Tässä artikkelissa luetellaan määrätyn integraalin tärkeimmät ominaisuudet. Suurin osa näistä ominaisuuksista on todistettu Riemannin ja Darboux'n määrätyn integraalin käsitteiden perusteella.

Määrällisen integraalin laskenta suoritetaan hyvin usein käyttämällä viittä ensimmäistä ominaisuutta, joten niihin viitataan tarvittaessa. Määrällisen integraalin muita ominaisuuksia käytetään pääasiassa eri lausekkeiden arvioimiseen.

Ennen kuin siirrytään määrätyn integraalin perusominaisuudet, olemme samaa mieltä siitä, että a ei ylitä b:tä.

Funktiolle y = f(x) , joka on määritelty arvolle x = a , yhtälö on tosi.

Eli määrätyn integraalin arvo samoilla integrointirajoilla on nolla. Tämä ominaisuus on seurausta Riemannin integraalin määritelmästä, koska tässä tapauksessa jokainen integraalisumma minkä tahansa välin osion ja minkä tahansa pistevalinnan osalta on yhtä suuri kuin nolla, koska integraalisummien raja on siis nolla.

Segmenttiin integroitavaa toimintoa varten meillä on .

Toisin sanoen, kun integroinnin ylä- ja alarajat käännetään, määrätyn integraalin arvo käännetään. Tämä määrätyn integraalin ominaisuus seuraa myös Riemannin integraalin käsitteestä, vain janan osion numerointi tulee alkaa pisteestä x = b.

funktioille y = f(x) ja y = g(x), jotka voidaan integroida väliin.

Todiste.

Kirjoitamme funktion integraalisumman tietylle janan osuudelle ja tietylle pistevalikolle:

missä ja ovat funktioiden y = f(x) ja y = g(x) kokonaissummat segmentin tietylle osiolle.

Ylitys rajalle klo saamme, että Riemannin integraalin määritelmän mukaan se vastaa todistettavan ominaisuuden väitettä.

Vakiotekijä voidaan ottaa pois määrätyn integraalin etumerkistä. Toisin sanoen funktiolle, joka on integroitavissa segmenttiin y = f(x) ja mielivaltaiseen numeroon k, yhtälö .

Todiste tästä määrätyn integraalin ominaisuudesta on täysin samanlainen kuin edellinen:


Olkoon funktio y = f(x) integroitavissa välille X , ja ja sitten .

Tämä ominaisuus on voimassa molemmille ja varten tai .

Todistus voidaan suorittaa määrätyn integraalin aikaisempien ominaisuuksien perusteella.

Jos funktio on integroitavissa segmenttiin, se on myös integroitavissa mihin tahansa sisäiseen segmenttiin.

Todistus perustuu Darboux'n summien ominaisuuteen: jos segmentin olemassa olevaan osioon lisätään uusia pisteitä, niin alempi Darboux'n summa ei pienene eikä ylempi ei kasva.

Jos funktio y = f(x) on integroitavissa väliin ja mille tahansa argumentin arvolle, niin .

Tämä ominaisuus todistetaan Riemannin integraalin määritelmän avulla: mikä tahansa integraalisumma janan ja pisteiden jakopisteiden valinnassa on ei-negatiivinen (ei positiivinen).

Seuraus.

Intervalle integroitaville funktioille y = f(x) ja y = g(x) seuraavat epäyhtälöt pätevät:


Tämä väite tarkoittaa, että eriarvoisuuksien integrointi on hyväksyttävää. Käytämme tätä seurausta todistamaan seuraavat ominaisuudet.

Olkoon funktio y = f(x) integroitavissa segmentillä , niin epäyhtälö .

Todiste.

Se on selvää . Edellisessä ominaisuudessa havaitsimme, että epäyhtälö voidaan integroida termi kerrallaan, joten se on totta . Tämä kaksois-epäyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa .

Olkoon funktiot y = f(x) ja y = g(x) integroitavissa välille ja mille tahansa argumentin arvolle, niin , missä ja .

Todistaminen suoritetaan samalla tavalla. Koska m ja M ovat funktion y = f(x) pienimmät ja suurimmat arvot segmentillä , niin . Kun kaksois-epäyhtälö kerrotaan ei-negatiivisella funktiolla y = g(x), saadaan seuraava kaksois-epäyhtälö. Integroimalla sen segmenttiin pääsemme todistettavaan väitteeseen.

Seuraus.

Jos otamme g(x) = 1 , niin epäyhtälö saa muodon .

Ensimmäinen kaava keskiarvolle.

Olkoon funktio y = f(x) integroitavissa segmentissä , ja , sitten on sellainen numero, että .

Seuraus.

Jos funktio y = f(x) on jatkuva janalla , niin siellä on sellainen luku, että .

Keskiarvon ensimmäinen kaava yleistetyssä muodossa.

Olkoon funktiot y = f(x) ja y = g(x) integroitavissa välillä , ja , ja g(x) > 0 mille tahansa argumentin arvolle. Sitten on sellainen luku .

Toinen kaava keskiarvolle.

Jos segmentillä funktio y = f(x) on integroitavissa ja y = g(x) on monotoninen, niin on olemassa luku, jolla yhtälö .

Näitä ominaisuuksia käytetään integraalin muunnoksiin, jotta se saatetaan johonkin alkeisintegraaliin ja lasketaan edelleen.

1. Epämääräisen integraalin derivaatta on yhtä suuri kuin integrandi:

2. Epämääräisen integraalin differentiaali on yhtä suuri kuin integrandi:

3. Jonkin funktion differentiaalin epämääräinen integraali on yhtä suuri kuin tämän funktion ja mielivaltaisen vakion summa:

4. Integraalimerkistä voidaan ottaa vakiotekijä:

Lisäksi a ≠ 0

5. Summan (eron) integraali on yhtä suuri kuin integraalien summa (erotus):

6. Omaisuus on ominaisuuksien 4 ja 5 yhdistelmä:

Lisäksi a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Epämääräisen integraalin invarianssiominaisuus:

Jos sitten

8. Kiinteistö:

Jos sitten

Itse asiassa tämä ominaisuus on muuttujamuutosmenetelmää käyttävän integroinnin erikoistapaus, jota käsitellään tarkemmin seuraavassa osiossa.

Harkitse esimerkkiä:

Aluksi käytimme ominaisuutta 5, sitten ominaisuutta 4, sitten käytimme antiderivaattitaulukkoa ja saimme tuloksen.

Online-integraalilaskimemme algoritmi tukee kaikkia yllä lueteltuja ominaisuuksia ja löytää helposti yksityiskohtaisen ratkaisun integraalillesi.

Differentiaalilaskennassa ongelma on ratkaistu: etsi annetun funktion ƒ(x) alla sen derivaatta(tai erotus). Integraalilaskenta ratkaisee käänteisongelman: löytää funktio F (x) tietäen sen derivaatan F "(x) \u003d ƒ (x) (tai differentiaali). Haluttua funktiota F (x) kutsutaan funktion antiderivaataksi ƒ (x).

Funktiota F(x) kutsutaan primitiivinen funktio ƒ(x) välillä (a; b), jos millä tahansa x є (a; b) yhtälö

F "(x)=ƒ(x) (tai dF(x)=ƒ(x)dx).

esimerkiksi, antiderivatiivinen funktio y \u003d x 2, x є R, on funktio, koska

Ilmeisesti myös antijohdannaiset ovat mitä tahansa toimintoja

missä C on vakio, koska

Lause 29. 1. Jos funktio F(x) on funktion ƒ(x) antiderivaata kohdassa (a;b), niin kaikkien ƒ(x):n antiderivaataiden joukko saadaan kaavalla F(x)+ C, jossa C on vakioluku.

▲ Funktio F(x)+C on ƒ(x) antiderivaata.

Todellakin, (F(x)+C) "=F" (x)=ƒ(x).

Olkoon F(x) jokin muu, eri kuin F(x), antiderivatiivinen funktio ƒ(x), eli Ф "(x)=ƒ(x). Silloin meillä on mille tahansa x є (a; b)

Ja tämä tarkoittaa (katso Johtopäätös 25.1) sitä

jossa C on vakioluku. Siksi Ф(х)=F(x)+С.▼

Kutsutaan kaikkien primitiivisten funktioiden F(x)+C joukkoa ƒ(x):lle funktion ƒ(x) epämääräinen integraali ja se on merkitty symbolilla ∫ ƒ(x) dx.

Siis määritelmän mukaan

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Tässä kutsutaan ƒ(x). integrand, ƒ(x)dx — integrandi, X - integraatiomuuttuja, ∫ -epämääräinen integraalimerkki.

Toimintoa funktion määrittelemättömän integraalin löytämiseksi kutsutaan tämän funktion integraatioksi.

Geometrisesti määrittelemätön integraali on "rinnakkaisten" käyrien perhe y \u003d F (x) + C (jokainen C:n numeerinen arvo vastaa tiettyä perheen käyrää) (katso kuva 166). Kunkin antiderivaatin (käyrän) kuvaajaa kutsutaan integraalikäyrä.

Onko jokaisella funktiolla rajoittamaton integraali?

On olemassa lause, jonka mukaan "jokaisella (a; b):n jatkuvalla funktiolla on antiderivaata tällä välillä", ja näin ollen määrittelemätön integraali.

Huomaamme useita epämääräisen integraalin ominaisuuksia, jotka seuraavat sen määritelmästä.

1. Epämääräisen integraalin differentiaali on yhtä suuri kuin integrandi ja määrittelemättömän integraalin derivaatta on yhtä suuri kuin integrandi:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) "=ƒ(x).

Todellakin, d (∫ ƒ (x) dx) \u003d d (F (x) + C) \u003d dF (x) + d (C) \u003d F "(x) dx \u003d ƒ (x) dx

(∫ ƒ (x) dx) "=(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ(x).

Tämän ominaisuuden ansiosta integroinnin oikeellisuus varmistetaan eriyttämisellä. Esimerkiksi tasa-arvo

∫(3x 2 + 4) dx=x h + 4x+C

totta, koska (x 3 + 4x + C) "= 3x 2 +4.

2. Jonkin funktion differentiaalin epämääräinen integraali on yhtä suuri kuin tämän funktion ja mielivaltaisen vakion summa:

∫dF(x)=F(x)+C.

Todella,

3. Vakiotekijä voidaan ottaa pois integraalimerkistä:

α ≠ 0 on vakio.

Todella,

(laita C 1 / a \u003d C.)

4. Äärillisen määrän jatkuvien funktioiden algebrallisen summan epämääräinen integraali on yhtä suuri kuin funktioiden termien integraalien algebrallinen summa:

Olkoon F"(x)=ƒ(x) ja G"(x)=g(x). Sitten

missä C 1 ± C 2 \u003d C.

5. (Integraatiokaavan muuttumattomuus).

Jos , jossa u=φ(x) on mielivaltainen funktio, jolla on jatkuva derivaatta.

▲ Olkoon x riippumaton muuttuja, ƒ(x) jatkuva funktio ja F(x) sen antiderivaata. Sitten

Asetetaan nyt u=φ(x), missä φ(x) on jatkuvasti differentioituva funktio. Tarkastellaan kompleksista funktiota F(u)=F(φ(x)). Johtuen funktion ensimmäisen differentiaalin muodon muuttumattomuudesta (katso s. 160), meillä on

Täältä ▼

Näin ollen määrittelemättömän integraalin kaava pysyy voimassa riippumatta siitä, onko integrointimuuttuja riippumaton muuttuja vai mikä tahansa sen funktio, jolla on jatkuva derivaatta.

Siis kaavasta korvaamalla x u:lla (u=φ(x)) saadaan

Erityisesti,

Esimerkki 29.1. Etsi integraali

jossa C \u003d C1 + C 2 + C 3 + C 4.

Esimerkki 29.2. Etsi kokonaisratkaisu:

• 29.3. Taulukko epämääräisistä perusintegraaleista

Hyödyntämällä sitä, että integrointi on differentiaalisen käänteisfunktio, voidaan saada perusintegraalitaulukko kääntämällä vastaavat differentiaalilaskennan kaavat (differentiaalitaulukko) ja käyttämällä epämääräisen integraalin ominaisuuksia.

esimerkiksi, kuten

d(sin u)=cos u . du,

Useiden taulukkokaavojen johtaminen annetaan, kun tarkastellaan tärkeimpiä integrointimenetelmiä.

Alla olevan taulukon integraaleja kutsutaan taulukkointegraaleiksi. Ne pitäisi tuntea ulkoa. Integraalilaskennassa ei ole yksinkertaisia ​​ja universaaleja sääntöjä antiderivaatojen löytämiseksi alkeisfunktioista, kuten differentiaalilaskennassa. Menetelmät antiderivaatien löytämiseksi (eli funktion integroimiseksi) rajoittuvat osoittamaan menetelmiä, jotka tuovat tietyn (toivotun) integraalin taulukkomuotoiseksi. Siksi on tarpeen tuntea taulukkointegraalit ja osata tunnistaa ne.

Huomaa, että perusintegraalitaulukossa integrointimuuttuja ja voi merkitä sekä itsenäistä muuttujaa että riippumattoman muuttujan funktiota (integrointikaavan invarianssiominaisuuden mukaan).

Alla olevien kaavojen pätevyys voidaan varmistaa ottamalla oikeanpuoleinen differentiaali, joka on yhtä suuri kuin kaavan vasemmalla puolella oleva integrandi.

Todistakaamme esimerkiksi kaavan 2 pätevyys. Funktio 1/u on määritelty ja jatkuva kaikille u:n nollasta poikkeaville arvoille.

Jos u > 0, niin ln|u|=lnu, niin Niin

Jos sinä<0, то ln|u|=ln(-u). НоKeinot

Joten kaava 2 on oikea. Samalla tavalla tarkistetaan kaava 15:

Taulukko perusintegraalista

Ystävät! Kutsumme sinut keskustelemaan. Jos sinulla on mielipide, kirjoita meille kommentteihin.

Tässä artikkelissa käsitellään yksityiskohtaisesti määrätyn integraalin pääominaisuuksia. Ne on todistettu käyttämällä Riemannin ja Darbouxin integraalin käsitettä. Määrätyn integraalin laskenta onnistuu 5 ominaisuuden ansiosta. Loput niistä käytetään eri lausekkeiden arvioimiseen.

Ennen kuin siirrytään määrätyn integraalin pääominaisuuksiin, on varmistettava, että a ei ylitä b:tä.

Määrätyn integraalin perusominaisuudet

Määritelmä 1

Funktio y \u003d f (x) , määritetty x \u003d a:lle, on samanlainen kuin reilu yhtälö ∫ a a f (x) d x \u003d 0.

Todiste 1

Tästä näemme, että integraalin arvo, jolla on yhtenevät rajat, on nolla. Tämä on seurausta Riemannin integraalista, koska jokainen integraalisumma σ mille tahansa osiolle välissä [ a ; a ] ja mikä tahansa pisteiden ζ i valinta on nolla, koska x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , joten saadaan, että integraalifunktioiden raja on nolla.

Määritelmä 2

Funktiolle, joka voidaan integroida segmenttiin [ a ; b ] , ehto ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x täyttyy.

Todiste 2

Toisin sanoen, jos muutat integroinnin ylä- ja alarajaa paikoin, niin integraalin arvo muuttaa arvon päinvastaiseksi. Tämä ominaisuus on otettu Riemannin integraalista. Janan jaon numerointi alkaa kuitenkin pisteestä x = b.

Määritelmä 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x käytetään tyyppiä y = f (x) ja y = g (x) oleville integroitaville funktioille, jotka on määritelty aikavälillä [ a ; b] .

Todiste 3

Kirjoita funktion y = f (x) ± g (x) integraalisumma osiointia varten segmenteiksi tietyllä pistevalinnalla ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i x i - x i - 1 = σ f ± σ g

missä σ f ja σ g ovat segmentin jakamisen funktioiden y = f (x) ja y = g (x) kokonaissummat. Kun raja on ylitetty kohdassa λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 saamme, että lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Riemmannin määritelmän mukaan tämä ilmaus on ekvivalentti.

Määritelmä 4

Vakiotekijän poistaminen määrätyn integraalin merkistä. Integroitava funktio väliltä [ a ; b ] mielivaltaisella k:n arvolla on kelvollinen epäyhtälö muotoa ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Todiste 4

Todistus määrätyn integraalin ominaisuudesta on samanlainen kuin edellinen:

σ = ∑ i = 1 n k f ζ i (x i - x i - 1) = = k ∑ i = 1 n f ζ i (x i - x i - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k f (x) d x = k ∫ a b f (x) d x

Määritelmä 5

Jos muotoa y = f (x) oleva funktio on integroitavissa intervallilla x, jossa a ∈ x , b ∈ x , saadaan ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x .

Todiste 5

Ominaisuuden katsotaan olevan voimassa c ∈ a ; b , kun c ≤ a ja c ≥ b . Todistus suoritetaan samalla tavalla kuin edelliset ominaisuudet.

Määritelmä 6

Kun funktiolla on kyky olla integroitavissa segmentistä [ a ; b], niin tämä on mahdollista mille tahansa sisäiselle segmentille c; d ∈ a; b.

Todiste 6

Todistus perustuu Darboux-ominaisuuteen: jos pisteitä lisätään segmentin olemassa olevaan osioon, niin alempi Darboux'n summa ei pienene eikä ylempi ei kasva.

Määritelmä 7

Kun funktio on integroitavissa [ a ; b ] arvosta f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 mille tahansa x ∈ a:n arvolle; b , niin saadaan, että ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Ominaisuus voidaan todistaa käyttämällä Riemannin integraalin määritelmää: mikä tahansa integraalisumma minkä tahansa janan ja pisteiden ζ i jakamispisteiden valinnassa sillä ehdolla, että f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 ei ole negatiivinen.

Todiste 7

Jos funktiot y = f (x) ja y = g (x) ovat integroitavissa segmentillä [ a ; b ] , niin seuraavat epäyhtälöt katsotaan kelvollisiksi:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

Väitteen ansiosta tiedämme, että integrointi on hyväksyttävää. Tätä seurausta käytetään muiden ominaisuuksien todistuksessa.

Määritelmä 8

Integroitavalle funktiolle y = f (x) segmentistä [ a ; b ] meillä on kelvollinen epäyhtälö muotoa ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Todiste 8

Meillä on, että - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Edellisestä ominaisuudesta saatiin, että epäyhtälö voidaan integroida termi kerrallaan ja se vastaa muotoa - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Tämä kaksois-epäyhtälö voidaan kirjoittaa toisessa muodossa: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Määritelmä 9

Kun funktiot y = f (x) ja y = g (x) integroidaan segmentistä [ a ; b ] g:lle (x) ≥ 0 mille tahansa x ∈ a :lle; b , saadaan epäyhtälö muotoa m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x , missä m = m i n x ∈ a ; b f (x) ja M = m a x x ∈ a ; b f (x) .

Todiste 9

Todistus tehdään samalla tavalla. M ja m katsotaan segmentistä [ a ; b ] , sitten m ≤ f (x) ≤ M . Kaksois-epäyhtälö on kerrottava funktiolla y = g (x) , joka antaa kaksois-epäyhtälön arvon muodossa m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) . Se on integroitava segmenttiin [ a ; b ] , niin saadaan todistettava väite.

Seuraus: Kun g (x) = 1, epäyhtälöstä tulee m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a) .

Ensimmäinen keskimääräinen kaava

Määritelmä 10

Sillä y = f (x) integroitavissa väliin [ a ; b ] jossa m = m i n x ∈ a ; b f (x) ja M = m a x x ∈ a ; b f (x) on olemassa luku μ ∈ m ; M , joka sopii ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

Seuraus: Kun funktio y = f (x) on jatkuva janasta [ a ; b ] , silloin on olemassa sellainen luku c ∈ a ; b , joka toteuttaa yhtälön ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a .

Keskiarvon ensimmäinen kaava yleistetyssä muodossa

Määritelmä 11

Kun funktiot y = f (x) ja y = g (x) ovat integroitavissa segmentistä [ a ; b ] jossa m = m i n x ∈ a ; b f (x) ja M = m a x x ∈ a ; b f (x) ja g (x) > 0 mille tahansa x ∈ a:n arvolle; b. Tästä syystä meillä on, että on olemassa luku μ ∈ m ; M , joka toteuttaa yhtälön ∫ a b f (x) g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

Toinen keskiarvon kaava

Määritelmä 12

Kun funktio y = f (x) on integroitavissa segmentistä [ a ; b ] , ja y = g (x) on monotoninen, silloin on luku, joka c ∈ a ; b , jossa saadaan reilu yhtälö muotoon ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Integraalien ratkaiseminen on helppoa, mutta vain eliittiä varten. Tämä artikkeli on tarkoitettu niille, jotka haluavat oppia ymmärtämään integraaleja, mutta eivät tiedä niistä vain vähän tai ei mitään. Integral... Miksi sitä tarvitaan? Kuinka se lasketaan? Mitä ovat määrälliset ja epämääräiset integraalit?

Jos osaat integraalin ainoana käyttötarkoituksena on saada jotain hyödyllistä vaikeapääsyisistä paikoista integraalikuvakkeen muotoisella koukulla, niin tervetuloa! Opi ratkaisemaan yksinkertaisia ​​ja muita integraaleja ja miksi et tule toimeen ilman sitä matematiikassa.

Tutkimme käsitettä « kiinteä »

Integraatio tunnettiin muinaisessa Egyptissä. Ei tietenkään nykyaikaisessa muodossa, mutta kuitenkin. Siitä lähtien matemaatikot ovat kirjoittaneet paljon kirjoja aiheesta. Erityisen erottuva Newton ja Leibniz mutta asioiden ydin ei ole muuttunut.

Kuinka ymmärtää integraalit tyhjästä? Ei todellakaan! Ymmärtääksesi tämän aiheen, tarvitset silti perustiedot matemaattisen analyysin perusteista. Blogissamme on jo tietoa rajoista ja johdannaisista, joita tarvitaan integraalien ymmärtämiseen.

Epämääräinen integraali

Tehdään jokin toiminto f(x) .

Funktion määrittelemätön integraali f(x) tällaista funktiota kutsutaan F(x) , jonka derivaatta on yhtä suuri kuin funktio f(x) .

Toisin sanoen integraali on käänteinen johdannainen tai antiderivaata. Muuten, lue artikkelimme johdannaisten laskemisesta.

Kaikille jatkuville toiminnoille on olemassa antiderivaata. Myös vakiomerkki lisätään usein antiderivaattiin, koska vakiolla eroavien funktioiden derivaatat ovat samat. Integraalin löytämisprosessia kutsutaan integraatioksi.

Yksinkertainen esimerkki:

Jotta alkeisfunktioiden antiderivaatteja ei jatkuvasti lasketa, on kätevää tuoda ne taulukkoon ja käyttää valmiita arvoja.

Täydellinen integraalitaulukko opiskelijoille

Varma integraali

Käsitellessämme integraalin käsitettä, olemme tekemisissä äärettömän pienillä määrillä. Integraali auttaa laskemaan kuvion alueen, epähomogeenisen kappaleen massan, epätasaisen liikkeen aikana kuljetun polun ja paljon muuta. On muistettava, että integraali on äärettömän suuren määrän äärettömän pienten termien summa.

Kuvittele esimerkkinä jonkin funktion kaavio.

Kuinka löytää funktion kaavion rajoittaman kuvan pinta-ala? Integraalin avulla! Jaetaan koordinaattiakseleiden ja funktion kuvaajan rajoittama kaareva puolisuunnikasta äärettömän pieniksi segmenteiksi. Siten luku jaetaan ohuisiin sarakkeisiin. Pylväiden pinta-alojen summa on puolisuunnikkaan pinta-ala. Mutta muista, että tällainen laskelma antaa likimääräisen tuloksen. Kuitenkin mitä pienemmät ja kapeammat segmentit ovat, sitä tarkempi laskenta on. Jos pienennämme niitä siinä määrin, että pituus pyrkii nollaan, niin segmenttien pinta-alojen summa pyrkii kuvion pinta-alaan. Tämä on selvä integraali, joka kirjoitetaan seuraavasti:

Pisteitä a ja b kutsutaan integroinnin rajoituksiksi.

« Integraali »

Muuten! Lukijoillemme on nyt 10 % alennus kaikenlaista työtä

Nukkejen integraalien laskentasäännöt

Epämääräisen integraalin ominaisuudet

Kuinka ratkaista epämääräinen integraali? Tässä tarkastellaan määrittelemättömän integraalin ominaisuuksia, joista on hyötyä esimerkkien ratkaisemisessa.

• Integraalin derivaatta on yhtä suuri kuin integrandi:

• Vakio voidaan ottaa pois integraalimerkin alta:

• Summan integraali on yhtä suuri kuin integraalien summa. Totta myös eron suhteen:

Definite Integraalin ominaisuudet

• Lineaarisuus:

• Integraalin etumerkki muuttuu, jos integroinnin rajat käännetään:

• klo minkä tahansa pisteitä a, b ja kanssa:

Olemme jo havainneet, että määrällinen integraali on summan raja. Mutta kuinka saada tietty arvo, kun ratkaistaan ​​esimerkkiä? Tätä varten on olemassa Newton-Leibnizin kaava:

Esimerkkejä integraalien ratkaisemisesta

Alla tarkastellaan määrittelemätöntä integraalia ja esimerkkejä ratkaisuineen. Tarjoamme sinulle itsenäisesti ratkaisun monimutkaisuuden ymmärtämisen, ja jos jokin on epäselvää, kysy kysymyksiä kommenteissa.

Aineiston vahvistamiseksi katso video, kuinka integraalit ratkaistaan ​​käytännössä. Älä ole epätoivoinen, jos integraalia ei anneta heti. Käänny ammattimaisen opiskelijapalvelun puoleen, ja kaikki suljetun pinnan päällä olevat kolmois- tai kaarevat integraalit ovat käytettävissäsi.