Numeerisen sekvenssin määritelmä on annettu. Esimerkkejä äärettömästi kasvavista, suppenevista ja hajoavista sekvensseistä tarkastellaan. Tarkastellaan sarjaa, joka sisältää kaikki rationaaliluvut.

Sisältö

Katso myös:

Määritelmä

Numerosarja (x n)- tämä on laki (sääntö), jonka mukaan jokaiselle luonnolliselle luvulle n = 1, 2, 3, . . . jokin luku x n on annettu.
Elementtiä x n kutsutaan sekvenssin n:nneksi jäseneksi tai alkioksi.

Jakso on merkitty n:nneksi jäseneksi, joka on suljettu hakasulkeisiin: . Myös seuraavat nimitykset ovat mahdollisia: . Ne toteavat nimenomaisesti, että indeksi n kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon ja että itse sekvenssillä on ääretön määrä jäseniä. Tässä on esimerkkejä sarjoista:
, , .

Toisin sanoen numeerinen sarja on funktio, jonka toimialue on luonnollisten lukujen joukko. Elementtien määrä sarjassa on ääretön. Elementtien joukossa voi olla myös jäseniä, joilla on sama arvo. Myös sarjaa voidaan pitää numeroituna numerosarjana, joka koostuu äärettömästä määrästä jäseniä.

Meitä kiinnostaa lähinnä kysymys - kuinka sekvenssit käyttäytyvät, kun n pyrkii äärettömään: . Tämä materiaali on esitetty Sekvenssiraja - peruslauseet ja ominaisuudet -osiossa. Ja tässä tarkastellaan joitain esimerkkejä sekvensseistä.

Esimerkkejä sarjasta

Esimerkkejä äärettömästi kasvavista sarjoista

Ajatellaanpa sarjaa. Tämän sekvenssin yleinen termi on . Kirjoitetaan ensimmäiset termit:
.
Voidaan nähdä, että luvun n kasvaessa alkiot kasvavat loputtomasti kohti positiivisia arvoja. Voimme sanoa, että tällä sekvenssillä on taipumus: klo .

Harkitse nyt sarjaa, jossa on yhteinen termi . Tässä muutamia sen ensimmäisistä jäsenistä:
.
Kun luku n kasvaa, tämän sekvenssin alkioiden absoluuttinen arvo kasvaa loputtomasti, mutta niillä ei ole vakiomerkkiä. Eli tällä sekvenssillä on taipumus: klo .

Esimerkkejä jaksoista, jotka konvergoivat äärelliseen lukuun

Ajatellaanpa sarjaa. Sen yhteinen jäsen Ensimmäiset ehdot ovat seuraavat:
.
Voidaan nähdä, että luvun n kasvaessa tämän sekvenssin elementit lähestyvät raja-arvoaan a = 0 : klo . Joten jokainen seuraava termi on lähempänä nollaa kuin edellinen. Tietyssä mielessä voimme olettaa, että luvulla a on likimääräinen arvo = 0 virheen kanssa. On selvää, että kun n kasvaa, tämä virhe pyrkii nollaan, eli valitsemalla n, virhe voidaan tehdä mielivaltaisen pieneksi. Lisäksi mille tahansa virheelle ε > 0 on mahdollista määrittää sellainen luku N, että kaikilla alkioilla, joiden numerot ovat suurempia kuin N:, luvun poikkeama raja-arvosta a ei ylitä virhettä ε:.

Harkitse seuraavaksi järjestystä. Sen yhteinen jäsen Tässä muutamia sen ensimmäisistä jäsenistä:
.
Tässä sarjassa parilliset termit ovat nollia. Jäsenet, joilla on pariton n, ovat . Siksi n kasvaessa niiden arvot lähestyvät raja-arvoa a = 0 . Tämä seuraa myös siitä tosiasiasta, että
.
Kuten edellisessä esimerkissä, voimme määrittää mielivaltaisen pienen virheen ε > 0 , jolle on mahdollista löytää sellainen luku N, että alkiot, joiden numerot ovat suurempia kuin N, poikkeavat raja-arvosta a = 0 arvolla, joka ei ylitä määritettyä virhettä. Siksi tämä sekvenssi konvergoi arvoon a = 0 : klo .

Esimerkkejä poikkeavista sarjoista

Harkitse sekvenssiä, jossa on seuraava yleinen termi:

Tässä sen ensimmäiset jäsenet:


.
Voidaan nähdä, että parilliset luvut sisältävät termit:
,
lähentyä arvoon a 1 = 0 . Jäsenet parittomilla numeroilla:
,
lähentyä arvoon a 2 = 2 . Itse sekvenssi n kasvaessa ei konvergoi mihinkään arvoon.

Jakso, jossa termit jakautuvat väliin (0;1)

Mieti nyt mielenkiintoisempaa sarjaa. Ota segmentti numeroviivalta. Jaetaan se puoliksi. Saamme kaksi segmenttiä. Anna olla
.
Jokainen segmentti jaetaan jälleen puoliksi. Saamme neljä segmenttiä. Anna olla
.
Jaa jokainen segmentti uudelleen puoliksi. Otetaan


.
Jne.

Tuloksena saadaan sekvenssi, jonka alkiot jakautuvat avoimeen väliin (0; 1) . Minkä pisteen otammekin suljetusta intervallista , voimme aina löytää sekvenssin jäseniä, jotka ovat mielivaltaisen lähellä tätä pistettä tai ovat samat sen kanssa.

Sitten alkuperäisestä sekvenssistä voidaan erottaa osasekvenssi, joka suppenee mielivaltaiseen pisteeseen intervallista . Toisin sanoen luvun n kasvaessa osajonon jäsenet tulevat lähemmäksi ennalta valittua pistettä.

Esimerkiksi kohtaan a = 0 voit valita seuraavan alajakson:
.
= 0 .

Kohdalle a = 1 valitse seuraava alajakso:
.
Tämän osajonon jäsenet konvergoivat arvoon a = 1 .

Koska on osasarjoja, jotka konvergoivat eri arvoihin, alkuperäinen sekvenssi ei konvergoi mihinkään numeroon.

Sarja, joka sisältää kaikki rationaaliset luvut

Muodostetaan nyt sarja, joka sisältää kaikki rationaaliset luvut. Lisäksi jokainen rationaalinen luku sisällytetään tällaiseen sarjaan äärettömän monta kertaa.

Rationaalinen luku r voidaan esittää seuraavasti:
,
missä on kokonaisluku; - luonnollinen.
Meidän on osoitettava jokaiselle luonnolliselle luvulle n pari lukuja p ja q, jotta mikä tahansa p ja q pari sisällytetään sarjaamme.

Piirrä tätä varten tasoon akselit p ja q. Piirrämme ruudukkoviivoja kokonaislukuarvojen p ja q kautta. Sitten jokainen tämän ruudukon solmu vastaa rationaalilukua. Koko joukko rationaalisia lukuja edustaa joukko solmuja. Meidän on löydettävä tapa numeroida kaikki solmut, jotta emme menetä yhtäkään solmua. Tämä on helppo tehdä, jos numeroidaan solmut niiden neliöiden mukaan, joiden keskipisteet sijaitsevat pisteessä (0; 0) (katso kuva). Tässä tapauksessa neliöiden alaosat, joissa on q < 1 emme tarvitse. Siksi niitä ei ole esitetty kuvassa.

Joten ensimmäisen neliön yläpuolelle meillä on:
.
Seuraavaksi numeroimme seuraavan neliön yläosan:

.
Numeroimme seuraavan neliön yläosan:

.
Jne.

Tällä tavalla saamme sekvenssin, joka sisältää kaikki rationaaliset luvut. Voidaan nähdä, että mikä tahansa rationaalinen luku esiintyy tässä sarjassa äärettömän monta kertaa. Todellakin, solmun , kanssa tämä sekvenssi sisältää myös solmut , jossa on luonnollinen luku. Mutta kaikki nämä solmut vastaavat samaa rationaalista numeroa.

Sitten rakentamastamme sekvenssistä voimme valita osajonon (jossa on ääretön määrä elementtejä), jonka kaikki alkiot ovat yhtä suuria kuin ennalta määrätty rationaalinen luku. Koska rakentamassamme sekvenssissä on osajonoja, jotka konvergoivat eri lukuihin, sekvenssi ei konvergoi mihinkään numeroon.

Johtopäätös

Tässä olemme antaneet tarkan määritelmän numeeriselle sekvenssille. Käsittelimme myös sen lähentymistä intuitiivisten ideoiden pohjalta. Konvergenssin tarkkaa määritelmää käsitellään sivulla Sekvenssin rajan määrittäminen. Asiaan liittyvät ominaisuudet ja lauseet on kuvattu Sekvenssiraja - Peruslauseet ja ominaisuudet -sivulla.

Katso myös:

Anna olla X (\displaystyle X) on joko reaalilukujen joukko R (\displaystyle \mathbb (R) ), tai kompleksilukujen joukko C (\displaystyle \mathbb (C) ). Sitten sarja ( x n ) n = 1 ∞ (\displaystyle \(x_(n)\)_(n=1)^(\infty )) asettaa elementtejä X (\displaystyle X) nimeltään numeerinen sekvenssi.

Esimerkkejä

Toimenpiteet jaksoissa

Jaksot

Jakso sekvenssejä (x n) (\displaystyle (x_(n))) on sekvenssi (x n k) (\displaystyle (x_(n_(k)))), missä (n k) (\displaystyle (n_(k))) on kasvava luonnollisten lukujen joukon elementtien sarja.

Toisin sanoen osasekvenssi saadaan sekvenssistä poistamalla äärellinen tai laskettava määrä elementtejä.

Esimerkkejä

• Alkulukujen sarja on luonnollisten lukujen sarjan osajono.
• Luonnollisten lukujen sarja, jotka ovat kerrannaisia, on parillisten luonnollisten lukujen sarjan osasekvenssi.

Ominaisuudet

Jakson rajapiste on piste missä tahansa ympäristössä, jonka tämän sekvenssin elementtejä on äärettömästi. Suppenevien numeeristen sarjojen rajapiste on sama kuin raja.

Sekvenssirajoitus

Sekvenssirajoitus on objekti, jota sekvenssin jäsenet lähestyvät luvun kasvaessa. Näin ollen mielivaltaisessa topologisessa avaruudessa sekvenssin raja on elementti, jonka missä tahansa naapurustossa ovat kaikki sekvenssin jäsenet, alkaen jostakin. Erityisesti numeerisissa sarjoissa raja on luku missä tahansa naapurustossa, jonka kaikki sekvenssin jäsenet sijaitsevat jostakin yhdestä alkaen.

Perusteelliset sekvenssit

Perusjärjestys (itsekonvergentti sarja , Cauchy-sekvenssi ) on metrisen avaruuden elementtien sarja, jossa millä tahansa ennalta määrätyllä etäisyydellä on sellainen elementti, josta etäisyys mihinkään sitä seuraavaan elementtiin ei ylitä annettua. Numeerisissa sarjoissa perus- ja konvergenttien sekvenssien käsitteet ovat samanarvoisia, mutta yleisessä tapauksessa näin ei ole.

Matematiikka on tiede, joka rakentaa maailmaa. Sekä tiedemies että tavallinen ihminen - kukaan ei tule toimeen ilman sitä. Pienet lapset opetetaan ensin laskemaan, sitten lisäämään, vähentämään, kertomaan ja jakamaan, yläkoulussa kirjainmerkit tulevat esille, ja vanhemmassa niistä ei voi enää luopua.

Mutta tänään puhumme siitä, mihin kaikki tunnettu matematiikka perustuu. Tietoja lukujen yhteisöstä, jota kutsutaan "sekvenssirajoituksiksi".

Mitä ovat sekvenssit ja missä on niiden raja?

Sanan "sekvenssi" merkitystä ei ole vaikea tulkita. Tämä on sellaista asioiden rakentamista, jossa joku tai jokin sijaitsee tietyssä järjestyksessä tai jonossa. Esimerkiksi jono eläintarhan lippuja varten on sarja. Ja niitä voi olla vain yksi! Jos esimerkiksi katsot jonoa kauppaan, tämä on yksi sarja. Ja jos yksi henkilö yhtäkkiä poistuu tästä jonosta, tämä on eri jono, eri järjestys.

Sana "raja" on myös helppo tulkita - tämä on jonkin loppu. Matematiikassa sekvenssien rajat ovat kuitenkin ne numeroviivan arvot, joihin numerosarja pyrkii. Miksi yrittää eikä pääty? Se on yksinkertaista, numerorivillä ei ole loppua, ja useimmilla sarjoilla, kuten säteillä, on vain alku ja ne näyttävät tältä:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Siksi sekvenssin määritelmä on luonnollisen argumentin funktio. Yksinkertaisemmin sanottuna se on sarja jonkin joukon jäseniä.

Miten numerosarja rakennetaan?

Yksinkertaisin esimerkki numerosarjasta voi näyttää tältä: 1, 2, 3, 4, …n…

Useimmissa tapauksissa sekvenssit rakennetaan käytännön syistä numeroista, ja jokaisella sarjan seuraavalla jäsenellä, merkitään X:llä, on oma nimi. Esimerkiksi:

x 1 - sekvenssin ensimmäinen jäsen;

x 2 - sekvenssin toinen jäsen;

x 3 - kolmas jäsen;

x n on n:s jäsen.

Käytännön menetelmissä sekvenssi annetaan yleisellä kaavalla, jossa on jokin muuttuja. Esimerkiksi:

X n \u003d 3n, itse numerosarja näyttää tältä:

On syytä muistaa, että sekvenssien yleisessä merkinnässä voit käyttää mitä tahansa latinalaisia ​​kirjaimia, ei vain X:ää. Esimerkiksi: y, z, k jne.

Aritmeettinen eteneminen osana sekvenssejä

Ennen kuin etsitään sekvenssien rajoja, on suositeltavaa syventää sellaisen numerosarjan käsitettä, johon jokainen törmäsi ollessaan keskiluokissa. Aritmeettinen progressio on lukusarja, jossa vierekkäisten termien välinen ero on vakio.

Tehtävä: "Olkoon 1 \u003d 15 ja numerosarjan etenemisen vaihe d \u003d 4. Rakenna tämän rivin 4 ensimmäistä jäsentä"

Ratkaisu: a 1 = 15 (ehdon mukaan) on progression (lukusarjan) ensimmäinen jäsen.

ja 2 = 15+4=19 on etenemisen toinen jäsen.

ja 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 on kolmas termi.

ja 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 on neljäs termi.

Tällä menetelmällä on kuitenkin vaikea saavuttaa suuria arvoja, esimerkiksi 125. . Erityisesti tällaisia ​​tapauksia varten johdettiin käytännössä sopiva kaava: a n \u003d a 1 + d (n-1). Tässä tapauksessa 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

Sekvenssityypit

Suurin osa jaksoista on loputtomia, kannattaa muistaa loppuelämän. Numerosarjoja on kaksi mielenkiintoista tyyppiä. Ensimmäinen saadaan kaavalla a n =(-1) n . Matemaatikot viittaavat usein tähän vilkkusekvenssiin. Miksi? Tarkastellaanpa sen numeroita.

1, 1, -1, 1, -1, 1 jne. Tämän esimerkin avulla käy selväksi, että sarjoissa olevat numerot voidaan helposti toistaa.

tekijäjärjestys. On helppo arvata, että kaavassa on tekijä, joka määrittää sekvenssin. Esimerkiksi: ja n = (n+1)!

Sitten sarja näyttää tältä:

ja 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

ja 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24 jne.

Aritmeettisella progressiolla annettua jonoa kutsutaan äärettömäksi pieneneväksi, jos epäyhtälö -1 havaitaan kaikille sen jäsenille

ja 3 \u003d - 1/8 jne.

On jopa sarja, joka koostuu samasta numerosta. Joten ja n \u003d 6 koostuu äärettömästä määrästä kuusia.

Jakson rajan määrittäminen

Sekvenssirajat ovat olleet matematiikassa jo pitkään. Tietenkin he ansaitsevat oman pätevän suunnittelunsa. Joten on aika oppia sekvenssirajojen määritelmä. Harkitse ensin lineaarifunktion rajaa yksityiskohtaisesti:

1. Kaikki rajat on lyhennetty lim.
2. Rajamerkintä koostuu lyhenteestä lim, jostakin muuttujasta, joka pyrkii tiettyyn numeroon, nollaan tai äärettömään, sekä itse funktiosta.

On helppo ymmärtää, että sekvenssin rajan määritelmä voidaan muotoilla seuraavasti: se on tietty luku, jota kaikki sekvenssin jäsenet lähestyvät äärettömästi. Yksinkertainen esimerkki: ja x = 4x+1. Sitten itse sarja näyttää tältä.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Siten tämä jono kasvaa loputtomasti, mikä tarkoittaa, että sen raja on yhtä suuri kuin ääretön muodossa x→∞, ja tämä tulee kirjoittaa seuraavasti:

Jos otamme samanlaisen sekvenssin, mutta x pyrkii olemaan 1, saamme:

Ja numerosarja tulee olemaan tällainen: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 jne. Joka kerta, kun sinun on korvattava numero yhä lähempänä yhtä (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Tästä sarjasta voidaan nähdä, että funktion raja on viisi.

Tästä osasta kannattaa muistaa mikä on numeerisen sekvenssin raja, määritelmä ja menetelmä yksinkertaisten tehtävien ratkaisemiseksi.

Yleinen merkintä sekvenssien rajalle

Analysoituamme numeerisen sekvenssin rajan, sen määritelmän ja esimerkit, voimme siirtyä monimutkaisempaan aiheeseen. Ehdottomasti kaikki sekvenssien rajat voidaan muotoilla yhdellä kaavalla, joka yleensä analysoidaan ensimmäisellä lukukaudella.

Joten mitä tämä kirjainten, moduulien ja epätasa-arvomerkkien joukko tarkoittaa?

∀ on universaali kvantori, joka korvaa lauseet "kaikki", "kaikille" jne.

∃ on olemassaolon kvantori, tässä tapauksessa se tarkoittaa, että luonnollisten lukujen joukkoon kuuluu jokin arvo N.

Pitkä pystysauva N:n jälkeen tarkoittaa, että annettu joukko N ​​on "sellainen". Käytännössä se voi tarkoittaa "sellaista", "sellaista" jne.

Lukemalla kaava ääneen materiaalin yhdistämiseksi.

Epävarmuus ja rajan varmuus

Edellä käsitelty menetelmä sekvenssien rajan löytämiseksi, vaikka se on yksinkertainen käyttää, ei ole käytännössä niin järkevä. Yritä löytää tämän toiminnon raja:

Jos korvaamme eri x-arvot (kasvataan joka kerta: 10, 100, 1000 jne.), niin osoittajaan saadaan ∞, mutta myös nimittäjään ∞. Siitä tulee melko outo murto-osa:

Mutta onko se todella niin? Numeerisen sekvenssin rajan laskeminen näyttää tässä tapauksessa riittävän helpolta. Kaikki olisi mahdollista jättää ennalleen, koska vastaus on valmis ja se saatiin kohtuullisin ehdoin, mutta on olemassa toinenkin tapa nimenomaan tällaisiin tapauksiin.

Etsitään ensin murtoluvun osoittajasta suurin aste - tämä on 1, koska x voidaan esittää muodossa x 1.

Etsitään nyt nimittäjän korkein aste. Myös 1.

Jaa sekä osoittaja että nimittäjä muuttujalla korkeimmalla mahdollisella tavalla. Tässä tapauksessa jaamme murto-osan x 1:llä.

Seuraavaksi selvitetään, mihin arvoon kukin muuttujan sisältävä termi pyrkii. Tässä tapauksessa murtoluvut otetaan huomioon. Kuten x→∞, jokaisen murtoluvun arvo pyrkii nollaan. Kun teet paperia kirjallisesti, kannattaa tehdä seuraavat alaviitteet:

Saadaan seuraava lauseke:

Tietenkään x:n sisältävistä murtoluvuista ei tullut nollia! Mutta niiden arvo on niin pieni, että on täysin sallittua olla ottamatta sitä huomioon laskelmissa. Itse asiassa x ei koskaan ole yhtä suuri kuin 0 tässä tapauksessa, koska et voi jakaa nollalla.

Mikä on naapurusto?

Oletetaan, että professorilla on käytössään monimutkainen sekvenssi, joka on ilmeisesti annettu yhtä monimutkaisella kaavalla. Professori löysi vastauksen, mutta sopiiko se? Loppujen lopuksi kaikki ihmiset tekevät virheitä.

Auguste Cauchy keksi loistavan tavan todistaa sekvenssien rajat. Hänen menetelmäänsä kutsuttiin naapurioperaatioksi.

Oletetaan, että on jokin piste a, jonka naapuruus reaaliviivalla on molempiin suuntiin ε ("epsilon"). Koska viimeinen muuttuja on etäisyys, sen arvo on aina positiivinen.

Asetetaan nyt jokin jono x n ja oletetaan, että jonon kymmenes jäsen (x 10) sisältyy a:n läheisyyteen. Kuinka kirjoittaa tämä tosiasia matemaattisella kielellä?

Oletetaan, että x 10 on pisteen a oikealla puolella, sitten etäisyys x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Nyt on aika selittää käytännössä edellä mainittu kaava. On reilua kutsua jotakin lukua a sekvenssin loppupisteeksi, jos epäyhtälö ε>0 pätee mille tahansa sen rajalle ja koko naapurustolla on oma luonnollinen lukunsa N, jolloin kaikki jonon jäsenet, joilla on suurempi luku, ovat sekvenssin |x n - a| sisällä< ε.

Tällaisella tiedolla on helppo ratkaista sarjan rajat, todistaa tai kumota valmis vastaus.

Lauseet

Sekvenssien rajoja koskevat lauseet ovat tärkeä osa teoriaa, jota ilman käytäntö on mahdotonta. On vain neljä päälausetta, jotka muistamalla voit merkittävästi helpottaa ratkaisu- tai todistamisprosessia:

1. Jakson rajan ainutlaatuisuus. Jokaisella sekvenssillä voi olla vain yksi raja tai ei ollenkaan. Sama esimerkki jonosta, jolla voi olla vain yksi pää.
2. Jos numerosarjalla on raja, näiden numeroiden sarja on rajoitettu.
3. Sekvenssien summan (eron, tulon) raja on yhtä suuri kuin niiden rajojen summa (ero, tulo).
4. Kahden sekvenssin osamäärä on yhtä suuri kuin rajojen osamäärä, jos ja vain jos nimittäjä ei katoa.

Sekvenssitodistus

Joskus on ratkaistava käänteinen ongelma, todistettava numeerisen sekvenssin tietty raja. Katsotaanpa esimerkkiä.

Osoita, että kaavan antaman sarjan raja on nolla.

Yllä olevan säännön mukaan mille tahansa sekvenssille epäyhtälö |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Esitetään n "epsilonilla" osoittamaan tietyn luvun olemassaolo ja todistamaan sekvenssirajan olemassaolo.

Tässä vaiheessa on tärkeää muistaa, että "epsilon" ja "en" ovat positiivisia lukuja eivätkä nollaa. Nyt voit jatkaa lisämuutoksia käyttämällä lukiossa hankittua tietoa eriarvoisuudesta.

Mistä käy ilmi, että n > -3 + 1/ε. Koska kannattaa muistaa, että puhumme luonnollisista luvuista, tulos voidaan pyöristää laittamalla se hakasulkeisiin. Siten todistettiin, että mille tahansa pisteen a = 0 "epsilon"-naapuruston arvolle löydettiin sellainen arvo, että alkuepäyhtälö täyttyy. Tästä voimme turvallisesti väittää, että luku a on annetun sekvenssin raja. Q.E.D.

Tällaisella kätevällä menetelmällä voit todistaa numeerisen sekvenssin rajan, riippumatta siitä, kuinka monimutkaiselta se ensi silmäyksellä näyttää. Tärkeintä ei ole paniikkiin tehtävää nähdessään.

Tai ehkä häntä ei ole olemassa?

Järjestysrajan olemassaolo ei ole käytännössä välttämätöntä. On helppo löytää sellaisia ​​numerosarjoja, joilla ei todellakaan ole loppua. Esimerkiksi sama vilkku x n = (-1) n . on selvää, että vain kahdesta syklisesti toistuvasta numerosta koostuvalla sekvenssillä ei voi olla rajaa.

Sama tarina toistuu sarjoilla, jotka koostuvat yhdestä luvusta, murto-osasta, joilla on laskelmien aikana minkä tahansa suuruinen epävarmuus (0/0, ∞/∞, ∞/0 jne.). On kuitenkin muistettava, että myös virheellisiä laskelmia tapahtuu. Joskus oman ratkaisusi tarkistaminen auttaa sinua löytämään peräkkäisyyden rajan.

monotoninen sekvenssi

Yllä tarkastelimme useita esimerkkejä sekvensseistä, menetelmiä niiden ratkaisemiseksi, ja nyt yritetään ottaa tarkempi tapaus ja kutsua sitä "monotoniseksi sekvenssiksi".

Määritelmä: on reilua kutsua mitä tahansa monotonisesti kasvavaa sekvenssiä, jos se täyttää tiukan epäyhtälön x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Näiden kahden ehdon ohella on myös samanlaisia ​​ei-tiukkoja epätasa-arvoja. Vastaavasti x n ≤ x n +1 (ei-laskeva sekvenssi) ja x n ≥ x n +1 (ei-kasvava sekvenssi).

Mutta tämä on helpompi ymmärtää esimerkkien avulla.

Kaavan x n \u003d 2 + n antama sarja muodostaa seuraavan numerosarjan: 4, 5, 6 jne. Tämä on monotonisesti kasvava sekvenssi.

Ja jos otamme x n \u003d 1 / n, niin saadaan sarja: 1/3, ¼, 1/5 jne. Tämä on monotonisesti laskeva sekvenssi.

Konvergentin ja rajoitetun sekvenssin raja

Rajoitettu sarja on sekvenssi, jolla on raja. Konvergenttisekvenssi on lukusarja, jolla on äärettömän pieni raja.

Siten rajatun sekvenssin raja on mikä tahansa reaali- tai kompleksiluku. Muista, että raja voi olla vain yksi.

Konvergentin sekvenssin raja on äärettömän pieni määrä (reaali tai kompleksi). Jos piirrät sekvenssikaavion, se jossain vaiheessa ikään kuin suppenee, muuttuu tietyksi arvoksi. Siitä nimi - konvergenttisekvenssi.

Monotonisen sekvenssin raja

Tällaisella sekvenssillä voi olla tai ei ole rajaa. Ensinnäkin on hyödyllistä ymmärtää, milloin se on, tästä voit aloittaa rajan puuttumisen todistamisen.

Monotonisten sekvenssien joukossa erotetaan konvergentti ja divergentti. Konvergentti - tämä on sarja, jonka muodostaa joukko x ja jolla on todellinen tai kompleksinen raja tässä joukossa. Divergentti - sekvenssi, jonka joukossa ei ole rajaa (ei todellista eikä kompleksista).

Lisäksi sekvenssi konvergoi, jos sen ylä- ja alarajat konvergoivat geometrisessa esityksessä.

Konvergentin sekvenssin raja voi monissa tapauksissa olla nolla, koska jokaisella äärettömän pienellä sekvenssillä on tiedossa oleva raja (nolla).

Riippumatta siitä, minkä konvergentin sekvenssin otat, ne ovat kaikki rajoitettuja, mutta kaukana kaikki rajatut sekvenssit konvergoivat.

Kahden konvergentin sekvenssin summa, erotus, tulo on myös konvergenttisekvenssi. Osamäärä voi kuitenkin myös konvergoida, jos se on määritelty!

Erilaisia ​​toimia rajoituksin

Sekvenssirajat ovat yhtä merkittäviä (useimmissa tapauksissa) kuin numerot ja numerot: 1, 2, 15, 24, 362 jne. Osoittautuu, että joitain toimintoja voidaan suorittaa rajoilla.

Ensinnäkin, aivan kuten numerot ja numerot, minkä tahansa sekvenssin rajat voidaan lisätä ja vähentää. Kolmannen sekvenssien rajojen lauseen perusteella on totta seuraava yhtälö: sekvenssien summan raja on yhtä suuri kuin niiden rajojen summa.

Toiseksi, neljännen sekvenssien rajojen lauseen perusteella seuraava yhtälö on totta: n:nnen sekvenssien määrän tulon raja on yhtä suuri kuin niiden rajojen tulo. Sama pätee jakamiseen: kahden sekvenssin osamäärän raja on yhtä suuri kuin niiden rajojen osamäärä, edellyttäen, että raja ei ole nolla. Loppujen lopuksi, jos sekvenssien raja on nolla, jako nollalla osoittautuu, mikä on mahdotonta.

Sekvenssiarvon ominaisuudet

Vaikuttaa siltä, ​​​​että numeerisen sekvenssin raja on jo analysoitu melko yksityiskohtaisesti, mutta sellaiset lauseet kuin "äärettömän pienet" ja "äärittömän suuret" luvut mainitaan useammin kuin kerran. Ilmeisesti jos on jono 1/x, jossa x→∞, niin tällainen murto-osa on äärettömän pieni, ja jos sama jono, mutta raja pyrkii nollaan (x→0), murtoluvusta tulee äärettömän suuri arvo. . Ja sellaisilla arvoilla on omat ominaisuutensa. Jakson, jolla on mielivaltaiset pienet tai suuret arvot, rajan ominaisuudet ovat seuraavat:

1. Minkä tahansa määrän mielivaltaisen pienten määrien summa on myös pieni määrä.
2. Minkä tahansa suuren arvon summasta tulee äärettömän suuri arvo.
3. Satunnaisen pienten määrien tulo on äärettömän pieni.
4. Satunnaisen suurten lukujen tulo on äärettömän suuri määrä.
5. Jos alkuperäinen sarja pyrkii äärettömään määrään, sen käänteisluku on äärettömän pieni ja yleensä nolla.

Itse asiassa sekvenssin rajan laskeminen ei ole niin vaikea tehtävä, jos tunnet yksinkertaisen algoritmin. Mutta sekvenssien rajat ovat aihe, joka vaatii maksimaalista huomiota ja sinnikkyyttä. Tietenkin riittää, että yksinkertaisesti ymmärtää tällaisten ilmaisujen ratkaisun ydin. Pienestä alkaen voit saavuttaa ajan mittaan suuria korkeuksia.

Numeerinen järjestys kutsutaan numeeriseksi funktioksi, joka on määritelty luonnollisten lukujen joukossa .

Jos funktio on annettu luonnollisten lukujen joukossa
, niin funktion arvojen joukko on laskettavissa ja jokainen numero
numero täsmää
. Tässä tapauksessa sanomme, että annettu numeerinen sekvenssi. Numeroita kutsutaan elementtejä tai sekvenssin jäseniä ja numeroita - yleinen tai -sarjan jäsen. Jokainen elementti on seuraaja
. Tämä selittää termin "sekvenssi" käytön.

Jakso määritellään yleensä joko listaamalla sen elementit tai ilmoittamalla laki, jolla numerollinen elementti lasketaan , eli osoittaen kaavan th jäsen .

Esimerkki.Jakso
voidaan antaa kaavalla:
.

Yleensä sekvenssit merkitään seuraavasti: jne., jossa sen kaava th jäsen.

Esimerkki.Jakso
‑tämä on sekvenssi

Sarjan kaikkien elementtien joukko
merkitty
.

Anna olla
ja
- kaksi sarjaa.

Kanssa ummah sekvenssejä
ja
kutsu sekvenssi
, missä
, eli..

R aznosti näistä sarjoista kutsutaan sekvenssiksi
, missä
, eli..

Jos ja ‑ vakiot, sitten sekvenssi
,
nimeltään lineaarinen yhdistelmä sekvenssejä
ja
, eli

tehdä työtä sekvenssejä
ja
kutsu sekvenssi - jäsen
, eli
.

Jos
, niin se on mahdollista määrittää yksityinen
.

Sekvenssien summa, erotus, tulo ja osamäärä
ja
niitä kutsutaan algebrallinensävellyksiä.

Esimerkki.Harkitse jaksoja
ja
, missä. Sitten
, eli jatkojakso
jonka kaikki elementit ovat nollia.

,
, eli tuotteen ja osamäärän kaikki elementit ovat yhtä suuret
.

Jos yliviivataan jotkin sekvenssin elementit
niin, että jäljellä on ääretön määrä elementtejä, niin saadaan toinen sekvenssi, nimeltään jatkojakso sekvenssejä
. Jos yliviivaamme sarjan ensimmäiset elementit
, niin uutta sekvenssiä kutsutaan loput.

Jakso
rajoitettuedellä(alhaalta) jos sarja
rajoitettu ylhäältä (alhaalta). Sarjaa kutsutaan rajoitettu jos se on rajoitettu ylä- ja alapuolelta. Jakso on rajoitettu silloin ja vain, jos jokin sen jäännöksistä on rajoitettu.

Lähenevät sekvenssit

He sanovat että jatkojakso
suppenee, jos on luku sellainen että mille tahansa
sellaista on
, joka mille tahansa
, seuraava epätasa-arvo pätee:
.

Määrä nimeltään järjestysrajoitus
. Samalla ne tallentavat
tai
.

Esimerkki.
.

Näytämme se
. Aseta mikä tahansa numero
. Epätasa-arvo
suoritettu
, sellasta
että konvergenssin määritelmä pätee numerolle
. tarkoittaa,
.

Toisin sanoen
tarkoittaa, että kaikki sekvenssin jäsenet
riittävän suurilla numeroilla eroaa vain vähän numerosta , eli alkaen jostain numerosta
(kun) sekvenssin elementit ovat välissä
, jota kutsutaan -pisteen naapurustossa .

Jakso
, jonka raja on nolla (
, tai
klo
) kutsutaan äärettömän pieni.

Infinitesimaaleihin sovellettuina seuraavat väitteet pitävät paikkansa:

Kahden infinitesimaalin summa on äärettömän pieni;

Infinitesimaalin tulo rajoitetulla arvolla on infinitesimaali.

Lause .Järjestyksen mukaan
oli raja, se on välttämätöntä ja riittävää
, missä - vakio; - äärettömän pieni .

Konvergenttien sekvenssien pääominaisuudet:

Ominaisuudet 3. ja 4. yleistyvät minkä tahansa määrän suppenevia sekvenssejä varten.

Huomaa, että kun lasketaan murto-osan rajaa, jonka osoittaja ja nimittäjä ovat lineaarisia potenssien yhdistelmiä , murto-osan raja on yhtä suuri kuin korkeimpien termien (eli termien, jotka sisältävät suurimmat potenssit) suhteen rajan osoittaja ja nimittäjä).

Jakso
nimeltään:

Kaikkia tällaisia ​​sekvenssejä kutsutaan yksitoikkoinen.

Lause . Jos sekvenssi
kasvaa monotonisesti ja on rajoitettu ylhäältä, sitten se konvergoi ja sen raja on yhtä suuri kuin sen suurin yläraja; jos jono on pienenevä ja rajoittunut alapuolelle, niin se konvergoi suurimpaan alarajaansa.

Jos funktio on määritelty luonnollisten lukujen joukolle N, niin sellaista funktiota kutsutaan äärettömäksi lukujonoksi. Yleensä numeerista sarjaa merkitään (Xn), jossa n kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon N.

Numeerinen sekvenssi voidaan antaa kaavalla. Esimerkiksi Xn=1/(2*n). Siten annamme jokaiselle luonnolliselle luvulle n jonkin jonon (Xn) tietyn alkion.

Jos otamme nyt peräkkäin n:n yhtä suureksi kuin 1,2,3, …., saadaan sekvenssi (Xn): ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), …

Sekvenssityypit

Sarja voi olla rajoitettu tai rajoittamaton, kasvava tai laskeva.

Sarja (Xn) kutsuu rajoitettu jos on kaksi lukua m ja M siten, että mille tahansa n:lle, joka kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon, yhtälö m<=Xn

sekvenssi (Xn), ei rajoitettu, kutsutaan rajoittamattomaksi sekvenssiksi.

lisääntyy jos kaikille positiivisille kokonaisluvuille n pätee seuraava yhtälö: X(n+1) > Xn. Toisin sanoen sekvenssin jokaisen jäsenen on toisesta alkaen oltava suurempi kuin edellinen jäsen.

Sarjaa (Xn) kutsutaan hiipumassa, jos kaikille positiivisille kokonaisluvuille n seuraava yhtälö pätee X(n+1)< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

Esimerkki jaksosta

Tarkastetaan, ovatko sekvenssit 1/n ja (n-1)/n pienenemässä.

Jos sarja on pienenevä, niin X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

X(n+1) - Xn = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n*(n+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(n-1)/n:

X(n+1) - Xn =n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Joten sarja (n-1)/n on lisääntyy.