Lobatševskin lentokone

Lobatševskin geometria (hyperbolinen geometria kuuntele)) on yksi ei-euklidisista geometrioista, geometrinen teoria, joka perustuu samoihin peruslähtökohtiin kuin tavallinen euklidinen geometria, lukuun ottamatta rinnakkaisaksioomaa, joka korvataan Lobatševskin rinnakkaisaksioomalla.

Euklidinen rinnakkaisaksiooma sanoo:

pisteen kautta, joka ei sijaitse tietyllä suoralla, on vain yksi suora, joka on annetun suoran kanssa samassa tasossa eikä leikkaa sitä.

Lobatševskin geometriassa hyväksytään sen sijaan seuraava aksiooma:

pisteen kautta, joka ei sijaitse tietyllä suoralla, kulkee vähintään kaksi suoraa, jotka ovat annetun suoran kanssa samassa tasossa eivätkä leikkaa sitä.

Lobatševskin geometrialla on laajat sovellukset sekä matematiikassa että fysiikassa. Sen historiallinen merkitys on siinä, että Lobatševski osoitti rakentamisellaan euklidisesta erilaisen geometrian mahdollisuuden, mikä merkitsi uutta aikakautta geometrian ja yleensä matematiikan kehityksessä.

Tarina

Yritetään todistaa viides postulaatti

Lobatševskin geometrian lähtökohtana oli Eukleideen viides postulaatti, rinnakkaisaksioomaa vastaava aksiooma. Se sisällytettiin Euklidesin elementtien postulaattien luetteloon). Sen muotoilun suhteellinen monimutkaisuus ja epäintuitiivisuus herätti tunteen sen toissijaisuudesta ja sai aikaan yrityksiä johtaa se muista Eukleideen postulaateista.

Todistamista yrittäneiden joukossa olivat seuraavat tiedemiehet:

• antiikin kreikkalaiset matemaatikot Ptolemaios (II vuosisata), Proclus (V vuosisata) (perustuu olettamukseen, että kahden rinnakkaisen etäisyys on äärellinen),
• Ibn al-Haytham Irakista (myöhällä - vuosisatojen alkupuolella) (perustuu olettamukseen, että suoraa kohtisuorassa olevan liikkumisen loppu kuvaa suoraa),
• Iranilaiset matemaatikot Omar Khayyam (2. puolisko - 1100-luvun alku) ja Nasir ad-Din at-Tusi (XIII vuosisata) (perustuu olettamukseen, että kaksi lähentyvää suoraa ei voi jatkaa eroamista risteämättä),
• saksalainen matemaatikko Clavius ​​(),
• italialaiset matemaatikot
  • Cataldi (ensimmäistä kertaa vuonna 1603 hän julkaisi teoksen, joka oli kokonaan omistettu rinnakkaiskysymykselle),
• Englantilainen matemaatikko Wallis ( , julkaistiin vuonna ) (perustuu olettamukseen, että jokaiselle hahmolle on samanlainen luku, mutta ei sama kuin se),
• Ranskalainen matemaatikko Legendre () (perustuu olettamukseen, että jokaisen terävän kulman sisällä olevan pisteen kautta voit piirtää linjan, joka leikkaa kulman molemmat puolet; hänellä oli myös muita todisteita).

Näissä yrityksissä todistaa viides postulaatti matemaatikot esittelivät joitain uusia väitteitä, jotka näyttivät heistä ilmeisemmiltä.

Todistusta on yritetty käyttää ristiriitaisesti:

• italialainen matemaatikko Saccheri () (muotoiltuaan postulaatin kanssa ristiriidassa olevan lausunnon, hän päätteli joukon seurauksia ja tunnusti osan niistä virheellisesti ristiriitaisiksi, hän piti postulaattia todistettuina),
• Saksalainen matemaatikko Lambert (noin, julkaistiin vuonna) (tutkimuksen suorittamisen jälkeen hän myönsi, ettei hän löytänyt ristiriitoja rakentamassaan järjestelmässä).

Lopulta alkoi syntyä ymmärrys, että on mahdollista rakentaa teoria, joka perustuu päinvastaiseen oletukseen:

• Saksalaiset matemaatikot F. Schweikart () ja Taurinus () (he eivät kuitenkaan ymmärtäneet, että tällainen teoria olisi yhtä loogisesti johdonmukainen).

Ei-euklidisen geometrian luominen

Lobatševski teoksessaan "Geometrian periaatteista" (), hänen ensimmäisessä painetussa työssään ei-euklidisesta geometriasta, totesi selvästi, että V-postulaattia ei voida todistaa euklidisen geometrian muiden lähtökohtien perusteella ja että olettamus postulaatista Eukleideen postulaatin vastakohta sallii geometrian rakentamisen yhtä merkityksellisen, kuten euklidisen, ja vapaan ristiriitaisuuksista.

Samanaikaisesti ja itsenäisesti Janos Bolyai tuli samanlaisiin johtopäätöksiin ja Carl Friedrich Gauss jo aikaisemmin. Bolyain kirjoitukset eivät kuitenkaan herättäneet huomiota, ja hän luopui aiheesta pian, kun taas Gauss pidättäytyi julkaisemasta ollenkaan, ja hänen näkemyksensä voidaan arvioida vain muutamien kirjeiden ja päiväkirjamerkintöjen perusteella. Esimerkiksi vuonna 1846 lähettämässään kirjeessä tähtitieteilijä G. H. Schumacherille Gauss puhuu Lobatševskin työstä seuraavasti:

Tämä teos sisältää perusteet geometrialle, jonka olisi tapahduttava ja joka lisäksi muodostaisi tiukasti johdonmukaisen kokonaisuuden, jos euklidinen geometria ei olisi totta... Lobatševski kutsuu sitä "kuvitteelliseksi geometriaksi"; Tiedät, että 54 vuoden ajan (vuodesta 1792) olen jakanut samat näkemykset joidenkin niiden kehityksen kanssa, joita en halua tässä mainita; En siis löytänyt itselleni mitään varsinaista uutta Lobatševskin teoksista. Mutta aihetta kehitettäessä kirjoittaja ei seurannut polkua, jota minä itse seurasin; Lobatševski on tehnyt sen mestarillisesti todella geometrisessa hengessä. Koen olevani velvollinen kiinnittämään huomionne tähän työhön, joka varmasti tuottaa sinulle aivan poikkeuksellista nautintoa.

Tämän seurauksena Lobatševski toimi tämän teorian ensimmäisenä kirkkaimpana ja johdonmukaisina propagandistina.

Vaikka Lobatševskin geometria kehittyi spekulatiivisena teoriana ja Lobatševski itse kutsui sitä "kuvitteelliseksi geometriaksi", Lobatševski ei kuitenkaan pitänyt sitä mielen pelinä, vaan mahdollisena tilasuhteiden teoriana. Todiste sen johdonmukaisuudesta saatiin kuitenkin myöhemmin, kun sen tulkinnat osoitettiin, ja siten kysymys sen todellisesta merkityksestä, loogisesta johdonmukaisuudesta, ratkesi täysin.

Lobatševskin geometrian lausunto

kulma on vielä vaikeampi.

Poincarén malli

Lobatševskin geometrian sisältö

Yhdensuuntaisten viivojen lyijykynä Lobatševskin geometriassa

Lobatševski rakensi geometriansa geometristen peruskäsitteiden ja aksiooman pohjalta ja osoitti lauseet geometrisella menetelmällä, samalla tavalla kuin Eukleideen geometriassa. Pohjana toimi rinnakkaisten viivojen teoria, koska tästä alkaa ero Lobatševskin geometrian ja Eukleideen geometrian välillä. Kaikki lauseet, jotka eivät riipu yhdensuuntaisuuden aksioomasta, ovat yhteisiä molemmille geometrioille ja muodostavat ns. absoluuttisen geometrian, joka sisältää esimerkiksi lauseet kolmioiden yhtälöstä. Rinnakkaisteorian mukaisesti rakennettiin muita osia, mukaan lukien trigonometria sekä analyyttisen ja differentiaaligeometrian periaatteet.

Esitetään (nykyaikaisessa merkinnöissä) Lobatševskin geometriasta useita faktoja, jotka erottavat sen Eukleideen geometriasta ja jotka Lobatševski itse on vahvistanut.

Pisteen läpi P ei makaa annetulla rivillä. R(katso kuva), on äärettömän monta suoraa, jotka eivät leikkaa R ja sijaitsee sen kanssa samassa tasossa; niiden joukossa on kaksi ääripäätä x, y, joita kutsutaan rinnakkaisiksi viivoiksi R Lobatševskin mielessä. Kleinin (Poincaren) malleissa niitä edustavat jänteet (ympyräkaaret), joilla on sointu (kaari) R yhteinen pää (joka mallin määritelmän mukaan on poissuljettu, joten näillä viivoilla ei ole yhteisiä pisteitä).

Kulma kohtisuoran välillä PB alkaen P päällä R ja jokainen rinnakkaisista (kutsutaan yhdensuuntaisuuden kulma), kun piste poistetaan P pienenee suoralta 90°:sta 0°:een (Poincarén mallissa kulmat tavanomaisessa mielessä osuvat yhteen Lobatševskin mielessä olevien kulmien kanssa, ja siksi tämä tosiasia voidaan nähdä suoraan siitä). Rinnakkainen x toisaalta (ja y vastakkainen) lähestyy asymptoottisesti a, ja toisaalta se siirtyy siitä äärettömästi poispäin (etäisyyksiä on vaikea määrittää malleissa, joten tämä tosiasia ei ole suoraan näkyvissä).

Pisteelle, joka sijaitsee etäisyydellä tietystä suorasta PB = a(katso kuva), Lobatševski antoi kaavan yhdensuuntaisuuskulmalle P(a) :

Tässä q on jokin vakio, joka liittyy Lobatševskin avaruuden kaarevyyteen. Se voi toimia absoluuttisena pituusyksikkönä samalla tavalla kuin pallogeometriassa pallon säde on erikoisasemassa.

Jos viivoilla on yhteinen kohtisuora, ne eroavat äärettömästi sen molemmilla puolilla. Johon tahansa niistä on mahdollista palauttaa kohtisuorat, jotka eivät saavuta toista suoraa.

Lobatševskin geometriassa ei ole samanlaisia, mutta epätasaisia ​​kolmioita; Kolmiot ovat yhteneviä, jos niiden kulmat ovat yhtenevät.

Minkä tahansa kolmion kulmien summa on pienempi kuin π ja voi olla mielivaltaisen lähellä nollaa. Tämä näkyy suoraan Poincarén mallissa. Ero δ \u003d π - (α + β + γ) , jossa α , β , γ ovat kolmion kulmia, on verrannollinen sen pinta-alaan:

Kaavasta voidaan nähdä, että kolmiolla on suurin pinta-ala, ja tämä on äärellinen luku: π q 2 .

Saman etäisyyden päässä oleva viiva suorasta ei ole suora, vaan erityinen käyrä, jota kutsutaan tasaetäisyydeksi tai hypersykli.

Äärettömästi kasvavan säteen ympyröiden raja ei ole suora, vaan erityinen käyrä, jota kutsutaan nimellä raja ympyrä tai horopyörää.

Äärettömästi kasvavan säteen pallojen raja ei ole taso, vaan erityinen pinta - rajoittava pallo tai horosfääri; On huomattavaa, että euklidinen geometria pitää siinä. Tämä toimi Lobatševskin perustana trigonometriakaavojen johtamiselle.

Ympärysmitta ei ole verrannollinen säteeseen, vaan kasvaa nopeammin. Erityisesti Lobatševskin geometriassa lukua π ei voida määritellä ympyrän kehän suhteeksi sen halkaisijaan.

Mitä pienempi alue on avaruudessa tai Lobatševskin tasolla, sitä vähemmän geometriset suhteet tällä alueella eroavat euklidisen geometrian suhteista. Voidaan sanoa, että äärettömällä pienellä alueella tapahtuu euklidinen geometria. Esimerkiksi mitä pienempi kolmio, sitä vähemmän sen kulmien summa eroaa π:stä; mitä pienempi ympyrä, sitä vähemmän sen pituuden ja säteen suhde poikkeaa arvosta 2π jne. Alueen pienentäminen vastaa muodollisesti yksikköpituuden kasvattamista, joten yksikköpituuden äärettömällä lisäyksellä Lobatševskin geometrian kaavat muuttuvat Euklidisen geometrian kaavat. Euklidinen geometria on tässä mielessä Lobatševskin geometrian "rajoittava" tapaus.

Sovellukset

• Lobatševski itse sovelsi geometriaansa määrällisten integraalien laskemiseen.
• Monimutkaisen muuttujan funktioiden teoriassa Lobatševskin geometria auttoi rakentamaan automorfisten funktioiden teoriaa. Yhteys Lobatševskin geometriaan oli tässä lähtökohta Poincarén tutkimukselle, joka kirjoitti, että "ei-euklidinen geometria on avain koko ongelman ratkaisemiseen".
• Lobatševskin geometriaa voidaan soveltaa myös lukuteoriassa, sen geometrisissa menetelmissä, jotka yhdistyvät nimellä "lukugeometria".
• Lobatševskin geometrian ja erityisen (yksityisen) suhteellisuusteorian kinematiikan välille muodostui läheinen yhteys. Tämä yhteys perustuu siihen tosiasiaan, että yhtäläisyys ilmaisee valon leviämisen lakia

kun jaetaan t 2 eli valonnopeudelle antaa - avaruudessa olevan pallon yhtälö koordinaatteineen v x , v y , v z- nopeuskomponentit akseleita pitkin X, klo, z("nopeusavaruudessa"). Lorentzin muunnokset säilyttävät tämän pallon ja koska ne ovat lineaarisia, muuttavat suorat nopeusavaruudet suoriksi viivoiksi. Siksi Kleinin mallin mukaan nopeusavaruudessa sädepallon sisällä kanssa, eli valonnopeutta pienemmillä nopeuksilla tapahtuu Lobatševskin geometria.

• Lobatševskin geometria löysi merkittävän sovelluksen yleisessä suhteellisuusteoriassa. Jos pidämme aineen massojen jakautumista universumissa tasaisena (tämä likiarvo on hyväksyttävä kosmisessa mittakaavassa), niin käy ilmi, että tietyissä olosuhteissa avaruudella on Lobachevsky-geometria. Näin ollen Lobatševskin oletus geometriastaan ​​mahdollisena todellisen avaruuden teoriana oli perusteltu.
• Klein-mallia käyttämällä annetaan hyvin yksinkertainen ja lyhyt todistus

Olemme tottuneet ajattelemaan, että havaitun maailman geometria on euklidinen, ts. se täyttää koulussa opitun geometrian lait. Itse asiassa tämä ei ole totta. Tässä artikkelissa tarkastelemme Lobatševskin geometrian ilmenemismuotoja, jotka ensi silmäyksellä ovat puhtaasti abstrakteja.

Lobatševskin geometria eroaa tavallisesta euklidisesta siinä, että siinä pisteen kautta, joka ei sijaitse tietyllä suoralla, kulkee vähintään kaksi suoraa, jotka ovat annetun suoran kanssa samassa tasossa eivätkä leikkaa sitä. Sitä kutsutaan myös hyperboliseksi geometriaksi.

1. Euklidinen geometria - vain yksi viiva kulkee valkoisen pisteen läpi, joka ei leikkaa keltaista viivaa
2. Riemannin geometria - mitkä tahansa kaksi suoraa leikkaavat (ei ole yhdensuuntaisia ​​suoria)
3. Lobatševskin geometria - on äärettömän monta suoria viivoja, jotka eivät leikkaa keltaista viivaa ja kulkevat valkoisen pisteen läpi

Jotta lukija voisi visualisoida tämän, kuvataanpa lyhyesti Kleinin mallia. Tässä mallissa Lobatševskin taso on toteutettu säteittäisen yksiympyrän sisäpuolena, jossa tason pisteet ovat tämän ympyrän pisteitä ja linjat jänteitä. Jännitys on suora viiva, joka yhdistää kaksi ympyrän pistettä. Kahden pisteen välistä etäisyyttä on vaikea määrittää, mutta emme tarvitse sitä. Yllä olevasta kuvasta käy selväksi, että pisteen P kautta on äärettömän monta suoraa, jotka eivät leikkaa suoraa a. Normaalissa euklidisessa geometriassa on vain yksi suora, joka kulkee pisteen P läpi eikä leikkaa suoraa a. Tämä viiva on yhdensuuntainen.

Siirrytään nyt pääasiaan - Lobatševskin geometrian käytännön sovelluksiin.

Satelliittinavigointijärjestelmät (GPS ja GLONASS) koostuvat kahdesta osasta: kiertoratakonstellaatiosta, joka koostuu 24-29 satelliitista tasaisin välein Maan ympärillä, ja maapallon ohjaussegmentistä, joka varmistaa satelliittien aikasynkronoinnin ja yhden koordinaattijärjestelmän käytön. Satelliiteissa on erittäin tarkat atomikellot ja vastaanottimissa (GPS-navigaattorit) tavalliset kvartsikellot. Vastaanottimilla on myös tietoa kaikkien satelliittien koordinaateista kulloinkin. Satelliitit lähettävät lyhyin väliajoin signaalin, joka sisältää tiedot lähetyksen alkamisajasta. Vastaanotettuaan signaalin vähintään neljältä satelliitilta, vastaanotin voi säätää kelloaan ja laskea etäisyydet näihin satelliitteihin käyttämällä kaavaa ((aika, jolloin satelliitti lähetti signaalin) - (aika, jolloin signaali vastaanotettiin satelliitista)) x (valon nopeus) = (etäisyys satelliitista). Myös lasketut etäisyydet korjataan vastaanottimeen sisäänrakennettujen kaavojen mukaan. Lisäksi vastaanotin löytää niiden pallojen leikkauspisteiden koordinaatit, joiden keskipisteet ovat satelliiteissa, ja säteet, jotka ovat yhtä suuria kuin lasketut etäisyydet niihin. Ilmeisesti nämä ovat vastaanottimen koordinaatit.

Lukija varmaan tietää, että suhteellisuusteorian vaikutuksesta johtuen satelliitin suuresta nopeudesta kiertoradalla oleva aika on erilainen kuin aika Maan päällä. Mutta yleisessä suhteellisuusteoriassa on edelleen samanlainen vaikutus, joka liittyy nimenomaan ei-euklidiseen aika-avaruusgeometriaan. Jälleen, emme mene matemaattisiin yksityiskohtiin, koska ne ovat melko abstrakteja. Mutta jos lopetamme näiden vaikutusten huomioimisen, navigointijärjestelmän lukemiin kertyy 10 km:n suuruinen virhe yhden käyttöpäivän aikana.

Lobatševskin geometrian kaavoja käytetään myös korkean energian fysiikassa, nimittäin varautuneiden hiukkaskiihdyttimien laskennassa. Hyperboliset avaruudet (eli avaruudet, joissa hyperbolisen geometrian lait toimivat) löytyy myös luonnosta itsestään. Annetaan lisää esimerkkejä:

Lobatševskin geometria näkyy korallien rakenteissa, kasvien solurakenteiden järjestäytymisessä, arkkitehtuurissa, joissakin kukissa ja niin edelleen. Muuten, jos muistat, että viime numerossa puhuimme luonnossa olevista kuusikulmioista, joten hyperbolisessa luonnossa vaihtoehtona ovat seitsemänkulmiot, jotka ovat myös laajalle levinneitä.

Äänestetty Kiitos!

Saatat olla kiinnostunut:

• 
  

venäläisen ja brittiläisen tieteen suhteelle omistettu matemaatikko Valentina Kiritšenko kertoo PostNaukalle Lobatševskin 1800-luvun geometrian ideoiden vallankumouksellisuudesta.

Yhdensuuntaiset suorat eivät leikkaa edes Lobatševskin geometriassa. Jossain elokuvissa voit usein löytää lauseen: "Mutta Lobatševskymme rinnakkaiset linjat leikkaavat." Kuulostaa hyvältä, mutta se ei ole totta. Nikolai Ivanovitš Lobatševski todella keksi epätavallisen geometrian, jossa yhdensuuntaiset viivat käyttäytyvät aivan eri tavalla kuin mihin olemme tottuneet. Ne eivät kuitenkaan leikkaa toisiaan.

Olemme tottuneet ajattelemaan, että kaksi yhdensuuntaista suoraa eivät lähesty tai väisty. Eli riippumatta siitä, minkä pisteen ensimmäisellä rivillä otamme, etäisyys siitä toiseen riviin on sama, se ei riipu pisteestä. Mutta onko se todella niin? Ja miksi se on niin? Ja miten tämä voidaan varmistaa?

Jos puhumme fyysisistä viivoista, vain pieni osa jokaisesta viivasta on käytettävissämme havainnointia varten. Ja kun otetaan huomioon mittausvirheet, emme voi tehdä varmoja johtopäätöksiä siitä, kuinka viivat käyttäytyvät hyvin, hyvin kaukana meistä. Samanlaisia ​​kysymyksiä heräsi jo muinaisten kreikkalaisten keskuudessa. Kolmannella vuosisadalla eKr. antiikin kreikkalainen geometria Euclid ilmaisi erittäin tarkasti yhdensuuntaisten viivojen pääominaisuuden, jota hän ei voinut todistaa eikä kumota. Siksi hän kutsui sitä postulaatiksi - lausumaksi, joka tulisi ottaa uskon varaan. Tämä on Eukleideen kuuluisa viides postulaatti: jos kaksi suoraa tasossa leikkaavat sekantin, niin että sisäisten yksipuolisten kulmien summa on pienempi kuin kaksi suoraa, eli alle 180 astetta, niin riittävällä Jatkossa nämä kaksi suoraa leikkaavat, ja juuri sekantin toisella puolella summa on pienempi kuin kaksi suoraa kulmaa.

Tämän postulaatin avainsanat ovat "riittävällä jatkolla". Näiden sanojen takia postulaattia ei voida vahvistaa empiirisesti. Ehkä linjat leikkaavat näkölinjassa. Ehkä 10 kilometrin jälkeen tai Pluton kiertoradan ulkopuolella tai ehkä jopa toisessa galaksissa.

Euclid hahmotteli postulaattejaan ja niistä loogisesti seuraavia tuloksia kuuluisassa kirjassa "Alku". Venäjän sana "elementit" tulee tämän kirjan antiikin kreikkalaisesta nimestä ja sana "elementit" tulee latinalaisesta nimestä. Euclid's Elements on kaikkien aikojen suosituin oppikirja. Painosten lukumäärältään se on toisella sijalla Raamatun jälkeen.

Haluaisin erityisesti huomioida upean brittiläisen painoksen vuodelta 1847, jossa on erittäin visuaalinen ja kaunis infografiikka. Piirustuksissa olevien tylsyjen merkintöjen sijaan siellä käytetään väripiirroksia - ei kuten nykyaikaisissa koulun geometrian oppikirjoissa.

Viime vuosisadalle asti Eukleideen "alku" oli pakollinen opiskeluun kaikissa koulutusohjelmissa, jotka merkitsivät henkistä luovuutta, eli ei vain käsityön oppimista, vaan jotain älyllisempää. Eukleideen viidennen postulaatin ei-ilmeisyys herätti luonnollisen kysymyksen: voidaanko se todistaa, toisin sanoen päätellä loogisesti muista Eukleideen oletuksista? Monet matemaatikot yrittivät tehdä tätä, Eukleideen aikalaisista Lobatševskin aikalaisiin. Yleensä he pelkisivät viidennen postulaatin johonkin demonstratiivisempaan lausuntoon, mikä on helpompi uskoa.

Esimerkiksi 1600-luvulla englantilainen matemaatikko John Wallis pelkisti viidennen postulaatin seuraavaan toteamukseen: on kaksi samanlaista, mutta epätasa-arvoista kolmiota, eli kaksi kolmiota, joiden kulmat ovat yhtä suuret, mutta koot ovat erilaisia. Vaikuttaa siltä, ​​mikä voisi olla helpompaa? Vaihdetaan vain asteikkoa. Mutta käy ilmi, että kyky muuttaa mittakaavaa säilyttäen kaikki kulmat ja mittasuhteet on euklidisen geometrian yksinomainen ominaisuus, toisin sanoen geometria, jossa kaikki Euklidesin postulaatit, mukaan lukien viides, täyttyvät.

Skotlantilainen tiedemies John Playfair muotoili 1700-luvulla uudelleen viidennen postulaatin siinä muodossa, jossa se tavallisesti esiintyy nykyaikaisissa koulukirjoissa: kaksi toisiaan leikkaavaa viivaa ei voi olla samanaikaisesti yhdensuuntainen kolmannen viivan kanssa. Juuri tässä muodossa viides postulaatti esiintyy nykyaikaisissa koulukirjoissa.

1800-luvun alussa monilla oli vaikutelma, että viidennen postulaatin todistaminen oli kuin ikuisen liikkeen keksimistä – täysin hyödytöntä harjoitusta. Mutta kukaan ei uskaltanut väittää, että Eukleideen geometria ei ollut ainoa mahdollinen: Eukleideen auktoriteetti oli liian suuri. Tällaisessa tilanteessa Lobatševskin löydöt olivat toisaalta luonnollisia ja toisaalta ehdottoman vallankumouksellisia.

Lobatševski korvasi viidennen postulaatin suoraan vastakkaisella lausunnolla. Lobatševskin aksiooma kuulosti tältä: jos pisteestä, joka ei ole suoralla, päästää ulos kaikki säteet, jotka leikkaavat tämän suoran, niin vasemmalla ja oikealla näitä säteitä rajoittaa kaksi rajoittavaa sädettä, jotka eivät enää risteä. suoraa linjaa, mutta se tulee yhä lähemmäksi sitä. Lisäksi näiden rajoittavien säteiden välinen kulma on ehdottomasti alle 180 astetta.

Lobatševskin aksioomasta seuraa välittömästi, että pisteen kautta, joka ei ole annetulla suoralla, ei voi vetää yhtä suoraa yhdensuuntaisena annetun kanssa, kuten Eukleides, vaan niin monta kuin haluat. Mutta nämä linjat käyttäytyvät eri tavalla kuin Eukleideen. Esimerkiksi, jos meillä on kaksi yhdensuuntaista suoraa, ne voivat ensin lähestyä ja sitten siirtyä pois. Eli etäisyys ensimmäisen rivin pisteestä toiseen riviin riippuu pisteestä. Se on erilainen eri kohdissa.

Lobatševskin geometria on ristiriidassa intuitiomme kanssa osittain siksi, että pienillä etäisyyksillä, joita tavallisesti käsittelemme, se eroaa hyvin vähän euklidisesta. Samalla tavalla havaitsemme maan pinnan kaarevuuden. Kun kävelemme kotoa kauppaan, meistä tuntuu, että kävelemme suoraa linjaa ja maapallo on litteä. Mutta jos lensimme esimerkiksi Moskovasta Montrealiin, huomaamme jo, että kone lentää ympyrän kaarta pitkin, koska tämä on lyhin reitti kahden maan pinnan pisteen välillä. Toisin sanoen huomaamme, että maapallo on enemmän kuin jalkapallo kuin pannukakku.

Lobatševskin geometriaa voidaan havainnollistaa myös jalkapallolla, mutta ei tavallisella, vaan hyperbolisella pallolla. Hyperbolinen jalkapallo on liimattu yhteen aivan kuten tavallinen pallo. Vain tavallisessa pallossa valkoiset kuusikulmiot liimataan mustiin viisikulmioihin, ja hyperbolisessa pallossa viisikulmioiden sijasta sinun on tehtävä seitsemänkulmio ja liimattava ne myös kuusikulmioilla. Tässä tapauksessa se ei tietenkään ole pallo, vaan pikemminkin satula. Ja tässä satulassa Lobatševskin geometria toteutuu.

Lobatševski yritti kertoa löydöistään vuonna 1826 Kazanin yliopistossa. Raportin teksti ei kuitenkaan ole säilynyt. Vuonna 1829 hän julkaisi artikkelin geometriastaan ​​yliopistolehdessä. Lobatševskin tulokset tuntuivat monista merkityksettömiltä - ei vain siksi, että ne tuhosivat tavanomaisen maailmankuvan, vaan koska niitä ei esitetty ymmärrettävimmällä tavalla.

Lobatševskillä oli kuitenkin myös julkaisuja korkea-arvoisissa aikakauslehdissä, kuten me niitä nykyään kutsumme. Esimerkiksi vuonna 1836 hän julkaisi ranskankielisen artikkelin "Imaginary Geometry" kuuluisassa Krell-lehdessä, samassa numerossa kuin tuon ajan kuuluisimpien matemaatikoiden - Dirichlet'n, Steinerin ja Jacobin - artikkelit. Ja vuonna 1840 Lobatševski julkaisi pienen ja erittäin selkeästi kirjoitetun kirjan nimeltä Geometric Research on the Theory of Parallel Lines. Kirja oli saksaksi ja julkaistiin Saksassa. Siellä oli myös tuhoisa arvostelu. Arvostelija pilkkasi erityisesti Lobatševskin lausetta: "Mitä pidemmälle jatkamme linjoja niiden rinnakkaisuuden suuntaan, sitä enemmän ne lähestyvät toisiaan." "Tämä lausunto yksinään", arvostelija kirjoitti, "jo luonnehtii tarpeeksi herra Lobatševskin työtä ja vapauttaa arvioijan lisäarvioinnin tarpeesta."

Mutta kirjalla oli myös yksi puolueeton lukija. Se oli Carl Friedrich Gauss, joka tunnetaan myös matemaatikoiden kuninkaana, yksi historian suurimmista matemaatikoista. Hän arvosti suuresti Lobatševskin kirjaa yhdessä kirjeessään. Mutta hänen arvostelunsa julkaistiin vasta hänen kuolemansa jälkeen yhdessä muun kirjeenvaihdon kanssa. Ja siitä lähtien Lobatševskin geometrian todellinen buumi alkoi.

Vuonna 1866 hänen kirjansa käännettiin ranskaksi ja sitten englanniksi. Lisäksi englanninkielinen painos painettiin uudelleen kolme kertaa sen poikkeuksellisen suosion vuoksi. Valitettavasti Lobachevsky ei kestänyt tätä aikaa. Hän kuoli vuonna 1856. Ja vuonna 1868 Lobatševskin kirjasta ilmestyi venäläinen painos. Sitä ei julkaistu kirjana, vaan artikkelina vanhimmassa venäläisessä Mathematical Collection -lehdessä. Mutta sitten tämä lehti oli hyvin nuori, se ei ollut vielä kaksivuotias. Mutta venäläinen käännös vuodelta 1945, jonka on tehnyt merkittävä venäläinen ja neuvostoliittolainen geometri Veniamin Fedorovich Kagan, tunnetaan paremmin.

1800-luvun loppuun mennessä matemaatikot jakautuivat kahteen leiriin. Jotkut hyväksyivät heti Lobatševskin tulokset ja alkoivat kehittää hänen ideoitaan edelleen. Ja toiset eivät voineet luopua uskomuksesta, että Lobatševskin geometria kuvaa jotain, mitä ei ole olemassa, eli Eukleideen geometria on ainoa oikea, eikä mikään muu voi olla. Valitettavasti jälkimmäiseen kuului matemaatikko, joka tunnetaan paremmin Liisa Ihmemaassa -kirjan kirjoittajana, Lewis Carroll. Hänen oikea nimensä on Charles Dodgson. Vuonna 1890 hän julkaisi artikkelin "A New Theory of Parallels", jossa hän puolusti erittäin havainnollistavaa versiota viidennestä postulaatista. Lewis Carrollin aksiooma kuulostaa tältä: jos säännöllinen nelikulmio on piirretty ympyrään, tämän nelikulmion pinta-ala on ehdottomasti suurempi kuin ympyrän joidenkin segmenttien pinta-ala. nelikulmion ulkopuolella. Lobatševskin geometriassa tämä aksiooma ei pidä paikkaansa. Jos otamme riittävän suuren ympyrän, niin riippumatta siitä, minkä nelikulmion kirjoitamme siihen, riippumatta siitä, kuinka pitkät tämän nelikulmion sivut ovat, nelikulmion pinta-alaa rajoittaa yleinen fysikaalinen vakio. Yleisesti ottaen fysikaalisten vakioiden ja universaalien pituusmittojen olemassaolo on edullinen ero Lobatševskin geometrian ja Eukleideen geometrian välillä.

Mutta Arthur Cayley, toinen kuuluisa englantilainen matemaatikko, julkaisi vuonna 1859, eli vain kolme vuotta Lobatševskin kuoleman jälkeen, artikkelin, joka myöhemmin auttoi laillistamaan Lobatševskin postulaatin. Mielenkiintoista on, että Cayley työskenteli tuolloin lakimiehenä Lontoossa ja sai vasta sitten professuurin Cambridgessa. Itse asiassa Cayley rakensi Lobatševskin geometrian ensimmäisen mallin, vaikka hän ratkaisi ensi silmäyksellä täysin erilaisen ongelman.

Ja toinen merkittävä englantilainen matemaatikko, jonka nimi oli William Kingdon Clifford, oli syvästi täynnä Lobatševskin ideoita. Ja erityisesti hän ilmaisi ensimmäisenä ajatuksen kauan ennen yleisen suhteellisuusteorian luomista, että gravitaatio johtuu avaruuden kaarevuudesta. Clifford ylisti Lobatševskin panosta tieteeseen yhdessä tieteenfilosofian luennoistaan: "Lobatševskista tuli Eukleideelle sama kuin Kopernikuksesta Ptolemaioselle." Jos ennen Kopernikusta ihmiskunta uskoi tietävämme kaiken maailmankaikkeudesta, nyt meille on selvää, että havaitsemme vain pienen osan maailmankaikkeudesta. Samoin ennen Lobatševskia ihmiskunta uskoi, että oli vain yksi geometria - Euklidinen, kaikki siitä on tiedetty pitkään. Nyt tiedämme, että geometrioita on monia, mutta tiedämme kaukana kaikista.

Lobatševskin geometrialauseet

1. Lobatševskin geometrian peruskäsitteet

Euklidisessa geometriassa viidennen postulaatin mukaan tasossa pisteen läpi R, makaa linjan ulkopuolella A "A, on vain yksi suora viiva B"B, ei leikkaa A "A. Suoraan B"B" kutsutaan rinnakkaiseksi A"A:lle. Lisäksi riittää, että tällaisia ​​viivoja on enintään yksi, sillä ei-leikkaavan suoran olemassaolo voidaan todistaa piirtämällä peräkkäisiä viivoja. PQA"A ja PBPQ. Lobatševsky-geometriassa rinnakkaisuuden aksiooma vaatii sen pisteen kautta R ohittanut useamman kuin yhden suoran, joka ei leikkaa A "A.

Ei-leikkaavat viivat täyttävät kynän osan kärjellä R, makaa pystysuoran kulman sisällä TPU ja U"PT", joka sijaitsee symmetrisesti kohtisuoran suhteen P.Q. Pystykulman sivut muodostavat suorat erottavat leikkaavat viivat ei-leikkautuvista ja ovat itse myös ei-leikkauksia. Näitä rajaviivoja kutsutaan on yhdensuuntainen pisteessä P suoran kanssa A "A vastaavasti kahteen suuntaan: T "T rinnakkain A "A suunnassa A"A, a UU" rinnakkain A "A suunnassa A A". Muut ei-leikkaavat suorat kutsutaan poikkeavia linjoja kanssa A "A.

Injektio , 0< R muodostaa kohtisuoran pQ, QPT=QPU"=, nimeltään yhdensuuntaisuuden kulma segmentti PQ=a ja sitä merkitään . klo a = 0 kulma =/2; kasvaessa a kulma pienenee niin, että jokaisella annetulla 0<a. Tätä riippuvuutta kutsutaan Lobatševskin toiminto :

P(a)=2arctg (),

missä kohtaan-- jokin vakio, joka määrittää segmentin, jonka arvo on kiinteä. Sitä kutsutaan Lobatševskin avaruuden kaarevuussäteeksi. Pallogeometrian tavoin on olemassa ääretön joukko Lobatševski-avaruuksia, joiden suuruus vaihtelee kohtaan.

Kaksi erilaista suoraa tasossa muodostavat yhden kolmesta tyypistä.

leikkaavia linjoja . Etäisyys yhden suoran pisteistä toiseen suoraan kasvaa loputtomasti, kun piste siirtyy pois viivojen leikkauspisteestä. Jos suorat eivät ole kohtisuorassa, niin jokainen projisoidaan kohtisuorasti toisiaan vastaan ​​äärellisen kokoiseksi avoimeksi segmentiksi.

Yhdensuuntaiset viivat . Tasossa tietyn pisteen läpi kulkee yksi suora viiva, joka on yhdensuuntainen annetun suoran kanssa viimeksi mainitussa annetussa suunnassa. Rinnakkaiskohtaisesti R säilyttää jokaisessa pisteessään ominaisuuden olla samansuuntainen saman linjan kanssa samassa suunnassa. Rinnakkaisuus on vastavuoroista (jos a||b tiettyyn suuntaan siis b||a vastaavaan suuntaan) ja transitiivisuus (jos a||b ja || b yhteen suuntaan siis a||c vastaavaan suuntaan). Yhdensuuntaisuuden suunnassa yhdensuuntaiset lähestyvät loputtomasti, vastakkaisessa suunnassa ne poistuvat loputtomasti (etäisyyden mielessä yhden suoran liikkuvasta pisteestä toiseen suoraan). Yhden suoran ortogonaalinen projektio toiseen on avoin puoliviiva.

Erilaiset linjat . Niillä on yksi yhteinen kohtisuora, jonka segmentti antaa vähimmäisetäisyyden. Molemmilla puolilla kohtisuoraa viivat eroavat loputtomasti. Jokainen viiva projisoidaan toiselle rajallisen kokoiseksi avoimeksi segmentiksi.

Kolme erityyppistä viivaa vastaavat tasossa kolmen tyyppisiä viivoja, joista jokainen peittää koko tason: 1. tyyppinen palkki on joukko yhden pisteen kautta kulkevia suoria ( Keskusta palkki); 2. tyyppinen palkki on joukko yhtä suoraa kohtisuorassa olevaa suoraa ( pohja palkki); 3. tyyppinen säde on joukko yhden suoran kanssa yhdensuuntaisia ​​suoria tietyssä suunnassa, mukaan lukien tämä suora.

Näiden säteiden suorien linjojen ortogonaaliset liikeradat muodostavat analogeja euklidisen tason ympyrään: ympyrä varsinaisessa merkityksessä; yhtä kaukana , tai linja yhtä suuri etäisyydet (jos et ota huomioon pohjaa), joka on kovera pohjaa kohti; rajaviiva , tai horosykli, sitä voidaan pitää ympyränä, jonka keskipiste on äärettömän kaukana. Rajaviivat ovat yhteneväisiä. Ne eivät ole suljettuja ja ovat koverat kohti rinnakkaisuutta. Kaksi yhden nipun luomaa rajaviivaa ovat samankeskisiä (nipun suorista viivoista leikataan tasaiset segmentit). Säteen kahden suoran välissä olevien samankeskisten kaarien pituuksien suhde pienenee kohti yhdensuuntaisuutta etäisyyden eksponentiaalisena funktiona X kaarien välissä:

s" / s=e.

Jokainen ympyrän analogeista voi liukua itsestään, mikä saa aikaan kolmenlaisia ​​yhden parametrin liikkeitä tason: pyöriminen oman keskipisteensä ympäri; pyöriminen ihanteellisen keskuksen ympäri (yksi liikerata on kanta, loput ovat yhtä kaukana); pyöriminen äärettömän kaukana olevan keskustan ympäri (kaikki liikeradat ovat rajalinjoja).

Ympyräanalogien pyörittäminen generoivan kynän suoran ympäri johtaa palloanalogeihin: varsinainen pallo, tasaetäisyyspinta ja horosfääri, tai marginaalinen pinnat .

Pallolla suurten ympyröiden geometria on tavallinen pallogeometria; yhtäläisten etäisyyksien pinnalla - tasaetäisyysgeometria, joka on Lobachevsky-planimetria, mutta jolla on suurempi arvo on; rajapinnalla rajaviivojen euklidinen geometria.

Rajaviivojen kaareiden ja jänteiden pituuksien ja rajapinnan euklidisten trigonometristen suhteiden välinen yhteys mahdollistaa tason trigonometristen suhteiden, eli suoraviivaisten kolmioiden trigonometristen kaavojen johtamisen.

2. Joitakin Lobatševskin geometrian lauseita

Lause 1. Minkä tahansa kolmion kulmien summa on pienempi kuin 2d.

Tarkastellaan ensin suorakulmaista kolmiota ABC (kuva 2). Hänen kylkensä a, b, c on kuvattu vastaavasti euklidisen segmenttinä kohtisuorassa viivaa vastaan ja, Euklidisen ympyrän kaaria keskipisteellä M ja Euklidisen ympyrän kaaret keskipisteen kanssa N. Injektio Kanssa--suoraan. Injektio MUTTA yhtä suuri kuin ympyröiden tangenttien välinen kulma b ja kanssa pisteessä MUTTA, tai, joka on sama, säteiden välinen kulma NA ja MA näitä piirejä. Lopuksi, B = BNM.

Rakennetaan segmentille BN kuten Euklidisen ympyrän halkaisijalla q; hänellä on ympärysmitta kanssa yksi yhteinen kohta AT, koska sen halkaisija on ympyrän säde kanssa. Siksi pointti MUTTA sijaitsee ympyrän rajoittaman ympyrän ulkopuolella q, siten,

A = MIES< MBN.

Siis tasa-arvon takia MBN+B = d meillä on:

A + B< d; (1)

siis A+B+C< 2d, что и требовалось доказать.

Huomaa, että oikealla hyperbolisella liikkeellä mikä tahansa suorakulmainen kolmio voidaan sijoittaa niin, että yksi sen haaroista on euklidisella kohtisuorassa linjaan nähden. ja; siksi menetelmä, jota käytimme epäyhtälön johtamiseen (1) sovelletaan mihin tahansa suorakulmaiseen kolmioon.

Jos annetaan vino kolmio, jaamme sen yhdellä korkeudesta kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Näiden suorakulmaisten kolmioiden terävien kulmien summa on yhtä suuri kuin annetun vinon kolmion kulmien summa. Siksi eriarvoisuus otetaan huomioon (1) , päättelemme, että lause pätee mille tahansa kolmiolle.

Lause 2 . Nelikulman kulmien summa on pienempi kuin 4d.

Sen todistamiseksi riittää jakaa nelikulmio, jossa on lävistäjä, kahdeksi kolmioksi.

Lause 3 . Kahdella divergentillä suoralla on yksi ja vain yksi yhteinen kohtisuora.

Kuvataan yksi näistä poikkeavista suorista kartalla euklidisena kohtisuorana R suoralle viivalle ja pisteessä M, toinen on euklidisen puoliympyrän muodossa q keskitetty ja, ja R ja q niillä ei ole yhteisiä pisteitä (kuva 3). Tällainen kahden erilaisen hyperbolisen viivan järjestely kartalla voidaan aina saavuttaa oikealla hyperbolisella liikkeellä.

Kulutetaan alkaen M euklidinen tangentti MN kohtaan q ja kuvaile keskeltä M säde MN euklidinen puoliympyrä m. Se on selvää m--hyperbolinen viiva leikkaa ja R ja q suorassa kulmassa. Siten, m kuvaa kartalla vaaditun yhteisen kohtisuoran annettuille hajaantuville suorille.

Kahdella hajaantuvalla suoralla ei voi olla kahta yhteistä kohtisuoraa, koska tässä tapauksessa olisi nelikulmio, jossa on neljä suoraa kulmaa, mikä on ristiriidassa Lauseen 2 kanssa.

. Lause 4. Terävän kulman sivun suorakaiteen muotoinen projektio sen toiselle puolelle on segmentti(eikä puoliviiva, kuten Eukleideen geometriassa).

Lauseen pätevyys käy ilmi kuvasta. 4, jossa segmentti AB sivulla on suorakaiteen muotoinen projektio AB terävä kulma SINÄ hänen puolellaan KUTEN.

Samassa kuvassa kaari DE Euklidinen ympyrä keskipisteellä M on kohtisuora hyperboliseen suoraan nähden AC. Tämä kohtisuora ei leikkaa vinon kanssa AB. Siksi oletus, että saman suoran kohtisuora ja vino leikkaavat aina, on ristiriidassa Lobatševskin rinnakkaisuuden aksiooman kanssa; se vastaa Eukleideen rinnakkaisaksioomaa.

Lause 5. Jos kolmion ABC kolme kulmaa ovat vastaavasti yhtä suuria kuin kolmion A, B, C kolme kulmaa, niin nämä kolmiot ovat yhteneväisiä.

Oletetaan päinvastoin ja aseta sivuun, vastaavasti, säteet AB ja AC segmentit AB \u003d A "B", AC \u003d A "C". Ilmeisesti kolmioita. ABC ja A"B"C" yhtä suuri kahdelta sivulta ja niiden välisestä kulmasta. Piste B ei vastaa AT, piste C ei vastaa Kanssa, koska missä tahansa näistä tapauksista näiden kolmioiden yhtäläisyys tapahtuisi, mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa.

Harkitse seuraavia mahdollisuuksia.

a) Piste B on välissä MUTTA ja AT, piste Kanssa-- välillä MUTTA ja Kanssa(kuvio 5); tässä ja seuraavassa kuvassa hyperboliset viivat on perinteisesti kuvattu euklidisina viivoina). On helppo varmistaa, että nelikulmion kulmien summa SSNE on yhtä suuri kuin 4d, mikä on mahdotonta Lauseen 2 vuoksi.

6) Piste AT on välillä MUTTA ja AT, piste Kanssa-- välillä MUTTA ja Kanssa(Kuva 6). Merkitse D segmenttien leikkauspiste Aurinko ja eKr Kuten C=C" ja C" \u003d C, sitten C= Kanssa , mikä on mahdotonta, koska kulma C on kolmion CCD:n ulkopuolella.

Muita mahdollisia tapauksia käsitellään samalla tavalla.

Lause on todistettu, koska tehty oletus on johtanut ristiriitaan.

Lauseesta 5 seuraa, että Lobatševskin geometriassa ei ole kolmiota, joka olisi samanlainen kuin annettu kolmio, mutta ei samanlainen kuin se.