align=center>

Trigonometria- matematiikan mikroleikkaus, joka tutkii kolmioiden kulmien ja sivujen pituuksien välistä suhdetta sekä trigonometristen funktioiden algebrallisia identiteettejä.
On monia alueita, joilla trigonometriaa ja trigonometrisia funktioita sovelletaan. Trigonometriaa tai trigonometrisia toimintoja käytetään tähtitieteessä, meri- ja lennonvarmistuksessa, akustiikassa, optiikassa, elektroniikassa, arkkitehtuurissa ja muilla aloilla.

Trigonometrian luomisen historia

Trigonometrian historia kolmion kulmien ja sivujen sekä muiden geometristen kuvioiden välisiä suhteita tutkivana tieteenä kattaa yli kaksi tuhatta vuotta. Useimpia näistä suhteista ei voida ilmaista tavallisilla algebrallisilla operaatioilla, ja siksi oli tarpeen ottaa käyttöön erityiset trigonometriset funktiot, jotka esitettiin alun perin numeeristen taulukoiden muodossa.
Historioitsijat uskovat, että muinaiset tähtitieteilijät loivat trigonometrian, ja vähän myöhemmin sitä alettiin käyttää arkkitehtuurissa. Ajan myötä trigonometrian laajuus on laajentunut jatkuvasti, ja nykyään se sisältää lähes kaikki luonnontieteet, teknologian ja monet muut toiminta-alueet.

Alkuvuosisatoja

Babylonilaisesta matematiikasta olemme tottuneet mittaamaan kulmia asteina, minuutteina ja sekunteina (näiden yksiköiden käyttöönotto antiikin Kreikan matematiikassa on yleensä 2. vuosisadalla eKr.).

Tämän ajanjakson tärkein saavutus oli jalkojen ja hypotenuusan suhde suorakulmaisessa kolmiossa, jota myöhemmin kutsuttiin Pythagoraan lauseeksi.

Muinainen Kreikka

Muinaisen Kreikan geometriassa esiintyi trigonometristen suhteiden yleinen ja loogisesti johdonmukainen esitys. Kreikkalaiset matemaatikot eivät vielä valinneet trigonometriaa erilliseksi tieteeksi, vaan heille se oli osa tähtitiedettä.
Muinaisen trigonometrisen teorian pääsaavutus oli "kolmioiden ratkaisemisen" ongelman yleinen ratkaisu eli kolmion tuntemattomien elementtien löytäminen kolmen tietyn elementin perusteella (joista vähintään yksi on sivu).
Sovellettavat trigonometriset ongelmat ovat hyvin erilaisia ​​- esimerkiksi listattujen suureiden operaatioiden mitattavissa olevat tulokset (esim. kulmien summa tai sivujen pituuksien suhde) voidaan asettaa.
Samanaikaisesti tasotrigonometrian kehityksen kanssa kreikkalaiset edistyivät tähtitieteen vaikutuksesta pallomaista trigonometriaa pitkälle. Eukleideen "Periaatteissa" tästä aiheesta on vain lause erikokoisten pallojen tilavuuksien suhteesta, mutta tähtitieteen ja kartografian tarpeet aiheuttivat pallomaisen trigonometrian ja siihen liittyvien alueiden nopean kehityksen - taivaankoordinaatiston, kartografisten projektioiden teoria ja tähtitieteellisten instrumenttien tekniikka.

Keskiaika

IV vuosisadalla, muinaisen tieteen kuoleman jälkeen, matematiikan kehityskeskus muutti Intiaan. He muuttivat joitain trigonometrian käsitteitä tuoden ne lähemmäksi nykyaikaisia: esimerkiksi he ottivat ensimmäisenä käyttöön kosinin.

Ensimmäinen erikoistunut trigonometriaa käsittelevä tutkielma oli Keski-Aasialaisen tiedemiehen (X-XI vuosisata) työ "Astronomian tieteen avainten kirja" (995-996). Koko trigonometrian kurssi sisälsi Al-Birunin pääteoksen - "Mas'udin kaanonin" (Kirja III). Sinitaulukoiden (askel 15") lisäksi Al-Biruni antoi tangenttien taulukot (askel 1 °).

Sen jälkeen, kun arabiankieliset tutkielmat käännettiin latinaksi XII-XIII vuosisadalla, monet intialaisten ja persialaisten matemaatikoiden ideat tulivat eurooppalaisen tieteen omaisuudeksi. Ilmeisesti eurooppalaisten ensimmäinen tutustuminen trigonometriaan tapahtui zij:n ansiosta, josta kaksi käännöstä tehtiin 1100-luvulla.

Englantilaisen tähtitieteilijän Richard of Wallingfordin (noin 1320) ensimmäistä täysin trigonometrialle omistettua eurooppalaista teosta kutsutaan usein neljäksi traktaatiksi suorista ja käänteisistä sointuista. Trigonometriset taulukot, jotka on usein käännetty arabiasta, mutta joskus alkuperäisiä, sisältyvät useiden muiden 1300-1400-luvun kirjoittajien teoksiin. Sitten trigonometria otti paikkansa yliopistokurssien joukossa.

uusi aika

Trigonometrian kehitys nykyaikana on tullut äärimmäisen tärkeäksi ei vain tähtitiedelle ja astrologialle, vaan myös muille sovelluksille, erityisesti tykistölle, optiikalle ja navigoinnille pitkän matkan merimatkoilla. Siksi 1500-luvun jälkeen monet merkittävät tiedemiehet käsittelivät tätä aihetta, mukaan lukien Nicolaus Copernicus, Johannes Kepler, Francois Viet. Kopernikus omisti kaksi lukua trigonometrialle tutkielmassaan Taivaanpallojen vallankumouksista (1543). Pian (1551) ilmestyivät Kopernikuksen oppilaan Rheticuksen 15-numeroiset trigonometriset taulukot. Kepler julkaisi Optical Astronomy (1604).

Vieta "Mathematical Canon" (1579) ensimmäisessä osassa asetti erilaisia ​​taulukoita, mukaan lukien trigonometriset, ja toisessa osassa hän esitti yksityiskohtaisen ja systemaattisen, vaikkakin ilman todisteita, taso- ja pallotrigonometrian esityksen. Vuonna 1593 Vieta valmisteli tästä suuresta teoksesta laajennetun painoksen.
Albrecht Dürerin työn ansiosta syntyi sinusoidi.

1700-luvulla

Hän antoi trigonometrialle modernin ilmeen. Tutkielmassa Introduction to the Analysis of Infinites (1748) Euler määritteli trigonometriset funktiot, jotka vastaavat nykyaikaa ja määritteli käänteisfunktiot sen mukaisesti.

Euler piti negatiivisia kulmia ja yli 360°:ta suurempia kulmia hyväksyttävinä, mikä mahdollisti trigonometristen funktioiden määrittämisen koko reaalilukuviivalla ja laajentaa ne sitten kompleksitasolle. Kun heräsi kysymys trigonometristen funktioiden laajentamisesta tylpäille kulmille, näiden funktioiden merkit ennen Euleria valittiin usein virheellisesti; monet matemaatikot pitivät esimerkiksi tylpän kulman kosinia ja tangenttia positiivisina. Euler määritti nämä merkit kulmille eri koordinaattineljänneissä pelkistyskaavojen perusteella.
Euler ei tutkinut yleistä trigonometristen sarjojen teoriaa eikä tutkinut saatujen sarjojen konvergenssia, mutta hän sai useita tärkeitä tuloksia. Erityisesti hän johti sinin ja kosinin kokonaislukupotenssien laajennukset.

Trigonometrian soveltaminen

Ne, jotka sanovat, että trigonometriaa ei tarvita oikeassa elämässä, ovat omalla tavallaan oikeassa. No, mitkä ovat sen tavalliset sovelletut tehtävät? Mittaa saavuttamattomien kohteiden välinen etäisyys.
Erittäin tärkeä on kolmiomittaustekniikka, jonka avulla voidaan mitata etäisyyksiä läheisiin tähtiin tähtitieteen alalla, maamerkkien välisiä etäisyyksiä maantieteessä ja ohjata satelliittinavigointijärjestelmiä. Huomionarvoista on myös trigonometrian soveltaminen sellaisilla aloilla kuten navigointitekniikka, musiikin teoria, akustiikka, optiikka, rahoitusmarkkina-analyysi, elektroniikka, todennäköisyyslaskenta, tilastot, biologia, lääketiede (mukaan lukien ultraääni ja tietokonetomografia), lääkkeet, kemia, numeroteoria (ja sen seurauksena kryptografia), seismologia, meteorologia, valtameri, kartografia, monet fysiikan alat, topografia ja geodesia, arkkitehtuuri, fonetiikka, taloustiede, elektroniikkatekniikka, konetekniikka, tietokonegrafiikka, kristallografia jne.
Johtopäätös: trigonometria on valtava apuväline jokapäiväisessä elämässämme.

Trigonometria lääketieteessä ja biologiassa

Borytmi malli voidaan rakentaa trigonometristen funktioiden avulla. Biorytmimallin rakentamiseksi sinun on syötettävä henkilön syntymäaika, viitepäivämäärä (päivä, kuukausi, vuosi) ja ennusteen kesto (päivien lukumäärä).

Sydän kaava. Iranilaisen Shiraz-yliopiston opiskelijan Wahid-Reza Abbasin tekemän tutkimuksen tuloksena lääkärit pystyivät ensimmäistä kertaa virtaviivaistamaan sydämen sähköiseen toimintaan liittyvää tietoa tai toisin sanoen elektrokardiografiaa. Kaava on monimutkainen algebrallis-trigonometrinen yhtälö, joka koostuu 8 lausekkeesta, 32 kertoimesta ja 33 pääparametrista, mukaan lukien useita lisäparametreja laskutoimituksia varten rytmihäiriötapauksissa. Lääkäreiden mukaan tämä kaava helpottaa suuresti sydämen toiminnan pääparametrien kuvausprosessia, mikä nopeuttaa diagnoosia ja varsinaisen hoidon aloittamista.

Trigonometria auttaa myös aivojamme määrittämään etäisyydet esineisiin.

1) Trigonometria auttaa aivojamme määrittämään etäisyydet esineisiin.

Amerikkalaiset tutkijat väittävät, että aivot arvioivat etäisyyden esineisiin mittaamalla maatason ja näkötason välisen kulman. Tarkkaan ottaen ajatus "kulmien mittaamisesta" ei ole uusi. Jopa muinaisen Kiinan taiteilijat maalasivat kaukaisia ​​esineitä korkeammalle näkökentässä jättäen jonkin verran huomioimatta perspektiivin lakeja. Alhazen, 1000-luvun arabitutkija, muotoili teorian etäisyyden määrittämisestä kulmia arvioimalla. Pitkän unohduksen jälkeen viime vuosisadan puolivälissä psykologi James herätti idean henkiin

2)Kalojen liikkuminen vedessä tapahtuu sinin tai kosinin lain mukaan, jos kiinnität pisteen häntään ja otat sitten huomioon liikkeen radan. Uidessa kalan runko saa käyrän muodon, joka muistuttaa funktion y=tg(x) kuvaajaa.
5. Päätelmät

Tutkimustyön tuloksena:

· Tutustuin trigonometrian historiaan.

· Systematisoidut menetelmät trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

· Oppinut trigonometrian sovelluksista arkkitehtuurissa, biologiassa ja lääketieteessä.

MBOU Tselinnaya lukio

Raportoi trigonometria tosielämässä

Valmisteltu ja toteutettu

matematiikan opettaja

pätevyysluokka

Ilyina V.P.

Tselinny maaliskuussa 2014

Sisällysluettelo.

1. Esittely .

2. Trigonometrian luomisen historia:

Alkuvuosisatoja.

Muinainen Kreikka.

Keskiaika.

Uusi aika.

Pallogeometrian kehityksen historiasta.

3. Trigonometria ja tosielämä:

Trigonometrian soveltaminen navigoinnissa.

Trigonometria algebrassa.

Trigonometria fysiikassa.

Trigonometria lääketieteessä ja biologiassa.

Trigonometria musiikissa.

Trigonometria tietojenkäsittelytieteessä

Trigonometria rakentamisessa ja geodesiassa.

4. Yhteenveto .

5. Viiteluettelo.

Johdanto

Matematiikassa on jo pitkään vakiintunut, että matematiikan systemaattisessa opiskelussa meidän opiskelijoiden on kohdattava trigonometria kolme kertaa. Näin ollen sen sisältö näyttää koostuvan kolmesta osasta. Harjoittelun aikana nämä osat erotetaan toisistaan ​​ajallisesti eivätkä muistuta toisiaan peruskäsitteiden selitykseen panostetun merkityksen eikä kehitettyjen laitteiden ja palvelutoimintojen (sovellusten) osalta.

Ja itse asiassa törmäsimme ensimmäistä kertaa trigonometriseen materiaaliin 8. luokalla opiskellessamme aihetta "Suorakulmaisen kolmion sivujen ja kulmien väliset suhteet". Joten opimme mitä sini, kosini ja tangentti ovat, opimme ratkaisemaan litteitä kolmioita.

Aikaa kuitenkin kului ja 9. luokalla palasimme taas trigonometriaan. Mutta tämä trigonometria ei ole samanlainen kuin aiemmin tutkittu. Sen suhteet määritellään nyt ympyrän (yksikköpuoliympyrän) avulla, ei suorakulmaisen kolmion avulla. Vaikka ne määritellään edelleen kulmien funktioiksi, nämä kulmat ovat jo mielivaltaisen suuria.

10. luokalle siirryttyämme kohtasimme jälleen trigonometrian ja huomasimme sen muuttuneen entistä vaikeammaksi, kulman radiaanimitan käsite otettiin käyttöön ja trigonometriset identiteetit sekä tehtävien muotoilu ja niiden ratkaisujen tulkinta näyttävät. eri. Esitetään trigonometristen funktioiden kuvaajat. Lopulta trigonometriset yhtälöt ilmestyvät. Ja kaikki tämä materiaali ilmestyi meille jo osana algebraa, ei geometriana. Ja meille tuli erittäin mielenkiintoista tutkia trigonometrian historiaa, sen soveltamista jokapäiväiseen elämään, koska matematiikan opettajan historiatietojen käyttö ei ole pakollista oppitunnin materiaalia esitettäessä. Kuitenkin, kuten K. A. Malygin huomauttaa, "... retket historialliseen menneisyyteen elävöittävät oppituntia, rentouttavat henkistä stressiä, lisäävät kiinnostusta tutkittavaa materiaalia kohtaan ja edistävät sen kestävää assimilaatiota." Lisäksi matematiikan historiaa koskeva materiaali on erittäin laajaa ja mielenkiintoista, koska matematiikan kehitys liittyy läheisesti kaikkien sivilisaation olemassaolon kausien aikana ilmenneiden kiireellisten ongelmien ratkaisemiseen.

Kun olemme oppineet trigonometrian syntymisen historiallisista syistä ja tutkineet, kuinka suurten tiedemiesten toiminnan hedelmät vaikuttivat tämän matematiikan alueen kehitykseen ja tiettyjen ongelmien ratkaisuun, me koululaisten joukossa lisäämme kiinnostusta tutkittavaan aiheeseen, ja näemme sen käytännön merkityksen.

Hankkeen tavoite - kiinnostuksen kehittyminen aiheen "Trigonometria" opiskeluun algebran aikana ja analyysin aloittaminen tutkittavan materiaalin soveltavan arvon prisman kautta; trigonometrisiä funktioita sisältävien graafisten esitysten laajentaminen; trigonometrian soveltaminen sellaisissa tieteissä kuin fysiikka, biologia jne.

Trigonometrian yhteys ulkomaailmaan, trigonometrian merkitys monien käytännön ongelmien ratkaisemisessa, trigonometristen funktioiden graafiset ominaisuudet mahdollistavat koululaisten tiedon "materialisoinnin". Tämä antaa sinun ymmärtää paremmin trigonometrian tutkimuksessa hankitun tiedon elintärkeää tarvetta, mikä lisää kiinnostusta tämän aiheen tutkimiseen.

Tutkimustavoitteet:

1. Tarkastellaan trigonometrian synty- ja kehityshistoriaa.

2. Esitä konkreettisilla esimerkeillä trigonometrian käytännön sovelluksia eri tieteissä.

3. Selitä konkreettisilla esimerkeillä mahdollisuudet käyttää trigonometrisiä funktioita, jotka mahdollistavat "vähän mielenkiintoisten" funktioiden muuttamisen funktioiksi, joiden kuvaajat ovat hyvin omaperäisiä.

"Yksi asia on selvä, että maailma on järjestetty uhkaavasti ja kauniisti."

N. Rubtsov

Trigonometria - Tämä on matematiikan haara, joka tutkii kolmioiden kulmien ja sivujen pituuksien välistä suhdetta sekä trigonometristen funktioiden algebrallisia identiteettejä. Sitä on vaikea kuvitella, mutta kohtaamme tämän tieteen paitsi matematiikan tunneilla myös jokapäiväisessä elämässämme. Emme ehkä olleet tietoisia tästä, mutta trigonometriaa löytyy sellaisista tieteistä kuin fysiikka, biologia, sillä on tärkeä rooli lääketieteessä, ja mikä mielenkiintoisin, jopa musiikki ja arkkitehtuuri eivät tulisi toimeen ilman sitä. Käytännön sisältöön liittyvillä ongelmilla on merkittävä rooli matematiikan opiskelussa hankitun teoreettisen tiedon soveltamisen taitojen kehittämisessä. Jokainen matematiikan opiskelija on kiinnostunut siitä, miten ja missä hankittua tietoa sovelletaan. Tämä teos tarjoaa vastauksen tähän kysymykseen.

Trigonometrian luomisen historia

Alkuvuosisatoja

Babylonilaisesta matematiikasta olemme tottuneet mittaamaan kulmia asteina, minuutteina ja sekunteina (näiden yksiköiden käyttöönotto antiikin Kreikan matematiikassa on yleensä 2. vuosisadalla eKr.).

Tämän ajanjakson tärkein saavutus oli jalkojen ja hypotenuusan suhde suorakulmaisessa kolmiossa, joka myöhemmin sai nimen.

Muinainen Kreikka

Muinaisen Kreikan geometriassa esiintyi trigonometristen suhteiden yleinen ja loogisesti johdonmukainen esitys. Kreikkalaiset matemaatikot eivät vielä valinneet trigonometriaa erilliseksi tieteeksi, vaan heille se oli osa tähtitiedettä.
Muinaisen trigonometrisen teorian pääsaavutus oli "kolmioiden ratkaisemisen" ongelman yleinen ratkaisu eli kolmion tuntemattomien elementtien löytäminen kolmen tietyn elementin perusteella (joista vähintään yksi on sivu).

Keskiaika

IV vuosisadalla, muinaisen tieteen kuoleman jälkeen, matematiikan kehityskeskus muutti Intiaan. He muuttivat joitain trigonometrian käsitteitä tuoden ne lähemmäksi nykyaikaisia: esimerkiksi he ottivat ensimmäisenä käyttöön kosinin.
Ensimmäinen erikoistunut trigonometriaa käsittelevä tutkielma oli Keski-Aasialaisen tiedemiehen (X-XI vuosisata) työ "Astronomian tieteen avainten kirja" (995-996). Koko trigonometrian kurssi sisälsi Al-Birunin pääteoksen - "Mas'udin kaanonin" (Kirja III). Sinitaulukoiden (askel 15") lisäksi Al-Biruni antoi tangenttien taulukot (askel 1 °).

Sen jälkeen, kun arabiankieliset tutkielmat käännettiin latinaksi XII-XIII vuosisadalla, monet intialaisten ja persialaisten matemaatikoiden ideat tulivat eurooppalaisen tieteen omaisuudeksi. Ilmeisesti eurooppalaisten ensimmäinen tutustuminen trigonometriaan tapahtui zij:n ansiosta, josta kaksi käännöstä tehtiin 1100-luvulla.

Ensimmäinen kokonaan trigonometrialle omistettu eurooppalainen teos on usein englantilaisen tähtitieteilijän (noin 1320) kutsuma neljä traktaattia suorista ja käänteisistä sointuista. Trigonometriset taulukot, jotka on usein käännetty arabiasta, mutta joskus alkuperäisiä, sisältyvät useiden muiden 1300-1400-luvun kirjoittajien teoksiin. Sitten trigonometria otti paikkansa yliopistokurssien joukossa.

uusi aika

Sana "trigonometria" esiintyy ensimmäisen kerran (1505) saksalaisen teologin ja matemaatikon Pitiscuksen kirjan otsikossa, jonka alkuperä on kreikkaa: kolmio, mitta. Toisin sanoen trigonometria on tiedettä kolmioiden mittaamisesta. Vaikka nimi syntyi suhteellisen äskettäin, monet trigonometriaan nykyään liittyvät käsitteet ja tosiasiat tunnettiin jo kaksituhatta vuotta sitten.

Sinikäsitteellä on pitkä historia. Itse asiassa kolmion ja ympyrän osien (ja pohjimmiltaan trigonometristen funktioiden) eri suhteet löytyvät jo ӀӀӀ c:stä. eKr e antiikin Kreikan suurten matemaatikoiden - Euclid, Archimedes, Apollonius Pergalainen - teoksissa. Roomalaiskaudella näitä suhteita tutki jo melko systemaattisesti Menelaus (Ӏ vuosisadalla eKr.), vaikka niille ei tullut erityistä nimeä. Nykyaikaista kulman miinusta tutkittiin esimerkiksi puolisointujen tulona, ​​jossa keskikulmaa tukee arvo, tai kaksinkertaisen kaaren jänteenä.

Myöhemmällä kaudella intialaiset ja arabitutkijat kehittivät matematiikkaa aktiivisemmin pitkään. Vuonna ӀV- Vvuosisadat Erityisesti erityinen termi ilmestyi suuren intialaisen tiedemiehen Aryabhatan (476-n. 550) tähtitieteessä, jonka mukaan ensimmäinen intialainen maapallon satelliitti on nimetty.

Myöhemmin otettiin käyttöön lyhyempi nimi jiva. Arabilaiset matemaatikot vuonna ΙXsisään. sana jiva (tai jiba) korvattiin arabiankielisellä sanalla jaib (pullistuma). Käännettäessä arabiankielisiä matemaattisia tekstejäXΙΙsisään. tämä sana korvattiin latinalaisella sinillä (sinus- mutka, kaarevuus)

Sana kosini on paljon nuorempi. Kosini on lyhenne latinalaisesta ilmaisustatäydentääsinus, eli "lisäsini" (tai muuten "lisäkaaren sini"; muistacosa= synti(90°- a)).

Trigonometristen funktioiden käsittelyssä ylitämme olennaisesti "kolmioiden mittaamisen" tehtävän. Siksi kuuluisa matemaatikko F. Klein (1849-1925) ehdotti kutsumaan "trigonometristen" funktioiden teoriaa toisin - goniometriaksi (kulmaksi). Tämä nimi ei kuitenkaan jäänyt kiinni.

Tangentit syntyivät varjon pituuden määrittämisongelman ratkaisun yhteydessä. Tangentti (sekä kotangentti, sekantti ja kosekantti) otetaan käyttöönXsisään. Arabilainen matemaatikko Abu-l-Wafa, joka myös laati ensimmäiset taulukot tangenttien ja kotangenttien löytämiseksi. Nämä löydöt jäivät kuitenkin eurooppalaisille tutkijoille tuntemattomiksi pitkään, ja tangentit löydettiin uudelleen vuonnaXIVsisään. ensin englantilainen tiedemies T. Braverdin ja myöhemmin saksalainen matemaatikko, tähtitieteilijä Regiomontanus (1467). Nimi "tangentti" tulee latinan kielestätanger(kosketettava), ilmestyi vuonna 1583Tangentitkäännettynä "koskettava" (muista: tangenttien rivi on tangentti yksikköympyrään)

Nykyaikaiset nimityksetkaari synti ja arctgesiintyvät vuonna 1772 wieniläisen matemaatikon Scherferin ja kuuluisan ranskalaisen tiedemiehen J. L. Lagrangen teoksissa, vaikka J. Bernoulli oli harkinnut niitä jo hieman aikaisemmin, joka käytti eri symboliikkaa. Mutta nämä symbolit hyväksyttiin yleisesti vasta lopussaXVΙΙΙvuosisadat. Etuliite "kaari" tulee latinastaarcusxesimerkiksi -, tämä on kulma (tai voisi sanoa, kaari), jonka sini on yhtä suuri kuinx.

Trigonometria kehittyi pitkään osana geometriaa, ts. tosiasiat, jotka nyt muotoilemme trigonometrisinä funktioina, muotoiltiin ja todistettiin geometristen käsitteiden ja lauseiden avulla. Ehkä suurimmat kannustimet trigonometrian kehittämiseen syntyivät tähtitieteen ongelmien ratkaisemisen yhteydessä, mikä oli suurta käytännön mielenkiintoa (esimerkiksi aluksen sijainnin määrittämiseen, pimennysten ennustamiseen jne.)

Tähtitieteilijät olivat kiinnostuneita pallomaisten kolmioiden sivujen ja kulmien välisestä suhteesta, jotka muodostuivat suurista ympyröistä pallon päällä. Ja on huomattava, että antiikin matemaatikot selviytyivät menestyksekkäästi ongelmista, jotka olivat paljon vaikeampia kuin tasokolmioiden ratkaisemiseen liittyvät ongelmat.

Joka tapauksessa muinaiset kreikkalaiset, intialaiset, arabimatemaatikot löysivät ja löysivät uudelleen geometrisessa muodossa monia meille tuntemiamme trigonometriakaavoja (vaikka trigonometristen funktioiden eron kaavat tulivat tunnetuksi vasta v.XVΙӀ v. - englantilainen matemaatikko Napier esitti ne yksinkertaistaakseen laskelmia trigonometristen funktioiden avulla. Ja ensimmäinen piirros sinusoidista ilmestyi vuonna 1634.)

Pohjimmiltaan tärkeä oli K. Ptolemaioksen laatima ensimmäinen sinitaulukko (pitkän aikaa sitä kutsuttiin sointutaulukoksi): ilmestyi käytännöllinen työkalu useiden sovellettavien ongelmien ja ennen kaikkea tähtitieteen ongelmien ratkaisemiseen. .

Kun käsittelemme valmiita taulukoita tai käytämme laskinta, emme usein ajattele sitä, että oli aikaa, jolloin taulukoita ei ollut vielä keksitty. Niiden kokoamiseksi piti suorittaa paitsi suuri määrä laskelmia, myös keksiä tapa laatia taulukoita. Ptolemaioksen taulukot ovat tarkkoja viiden desimaalin tarkkuudella.

Trigonometrian modernin muodon antoi suurin matemaatikkoXVΙӀΙ luvulla L. Euler (1707-1783), syntyperäinen sveitsiläinen, työskenteli useita vuosia Venäjällä ja oli Pietarin tiedeakatemian jäsen. Se oli Euler, joka esitteli ensimmäisenä hyvin tunnetut trigonometristen funktioiden määritelmät, alkoi harkita mielivaltaisen kulman funktioita ja sai pelkistyskaavat. Kaikki tämä on pieni murto-osa siitä, mitä Euler onnistui tekemään matematiikassa pitkän elämänsä aikana: hän jätti yli 800 artikkelia, osoitti monia klassisiksi tulleita lauseita, jotka liittyvät matematiikan monimuotoisimpiin alueisiin. Mutta jos yrität toimia trigonometristen funktioiden kanssa geometrisessa muodossa, toisin sanoen samalla tavalla kuin monet matemaatikoiden sukupolvet ennen Euleria, pystyt arvostamaan Eulerin ansioita trigonometrian systematisoinnissa. Eulerin jälkeen trigonometria sai uuden laskennan muodon: erilaisia ​​tosiasioita alettiin todistaa trigonometriakaavojen muodollisella soveltamisella; todisteista tuli paljon kompaktimpia ja yksinkertaisempia.

Pallogeometrian kehityksen historiasta .

On laajalti tunnettua, että euklidinen geometria on yksi vanhimmista tieteistä: jo inIIIvuosisadalla eaa Eukleideen klassinen teos "Alku" ilmestyi. Vähemmän tunnettua on, että pallogeometria on vain hieman nuorempi. Hänen ensimmäinen systemaattinen esittelynsä viittaaminä- IIvuosisadat. Kirjassa "Sphere", jonka on kirjoittanut kreikkalainen matemaatikko Menelaus (minäc.), tutkittiin pallomaisten kolmioiden ominaisuuksia; todistettiin erityisesti, että pallomaisen kolmion kulmien summa on suurempi kuin 180 astetta. Toinen kreikkalainen matemaatikko Claudius Ptolemaios otti suuren askeleen eteenpäin (IIsisään.). Pohjimmiltaan hän oli ensimmäinen, joka kokosi trigonometristen funktioiden taulukoita ja esitteli stereografisen projektion.

Aivan kuten Eukleideen geometria, pallogeometria syntyi ratkaistaessa käytännön ongelmia ja ennen kaikkea tähtitieteen ongelmia. Nämä tehtävät olivat välttämättömiä esimerkiksi matkailijoille ja navigoijille, jotka navigoivat tähtien mukaan. Ja koska tähtitieteellisissä havainnoissa on tarkoituksenmukaista olettaa, että sekä Aurinko että Kuu ja tähdet liikkuvat kuvattua "taivaanpalloa", on luonnollista, että niiden liikkeen tutkimiseen vaadittiin tietoa pallon geometriasta. Siksi ei ole sattumaa, että Ptolemaioksen tunnetuin teos oli nimeltään "tähtitieteen suuri matemaattinen rakentaminen 13 kirjassa".

Pallotrigonometrian historian tärkein ajanjakso liittyy Lähi-idän tutkijoiden toimintaan. Intialaiset tutkijat ratkaisivat onnistuneesti pallomaisen trigonometrian ongelmat. He eivät kuitenkaan käyttäneet Ptolemaioksen kuvaamaa menetelmää, joka perustuu Menelaoksen lauseeseen täydellisestä nelikulmuksesta. Ja pallomaisessa trigonometriassa he käyttivät projektiivisia menetelmiä, jotka vastasivat Ptolemaioksen Analemman menetelmiä. Tämän seurauksena he saivat joukon erityisiä laskennallisia sääntöjä, jotka mahdollistivat melkein minkä tahansa pallotähtitieteen ongelman ratkaisemisen. Heidän avullaan tällainen ongelma väheni lopulta samanlaisten litteiden suorakulmaisten kolmioiden vertaamiseen keskenään. Ratkaisussa käytettiin usein toisen asteen yhtälöiden teoriaa ja peräkkäisten approksimaatioiden menetelmää. Esimerkki tähtitieteellisestä ongelmasta, jonka intialaiset tiedemiehet ratkaisivat kehittämillään säännöillä, on Varahamihiran teoksessa Panga Siddhantika (V- VI). Siinä etsitään Auringon korkeus, jos paikan leveysaste tiedetään, Auringon deklinaatio ja sen tuntikulma. Tämän ongelman ratkaisun tuloksena muodostetaan sarjan konstruoinnin jälkeen relaatio, joka vastaa nykyaikaista kosinilausetta pallomaiselle kolmiolle. Tätä relaatiota ja toista sinilauseen ekvivalenttia ei kuitenkaan ole yleistetty mihinkään pallomaiseen kolmioon soveltuviksi säännöiksi.

Ensimmäisten idän tutkijoiden joukossa, jotka kääntyivät Menelauksen lauseen keskusteluun, on mainittava Banu Mussan veljekset - Muhammad, Hasan ja Ahmad, Musa ibn Shakirin pojat, jotka työskentelivät Bagdadissa ja opiskelivat matematiikkaa, tähtitiedettä ja mekaniikkaa. Mutta varhaisin säilynyt teos Menelaoksen teoreemasta on heidän oppilaansa Thabit ibn Korran (836-901) "Trakaatti sekantin hahmosta"

Thabit ibn Korran tutkielma on tullut meille alkuperäisessä arabiankielisessä muodossa. Ja latinankielisessä käännöksessäXIIsisään. Tätä Cremonalaisen Gerandon (1114-1187) käännöstä käytettiin laajasti keskiaikaisessa Euroopassa.

Trigonometrian historia kolmion kulmien ja sivujen sekä muiden geometristen kuvioiden välisiä suhteita tutkivana tieteenä kattaa yli kaksi tuhatta vuotta. Useimpia näistä suhteista ei voida ilmaista tavallisilla algebrallisilla operaatioilla, ja siksi oli tarpeen ottaa käyttöön erityiset trigonometriset funktiot, jotka esitettiin alun perin numeeristen taulukoiden muodossa.
Historioitsijat uskovat, että muinaiset tähtitieteilijät loivat trigonometrian, ja vähän myöhemmin sitä alettiin käyttää arkkitehtuurissa. Ajan myötä trigonometrian laajuus on laajentunut jatkuvasti, ja nykyään se sisältää lähes kaikki luonnontieteet, teknologian ja monet muut toiminta-alueet.

Sovellettavat trigonometriset ongelmat ovat hyvin erilaisia ​​- esimerkiksi listattujen suureiden operaatioiden mitattavissa olevat tulokset (esim. kulmien summa tai sivujen pituuksien suhde) voidaan asettaa.

Samanaikaisesti tasotrigonometrian kehityksen kanssa kreikkalaiset edistyivät tähtitieteen vaikutuksesta pallomaista trigonometriaa pitkälle. Eukleideen "Periaatteissa" tästä aiheesta on vain lause erikokoisten pallojen tilavuuksien suhteesta, mutta tähtitieteen ja kartografian tarpeet aiheuttivat pallomaisen trigonometrian ja siihen liittyvien alueiden nopean kehityksen - taivaankoordinaatiston, kartografisten projektioiden teoria ja tähtitieteellisten instrumenttien tekniikka.

kurssit.

Trigonometria ja tosielämä

Trigonometriset funktiot ovat löytäneet sovelluksen matemaattisessa analyysissä, fysiikassa, tietojenkäsittelytieteessä, geodesiassa, lääketieteessä, musiikissa, geofysiikassa ja navigoinnissa.

Trigonometrian soveltaminen navigoinnissa

Navigointi (tämä sana tulee latinastanavigointi- purjehtiminen laivalla) - yksi vanhimmista tieteistä. Yksinkertaisimmat navigoinnin tehtävät, kuten esimerkiksi lyhimmän reitin määrittäminen, liikesuunnan valinta, kohtasivat aivan ensimmäiset navigaattorit. Tällä hetkellä näitä ja muita tehtäviä joutuvat ratkaisemaan paitsi merimiehet, myös lentäjät ja astronautit. Tarkastellaanpa joitain navigoinnin käsitteitä ja tehtäviä yksityiskohtaisemmin.

Tehtävä. Maantieteelliset koordinaatit tunnetaan - maanpinnan pisteiden A ja B leveys- ja pituusaste:, ja, . On löydettävä lyhin etäisyys pisteiden A ja B välillä maan pinnalla (Maan säde katsotaan tunnetuksi:R= 6371 km)

Ratkaisu. Muista ensin, että maan pinnan pisteen M leveysaste on säteen OM muodostaman kulman arvo, jossa O on maan keskipiste päiväntasaajatason kanssa: ≤ , ja päiväntasaajasta pohjoiseen , leveysaste katsotaan positiiviseksi ja etelässä negatiiviseksi

Pisteen M pituusaste on tasojen COM ja SON välisen dihedraalisen kulman arvo, jossa C on maan pohjoisnapa ja H on Greenwichin observatoriota vastaava piste: ≤ (Greenwichin pituuspiirin itäpuolella , pituusastetta pidetään positiivisena, lännessä negatiivisena).

Kuten jo tiedetään, lyhin etäisyys maan pinnan pisteiden A ja B välillä on A:ta ja B:tä yhdistävän suuren ympyrän kaarista pienemmän pituus (tällaista kaaria kutsutaan ortodromiksi - käännettynä kreikasta tarkoittaa "suoraa juoksua". ). Siksi tehtävämme rajoittuu pallomaisen kolmion ABC sivun AB pituuden määrittämiseen (C on pohjoisnapa).

Sovellettaessa kolmion ABC alkioiden standardimerkintää ja vastaavaa kolmiokulmaa OABS saadaan tehtävän ehdosta: α = = - , β = (kuva 2).

Kulmaa C ei myöskään ole vaikea ilmaista pisteiden A ja B koordinaatteina. Määritelmän mukaan ≤ siis joko kulma C = jos ≤ tai - jos. Tietäen = kosinilauseen avulla: = + (-). Kun tiedämme ja siten kulman, löydämme tarvittavan etäisyyden: =.

Trigonometria navigoinnissa 2.

Laivan kurssin piirtämiseksi Gerhard Mercatorin (1569) projektiossa tehdylle kartalle oli tarpeen määrittää leveysaste. Välimerellä purjehtiessa purjehdussuuntiin astiXVIIsisään. leveysastetta ei määritetty. Ensimmäistä kertaa Edmond Gunther (1623) käytti trigonometrisiä laskelmia navigoinnissa.

Trigonometria auttaa laskemaan tuulen vaikutusta lentokoneen lentoon. Nopeuskolmio on ilmanopeusvektorin muodostama kolmio (V), tuulivektori(W), maanopeusvektori (V P ). PU - raidekulma, SW - tuulikulma, KUV - suuntatuulen kulma.

Navigointinopeuskolmion elementtien välinen suhde on muotoa:

V P = V cos USA + W cos UV; synti USA = * synti UV, tg SW =

Nopeuksien navigointikolmio ratkaistaan ​​laskentalaitteiden avulla, navigointiviivaimella ja suunnilleen mielessä.

Trigonometria algebrassa.

Tässä on esimerkki kompleksisen yhtälön ratkaisemisesta trigonometrisellä substituutiolla.

Annettu yhtälö

Päästää , saamme

;

missä: tai

rajoituksin saamme:

Trigonometria fysiikassa

Aina kun joudumme käsittelemään jaksottaisia ​​prosesseja ja värähtelyjä - olipa kyseessä akustiikka, optiikka tai heilurin heilahdus - olemme tekemisissä trigonometristen funktioiden kanssa. Värähtelykaavat:

missä A- värähtelyn amplitudi, - värähtelyn kulmataajuus, - värähtelyn alkuvaihe

Värähtelyvaihe.

Kun esineet upotetaan veteen, ne eivät muuta muotoaan tai kokoaan. Koko salaisuus on optinen tehoste, joka saa näkömme havaitsemaan kohteen eri tavalla. Yksinkertaisimmat trigonometriset kaavat ja säteen tulokulman ja taittumisen sinin arvot mahdollistavat vakion taitekertoimen laskemisen valonsäteen siirtymisen aikana keskiaineesta. Esimerkiksi sateenkaari johtuu siitä, että auringonvalo taittuu ilmaan suspendoituneisiin vesipisaroihin taittumislain mukaisesti:

synti α / synti β =n 1 /n 2

missä:

n 1 - ensimmäisen väliaineen taitekerroin
n 2 - toisen väliaineen taitekerroin

α - tulokulma, β on valon taittumiskulma.

Aurinkotuulen varautuneiden hiukkasten tunkeutuminen planeettojen yläilmakehään määräytyy planeetan magneettikentän vuorovaikutuksesta aurinkotuulen kanssa.

Magneettisessa kentässä liikkuvaan varautuneeseen hiukkaseen vaikuttavaa voimaa kutsutaan Lorentzin voimaksi. Se on verrannollinen hiukkasen varaukseen ja kentän vektorituloon ja hiukkasen nopeuteen.

Käytännön esimerkkinä harkitse fyysistä ongelmaa, joka ratkaistaan ​​trigonometrian avulla.

Tehtävä. Kaltevalla tasolla muodostaen 24,5 kulman horisontin kanssa noin , siellä on 90 kg painava ruumis. Selvitä voima, jolla tämä kappale painaa kaltevaa tasoa (eli mitä painetta kappale kohdistaa tähän tasoon).

Ratkaisu:

Kun X- ja Y-akselit on määritetty, alamme rakentaa voimien projektioita akseleille käyttämällä ensin tätä kaavaa:

ma = N + mg , katso sitten kuvaa,

X : ma = 0 + mg sin24.5 0

Y: 0 = N - mg cos24,5 0

N = mg cos 24,5 0

korvaamme massan, huomaamme, että voima on 819 N.

Vastaus: 819 N

Trigonometria lääketieteessä ja biologiassa

Yksi perusominaisuudetelävä luonto on useimpien siinä tapahtuvien prosessien syklisyyttä.

Biologiset rytmit, biorytmitovat enemmän tai vähemmän säännöllisiä muutoksia biologisten prosessien luonteessa ja voimakkuudessa.

Maan perusrytmi- päivittäin.

Biorytmien malli voidaan rakentaa trigonometristen funktioiden avulla.

Biorytmimallin rakentamiseksi sinun on syötettävä henkilön syntymäaika, viitepäivämäärä (päivä, kuukausi, vuosi) ja ennusteen kesto (päivien lukumäärä).

Jopa joitain aivojen osia kutsutaan poskionteloiksi.

Poskionteloiden seinämät muodostuvat endoteelillä vuoratusta kovakalvosta. Poskionteloiden ontelo aukeaa, venttiilit ja lihaskalvo, toisin kuin muut suonet, puuttuvat. Poskionteloiden ontelossa on kuituisia väliseiniä, jotka on peitetty endoteelillä. Poskionteloista veri tulee sisäisiin kaulalaskimoihin, lisäksi poskionteloiden ja kallon ulkopinnan suonien välillä on yhteys varalaskimolaskimojen kautta.

Kalojen liike vedessä tapahtuu sinin tai kosinin lain mukaan, jos kiinnität pisteen häntään ja otat sitten huomioon liikkeen radan.

Uidessaan kalan runko on käyrän muotoinen, joka muistuttaa kuvaajaa.

toimintoja y= tgx.

Trigonometria musiikissa

Kuuntelemme musiikkiamp3.

Äänisignaali on aalto, tässä on sen "kaavio".

Kuten näette, vaikka se on hyvin monimutkainen, se on sinimuoto, joka noudattaa trigonometrian lakeja.

Moskovan taideteatterissa keväällä 2003 pidettiin "Night Snipers" -ryhmän, solisti Diana Arbeninan albumin "Trigonometry" esitys. Albumin sisältö paljastaa sanan "trigonometria" - Maan mittauksen - alkuperäisen merkityksen.

Trigonometria tietojenkäsittelytieteessä

Trigonometrisiä funktioita voidaan käyttää tarkkoihin laskelmiin.

Trigonometristen funktioiden avulla voit arvioida minkä tahansa

(tietyssä mielessä "hyvä") funktio laajentamalla sen Fourier-sarjaksi:

a 0 + a 1 cos x + b 1 sin x + a 2 cos 2x + b 2 sin 2x + a 3 cos 3x + b 3 synti 3x +...

Valitse oikeat numerot a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., on mahdollista esittää lähes kaikki funktiot tietokoneessa vaaditulla tarkkuudella tällaisen (äärettömän) summan muodossa.

Trigonometriset funktiot ovat hyödyllisiä graafisten tietojen kanssa työskennellessä. On tarpeen simuloida (kuvailla tietokoneella) jonkin kohteen pyörimistä jonkin akselin ympäri. On olemassa kierto tietyssä kulmassa. Pisteiden koordinaattien määrittämiseksi sinun on kerrottava sineillä ja kosineilla.

Justin Windell, ohjelmoija ja suunnittelijaGoogle grafiikkaa Lab , julkaisi demon, joka näyttää esimerkkejä trigonometristen funktioiden käyttämisestä dynaamisten animaatioiden luomiseen.

Trigonometria rakentamisessa ja geodesiassa

Tasossa olevan mielivaltaisen kolmion sivujen pituudet ja kulmat liittyvät toisiinsa tietyillä suhteilla, joista tärkeimpiä kutsutaan kosini- ja sinilauseiksi.

2ab

= =

Näissä kaavoissab, c- kolmion ABC sivujen pituudet, jotka ovat kulmia A, B, C vastapäätä. Näiden kaavojen avulla voimme palauttaa jäljellä olevat kolme elementtiä kolmion kolmesta elementistä - sivujen ja kulmien pituudet. Niitä käytetään käytännön ongelmien ratkaisussa, esimerkiksi geodesiassa.

Kaikki "klassinen" geodesia perustuu trigonometriaan. Itse asiassa muinaisista ajoista lähtien katsastajat ovat harjoittaneet kolmioiden "ratkaisemista".

Rakennusten, teiden, siltojen ja muiden rakenteiden rakentaminen alkaa kartoitus- ja suunnittelutyöllä. Kaikki mittaukset rakennustyömaalla tehdään mittauslaitteilla, kuten teodoliitti ja trigonometrinen taso. Trigonometrisellä tasoituksella määritetään korkeusero useiden maanpinnan pisteiden välillä.

Johtopäätös

Trigonometria herätti eloon kulmien mittaamisen tarpeen, mutta kehittyi lopulta trigonometristen funktioiden tieteeksi.

Trigonometria liittyy läheisesti fysiikkaan, jota löytyy luonnosta, musiikista, arkkitehtuurista, lääketieteestä ja tekniikasta.

Trigonometria heijastuu elämäämme, ja alueet, joilla sillä on tärkeä rooli, laajenevat, joten sen lakien tunteminen on välttämätöntä kaikille.

Matematiikan yhteys ulkomaailmaan antaa sinun "materialisoida" koululaisten tietämyksen. Tämä auttaa meitä ymmärtämään paremmin koulussa hankitun tiedon elintärkeää tarvetta.

Käytännön sisällöltään matemaattisella ongelmalla (soveltava tehtävä) tarkoitetaan ongelmaa, jonka juoni paljastaa matematiikan sovelluksia siihen liittyvillä akateemisilla tieteenaloilla, tekniikassa ja jokapäiväisessä elämässä.

Tarina trigonometrian syntymisen historiallisista syistä, sen kehityksestä ja käytännön soveltamisesta rohkaisee koululaisiamme kiinnostumaan opittavasta aiheesta, muodostaa maailmankuvaamme ja parantaa yleiskulttuuriamme.

Tämä työ on hyödyllinen lukiolaisille, jotka eivät ole vielä nähneet trigonometrian kauneutta eivätkä tunne sen käyttöalueita ympäröivässä elämässä.

Bibliografia:

1. Toista trigonometrian peruskaavat ja vahvista tietonsa harjoitusten aikana;
2. Kehitä itsehillintää, kykyä työskennellä tietokoneesityksen kanssa.
3. Kasvatetaan vastuullista asennetta kasvatustyöhön, tahtoa ja sinnikkyyttä lopputuloksen saavuttamiseksi.

Varusteet: Tietokoneet, tietokoneesittely.

Odotettu tulos:

1. Jokaisen opiskelijan tulee tuntea trigonometriakaavat ja osata soveltaa niitä trigonometristen lausekkeiden muuntamiseen vaadittujen tulosten tasolla.
2. Tunne näiden kaavojen johtaminen ja osaa soveltaa niitä trigonometristen lausekkeiden muuntamiseen.
3. Tunne trigonometrian kaavat, osaa johtaa niitä ja soveltaa niitä monimutkaisempiin trigonometrisiin lausekkeisiin.

Oppitunnin päävaiheet:

1. Aiheen viesti, tarkoitus, oppitunnin tavoitteet ja opetustoiminnan motivaatio.
2. Sanallinen laskenta
3. Viesti matematiikan historiasta
4. Trigonometriakaavojen toisto (luokalta 9) tietokoneesityksen avulla
5. Trigonometristen kaavojen soveltaminen lausekkeiden muuntamiseen
6. Testin suoritus
7. Yhteenveto oppitunnista
8. Tehtävän asettaminen kotona

Tuntien aikana

minä Ajan järjestäminen.

Raportoidaan aihe, tavoitteet, oppitunnin tavoitteet ja oppimismotivaatio

II. Suullinen työ (tehtävät tulostetaan valmiiksi jokaiselle opiskelijalle):

Kolmion kahden kulman radiaanimitta on ja . Etsi kolmion kunkin kulman mitta. Vastaus: 60, 30, 90

Etsi kolmion kulmien radiaanimitta, jos niiden suhde on 2:3:4. Vastaus: , ,

Voiko kosini olla yhtä suuri kuin: a), b), c), d), e) -2? Vastaus: a) kyllä; b) ei; c) ei; d) kyllä; e) kyllä.

Voiko sini olla yhtä suuri kuin: a) -3, 7 b), c)? Vastaus: a) ei; b) kyllä; c) ei.

Mille a:n ja b:n arvoille seuraavat yhtälöt ovat tosia: a) cos x = ; b) sin x=; c) cosx= ; d) tg x= ; e) sin x = a? Vastaus: a) /a/ 7; b) /a/ ; c) 0 d) b – mikä tahansa luku; e) -

III. Viesti trigonometrian historiasta (lyhyt historiallinen tausta):

Trigonometria syntyi ja kehittyi antiikissa yhdeksi tähtitieteen haaroista, ihmisen käytännön tarpeita vastaavaksi laskentalaitteistoksi.

Muinaiset babylonialaiset ja egyptiläiset tiesivät joitakin trigonometrisia tietoja, mutta tämän tieteen perusta luotiin muinaisessa Kreikassa.

Kreikkalainen tähtitieteilijä Hipparkhos 2. vuosisadalla. eKr e. laati taulukon sointujen numeerisista arvoista riippuen niiden supistamien kaarien suuruudesta. Täydelliset tiedot trigonometriasta löytyvät kuuluisasta Ptolemaioksen "Almagestista". Tehtyjen laskelmien ansiosta Ptolemaios pystyi laatimaan taulukon, joka sisälsi sointuja 0-180.

Intialaiset tutkijat esittelivät ensin sini- ja kosinilinjojen nimet. He myös laativat ensimmäiset sinitaulukot, vaikka ne olivat vähemmän tarkkoja kuin Ptolemaioksen taulukot.

Intiassa pohjimmiltaan alkaa trigonometristen suureiden oppi, jota myöhemmin kutsutaan goniometriaksi (sanasta "gonia" - kulma ja "metrio" - mittaan).

1700-luvun kynnyksellä trigonometrian kehityksessä alkaa uusi suunta - analyyttinen.

Trigonometria tarjoaa tarvittavan menetelmän monien käsitteiden ja menetelmien kehittämiseen fysiikan, mekaniikan, tähtitieteen, geodosian, kartografian ja muiden tieteiden todellisten ongelmien ratkaisemiseksi. Lisäksi trigonometria on suuri apu stereometristen ongelmien ratkaisemisessa.

IV. Työskentele tietokoneilla esityksen kanssa:

"Trigonometrian peruskaavat" (Liite 1)

Ennakkomuistutus turvallisuusvarotoimet tietojenkäsittelytieteen luokassa.

• Trigonometriset perusidentiteetit.
• Lisäyskaavat.
• Valokaavat
• Kaavat sinien (kosinien) summalle ja erolle.
• Kaksoisargumenttikaavat.
• Puoliargumentin kaavat.

V. Trigonometristen kaavojen soveltaminen lausekkeiden muuntamiseen.

a) Yksi oppilas suorittaa tehtävän taulun takana, loput paikalta tarkistavat ja nostavat signaalikortit (oikein - "+", väärin - "-") paikalta.

Valitse vastaus.

Yksinkertaista lauseke 7 cos - 5.

a) 1+cos; b) 2; kello 12; d) 12

Yksinkertaista lauseke 5 – 4 si n

a) 1; b) 9; c) 1+8sin; d) 1+cos.