Sinus Suorakulmaisen kolmion terävä kulma α on suhde vastapäätä kateti hypotenuusaan.
Se merkitään seuraavasti: sin α.

Kosini Suorakulmaisen kolmion terävä kulma α on viereisen haaran suhde hypotenuusaan.
Se merkitään seuraavasti: cos α.

Tangentti terävä kulma α on vastakkaisen jalan suhde viereiseen jalkaan.
Se merkitään seuraavasti: tg α.

Kotangentti terävä kulma α on viereisen jalan suhde vastakkaiseen.
Se on merkitty seuraavasti: ctg α.

Kulman sini, kosini, tangentti ja kotangentti riippuvat vain kulman suuruudesta.

Säännöt:

Trigonometriset perusidentiteetit suorakulmaisessa kolmiossa:

(α - terävä kulma jalkaa vastapäätä b ja jalan vieressä a . Sivu Kanssa - hypotenuusa. β - toinen terävä kulma).

b sinα = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
a cosα = - c	1 1 + tg 2 α = -- cos 2 α
b tgα = - a	1 1 + ctg 2 α = -- sin2α
a ctgα = - b	1 1 1 + -- = -- tg 2 α sin 2 α
sinα tgα = -- cosα

Terävän kulman kasvaessasinα jatg α kasvaa jacos α pienenee.

Kaikille terävälle kulmille α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Selittävä esimerkki:

Päästä sisään suorakulmainen kolmio ABC
AB = 6,
BC = 3,
kulma A = 30º.

Etsi kulman A sini ja kulman B kosini.

Ratkaisu .

1) Ensin löydämme kulman B arvon. Tässä kaikki on yksinkertaista: koska suorakulmaisessa kolmiossa terävien kulmien summa on 90º, niin kulma B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Laske sini A. Tiedämme, että sini on yhtä suuri kuin vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan. Kulman A vastakkainen jalka on sivu BC. Niin:

eKr. 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2

3) Nyt lasketaan cos B. Tiedämme, että kosini on yhtä suuri kuin viereisen haaran suhde hypotenuusaan. Kulman B viereinen haara on sama sivu BC. Tämä tarkoittaa, että meidän on jälleen jaettava BC: ksi AB - eli suoritettava samat toiminnot kuin laskettaessa kulman A siniä:

eKr. 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Tulos on:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Tästä seuraa, että suorakulmaisessa kolmiossa yhden terävän kulman sini on yhtä suuri kuin toisen terävän kulman kosini - ja päinvastoin. Tämä on juuri sitä, mitä kaksi kaavaamme tarkoittavat:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Katsotaanpa uudestaan:

1) Olkoon α = 60º. Korvaamalla α:n arvon sinikaavaan saamme:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Olkoon α = 30º. Korvaamalla α:n arvon kosinikaavaan, saamme:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30°.

(Lisätietoja trigonometriasta on Algebra-osiossa)

Yksi matematiikan haaroista, joiden kanssa koululaiset selviävät suurimmista vaikeuksista, on trigonometria. Ei ihme: tämän tietoalueen hallitsemiseksi vapaasti tarvitset spatiaalista ajattelua, kykyä löytää sinejä, kosineja, tangentteja, kotangentteja kaavoilla, yksinkertaistaa lausekkeita ja pystyä käyttämään pi:tä laskelmissa. Lisäksi sinun tulee osata soveltaa trigonometriaa lauseiden todistamisessa, mikä edellyttää joko kehittynyttä matemaattista muistia tai kykyä päätellä monimutkaisia ​​loogisia ketjuja.

Trigonometrian alkuperä

Tutustuminen tähän tieteeseen tulisi aloittaa kulman sinin, kosinin ja tangentin määrittelyllä, mutta ensin sinun on selvitettävä, mitä trigonometria yleensä tekee.

Historiallisesti suorakulmaiset kolmiot ovat olleet pääasiallinen tutkimuskohde tässä matemaattisen tieteen osassa. 90 asteen kulman läsnäolo mahdollistaa erilaisten toimintojen suorittamisen, joiden avulla voidaan määrittää tarkasteltavan kuvan kaikkien parametrien arvot käyttämällä kahta sivua ja yhtä kulmaa tai kahta kulmaa ja yhtä sivua. Aiemmin ihmiset huomasivat tämän kuvion ja alkoivat käyttää sitä aktiivisesti rakennusten rakentamisessa, navigoinnissa, tähtitiedossa ja jopa taiteessa.

Ensimmäinen taso

Aluksi ihmiset puhuivat kulmien ja sivujen suhteesta yksinomaan suorakulmaisten kolmioiden esimerkissä. Sitten löydettiin erityisiä kaavoja, jotka mahdollistivat tämän matematiikan osan arkielämän käytön rajojen laajentamisen.

Trigonometrian opiskelu koulussa alkaa nykyään suorakulmaisilla kolmioilla, minkä jälkeen opiskelua hyödynnetään fysiikassa ja abstraktien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa, joiden kanssa työ alkaa lukiossa.

Pallomainen trigonometria

Myöhemmin, kun tiede saavutti seuraavan kehitystason, kaavoja, joissa on sini, kosini, tangentti, kotangentti, alettiin käyttää pallogeometriassa, jossa pätevät muut säännöt, ja kolmion kulmien summa on aina yli 180 astetta. Tätä osaa ei opiskella koulussa, mutta sen olemassaolosta on tiedettävä, ainakin koska maan pinta ja minkä tahansa muun planeetan pinta on kupera, mikä tarkoittaa, että kaikki pinnan merkinnät ovat "kaaren muotoisia" "kolmiulotteisessa avaruudessa.

Ota maapallo ja lanka. Kiinnitä lanka mihin tahansa kahteen maapallon pisteeseen niin, että se on kireällä. Kiinnitä huomiota - se on saanut kaaren muodon. Juuri tällaisilla muodoilla käsittelee pallogeometriaa, jota käytetään geodesiassa, tähtitiedessä ja muilla teoreettisilla ja soveltavilla aloilla.

Suorakulmainen kolmio

Kun olet oppinut hieman trigonometrian käyttötapoja, palataan perustrigonometriaan ymmärtääksemme paremmin, mitä sini, kosini, tangentti ovat, mitä laskelmia niiden avulla voidaan tehdä ja mitä kaavoja käyttää.

Ensimmäinen askel on ymmärtää suorakulmaiseen kolmioon liittyvät käsitteet. Ensinnäkin hypotenuusa on 90 asteen kulman vastainen puoli. Hän on pisin. Muistamme, että Pythagoraan lauseen mukaan sen numeerinen arvo on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summan juuri.

Esimerkiksi, jos kaksi sivua ovat 3 ja 4 senttimetriä vastaavasti, hypotenuusan pituus on 5 senttimetriä. Muuten, muinaiset egyptiläiset tiesivät tästä noin neljä ja puoli tuhatta vuotta sitten.

Kahta jäljellä olevaa sivua, jotka muodostavat suoran kulman, kutsutaan jaloiksi. Lisäksi on muistettava, että kolmion kulmien summa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä on 180 astetta.

Määritelmä

Lopuksi, kun ymmärrämme geometrisen perustan, voimme siirtyä kulman sinin, kosinin ja tangentin määritelmään.

Kulman sini on vastakkaisen haaran (eli halutun kulman vastakkaisen sivun) suhde hypotenuusaan. Kulman kosini on viereisen jalan suhde hypotenuusaan.

Muista, ettei sini eikä kosini voi olla suurempi kuin yksi! Miksi? Koska hypotenuusa on oletuksena pisin, riippumatta siitä, kuinka pitkä jalka on, se on lyhyempi kuin hypotenuusa, mikä tarkoittaa, että niiden suhde on aina pienempi kuin yksi. Joten jos saat tehtävän vastauksessa sinin tai kosinin, jonka arvo on suurempi kuin 1, etsi virhettä laskelmissa tai päättelyssä. Tämä vastaus on selvästi väärä.

Lopuksi kulman tangentti on vastakkaisen sivun suhde viereiseen sivuun. Sama tulos antaa sinin jaon kosinilla. Katso: kaavan mukaan jaamme sivun pituuden hypotenuusalla, jonka jälkeen jaamme toisen sivun pituudella ja kerromme hypotenuusalla. Siten saamme saman suhteen kuin tangentin määritelmässä.

Kotangentti on kulman vieressä olevan sivun suhde vastakkaiseen sivuun. Saamme saman tuloksen jakamalla yksikön tangentilla.

Joten olemme pohtineet määritelmiä siitä, mitä sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat, ja voimme käsitellä kaavoja.

Yksinkertaisimmat kaavat

Trigonometriassa ei voi tulla ilman kaavoja - kuinka löytää sini, kosini, tangentti, kotangentti ilman niitä? Ja juuri tätä vaaditaan ongelmien ratkaisemisessa.

Ensimmäinen kaava, joka sinun tulee tietää aloittaessasi trigonometrian opiskelun, sanoo, että kulman sinin ja kosinin neliöiden summa on yhtä suuri kuin yksi. Tämä kaava on suora seuraus Pythagoraan lauseesta, mutta se säästää aikaa, jos haluat tietää kulman arvon, ei sivun.

Monet opiskelijat eivät muista toista kaavaa, joka on myös erittäin suosittu koulutehtäviä ratkaistaessa: ykkösen ja kulman tangentin neliön summa on yhtä suuri kuin yksi jaettuna kulman kosinin neliöllä. Katso tarkemmin: loppujen lopuksi tämä on sama väite kuin ensimmäisessä kaavassa, vain identiteetin molemmat puolet jaettiin kosinin neliöllä. Osoittautuu, että yksinkertainen matemaattinen operaatio tekee trigonometrisesta kaavasta täysin tunnistamattoman. Muista: kun tiedät, mitä sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat, muunnossäännöt ja muutama peruskaava, voit milloin tahansa itse johtaa tarvittavat monimutkaisemmat kaavat paperiarkille.

Kaksoiskulmakaavat ja argumenttien lisääminen

Kaksi muuta kaavaa, jotka sinun on opittava, liittyvät kulmien summan ja eron sinin ja kosinin arvoihin. Ne on esitetty alla olevassa kuvassa. Huomaa, että ensimmäisessä tapauksessa sini ja kosini kerrotaan molemmat kertaa, ja toisessa lisätään sinin ja kosinin paritulo.

Kaksikulma-argumentteihin liittyy myös kaavoja. Ne ovat täysin johdettu aiemmista - käytännössä yritä saada ne itse ottamalla alfa-kulma yhtä suureksi kuin beeta-kulma.

Lopuksi huomaa, että kaksoiskulmakaavat voidaan muuntaa alentamaan sinin, kosinin ja tangentin alfa-astetta.

Lauseet

Perustrigonometrian kaksi päälausetta ovat sinilause ja kosinilause. Näiden lauseiden avulla voit helposti ymmärtää, kuinka löytää sini, kosini ja tangentti, ja siten kuvion pinta-ala ja kummankin sivun koko jne.

Sinilause sanoo, että jakamalla kolmion kunkin sivun pituus vastakkaisen kulman arvolla, saadaan sama luku. Lisäksi tämä luku on yhtä suuri kuin kaksi rajatun ympyrän sädettä, toisin sanoen ympyrää, joka sisältää kaikki annetun kolmion pisteet.

Kosinilause yleistää Pythagoraan lauseen projisoimalla sen mihin tahansa kolmioon. Osoittautuu, että vähennä kahden sivun neliöiden summasta niiden tulo kerrottuna niiden viereisen kulman kaksoiskosinuksella - tuloksena oleva arvo on yhtä suuri kuin kolmannen sivun neliö. Siten Pythagoraan lause osoittautuu kosinilauseen erikoistapaukseksi.

Virheitä huolimattomuudesta

Tietäenkin, mitä sini, kosini ja tangentti ovat, on helppo tehdä virhe hajamielisyyden tai yksinkertaisimpien laskelmien virheen vuoksi. Tällaisten virheiden välttämiseksi tutustutaan suosituimpiin niistä.

Ensinnäkin tavallisia murtolukuja ei kannata muuntaa desimaaliluvuiksi ennen lopputuloksen saamista - voit jättää vastauksen tavalliseksi murtoluvuksi, ellei ehto toisin mainita. Tällaista muutosta ei voida kutsua virheeksi, mutta on muistettava, että jokaisessa ongelman vaiheessa voi ilmaantua uusia juuria, joita kirjoittajan ajatuksen mukaan pitäisi vähentää. Tässä tapauksessa tuhlaat aikaa tarpeettomiin matemaattisiin operaatioihin. Tämä pätee erityisesti arvoihin, kuten kolmen tai kahden juureen, koska niitä esiintyy tehtävissä jokaisessa vaiheessa. Sama koskee "rumien" numeroiden pyöristämistä.

Huomaa lisäksi, että kosinilause pätee mihin tahansa kolmioon, mutta ei Pythagoraan lauseeseen! Jos unohdat vahingossa vähentää sivujen tulon kaksinkertaisena kerrottuna niiden välisen kulman kosinilla, et saa vain täysin väärää tulosta, vaan myös osoitat aiheen täydellisen väärinymmärryksen. Tämä on pahempaa kuin huolimaton virhe.

Kolmanneksi, älä sekoita 30 ja 60 asteen kulmien arvoja sineille, kosineille, tangenteille ja kotangenteille. Muista nämä arvot, koska 30 asteen sini on yhtä suuri kuin 60:n kosini ja päinvastoin. Ne on helppo sekoittaa, minkä seurauksena saat väistämättä virheellisen tuloksen.

Sovellus

Monilla opiskelijoilla ei ole kiirettä aloittaa trigonometrian opiskelu, koska he eivät ymmärrä sen soveltavaa merkitystä. Mikä on sini, kosini, tangentti insinöörille tai tähtitieteilijälle? Nämä ovat käsitteitä, joiden avulla voit laskea etäisyyden kaukaisiin tähtiin, ennustaa meteoriitin putoamisen, lähettää tutkimusluotaimen toiselle planeetalle. Ilman niitä on mahdotonta rakentaa rakennusta, suunnitella autoa, laskea pinnan kuormitusta tai kohteen liikerataa. Ja nämä ovat vain ilmeisimpiä esimerkkejä! Loppujen lopuksi trigonometriaa muodossa tai toisessa käytetään kaikkialla musiikista lääketieteeseen.

Lopulta

Olet siis sini, kosini, tangentti. Voit käyttää niitä laskelmissa ja ratkaista koulutehtäviä onnistuneesti.

Trigonometrian koko olemus tiivistyy siihen tosiasiaan, että tuntemattomat parametrit on laskettava kolmion tunnetuista parametreista. Parametreja on yhteensä kuusi: kolmen sivun pituudet ja kolmen kulman suuruudet. Koko ero tehtävien välillä on siinä, että syötetiedot annetaan eri tavalla.

Kuinka löytää sini, kosini, tangentti jalkojen tai hypotenuusan tunnettujen pituuksien perusteella, tiedät nyt. Koska nämä termit tarkoittavat vain suhdetta ja suhdeluku on murto-osa, trigonometrisen ongelman päätavoitteena on löytää tavallisen yhtälön tai yhtälöjärjestelmän juuret. Ja täällä sinua auttaa tavallinen koulumatematiikka.

Ohje

Liittyvät videot

merkintä

Kun lasketaan suorakulmaisen kolmion sivuja, sen ominaisuuksien tuntemus voi pelata:
1) Jos suoran kulman haara on 30 asteen kulmaa vastapäätä, se on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta;
2) hypotenuusa on aina pidempi kuin mikään jalka;
3) Jos ympyrä on rajattu suorakulmaisen kolmion ympärille, sen keskipisteen on oltava hypotenuusan keskellä.

Hypotenuusa on suorakulmaisen kolmion sivu, joka on vastapäätä 90 asteen kulmaa. Sen pituuden laskemiseksi riittää, että tietää yhden jalan pituus ja yhden kolmion terävän kulman arvo.

Ohje

Kerro meille yksi jaloista ja sen vieressä oleva kulma. Varmuuden vuoksi olkoon se jalka |AB| ja kulma α. Sitten voimme käyttää kaavaa viereisen haaran trigonometriselle kosini - kosinisuhteelle. Nuo. merkinnässämme cos α = |AB| / |AC|. Tästä saamme hypotenuusan pituuden |AC| = |AB| / cosα.
Jos tunnemme jalan |BC| ja kulma α, niin käytämme kaavaa kulman sinin laskemiseen - kulman sini on yhtä suuri kuin vastakkaisen haaran suhde hypotenuusaan: sin α = |BC| / |AC|. Saamme, että hypotenuusan pituus on |AC| = |BC| / cosα.

Selvyyden vuoksi harkitse esimerkkiä. Olkoon jalan pituus |AB| = 15. Ja kulma α = 60°. Saamme |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Mieti, kuinka voit tarkistaa tuloksesi Pythagoraan lauseen avulla. Tätä varten meidän on laskettava toisen jalan pituus |BC|. Käyttämällä kaavaa kulman tangentille tg α = |BC| / |AC|, saamme |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Seuraavaksi sovellamme Pythagoraan lausetta, saamme 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Varmistus on tehty.

Hyödyllisiä neuvoja

Kun olet laskenut hypotenuusan, tarkista, täyttääkö saatu arvo Pythagoraan lauseen.

Lähteet:

• Alkulukujen taulukko 1 - 10 000

Jalat Nimeä suorakulmaisen kolmion kaksi lyhyttä sivua, jotka muodostavat sen kärjen, joiden arvo on 90 °. Tällaisen kolmion kolmatta sivua kutsutaan hypotenuusaksi. Kaikki nämä kolmion sivut ja kulmat liittyvät toisiinsa tietyillä suhteilla, joiden avulla voit laskea jalan pituuden, jos tunnetaan useita muita parametreja.

Ohje

Käytä Pythagoraan lausetta haaralle (A), jos tiedät suoran kolmion kahden muun sivun (B ja C) pituuden. Tämä lause sanoo, että jalkojen pituuksien neliösumma on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö. Tästä seuraa, että kunkin haaran pituus on yhtä suuri kuin hypotenuusan ja toisen haaran pituuksien neliöjuuri: A=√(C²-B²).

Käytä suoran trigonometrisen funktion "sini" määritelmää terävälle kulmille, jos tiedät laskettua haaraa vastapäätä olevan kulman arvon (α) ja hypotenuusan pituuden (C). Tämä kertoo, että tämän tunnetun sini on halutun jalan pituuden suhde hypotenuusan pituuteen. Tämä tarkoittaa, että halutun haaran pituus on yhtä suuri kuin hypotenuusan pituuden ja tunnetun kulman sinin tulo: A=C∗sin(α). Samoille tunnetuille arvoille voidaan käyttää kosekanttia ja laskea haluttu pituus jakamalla hypotenuusan pituus tunnetun kulman A=C/cosec(α) kosekantilla.

Käytä suoran trigonometrisen kosinifunktion määritelmää, jos hypotenuusan (C) pituuden lisäksi tiedetään myös vaaditun viereisen terävän kulman (β) arvo. Tämän kulman kosini on halutun jalan ja hypotenuusan pituuksien suhde, ja tästä voidaan päätellä, että jalan pituus on yhtä suuri kuin hypotenuusan pituuden ja tunnetun kulman kosinin tulo: A=C∗cos(β). Voit käyttää sekanttifunktion määritelmää ja laskea halutun arvon jakamalla hypotenuusan pituuden tunnetun kulman A=C/s(β) sekantilla.

Johda tarvittava kaava samanlaisesta määritelmästä trigonometrisen funktion tangentin derivaatalle, jos haluttua haaraa (A) vastapäätä olevan terävän kulman (α) arvon lisäksi toisen haaran (B) pituus on tiedossa. Haluttua haaraa vastapäätä olevan kulman tangentti on tämän haaran pituuden suhde toisen haaran pituuteen. Tämä tarkoittaa, että haluttu arvo on yhtä suuri kuin tunnetun haaran pituuden ja tunnetun kulman tangentin tulo: A=B∗tg(α). Näistä samoista tunnetuista suureista voidaan johtaa toinen kaava käyttämällä kotangenttifunktion määritelmää. Tässä tapauksessa haaran pituuden laskemiseksi on tarpeen löytää tunnetun haaran pituuden suhde tunnetun kulman kotangenttiin: A=B/ctg(α).

Liittyvät videot

Sana "katet" tuli venäjäksi kreikasta. Tarkassa käännöksessä se tarkoittaa luotiviivaa, toisin sanoen kohtisuoraa maan pintaan nähden. Matematiikassa jalkoja kutsutaan sivuiksi, jotka muodostavat suoran kolmion suoran kulman. Tätä kulmaa vastapäätä olevaa puolta kutsutaan hypotenuusaksi. Termiä "jalka" käytetään myös arkkitehtuurissa ja hitsaustekniikassa.

Tämän kulman sekantti saadaan jakamalla hypotenuusa viereisellä haaralla, eli secCAB=c/b. Osoittautuu kosinin käänteisluku, eli se voidaan ilmaista kaavalla secCAB=1/cosSAB.
Kosekantti on yhtä suuri kuin hypotenuusan jakaminen vastakkaisella jalalla ja on sinin käänteisluku. Se voidaan laskea kaavalla cosecCAB=1/sinCAB

Molemmat jalat ovat yhteydessä toisiinsa ja kotangentti. Tässä tapauksessa tangentti on sivun a suhde sivuun b, eli viereiseen vastakkaiseen jalkaan. Tämä suhde voidaan ilmaista kaavalla tgCAB=a/b. Vastaavasti käänteissuhde on kotangentti: ctgCAB=b/a.

Hypotenuusan ja molempien jalkojen koon välisen suhteen määritti muinainen kreikkalainen Pythagoras. Lauseen, hänen nimensä, ihmiset käyttävät edelleen. Siinä sanotaan, että hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa, eli c2 \u003d a2 + b2. Vastaavasti jokainen haara on yhtä suuri kuin hypotenuusan ja toisen jalan neliöiden välisen eron neliöjuuri. Tämä kaava voidaan kirjoittaa muodossa b=√(c2-a2).

Jalan pituus voidaan ilmaista myös tuntemillasi suhteilla. Sinien ja kosinien lauseiden mukaan jalka on yhtä suuri kuin hypotenuusan ja yhden näistä funktioista tulo. Voit ilmaista sen ja tai kotangentti. Jalka a löytyy esimerkiksi kaavasta a \u003d b * tan CAB. Täsmälleen samalla tavalla, riippuen annetusta tangentista tai , toinen jalka määritetään.

Arkkitehtuurissa käytetään myös termiä "jalka". Se asetetaan ionipäähän ja luoti sen selän keskeltä. Eli tässä tapauksessa tällä termillä kohtisuora annettuun viivaan nähden.

Hitsaustekniikassa on "pienahitsien jalka". Kuten muissakin tapauksissa, tämä on lyhin etäisyys. Tässä puhutaan yhden hitsattavan osan välisestä rakosta toisen osan pinnalla olevan sauman reunaan.

Liittyvät videot

Lähteet:

• mikä on jalka ja hypotenuusa vuonna 2019

Mikä on kulman sini, kosini, tangentti, kotangentti, auttaa sinua ymmärtämään suorakulmaisen kolmion.

Mitä kutsutaan suorakulmaisen kolmion sivuiksi? Aivan oikein, hypotenuusa ja jalat: hypotenuusa on oikeaa kulmaa vastapäätä oleva sivu (esimerkissämme tämä on sivu \ (AC \) ); jalat ovat kaksi jäljellä olevaa sivua \ (AB \) ja \ (BC \) (ne, jotka ovat oikean kulman vieressä), lisäksi, jos tarkastelemme jalkoja kulman \ (BC \) suhteen, niin jalka \ (AB \) on viereinen haara ja jalka \ (BC \) on vastakkainen. Joten, nyt vastataan kysymykseen: mitkä ovat kulman sini, kosini, tangentti ja kotangentti?

Kulman sini- tämä on vastakkaisen (kaukaisen) jalan suhde hypotenuusaan.

Meidän kolmiossa:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kulman kosini- tämä on viereisen (läheisen) jalan suhde hypotenuusaan.

Meidän kolmiossa:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Kulman tangentti- tämä on vastakkaisen (kaukaisen) jalan suhde viereiseen (läheiseen).

Meidän kolmiossa:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kulman kotangentti- tämä on viereisen (läheisen) jalan suhde vastakkaiseen (kaumaan).

Meidän kolmiossa:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Nämä määritelmät ovat välttämättömiä muistaa! Jotta olisi helpompi muistaa, mikä jalka jakaa millä, sinun on ymmärrettävä se selvästi tangentti ja kotangentti vain jalat istuvat, ja hypotenuusa ilmestyy vain sisään sinus ja kosini. Ja sitten voit keksiä assosiaatioketjun. Esimerkiksi tämä:

kosini→kosketus→kosketus→viereinen;

Kotangentti→kosketus→kosketus→viereinen.

Ensinnäkin on muistettava, että sini, kosini, tangentti ja kotangentti kolmion sivujen suhteina eivät riipu näiden sivujen pituuksista (yhdessä kulmassa). Älä luota? Varmista sitten katsomalla kuvaa:

Otetaan esimerkiksi kulman \(\beta \) kosini. Määritelmän mukaan kolmiosta \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), mutta voimme laskea kulman \(\beta \) kosinin kolmiosta \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Katsos, sivujen pituudet ovat erilaisia, mutta yhden kulman kosinin arvo on sama. Siten sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot riippuvat yksinomaan kulman suuruudesta.

Jos ymmärrät määritelmät, mene eteenpäin ja korjaa ne!

Alla olevassa kuvassa näkyvälle kolmiolle \(ABC \) löydämme \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)

No, saitko sen? Kokeile sitten itse: laske sama kulmalle \(\beta \) .

Vastaukset: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Yksikkö (trigonometrinen) ympyrä

Ymmärtääksemme asteen ja radiaanin käsitteet tarkastelimme ympyrää, jonka säde on yhtä suuri kuin \ (1 \) . Sellaista ympyrää kutsutaan yksittäinen. Se on erittäin hyödyllinen trigonometrian tutkimuksessa. Siksi käsittelemme sitä hieman yksityiskohtaisemmin.

Kuten näet, tämä ympyrä on rakennettu suorakulmaiseen koordinaattijärjestelmään. Ympyrän säde on yhtä suuri kuin yksi, kun taas ympyrän keskipiste on origossa, sädevektorin alkusijainti on kiinteä \(x \)-akselin positiivista suuntaa pitkin (esimerkissämme tämä on säde \(AB \) ).

Jokainen ympyrän piste vastaa kahta numeroa: koordinaatti akselilla \(x \) ja koordinaatti akselilla \(y \) . Mitä nämä koordinaattiluvut ovat? Ja ylipäätään, mitä tekemistä niillä on käsillä olevan aiheen kanssa? Muista tätä varten katsottu suorakulmainen kolmio. Yllä olevassa kuvassa näet kaksi kokonaista suorakulmaista kolmiota. Tarkastellaan kolmiota \(ACG \) . Se on suorakaiteen muotoinen, koska \(CG \) on kohtisuorassa \(x \)-akselia vastaan.

Mikä on \(\cos \ \alpha \) kolmiosta \(ACG \)? Oikein \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Lisäksi tiedämme, että \(AC \) on yksikköympyrän säde, joten \(AC=1 \) . Korvaa tämä arvo kosinikaavaamme. Tässä on mitä tapahtuu:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Ja mikä on \(\sin \ \alpha \) kolmiosta \(ACG \)? No tottakai, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Korvaa säteen arvo \ (AC \) tässä kaavassa ja saat:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Joten, voitko kertoa minulle, mitkä ovat ympyrään kuuluvan pisteen \(C \) koordinaatit? No ei mitenkään? Mutta entä jos ymmärrät, että \(\cos \ \alpha \) ja \(\sin \alpha \) ovat vain numeroita? Mitä koordinaattia \(\cos \alpha \) vastaa? No, tietysti koordinaatti \(x \) ! Ja mitä koordinaattia \(\sin \alpha \) vastaa? Aivan oikein, \(y \) koordinaatti! Eli pointti \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Mitä sitten ovat \(tg \alpha \) ja \(ctg \alpha \) ? Se on oikein, käytetään sopivia tangentin ja kotangentin määritelmiä ja saadaan se \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), a \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Entä jos kulma on suurempi? Tässä esimerkiksi, kuten tässä kuvassa:

Mikä tässä esimerkissä on muuttunut? Selvitetään se. Tätä varten käännymme jälleen suorakulmaiseen kolmioon. Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : kulma (kulman \(\beta \) vieressä). Mikä on kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvo \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Aivan oikein, noudatamme vastaavia trigonometristen funktioiden määritelmiä:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\kulma ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\kulma ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

No, kuten näet, kulman sinin arvo vastaa edelleen koordinaattia \ (y \) ; kulman kosinin arvo - koordinaatti \ (x \) ; ja tangentin ja kotangentin arvot vastaaviin suhteisiin. Siten nämä suhteet ovat sovellettavissa mihin tahansa sädevektorin kiertoon.

On jo mainittu, että sädevektorin alkusijainti on \(x \)-akselin positiivisessa suunnassa. Toistaiseksi olemme kiertäneet tätä vektoria vastapäivään, mutta mitä tapahtuu, jos käännämme sitä myötäpäivään? Ei mitään poikkeuksellista, saat myös tietyn kokoisen kulman, mutta vain se on negatiivinen. Siten, kun kierretään sädevektoria vastapäivään, saamme positiiviset kulmat ja myötäpäivään käännettäessä - negatiivinen.

Tiedämme siis, että sädevektorin koko kierros ympyrän ympäri on \(360()^\circ \) tai \(2\pi \) . Onko mahdollista kiertää sädevektoria \(390()^\circ \) tai \(-1140()^\circ \)? No tottakai voit! Ensimmäisessä tapauksessa \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), joten sädevektori tekee yhden täyden kierroksen ja pysähtyy kohtaan \(30()^\circ \) tai \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Toisessa tapauksessa \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), eli sädevektori tekee kolme täydellistä kierrosta ja pysähtyy kohtaan \(-60()^\circ \) tai \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Siten yllä olevista esimerkeistä voimme päätellä, että kulmat, jotka eroavat toisistaan ​​\(360()^\circ \cdot m \) tai \(2\pi \cdot m \) (jossa \(m \) on mikä tahansa kokonaisluku ) vastaavat sädevektorin samaa sijaintia.

Alla olevassa kuvassa näkyy kulma \(\beta =-60()^\circ \) . Sama kuva vastaa nurkkaa \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) jne. Tätä listaa voi jatkaa loputtomiin. Kaikki nämä kulmat voidaan kirjoittaa yleisellä kaavalla \(\beta +360()^\circ \cdot m\) tai \(\beta +2\pi \cdot m \) (jossa \(m \) on mikä tahansa kokonaisluku)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Nyt, kun tiedät trigonometristen perusfunktioiden määritelmät ja käyttämällä yksikköympyrää, yritä vastata, mitä arvot ovat yhtä suuria:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\teksti(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\teksti(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\teksti (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\teksti (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Tässä on yksikköympyrä, joka auttaa sinua:

Onko vaikeuksia? Otetaanpa sitten selvää. Tiedämme siis, että:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(array) \)

Täältä määritämme tiettyjä kulman mittaa vastaavien pisteiden koordinaatit. No, aloitetaan järjestyksessä: kulma sisään \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) vastaa pistettä, jonka koordinaatit \(\left(0;1 \right) \) , joten:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- ei ole olemassa;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Lisäksi samaa logiikkaa noudattaen saamme selville, että kulmat sisäänpäin \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) vastaavat pisteitä, joissa on koordinaatit \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \oikea) \), vastaavasti. Tämän tietäen on helppo määrittää trigonometristen funktioiden arvot vastaavissa pisteissä. Kokeile ensin itse ja tarkista sitten vastaukset.

Vastaukset:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- ei ole olemassa

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- ei ole olemassa

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- ei ole olemassa

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- ei ole olemassa

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Näin ollen voimme tehdä seuraavan taulukon:

Kaikkia näitä arvoja ei tarvitse muistaa. Riittää, kun muistat yksikköympyrän pisteiden koordinaattien ja trigonometristen funktioiden arvojen välisen vastaavuuden:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Täytyy muistaa tai pystyä tulostamaan!! \) !}

Ja tässä ovat kulmien trigonometristen funktioiden arvot ja \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) alla olevan taulukon mukaisesti, sinun on muistettava:

Ei tarvitse pelätä, nyt näytämme yhden esimerkin vastaavien arvojen melko yksinkertaisesta muistamisesta:

Tämän menetelmän käyttämiseksi on tärkeää muistaa siniarvot kaikille kolmelle kulmamitalle ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), sekä kulman tangentin arvo muodossa \(30()^\circ \) . Kun tiedät nämä \(4 \) arvot, koko taulukko on melko helppo palauttaa - kosiniarvot siirretään nuolien mukaisesti, eli:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(array) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), tämän tietäen on mahdollista palauttaa arvot \(\teksti(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Osoittaja "\(1 \)" vastaa \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , ja nimittäjä "\(\sqrt(\text(3)) \)" vastaa \ (\teksti (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangenttiarvot siirretään kuvassa olevien nuolien mukaisesti. Jos ymmärrät tämän ja muistat kaavion nuolilla, riittää, että muistat vain \(4 \) arvot taulukosta.

Ympyrän pisteen koordinaatit

Onko mahdollista löytää piste (sen koordinaatit) ympyrästä, kun tiedetään ympyrän keskipisteen koordinaatit, säde ja kiertokulma? No tottakai voit! Johdetaan yleinen kaava pisteen koordinaattien löytämiseksi. Tässä meillä on esimerkiksi tällainen ympyrä:

Se piste meille on annettu \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) on ympyrän keskipiste. Ympyrän säde on \(1,5 \) . On tarpeen löytää pisteen \(P \) koordinaatit, jotka saadaan kiertämällä pistettä \(O \) \(\delta \) astetta.

Kuten kuvasta näkyy, pisteen \ (P \) koordinaatti \ (x \) vastaa janan \ pituutta (TP=UQ=UK+KQ \) . Janan \ (UK \) pituus vastaa ympyrän keskipisteen koordinaattia \ (x \), eli se on yhtä suuri kuin \ (3 \) . Janan \(KQ \) pituus voidaan ilmaista käyttämällä kosinin määritelmää:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Sitten meillä on pisteen \(P \) koordinaatti \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Samalla logiikalla löydämme pisteen \(P \) y-koordinaatin arvon. Tällä tavalla,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Joten yleisesti ottaen pisteiden koordinaatit määritetään kaavoilla:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), missä

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - ympyrän keskipisteen koordinaatit,

\(r\) - ympyrän säde,

\(\delta \) - vektorin säteen kiertokulma.

Kuten näette, harkitsemamme yksikköympyrän osalta nämä kaavat pienenevät merkittävästi, koska keskustan koordinaatit ovat nolla ja säde on yhtä suuri:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Javascript on poistettu käytöstä selaimessasi.
ActiveX-komponentit on otettava käyttöön, jotta voit tehdä laskelmia!

Trigonometria on matematiikan haara, joka tutkii trigonometrisiä funktioita ja niiden käyttöä geometriassa. Trigonometrian kehitys alkoi antiikin Kreikan päivinä. Keskiajalla Lähi-idän ja Intian tutkijat antoivat merkittävän panoksen tämän tieteen kehitykseen.

Tämä artikkeli on omistettu trigonometrian peruskäsitteille ja määritelmille. Siinä käsitellään tärkeimpien trigonometristen funktioiden määritelmiä: sini, kosini, tangentti ja kotangentti. Niiden merkitys geometrian kontekstissa selitetään ja havainnollistetaan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Aluksi trigonometristen funktioiden määritelmät, joiden argumentti on kulma, ilmaistiin suorakulmaisen kolmion sivujen suhteena.

Trigonometristen funktioiden määritelmät

Kulman sini (sin α) on tätä kulmaa vastapäätä olevan jalan suhde hypotenuusaan.

Kulman kosini (cos α) on viereisen haaran suhde hypotenuusaan.

Kulman tangentti (t g α) on vastakkaisen jalan suhde viereiseen.

Kulman kotangentti (c t g α) on viereisen jalan suhde vastakkaiseen.

Nämä määritelmät on annettu suorakulmaisen kolmion terävälle kulmille!

Annetaan esimerkki.

Kolmiossa ABC, jossa on suora kulma C, kulman A sini on yhtä suuri kuin haaran BC ja hypotenuusan AB suhde.

Sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmät mahdollistavat näiden funktioiden arvojen laskemisen kolmion sivujen tunnetuista pituuksista.

Tärkeää muistaa!

Sini- ja kosiniarvojen alue: -1 - 1. Toisin sanoen sini ja kosini ottavat arvot välillä -1 - 1. Tangentin ja kotangentin arvojen alue on koko lukuviiva, eli nämä funktiot voivat saada minkä tahansa arvon.

Yllä annetut määritelmät viittaavat teräviin kulmiin. Trigonometriassa otetaan käyttöön kiertokulman käsite, jonka arvoa, toisin kuin terävää kulmaa, eivät rajoita kehykset 0 - 90 astetta. Kiertokulma asteina tai radiaaneina ilmaistaan ​​millä tahansa reaaliluvulla - ∞ - + ∞.

Tässä yhteydessä voidaan määritellä mielivaltaisen kulman sini, kosini, tangentti ja kotangentti. Kuvittele yksikköympyrä, jonka keskipiste on suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän origo.

Aloituspiste A koordinaattein (1 , 0) pyörii yksikköympyrän keskipisteen ympäri kulman α verran ja menee pisteeseen A 1 . Määritelmä annetaan pisteen A 1 (x, y) koordinaattien kautta.

Pyörimiskulman sini (sini).

Kiertokulman α sini on pisteen A 1 (x, y) ordinaatta. sinα = y

Pyörimiskulman kosini (cos).

Pyörimiskulman α kosini on pisteen A 1 (x, y) abskissa. cos α = x

Pyörimiskulman tangentti (tg).

Kiertokulman α tangentti on pisteen A 1 (x, y) ordinaatin suhde sen abskissaan. t g α = y x

Pyörimiskulman kotangentti (ctg).

Pyörimiskulman α kotangentti on pisteen A 1 (x, y) abskissan suhde sen ordinaataan. c t g α = x y

Sini ja kosini määritellään mille tahansa kiertokulmalle. Tämä on loogista, koska pisteen abskissa ja ordinaatta kierron jälkeen voidaan määrittää missä tahansa kulmassa. Tilanne on erilainen tangentin ja kotangentin kanssa. Tangenttia ei määritellä, kun kierron jälkeinen piste menee pisteeseen, jossa on nolla-abskissa (0 , 1) ja (0 , - 1). Tällaisissa tapauksissa tangentin t g α = y x lausekkeella ei yksinkertaisesti ole järkeä, koska se sisältää jaon nollalla. Tilanne on samanlainen kotangentin kanssa. Erona on, että kotangenttia ei määritellä tapauksissa, joissa pisteen ordinaatta katoaa.

Tärkeää muistaa!

Sini ja kosini määritellään mille tahansa kulmille α.

Tangentti on määritelty kaikille kulmille paitsi α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Kotangentti määritellään kaikille kulmille paitsi α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Kun ratkaiset käytännön esimerkkejä, älä sano "kiertokulman α sini". Sanat "kiertokulma" on yksinkertaisesti jätetty pois, mikä tarkoittaa, että kontekstista on jo selvää, mistä on kyse.

Numerot

Entä luvun sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmä, ei kiertokulma?

Luvun sini, kosini, tangentti, kotangentti

Luvun sini, kosini, tangentti ja kotangentti t kutsutaan lukua, joka on vastaavasti yhtä suuri kuin sini, kosini, tangentti ja kotangentti in t radiaani.

Esimerkiksi 10 π:n sini on yhtä suuri kuin 10 π rad:n kiertokulman sini.

On olemassa toinen lähestymistapa luvun sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määrittelyyn. Tarkastellaanpa sitä tarkemmin.

Mikä tahansa todellinen luku t yksikköympyrän piste asetetaan vastaamaan suorakaiteen muotoisen suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän origon keskustaa. Sini, kosini, tangentti ja kotangentti määritellään tämän pisteen koordinaatteina.

Ympyrän aloituspiste on piste A koordinaattein (1 , 0).

positiivinen luku t

Negatiivinen numero t vastaa pistettä, johon aloituspiste siirtyy, jos se liikkuu vastapäivään ympyrän ympäri ja ohittaa polun t .

Nyt kun luvun ja ympyrän pisteen välinen yhteys on muodostettu, siirrytään sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määrittelyyn.

Luvun t sini (sini).

Luvun sini t- numeroa vastaavan yksikköympyrän pisteen ordinaatit t. sin t = y

T:n kosini (cos).

Luvun kosini t- numeroa vastaavan yksikköympyrän pisteen abskissa t. cos t = x

Tangentti (tg) t:stä

Luvun tangentti t- numeroa vastaavan yksikköympyrän pisteen ordinaatan suhde abskissaan t. t g t = y x = sin t cos t

Jälkimmäiset määritelmät ovat yhdenmukaisia ​​tämän osan alussa annetun määritelmän kanssa eivätkä ole ristiriidassa sen kanssa. Piste ympyrällä, joka vastaa numeroa t, osuu yhteen pisteen kanssa, johon aloituspiste kulkee kulman läpi kääntymisen jälkeen t radiaani.

Kulma- ja numeerisen argumentin trigonometriset funktiot

Jokainen kulman α arvo vastaa tiettyä tämän kulman sinin ja kosinin arvoa. Aivan kuten kaikki muut kulmat α kuin α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) vastaa tiettyä tangentin arvoa. Kotangentti, kuten edellä mainittiin, on määritelty kaikille α:lle paitsi α = 180 °k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Voidaan sanoa, että sin α , cos α , t g α , c t g α ovat kulman alfa funktioita tai kulma-argumentin funktioita.

Samoin voidaan puhua sinistä, kosinista, tangentista ja kotangentista numeerisen argumentin funktioina. Jokainen oikea luku t vastaa luvun sinin tai kosinin tiettyä arvoa t. Kaikki muut luvut paitsi π 2 + π · k , k ∈ Z vastaavat tangentin arvoa. Kotangentti määritellään samalla tavalla kaikille luvuille paitsi π · k , k ∈ Z.

Trigonometrian perusfunktiot

Sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat trigonometrisiä perusfunktioita.

Kontekstista on yleensä selvää, mistä trigonometrisen funktion argumentista (kulma- vai numeerinen argumentti) on kyse.

Palataan dataan määritelmien alussa ja kulmaan alfa, joka on alueella 0 - 90 astetta. Sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin trigonometriset määritelmät ovat täysin sopusoinnussa suorakulmaisen kolmion sivujen suhteilla annettujen geometristen määritelmien kanssa. Näytä se.

Ota yksikköympyrä, jonka keskipiste on suorakulmainen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä. Kierretään aloituspistettä A (1, 0) jopa 90 asteen kulmassa ja vedetään tuloksena olevasta pisteestä A 1 (x, y) kohtisuoraan x-akseliin nähden. Tuloksena olevassa suorakulmaisessa kolmiossa kulma A 1 O H on yhtä suuri kuin kiertokulma α, haaran O H pituus on yhtä suuri kuin pisteen A 1 (x, y) abskissa. Kulmaa vastapäätä olevan jalan pituus on yhtä suuri kuin pisteen A 1 (x, y) ordinaatit ja hypotenuusan pituus on yksi, koska se on yksikköympyrän säde.

Geometrian määritelmän mukaan kulman α sini on yhtä suuri kuin vastakkaisen haaran suhde hypotenuusaan.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Tämä tarkoittaa, että suorakulmaisen kolmion terävän kulman sinin määritelmä kuvasuhteen kautta vastaa kiertokulman α sinin määritelmää alfan ollessa alueella 0 - 90 astetta.

Vastaavasti määritelmien vastaavuus voidaan osoittaa kosinille, tangentille ja kotangentille.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter