Geometria on hyvin monipuolinen tiede. Se kehittää logiikkaa, mielikuvitusta ja älykkyyttä. Tietenkin koululaiset eivät aina pidä siitä monimutkaisuuden ja lukuisten lauseiden ja aksioomien vuoksi. Lisäksi on jatkuvasti todistettava johtopäätöksensä yleisesti hyväksyttyjen standardien ja sääntöjen avulla.

Vierekkäiset ja pystysuorat kulmat ovat olennainen osa geometriaa. Varmasti monet koululaiset vain ihailevat niitä siitä syystä, että niiden ominaisuudet ovat selkeitä ja helppo todistaa.

Kulmien muodostuminen

Mikä tahansa kulma muodostuu kahden suoran leikkauspisteestä tai vetämällä kaksi sädettä yhdestä pisteestä. Niitä voidaan kutsua joko yhdeksi kirjaimeksi tai kolmeksi, jotka osoittavat peräkkäin kulman rakennuspisteitä.

Kulmat mitataan asteina ja niitä voidaan (arvosta riippuen) kutsua eri tavalla. Joten on olemassa suora kulma, terävä, tylppä ja levitetty. Jokainen nimi vastaa tietyn asteen mittaa tai sen väliä.

Terävä kulma on kulma, jonka mitta ei ylitä 90 astetta.

Tylsä kulma on kulma, joka on suurempi kuin 90 astetta.

Kulmaa kutsutaan oikeaksi, kun sen mitta on 90.

Siinä tapauksessa, että se muodostuu yhdestä jatkuvasta suorasta ja sen astemitta on 180, sitä kutsutaan levitetyksi.

Kulmia, joilla on yhteinen sivu, jonka toinen puoli jatkaa toisiaan, kutsutaan vierekkäisiksi. Ne voivat olla teräviä tai tylsiä. Suoran leikkauspiste muodostaa vierekkäisiä kulmia. Niiden ominaisuudet ovat seuraavat:

1. Tällaisten kulmien summa on 180 astetta (tämän todistaa lause). Siksi yksi niistä voidaan helposti laskea, jos toinen tunnetaan.
2. Ensimmäisestä pisteestä seuraa, että vierekkäisiä kulmia ei voi muodostaa kahdella tylpällä tai kahdella terävällä kulmalla.

Näiden ominaisuuksien ansiosta voidaan aina laskea kulman astemitta toisen kulman arvolla tai ainakin niiden välisellä suhteella.

Pystykulmat

Kulmia, joiden sivut jatkavat toisiaan, kutsutaan pystysuoraksi. Mikä tahansa niiden lajikkeista voi toimia sellaisena parina. Pystykulmat ovat aina yhtä suuret keskenään.

Ne muodostuvat, kun viivat leikkaavat. Yhdessä niiden kanssa vierekkäiset kulmat ovat aina läsnä. Kulma voi olla sekä vierekkäinen toiselle että pystysuora toiselle.

Kun ylitetään mielivaltainen viiva, otetaan huomioon myös useita muita kulmia. Tällaista viivaa kutsutaan sekantiksi, ja se muodostaa vastaavat yksipuoliset ja ristikkäiset kulmat. He ovat tasa-arvoisia keskenään. Niitä voidaan tarkastella pystysuorien ja vierekkäisten kulmien ominaisuuksien valossa.

Siten kulmien aihe näyttää varsin yksinkertaiselta ja ymmärrettävältä. Kaikki niiden ominaisuudet on helppo muistaa ja todistaa. Tehtävien ratkaiseminen ei ole vaikeaa, kunhan kulmat vastaavat numeerista arvoa. Jo edelleen, kun synnin ja cosin tutkimus alkaa, sinun on opittava ulkoa monia monimutkaisia ​​kaavoja, niiden päätelmät ja seuraukset. Siihen asti voit vain nauttia helpoista pulmatehtävistä, joissa sinun on löydettävä vierekkäiset kulmat.

LUKU I.

PERUSKONSEPTIT.

§yksitoista. LÄHETTÄVÄT JA PYSTYKULMAT.

1. Vierekkäiset kulmat.

Jos jatkamme jonkin kulman sivua sen kärjen yli, saadaan kaksi kulmaa (kuva 72): / Aurinko ja / SVD, jossa yksi puoli BC on yhteinen ja kaksi muuta AB ja BD muodostavat suoran.

Kahta kulmaa, joilla on yksi yhteinen sivu ja kaksi muuta muodostavat suoran viivan, kutsutaan vierekkäisiksi kulmiksi.

Vierekkäiset kulmat voidaan saada myös tällä tavalla: jos vedämme säteen jostakin suoran pisteestä (ei ole tietyllä suoralla), niin saadaan vierekkäiset kulmat.
Esimerkiksi, / ADF ja / FDВ - vierekkäiset kulmat (kuva 73).

Vierekkäisillä kulmilla voi olla monenlaisia ​​​​asentoja (kuva 74).

Vierekkäiset kulmat muodostavat suoran kulman, joten kahden vierekkäisen kulman umma on 2d.

Siten suora kulma voidaan määritellä kulmaksi, joka on yhtä suuri kuin sen viereinen kulma.

Kun tiedämme yhden viereisen kulman arvon, voimme löytää toisen viereisen kulman arvon.

Esimerkiksi jos yksi vierekkäisistä kulmista on 3/5 d, niin toinen kulma on yhtä suuri kuin:

2d- 3 / 5 d= l 2/5 d.

2. Pystykulmat.

Jos ulotamme kulman sivut sen kärjen yli, saamme pystykulmat. Piirustuksessa 75 kulmat EOF ja AOC ovat pystysuorat; Kulmat AOE ja COF ovat myös pystysuorat.

Kahta kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos yhden kulman sivut ovat toisen kulman sivujen jatkeita.

Anna olla / 1 = 7 / 8 d(Kuva 76). Sen vieressä / 2 on yhtä kuin 2 d- 7 / 8 d, eli 1 1/8 d.

Samalla tavalla voit laskea mitkä ovat yhtä suuria / 3 ja / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Kuva 77).

Näemme sen / 1 = / 3 ja / 2 = / 4.

Voit ratkaista useita muita samoja tehtäviä, ja joka kerta, kun saat saman tuloksen: pystykulmat ovat samat keskenään.

Yksittäisten numeeristen esimerkkien huomioiminen ei kuitenkaan riitä, jotta pystykulmat ovat aina yhtä suuret, koska yksittäisistä esimerkeistä tehdyt johtopäätökset voivat joskus olla virheellisiä.

Pystykulmien ominaisuuden pätevyys on tarkistettava perustelemalla, todistamalla.

Todistus voidaan suorittaa seuraavasti (kuva 78):

/ +/ c = 2d;
/ b +/ c = 2d;

(koska vierekkäisten kulmien summa on 2 d).

/ +/ c = / b +/ c

(koska tämän yhtälön vasen puoli on yhtä suuri kuin 2 d, ja sen oikea puoli on myös yhtä suuri kuin 2 d).

Tämä tasa-arvo sisältää saman kulman kanssa.

Jos vähennämme yhtä suurista arvoista yhtä paljon, se pysyy samana. Tuloksena on: / a = / b, eli pystykulmat ovat yhtä suuret keskenään.

Pohdittaessa kysymystä pystykulmista selitimme ensin, mitä kulmia kutsutaan pystysuorituksiksi, eli annoimme määritelmä pystysuorat kulmat.

Sitten teimme tuomion (väitteen) pystykulmien yhtäläisyydestä ja vakuuttuimme tämän tuomion pätevyydestä todisteiden avulla. Sellaisia ​​tuomioita, joiden pätevyys on todistettava, kutsutaan lauseita. Tässä osiossa olemme siis antaneet pystykulmien määritelmän sekä todenneet ja todistaneet lauseen niiden ominaisuudesta.

Jatkossa geometriaa opiskellessa joudumme jatkuvasti kohtaamaan lauseiden määritelmiä ja todisteita.

3. Kulmien summa, joilla on yhteinen kärki.

Piirustuksessa 79 / 1, / 2, / 3 ja / 4 sijaitsevat samalla puolella suoraa ja niillä on yhteinen kärki tällä suoralla. Yhteenvetona nämä kulmat muodostavat suoran kulman, ts.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Piirustuksessa 80 / 1, / 2, / 3, / 4 ja / 5:llä on yhteinen toppi. Yhteenvetona nämä kulmat muodostavat täyden kulman, ts. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Harjoitukset.

1. Yksi vierekkäisistä kulmista on 0,72 d. Laske näiden vierekkäisten kulmien puolittajien muodostama kulma.

2. Osoita, että kahden vierekkäisen kulman puolittajat muodostavat suoran kulman.

3. Osoita, että jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin myös niiden vierekkäiset kulmat ovat yhtä suuret.

4. Kuinka monta paria vierekkäisiä kulmia on piirustuksessa 81?

5. Voiko vierekkäisten kulmien pari koostua kahdesta terävästä kulmasta? kahdesta tylpästä kulmasta? oikeasta ja tylppästä kulmasta? suorasta ja terävästä kulmasta?

6. Jos jokin viereisistä kulmista on oikea, mitä voidaan sanoa viereisen kulman arvosta?

7. Jos kahden suoran leikkauskohdassa on yksi suora kulma, niin mitä voidaan sanoa jäljellä olevien kolmen kulman koosta?

Oppitunti 8 Kahta kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos toisen kulman sivut ovat toisen kulman sivujen jatke. LAUSE. Pystykulmat ovat yhtä suuret. Todistus: = = 180 Samanlainen = = = 3 2 = 4 Ongelmanratkaisu: 64, 66 Kotitehtävät: kohdat 11, 66, 67

Matemaattinen sanelu. 1 vaihtoehto. 1. Täydennä lause: "Jos kulmat 1 ja 2 ovat vierekkäisiä, niin niiden summa..." 2. Onko 30 asteen kulman vieressä oleva kulma terävä, tylpä vai oikea? 3. Kahden kulman summa on 180 astetta. Pitääkö näiden kulmien olla vierekkäin? 4. Suorat AM ja CE leikkaavat pisteessä O, joka on niiden välissä. Tuliko tämä pystysuoraan kulmaan? Jos kyllä, nimeä ne. 5. Mikä on kulma, jos pystykulma sen kanssa on 34 astetta? 6. Yksi neljästä kahden suoran leikkauskulmasta on 140 astetta. Mitkä ovat loput kulmat? 7. Kahdella kulmalla on yhteinen kärki, ensimmäinen kulma on 40 astetta, toinen 140 astetta. Ovatko nämä kulmat pystysuorat? Vaihtoehto 2. 1. Täydennä lause: "Kahta kulmaa kutsutaan vierekkäisiksi, jos toinen puoli on yhteinen ja toinen..." 2. Onko 130 asteen kulman vieressä oleva kulma terävä, tylpä vai oikea? 3. Kahden kulman summa, joiden yhteinen sivu on 180 astetta. Pitääkö näiden kulmien olla vierekkäin? 4. Opiskelija rakensi 2 pystysuoraa kulmaa. Kuinka monta paria suoria tämä johti? 5. Kahdella kulmalla on yhteinen kärki, joista kukin on 60 astetta. Pitääkö näiden kulmien olla pystysuorat? 6. Yksi neljästä kahden suoran leikkauspisteestä johtuvasta kulmasta on 80 astetta. Mitkä ovat loput kulmat? 7. Mikä on kulma, jos pystykulma sen kanssa on 120 astetta?

Vastaukset. 1. Vastaa 180 astetta 2. Tylsä kulma 3. Ei 4. Kulmat AOC ja EOM, AOE ja COM asteet ja 40 astetta 7. Kyllä 1. Lisäsäteet 2. Terävä kulma 3. Ei 4. Yksi pari 5. Ei ja 100 astetta astetta