Oppitunti ja esitys aiheesta: "Eksponentiaaliset yhtälöt ja eksponentiaaliset epäyhtälöt"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, palautetta, ehdotuksia! Kaikki materiaalit tarkistetaan virustorjuntaohjelmalla.

Opetusvälineet ja simulaattorit verkkokaupassa "Integral" luokalle 11
Interaktiivinen käsikirja luokille 9-11 "Trigonometria"
Interaktiivinen opas luokille 10-11 "Logaritmit"

Eksponentiaalisten yhtälöiden määritelmä

Kaverit, tutkimme eksponentiaalisia funktioita, opimme niiden ominaisuuksia ja rakensimme kaavioita, analysoimme esimerkkejä yhtälöistä, joissa eksponentiaalisia funktioita kohtasi. Tänään tutkimme eksponentiaaliyhtälöitä ja epäyhtälöitä.

Määritelmä. Yhtälöt muotoa: $a^(f(x))=a^(g(x))$, missä $a>0$, $a≠1$ kutsutaan eksponentiaaliyhtälöiksi.

Muistaen lauseet, joita tutkimme aiheessa "Eksponenttifunktio", voimme ottaa käyttöön uuden lauseen:
Lause. Eksponenttiyhtälö $a^(f(x))=a^(g(x))$, missä $a>0$, $a≠1$ vastaa yhtälöä $f(x)=g(x) $.

Esimerkkejä eksponentiaalisista yhtälöistä

Esimerkki.
Ratkaise yhtälöt:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Ratkaisu.
a) Tiedämme hyvin, että $27=3^3$.
Kirjoitetaan yhtälömme uudelleen: $3^(3x-3)=3^3$.
Yllä olevaa lausetta käyttämällä saadaan, että yhtälömme pelkistyy yhtälöön $3x-3=3$, ratkaisemalla tämän yhtälön saamme $x=2$.
Vastaus: $x=2$.

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Sitten yhtälömme voidaan kirjoittaa uudelleen: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5 ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2x+0,2 = $0,2.
$x = 0 $.
Vastaus: $x=0$.

C) Alkuperäinen yhtälö vastaa yhtälöä: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ ja $x_2=-3$.
Vastaus: $x_1=6$ ja $x_2=-3$.

Esimerkki.
Ratkaise yhtälö: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
Ratkaisu:
Suoritamme peräkkäin joukon toimintoja ja saatamme yhtälömme molemmat osat samoihin perusteisiin.
Suoritetaan sarja operaatioita vasemmalla puolella:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Jatketaan oikealle puolelle:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) 16 $*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Alkuperäinen yhtälö vastaa yhtälöä:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x = 0 $.
Vastaus: $x=0$.

Esimerkki.
Ratkaise yhtälö: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Ratkaisu:
Kirjoitetaan yhtälömme uudelleen: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Tehdään muuttujien muutos, olkoon $a=3^x$.
Uusissa muuttujissa yhtälö on muodossa: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ ja $a_2=3$.
Suoritetaan muuttujien käänteinen muutos: $3^x=-12$ ja $3^x=3$.
Viimeisellä oppitunnilla opimme, että eksponentiaaliset lausekkeet voivat ottaa vain positiivisia arvoja, muista kaavio. Tämä tarkoittaa, että ensimmäisellä yhtälöllä ei ole ratkaisuja, toisella yhtälöllä on yksi ratkaisu: $x=1$.
Vastaus: $x=1$.

Tehdään muistio tavoista ratkaista eksponentiaaliyhtälöitä:
1. Graafinen menetelmä. Esitämme yhtälön molemmat osat funktioina ja rakennamme niiden graafit, etsimme kuvaajien leikkauspisteet. (Käytimme tätä menetelmää viimeisellä oppitunnilla).
2. Indikaattorien tasa-arvon periaate. Periaate perustuu siihen, että kaksi lauseketta, joilla on sama kanta, ovat yhtä suuret, jos ja vain, jos näiden kantojen asteet (eksponentit) ovat yhtä suuret. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Muuttujien menetelmän muutos. Tätä menetelmää tulisi käyttää, jos yhtälö yksinkertaistaa muotoaan muuttujia muutettaessa ja on paljon helpompi ratkaista.

Esimerkki.
Ratkaise yhtälöjärjestelmä: $\begin (tapaukset) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end(cases)$.
Ratkaisu.
Tarkastellaan molempia järjestelmän yhtälöitä erikseen:
27 $^y*3^x=1$.
$3^(3v)*3^x=3^0$.
$3^(3v+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Harkitse toista yhtälöä:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Käytetään muuttujien muutosmenetelmää, olkoon $y=2^(x+y)$.
Sitten yhtälö saa muodon:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ ja $y_2=-3$.
Siirrytään alkumuuttujiin, ensimmäisestä yhtälöstä saadaan $x+y=2$. Toisella yhtälöllä ei ole ratkaisuja. Tällöin alkuperäinen yhtälöjärjestelmämme vastaa järjestelmää: $\begin (tapaukset) x+3y=0, \\ x+y=2. \end(cases)$.
Vähennä toinen yhtälö ensimmäisestä yhtälöstä, saamme: $\begin (tapaukset) 2y=-2, \\ x+y=2. \end(cases)$.
$\begin (tapaukset) y=-1, \\ x=3. \end(cases)$.
Vastaus: $(3;-1)$.

eksponentiaaliset epätasa-arvot

Jatketaan eriarvoisuutta. Eriarvoisuuksia ratkaistaessa on huomioitava tutkinnon perusta. Tapahtumien kehittymiselle on kaksi mahdollista skenaariota epätasa-arvoa ratkaistaessa.

Lause. Jos $a>1$, niin eksponentiaalinen epäyhtälö $a^(f(x))>a^(g(x))$ vastaa epäyhtälöä $f(x)>g(x)$.
Jos 0 dollaria a^(g(x))$ vastaa $f(x)

Esimerkki.
Ratkaise epäyhtälöt:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Ratkaisu.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Epätasa-arvomme vastaa eriarvoisuutta:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5 $.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Yhtälössämme kanta, jolla on aste pienempi kuin 1, silloin kun epäyhtälö korvataan vastaavalla, on etumerkki vaihdettava.
$2x-4>2$.
$x>3 $.

C) Epätasa-arvomme vastaa eriarvoisuutta:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0 $.
Käytetään intervalliratkaisumenetelmää:
Vastaus: $(-∞;-5]U \ \

Vastaus: $(-4,6)$.

Esimerkki 2

Ratkaise yhtälöjärjestelmä

Kuva 3

Ratkaisu.

Tämä järjestelmä vastaa järjestelmää

Kuva 4

Käytämme neljättä menetelmää yhtälöiden ratkaisemiseen. Olkoon $2^x=u\ (u >0)$ ja $3^y=v\ (v >0)$, saamme:

Kuva 5

Ratkaisemme tuloksena olevan järjestelmän summausmenetelmällä. Lisätään yhtälöt:

\ \

Sitten toisesta yhtälöstä saamme sen

Palatakseni korvaukseen, sain uuden eksponentiaaliyhtälöjärjestelmän:

Kuva 6

Saamme:

Kuva 7

Vastaus: $(0,1)$.

Eksponentiaalisten epäyhtälöiden järjestelmät

Määritelmä 2

Eksponentiaalisista yhtälöistä koostuvia epäyhtälöjärjestelmiä kutsutaan eksponentiaalisten epäyhtälöiden järjestelmäksi.

Tarkastellaan eksponentiaalisten epäyhtälöiden järjestelmien ratkaisua esimerkkien avulla.

Esimerkki 3

Ratkaise epäyhtälöjärjestelmä

Kuva 8

Ratkaisu:

Tämä epätasa-arvojärjestelmä vastaa järjestelmää

Kuva 9

Ensimmäisen epäyhtälön ratkaisemiseksi muista seuraava ekvivalenssilause eksponentiaalisille epäyhtälöille:

Lause 1. Epäyhtälö $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, jossa $a >0,a\ne 1$ vastaa kahden järjestelmän joukkoa

\}