Tänään on erittäin helppo oppitunti. Tarkastelemme vain yhtä objektia - kulman puolittajaa - ja todistamme sen tärkeimmän ominaisuuden, joka on meille erittäin hyödyllinen tulevaisuudessa.

Älä vain rentoudu: joskus opiskelijat, jotka haluavat saada korkean pisteen samasta yhtenäisestä valtionkokeesta tai yhtenäisestä valtionkokeesta, eivät voi edes muotoilla tarkasti puolittajan määritelmää ensimmäisellä oppitunnilla.

Ja sen sijaan, että tekisimme todella mielenkiintoisia tehtäviä, tuhlaamme aikaa niin yksinkertaisiin asioihin. Joten lue, katso ja ota se käyttöön. :)

Aluksi hieman outo kysymys: mikä on kulma? Aivan oikein: kulma on yksinkertaisesti kaksi sädettä, jotka lähtevät samasta pisteestä. Esimerkiksi:

Esimerkkejä kulmista: terävä, tylpä ja oikea

Kuten kuvasta näkyy, kulmat voivat olla teräviä, tylsiä, suoria - sillä ei nyt ole väliä. Usein mukavuussyistä jokaiseen säteeseen on merkitty lisäpiste ja sanotaan, että edessämme on kulma $AOB$ (kirjoitettuna $\angle AOB$).

Captain Obviousness näyttää vihjaavan, että säteiden $OA$ ja $OB$ lisäksi pisteestä $O$ on aina mahdollista vetää joukko lisää säteitä. Mutta heidän joukossaan on yksi erityinen - häntä kutsutaan puolittajaksi.

Määritelmä. Kulman puolittaja on säde, joka lähtee kulman kärjestä ja puolittaa kulman.

Yllä oleville kulmille puolittajat näyttävät tältä:

Esimerkkejä terävän, tylpän ja suoran kulman puolittajista

Koska todellisissa piirustuksissa ei aina ole ilmeistä, että tietty säde (meissä tapauksessa $OM$-säde) jakaa alkuperäisen kulman kahteen yhtä suureen osaan, geometriassa on tapana merkitä samat kulmat samalla määrällä kaaria ( piirustuksessamme tämä on 1 kaari terävälle kulmille, kaksi tylpälle, kolme suoralle).

Okei, olemme selvittäneet määritelmän. Nyt sinun on ymmärrettävä, mitä puolittajalla on ominaisuuksia.

Kulman puolittajan pääominaisuus

Itse asiassa puolittajalla on paljon ominaisuuksia. Ja tarkastelemme niitä ehdottomasti seuraavassa oppitunnissa. Mutta on yksi temppu, joka sinun on ymmärrettävä nyt:

Lause. Kulman puolittaja on pisteiden paikka, jotka ovat yhtä kaukana tietyn kulman sivuista.

Käännettynä matematiikasta venäjäksi tämä tarkoittaa kahta tosiasiaa kerralla:

1. Mikä tahansa piste, joka sijaitsee tietyn kulman puolittajalla, on samalla etäisyydellä tämän kulman sivuista.
2. Ja päinvastoin: jos piste sijaitsee samalla etäisyydellä tietyn kulman sivuista, se on taatusti tämän kulman puolittajalla.

Ennen kuin todistamme nämä väitteet, selvitetään yksi kohta: mitä tarkalleen kutsutaan etäisyydeksi pisteestä kulman sivuun? Tässä vanha kunnon pisteen ja suoran etäisyyden määrittäminen auttaa meitä:

Määritelmä. Etäisyys pisteestä viivaan on tietystä pisteestä tälle suoralle vedetyn kohtisuoran pituus.

Tarkastellaan esimerkiksi suoraa $l$ ja pistettä $A$, joka ei ole tällä suoralla. Piirretään kohtisuora kohtaan $AH$, missä $H\in l$. Tällöin tämän kohtisuoran pituus on etäisyys pisteestä $A$ suoraan $l$.

Graafinen esitys pisteen ja suoran välisestä etäisyydestä

Koska kulma on yksinkertaisesti kaksi sädettä ja jokainen säde on pala suoraa, on helppo määrittää etäisyys pisteestä kulman sivuihin. Nämä ovat vain kaksi kohtisuoraa:

Määritä etäisyys pisteestä kulman sivuihin

Siinä kaikki! Nyt tiedämme, mikä on etäisyys ja mikä puolittaja. Siksi voimme todistaa pääominaisuuden.

Kuten luvattiin, jaamme todisteen kahteen osaan:

1. Etäisyydet puolittajan pisteestä kulman sivuihin ovat samat

Tarkastellaan mielivaltaista kulmaa, jossa on kärkipiste $O$ ja puolittaja $OM$:

Osoittakaamme, että juuri tämä piste $M$ on samalla etäisyydellä kulman sivuista.

Todiste. Piirretään kohtisuorat pisteestä $M$ kulman sivuille. Kutsutaan niitä $M((H)_(1))$ ja $M((H)_(2))$:

Piirrä kohtisuorat kulman sivuille

Saimme kaksi suorakulmaista kolmiota: $\vartriangle OM((H)_(1))$ ja $\vartriangle OM((H)_(2))$. Niillä on yhteinen hypotenuusa $OM$ ja samat kulmat:

1. $\kulma MO((H)_(1))=\kulma MO((H)_(2))$ ehdon mukaan (koska $OM$ on puolittaja);
2. $\kulma M((H)_(1))O=\kulma M((H)_(2))O=90()^\circ $ rakenteen mukaan;
3. $\kulma OM((H)_(1))=\kulma OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$, koska summa Suorakulmaisen kolmion terävät kulmat ovat aina 90 astetta.

Näin ollen kolmiot ovat yhtä suuria sivu- ja kahdessa vierekkäisessä kulmassa (katso kolmioiden tasa-arvomerkit). Siksi erityisesti $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, ts. etäisyydet pisteestä $O$ kulman sivuihin ovat todellakin yhtä suuret. K.E.D. :)

2. Jos etäisyydet ovat yhtä suuret, piste on puolittajalla

Nyt tilanne on päinvastainen. Olkoon annettu kulma $O$ ja piste $M$ yhtä kaukana tämän kulman sivuista:

Osoitetaan, että säde $OM$ on puolittaja, ts. $\kulma MO((H)_(1))=\kulma MO((H)_(2))$.

Todiste. Piirretään ensin tämä säde $OM$, muuten ei ole mitään todistettavaa:

Johtettu $OM$-säde kulman sisällä

Jälleen saadaan kaksi suorakulmaista kolmiota: $\vartriangle OM((H)_(1))$ ja $\vartriangle OM((H)_(2))$. Ilmeisesti ne ovat tasa-arvoisia, koska:

1. Hypotenuusa $OM$ - yleinen;
2. Jalat $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ ehdon mukaan (piste $M$ on kuitenkin yhtä kaukana kulman sivuista);
3. Loput jalat ovat myös yhtä suuret, koska Pythagoraan lauseella $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Siksi kolmiot $\vartriangle OM((H)_(1))$ ja $\vartriangle OM((H)_(2))$ kolmella sivulla. Erityisesti niiden kulmat ovat yhtä suuret: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. Ja tämä tarkoittaa vain, että $OM$ on puolittaja.

Todistuksen päätteeksi merkitsemme tuloksena saadut yhtäläiset kulmat punaisilla kaarilla:

Puolittaja jakaa kulman $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ kahdeksi yhtä suureksi

Kuten näette, ei mitään monimutkaista. Olemme osoittaneet, että kulman puolittaja on pisteiden paikka, jotka ovat yhtä kaukana tämän kulman sivuista. :)

Nyt kun olemme enemmän tai vähemmän päättäneet terminologiasta, on aika siirtyä seuraavalle tasolle. Seuraavalla oppitunnilla tarkastelemme puolittajan monimutkaisempia ominaisuuksia ja opimme soveltamaan niitä todellisten ongelmien ratkaisemiseen.

Kolmion puolittaja – kolmion kulman puolittajan segmentti, joka on kolmion kärjen ja sitä vastakkaisen sivun välissä.

Bisectorin ominaisuudet

1. Kolmion puolittaja puolittaa kulman.

2. Kolmion kulman puolittaja jakaa vastakkaisen sivun suhteessa kahden vierekkäisen sivun suhteeseen ()

3. Kolmion kulman puolittajapisteet ovat yhtä kaukana kulman sivuista.

4. Kolmion sisäkulmien puolittajat leikkaavat yhdessä pisteessä - tähän kolmioon piirretyn ympyrän keskipisteessä.

Joitakin kaavoja, jotka liittyvät kolmion puolittajaan

(todiste kaavasta – )
, Missä
- puolittajan pituus sivulle vedettynä,
- kolmion kärkiä vastapäätä olevat sivut, vastaavasti,
- niiden osien pituudet, joihin puolittaja jakaa sivun,

Kutsun sinut katsomaan video opetusohjelma, joka osoittaa kaikkien edellä mainittujen puolittajan ominaisuuksien soveltamisen.

Videolla käsitellyt tehtävät:
1. Kolmioon ABC, jonka sivut ovat AB = 2 cm, BC = 3 cm, AC = 3 cm, piirretään puolittaja VM. Etsi janojen AM ja MC pituudet
2. Kolmion ABC kärjen A sisäkulman puolittaja ja ulkokulman puolittaja kärjessä C leikkaavat pisteessä M. Etsi kulma BMC, jos kulma B on 40 astetta, kulma C on 80 astetta
3. Etsi kolmioon piirretyn ympyrän säde ottaen huomioon neliön solujen sivut 1

Saatat myös olla kiinnostunut lyhyestä video-opetusohjelmasta, jossa käytetään yhtä puolittajan ominaisuuksista

Tiedätkö mikä on segmentin keskipiste? Tietysti teet. Entä ympyrän keskipiste? Sama.

Mikä on kulman keskipiste?

Voit sanoa, että näin ei tapahdu. Mutta miksi segmentti voidaan jakaa puoliksi, mutta kulma ei? Se on täysin mahdollista - ei vain piste, mutta…. linja.

Muistatko vitsin: puolittaja on rotta, joka juoksee kulmien ympäri ja jakaa kulman kahtia. Joten puolittajan todellinen määritelmä on hyvin samanlainen kuin tämä vitsi:

Kolmion puolittaja- tämä on puolittajasegmentti kolmion kulmasta, joka yhdistää tämän kulman kärjen vastakkaisella puolella olevaan pisteeseen.

Kerran muinaiset tähtitieteilijät ja matemaatikot löysivät monia mielenkiintoisia puolittajan ominaisuuksia. Tämä tieto on yksinkertaistanut ihmisten elämää suuresti.

Ensimmäinen tieto, joka auttaa tässä...

Muuten, muistatko kaikki nämä termit? Muistatko kuinka ne eroavat toisistaan? Ei? Ei pelottavaa. Selvitetään se nyt.

• Tasakylkisen kolmion kanta- tämä on puoli, joka ei ole tasa-arvoinen muiden kanssa. Katso kuvaa, kumman puolen luulet sen olevan? Aivan oikein - tämä on puoli.
• Mediaani on viiva, joka on vedetty kolmion kärjestä ja joka jakaa vastakkaisen puolen (se on taas) puoliksi. Huomaa, että emme sano "tasakylkisen kolmion mediaani". Tiedätkö miksi? Koska kolmion kärjestä piirretty mediaani jakaa MILLIIN kolmion vastakkaisen puolen.
• Korkeus on ylhäältä vedetty viiva, joka on kohtisuorassa pohjaan nähden. Huomasit? Puhumme jälleen mistä tahansa kolmiosta, ei vain tasakylkistä. MILLIIN kolmion korkeus on aina kohtisuorassa kantaan nähden.

Joten, oletko keksinyt sen? Melkein.

Tarvitset niitä ymmärtääksesi vielä paremmin ja muistaaksesi ikuisesti, mitä puolittaja, mediaani ja korkeus ovat vertailla keskenään ja ymmärtää, kuinka ne ovat samanlaisia ​​ja miten ne eroavat toisistaan.

Samaan aikaan, jotta muistaa paremmin, on parempi kuvata kaikki "ihmiskielellä".

Silloin toimit helposti matematiikan kielellä, mutta aluksi et ymmärrä tätä kieltä ja sinun on ymmärrettävä kaikki omalla kielelläsi.

Joten miten ne ovat samanlaisia?

Puolittaja, mediaani ja korkeus - ne kaikki "tulevat ulos" kolmion kärjestä ja lepäävät vastakkaisella puolella ja "tekevät jotain" joko kulmalla, josta ne tulevat ulos, tai vastakkaisella puolella.

Minusta se on yksinkertaista, eikö?

Miten ne eroavat toisistaan?

• Puolittaja jakaa kulman, josta se tulee, puoliksi.
• Mediaani jakaa vastakkaisen puolen puoliksi.
• Korkeus on aina kohtisuorassa vastakkaiselle puolelle.

Se siitä. Se on helppo ymmärtää. Ja kun ymmärrät, voit muistaa.

Nyt seuraava kysymys.

Miksi tasakylkisen kolmion puolittaja on sekä mediaani että korkeus?

Voit yksinkertaisesti katsoa kuvaa ja varmistaa, että mediaani jakautuu kahteen täysin yhtä suureen kolmioon.

Siinä kaikki! Mutta matemaatikot eivät halua uskoa silmiään. Heidän on todistettava kaikki.

Pelottava sana?

Ei mitään sellaista - se on yksinkertaista! Katso: molemmilla on samat puolet ja niillä on yleensä yhteinen puoli ja. (- puolittaja!) Ja niin käy ilmi, että kahdella kolmiolla on kaksi yhtä suurta sivua ja niiden välinen kulma.

Muistamme ensimmäisen kolmioiden tasa-arvon (jos et muista, katso aihetta) ja päättelemme, että ja siksi = ja.

Tämä on jo hyvä - se tarkoittaa, että se osoittautui mediaaniksi.

Mutta mikä se on?

Katsotaanpa kuvaa - . Ja saimme sen. Niin myös! Lopuksi hurraa! Ja.

Oliko tämä todiste mielestäsi hieman raskas? Katso kuvaa - kaksi identtistä kolmiota puhuvat puolestaan.

Muista joka tapauksessa tiukasti:

Nyt se on vaikeampaa: laskemme puolittajien välinen kulma missä tahansa kolmiossa!Älä pelkää, se ei ole niin hankalaa. Katso kuvaa:

Lasketaan se. Muistatko, että kolmion kulmien summa on?

Sovelletaan tätä hämmästyttävää tosiasiaa.

Toisaalta:

Tuo on.

Katsotaan nyt:

Mutta puolittajat, puolittajat!

Muistetaan asiaa:

Nyt kirjainten kautta

Eikö ole yllättävää?

Osoittautui että kahden kulman puolittajien välinen kulma riippuu vain kolmannesta kulmasta!

No, katsoimme kahta puolittajaa. Entä jos niitä on kolme??!! Leikkaavatko ne kaikki yhdessä pisteessä?

Vai tuleeko siitä näin?

Miten ajattelet? Joten matemaatikot ajattelivat ja ajattelivat ja todistivat:

Eikö olekin hienoa?

Haluatko tietää, miksi näin tapahtuu?

Siirry seuraavalle tasolle - olet valmis valloittamaan uusia tietämyksen korkeuksia puolittajasta!

BISEKTORI. KESKITASO

Muistatko mikä puolittaja on?

Puolittaja on suora, joka puolittaa kulman.

Oletko törmännyt puolittajaan ongelmassa? Yritä soveltaa yhtä (tai joskus useampaa) seuraavista hämmästyttävistä ominaisuuksista.

1. Puolittaja tasakylkisessä kolmiossa.

Etkö pelkää sanaa "teoreema"? Jos pelkäät, se on turhaa. Matemaatikot ovat tottuneet kutsumaan lauseeksi mitä tahansa väitettä, joka voidaan jollakin tavalla johtaa muista, yksinkertaisemmista väitteistä.

Joten huomio, lause!

Todistetaan tämä lause, eli meidän on ymmärrettävä miksi näin tapahtuu? Katso tasakylkisiä.

Katsotaanpa niitä huolellisesti. Ja sitten se nähdään

1. - yleistä.

Ja tämä tarkoittaa (muista nopeasti ensimmäinen merkki kolmioiden tasa-arvosta!) sitä.

Mitä sitten? Haluatko sanoa sen? Ja tosiasia on, että emme ole vielä katsoneet näiden kolmioiden kolmatta sivua ja muita kulmia.

Katsotaan nyt. Kerran, sitten ehdottomasti ja jopa lisäksi.

Niinpä siitä selvisi

1. jakoi puolen puoliksi, eli se osoittautui mediaaniksi
2. , mikä tarkoittaa, että ne ovat samanlaisia ​​(katso uudelleen kuvaa).

Joten siitä tuli puolittaja ja myös korkeus!

Hurraa! Todistimme lauseen. Mutta arvaa mitä, ei tässä vielä kaikki. Myös uskollinen käänteinen lause:

Todiste? Oletko todella kiinnostunut? Lue teorian seuraava taso!

Ja jos ei kiinnosta, niin sitten muista tiukasti:

Miksi muistaa tämä lujasti? Miten tämä voi auttaa? Mutta kuvittele, että sinulla on tehtävä:

Annettu: .

Löytö: .

Huomaat heti, puolittaja ja katso, hän jakoi sivun kahtia! (ehdon mukaan...). Jos muistat vakaasti, että näin tapahtuu vain tasakylkisessä kolmiossa, teet sitten johtopäätöksen, mikä tarkoittaa, että kirjoitat vastauksen: . Hienoa, eikö? Tietenkään kaikki tehtävät eivät ole niin helppoja, mutta tieto auttaa varmasti!

Ja nyt seuraava omaisuus. Valmis?

2. Kulman puolittaja on kulman sivuista yhtä kaukana olevien pisteiden paikka.

Peloissaan? Se ei todellakaan ole iso juttu. Laiskot matemaatikot piilottivat neljä kahdelle riville. Joten mitä se tarkoittaa "Bisektor - pisteiden paikka"? Tämä tarkoittaa, että ne teloitetaan välittömästi kaksilausunnot:

1. Jos piste sijaitsee puolittajalla, etäisyydet siitä kulman sivuihin ovat yhtä suuret.
2. Jos jossain vaiheessa etäisyydet kulman sivuille ovat yhtä suuret, niin tämä piste Välttämättä sijaitsee puolittajalla.

Näetkö eron väitteiden 1 ja 2 välillä? Jos ei kovin paljoa, niin muistakaa Hatuntekijä elokuvasta "Liisa ihmemaassa": "Mitä muuta sanoisit, ikään kuin "näen mitä syön" ja "syön mitä näen" olisivat sama asia!"

Joten meidän täytyy todistaa väitteet 1 ja 2 ja sitten väite: "puolittaja on kulman sivuista yhtä kaukana olevien pisteiden sijainti" todistetaan!

Miksi 1 on totta?

Otetaan mikä tahansa puolittajan piste ja kutsutaan sitä .

Pudotetaan tästä pisteestä kohtisuorat kulman sivuille.

Ja nyt... valmistaudu muistamaan suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvomerkit! Jos olet unohtanut ne, katso kohtaa.

Joten...kaksi suorakulmaista kolmiota: ja. Heillä on:

• Yleinen hypotenuusa.
• (koska se on puolittaja!)

Tämä tarkoittaa - kulmalla ja hypotenuusalla. Siksi näiden kolmioiden vastaavat jalat ovat yhtä suuret! Tuo on.

Osoitimme, että piste on yhtä (tai yhtä) kaukana kulman sivuista. Kohta 1 on käsitelty. Siirrytään nyt kohtaan 2.

Miksi 2 on totta?

Ja yhdistetään pisteet ja.

Tämä tarkoittaa, että se on puolittajalla!

Siinä kaikki!

Miten kaikkea tätä voidaan soveltaa ongelmien ratkaisemiseen? Esimerkiksi tehtävissä on usein seuraava lause: "Ympyrä koskettaa kulman sivuja...". No, sinun täytyy löytää jotain.

Sitten huomaat sen nopeasti

Ja tasa-arvoa voi käyttää.

3. Kolmion kolme puolittajaa leikkaavat yhdessä pisteessä

Puittajan ominaisuudesta olla kulman sivuista yhtä kaukana olevien pisteiden paikka, seuraa seuraava väite:

Miten se oikein tulee ulos? Mutta katsokaa: kaksi puolittajaa leikkaa varmasti, eikö niin?

Ja kolmas puolittaja voisi mennä näin:

Mutta todellisuudessa kaikki on paljon paremmin!

Katsotaan kahden puolittajan leikkauspistettä. Kutsutaan sitä.

Mitä käytimme täällä molemmilla kerroilla? Joo kohta 1, tietysti! Jos piste sijaitsee puolittajalla, niin se on yhtä kaukana kulman sivuista.

Ja niin se tapahtui.

Mutta katso tarkkaan näitä kahta yhtäläisyyttä! Loppujen lopuksi niistä seuraa, että ja siksi .

Ja nyt se tulee peliin kohta 2: jos kulman sivujen etäisyydet ovat yhtä suuret, niin piste sijaitsee puolittajalla... mikä kulma? Katso kuvaa uudelleen:

ja ovat etäisyydet kulman sivuihin, ja ne ovat yhtä suuret, mikä tarkoittaa, että piste sijaitsee kulman puolittajalla. Kolmas puolittaja kulki saman pisteen läpi! Kaikki kolme puolittajaa leikkaavat yhdessä pisteessä! Ja lisälahjana -

Radii kaiverrettu ympyrät.

(Varmuuden vuoksi katso toista aihetta).

No, nyt et koskaan unohda:

Kolmion puolittajien leikkauspiste on siihen piirretyn ympyrän keskipiste.

Siirrytään seuraavaan omaisuuteen... Vau, puolittajalla on monia ominaisuuksia, eikö? Ja tämä on hienoa, koska mitä enemmän ominaisuuksia, sitä enemmän työkaluja puolittajaongelmien ratkaisemiseen.

4. Puolittaja ja yhdensuuntaisuus, vierekkäisten kulmien puolittaja

Se, että puolittaja jakaa kulman puoliksi joissakin tapauksissa johtaa täysin odottamattomiin tuloksiin. Esimerkiksi,

Tapaus 1

Hienoa, eikö? Ymmärrämme miksi näin on.

Toisaalta piirrämme puolittajan!

Mutta toisaalta, on kulmia, jotka ovat ristikkäin (muista teema).

Ja nyt käy ilmi, että; heitä keskeltä ulos: ! - tasakylkisiä!

Tapaus 2

Kuvittele kolmio (tai katso kuvaa)

Jatketaan puolta pisteen takana. Nyt meillä on kaksi kulmaa:

• - sisäkulma
• - ulkokulma on ulkopuolella, eikö niin?

Joten, ja nyt joku halusi piirtää ei yhden, vaan kaksi puolittajaa kerralla: sekä puolesta että puolesta. Mitä tapahtuu?

Onnistuuko se? suorakulmainen!

Yllättäen asia on juuri näin.

Selvitetään se.

Mikä summa mielestäsi on?

Tietenkin - loppujen lopuksi ne kaikki yhdessä muodostavat sellaisen kulman, että se osoittautuu suoraksi viivaksi.

Muista nyt se ja ovat puolittajia ja katso, että kulman sisällä on tarkalleen puoli kaikkien neljän kulman summasta: ja - - eli tarkalleen. Voit kirjoittaa sen myös yhtälönä:

Siis uskomatonta mutta totta:

Kolmion sisä- ja ulkokulmien puolittajien välinen kulma on yhtä suuri.

Tapaus 3

Näetkö, että kaikki on sama täällä kuin sisä- ja ulkonurkissa?

Vai mietitäänpä uudestaan, miksi näin tapahtuu?

Mitä tulee vierekkäisiin kulmiin,

(vastaa rinnakkaisia ​​kantaja).

Ja taas he sopivat tasan puolet summasta

Johtopäätös: Jos ongelma sisältää puolittajia vieressä kulmat tai puolittajat asiaankuuluvaa suunnikkaan tai puolisuunnikkaan kulmat, niin tässä tehtävässä varmasti kyseessä on suorakulmainen kolmio tai ehkä jopa kokonainen suorakulmio.

5. Puolittaja ja vastakkainen puoli

Osoittautuu, että kolmion kulman puolittaja jakaa vastakkaisen puolen ei vain jollain tavalla, vaan erityisellä ja erittäin mielenkiintoisella tavalla:

Tuo on:

Hämmästyttävä tosiasia, eikö?

Nyt todistamme tämän tosiasian, mutta valmistaudu: se on hieman vaikeampaa kuin ennen.

Jälleen - poistu "avaruuteen" - lisämuodostelma!

Mennään suoraan.

Minkä vuoksi? Katsotaan nyt.

Jatketaan puolittajaa, kunnes se leikkaa suoran.

Onko tämä tuttu kuva? Kyllä, kyllä, kyllä, täsmälleen sama kuin kohdassa 4, tapaus 1 - käy ilmi, että (- puolittaja)

Makaa ristiin

Eli sekin.

Katsotaan nyt kolmioita ja.

Mitä voit sanoa niistä?

Ne ovat samanlaisia. No, kyllä, niiden kulmat ovat yhtä suuret kuin pystysuorat. Siis kahdessa kulmassa.

Nyt meillä on oikeus kirjoittaa asianomaisten osapuolten suhteet.

Ja nyt lyhyesti sanottuna:

Vai niin! Muistuttaa minua jostain, eikö? Eikö tämä ole se, mitä halusimme todistaa? Kyllä, kyllä, juuri niin!

Näet kuinka mahtavaksi "avaruuskävely" osoittautui - ylimääräisen suoran rakentaminen - ilman sitä mitään ei olisi tapahtunut! Ja niin, olemme todistaneet sen

Nyt voit käyttää sitä turvallisesti! Katsotaanpa vielä yksi kolmion kulmien puolittajien ominaisuus - älä huoli, nyt vaikein osa on ohi - se on helpompaa.

Me ymmärrämme sen

Lause 1:

Lause 2:

Lause 3:

Lause 4:

Lause 5:

Lause 6:

No, aihe on ohi. Jos luet näitä rivejä, se tarkoittaa, että olet erittäin siisti.

Koska vain 5% ihmisistä pystyy hallitsemaan jotain itse. Ja jos luet loppuun, olet tässä 5 %:ssa!

Nyt se tärkein asia.

Olet ymmärtänyt tämän aiheen teorian. Ja toistan, tämä... tämä on aivan super! Olet jo parempi kuin suurin osa ikäisistäsi.

Ongelmana on, että tämä ei ehkä riitä...

Minkä vuoksi?

Menestyksekkäästä Unified State Exam -kokeen läpäisystä, korkeakouluun pääsystä budjetilla ja, TÄRKEINTÄ, elinikäiseksi.

En vakuuta sinua mistään, sanon vain yhden asian...

Hyvän koulutuksen saaneet ansaitsevat paljon enemmän kuin ne, jotka eivät ole saaneet sitä. Tämä on tilastoa.

Mutta tämä ei ole pääasia.

Pääasia, että he ovat ONNELISEMME (sellaisia ​​tutkimuksia on). Ehkä siksi, että heille avautuu paljon enemmän mahdollisuuksia ja elämästä tulee valoisampaa? En tiedä...

Mutta ajattele itse...

Mitä tarvitaan, jotta voit olla varmasti parempi kuin muut Unified State -kokeessa ja lopulta... onnellisempi?

SAADA KÄSI RATKAISEMME ONGELMIA TÄSTÄ AIHESTA.

Sinulta ei kysytä teoriaa kokeen aikana.

Tarvitset ratkaista ongelmia aikaa vastaan.

Ja jos et ole ratkaissut niitä (PALJON!), teet varmasti tyhmän virheen jossain tai sinulla ei yksinkertaisesti ole aikaa.

Se on kuin urheilussa - sinun täytyy toistaa se monta kertaa voittaaksesi varmasti.

Löydä kokoelma missä haluat, välttämättä ratkaisuilla, yksityiskohtaisella analyysillä ja päätä, päätä, päätä!

Voit käyttää tehtäviämme (valinnainen) ja me tietysti suosittelemme niitä.

Jotta voisit paremmin käyttää tehtäviämme, sinun on pidennettävä parhaillaan lukemasi YouClever-oppikirjan käyttöikää.

Miten? Vaihtoehtoja on kaksi:

1. Avaa kaikki tämän artikkelin piilotetut tehtävät -
2. Avaa pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin kaikissa oppikirjan 99 artikkelissa - Osta oppikirja - 899 RUR

Kyllä, meillä on 99 tällaista artikkelia oppikirjassamme ja pääsy kaikkiin tehtäviin ja kaikkiin niissä oleviin piiloteksteihin voidaan avata välittömästi.

Pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin tarjotaan sivuston KOKO käyttöiän ajan.

Tiivistettynä...

Jos et pidä tehtävistämme, etsi muita. Älä vain pysähdy teoriaan.

"Ymmärretty" ja "osaan ratkaista" ovat täysin eri taitoja. Tarvitset molemmat.

Etsi ongelmia ja ratkaise ne!

Tällä oppitunnilla muistetaan kulman puolittajan käsite, muotoillaan ja todistetaan suoria ja käänteisiä lauseita kulman puolittajan ominaisuuksista ja yleistetään ne. Ratkaistaan ​​tehtävä, jossa puolittajaa koskevien tosiasioiden lisäksi sovelletaan muita geometrisia tosiasioita.

Aihe: Ympyrä

Oppitunti: Kulman puolittajan ominaisuudet. Tehtävät

Kolmio on kaiken geometrian keskeinen hahmo, ja nauraen sanotaan, että se on ehtymätön, kuin atomi. Sen ominaisuudet ovat lukuisia, mielenkiintoisia ja viihdyttäviä. Tarkastelemme joitain näistä ominaisuuksista.

Mikä tahansa kolmio on ensinnäkin kolme kulmaa ja kolme segmenttiä (ks. kuva 1).

Riisi. 1

Tarkastellaan kulmaa, jossa on kärki A ja sivut B ja C-kulma.

Missä tahansa kulmassa, mukaan lukien kolmion kulma, voit piirtää puolittajan - eli suoran, joka jakaa kulman kahtia (katso kuva 2).

Riisi. 2

Tarkastellaan kulman puolittajalla olevan pisteen ominaisuuksia (ks. kuva 3).

Tarkastellaan kulman puolittajalla olevaa pistettä M.

Muista, että etäisyys pisteestä suoraan on tästä pisteestä suoraan vedetyn kohtisuoran pituus.

Riisi. 3

Ilmeisesti, jos otamme pisteen, joka ei ole puolittajalla, etäisyydet tästä pisteestä kulman sivuille ovat erilaisia. Etäisyys pisteestä M kulman sivuihin on sama.

Lause

Kehittymättömän kulman puolittajan jokainen piste on yhtä kaukana kulman sivuista, eli kulman sivujen etäisyydet pisteestä M AC:hen ja BC:hen ovat yhtä suuret.

Kulma on annettu, sen puolittaja on AL, piste M on puolittajalla (ks. kuva 4).

Todista se .

Riisi. 4

Todiste:

Harkitse kolmioita ja . Nämä ovat suorakulmioita, ja ne ovat yhtä suuret, koska niillä on yhteinen hypotenuusa AM, ja kulmat ovat yhtä suuret, koska AL on kulman puolittaja. Siten suorakulmaiset kolmiot ovat yhtä suuria hypotenuusassa ja teräväkulmassa, tästä seuraa, että , joka on todistettava. Siten kulman puolittajalla oleva piste on yhtä kaukana kulman sivuista.

Käänteinen lause on totta.

Lause

Jos piste on yhtä kaukana kehittymättömän kulman sivuista, se sijaitsee puolittajallaan.

Kehittymätön kulma on annettu piste M siten, että etäisyys siitä kulman sivuihin on sama.

Osoita, että piste M on kulman puolittajalla (ks. kuva 5).

Riisi. 5

Todiste:

Etäisyys pisteestä suoraan on kohtisuoran pituus. Pisteestä M piirretään kohtisuorat MK sivulle AB ja MR sivulle AC.

Harkitse kolmioita ja . Nämä ovat suorakulmaisia ​​kolmioita, ja ne ovat yhtä suuret, koska niillä on yhteinen hypotenuusa AM, jalat MK ja MR ovat ehdoiltaan yhtä suuret. Siten suorakulmaiset kolmiot ovat yhtä suuret hypotenuusassa ja jalassa. Kolmioiden yhtäläisyydestä seuraa vastaavien elementtien yhtäläisyys; yhtäläiset kulmat ovat vastakkain yhtäläisiä sivuja, joten Siksi piste M on annetun kulman puolittajalla.

Joskus suora ja käänteinen lause yhdistetään seuraavasti:

Lause

Piste on yhtä kaukana kulman sivuista silloin ja vain, jos se on tämän kulman puolittajalla.

Puolittajapisteiden yhtäläistä etäisyyttä kulman sivuilta käytetään laajasti erilaisissa tehtävissä.

Ongelma nro 674 Atanasyanin oppikirjasta, geometria, luokat 7-9:

Kehittymättömän kulman puolittajan pisteestä M tämän kulman sivuille piirretään kohtisuorat MA ja MB (ks. kuva 6). Todista se .

Annettu: kulma, puolittaja OM, kohtisuorat MA ja MB kulman sivuille.

Riisi. 6

Todista se:

Todiste:

Suoran lauseen mukaan piste M on yhtä kaukana kulman sivuista, koska se on ehdon mukaan puolittajallaan. .

Tarkastellaan suorakulmaisia ​​kolmioita ja (katso kuva 7). Niillä on yhteinen hypotenuusa OM, jalat MA ja MB ovat yhtä suuret, kuten aiemmin todistimme. Näin ollen kaksi suorakaiteen muotoista

Riisi. 7

kolmiot ovat yhtä suuret jalassa ja hypotenuusassa. Kolmioiden yhtäläisyydestä seuraa niitä vastaavien elementtien yhtäläisyys, siis kulmien yhtäläisyys ja muiden jalkojen tasa-arvo.

Jalkojen OA ja OB yhtäläisyydestä seuraa, että kolmio on tasakylkinen ja AB on sen kanta. Suora OM on kolmion puolittaja. Tasakylkisen kolmion ominaisuuden mukaan tämä puolittaja on myös korkeus, mikä tarkoittaa, että suorat OM ja AB leikkaavat suorassa kulmassa, mikä oli todistettava.

Joten tutkimme suoria ja käänteisiä lauseita kulman puolittajalla olevan pisteen ominaisuudesta, yleistimme ne ja ratkaisimme ongelman käyttämällä erilaisia ​​geometrisia tosiasioita, mukaan lukien tämä lause.

Bibliografia

1. Aleksandrov A.D. ja muut Geometria, 8. luokka. - M.: Koulutus, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria, 8. luokka. - M.: Koulutus, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria, 8. luokka. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Bymath.net().
2. Oldskola1.narod.ru ().

Kotitehtävät

1. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. ja muut Geometry, 7-9, nro 676-678, Art. 180.

Tällä oppitunnilla tarkastellaan yksityiskohtaisesti kulman puolittajalla sijaitsevien pisteiden ominaisuuksia ja kohtisuorassa janan puolittajalla sijaitsevien pisteiden ominaisuuksia.

Aihe: Ympyrä

Oppitunti: Kulman puolittajan ja janan kohtisuoran puolittajan ominaisuudet

Tarkastellaan kulman puolittajalla olevan pisteen ominaisuuksia (ks. kuva 1).

Riisi. 1

Kulma on annettu, sen puolittaja on AL, piste M on puolittajalla.

Lause:

Jos piste M on kulman puolittajalla, niin se on yhtä kaukana kulman sivuista, eli kulman sivujen etäisyydet pisteestä M pisteeseen AC ja BC ovat yhtä suuret.

Todiste:

Harkitse kolmioita ja . Nämä ovat suorakulmaisia ​​kolmioita ja ne ovat yhtä suuret, koska... niillä on yhteinen hypotenuusa AM ja kulmat ovat yhtä suuret, koska AL on kulman puolittaja. Siten suorakulmaiset kolmiot ovat yhtä suuria hypotenuusassa ja teräväkulmassa, tästä seuraa, että , joka on todistettava. Siten kulman puolittajalla oleva piste on yhtä kaukana kulman sivuista.

Käänteinen lause on totta.

Jos piste on yhtä kaukana kehittymättömän kulman sivuista, se sijaitsee puolittajallaan.

Riisi. 2

Kehittymätön kulma on annettu piste M siten, että etäisyys siitä kulman sivuille on sama (ks. kuva 2).

Todista, että piste M on kulman puolittajalla.

Todiste:

Etäisyys pisteestä suoraan on kohtisuoran pituus. Pisteestä M piirretään kohtisuorat MK sivulle AB ja MR sivulle AC.

Harkitse kolmioita ja . Nämä ovat suorakulmaisia ​​kolmioita ja ne ovat yhtä suuret, koska... niillä on yhteinen hypotenuusa AM, jalat MK ja MR ovat ehdon mukaan samat. Siten suorakulmaiset kolmiot ovat yhtä suuret hypotenuusassa ja jalassa. Kolmioiden yhtäläisyydestä seuraa vastaavien elementtien yhtäläisyys; yhtäläiset kulmat ovat vastakkain yhtäläisiä sivuja, joten Siksi piste M on annetun kulman puolittajalla.

Suora ja käänteinen lause voidaan yhdistää.

Lause

Kehittymättömän kulman puolittaja on pisteiden paikka, jotka ovat yhtä kaukana tietyn kulman sivuista.

Lause

Kolmion puolittajat AA 1, BB 1, СС 1 leikkaavat yhdessä pisteessä O (ks. kuva 3).

Riisi. 3

Todiste:

Tarkastellaan ensin kahta puolittajaa BB 1 ja CC 1. Ne leikkaavat, leikkauspiste O on olemassa. Tämän todistamiseksi oletetaan päinvastaista - vaikka nämä puolittajat eivät leikkaakaan, jolloin ne ovat yhdensuuntaisia. Tällöin suora BC on sekantti ja kulmien summa , Tämä on ristiriidassa sen kanssa, että koko kolmion kulmien summa on .

Joten kahden puolittajan leikkauspisteen piste O on olemassa. Tarkastellaanpa sen ominaisuuksia:

Piste O sijaitsee kulman puolittajalla, mikä tarkoittaa, että se on yhtä kaukana sen sivuista BA ja BC. Jos OK on kohtisuorassa BC:tä vastaan, OL on kohtisuorassa BA:ta vastaan, niin näiden kohtisuorien pituudet ovat yhtä suuret - . Myös piste O sijaitsee kulman puolittajalla ja on yhtä kaukana sen sivuista CB ja CA, kohtisuorat OM ja OK ovat yhtä suuret.

Saimme seuraavat yhtäläisyydet:

, eli kaikki kolme pisteestä O kolmion sivuille pudotettua kohtisuoraa ovat keskenään yhtä suuret.

Meitä kiinnostaa kohtisuorien OL ja OM yhtäläisyys. Tämä yhtälö sanoo, että piste O on yhtä kaukana kulman sivuista, tästä seuraa, että se sijaitsee puolittajallaan AA 1.

Olemme siis osoittaneet, että kolmion kaikki kolme puolittajaa leikkaavat yhdessä pisteessä.

Siirrytään tarkastelemaan janaa, sen kohtisuoraa puolittajaa ja kohtisuoran puolittajan pisteen ominaisuuksia.

Jana AB on annettu, p on kohtisuora puolittaja. Tämä tarkoittaa, että suora p kulkee janan AB keskikohdan läpi ja on kohtisuorassa sitä vastaan.

Lause

Riisi. 4

Mikä tahansa kohtisuoralla puolittajalla oleva piste on yhtä kaukana janan päistä (katso kuva 4).

Todista se

Todiste:

Harkitse kolmioita ja . Ne ovat suorakaiteen muotoisia ja tasa-arvoisia, koska. niillä on yhteinen jalka OM, ja jalat AO ja OB ovat ehdon mukaan yhtä suuret, joten meillä on kaksi suorakulmaista kolmiota, jotka ovat yhtä suuret kahdessa haarassa. Tästä seuraa, että myös kolmioiden hypotenoosit ovat yhtä suuret, eli se, mikä vaadittiin todistettavaksi.

Huomaa, että jana AB on yhteinen sointu monille ympyröille.

Esimerkiksi ensimmäinen ympyrä, jonka keskipiste on pisteessä M ja säde MA ja MB; toinen ympyrä, jonka keskipiste on pisteessä N, säde NA ja NB.

Näin ollen olemme osoittaneet, että jos piste on janan kohtisuorassa puolittajassa, se on yhtä kaukana janan päistä (ks. kuva 5).

Riisi. 5

Käänteinen lause on totta.

Lause

Jos tietty piste M on yhtä kaukana janan päistä, niin se sijaitsee kohtisuorassa puolittajassa tähän janan suhteen.

Annettu jana AB, siihen nähden kohtisuora puolittaja p, piste M, joka on yhtä kaukana janan päistä (ks. kuva 6).

Todista, että piste M on janan kohtisuorassa puolittajassa.

Riisi. 6

Todiste:

Harkitse kolmiota. Se on tasakylkinen tilan mukaan. Tarkastellaan kolmion mediaania: piste O on kannan AB keskikohta, OM on mediaani. Tasakylkisen kolmion ominaisuuden mukaan sen kantaan vedetty mediaani on sekä korkeus että puolittaja. Seuraa, että . Mutta suora p on myös kohtisuorassa AB:tä vastaan. Tiedämme, että pisteessä O on mahdollista piirtää yksittäinen kohtisuora janaan AB nähden, mikä tarkoittaa, että suorat OM ja p yhtyvät, tästä seuraa, että piste M kuuluu suoraan p, mikä meidän piti todistaa.

Suora ja käänteinen lause voidaan yleistää.

Lause

Janan kohtisuora puolittaja on niiden pisteiden paikka, jotka ovat yhtä kaukana sen päistä.

Kolmio, kuten tiedät, koostuu kolmesta segmentistä, mikä tarkoittaa, että siihen voidaan piirtää kolme kohtisuoraa puolittajaa. Osoittautuu, että ne leikkaavat yhdessä pisteessä.

Kolmion kohtisuorat puolittajat leikkaavat yhdessä pisteessä.

Kolmio annetaan. Sen sivut kohtisuorat: P 1 sivulle BC, P 2 sivulle AC, P 3 sivulle AB (katso kuva 7).

Osoita, että kohtisuorat P 1, P 2 ja P 3 leikkaavat pisteessä O.