Mitä sinun tulee tietää epätasa-arvokuvakkeista? Ikonien epätasa-arvo lisää (> ), tai Vähemmän (< ) kutsutaan tiukka. Ikonien kanssa enemmän tai yhtä paljon (≥ ), pienempi tai yhtä suuri (≤ ) kutsutaan ei-tiukka. Kuvake ei tasa-arvoinen (≠ ) on yksinään, mutta sinun on myös ratkaistava esimerkkejä tällaisella kuvakkeella koko ajan. Ja teemme.)

Itse kuvakkeella ei ole paljon vaikutusta ratkaisuprosessiin. Mutta ratkaisun lopussa, kun valitset lopullista vastausta, kuvakkeen merkitys näkyy täysillä! Kuten alla, esimerkeissä näemme. On joitain vitsejä...

Epätasa-arvo, kuten tasa-arvo, on uskollinen ja uskoton. Täällä kaikki on yksinkertaista, ilman temppuja. Sanotaanko 5 > 2 on oikea epätasa-arvo. 5 < 2 on väärin.

Tällainen valmistautuminen toimii epätasa-arvoa vastaan Millainen tahansa ja yksinkertaista kauhuun.) Sinun tarvitsee vain suorittaa kaksi (vain kaksi!) perustoimintoa oikein. Nämä toimet ovat tuttuja kaikille. Mutta mikä on tyypillistä, jambit näissä toimissa ovat suurin virhe eriarvoisuuksien ratkaisemisessa, kyllä ​​... Siksi nämä toimet on toistettava. Näitä toimia kutsutaan seuraavasti:

Eriarvoisuuksien identiteettimuunnokset.

Epäyhtälöiden identiteettimuunnokset ovat hyvin samanlaisia ​​kuin yhtälöiden identiteettimuunnokset. Itse asiassa tämä on suurin ongelma. Erot lipsahtaa ohi ja ... saapui.) Siksi korostan näitä eroja erityisesti. Joten, ensimmäinen identtinen epätasa-arvomuunnos:

1. Sama luku tai lauseke voidaan lisätä (vähentää) epäyhtälön molempiin osiin. Minkä tahansa. Epätasa-arvomerkki ei muutu.

Käytännössä tätä sääntöä sovelletaan termien siirtona epäyhtälön vasemmalta puolelta oikealle (ja päinvastoin) etumerkin muutoksella. Termin merkin muutoksella, ei epätasa-arvolla! Yksi-yhteen-sääntö on sama kuin yhtälöiden sääntö. Mutta seuraavat identtiset muunnokset epäyhtälöissä eroavat merkittävästi yhtälöiden muutoksista. Joten korostan ne punaisella:

2. Epäyhtälön molemmat osat voidaan kertoa (jakaa) samallapositiivinenmäärä. Mille tahansapositiivinen Ei muutu.

3. Epäyhtälön molemmat osat voidaan kertoa (jakaa) samallanegatiivinen määrä. Mille tahansanegatiivinenmäärä. Epätasa-arvomerkki tästämuuttuu päinvastaiseksi.

Muistat (toivottavasti...), että yhtälö voidaan kertoa/jakaa millä tahansa. Ja mille tahansa numerolle ja lausekkeelle, jossa on x. Kunhan se ei ole nolla. Hän, yhtälö, ei ole kuuma eikä kylmä tästä.) Se ei muutu. Mutta eriarvoisuudet ovat herkempiä kerto-/jakolaskulle.

Hyvä esimerkki pitkästä muistista. Kirjoitamme epätasa-arvon, joka ei aiheuta epäilyksiä:

5 > 2

Kerro molemmat puolet +3, saamme:

15 > 6

Onko vastalauseita? Ei ole vastalauseita.) Ja jos kerromme alkuperäisen epäyhtälön molemmat osat luvulla -3, saamme:

15 > -6

Ja tämä on suora valhe.) Täysi valhe! Ihmisten huijaaminen! Mutta heti kun eriarvoisuusmerkki käännetään, kaikki loksahtaa paikoilleen:

15 < -6

Valheista ja petoksesta - en vain vanno.) "Unohdin vaihtaa eriarvoisuusmerkkiä..."- Tämä on Koti virhe epäyhtälöiden ratkaisemisessa. Tämä vähäpätöinen ja mutkaton sääntö on satuttanut niin monia ihmisiä! Jotka ovat unohtaneet ...) Joten vannon. Ehkä muistaa...)

Erityisen tarkkaavaiset huomaavat, että eriarvoisuutta ei voi kertoa lausekkeella x:llä. Kunnioita tarkkaavainen!) Ja miksi ei? Vastaus on yksinkertainen. Emme tunne tämän lausekkeen merkkiä x:llä. Se voi olla positiivinen, negatiivinen... Siksi emme tiedä mitä epäyhtälömerkkiä laitetaan kertolaskujen jälkeen. Muuttaako vai ei? Tuntematon. Tietenkin tämä rajoitus (kielto kertoa / jakaa epäyhtälö lausekkeella x:llä) voidaan ohittaa. Jos todella tarvitset sitä. Mutta tämä on muiden oppituntien aihe.

Se on kaikki identtisiä eriarvoisuuksien muunnoksia. Muistutan vielä kerran, että he työskentelevät minkä tahansa epätasa-arvoa. Ja nyt voit siirtyä tiettyihin tyyppeihin.

Lineaariset epäyhtälöt. Ratkaisu, esimerkkejä.

Lineaarisia epäyhtälöitä kutsutaan epäyhtälöiksi, joissa x on ensimmäisessä asteessa eikä x:llä ole jakoa. Tyyppi:

x+3 > 5x-5

Miten nämä eriarvoisuudet ratkaistaan? Ne on erittäin helppo ratkaista! Nimittäin: avulla vähennämme hämmentyneintä lineaarista epätasa-arvoa suoraan vastaukseen. Siinä koko ratkaisu. Korostan ratkaisun pääkohdat. Tyhmien virheiden välttämiseksi.)

Ratkaisemme tämän epätasa-arvon:

x+3 > 5x-5

Ratkaisemme samalla tavalla kuin lineaarinen yhtälö. Ainoalla erolla:

Kiinnitä huomiota eriarvoisuusmerkkiin!

Ensimmäinen vaihe on yleisin. Kun x - vasemmalle, ilman x - oikealle ... Tämä on ensimmäinen identtinen muunnos, yksinkertainen ja ongelmaton.) Älä vain unohda muuttaa siirrettyjen jäsenten merkkejä.

Epätasa-arvomerkki säilyy:

x-5x > -5-3

Esittelemme samanlaisia.

Epätasa-arvomerkki säilyy:

4x > -8

Jäljelle jää viimeinen identtinen muunnos: jaa molemmat osat -4:llä.

Jaettuna negatiivinen määrä.

Epätasa-arvomerkki käännetään:

X < 2

Tämä on vastaus.

Näin kaikki lineaariset epäyhtälöt ratkaistaan.

Huomio! Piste 2 on piirretty valkoiseksi, ts. maalaamaton. Tyhjä sisältä. Tämä tarkoittaa, että hän ei ole mukana vastauksessa! Piirsin hänet niin terveenä tarkoituksella. Tällaista pistettä (tyhjä, ei terve!)) matematiikassa kutsutaan lyöty kohta.

Loput numerot akselilla voidaan merkitä, mutta ei välttämättömiä. Vieraat luvut, jotka eivät liity meidän epätasa-arvoomme, voivat olla hämmentäviä, kyllä... Pitää vain muistaa, että lukujen kasvu menee nuolen suuntaan, ts. numerot 3, 4, 5 jne. ovat oikealle kakkoset ja luvut 1, 0, -1 jne. - vasemmalle.

Epätasa-arvo x < 2 - tiukka. X on ehdottomasti pienempi kuin kaksi. Jos olet epävarma, tarkistus on yksinkertainen. Korvaamme epätasa-arvon epäilyttävän luvun ja ajattelemme: "Kaksi on vähemmän kuin kaksi? Ei tietenkään!" Tarkalleen. Epätasa-arvo 2 < 2 väärä. Deuce ei ole hyvä vastaus.

Riittääkö yksittäinen? Tietysti. Vähemmän ... Ja nolla on hyvä, ja -17 ja 0,34 ... Kyllä, kaikki luvut, jotka ovat pienempiä kuin kaksi, ovat hyviä! Ja jopa 1,9999 .... Ainakin vähän, mutta vähemmän!

Joten merkitsemme kaikki nämä numerot numeroakselille. Miten? Tässä on vaihtoehtoja. Ensimmäinen vaihtoehto on kuoriutuminen. Viemme hiiren kuvan päälle (tai kosketamme kuvaa tabletilla) ja näemme, että x-ehtoa vastaavien pallojen alue on varjostettu. < 2 . Siinä kaikki.

Tarkastellaan toista vaihtoehtoa toisessa esimerkissä:

X ≥ -0,5

Piirrä akseli, merkitse numero -0,5. Kuten tämä:

Huomasitko eron?) No, kyllä, on vaikea olla huomaamatta... Tämä piste on musta! Maalattu päälle. Tämä tarkoittaa, että -0,5 mukana vastauksessa. Täällä muuten, tarkistaa ja hämmentää jotakuta. Korvaamme:

-0,5 ≥ -0,5

Kuinka niin? -0,5 ei ole muuta kuin -0,5! Siellä on lisää kuvakkeita...

Se on okei. Ei-tiukassa epätasa-arvossa kaikki, mikä sopii kuvakkeeseen, sopii. Ja on yhtä suuri sopii ja lisää hyvä. Siksi -0,5 sisältyy vastaukseen.

Joten merkitsimme akselille -0,5, jää merkitä kaikki luvut, jotka ovat suurempia kuin -0,5. Tällä kertaa merkitsen sopivien x-arvojen alueen kahle(sanasta kaari) kuoriutumisen sijaan. Vie hiiri kuvan päälle ja katso tämä jousi.

Kuoriutumisen ja kaarien välillä ei ole erityistä eroa. Tee kuten opettaja sanoo. Jos opettajaa ei ole, vedä kädet. Monimutkaisemmissa tehtävissä kuoriutuminen on vähemmän ilmeistä. Voit hämmentyä.

Näin lineaariset epäyhtälöt piirretään akselille. Siirrymme seuraavaan epätasa-arvoon.

Kirjoita vastaus eriarvoisuuksiin.

Se oli hyvä yhtälöissä.) Löysimme x:n ja kirjoitimme vastauksen, esimerkiksi: x \u003d 3. Eriarvoisuuksissa vastausten kirjoittamiseen on kaksi muotoa. Yksi - lopullisen epätasa-arvon muodossa. Sopii yksinkertaisiin tapauksiin. Esimerkiksi:

X< 2.

Tämä on täydellinen vastaus.

Joskus on kirjoitettava sama asia, mutta eri muodossa, numeeristen aukkojen kautta. Sitten kirjoitus alkaa näyttää hyvin tieteelliseltä):

x ∈ (-∞; 2)

-kuvakkeen alla ∈ salaa sanaa "kuuluu".

Kirjoitus kuuluu näin: x kuuluu väliin miinus äärettömästä kahteen ei sisällä. Ihan loogista. X voi olla mikä tahansa luku kaikista mahdollisista luvuista miinus äärettömästä kahteen. Double X ei voi olla, minkä sana kertoo meille "ei sisällä".

Missä se vastaus on "ei sisällä"? Tämä tosiasia mainitaan vastauksessa. pyöristää suluissa heti kakkosen jälkeen. Jos kakkonen otettaisiin mukaan, sulkumerkit olisivat neliö. Tässä se on: ]. Seuraava esimerkki käyttää tällaista kiinnikettä.

Kirjoita vastaus muistiin: x ≥ -0,5 väliajoin:

x ∈ [-0,5; +∞)

Lukee: x kuuluu väliin miinus 0,5, mukaan lukien, plus äärettömyyteen asti.

Infinity ei voi koskaan käynnistyä. Se ei ole numero, se on symboli. Siksi tällaisissa merkinnöissä ääretön esiintyy aina suluissa.

Tämä tallennusmuoto on kätevä monimutkaisille vastauksille, joissa on useita aukkoja. Mutta - vain lopullisia vastauksia varten. Välituloksissa, joissa odotetaan lisäratkaisua, on parempi käyttää tavallista muotoa, yksinkertaisen epäyhtälön muodossa. Käsittelemme tätä asiaan liittyvissä aiheissa.

Suosittuja tehtäviä, joissa on eriarvoisuutta.

Itse lineaariset epäyhtälöt ovat yksinkertaisia. Siksi tehtävät muuttuvat usein vaikeammiksi. Joten ajatella, että se oli välttämätöntä. Tämä, jos tottumuksesta, ei ole kovin miellyttävää.) Mutta se on hyödyllistä. Näytän esimerkkejä tällaisista tehtävistä. Sinun ei tarvitse oppia niitä, se on tarpeetonta. Ja jotta ei pelkää, kun tapaat samanlaisia ​​esimerkkejä. Pieni ajatus - ja kaikki on yksinkertaista!)

1. Etsi mitkä tahansa kaksi ratkaisua epäyhtälölle 3x - 3< 0

Jos ei ole kovin selvää mitä tehdä, muista matematiikan pääsääntö:

Jos et tiedä mitä tehdä, tee mitä voit!

X < 1

Mitä sitten? Ei mitään erityistä. Mitä meiltä kysytään? Meitä pyydetään löytämään kaksi tiettyä lukua, jotka ovat ratkaisu eriarvoisuuteen. Nuo. sopii vastaukseen. Kaksi minkä tahansa numeroita. Itse asiassa tämä on noloa.) Pari 0 ja 0,5 ovat sopivia. Pari -3 ja -8. Kyllä, näitä pareja on ääretön määrä! Mikä on oikea vastaus?!

Vastaan: kaikki! Mikä tahansa lukupari, joista jokainen on pienempi kuin yksi, olisi oikea vastaus. Kirjoita mitä haluat. Mennään pidemmälle.

2. Ratkaise epäyhtälö:

4x-3 ≠ 0

Tällaiset työt ovat harvinaisia. Mutta apuepäyhtälöinä niitä kohdataan koko ajan esimerkiksi ODZ:tä löydettäessä tai funktion aluetta löydettäessä. Tällainen lineaarinen epäyhtälö voidaan ratkaista tavallisena lineaarisena yhtälönä. Vain kaikkialla paitsi "="-merkkiä ( on yhtä suuri) laita merkki " ≠ " (ei tasa-arvoinen). Joten tulet vastaukseen, jossa on eriarvoisuusmerkki:

X ≠ 0,75

Monimutkaisemmissa esimerkeissä on parempi tehdä asiat toisin. Tee eriarvoisuudesta tasa-arvoinen. Kuten tämä:

4x-3 = 0

Ratkaise se rauhallisesti opetetulla tavalla ja saat vastauksen:

x = 0,75

Pääasia, aivan lopussa, kun kirjoitat lopullista vastausta, on muistaa, että olemme löytäneet x, joka antaa tasa-arvo. Ja me tarvitsemme - eriarvoisuutta. Siksi emme vain tarvitse tätä X.) Ja meidän on kirjoitettava se ylös oikealla kuvakkeella:

X ≠ 0,75

Tämä lähestymistapa johtaa vähemmän virheisiin. Ne, jotka ratkaisevat yhtälöitä koneella. Ja niille, jotka eivät ratkaise yhtälöitä, epätasa-arvot ovat itse asiassa hyödyttömiä ...) Toinen esimerkki suositusta tehtävästä:

3. Etsi epäyhtälön pienin kokonaislukuratkaisu:

3 (x - 1) < 5x + 9

Ensin yksinkertaisesti ratkaisemme eriarvoisuuden. Avaamme sulut, siirrämme, annamme samanlaisia ​​... Saamme:

X > - 6

Eikö se tapahtunut!? Seurasitko merkkejä? Ja jäsenten merkkien takana ja eriarvoisuuden merkin takana ...

Kuvitellaanpa taas. Meidän on löydettävä tietty luku, joka vastaa sekä vastausta että ehtoa "pienin kokonaisluku". Jos se ei heti valkenee, voit ottaa minkä tahansa numeron ja selvittää sen. Onko kaksi suurempi kuin miinus kuusi? Tietysti! Onko sopivaa pienempi numero? Tietysti. Esimerkiksi nolla on suurempi kuin -6. Ja vielä vähemmän? Tarvitsemme pienimmän mahdollisen! Miinus kolme on enemmän kuin miinus kuusi! Voit jo saada kuvion kiinni ja lopettaa typerän numeroiden lajittelun, eikö?)

Otetaan luku lähempänä -6:ta. Esimerkiksi -5. Vastaus suoritettu, -5 > - 6. Löydätkö toisen luvun, joka on pienempi kuin -5 mutta suurempi kuin -6? Voit esimerkiksi -5,5 ... Lopeta! Meille on kerrottu koko ratkaisu! Ei rullaa -5,5! Entä miinus kuusi? Eee! Epäyhtälö on tiukka, miinus 6 ei ole pienempi kuin miinus 6!

Oikea vastaus on siis -5.

Toivon, että kaikki on selvää arvon valinnassa yleisestä ratkaisusta. Toinen esimerkki:

4. Ratkaise epäyhtälö:

7 < 3x+1 < 13

Miten! Sellaista ilmaisua kutsutaan kolminkertainen eriarvoisuus. Tarkkaan ottaen tämä on lyhennetty merkintä epätasa-arvojärjestelmästä. Mutta sinun on silti ratkaistava tällaiset kolminkertaiset epätasa-arvot joissakin tehtävissä ... Se ratkaistaan ​​ilman järjestelmiä. Samoilla identtisillä muunnoksilla.

On tarpeen yksinkertaistaa, tuoda tämä epätasa-arvo puhtaaseen X:ään. Mutta... Mitä siirtää minne!? Tässä on aika muistaa, että vaihtaminen vasemmalta oikealle on lyhennetty muoto ensimmäinen identtinen muunnos.

Ja koko lomake näyttää tältä: Voit lisätä/vähentää minkä tahansa luvun tai lausekkeen yhtälön molempiin osiin (epäyhtälö).

Tässä on kolme osaa. Joten käytämme identtisiä muunnoksia kaikkiin kolmeen osaan!

Joten päästään eroon epätasa-arvon keskiosassa olevasta. Vähennä yksi koko keskiosasta. Jotta epäyhtälö ei muutu, vähennämme yhden jäljellä olevista kahdesta osasta. Kuten tämä:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Jo parempi, eikö?) On vielä jaettava kaikki kolme osaa kolmeen:

2 < X < 4

Siinä kaikki. Tämä on vastaus. X voi olla mikä tahansa luku kahdesta (ei sisällä) neljään (ei sisällä). Tämä vastaus kirjoitetaan myös väliajoin, tällaiset merkinnät ovat neliöyhtälöissä. Siellä ne ovat yleisimmät.

Oppitunnin lopussa toistan tärkeimmän asian. Onnistuminen lineaaristen epäyhtälöiden ratkaisemisessa riippuu kyvystä muuttaa ja yksinkertaistaa lineaarisia yhtälöitä. Jos samaan aikaan seuraa eriarvoisuusmerkkiä, ei tule ongelmia. Mitä toivon sinulle. Ei ongelmaa.)

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Esimerkiksi lauseke \(x>5\) on epäyhtälö.

Eriarvoisuuksien tyypit:

Jos \(a\) ja \(b\) ovat numeroita tai , niin epäyhtälö kutsutaan numeerinen. Itse asiassa tämä on vain kahden luvun vertailu. Nämä epätasa-arvot on jaettu uskollinen ja uskoton.

Esimerkiksi:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) on virheellinen numeerinen epäyhtälö, koska \(17+3=20\) ja \(20\) on pienempi kuin \(115\) (ei suurempi tai yhtä suuri kuin).

Jos \(a\) ja \(b\) ovat lausekkeita, jotka sisältävät muuttujan, niin meillä on epäyhtälö muuttujan kanssa. Tällaiset epätasa-arvot jaetaan tyyppeihin sisällöstä riippuen:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Vaihtelee vain ensimmäiseen potenssiin
\(3x^2-x+5>0\)				Toisessa potenssissa (neliö) on muuttuja, mutta ei korkeampia tehoja (kolmas, neljäs jne.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... ja niin edelleen.

Mikä on ratkaisu epätasa-arvoon?

Jos mikä tahansa luku korvataan epäyhtälöön muuttujan sijaan, se muuttuu numeeriseksi.

Jos x:n annettu arvo tekee alkuperäisestä epäyhtälöstä tosi numeerisen, sitä kutsutaan ratkaisemaan eriarvoisuutta. Jos ei, tämä arvo ei ole ratkaisu. Ja siihen ratkaise eriarvoisuutta- sinun on löydettävä kaikki sen ratkaisut (tai osoitettava, että niitä ei ole).

Esimerkiksi, jos olemme lineaarisessa epäyhtälössä \(x+6>10\), korvaamme luvun \(7\) x:n sijaan, saadaan oikea numeerinen epäyhtälö: \(13>10\). Ja jos korvaamme \(2\), syntyy virheellinen numeerinen epäyhtälö \(8>10\). Eli \(7\) on ratkaisu alkuperäiseen epäyhtälöön, mutta \(2\) ei ole.

Epäyhtälöllä \(x+6>10\) on kuitenkin muita ratkaisuja. Todellakin, saamme oikeat numeeriset epäyhtälöt korvaamalla ja \(5\), ja \(12\), ja \(138\) ... Ja kuinka voimme löytää kaikki mahdolliset ratkaisut? Käytä tätä varten Meidän tapauksessamme:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Eli voimme käyttää mitä tahansa numeroa, joka on suurempi kuin neljä. Nyt meidän on kirjoitettava vastaus muistiin. Epäyhtälöiden ratkaisut kirjoitetaan pääsääntöisesti numeerisesti, lisäksi ne merkitään numeeriselle akselille viivoituksella. Meidän tapauksessamme meillä on:

Vastaus: \(x\in(4;+\infty)\)

Milloin merkki muuttuu epätasa-arvossa?

Eriarvoisuuksissa on yksi suuri ansa, johon opiskelijat todella "haluavat" joutua:

Kun epäyhtälö kerrotaan (tai jaetaan) negatiivisella luvulla, se käännetään ("suurempi kuin" "vähemmällä", "suurempi tai yhtä suuri" sanalla "pienempi tai yhtä suuri" ja niin edelleen)

Miksi tämä tapahtuu? Tämän ymmärtämiseksi katsotaan numeerisen epäyhtälön \(3>1\) muunnoksia. Se on oikein, kolmoisosa on todella enemmän kuin yksi. Yritetään ensin kertoa se millä tahansa positiivisella luvulla, esimerkiksi kahdella:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Kuten näette, kertomisen jälkeen epäyhtälö pysyy totta. Ja riippumatta siitä, minkä positiivisen luvun kerromme, saamme aina oikean epäyhtälön. Ja nyt yritetään kertoa negatiivisella luvulla, esimerkiksi miinus kolme:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Se osoittautui vääräksi epätasa-arvoksi, koska miinus yhdeksän on vähemmän kuin miinus kolme! Eli jotta epäyhtälöstä tulisi totta (mikä tarkoittaa, että kertolasku negatiivisella oli "laillinen"), sinun on käännettävä vertailumerkki näin: \(−9<− 3\).
Jakamalla se käy samalla tavalla, voit tarkistaa sen itse.

Yllä kirjoitettu sääntö koskee kaiken tyyppisiä epäyhtälöitä, ei vain numeerisia.

Esimerkki: Ratkaise epäyhtälö \(2(x+1)-1<7+8x\)
Ratkaisu:

\(2x+2-1<7+8x\)	Siirretään \(8x\) vasemmalle ja \(2\) ja \(-1\) oikealle, unohtamatta vaihtaa kylttejä
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Jaa epäyhtälön molemmat puolet \(-6\) unohtamatta vaihtaa "vähemmän" arvoon "suurempi"
	Merkitään akselille numeerinen väli. Epäyhtälö, joten arvo \(-1\) "reistetään ulos", emmekä ota sitä vastauksena
	Kirjoita vastaus väliin

Vastaus: \(x\in(-1;\infty)\)

Epätasa-arvo ja DHS

Epäyhtälöillä, samoin kuin yhtälöillä, voi olla rajoituksia , eli x:n arvoille. Näin ollen ne arvot, joita ei voida hyväksyä ODZ:n mukaan, tulisi sulkea pois ratkaisuvälistä.

Esimerkki: Ratkaise epäyhtälö \(\sqrt(x+1)<3\)

Ratkaisu: On selvää, että jotta vasen puoli olisi pienempi kuin \(3\), juurilausekkeen on oltava pienempi kuin \(9\) (loppujen lopuksi arvosta \(9\) vain \(3\)). Saamme:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Kaikki? Mikä tahansa x:n arvo, joka on pienempi kuin \(8\), sopiiko meille? Ei! Koska jos otamme esimerkiksi arvon \(-5\), joka näyttää sopivan vaatimukseen, se ei ole ratkaisu alkuperäiseen epäyhtälöön, koska se johtaa meidät laskemaan negatiivisen luvun juuren.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Siksi on myös otettava huomioon x:n arvojen rajoitukset - se ei voi olla niin, että juuren alla on negatiivinen luku. Siten meillä on toinen vaatimus x:lle:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Ja jotta x olisi lopullinen ratkaisu, sen on täytettävä molemmat vaatimukset kerralla: sen on oltava pienempi kuin \(8\) (olla ratkaisu) ja suurempi kuin \(-1\) (olla periaatteessa voimassa). Piirrä numeroviivalle, meillä on lopullinen vastaus:

Vastaus: \(\vasen[-1;8\oikea)\)

Logaritmien epäyhtälöiden koko joukosta tutkitaan erikseen epäyhtälöitä, joilla on muuttuva kanta. Ne ratkaistaan ​​erityisen kaavan mukaan, jota jostain syystä harvoin opetetaan koulussa:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

Jackdaw "∨" sijasta voit laittaa minkä tahansa epätasa-arvon merkin: enemmän tai vähemmän. Pääasia on, että molemmissa epäyhtälöissä merkit ovat samat.

Joten pääsemme eroon logaritmeista ja pelkistämme ongelman rationaaliseksi epätasa-arvoksi. Jälkimmäinen on paljon helpompi ratkaista, mutta kun logaritmit hylätään, ylimääräisiä juuria voi ilmestyä. Niiden katkaisemiseksi riittää, että löydetään sallittujen arvojen alue. Jos unohdit logaritmin ODZ:n, suosittelen vahvasti sen toistamista - katso "Mikä on logaritmi".

Kaikki hyväksyttävien arvojen alueeseen liittyvä on kirjoitettava ja ratkaistava erikseen:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Nämä neljä eriarvoisuutta muodostavat järjestelmän, ja ne on täytettävä samanaikaisesti. Kun hyväksyttävien arvojen alue löytyy, jää ylittää se rationaalisen epäyhtälön ratkaisulla - ja vastaus on valmis.

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

Ensin kirjoitetaan logaritmin ODZ:

Kaksi ensimmäistä epäyhtälöä suoritetaan automaattisesti, ja viimeinen on kirjoitettava. Koska luvun neliö on nolla silloin ja vain jos itse luku on nolla, meillä on:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Osoittautuu, että logaritmin ODZ on kaikki luvut paitsi nolla: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Nyt ratkaisemme pääepätasa-arvon:

Suoritamme siirtymisen logaritmisesta epäyhtälöstä rationaaliseen. Alkuperäisessä epäyhtälössä on ”vähemmän”-merkki, joten tuloksena olevan epäyhtälön tulee olla myös ”vähemmän”-merkillä. Meillä on:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 – x) (3 + x) x 2< 0.

Tämän lausekkeen nollat: x = 3; x = -3; x = 0. Lisäksi x = 0 on toisen kerrannaisarvon juuri, mikä tarkoittaa, että sen läpi kulkiessaan funktion etumerkki ei muutu. Meillä on:

Saamme x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Tämä joukko sisältyy kokonaan logaritmin ODZ:hen, mikä tarkoittaa, että tämä on vastaus.

Logaritmisen epäyhtälöiden muunnos

Usein alkuperäinen eriarvoisuus eroaa yllä olevasta. Tämä on helppo korjata logaritmien kanssa työskentelyn standardisääntöjen mukaisesti - katso "Logaritmien perusominaisuudet". Nimittäin:

1. Mikä tahansa luku voidaan esittää logaritmina tietyllä kantalla;
2. Saman kantaluvun logaritmien summa ja ero voidaan korvata yhdellä logaritmilla.

Haluan erikseen muistuttaa hyväksyttävien arvojen vaihteluvälistä. Koska alkuperäisessä epäyhtälössä voi olla useita logaritmeja, on löydettävä kunkin niistä DPV. Siten yleinen kaavio logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisemiseksi on seuraava:

1. Etsi jokaisen epäyhtälöön sisältyvän logaritmin ODZ;
2. Pienennä epäyhtälö standardiin käyttämällä logaritmien yhteen- ja vähennyskaavoja;
3. Ratkaise tuloksena oleva epäyhtälö yllä olevan kaavion mukaisesti.

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

Etsi ensimmäisen logaritmin määritelmäalue (ODZ):

Ratkaisemme intervallimenetelmällä. Osoittajan nollien löytäminen:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Sitten - nimittäjän nollat:

x - 1 = 0;
x = 1.

Merkitsemme nollia ja merkkejä koordinaattinuoleen:

Saamme x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). ODZ:n toinen logaritmi on sama. Jos et usko minua, voit tarkistaa. Nyt muunnamme toisen logaritmin siten, että kanta on kaksi:

Kuten näet, kolmiot tyvessä ja ennen logaritmia ovat kutistuneet. Hanki kaksi logaritmia, joilla on sama kanta. Laitetaan ne yhteen:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Olemme saaneet standardin logaritmisen epäyhtälön. Logaritmeista päästään eroon kaavan avulla. Koska alkuperäisessä epäyhtälössä on pienempi kuin -merkki, tuloksena olevan rationaalisen lausekkeen on myös oltava pienempi kuin nolla. Meillä on:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

Meillä on kaksi settiä:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Vastausehdokas: x ∈ (−1; 3).

On vielä ylitettävä nämä joukot - saamme todellisen vastauksen:

Olemme kiinnostuneita joukkojen leikkauspisteestä, joten valitsemme molemmilla nuolilla varjostetut intervallit. Saamme x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - kaikki pisteet on pisteytetty.