Löytääksemme yleisten funktioiden määrittelyalueita, tällä oppitunnilla ratkaisemme yhtälöitä ja epäyhtälöitä yhdellä muuttujalla.
Tulee myös itse ratkaistavia ongelmia, joihin näet vastaukset.
Mikä on funktion määritelmäalue? Katsotaanpa funktion kuvaajaa kuvassa. Jokainen funktion kaavion piste vastaa tiettyä x:n arvoa - funktion argumenttia ja tiettyä "y":n arvoa - itse funktiota. Argumentista "x" lasketaan "y" - funktion arvo. Toiminnon määritelmäalue on joukko "x":n kaikkia arvoja, joille "y" - funktion arvo - on olemassa, eli se voidaan laskea. Toisin sanoen argumenttiarvojen joukko, jolla "toiminto toimii". Useimmat funktiot määritetään kaavoilla. Siksi funktion alue on myös suurin joukko, jossa kaava on järkevä.
Kuvassa on funktion kaavio. Murtoluvun nimittäjä ei voi olla nolla, koska et voi jakaa nollalla. Siksi vertaamalla nimittäjä nollaan saamme arvon, joka ei sisälly funktion määritelmäalueeseen: 1. Ja funktion määritelmäalue on kaikki "x":n arvot miinus äärettömästä yksi ja yhdestä plus äärettömään. Tämä näkyy selvästi kaaviosta
Esimerkki 0. Kuinka löytää funktion i määritelmäalue, joka on yhtä suuri kuin x miinus viisi (radikaalilauseke x miinus viisi) () ()? Sinun tarvitsee vain ratkaista eriarvoisuus
x - 5 ≥ 0 ,
koska saadaksemme pelin todellisen arvon, radikaalilausekkeen on oltava suurempi tai yhtä suuri kuin nolla. Saamme ratkaisun: funktion määritelmäalue on kaikki x:n arvot, jotka ovat suurempia tai yhtä suuria kuin viisi (tai x kuuluu väliin viidestä plus äärettömään).
Yllä olevassa piirustuksessa on fragmentti numeroakselista. Siinä tarkasteltavan funktion määrittelyalue on varjostettu, kun taas "plus"-suunnassa viivoitus jatkuu loputtomasti itse akselin mukana.
Vakion määritelmäalue
Vakio (vakio) määritelty todellisille arvoille x R todellisia lukuja. Tämä voidaan kirjoittaa myös näin: tämän funktion määritelmäalue on koko lukurivi ]- ∞; + ∞[ .
Esimerkki 1. Etsi funktion toimialue y = 2 .
Ratkaisu. Toiminnon määritelmäaluetta ei ole ilmoitettu, mikä tarkoittaa, että yllä olevan määritelmän perusteella tarkoitetaan määritelmän luonnollista aluetta. Ilmaisu f(x) = 2 kaikille todellisille arvoille määritettynä x, siksi tämä funktio on määritetty koko joukolle R todellisia lukuja.
Siksi yllä olevassa piirustuksessa numeroviiva on varjostettu aina miinus äärettömästä plus äärettömään.
Juuren määritelmäalue n th astetta
Siinä tapauksessa, että funktio annetaan kaavalla ja n- luonnollinen luku:
Esimerkki 2. Etsi funktion toimialue .
Ratkaisu. Kuten määritelmästä seuraa, parillisen asteen juurella on järkeä, jos radikaalilauseke on ei-negatiivinen, eli jos - 1 ≤ x≤ 1. Siksi tämän funktion määritelmäalue on [- 1; 1] .
Yllä olevan piirustuksen numeroviivan varjostettu alue on tämän funktion määrittelyalue.
Virta-alueen toimialue
Potenttifunktion toimialue, jossa on kokonaislukueksponentti
Jos a- positiivinen, silloin funktion määritelmäalue on kaikkien reaalilukujen joukko, eli ]- ∞; + ∞[ ;
Jos a- negatiivinen, silloin funktion määritelmäalue on joukko ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , eli koko lukurivi nollaa lukuun ottamatta.
Yllä olevassa vastaavassa piirustuksessa koko lukuviiva on varjostettu ja nollaa vastaava piste rei'itetty (se ei sisälly funktion määritelmäalueeseen).
Esimerkki 3. Etsi funktion toimialue .
Ratkaisu. Ensimmäinen termi on x:n kokonaislukupotenssi, joka on yhtä suuri kuin 3, ja toisen termin x:n potenssi voidaan esittää ykkösenä - myös kokonaislukuna. Näin ollen tämän funktion määritelmäalue on koko lukuviiva, eli ]- ∞; + ∞[ .
Potenttifunktion alue, jossa on murto-osollinen eksponentti
Jos funktio annetaan kaavalla:
jos on positiivinen, niin funktion määritelmäalue on joukko 0; + ∞[ .
Esimerkki 4. Etsi funktion toimialue .
Ratkaisu. Molemmat funktiolausekkeen termit ovat potenssifunktioita, joilla on positiivinen murtolukueksponentti. Näin ollen tämän funktion määrittelyalue on joukko - ∞; + ∞[ .
Eksponentiaalisten ja logaritmisten funktioiden alue
Eksponentiaalisen funktion toimialue
Siinä tapauksessa, että funktio on annettu kaavalla, funktion määritelmäalue on koko lukurivi, eli ] - ∞; + ∞[ .
Logaritmisen funktion alue
Logaritminen funktio määritellään edellyttäen, että sen argumentti on positiivinen, eli sen määritelmäalue on joukko ]0; + ∞[ .
Etsi itse funktion toimialue ja katso sitten ratkaisua
Trigonometristen funktioiden alue
Toimintoalue y= cos( x) - myös monia R todellisia lukuja.
Toimintoalue y= tg( x) - joukko R
muita reaalilukuja kuin numeroita 
.
Toimintoalue y= ctg( x) - joukko R todellisia lukuja lukuun ottamatta numeroita.
Esimerkki 8. Etsi funktion toimialue .
Ratkaisu. Ulkoinen funktio on desimaalilogaritmi ja sen määritelmäalue on yleisesti logaritmisen funktion määritelmäalueen ehtojen alainen. Eli hänen argumenttinsa on oltava myönteinen. Argumentti tässä on "x":n sini. Kääntämällä kuvitteellista kompassia ympyrän ympäri, näemme, että ehto on synti x> 0 rikotaan, kun "x" on nolla, "pi", kaksi, kerrottuna "pi":llä ja yleensä yhtä suuri kuin "pi":n ja minkä tahansa parillisen tai parittoman kokonaisluvun tulo.
Näin ollen tämän funktion määrittelyalueen antaa lauseke
,
Missä k- kokonaisluku.
Käänteisten trigonometristen funktioiden määritelmäalue
Toimintoalue y= arcsin( x) - sarja [-1; 1] .
Toimintoalue y= arccos( x) - myös joukko [-1; 1] .
Toimintoalue y= arctan( x) - joukko R todellisia lukuja.
Toimintoalue y= arcctg( x) - myös monia R todellisia lukuja.
Esimerkki 9. Etsi funktion toimialue .
Ratkaisu. Ratkaistaan epätasa-arvo:
Siten saamme tämän funktion määrittelyalueen - segmentin [- 4; 4] .
Esimerkki 10. Etsi funktion toimialue
.
Ratkaisu. Ratkaistaan kaksi epäyhtälöä:
Ratkaisu ensimmäiseen epätasa-arvoon:
Ratkaisu toiseen epätasa-arvoon:
Siten saamme tämän funktion määrittelyalueen - segmentin.
Murto-alue
Jos funktio annetaan murtolukulausekkeella, jossa muuttuja on murtoluvun nimittäjässä, niin funktion määritelmäalue on joukko R todellisia lukuja, paitsi nämä x, jossa murto-osan nimittäjästä tulee nolla.
Esimerkki 11. Etsi funktion toimialue .
Ratkaisu. Ratkaisemalla murto-osan nimittäjän yhtäläisyys nollaan, löydämme tämän funktion määritelmäalueen - joukon ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .
Esimerkki 12. Etsi funktion toimialue .
Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö:
Siten saamme tämän funktion määritelmäalueen - ]- ∞; - 1[ ∪ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[ .
Ensin opetellaan kuinka löytää funktioiden summan määritelmäalue. On selvää, että tällainen funktio on järkevä kaikille sellaisille muuttujan arvoille, joille kaikki summan muodostavat funktiot ovat järkeviä. Siksi seuraavan lausunnon oikeellisuudesta ei ole epäilystäkään:
Jos funktio f on n funktion f 1, f 2, …, f n summa, eli funktio f saadaan kaavasta y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x) ), niin funktion f määritelmäalue on funktioiden f 1, f 2, ..., f n määritelmäalueiden leikkauspiste. Kirjoitetaan tämä nimellä.
Sovitaan, että käytämme jatkossakin edellisen kaltaisia merkintöjä, joilla tarkoitamme kiharan aaltosulkeen sisään kirjoitettua tai minkä tahansa ehdon samanaikaista täyttymistä. Tämä on kätevää ja luonnollisesti resonoi järjestelmien merkityksen kanssa.
Esimerkki.
Funktio y=x 7 +x+5+tgx on annettu, ja meidän on löydettävä sen määritelmäalue.
Ratkaisu.
Funktiota f edustaa neljän funktion summa: f 1 - potenssifunktio eksponentin 7 kanssa, f 2 - potenssifunktio eksponentin 1 kanssa, f 3 - vakiofunktio ja f 4 - tangenttifunktio.
Tarkasteltaessa taulukkoa perusfunktioiden määrittelyalueista, huomaamme, että D(f 1)=(−∞, +∞), D(f 2)=(−∞, +∞), D(f 3)= (−∞, +∞), ja tangentin määritelmäalue on kaikkien reaalilukujen joukko lukuun ottamatta lukuja 
.
Funktion f määritelmäalue on funktioiden f 1, f 2, f 3 ja f 4 määrittelyalueiden leikkauspiste. On aivan selvää, että tämä on kaikkien reaalilukujen joukko lukuun ottamatta lukuja .
Vastaus:
kaikkien reaalilukujen joukko paitsi .
Jatketaan etsimistä funktioiden tuotteen määritelmäalue. Tässä tapauksessa pätee samanlainen sääntö:
Jos funktio f on n:n funktion f 1, f 2, ..., f n tulo, eli funktio f saadaan kaavalla y=f 1 (x) f 2 (x)… f n (x), niin funktion f määritelmäalue on funktioiden f 1, f 2, ..., f n määritelmäalueiden leikkauspiste. Joten,.
Tämä on ymmärrettävää, merkityllä alueella on määritelty kaikki tuotetoiminnot ja siten itse funktio f.
Esimerkki.
Y=3·arctgx·lnx .
Ratkaisu.
Funktiota määrittävän kaavan oikean puolen rakennetta voidaan pitää muodossa f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x), missä f 1 on vakiofunktio, f 2 on arktangenttifunktio, ja f 3 on logaritminen funktio, jonka kanta on e.
Tiedämme, että D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) ja D(f 3)=(0, +∞) . Sitten 
.
Vastaus:
Funktion y=3·arctgx·lnx määritelmäalue on kaikkien positiivisten reaalilukujen joukko.
Keskitytään erikseen etsimään kaavalla y=C·f(x) määritellyn funktion määritelmäalue, jossa C on jokin reaaliluku. On helppo osoittaa, että tämän funktion määritelmäalue ja funktion f määrittelyalue ovat samat. Itse asiassa funktio y=C·f(x) on vakiofunktion ja funktion f tulo. Vakiofunktion alue on kaikkien reaalilukujen joukko, ja funktion f alue on D(f) . Silloin funktion y=C f(x) määritelmäalue on 
, mikä piti näyttää.
Eli funktioiden y=f(x) ja y=C·f(x) määritelmäalueet, joissa C on jokin reaaliluku, ovat samat. Esimerkiksi juuren toimialue on , käy selväksi, että D(f) on kaikkien x-arvojen joukko funktion f 2 toimialueelta, jolle f 2 (x) sisältyy funktion f 1 -alueeseen.
Täten, monimutkaisen funktion määritelmäalue y=f 1 (f 2 (x)) on kahden joukon leikkauspiste: kaikkien sellaisten x:n joukko, jotka x∈D(f 2) ja kaikkien sellaisten x:n joukko, joille f 2 (x)∈D(f) 1) . Eli hyväksymässämme merkinnässä 
(tämä on pohjimmiltaan epätasa-arvojärjestelmä).
Katsotaanpa joitain esimerkkiratkaisuja. Emme kuvaile prosessia yksityiskohtaisesti, koska se ei kuulu tämän artikkelin soveltamisalaan.
Esimerkki.
Etsi funktion y=lnx 2 määritelmäalue.
Ratkaisu.
Alkuperäinen funktio voidaan esittää muodossa y=f 1 (f 2 (x)), missä f 1 on logaritmi, jonka kanta on e, ja f 2 on potenssifunktio, jonka eksponentti on 2.
Alkeisfunktioiden tunnettuihin määrittelyalueisiin ajatellen saadaan D(f 1)=(0, +∞) ja D(f 2)=(−∞, +∞) .
Sitten 
Joten löysimme tarvitsemamme funktion määritelmäalueen, se on kaikkien reaalilukujen joukko nollaa lukuun ottamatta.
Vastaus:
(−∞, 0)∪(0, +∞) .
Esimerkki.
Mikä on funktion toimialue 
?
Ratkaisu.
Tämä funktio on monimutkainen, sitä voidaan pitää muodossa y=f 1 (f 2 (x)), missä f 1 on potenssifunktio, jossa on eksponentti, ja f 2 on arcsinifunktio, ja meidän on löydettävä sen määritelmäalue.
Katsotaan mitä tiedämme: D(f 1)=(0, +∞) ja D(f 2)=[−1, 1] . Jäljelle jää löytää arvojoukkojen x leikkauspiste siten, että x∈D(f 2) ja f 2 (x)∈D(f 1) : 
Jos arcsinx>0, muista arcsinifunktion ominaisuudet. Arsini kasvaa koko määritelmän [−1, 1] alueella ja menee nollaan kohdassa x=0, joten arcsinx>0 mille tahansa x:lle väliltä (0, 1]).
Palataan järjestelmään: 
Siten funktion vaadittu määrittelyalue on puoliväli (0, 1]).
Vastaus:
(0, 1] .
Siirrytään nyt yleisen muodon y=f 1 (f 2 (...f n (x)))) kompleksisiin funktioihin. Funktion f määrittelyalue löytyy tässä tapauksessa muodossa 
.
Esimerkki.
Etsi funktion toimialue 
.
Ratkaisu.
Tietty kompleksifunktio voidaan kirjoittaa muodossa y=f 1 (f 2 (f 3 (x))), missä f 1 – sin, f 2 – neljännen asteen juurifunktio, f 3 – log.
Tiedämme, että D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=∪∪∪/Pääsytila: Materiaalit sivustoilta www.fipi.ru, www.eg
Liite 1
Käytännön työ "ODZ: milloin, miksi ja miten?"
|
Vaihtoehto 1 |
Vaihtoehto 2 |
|
│x+14│= 2 - 2x |
|
|
│3x│=1 - 3x |
Liite 2
Vastaukset käytännön työn tehtäviin "ODZ: milloin, miksi ja miten?"
|
Vaihtoehto 1 |
Vaihtoehto 2 |
|
Vastaus: ei juuria |
Vastaus: x-mikä tahansa luku paitsi x=5 |
|
9x+ = +27 ODZ: x≠3 Vastaus: ei juuria |
ODZ: x=-3, x=5. Vastaus: -3;5. |
|
y= -vähenee, y= - kasvaa Tämä tarkoittaa, että yhtälöllä on enintään yksi juuri. Vastaus: x = 6. |
ODZ: → →х≥5 Vastaus: x≥5, x≤-6. |
|
│x+14│=2-2x ODZ:2-2x≥0, x≤1 x=-4, x=16, 16 ei kuulu ODZ:hen |
Vähenee, kasvaa Yhtälöllä on enintään yksi juuri. Vastaus: ei juuria. |
|
0, ODZ: x≥3, x≤2 Vastaus: x≥3, x≤2 |
8x+ = -32, ODZ: x≠-4. Vastaus: ei juuria. |
|
x=7, x=1. Vastaus: ei ratkaisuja |
Lisääntyy - vähenee Vastaus: x = 2. |
|
0 ODZ: x≠15 Vastaus: x on mikä tahansa luku paitsi x=15. |
│3-х│=1-3х, ODZ: 1-3х≥0, x≤ x=-1, x=1 ei kuulu ODZ:hen. Vastaus: x=-1. |
Murtolukuyhtälöt. ODZ.
Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaalit erityisosastossa 555.
Niille, jotka ovat erittäin "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")
Jatkamme yhtälöiden hallitsemista. Tiedämme jo kuinka työskennellä lineaaristen ja toisen asteen yhtälöiden kanssa. Viimeinen näkymä jäljellä - murto-yhtälöitä. Tai niitä kutsutaan myös paljon kunnioittavammin - murtolukuiset rationaaliset yhtälöt. Se on sama.
Murtolukuyhtälöt.
Kuten nimestä voi päätellä, nämä yhtälöt sisältävät välttämättä murto-osia. Mutta ei vain murto-osia, vaan murto-osia, joilla on nimittäjässä tuntematon. Ainakin yhdessä. Esimerkiksi:
Haluan muistuttaa, että jos nimittäjät ovat vain numeroita, nämä ovat lineaarisia yhtälöitä.
Miten päättää murto-yhtälöitä? Ensinnäkin, päästä eroon murtoluvuista! Tämän jälkeen yhtälöstä tulee useimmiten lineaarinen tai neliö. Ja sitten tiedämme mitä tehdä... Joissain tapauksissa se voi muuttua identiteetiksi, kuten 5=5 tai virheelliseksi lausekkeeksi, kuten 7=2. Mutta tätä tapahtuu harvoin. Mainitsen tämän alla.
Mutta kuinka päästä eroon murtoluvuista!? Erittäin yksinkertainen. Käytä samoja identtisiä muunnoksia.
Meidän on kerrottava koko yhtälö samalla lausekkeella. Joten kaikki nimittäjät pienenevät! Kaikki tulee heti helpommaksi. Selitän esimerkin avulla. Meidän on ratkaistava yhtälö:
Miten sinua opetettiin peruskoulussa? Siirrämme kaiken sivuun, tuomme yhteisen nimittäjän jne. Unohda se kuin paha uni! Tämä on mitä sinun on tehtävä, kun lisäät tai vähennät murtolukuja. Tai työskentelet eriarvoisuuden kanssa. Ja yhtälöissä kerromme välittömästi molemmat puolet lausekkeella, joka antaa meille mahdollisuuden vähentää kaikki nimittäjät (eli pohjimmiltaan yhteisellä nimittäjällä). Ja mikä tämä ilmaisu on?
Vasemmalla puolella nimittäjän pienentäminen vaatii kertomisen x+2. Ja oikealla, kerrotaan kahdella. Tämä tarkoittaa, että yhtälö on kerrottava 2(x+2). Kerro:
Tämä on yleinen murtokerroin, mutta kuvailen sitä yksityiskohtaisesti:
Huomaa, että en vielä avaa kiinnikettä (x + 2)! Joten kirjoitan sen kokonaisuudessaan:
Vasemmalla puolella se supistuu kokonaan (x+2), ja oikealla 2. Mitä vaadittiin! Vähennyksen jälkeen saamme lineaarinen yhtälö:
Ja jokainen voi ratkaista tämän yhtälön! x = 2.
Ratkaistaan toinen esimerkki, hieman monimutkaisempi:
Jos muistamme, että 3 = 3/1, ja 2x = 2x/ 1, voimme kirjoittaa:
Ja taas pääsemme eroon siitä, mistä emme todella pidä - murto-osista.
Näemme, että nimittäjän pienentämiseksi X:llä meidän on kerrottava murto-osa (x - 2). Ja muutama ei ole meille este. No, kerrotaan. Kaikki vasen puoli ja kaikki oikea puoli:
Taas sulkumerkit (x - 2) En paljasta. Työskentelen kannattimen kanssa kokonaisuutena ikään kuin se olisi yksi numero! Tämä on tehtävä aina, muuten mikään ei vähene.
Syvän tyytyväisyyden tunteella vähennämme (x - 2) ja saamme yhtälön ilman murtolukuja viivaimella!
Avataan nyt sulut:
Tuomme samanlaisia, siirrämme kaiken vasemmalle ja saamme:
Mutta ennen sitä opimme ratkaisemaan muita ongelmia. Koron perusteella. Se on muuten harava!
Jos pidät tästä sivustosta...
Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)
Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)
Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.
Matematiikassa on ääretön määrä funktioita. Ja jokaisella on oma luonteensa.) Jotta voit työskennellä monenlaisten toimintojen kanssa, joita tarvitset yksittäinen lähestyminen. Muuten, mitä matematiikkaa tämä on?!) Ja sellainen lähestymistapa on olemassa!
Kun työskentelet minkä tahansa toiminnon kanssa, esitämme sen vakiokysymyksillä. Ja ensimmäinen, tärkein kysymys on funktion määrittelyalue. Joskus tätä aluetta kutsutaan kelvollisten argumenttiarvojen joukoksi, funktion määrittelyalueeksi jne.
Mikä on funktion toimialue? Kuinka löytää se? Nämä kysymykset näyttävät usein monimutkaisilta ja käsittämättömiltä... Vaikka itse asiassa kaikki on äärimmäisen yksinkertaista. Voit nähdä itse lukemalla tämän sivun. Mennä?)
No, mitä voin sanoa... Vain kunnioitusta.) Kyllä! Toiminnon luonnollinen alue (josta keskustellaan täällä) Ottelut funktioon sisältyvien lausekkeiden ODZ. Vastaavasti niitä etsitään samojen sääntöjen mukaan.
Katsotaanpa nyt ei täysin luonnollista määritelmän aluetta.)
Lisärajoituksia toiminnon laajuudelle.
Täällä puhumme tehtävän asettamista rajoituksista. Nuo. Tehtävä sisältää joitain lisäehtoja, jotka kääntäjä keksi. Tai rajoitukset syntyvät funktion määrittelymenetelmästä.
Mitä tulee tehtävän rajoituksiin, kaikki on yksinkertaista. Yleensä ei tarvitse etsiä mitään, kaikki on jo sanottu tehtävässä. Muistutan, että tehtävän tekijän kirjoittamat rajoitukset eivät kumoa matematiikan perusrajoitukset. Sinun tarvitsee vain muistaa ottaa huomioon tehtävän ehdot.
Esimerkiksi tämä tehtävä:
Etsi funktion toimialue:
positiivisten lukujen joukossa.
Löysimme tämän funktion luonnollisen määritelmän yllä. Tämä alue:
D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪
Funktion määrittämismenetelmässä sinun on luettava huolellisesti ehto ja löydettävä rajoituksia X:ille. Joskus silmät etsivät kaavoja, mutta sanat viheltävät tajunnan ohi kyllä...) Esimerkki edelliseltä oppitunnilta:
Funktio määritellään ehdolla: luonnollisen argumentin x jokainen arvo liittyy x:n arvon muodostavien numeroiden summaan.
Tässä on huomattava, että puhumme vain X:n luonnonarvoista. Sitten D(f) heti tallennettu:
D(f): x ∈ N
Kuten näet, funktion toimialue ei ole niin monimutkainen käsite. Tämän alueen löytäminen edellyttää funktion tutkimista, epäyhtälöjärjestelmän kirjoittamista ja tämän järjestelmän ratkaisemista. Tietysti on kaikenlaisia järjestelmiä, yksinkertaisia ja monimutkaisia. Mutta...
Kerron sinulle pienen salaisuuden. Joskus toiminto, jonka määrittelyalue on löydettävä, näyttää yksinkertaisesti pelottavalta. Haluan kalpeaa ja itkeä.) Mutta heti kun kirjoitan epätasa-arvojärjestelmän ylös... Ja yhtäkkiä järjestelmä osoittautuu alkeelliseksi! Lisäksi usein mitä kauheampi toiminto, sitä yksinkertaisempi järjestelmä...
Moraali: silmät pelkäävät, pää päättää!)
