Mekaniikan alaa, jossa tutkitaan kappaleiden tasapainon ehtoja, kutsutaan statiikaksi. Newtonin toisesta laista seuraa, että jos kaikkien kappaleeseen kohdistuvien voimien vektorisumma on nolla, niin kappale pitää nopeudensa muuttumattomana. Erityisesti, jos alkunopeus on nolla, keho pysyy levossa. Kehon nopeuden invarianssin ehto voidaan kirjoittaa seuraavasti:

tai projektioissa koordinaattiakseleille:

.

On selvää, että kappale voi olla levossa vain yhden tietyn koordinaattijärjestelmän suhteen. Statiikassa tutkitaan kappaleiden tasapainoolosuhteita juuri sellaisessa järjestelmässä. Tarvittava tasapainoehto voidaan saada myös ottamalla huomioon materiaalipistejärjestelmän massakeskuksen liike. Sisäiset voimat eivät vaikuta massakeskuksen liikkeeseen. Massakeskuksen kiihtyvyys määräytyy ulkoisten voimien vektorisumman mukaan. Mutta jos tämä summa on nolla, niin massakeskuksen kiihtyvyys ja siten massakeskuksen nopeus. Jos alkuhetkellä , niin kehon massakeskus pysyy levossa.

Näin ollen kappaleiden tasapainon ensimmäinen ehto on muotoiltu seuraavasti: kappaleen nopeus ei muutu, jos kuhunkin pisteeseen kohdistuvien ulkoisten voimien summa on nolla. Tuloksena oleva massakeskuksen lepoehto on välttämätön (mutta ei riittävä) ehto jäykän kappaleen tasapainolle.

Esimerkki

Saattaa olla, että kaikki kehoon vaikuttavat voimat ovat tasapainossa, mutta keho kuitenkin kiihtyy. Jos esimerkiksi kohdistat kaksi yhtäläistä ja vastakkain suunnattua voimaa (niitä kutsutaan voimien pariksi) pyörän massakeskipisteeseen, pyörä on levossa, jos sen alkunopeus on nolla. Jos nämä voimat kohdistetaan eri pisteisiin, pyörä alkaa pyöriä (kuva 4.5). Tämä johtuu siitä, että keho on tasapainossa, kun kaikkien voimien summa on nolla kehon jokaisessa pisteessä. Mutta jos ulkoisten voimien summa on nolla ja kaikkien kehon jokaiseen elementtiin kohdistettujen voimien summa ei ole nolla, niin kappale ei ole tasapainossa, mahdollisesti (kuten tarkasteltavassa esimerkissä) pyörivä liike . Eli jos kappale voi pyöriä tietyn akselin ympäri, niin sen tasapainoon ei riitä, että kaikkien voimien resultantti on yhtä suuri kuin nolla.

Toisen tasapainoehdon saavuttamiseksi käytämme pyörimisliikkeen yhtälöä, jossa on pyörimisakselin ympärillä olevien ulkoisten voimien momenttien summa. Kun , niin b = 0, mikä tarkoittaa, että kappaleen kulmanopeus ei muutu. Jos alkuhetkellä w = 0, niin kappale ei pyöri enempää. Näin ollen toinen mekaanisen tasapainon ehto on vaatimus, että kaikkien pyörimisakselin ympärillä olevien ulkoisten voimien momenttien algebrallinen summa on yhtä suuri kuin nolla:

Yleisessä tapauksessa mielivaltainen määrä ulkoisia voimia, tasapainoolosuhteet voidaan esittää seuraavasti:

,

.

Nämä ehdot ovat välttämättömiä ja riittäviä.

Esimerkki

Tasapaino on vakaa, epävakaa ja välinpitämätön. Tasapaino on stabiili, jos kehon pienillä siirtymillä tasapainoasennosta siihen vaikuttavat voimat ja voimien momentit pyrkivät palauttamaan kehon tasapainoasentoon (kuva 4.6a). Tasapaino on epävakaa, jos vaikuttavat voimat vievät kehon yhtä aikaa kauemmaksi tasapainoasennosta (kuva 4.6b). Jos kehon pienillä siirtymillä vaikuttavat voimat ovat edelleen tasapainossa, tasapaino on välinpitämätön (kuva 4.6c). Tasaisella vaakapinnalla makaava pallo on välinpitämättömässä tasapainotilassa. Pallo, joka sijaitsee pallomaisen reunan yläosassa, on esimerkki epävakaasta tasapainosta. Lopuksi palloontelon pohjalla oleva pallo on vakaassa tasapainotilassa.

Mielenkiintoinen esimerkki kehon tasapainosta tuella on Italian Pisan kaupungin kalteva torni, jota legendan mukaan Galileo käytti tutkiessaan ruumiiden vapaan pudotuksen lakeja. Torni on sylinterin muotoinen, jonka säde on 7 m. Tornin huipulla on 4,5 m poikkeama pystysuorasta.

Pisan kalteva torni on kuuluisa jyrkästä rinteestään. Torni kaatuu. Tornin korkeus maanpinnasta on alimmalla puolella 55,86 metriä ja korkeimmalla puolella 56,70 metriä. Sen painoksi on arvioitu 14 700 tonnia. Nykyinen kaltevuus on noin 5,5°. Pystysuora viiva, joka on vedetty tornin massakeskipisteen läpi, leikkaa pohjan noin 2,3 m sen keskustasta. Siten torni on tasapainotilassa. Tasapaino häiriintyy ja torni kaatuu, kun sen huipun poikkeama pystysuorasta on 14 m. Ilmeisesti tämä ei tapahdu kovin pian.

Uskottiin, että tornin kaarevuus oli alun perin arkkitehtien suunnittelema - osoittaakseen erinomaisia ​​taitojaan. Mutta jotain muuta on paljon todennäköisempää: arkkitehdit tiesivät rakentavansa äärimmäisen epäluotettavalle perustalle ja asettivat siksi suunnitteluun mahdollisuuden pieneen poikkeamiseen.

Kun tornin romahtamisen uhka oli todellinen, nykyaikaiset insinöörit tarttuivat siihen. Se vedettiin 18 kaapelin teräskorsetiksi, pohja punnittiin lyijypaloilla ja samalla vahvistettiin maaperää pumppaamalla betonia maan alle. Kaikkien näiden toimenpiteiden avulla pystyttiin pienentämään putoavan tornin kaltevuuskulmaa puoli astetta. Asiantuntijat sanovat, että nyt se pystyy seisomaan vielä ainakin 300 vuotta. Fysiikan kannalta toteutetut toimenpiteet tarkoittavat tornin tasapainoolosuhteiden luotettavuutta.

Kappaleelle, jolla on kiinteä pyörimisakseli, kaikki kolme tasapainotyyppiä ovat mahdollisia. Välinpitämätön tasapaino syntyy, kun pyörimisakseli kulkee massakeskuksen läpi. Vakaassa ja epävakaassa tasapainossa massakeskipiste on pystysuoralla linjalla, joka kulkee pyörimisakselin läpi. Tässä tapauksessa, jos massakeskipiste on pyörimisakselin alapuolella, tasapainotila on vakaa (kuva 4.7a). Jos massakeskipiste sijaitsee akselin yläpuolella, tasapainotila on epävakaa (kuva 4.7b).

Tasapainon erikoistapaus on kehon tasapaino alustalla. Tässä tapauksessa tuen kimmovoimaa ei kohdisteta yhteen pisteeseen, vaan se jakautuu rungon pohjalle. Keho on tasapainossa, jos kehon massakeskipisteen läpi vedetty pystysuora viiva kulkee tukialueen läpi eli tukipisteitä yhdistävien viivojen muodostaman ääriviivan sisällä. Jos tämä viiva ei ylitä tukialuetta, keho kaatuu.

Tasapainotilassa kappale on levossa (nopeusvektori on nolla) valitussa vertailukehyksessä joko liikkuu tasaisesti suorassa linjassa tai pyörii ilman tangentiaalista kiihtyvyyttä.

Määritelmä järjestelmän energian kautta[ | ]

Koska energiaa ja voimia yhdistävät perustavanlaatuiset riippuvuudet, tämä määritelmä vastaa ensimmäistä. Energian määritelmää voidaan kuitenkin laajentaa, jotta saadaan tietoa tasapainoasennon stabiilisuudesta.

Tasapainon tyypit [ | ]

Kehojen tasapainoa on kolmenlaisia: vakaa, epävakaa ja välinpitämätön. Tasapainoa kutsutaan stabiiliksi, jos keho palaa pienten ulkoisten vaikutusten jälkeen alkuperäiseen tasapainotilaansa. Tasapainoa kutsutaan epävakaaksi, jos kehon lievällä siirtymisellä tasapainoasennosta siihen kohdistuvien voimien resultantti on nollasta poikkeava ja suuntautuu tasapainoasennosta. Tasapainoa kutsutaan välinpitämättömäksi, jos kehon pienellä siirtymällä tasapainoasennosta siihen kohdistuvien voimien resultantti on yhtä suuri kuin nolla.

Otetaan esimerkki järjestelmästä, jolla on yksi vapausaste. Tässä tapauksessa riittävä ehto tasapainoasemalle on potentiaalienergian paikallisen ääripään läsnäolo tutkittavassa pisteessä. Kuten tiedetään, differentioituvan funktion paikallisen ääripään ehto on sen ensimmäisen derivaatan yhtäläisyys nollaan. Sen määrittämiseksi, milloin tämä piste on minimi tai maksimi, on tarpeen analysoida sen toinen derivaatta. Tasapainoasennon stabiilisuutta luonnehtivat seuraavat vaihtoehdot:

• epävakaa tasapaino;
• vakaa tasapaino;
• välinpitämätön tasapaino.

Epävakaa tasapaino[ | ]

Siinä tapauksessa, että toinen derivaatta on negatiivinen, järjestelmän potentiaalienergia on paikallisen maksimin tilassa. Tämä tarkoittaa, että tasapainoasema epävakaa. Jos järjestelmä siirtyy pienen matkan verran, se jatkaa liikettä järjestelmään vaikuttavien voimien vuoksi. Eli kun keho viedään tasapainosta, se ei palaa alkuperäiseen asentoonsa.

kestävä tasapaino[ | ]

Toinen derivaatta > 0: potentiaalienergia paikallisessa minimissä, tasapainoasennossa tasaisesti(katso Lagrangen lause tasapainon stabiilisuudesta). Jos järjestelmää siirretään pienen matkan, se palaa takaisin tasapainotilaan. Tasapaino on vakaa, jos kehon painopiste on alimmassa asennossa verrattuna kaikkiin mahdollisiin viereisiin asentoihin. Tällaisella tasapainolla epätasapainoinen keho palaa alkuperäiselle paikalleen.

Välinpitämätön tasapaino[ | ]

Toinen derivaatta = 0: tällä alueella energia ei vaihtele, ja tasapainoasema on välinpitämätön. Jos järjestelmää siirretään pieni matka, se pysyy uudessa paikassa. Jos käännät tai liikutat kehoa, se pysyy tasapainossa.

Vakaus järjestelmissä, joissa on suuri määrä vapausasteita[ | ]

Jos järjestelmällä on useita vapausasteita, voi käydä niin, että tietyn suunnan poikkeamilla tasapaino on vakaa, mutta jos tasapaino on epävakaa ainakin yhdessä suunnassa, niin se on myös yleisesti ottaen epävakaa. Yksinkertaisin esimerkki tällaisesta tilanteesta on "satula"- tai "läpäisy"-tyyppinen tasapainopiste.

Usean vapausasteen omaavan järjestelmän tasapaino on vakaa vain, jos se on stabiili kaikkiin suuntiin.

Kaikki voimat, jotka kohdistuvat kehoon minkä tahansa mielivaltaisen pyörimisakselin ympäri, ovat myös nolla.

Tasapainotilassa kappale on levossa (nopeusvektori on nolla) valitussa vertailukehyksessä joko liikkuu tasaisesti suorassa linjassa tai pyörii ilman tangentiaalista kiihtyvyyttä.

Tietosanakirja YouTube

1 / 3

✪ Fysiikka. Statiikka: Kehon tasapainon edellytykset. Foxfordin verkko-oppimiskeskus

✪ RUONIEN TASAPAINOTILA Arvosana 10 Romanov

✪ Oppitunti 70. Tasapainotyypit. Kappaleen tasapainotila ilman pyörimistä.

Tekstitykset

Määritelmä järjestelmän energian kautta

Koska energiaa ja voimia yhdistävät perustavanlaatuiset riippuvuudet, tämä määritelmä vastaa ensimmäistä. Energian määritelmää voidaan kuitenkin laajentaa, jotta saadaan tietoa tasapainoasennon stabiilisuudesta.

Tasapainon tyypit

Otetaan esimerkki järjestelmästä, jolla on yksi vapausaste. Tässä tapauksessa riittävä ehto tasapainoasemalle on paikallisen ääripään läsnäolo tutkittavassa kohdassa. Kuten tiedetään, differentioituvan funktion paikallisen ääripään ehto on sen ensimmäisen derivaatan yhtäläisyys nollaan. Sen määrittämiseksi, milloin tämä piste on minimi tai maksimi, on tarpeen analysoida sen toinen derivaatta. Tasapainoasennon stabiilisuutta luonnehtivat seuraavat vaihtoehdot:

• epävakaa tasapaino;
• vakaa tasapaino;
• välinpitämätön tasapaino.

Siinä tapauksessa, että toinen derivaatta on negatiivinen, järjestelmän potentiaalienergia on paikallisen maksimin tilassa. Tämä tarkoittaa, että tasapainoasema epävakaa. Jos järjestelmä siirtyy pienen matkan verran, se jatkaa liikettä järjestelmään vaikuttavien voimien vuoksi. Eli kun keho viedään tasapainosta, se ei palaa alkuperäiseen asentoonsa.

kestävä tasapaino

Toinen derivaatta > 0: potentiaalienergia paikallisessa minimissä, tasapainoasennossa tasaisesti(katso Lagrangen lause tasapainon stabiilisuudesta). Jos järjestelmää siirretään pienen matkan, se palaa takaisin tasapainotilaan. Tasapaino on vakaa, jos kehon painopiste on alimmassa asennossa verrattuna kaikkiin mahdollisiin viereisiin asentoihin. Tällaisella tasapainolla epätasapainoinen keho palaa alkuperäiselle paikalleen.

Välinpitämätön tasapaino

Toinen derivaatta = 0: tällä alueella energia ei vaihtele, ja tasapainoasema on välinpitämätön. Jos järjestelmää siirretään pieni matka, se pysyy uudessa paikassa. Jos käännät tai liikutat kehoa, se pysyy tasapainossa.

• Kestävyyden tyypit

Tasapaino on järjestelmän tila, jossa järjestelmään vaikuttavat voimat ovat tasapainossa keskenään. Tasapaino voi olla vakaa, epävakaa tai välinpitämätön.

Tasapainon käsite on yksi yleisimmistä luonnontieteistä. Se pätee kaikkiin järjestelmiin, olipa kyseessä planeettojen järjestelmä, joka liikkuu kiinteillä kiertoradoilla tähden ympärillä, tai trooppisten kalojen populaatio atollin laguunissa. Mutta helpoin tapa ymmärtää järjestelmän tasapainotilan käsite on mekaanisten järjestelmien esimerkki. Mekaniikassa katsotaan, että järjestelmä on tasapainossa, jos kaikki siihen vaikuttavat voimat ovat täysin tasapainossa keskenään eli kumoavat toisensa. Jos luet tätä kirjaa esimerkiksi istuessasi tuolissa, olet juuri tasapainotilassa, koska sinua alas vetävä painovoima kompensoi täysin tuolin kehoon kohdistuvan paineen, joka vaikuttaa alhaalta ylöspäin. Et kaadu ja nouse lentoon juuri siksi, että olet tasapainotilassa.

On olemassa kolmen tyyppistä tasapainoa, jotka vastaavat kolmea fyysistä tilannetta.

kestävä tasapaino

Tämän useimmat ihmiset yleensä ymmärtävät "tasapainolla". Kuvittele pallo pallomaisen kulhon pohjalla. Lepotilassa se sijaitsee tiukasti kulhon keskellä, jossa Maan vetovoiman vaikutus tasapainotetaan tiukasti ylöspäin suunnatun tuen reaktiovoimalla, ja pallo lepää siinä aivan kuten sinä lepäät. tuolisi. Jos siirrät palloa poispäin keskeltä pyörittäen sitä sivuttain ja ylöspäin kulhon reunaa kohti, niin heti kun päästät sen irti, se syöksyy välittömästi takaisin kulhon syvimpään kohtaan - kulhon suuntaan. vakaan tasapainon asema.

Sinä, istut tuolissa, olet levossa, koska kehostasi ja tuolistasi koostuva järjestelmä on vakaassa tasapainotilassa. Siksi, kun jotkin tämän järjestelmän parametrit muuttuvat - esimerkiksi kun lisäät painoasi, jos esimerkiksi lapsi istuu sylissäsi - tuoli materiaalina esineenä muuttaa kokoonpanoaan siten, että reaktio tuen voima kasvaa - ja pysyt vakaassa tasapainossa (enintään mitä voi tapahtua, on, että alla oleva tyyny uppoaa hieman syvemmälle).

Luonnossa on monia esimerkkejä vakaasta tasapainosta eri järjestelmissä (eikä vain mekaanisissa). Ajatellaanpa esimerkiksi peto-saalissuhdetta ekosysteemissä. Petoeläinten ja niiden saaliiden suljettujen populaatioiden lukumäärän suhde tulee nopeasti tasapainotilaan - niin monta jänistä metsässä vuodesta toiseen muodostaa tasaisesti niin monta kettua suhteellisesti. Jos saalispopulaatio jostain syystä muuttuu dramaattisesti (esimerkiksi jänisten syntyvyyden nousun vuoksi), ekologinen tasapaino palautuu hyvin pian johtuen petoeläinten määrän nopeasta lisääntymisestä, jotka alkavat tuhota. jänikset kiihdytetyllä tahdilla, kunnes ne palauttavat jänisten määrän normaaliksi eivätkä ala kuolla itse nälkään, mikä palauttaa oman karjansa normaaliksi, minkä seurauksena sekä jänisten että kettujen populaatiot palaavat normi, joka havaittiin ennen jänisten syntyvyyden nousua. Toisin sanoen vakaassa ekosysteemissä toimivat myös sisäiset voimat (vaikkakaan eivät sanan fyysisessä merkityksessä), jotka pyrkivät palauttamaan järjestelmän vakaan tasapainon tilaan, mikäli järjestelmä poikkeaa siitä.

Samanlaisia ​​vaikutuksia voidaan havaita talousjärjestelmissä. Tavaran hinnan jyrkkä pudotus johtaa tarjousten metsästäjien kysynnän nousuun, varastojen vähenemiseen ja sen seurauksena hintojen nousuun ja tavaran kysynnän laskuun - ja niin edelleen, kunnes järjestelmä palaa vakaaseen kysynnän ja tarjonnan hintatasapainoon. (Luonnollisesti todellisissa järjestelmissä, sekä ekologisissa että taloudellisissa, voi olla ulkoisia tekijöitä, jotka poikkeavat järjestelmän tasapainotilasta - esimerkiksi kettujen ja/tai jänisten kausittaista ammuntaa tai valtion hintasääntelyä ja/tai kulutuskiintiöitä. Tällainen puuttuminen johtaa bias-tasapainoon, jonka analogi mekaniikassa olisi esimerkiksi maljan muodonmuutos tai kaltevuus.)

Epävakaa tasapaino

Jokainen tasapaino ei kuitenkaan ole vakaa. Kuvittele pallo, joka tasapainoilee veitsen terällä. Tässä tapauksessa tiukasti alaspäin suunnattu painovoima on luonnollisesti myös täysin tasapainotettu ylöspäin suunnatun tuen reaktiovoimalla. Mutta heti kun pallon keskipiste poikkeaa lepopisteestä, vähintään millimetrin murto-osa terän linjalla (ja tähän riittää vähäinen voimavaikutus), tasapaino häiriintyy välittömästi ja painovoima alkaa vetää palloa yhä kauemmaksi siitä.

Esimerkki epävakaasta luonnollisesta tasapainosta on maapallon lämpötasapaino, kun ilmaston lämpenemisen jaksot korvataan uusilla jääkausilla ja päinvastoin ( cm. Milankovitchin pyörät). Planeettamme keskimääräisen vuotuisen pintalämpötilan määrää pintaan saapuvan auringon kokonaissäteilyn ja Maan avaruuteen tulevan kokonaislämpösäteilyn välinen energiatase. Tämä lämpötasapaino muuttuu epävakaaksi seuraavasti. Jotkut talvet ovat tavallista enemmän lunta. Seuraavana kesänä lämpö ei riitä sulattamaan ylimääräistä lunta, ja kesä on myös tavanomaista kylmempää, johtuen siitä, että lumen ylimäärän vuoksi Maan pinta heijastaa takaisin avaruuteen suuremman osan auringon säteet kuin ennen. Tästä johtuen seuraava talvi osoittautuu vielä lumisemmaksi ja kylmemmäksi kuin edellinen, ja seuraavana kesänä pinnalle jää vielä enemmän lunta ja jäätä heijastaen aurinkoenergiaa avaruuteen... On helppo nähdä, että Mitä enemmän tällainen globaali ilmastojärjestelmä poikkeaa lämpötasapainon lähtöpisteestä, sitä nopeammin ilmastoa vielä kauemmaksi siitä vievät prosessit lisääntyvät. Lopulta Maan pinnalle napa-alueilla muodostuu monien vuosien globaalin jäähtymisen aikana useita kilometrejä jäätikkökerroksia, jotka väistämättä siirtyvät kohti yhä alempia leveysasteita tuoden mukanaan uuden jääkauden planeetalle. Joten on vaikea kuvitella epävarmempaa tasapainoa kuin globaali ilmasto.

Erityisen huomionarvoista on eräänlainen epävakaa tasapaino, jota kutsutaan nimellä metastabiili tai lähes vakaa tasapaino. Kuvittele pallo kapeassa ja matalassa urassa - esimerkiksi taitoluistimen terässä ylösalaisin. Pieni - millimetrin tai kahden - poikkeama tasapainopisteestä johtaa voimien syntymiseen, jotka palauttavat pallon tasapainotilaan uran keskellä. Kuitenkin hieman enemmän voimaa riittää jo saamaan pallon pois metastabiilin tasapainon alueelta ja se putoaa luistimen terältä. Metastabiileilla järjestelmillä on pääsääntöisesti ominaisuus pysyä tasapainotilassa jonkin aikaa, minkä jälkeen ne "murtua" siitä ulos jonkin ulkoisten vaikutusten vaihtelun seurauksena ja "putoaa" peruuttamattomaan prosessiin, joka on ominaista epästabiilille. järjestelmät.

Tyypillinen esimerkki kvasistabiilista tasapainosta havaitaan joidenkin laserjärjestelmien työaineen atomeissa. Laserin työkappaleen atomeissa olevat elektronit miehittävät metastabiileja atomikiertoradoja ja pysyvät niillä ensimmäisen valokvantin kulkemiseen asti, joka "pomppaa" ne metastabiililta kiertoradalta alemmalle vakaalle kiertoradalle samalla kun säteilee uutta valokvanttia. , koherentti ohikulkevan kanssa, mikä puolestaan ​​pudottaa alas seuraavan atomin elektronin metastabiililta kiertoradalta jne. Tämän seurauksena käynnistyy vyörymäinen lasersäteen muodostavien koherenttien fotonien emission reaktio, joka itse asiassa kaiken laserin toiminnan taustalla.

Välinpitämätön tasapaino

Välitapaus vakaan ja epävakaan tasapainon välillä on ns. välinpitämätön tasapaino, jossa mikä tahansa järjestelmän piste on tasapainopiste ja järjestelmän poikkeama alkuperäisestä lepopisteestä ei muuta mitään sisäisten voimien tasapainossa. se. Kuvittele pallo täysin tasaisella vaakasuoralla pöydällä - riippumatta siitä, minne liikutat sitä, se pysyy tasapainotilassa.

Mekaniikan alaa, jossa tutkitaan kappaleiden tasapainon ehtoja, kutsutaan statiikaksi. Helpoin tapa on ottaa huomioon tasapainoehdot ehdottoman jäykällä kappaleella eli sellaisella kappaleella, jonka mittoja ja muotoa voidaan pitää muuttumattomina. Käsite ehdottoman jäykästä kappaleesta on abstraktio, koska kaikki todelliset kappaleet niihin kohdistuvien voimien vaikutuksesta muuttuvat tavalla tai toisella, eli ne muuttavat muotoaan ja kokoaan. Muodonmuutosten suuruus riippuu sekä kehoon kohdistetuista voimista että itse kappaleen ominaisuuksista - sen muodosta ja sen materiaalin ominaisuuksista, josta se on valmistettu. Monissa käytännössä tärkeissä tapauksissa muodonmuutokset ovat pieniä ja ehdottoman jäykän kappaleen käsitteiden käyttö on perusteltua.

Malli täydellisestä jäykästä rungosta. Muodonmuutosten pienuus ei kuitenkaan aina ole riittävä edellytys sille, että kappaletta voidaan pitää ehdottoman jäykkänä. Tämän selventämiseksi harkitse seuraavaa esimerkkiä. Kahdella tuella lepäävää lautaa (kuva 140a) voidaan pitää ehdottoman jäykkänä kappaleena, vaikka se taipuu hieman painovoiman vaikutuksesta. Itse asiassa tässä tapauksessa mekaanisen tasapainon olosuhteet mahdollistavat tukien reaktiovoiman määrittämisen ottamatta huomioon levyn muodonmuutosta.

Mutta jos sama lauta on samoilla tuilla (kuva 1406), ajatus ehdottoman jäykästä rungosta ei sovellu. Todellakin, äärimmäiset tuet ovat samalla vaakaviivalla ja keskimmäiset hieman alempana. Jos lauta on ehdottoman kiinteä, eli se ei taivu ollenkaan, niin se ei kohdista painetta keskitukeen ollenkaan. Jos lauta taipuu, se painaa keskitukea ja mitä vahvempi, sitä suurempi muodonmuutos. ehdot

Absoluuttisen jäykän kappaleen tasapaino tässä tapauksessa ei salli tukien reaktiovoimien määrittämistä, koska ne johtavat kahteen yhtälöön kolmelle tuntemattomalle suurelle.

Riisi. 140. Reaktiovoimat, jotka vaikuttavat kahdella (a) ja kolmella (b) tuella

Tällaisia ​​järjestelmiä kutsutaan staattisesti määrittelemättömiksi. Niiden laskemiseksi on otettava huomioon kappaleiden elastiset ominaisuudet.

Yllä oleva esimerkki osoittaa, että ehdottoman jäykän kappaleen mallin soveltuvuus statiikkaan ei määräydy niinkään itse kappaleen ominaisuuksilla, vaan olosuhteilla, joissa se sijaitsee. Joten tarkasteltavassa esimerkissä ohuttakin olkia voidaan pitää ehdottoman kiinteänä kappaleena, jos se makaa kahdella tuella. Mutta edes erittäin jäykkää palkkia ei voida pitää ehdottoman jäykkänä kappaleena, jos se lepää kolmella tuella.

Tasapainoolosuhteet. Täysin jäykän kappaleen tasapainoolosuhteet ovat dynaamisten yhtälöiden erikoistapaus, kun kiihtyvyyttä ei ole, vaikka historiallisesti staattinen synty rakennuskaluston tarpeista lähes kaksi vuosituhatta aikaisemmin kuin dynamiikka. Inertiaalisessa vertailukehyksessä jäykkä kappale on tasapainossa, jos kaikkien kehoon vaikuttavien ulkoisten voimien vektorisumma ja näiden voimien momenttien vektorisumma ovat nolla. Kun ensimmäinen ehto täyttyy, kehon massakeskipisteen kiihtyvyys on nolla. Kun toinen ehto täyttyy, kiertokiihtyvyyttä ei ole. Siksi, jos keho oli alkuhetkellä levossa, se pysyy levossa edelleen.

Seuraavassa rajoitamme tutkimaan suhteellisen yksinkertaisia ​​järjestelmiä, joissa kaikki vaikuttavat voimat ovat samassa tasossa. Tässä tapauksessa vektoriehto

pienenee kahteen skalaariin:

jos voimien vaikutustason akselit sijaitsevat. Osa kehoon vaikuttavista tasapainoolosuhteisiin (1) sisältyvistä ulkoisista voimista voidaan antaa, eli niiden moduulit ja suunnat tunnetaan. Mitä tulee sidosten tai tukien reaktiovoimiin, jotka rajoittavat kehon mahdollista liikettä, ne eivät yleensä ole ennalta määrättyjä ja ovat itse määrityksen alaisia. Kitkan puuttuessa reaktiovoimat ovat kohtisuorassa kappaleiden kosketuspintaan nähden.

Riisi. 141. Reaktiovoimien suunnan määrittäminen

reaktiovoimat. Joskus sidoksen reaktiovoiman suunnan määrittämisessä herää epäilyjä, kuten esimerkiksi kuvassa 1. 141, jossa on sauva, joka lepää kohdassa A kupin sileällä koveralla pinnalla ja pisteessä B kupin terävällä reunalla.

Reaktiovoimien suunnan määrittämiseksi tässä tapauksessa voit siirtää sauvaa henkisesti hieman häiritsemättä sen kosketusta kupin kanssa. Reaktiovoima suunnataan kohtisuoraan pintaan, jolla kosketuspiste liukuu. Joten pisteessä A sauvaan vaikuttava reaktiovoima on kohtisuorassa kupin pintaan nähden ja pisteessä B se on kohtisuorassa sauvaan nähden.

Voiman hetki. Voiman momentti M suhteessa johonkin pisteeseen

O:ta kutsutaan sen sädevektorin vektorituloksi, joka on piirretty O:sta voiman kohdistamispisteeseen voimavektorin avulla.

Voimanmomentin vektori M on kohtisuorassa sitä tasoa vastaan, jossa vektorit sijaitsevat

Hetkien yhtälö. Jos kehoon vaikuttaa useita voimia, niin toinen voimien momenttiin liittyvä tasapainoehto kirjoitetaan seuraavasti

Tässä tapauksessa piste O, josta sädevektorit piirretään, on valittava kaikille vaikuttaville voimille yhteinen.

Tasaisessa voimajärjestelmässä kaikkien voimien momenttien vektorit on suunnattu kohtisuoraan sitä tasoa vastaan, jossa voimat sijaitsevat, jos momentteja tarkastellaan suhteessa samassa tasossa olevaan pisteeseen. Siksi momenttien vektoriehto (4) pienenee yhteen skalaariykköseen: tasapainoasennossa kaikkien ulkoisten vaikuttavien voimien momenttien algebrallinen summa on nolla. Voiman momentin moduuli suhteessa pisteeseen O on yhtä suuri kuin moduulin tulo

voimat etäisyydellä pisteestä O viivaan, jota pitkin voima vaikuttaa. Tässä tapauksessa kappaletta myötäpäivään pyrkivät momentit otetaan yhdellä merkillä, vastapäivään - päinvastoin. Se piste, johon voimamomentit otetaan huomioon, valitaan yksinomaan mukavuussyistä: momenttien yhtälö on sitä yksinkertaisempi, mitä useammalla voimalla on nollan suuruisia momentteja.

Esimerkki tasapainosta. Havainnollistaaksesi tasapainoehtojen soveltamista täysin jäykkään kappaleeseen, katso seuraava esimerkki. Kevyet tikkaat koostuvat kahdesta identtisestä osasta, jotka on saranoitu ylhäältä ja sidottu köydellä pohjasta (kuva 142). Selvitetään mikä on köyden jännitysvoima, millä voimilla tikkaiden puoliskot ovat vuorovaikutuksessa saranassa ja millä voimilla ne painavat lattiaa, jos P-painoinen henkilö seisoo toisen keskellä .

Tarkasteltava järjestelmä koostuu kahdesta jäykästä kappaleesta - tikkaiden puolikkaasta, ja tasapainoehtoja voidaan soveltaa sekä järjestelmään kokonaisuutena että sen osiin. Soveltamalla tasapainoehtoja koko järjestelmään kokonaisuutena saadaan selville lattian ja (kuva 142) reaktiovoimat. Kitkan puuttuessa nämä voimat suunnataan pystysuunnassa ylöspäin ja ehto, että ulkoisten voimien vektorisumma (1) on yhtä suuri kuin nolla, saa muodon.

Tasapainoehto ulkoisten voimien momentille suhteessa pisteeseen A kirjoitetaan seuraavasti:

missä - portaiden pituus, portaiden muodostama kulma lattian kanssa. Ratkaisemalla yhtälöjärjestelmän (5) ja (6), löydämme

Riisi. 142. Ulkoisten voimien vektorisumma ja ulkoisten voimien momenttien summa tasapainossa on nolla

Tietenkin momenttiyhtälön (6) sijasta pisteen A suhteen voitaisiin kirjoittaa momenttiyhtälö pisteen B (tai minkä tahansa muun pisteen) suhteen. Tämä johtaisi yhtälöjärjestelmään, joka vastaa käytettyä järjestelmää (5) ja (6).

Köyden jännitysvoima ja saranan vuorovaikutusvoima tarkasteltavalle fyysiselle järjestelmälle ovat sisäisiä, eikä niitä siksi voida määrittää koko järjestelmän tasapainoolosuhteista. Näiden voimien määrittämiseksi on otettava huomioon järjestelmän yksittäisten osien tasapainoolosuhteet. Jossa

Hyvällä valinnalla piste, johon suhteellinen voimien momenttien yhtälö laaditaan, on mahdollista saavuttaa algebrallisen yhtälöjärjestelmän yksinkertaistaminen. Joten esimerkiksi tässä järjestelmässä voimme tarkastella tasapainotilaa tikkaiden vasempaan puoliskoon vaikuttavien voimien momenteille suhteessa pisteeseen C, jossa sarana sijaitsee.

Tällä pisteen C valinnalla saranassa vaikuttavat voimat eivät mene tähän tilaan ja löydämme heti köyden T jännitysvoiman:

mistä, koska saamme

Ehto (7) tarkoittaa, että voimien T resultantti ja kulkee pisteen C läpi, eli on suunnattu portaita pitkin. Siksi tämän tikkaiden puolikkaan tasapaino on mahdollinen vain, jos siihen saranassa vaikuttava voima on suunnattu myös tikkaat pitkin (kuva 143), ja sen moduuli on yhtä suuri kuin resultanttivoimien T ja moduuli.

Riisi. 143. Kaikkien kolmen portaiden vasempaan puoliskoon vaikuttavan voiman toimintalinjat kulkevat yhden pisteen kautta

Portaiden toisen puoliskon saranaan vaikuttavan voiman itseisarvo Newtonin kolmanteen lakiin perustuen on yhtä suuri kuin ja sen suunta on vektorin suunnan vastainen Voiman suunta voidaan määrittää suoraan kuvasta . 143, kun otetaan huomioon, että kun kappale on tasapainossa kolmen voiman vaikutuksesta, suorat, joita pitkin nämä voimat vaikuttavat, leikkaavat yhdessä pisteessä. Todellakin, harkitse näiden kolmen voiman kahden vaikutuslinjojen leikkauspistettä ja laadi momenttien yhtälö tämän pisteen ympärille. Kahden ensimmäisen voiman momentit tämän pisteen ympärillä ovat nolla; siis myös kolmannen voiman momentin tulee olla nolla, mikä on kohdan (3) mukaisesti mahdollista vain, jos sen vaikutuslinja kulkee myös tämän pisteen kautta.

Mekaniikan kultainen sääntö. Joskus staattisen ongelman voi ratkaista ottamatta lainkaan huomioon tasapainoehtoja, vaan käyttämällä energian säilymisen lakia suhteessa mekanismeihin, joissa ei ole kitkaa: mikään mekanismi ei tuota työhyötyä. Tämä laki

kutsutaan mekaniikan kultaiseksi säännöksi. Havainnollistaaksesi tätä lähestymistapaa, harkitse seuraavaa esimerkkiä: raskas paino P on ripustettu painottomaan saranaan, jossa on kolme lenkkiä (kuva 144). Mitä kireyttä kierreliitospisteiden A ja B tulee ylläpitää?

Riisi. 144. Kolmen lenkin saranan kierteen jännitysvoiman määrittämiseen, joka tukee painon P kuormaa

Kokeillaan tällä mekanismilla nostaa kuormaa P. Kun lanka on irrotettu pisteestä A, vedetään sitä ylöspäin niin, että piste B nousee hitaasti matkaa. Tätä etäisyyttä rajoittaa se, että langan T jännitysvoiman tulee pysyä muuttumattomana liikkeen aikana. Tässä tapauksessa, kuten vastauksesta nähdään, voima T ei riipu lainkaan siitä, kuinka paljon saranaa puristetaan tai venytetään. Hyvin tehty työ. Tämän seurauksena kuorma P nousee korkeuteen, joka, kuten geometrisista näkökohdista on selvää, on yhtä suuri kuin kitkan puuttuessa energiahäviöitä ei tapahdu, voidaan väittää, että kuorman potentiaalienergian muutos on yhtä suuri kuin määräytyy noston aikana tehdyn työn mukaan. Niin

Ilmeisesti saranalle, joka sisältää mielivaltaisen määrän identtisiä linkkejä,

Kierteen jännitysvoiman löytäminen ei ole vaikeaa, ja siinä tapauksessa, että on otettava huomioon itse saranan paino, noston aikana tehty työ tulisi rinnastaa potentiaalienergioiden muutosten summaan. kuorma ja sarana. Identtisten nivelten saranan massakeskipiste nousee Siksi-kohtaan

Muotoiltu periaate ("kultainen mekaniikan sääntö") on sovellettavissa myös silloin, kun potentiaalienergia ei muutu siirtymäprosessissa ja mekanismia käytetään voiman muuntamiseen. Vaihteistot, vaihteistot, portit, vipu- ja lohkojärjestelmät - kaikissa tällaisissa järjestelmissä muunnettu voima voidaan määrittää vertaamalla muunnettujen ja käytettyjen voimien työ. Toisin sanoen kitkan puuttuessa näiden voimien suhde määräytyy vain laitteen geometrian mukaan.

Tarkastellaan tästä näkökulmasta yllä olevaa esimerkkiä tikkaiden kanssa. Tietenkään tikkaita tuskin kannattaa käyttää nostomekanismina, eli nostaa ihmistä tuomalla tikkaiden puolikkaat yhteen. Tämä ei kuitenkaan voi estää meitä käyttämästä kuvattua menetelmää köyden jännityksen löytämiseksi. Vertaa työ, joka tehdään, kun tikkaiden osat lähestyvät tikkailla olevan henkilön potentiaalienergian muutosta ja yhdistämme geometrisistä näkökohdista tikapuun alapään liikettä kuorman korkeuden muutokseen (kuva . 145), saamme odotetusti aiemmin annetun tuloksen:

Kuten jo todettiin, siirtymä tulee valita siten, että vaikuttavaa voimaa voidaan pitää vakiona sen prosessin aikana. On helppo havaita, että saranoidussa esimerkissä tämä ehto ei rajoita liikettä, koska langan kireys ei riipu kulmasta (kuva 144). Toisaalta tikkaiden ongelmassa siirtymä tulee valita pieneksi, koska köyden jännitys riippuu kulmasta a.

Tasapainon vakaus. Tasapaino on vakaa, epävakaa ja välinpitämätön. Tasapaino on stabiili (kuva 146a), jos kehon pienillä siirtymillä tasapainoasennosta vaikuttavilla voimilla on taipumus palauttaa se takaisin, ja epävakaa (Kuva 1466), jos voimat vievät sen kauemmaksi tasapainoasennosta. .

Riisi. 145. Tikkaiden alapäiden liike ja lastin liike, kun tikkaiden puoliskot lähestyvät toisiaan

Riisi. 146. Vakaa (a), epävakaa (b) ja välinpitämätön (c) tasapaino

Jos pienillä siirtymillä kehoon vaikuttavat voimat ja niiden momentit ovat edelleen tasapainossa, tasapaino on välinpitämätön (kuva 146c). Välinpitämättömässä tasapainossa myös kehon viereiset asennot ovat tasapainossa.

Tarkastellaanpa esimerkkejä tasapainostabiilisuuden tutkimuksesta.

1. Vakaa tasapaino vastaa kehon minimipotentiaalista energiaa suhteessa sen arvoihin kehon viereisissä asennoissa. Tätä ominaisuutta on usein kätevää käyttää tasapainoasennon etsimisessä ja tasapainon luonteen tutkimisessa.

Riisi. 147. Kehon tasapainon vakaus ja massakeskuksen sijainti

Pystysuora vapaasti seisova pylväs on vakaassa tasapainossa, koska sen massakeskipiste nousee pienillä kaltevuuksilla. Näin tapahtuu, kunnes massakeskipisteen pystysuora projektio ylittää tukialueen, eli poikkeamakulma pystysuorasta ei ylitä tiettyä maksimiarvoa. Toisin sanoen stabiilisuusalue ulottuu potentiaalienergian minimistä (pystyasennossa) lähimpänä olevaan maksimiin (kuva 147). Kun massakeskipiste sijaitsee täsmälleen tukialueen rajan yläpuolella, pylväs on myös tasapainossa, mutta epävakaa. Vaakasuora pylväs vastaa paljon laajempaa vakausaluetta.

2. Säteisiä pyöreitä lyijykyniä on kaksi ja Toinen niistä on vaakasuorassa, toinen on tasapainotettu sen päällä vaaka-asennossa siten, että kynien akselit ovat keskenään kohtisuorassa (kuva 148a). Millä säteiden välisellä suhteella tasapaino on vakaa? Missä enimmäiskulmassa yläkynä voi poiketa vaakatasosta? Kynien kitkakerroin toisiaan vastaan ​​on yhtä suuri

Ensi silmäyksellä saattaa vaikuttaa siltä, ​​että ylemmän kynän tasapaino on yleensä epävakaa, koska ylemmän kynän massakeskipiste on sen akselin yläpuolella, jonka ympäri se voi pyöriä. Pyörimisakselin asento ei kuitenkaan pysy tässä muuttumattomana, joten tämä tapaus vaatii erityistä tutkimusta. Koska yläkynä on tasapainotettu vaaka-asennossa, kynien massakeskipisteet ovat tällä pystysuoralla (kuva ).

Irrota yläkynä jossain kulmassa vaakatasosta. Staattisen kitkan puuttuessa se liukuu välittömästi alas. Jotta mahdollisia luistoja ei toistaiseksi ajatella, oletetaan, että kitka on riittävän suuri. Tässä tapauksessa ylempi kynä "rullaa" alempaa pitkin liukumatta. Tukipiste asennosta A siirtyy uuteen asentoon C ja kohtaan, jossa ylempi kynä lepäsi alemman päällä ennen poikkeamaa

siirtyy kohtaan B. Koska luistoa ei ole, kaaren pituus on yhtä suuri kuin segmentin pituus

Riisi. 148. Ylempi lyijykynä on tasapainotettu vaakasuoraan alemmalla kynällä (a); tasapainostabiilisuuden tutkimukseen (b)

Ylemmän kynän massakeskus siirtyy kohtaan . Jos läpi vedetty pystysuora kulkee uuden tukipisteen C vasemmalla puolella, painovoima pyrkii palauttamaan ylemmän kynän tasapainoasentoonsa.

Ilmaistaan ​​tämä ehto matemaattisesti. Piirretään pystysuora viiva pisteen B läpi, näemme, että ehdon on täytyttävä

Siitä lähtien ehdosta (8) saamme

Koska painovoima pyrkii palauttamaan ylemmän kynän tasapainoasentoon vain klo. Siksi ylemmän kynän vakaa tasapaino alemman kynän kanssa on mahdollista vain, kun sen säde on pienempi kuin alemman kynän säde.

Kitkan rooli. Toiseen kysymykseen vastaamiseksi on selvitettävä, mitkä syyt rajoittavat sallittua poikkeamakulmaa. Ensinnäkin suurilla poikkeutuskulmilla ylemmän kynän massakeskuksen läpi vedetty pystysuora voi kulkea tukipisteen C oikealle puolelle. Ehdosta (9) voidaan nähdä, että tietyllä kynän säteiden suhteella maksimi taipumakulma

Ovatko jäykän kappaleen tasapainoolosuhteet aina riittävät määrittämään reaktiovoimat?

Miten reaktiovoimien suunta voidaan käytännössä määrittää ilman kitkaa?

Miten mekaniikan kultaista sääntöä voidaan käyttää tasapainoolosuhteiden analysoinnissa?

Jos kuvan 1 mukaisessa saranassa. 144, jossa kierre ei yhdistä pisteitä A ja B, vaan pisteet L ja C, niin mikä on sen jännitysvoima?

Miten järjestelmän tasapainon stabiilius liittyy sen potentiaaliseen energiaan?

Mitkä olosuhteet määräävät tasossa lepäävän kappaleen suurimman taipumakulman kolmessa pisteessä, jotta sen vakaus ei menetä?