aina yhtä suuri kuin yksi, ja jakajien ja kerrannaisten yhdistämisen perusteella koprime:n GCM on yhtä suuri kuin niiden tulo. Esimerkiksi luvut 25 ja 28 ovat koprime, koska niillä ei ole yhteisiä jakajia, ja LCM(25, 28) = 700, mikä vastaa niiden tuloa. Mikä tahansa kaksi jakamatonta lukua on aina koprusiluku.

Yhteinen jakaja ja monilaskin

Laskimellamme voit laskea GCD:n ja LCM:n mille tahansa numeromäärälle. Tehtäviä yhteisten jakajien ja kerrannaisten laskentaan löytyy luokkien 5 ja 6 aritmetiikasta, mutta GCD ja LCM ovat matematiikan avainkäsitteitä ja niitä käytetään lukuteoriassa, planimetriassa ja kommunikatiivisessa algebrassa.

Esimerkkejä tosielämästä

Murtolukujen yhteinen nimittäjä

Pienintä yhteiskertaa käytetään etsittäessä useiden murtolukujen yhteinen nimittäjä. Oletetaan, että aritmeettisessa tehtävässä on summattava 5 murtolukua:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Murtolukujen lisäämiseksi lauseke on vähennettävä yhteiseksi nimittäjäksi, mikä vähentää LCM:n löytämisen ongelmaa. Voit tehdä tämän valitsemalla 5 numeroa laskimessa ja syöttämällä nimittäjän arvot asianmukaisiin soluihin. Ohjelma laskee LCM:n (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Nyt sinun on laskettava lisätekijät jokaiselle murtoluvulle, jotka määritellään LCM:n suhteeksi nimittäjään. Joten ylimääräiset kertoimet näyttäisivät tältä:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Sen jälkeen kerromme kaikki murtoluvut vastaavalla lisäkertoimella ja saamme:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Voimme helposti lisätä tällaiset murtoluvut ja saada tuloksen muodossa 159/360. Vähennämme murtolukua kolmella ja näemme lopullisen vastauksen - 53/120.

Lineaaristen diofantiiniyhtälöiden ratkaisu

Lineaariset diofantiiniyhtälöt ovat muotoa ax + by = d olevia lausekkeita. Jos suhde d / gcd(a, b) on kokonaisluku, yhtälö on ratkaistavissa kokonaislukuina. Tarkastetaan pari yhtälöä kokonaislukuratkaisun mahdollisuudesta. Tarkista ensin yhtälö 150x + 8y = 37. Laskimella saadaan gcd (150.8) = 2. Jako 37/2 = 18.5. Luku ei ole kokonaisluku, joten yhtälöllä ei ole kokonaislukujuuria.

Tarkastellaan yhtälöä 1320x + 1760y = 10120. Etsi laskimella gcd(1320, 1760) = 440. Jako 10120/440 = 23. Tuloksena saadaan kokonaisluku, joten Diofantiinikertoimen ratkaiseva kerroinluku .

Johtopäätös

GCD:llä ja LCM:llä on tärkeä rooli lukuteoriassa, ja itse käsitteitä käytetään laajasti matematiikan eri alueilla. Laskemme avulla minkä tahansa lukumäärän suurimmat jakajat ja pienimmät kerrannaiset.

Toinen numero: b=

Numeroiden erotin Ei välilyöntierotinta "

Tulos:

Suurin yhteinen jakaja gcd( a,b)=6

LCM( a,b)=468

Kutsutaan suurinta luonnollista lukua, jolla luvut a ja b ovat jaollisia ilman jäännöstä suurin yhteinen jakaja(gcd) näistä numeroista. Merkitään gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) tai hcf(a,b).

Vähiten yhteinen monikerta Kahden kokonaisluvun a ja b (LCM) on pienin luonnollinen luku, joka on jaollinen a:lla ja b:llä ilman jäännöstä. Merkitään LCM(a,b) tai lcm(a,b).

Kutsutaan kokonaislukuja a ja b koprime jos niillä ei ole muita yhteisiä jakajia kuin +1 ja −1.

Suurin yhteinen jakaja

Olkoon kaksi positiivista lukua a 1 ja a 2 1). Näille lukuille on löydettävä yhteinen jakaja, ts. löytää sellainen numero λ , joka jakaa luvut a 1 ja a 2 samaan aikaan. Kuvataan algoritmi.

1) Tässä artikkelissa sana numero tarkoittaa kokonaislukua.

Päästää a 1 ≥ a 2 ja anna

missä m 1 , a 3 ovat kokonaislukuja, a 3 <a 2 (loput divisioonasta a 1 päälle a 2 pitäisi olla vähemmän a 2).

Teeskennetäänpä sitä λ jakaa a 1 ja a 2 siis λ jakaa m 1 a 2 ja λ jakaa a 1 −m 1 a 2 =a 3 (väite 2 artikkelissa "Lukujen jaollisuus. Jaollisuuden merkki"). Tästä seuraa, että jokainen yhteinen jakaja a 1 ja a 2 on yhteinen jakaja a 2 ja a 3. Päinvastoin on myös totta, jos λ yhteinen jakaja a 2 ja a 3 siis m 1 a 2 ja a 1 =m 1 a 2 +a 3 on myös jaettu λ . Siksi yhteinen jakaja a 2 ja a 3 on myös yhteinen jakaja a 1 ja a 2. Koska a 3 <a 2 ≤a 1 , niin voimme sanoa, että ratkaisu numeroiden yhteisen jakajan löytämiseen a 1 ja a 2 pelkistetty yksinkertaisemmaksi ongelmaksi löytää lukujen yhteinen jakaja a 2 ja a 3 .

Jos a 3 ≠0, voimme jakaa a 2 päälle a 3. Sitten

,

missä m 1 ja a 4 ovat kokonaislukuja, ( a 4 jäljellä olevaa divisioonaa a 2 päälle a 3 (a 4 <a 3)). Samanlaisella päättelyllä tulemme siihen tulokseen, että lukujen yhteiset jakajat a 3 ja a 4 on sama kuin lukujen yhteiset jakajat a 2 ja a 3 , ja myös yhteisillä jakajilla a 1 ja a 2. Koska a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... lukuja, jotka pienenevät jatkuvasti, ja koska välillä on äärellinen määrä kokonaislukuja a 2 ja 0, sitten jossain vaiheessa n, divisioonan loppuosa a ei a n+1 on yhtä suuri kuin nolla ( a n+2=0).

.

Jokainen yhteinen jakaja λ numeroita a 1 ja a 2 on myös lukujen jakaja a 2 ja a 3 , a 3 ja a 4 , .... a n ja a n+1. Päinvastoin on myös totta, numeroiden yhteiset jakajat a n ja a n+1 ovat myös lukujen jakajia a n-1 ja a n , .... , a 2 ja a 3 , a 1 ja a 2. Mutta yhteinen jakaja a n ja a n+1 on luku a n+1, koska a n ja a n+1 ovat jaollisia a n+1 (muistakaa se a n+2=0). Näin ollen a n+1 on myös lukujen jakaja a 1 ja a 2 .

Huomaa, että numero a n+1 on suurin lukujakaja a n ja a n+1 , koska suurin jakaja a n+1 on itse a n+1. Jos a n + 1 voidaan esittää kokonaislukujen tulona, ​​jolloin nämä luvut ovat myös yleisiä lukujen jakajia a 1 ja a 2. Määrä a n+1 kutsutaan suurin yhteinen jakaja numeroita a 1 ja a 2 .

Numerot a 1 ja a 2 voi olla sekä positiivisia että negatiivisia lukuja. Jos yksi luvuista on nolla, niin näiden lukujen suurin yhteinen jakaja on yhtä suuri kuin toisen luvun itseisarvo. Nollalukujen suurinta yhteistä jakajaa ei ole määritelty.

Yllä olevaa algoritmia kutsutaan Eukleideen algoritmi löytääksesi kahden kokonaisluvun suurimman yhteisen jakajan.

Esimerkki kahden luvun suurimman yhteisen jakajan löytämisestä

Etsi kahden luvun 630 ja 434 suurin yhteinen jakaja.

• Vaihe 1. Jaa luku 630 434:llä. Jäännös on 196.
• Vaihe 2. Jaa luku 434 196:lla. Jäännös on 42.
• Vaihe 3. Jaa luku 196 42:lla. Jäännös on 28.
• Vaihe 4. Jaa luku 42 28:lla. Jäännös on 14.
• Vaihe 5. Jaa luku 28 14:llä. Jäännös on 0.

Vaiheessa 5 jaon jäännös on 0. Siksi lukujen 630 ja 434 suurin yhteinen jakaja on 14. Huomaa, että luvut 2 ja 7 ovat myös lukujen 630 ja 434 jakajia.

Koprime-luvut

Määritelmä 1. Olkoon lukujen suurin yhteinen jakaja a 1 ja a 2 on yhtä kuin yksi. Sitten näitä numeroita kutsutaan koprimilukuja joilla ei ole yhteistä jakajaa.

Lause 1. Jos a 1 ja a 2 suhteellisen alkulukua ja λ jokin luku, sitten mikä tahansa lukujen yhteinen jakaja λa 1 ja a 2 on myös lukujen yhteinen jakaja λ ja a 2 .

Todiste. Tarkastellaan Euklidesin algoritmia lukujen suurimman yhteisen jakajan löytämiseksi a 1 ja a 2 (katso yllä).

.

Lauseen ehdoista seuraa, että lukujen suurin yhteinen jakaja a 1 ja a 2, ja siksi a n ja a n+1 on 1. Eli. a n+1 = 1.

Kerrotaan kaikki nämä yhtäläisyydet λ , sitten

.

Olkoon yhteinen jakaja a 1 λ ja a 2 on δ . Sitten δ tulee sisään tekijänä a 1 λ , m 1 a 2 λ ja sisään a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (Katso "Lukujen jaotettavuus", lause 2). Edelleen δ tulee sisään tekijänä a 2 λ ja m 2 a 3 λ , ja siksi se tulee tekijänä a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Tällä tavalla päättelemällä olemme vakuuttuneita siitä δ tulee sisään tekijänä a n-1 λ ja m n-1 a n λ , ja siksi sisään a n-1 λ −m n-1 a n λ =a n+1 λ . Koska a n+1 = 1 siis δ tulee sisään tekijänä λ . Siksi numero δ on lukujen yhteinen jakaja λ ja a 2 .

Harkitse Lauseen 1 erikoistapauksia.

Seuraus 1. Päästää a ja c alkuluvut ovat suhteellisia b. Sitten heidän tuotteensa ac on alkuluku suhteessa b.

Todella. Lauseen 1 perusteella ac ja b niillä on samat yhteiset jakajat kuin c ja b. Mutta numerot c ja b koprime, ts. niillä on yksi yhteinen jakaja 1. Sitten ac ja b niillä on myös yksi yhteinen jakaja 1. Näin ollen ac ja b keskenään yksinkertaisia.

Seuraus 2. Päästää a ja b koalkilukuja ja anna b jakaa ak. Sitten b jakaa ja k.

Todella. Väiteehdon perusteella ak ja b niillä on yhteinen jakaja b. Lauseen 1 perusteella b on oltava yhteinen jakaja b ja k. Näin ollen b jakaa k.

Seuraus 1 voidaan yleistää.

Seuraus 3. 1. Olkoon numerot a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m ovat alkulukuja suhteessa numeroon b. Sitten a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m , näiden lukujen tulo on alkuluku suhteessa numeroon b.

2. Olkoon kaksi riviä numeroita

siten, että jokainen ensimmäisen rivin luku on alkuluku suhteessa jokaiseen toisen rivin numeroon. Sitten tuote

On löydettävä sellaiset luvut, jotka ovat jaollisia kullakin näistä luvuista.

Jos luku on jaollinen a 1, niin se näyttää siltä sa 1, missä s joku numero. Jos q on lukujen suurin yhteinen jakaja a 1 ja a 2 siis

missä s 1 on jokin kokonaisluku. Sitten

On lukujen pienin yhteinen monikerta a 1 ja a 2 .

a 1 ja a 2 koprime, sitten lukujen pienin yhteinen kerrannainen a 1 ja a 2:

Etsi näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen.

Edellä olevasta seuraa, että mikä tahansa lukujen monikerta a 1 , a 2 , a 3:n on oltava lukujen kerrannainen ε ja a 3 ja päinvastoin. Olkoon lukujen pienin yhteinen kerrannainen ε ja a 3 on ε yksi . Lisäksi lukujen monikerta a 1 , a 2 , a 3 , a 4:n on oltava lukujen kerrannainen ε 1 ja a neljä . Olkoon lukujen pienin yhteinen kerrannainen ε 1 ja a 4 on ε 2. Siten saimme selville, että kaikki lukujen kerrannaiset a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ovat yhden tietyn luvun kerrannaisten kanssa ε n , jota kutsutaan annettujen lukujen pienimmäksi yhteiseksi kerrannaiseksi.

Erityisessä tapauksessa, kun numerot a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m koprime, sitten lukujen pienin yhteinen kerrannainen a 1 , a 2, kuten yllä on esitetty, on muotoa (3). Lisäksi siitä lähtien a 3 alkuluku lukujen suhteen a 1 , a 2 siis a 3 on suhteellinen alkuluku a yksi · a 2 (Seuraus 1). Eli lukujen pienin yhteinen kerrannainen a 1 ,a 2 ,a 3 on luku a yksi · a 2 · a 3. Väittelemällä samalla tavalla pääsemme seuraaviin väitteisiin.

lausunto 1. Koprime-lukujen pienin yhteinen kerrannainen a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m on yhtä suuri kuin heidän tuotteensa a yksi · a 2 · a 3 ··· a m .

lausunto 2. Mikä tahansa luku, joka on jaollinen kullakin koprusiluvulla a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m on myös jaollinen niiden tulolla a yksi · a 2 · a 3 ··· a m .

Online-laskimen avulla voit nopeasti löytää kahden tai minkä tahansa muun luvun suurimman yhteisen jakajan ja pienimmän yhteisen kerrannaisen.

Laskin GCD:n ja NOC:n löytämiseksi

Etsi GCD ja NOC

GCD ja NOC löydetty: 5806

Kuinka käyttää laskinta

• Syötä numerot syöttökenttään
• Jos syötät vääriä merkkejä, syöttökenttä korostetaan punaisella
• paina painiketta "Etsi GCD ja NOC"

Kuinka syöttää numeroita

• Numerot syötetään välilyönnillä, pisteillä tai pilkuilla erotettuina
• Syötettyjen numeroiden pituutta ei ole rajoitettu, joten pitkien lukujen gcd:n ja lcm:n löytäminen ei ole vaikeaa

Mikä on NOD ja NOK?

Suurin yhteinen jakaja useista luvuista on suurin luonnollinen kokonaisluku, jolla kaikki alkuperäiset luvut ovat jaollisia ilman jäännöstä. Suurin yhteinen jakaja on lyhennetty GCD.
Vähiten yhteinen monikerta useita lukuja on pienin luku, joka on jaollinen kullakin alkuperäisellä luvulla ilman jäännöstä. Pienin yhteinen kerrannainen on lyhennetty NOC.

Kuinka tarkistaa, onko luku jaollinen toisella luvulla ilman jäännöstä?

Jos haluat selvittää, onko yksi luku jaollinen toisella ilman jäännöstä, voit käyttää joitain numeroiden jaollisuuden ominaisuuksia. Sitten niitä yhdistämällä voidaan tarkistaa joidenkin niistä ja niiden yhdistelmistä jaollisuus.

Joitakin numeroiden jaollisuuden merkkejä

1. Luvun jaollisuusmerkki kahdella
Sen määrittämiseksi, onko luku jaollinen kahdella (onko se parillinen), riittää, kun katsot tämän luvun viimeistä numeroa: jos se on 0, 2, 4, 6 tai 8, niin luku on parillinen, eli se on jaollinen kahdella.
Esimerkki: selvitä, onko luku 34938 jaollinen kahdella.
Ratkaisu: katso viimeistä numeroa: 8 tarkoittaa, että luku on jaollinen kahdella.

2. Luvun jaollisuuden merkki kolmella
Luku on jaollinen kolmella, kun sen numeroiden summa on jaollinen kolmella. Jotta voit määrittää, onko luku jaollinen kolmella, sinun on laskettava numeroiden summa ja tarkistettava, onko se jaollinen kolmella. Vaikka numeroiden summa osoittautuisi erittäin suureksi, voit toistaa saman prosessin uudelleen.
Esimerkki: selvitä, onko luku 34938 jaollinen kolmella.
Ratkaisu: lasketaan numeroiden summa: 3+4+9+3+8 = 27. 27 on jaollinen kolmella, mikä tarkoittaa, että luku on jaollinen kolmella.

3. Luvun jaollisuuden merkki 5:llä
Luku on jaollinen viidellä, kun sen viimeinen numero on nolla tai viisi.
Esimerkki: selvitä, onko luku 34938 jaollinen viidellä.
Ratkaisu: katso viimeistä numeroa: 8 tarkoittaa, että luku EI ole jaollinen viidellä.

4. Luvun jaollinen merkki 9:llä
Tämä merkki on hyvin samanlainen kuin kolmella jaollinen merkki: luku on jaollinen 9:llä, kun sen numeroiden summa on jaollinen 9:llä.
Esimerkki: määrittää, onko luku 34938 jaollinen 9:llä.
Ratkaisu: laskemme numeroiden summan: 3+4+9+3+8 = 27. 27 on jaollinen 9:llä, mikä tarkoittaa, että luku on jaollinen yhdeksällä.

Kuinka löytää kahden luvun GCD ja LCM

Kuinka löytää kahden luvun GCD

Yksinkertaisin tapa laskea kahden luvun suurin yhteinen jakaja on etsiä näiden lukujen kaikki mahdolliset jakajat ja valita niistä suurin.

Harkitse tätä menetelmää käyttämällä esimerkkiä GCD(28, 36) etsimisestä:

1. Jaamme molemmat luvut tekijöihin: 28 = 1 2 2 7, 36 = 1 2 2 3 3
2. Löydämme yhteiset tekijät, eli ne, jotka molemmilla luvuilla ovat: 1, 2 ja 2.
3. Laskemme näiden tekijöiden tulon: 1 2 2 \u003d 4 - tämä on lukujen 28 ja 36 suurin yhteinen jakaja.

Kuinka löytää kahden luvun LCM

On kaksi yleisintä tapaa löytää kahden luvun pienin kerrannainen. Ensimmäinen tapa on kirjoittaa kahden luvun ensimmäiset kerrannaiset ja sitten valita niistä sellainen luku, joka on yhteinen molemmille luvuille ja samalla pienin. Ja toinen on löytää näiden numeroiden GCD. Mietitäänpä sitä.

LCM:n laskemiseksi sinun on laskettava alkuperäisten lukujen tulo ja jaettava se sitten aiemmin löydetyllä GCD:llä. Etsitään LCM samoille numeroille 28 ja 36:

1. Etsi lukujen 28 ja 36 tulo: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) tiedetään jo olevan 4
3. LCM(28, 36) = 1008/4 = 252 .

GCD:n ja LCM:n etsiminen useille numeroille

Suurin yhteinen jakaja löytyy useille luvuille, ei vain kahdelle. Tätä varten suurimman yhteisen jakajan etsittävät luvut jaetaan alkutekijöiksi, jolloin löydetään näiden lukujen yhteisten alkutekijöiden tulo. Voit myös löytää useiden numeroiden GCD:n käyttämällä seuraavaa suhdetta: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Samanlainen suhde pätee myös lukujen pienimpään yhteiseen kerrannaiseen: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Esimerkki: etsi GCD ja LCM numeroille 12, 32 ja 36.

1. Ensin kerrotaan luvut: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Etsitään yhteiset tekijät: 1, 2 ja 2 .
3. Heidän tuotteensa antaa gcd:n: 1 2 2 = 4
4. Etsitään nyt LCM: tätä varten löydämme ensin LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Löytääksesi kaikkien kolmen luvun LCM:n, sinun on löydettävä GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, GCD = 1 2. 2 3 = 12.
6. LCM(12; 32; 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Kahden luvun pienin yhteinen kerrannainen liittyy suoraan näiden lukujen suurimpaan yhteiseen jakajaan. Tämä yhteys GCD:n ja NOC:n välillä määritellään seuraavalla lauseella.

Lause.

Kahden positiivisen kokonaisluvun a ja b pienin yhteinen kerrannainen on yhtä suuri kuin a:n ja b:n tulo jaettuna a:n ja b:n suurimmalla yhteisellä jakajalla, eli LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).

Todiste.

Päästää M on jokin lukujen a ja b monikerta. Eli M on jaollinen a:lla ja jaollisuuden määritelmän mukaan on olemassa jokin kokonaisluku k, jolla yhtälö M=a·k on tosi. Mutta M on myös jaollinen b:llä, silloin a k on jaollinen b:llä.

Merkitse gcd(a, b) muodossa d . Sitten voidaan kirjoittaa yhtälöt a=a 1 ·d ja b=b 1 ·d, ja a 1 =a:d ja b 1 =b:d ovat koprime-lukuja. Siksi edellisessä kappaleessa saatu ehto, että a k on jaollinen b:llä, voidaan muotoilla uudelleen seuraavasti: a 1 d k on jaollinen b 1 d:llä, ja tämä on jaollisuuden ominaisuuksien vuoksi ekvivalentti ehdon kanssa, että a 1 k on jaollinen b:llä yhdellä.

Meidän on myös kirjoitettava kaksi tärkeää seurausta tarkastelusta lauseesta.

Kahden luvun yhteiset kerrannaiset ovat samat kuin niiden pienimmän yhteisen kerrannaiset.

Tämä on totta, koska mikä tahansa M luvun a ja b yhteinen kerrannainen määritellään yhtälöllä M=LCM(a, b) t jollekin kokonaislukuarvolle t .

Positiivisten koprimelukujen a ja b pienin yhteinen kerrannainen on yhtä suuri kuin niiden tulo.

Syy tälle tosiasialle on varsin ilmeinen. Koska a ja b ovat koprime, niin gcd(a, b)=1, joten LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Kolmen tai useamman luvun pienin yhteinen kerrannainen

Kolmen tai useamman luvun pienimmän yhteisen kerrannaisen löytäminen voidaan vähentää kahden luvun LCM:n peräkkäiseen löytämiseen. Kuinka tämä tehdään, esitetään seuraavassa lauseessa: a 1 , a 2 , …, a k ovat yhtäpitäviä lukujen m k-1 yhteisten kerrannaisten kanssa ja a k ovat siis yhtäpitäviä luvun m k kerrannaisten kanssa. Ja koska luvun m k pienin positiivinen kerrannainen on itse luku m k, niin lukujen a 1 , a 2 , …, a k pienin yhteinen kerrannainen on m k .

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. jne. Matematiikka. Luokka 6: oppikirja oppilaitoksille.
• Vinogradov I.M. Lukuteorian perusteet.
• Mikhelovich Sh.Kh. Numeroteoria.
• Kulikov L.Ya. ja muut Algebran ja lukuteorian tehtäväkokoelma: Oppikirja fiz.-matin opiskelijoille. pedagogisten laitosten erikoisaloja.

Ymmärtääksesi kuinka LCM lasketaan, sinun on ensin määritettävä termin "useita" merkitys.

A:n kerrannainen on luonnollinen luku, joka on jaollinen A:lla ilman jäännöstä, joten lukuja 15, 20, 25 ja niin edelleen voidaan pitää luvun 5 kerrannaisina.

Tietyn luvun jakajia voi olla rajallinen määrä, mutta kerrannaisia ​​on ääretön määrä.

Luonnollisten lukujen yhteinen kerrannainen on luku, joka on jaollinen niillä ilman jäännöstä.

Kuinka löytää lukujen pienin yhteinen kerrannainen

Lukujen pienin yhteiskerroin (LCM) (kaksi, kolme tai enemmän) on pienin luonnollinen luku, joka on tasaisesti jaollinen kaikilla näillä luvuilla.

NOC:n löytämiseksi voit käyttää useita menetelmiä.

Pienille luvuille on kätevää kirjoittaa riville kaikki näiden lukujen kerrannaiset, kunnes niiden joukosta löytyy yhteinen. Kertoimet merkitään tietueessa isolla K-kirjaimella.

Esimerkiksi neljän kerrannaiset voidaan kirjoittaa näin:

K(4) = (8, 12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Joten voit nähdä, että lukujen 4 ja 6 pienin yhteinen kerrannainen on luku 24. Tämä syöttö suoritetaan seuraavasti:

LCM(4, 6) = 24

Jos luvut ovat suuria, etsi kolmen tai useamman luvun yhteinen kerrannainen, niin on parempi käyttää toista tapaa laskea LCM.

Tehtävän suorittamiseksi on tarpeen jakaa ehdotetut luvut alkutekijöiksi.

Ensin sinun on kirjoitettava rivin suurimman numeron laajennus ja sen alle - loput.

Kunkin luvun laajentamisessa voi olla erilainen määrä tekijöitä.

Otetaan esimerkiksi luvut 50 ja 20 alkutekijöihin.

Pienemmän luvun hajotessa tulee alleviivata tekijät, jotka puuttuvat ensimmäisen suurimman luvun hajotuksesta, ja sitten lisätä ne siihen. Esitetyssä esimerkissä kakkonen puuttuu.

Nyt voimme laskea 20:n ja 50:n pienimmän yhteisen kerrannaisen.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Näin ollen suuremman luvun alkutekijöiden ja toisen luvun tekijöiden tulo, jotka eivät sisälly suuremman luvun hajotukseen, on pienin yhteinen kerrannainen.

Kolmen tai useamman luvun LCM:n löytämiseksi kaikki ne tulee hajottaa alkutekijöiksi, kuten edellisessä tapauksessa.

Esimerkkinä voit löytää lukujen 16, 24, 36 pienimmän yhteisen kerrannaisen.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Joten vain kaksi kakkosta luvun kuusitoista (yksi on kahdenkymmenenneljän hajotuksessa) ei päässyt suuremman luvun tekijöihin.

Siksi ne on lisättävä suuremman luvun hajotukseen.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Pienimmän yhteisen kerrannaisen määrittämisessä on erityistapauksia. Joten jos yksi luvuista voidaan jakaa ilman jäännöstä toisella, niin suurempi näistä luvuista on pienin yhteinen kerrannainen.

Esimerkiksi kahdentoista ja kahdenkymmenenneljän NOC:t olisivat kaksikymmentäneljä.

Jos on tarpeen löytää pienin yhteinen kerrannainen koprime-luvuista, joilla ei ole samoja jakajia, niiden LCM on yhtä suuri kuin niiden tulo.

Esimerkiksi LCM(10, 11) = 110.