Tärkeimpien trigonometristen funktioiden - sini, kosini, tangentti ja kotangentti - väliset suhteet on annettu trigonometriset kaavat. Ja koska trigonometristen funktioiden välillä on melko paljon yhteyksiä, tämä selittää myös trigonometristen kaavojen runsauden. Jotkut kaavat yhdistävät saman kulman trigonometriset funktiot, toiset - usean kulman funktiot, toiset - antavat sinun laskea astetta, neljännet - ilmaista kaikki funktiot puolikulman tangentin kautta jne.

Tässä artikkelissa luetellaan järjestyksessä kaikki perustrigonometriset kaavat, jotka riittävät ratkaisemaan suurimman osan trigonometriatehtävistä. Muistamisen ja käytön helpottamiseksi ryhmittelemme ne käyttötarkoituksensa mukaan ja syötämme ne taulukoihin.

Sivulla navigointi.

Trigonometriset perusidentiteetit

Trigonometriset perusidentiteetit aseta suhde yhden kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin välillä. Ne johtuvat sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmästä sekä yksikköympyrän käsitteestä. Niiden avulla voit ilmaista yhden trigonometrisen funktion minkä tahansa muun kautta.

Yksityiskohtainen kuvaus näistä trigonometriakaavoista, niiden johtamisesta ja sovellusesimerkeistä on artikkelissa.

Valokaavat

Valokaavat seuraavat sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin ominaisuuksista, eli ne heijastavat trigonometristen funktioiden jaksollisuuden ominaisuutta, symmetriaominaisuutta ja myös ominaisuutta siirtyä tietyllä kulmalla. Näiden trigonometristen kaavojen avulla voit siirtyä mielivaltaisten kulmien käsittelystä kulmien työskentelyyn nollasta 90 asteeseen.

Artikkelissa voidaan tutkia näiden kaavojen perusteluja, muistisääntöä niiden muistamiseksi ja esimerkkejä niiden soveltamisesta.

Lisäyskaavat

Trigonometriset summauskaavat näytä, kuinka kahden kulman summan tai eron trigonometriset funktiot ilmaistaan ​​näiden kulmien trigonometrisinä funktioina. Nämä kaavat toimivat perustana seuraavien trigonometristen kaavojen johtamiselle.

Kaavat kaksois-, kolmois- jne. kulma

Kaavat kaksois-, kolmois- jne. kulma (niitä kutsutaan myös useiden kulmien kaavoiksi) osoittavat, kuinka kaksois-, kolmois- jne. trigonometriset funktiot. kulmat () ilmaistaan ​​yhden kulman trigonometrisinä funktioina. Niiden johtaminen perustuu summauskaavoihin.

Tarkempia tietoja kerätään artikkelikaavoissa tupla-, kolmois- jne. kulma.

Puolikulmakaavat

Puolikulmakaavat näytä kuinka puolikulman trigonometriset funktiot ilmaistaan ​​kokonaislukukulman kosinina. Nämä trigonometriset kaavat johtuvat kaksoiskulmakaavoista.

Heidän johtopäätöksensä ja sovellusesimerkit löytyvät artikkelista.

Vähennyskaavat

Trigonometriset kaavat aleneville asteille on suunniteltu helpottamaan siirtymistä trigonometristen funktioiden luonnollisista potenssista sineihin ja kosineihin ensimmäisessä asteessa, mutta useissa kulmissa. Toisin sanoen niiden avulla voidaan vähentää trigonometristen funktioiden tehot ensimmäiseksi.

Kaavat trigonometristen funktioiden summalle ja erolle

pääkohde trigonometristen funktioiden summa- ja erotuskaavat koostuu siirtymisestä funktioiden tuloon, mikä on erittäin hyödyllistä yksinkertaistettaessa trigonometrisiä lausekkeita. Näitä kaavoja käytetään laajasti myös trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa, koska ne mahdollistavat sinien ja kosinien summan ja eron laskemisen.

Kaavat sinien, kosinien ja sini kerrallaan tulolle

Siirtyminen trigonometristen funktioiden tulosta summaan tai erotukseen suoritetaan sinien, kosinien ja sini kerrallaan tulokaavojen avulla.

Universaali trigonometrinen substituutio

Täydennämme trigonometrian peruskaavojen tarkastelun kaavoilla, jotka ilmaisevat trigonometrisiä funktioita puolikulman tangentin suhteen. Tätä korvaavaa kutsutaan universaali trigonometrinen substituutio. Sen mukavuus piilee siinä, että kaikki trigonometriset funktiot ilmaistaan ​​puolikulman tangenttina rationaalisesti ilman juuria.

Bibliografia.

• Algebra: Proc. 9 solulle. keskim. koulu / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra ja analyysin alku: Proc. 10-11 solulle. keskim. koulu - 3. painos - M.: Enlightenment, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra ja analyysin alku: Proc. 10-11 solulle. Yleissivistävä koulutus instituutiot / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn ja muut; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. painos - M.: Enlightenment, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin hakijoille): Proc. korvaus.- M.; Korkeampi koulu, 1984.-351 s., ill.

Tekijänoikeus älykkäillä opiskelijoilla

Kaikki oikeudet pidätetään.
Tekijänoikeuslain suojaama. Mitään sivuston osaa, mukaan lukien sisäiset materiaalit ja ulkoinen suunnittelu, ei saa jäljentää missään muodossa tai käyttää ilman tekijänoikeuksien haltijan kirjallista lupaa.

AT identtisiä muunnoksia trigonometriset lausekkeet seuraavia algebrallisia temppuja voidaan käyttää: identtisten termien lisääminen ja vähentäminen; yhteisen tekijän poistaminen suluista; kertominen ja jako samalla arvolla; lyhennettyjen kertolaskujen soveltaminen; koko neliön valinta; neliötrinomin kertoimet; uusien muuttujien käyttöönotto muunnosten yksinkertaistamiseksi.

Kun muunnat murtolukuja sisältäviä trigonometrisiä lausekkeita, voit käyttää suhteellisuus-, murtolukujen pienennys- tai murtolukujen pelkistysominaisuuksia yhteiseksi nimittäjäksi. Lisäksi voit käyttää murto-osan kokonaislukuosan valintaa kertomalla murto-osan osoittaja ja nimittäjä samalla arvolla, ja myös mahdollisuuksien mukaan ottaa huomioon osoittajan tai nimittäjän tasaisuus. Tarvittaessa voit esittää murto-osan useiden yksinkertaisempien murtolukujen summana tai erotuksena.

Lisäksi, kun käytetään kaikkia tarvittavia menetelmiä trigonometristen lausekkeiden muuntamiseen, on jatkuvasti otettava huomioon muunnettujen lausekkeiden sallittujen arvojen alue.

Katsotaanpa muutamia esimerkkejä.

Esimerkki 1

Laske A = (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x - π/2) cos ( 2x - 7π /2) +
+ sin (3π/2 - x) sin (2x -5π/2)) 2

Ratkaisu.

Se seuraa pelkistyskaavoista:

sin (2x - π) \u003d -sin 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

sin (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d sin x; cos (2x - 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π / 2 - x) \u003d -cos x; sin (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

Mistä saamme argumenttien lisäyskaavojen ja trigonometrisen perusidentiteetin avulla

A \u003d (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Vastaus: 1.

Esimerkki 2

Muunna lauseke M = cos α + cos (α + β) cos γ + cos β – sin (α + β) sin γ + cos γ tuotteeksi.

Ratkaisu.

Argumenttien lisäyskaavoista ja kaavoista trigonometristen funktioiden summan muuntamiseksi tuloksi, olemme asianmukaisen ryhmittelyn jälkeen

М = (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2).

Vastaus: М = 4cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2) cos ((β + γ)/2).

Esimerkki 3.

Osoita, että lauseke A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) ottaa kaikki x:t R yhdestä ja sama arvo. Etsi tämä arvo.

Ratkaisu.

Esittelemme kaksi tapaa ratkaista tämä ongelma. Ensimmäistä menetelmää käyttämällä, eristämällä täysi neliö ja käyttämällä vastaavia trigonometrisiä peruskaavoja, saadaan

A \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4.

Kun ongelma ratkaistaan ​​toisella tavalla, katso A:n x:n funktiona R:stä ja laske sen derivaatta. Muutosten jälkeen saamme

А´ \u003d -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x - π/6) + cos (x + π/6) sin ( x + π/6)) - 2cos (x - π/6) sin (x - π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x - π/6)) - sin 2(x - π/6) =

Sin 2x - (sin (2x + π/3) + sin (2x - π/3)) =

Sin 2x - 2sin 2x cos π/3 = sin 2x - sin 2x ≡ 0.

Tästä syystä intervalliin differentioituvan funktion pysyvyyskriteerin perusteella päätämme, että

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x ∈ R.

Vastaus: A = 3/4 x € R.

Tärkeimmät menetelmät trigonometristen henkilöllisyyksien todistamiseksi ovat:

a) identiteetin vasemman puolen vähentäminen oikealle puolelle sopivilla muunnoksilla;
b) identiteetin oikean puolen pienentäminen vasemmalle;
sisään) identiteetin oikean ja vasemman osan vähentäminen samaan muotoon;
G) todistettavan identiteetin vasemman ja oikean osan välisen eron pienentäminen nollaan.

Esimerkki 4

Tarkista, että cos 3x = -4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3).

Ratkaisu.

Muuntamalla tämän identiteetin oikea puoli vastaavien trigonometristen kaavojen mukaisesti, meillä on

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

Identiteetin oikea puoli pienennetään vasemmalle.

Esimerkki 5

Todista, että sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ = 2 jos α, β, γ ovat jonkin kolmion sisäkulmia.

Ratkaisu.

Kun otetaan huomioon, että α, β, γ ovat jonkin kolmion sisäkulmia, saadaan, että

α + β + γ = π ja siten γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) =

1/2 (1 - cos 2α) + ½ (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 (cos 2α + cos 2β) = 2.

Alkuperäinen tasa-arvo on todistettu.

Esimerkki 6

Osoita, että jotta yksi kolmion kulmista α, β, γ olisi yhtä suuri kuin 60°, on välttämätöntä ja riittävää, että sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Ratkaisu.

Tämän ongelman ehto edellyttää todistetta sekä tarpeellisuudesta että riittävyydestä.

Ensin todistamme tarve.

Sen voi osoittaa

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Näin ollen, kun otetaan huomioon, että cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, saadaan, että jos yksi kulmista α, β tai γ on yhtä suuri kuin 60°, niin

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 ja siten sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Todistetaan nyt riittävyyttä määritetty ehto.

Jos sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, niin cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, ja siksi

joko cos (3α/2) = 0 tai cos (3β/2) = 0 tai cos (3γ/2) = 0.

Näin ollen

tai 3a/2 = π/2 + πk, so. α = π/3 + 2πk/3,

tai 3β/2 = π/2 + πk, so. β = π/3 + 2πk/3,

tai 3γ/2 = π/2 + πk,

nuo. γ = π/3 + 2πk/3, missä k ϵ Z.

Siitä tosiasiasta, että α, β, γ ovat kolmion kulmia, meillä on

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Siksi, jos α = π/3 + 2πk/3 tai β = π/3 + 2πk/3 tai

γ = π/3 + 2πk/3 kaikista kϵZ:istä vain k = 0 sopii.

Tästä seuraa, että joko α = π/3 = 60° tai β = π/3 = 60° tai γ = π/3 = 60°.

Väite on todistettu.

Onko sinulla kysymyksiä? Etkö tiedä kuinka yksinkertaistaa trigonometrisiä lausekkeita?
Saadaksesi tutorin apua - rekisteröidy.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Joidenkin ongelmien ratkaisemiseksi on hyödyllinen trigonometristen identiteettien taulukko, joka helpottaa funktioiden muunnoksia:

Yksinkertaisimmat trigonometriset identiteetit

Kulman alfa sinin jakaminen saman kulman kosinilla on yhtä suuri kuin tämän kulman tangentti (kaava 1). Katso myös todiste yksinkertaisimpien trigonometristen identiteettien muunnoksen oikeellisuudesta.
Kulman alfa kosinin jakaminen saman kulman sinillä on yhtä suuri kuin saman kulman kotangentti (kaava 2)
Kulman sekantti on yhtä suuri kuin yksi jaettuna saman kulman kosinilla (kaava 3)
Saman kulman sinin ja kosinin neliöiden summa on yhtä suuri (kaava 4). katso myös kosinin ja sinin neliöiden summan todiste.
Kulman yksikön ja tangentin summa on yhtä suuri kuin yksikön suhde tämän kulman kosinin neliöön (kaava 5)
Yksikkö plus kulman kotangentti on yhtä suuri kuin osamäärä, jossa yksikkö jaetaan tämän kulman sinineliöllä (kaava 6)
Saman kulman tangentin ja kotangentin tulo on yksi (kaava 7).

Trigonometristen funktioiden negatiivisten kulmien muuntaminen (parillinen ja pariton)

Päästäksesi eroon kulman astemitan negatiivisesta arvosta siniä, kosinia tai tangenttia laskettaessa, voit käyttää seuraavia trigonometrisiä muunnoksia (identiteettiä), jotka perustuvat parillisten tai parittomien trigonometristen funktioiden periaatteisiin.

Nähtynä, kosini ja secant on tasainen toiminto, sini, tangentti ja kotangentti ovat parittomia funktioita.

Negatiivisen kulman sini on yhtä suuri kuin saman positiivisen kulman sinin negatiivinen arvo (miinus alfan sini).
Kosini "miinus alfa" antaa saman arvon kuin kulman alfa kosini.
Tangentti miinus alfa on yhtä suuri kuin miinus tangentti alfa.

Kaksoiskulman vähennyskaavat (kaksoiskulman sini, kosini, tangentti ja kotangentti)

Jos sinun on jaettava kulma puoliksi tai päinvastoin, siirry kaksoiskulmasta yhteen kulmaan, voit käyttää seuraavia trigonometrisiä identiteettejä:

Kaksoiskulman muunnos (kaksoiskulmasini, kaksoiskulmakosini ja kaksoiskulmatangentti) yhdeksi tapahtuu seuraavien sääntöjen mukaisesti:

Kaksoiskulman sini on yhtä suuri kuin yhden kulman sinin ja kosinin tulo

Kaksoiskulman kosini on yhtä suuri kuin yksittäisen kulman kosinin neliön ja tämän kulman sinin neliön välinen erotus

Kaksoiskulman kosini yhtä suuri kuin kaksi kertaa yksittäisen kulman kosinin neliö miinus yksi

Kaksoiskulman kosini on yhtä kuin yksi miinus yhden kulman kaksoissinineliö

Kaksoiskulmatangentti on yhtä suuri kuin murto-osa, jonka osoittaja on kaksi kertaa yksittäisen kulman tangentti ja jonka nimittäjä on yksi miinus yksittäisen kulman neliön tangentti.

Kaksoiskulmakotangentti on yhtä suuri kuin murto-osa, jonka osoittaja on yksittäisen kulman kotangentin neliö miinus yksi, ja nimittäjä on kaksinkertainen yksittäisen kulman kotangentin

Universaalit trigonometriset korvauskaavat

Alla olevat muunnoskaavat voivat olla hyödyllisiä, kun sinun täytyy jakaa trigonometrisen funktion argumentti (sin α, cos α, tg α) kahdella ja tuoda lauseke puolen kulman arvoon. α:n arvosta saadaan α/2 .

Näitä kaavoja kutsutaan universaalin trigonometrisen substituution kaavat. Niiden arvo on siinä, että trigonometrinen lauseke heidän avullaan pelkistetään puolikulman tangentin lausekkeeksi riippumatta siitä, mitä trigonometrisiä funktioita (sin cos tg ctg) lausekkeessa alun perin oli. Sen jälkeen yhtälö puolen kulman tangentilla on paljon helpompi ratkaista.

Trigonometriset puolikulmamuunnosidentiteetit

Seuraavassa on kaavat kulman puolen arvon trigonometriseen muuntamiseen sen kokonaislukuarvoksi.
Trigonometrisen funktion α/2 argumentin arvo pienennetään trigonometrisen funktion α argumentin arvoksi.

Trigonometriset kaavat kulmien lisäämiseen

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Kulmien summan tangentti ja kotangentti alfa ja beta voidaan muuntaa seuraavien trigonometristen funktioiden muunnossääntöjen mukaisesti:

Kulmien summan tangentti on yhtä suuri kuin murto-osa, jonka osoittaja on ensimmäisen kulman tangentin ja toisen kulman tangentin summa, ja nimittäjä on yksi miinus ensimmäisen kulman tangentin ja toisen kulman tangentin tulo.

Kulmaerotangentti on yhtä suuri kuin murto-osa, jonka osoittaja on yhtä suuri kuin pienennetyn kulman tangentin ja vähennettävän kulman tangentin erotus, ja nimittäjä on yksi plus näiden kulmien tangenttien tulo.

Kulmien summan kotangentti on yhtä suuri kuin murto-osa, jonka osoittaja on yhtä suuri kuin näiden kulmien kotangenttien plus yksi tulo, ja nimittäjä on yhtä suuri kuin toisen kulman kotangentin ja ensimmäisen kulman kotangentin välinen erotus.

Kulmaeron kotangentti on yhtä suuri kuin murto-osa, jonka osoittaja on näiden kulmien kotangenttien tulo miinus yksi, ja nimittäjä on yhtä suuri kuin näiden kulmien kotangenttien summa.

Näitä trigonometrisiä identiteettejä on kätevä käyttää, kun sinun on laskettava esimerkiksi 105 asteen tangentti (tg 105). Jos se esitetään muodossa tg (45 + 60), voit käyttää kulmien summan tangentin annettuja identtisiä muunnoksia, minkä jälkeen yksinkertaisesti korvaat 45:n tangentin ja tangentin taulukkoarvot. 60 astetta.

Kaavat trigonometristen funktioiden summan tai eron muuntamiseen

Lausekkeet, jotka edustavat muodon sin α + sin β summaa, voidaan muuntaa seuraavilla kaavoilla:

Kolmoiskulmakaavat - muunna sin3α cos3α tg3α sinα cosα tgα:ksi

Joskus kulman kolminkertainen arvo on muutettava siten, että kulmasta α tulee trigonometrisen funktion argumentti 3α:n sijaan.
Tässä tapauksessa voit käyttää kaavoja (identiteettiä) kolmoiskulman muuntamiseen:

Kaavat trigonometristen funktioiden tulon muuntamiseksi

Jos on tarpeen muuntaa eri kulmien sinien tulo eri kulmien kosinien tai jopa sinin ja kosinin tuloa, voit käyttää seuraavia trigonometrisiä identiteettejä:


Tässä tapauksessa eri kulmien sini-, kosini- tai tangenttifunktioiden tulo muunnetaan summaksi tai erotukseksi.

Kaavat trigonometristen funktioiden pienentämiseen

Sinun on käytettävä valupöytää seuraavasti. Valitse riviltä meitä kiinnostava toiminto. Pylväs on kulma. Esimerkiksi kulman sinistä (α+90) ensimmäisen rivin ja ensimmäisen sarakkeen leikkauspisteessä saadaan selville, että sin (α+90) = cos α .

Suoritetaan kaikille argumentin arvoille (yleisestä laajuudesta).

Universaalit korvauskaavat.

Näillä kaavoilla on helppo muuttaa mikä tahansa lauseke, joka sisältää yhden argumentin erilaisia ​​trigonometrisiä funktioita, yhden funktion rationaaliseksi lausekkeeksi. tg (α /2):

Kaavat summien muuntamiseksi tuotteiksi ja tuotteiden summiksi.

Aikaisemmin yllä olevia kaavoja käytettiin laskelmien yksinkertaistamiseksi. He laskivat käyttämällä logaritmisia taulukoita ja myöhemmin - diasääntöä, koska logaritmit soveltuvat parhaiten lukujen kertomiseen. Siksi jokainen alkuperäinen lauseke pelkistettiin muotoon, joka olisi kätevä logaritmille, eli tuloiksi, esimerkiksi:

2 synti α synti b = cos (α - b) - cos (α + b);

2 cos α cos b = cos (α - b) + cos (α + b);

2 synti α cos b = synti (α - b) + synti (α + b).

missä on kulma, jolle erityisesti

Kaavat tangentti- ja kotangenttifunktioille saadaan helposti yllä olevasta.

Tutkinnonvähennyskaavat.

sin 2 α \u003d (1 - cos 2α) / 2;	cos2a = (1 + cos2a)/2;
synti 3α = (3 syntiα - synti 3α )/4;	cos 3 a = (3 cosα + cos 3α )/4.

Näiden kaavojen avulla trigonometriset yhtälöt pelkistetään helposti yhtälöiksi, joilla on pienempi aste. Samalla tavalla alentamiskaavat johdetaan korkeammille asteille synti ja cos.

Trigonometristen funktioiden ilmaisu yhden niistä saman argumentin kautta.

Merkki juuren edessä riippuu kulman neljänneksestä α .