Yhtenäisen valtiokokeen läpäiseminen ei ole vain välttämättömyys yleisen toisen asteen koulutuksen lopussa, vaan myös osa yliopistojen pääsykokeita. Koululaiset, jotka päättävät tulla erikoisalalle matemaattisesti tai teknisesti, läpäisevät paitsi matematiikan perustason, myös profiilitason. Harkitse sen ominaisuuksia, ajoitusta ja vahvistusta sekä joitakin tuloksiin liittyviä kohtia.

Kokeen suorittamismenettely on vahvistettu liittovaltion laissa nro 273 "Koulutuksesta Venäjän federaatiossa".

Milloin kokeen tulokset selviävät?

Virallinen aikataulu määritti antautumisen KÄYTÄ matematiikassa 2018 profiilin suunta perjantaina 1. kesäkuuta. Kuten varapäivä päivämäärä on korostettuna pääsilmukassa 25. kesäkuuta, ja 2. heinäkuuta on vapaapäivä kaikkien tuotteiden toimitukselle.

Erottaminen matematiikan koe viime vuonna tapahtuneella tasolla. Ne eroavat toisistaan useilla perusteilla:

• Arvostusjärjestelmä. Aineen perustiedot arvioidaan viiden pisteen asteikolla (vähintään 3 pistettä). Profiiliaineen arviointi arvioidaan 100 pisteen asteikolla;
• Seuraava ero on perus- ja profiilitason kokeiden hyväksymisessä oppilaitoksiin pääsyä varten vanhempi ja keskitason ammattitaso. Perustaso riittää siis korkeakouluille, kouluille, taideyliopistoille. Matematiikan läsnäolo teknisten erikoisalojen pääsykokeissa edellyttää, että hakija läpäisee profiilitason;
• Erilainen tenttirakenteet. Pohja koostuu 20 tehtävästä lyhyillä vastauksilla. Profiilikoe on paljon vaikeampi ja koostuu 2 osasta.

USE-järjestelmän avulla valmistuneet voivat suorittaa aineen perus- ja profiiliosuuden rajoituksetta. Tämä lisää merkittävästi mahdollisuuksia päästä yliopistoon.

Tentin tulosten käsittely on tietty aikakehys ja järjestys:

• Lomakkeiden skannaus ja käsittely alueilla - jopa 4 päivää;
• Tulosten käsittely liittovaltion tasolla - jopa 7 päivää;
• Tulosten lähettäminen alueille - 1 päivä;
• Valtiontutkintokomitean tulosten vahvistus - enintään 1 päivä;
• Tulosten julkistaminen - 1 päivä.

Näin ollen tulosten tarkistamisen ja julkaisemisen aika on enintään 2 viikkoa. USE 2018 matematiikan tulokset profiilitasolla tiedossa viimeistään 17.6..

Kuinka tietää tuloksesi?

Selvitä viimeisen kokeen tulokset voidaan tehdä useilla tavoilla:

• Yhtenäisen valtiontutkinnon virallinen portaali www.ege.edu.ru;
• koulujen tai muiden oppilaitosten tietopisteillä, joissa koe pidettiin;
• Alueellisissa osastoissa tai koulutustoimikunnissa;
• Useat alueet luovat erikoistuneita verkkosivustoja tai vihjelinjoja.

Tarkista tuloksesi saatavilla, jos saatavilla:

• Aiheen koko nimi;
• Henkilöllisyystarkastuksessa käytetyn passin tai muun asiakirjan numero;
• Jokaiselle kokeen osallistujalle annettu tunnuskoodi.

Tieto kokeen tuloksista on ilmaista ja se toimitetaan USE:n osallistujille ja heidän vanhemmilleen maksutta.

Ennenaikainen USE -koe matematiikassa

Monet koululaiset ovat jo läpäisseet matematiikan USE:n ns varhainen ajanjakso. Osallistuminen on sallittua, jos opiskelija ei voi osallistua päävaiheeseen. Syitä voivat olla:

• Suunniteltu hoito;
• Lepo terveyttä parantavissa laitoksissa;
• Osallistuminen kilpailuihin, olympialaisiin ja muihin koulutus- tai luoviin tapahtumiin.

Vuonna 2017 tapahtui matematiikan varhainen luovutus 31. maaliskuuta ja 14. huhtikuuta(varapäivä). Perustason läpäisi 4,8 tuhatta koululaista ja erikoistuneita noin 17 tuhatta.

Suunnitelman mukaan matematiikan varhaisen USE 2017 tulosten piti olla saatavilla 11. huhtikuuta, mutta ne julkistettiin paljon aikaisemmin - 7. päivänä.

Missä näet työsi

Voit tarkastella töitäsi kokeen suorittamisen jälkeen sähköisessä muodossa. Hänen skannauksensa on saatavilla henkilökohtaisella tililläsi USE-portaalissa. Pääsy siihen myönnetään, kun:

• Yhtenäisen valtionkokeen osallistujan tunnuskoodin läsnäolo;
• Koko nimi ja passin numero.

Jos osallistuja ei tulosjulkistuksen jälkeen ole samaa mieltä annetuista pisteistä, hän on hyväksynyt 2 päivää valituksen tekemiseen tutkintalautakunnalle. Hakemus kirjoitetaan 2 kappaleena ja toimitetaan lautakunnan käsiteltäväksi. Ongelmien ratkaisuja tarkastellaan uudelleen 5. kesäkuuta mennessä ja tehdään päätös arvion muuttamisesta tai vahvistamisesta.

Miten tentti arvostetaan? USE-järjestelmässä tulosten arviointiin käytetään perus- ja testipisteitä sekä erityistä asteikkoa niiden muuntamiseen toisiinsa. KIM:ien (kontrolli- ja mittausmateriaalien) ratkaisut arvioidaan primäärisissä pisteissä ja siirretään sitten taulukon mukaisesti testiratkaisuiksi. Kokeen lopputulos on koepisteiden määrä.

Asteikon kehittäminen perusasteen pisteiden muuntamiseksi koepisteiksi tehdään vuosittain ja siinä otetaan huomioon koululaisten yleinen valmistautumistaso.

Menestystä varten profiilimatematiikan hyväksyntä vuonna 2018 sinun on kirjoitettava minimi:

• 6 ensisijaista pistettä;
• 27 testipistettä.

Matematiikan kokeen uusimispäivä 2018

On olemassa numero ylimääräiset määräajat kokeen läpäisemiselle. Ne ovat saatavilla, jos opiskelija ei hyvästä syystä päässyt suorittamaan ainetta pääpäivänä. Profiilimatematiikan osalta tämä on:

• 25. kesäkuuta– varapäivä päävaiheen puitteissa;
• 2. heinäkuuta- kokeen pääosan varapäivä, jolloin voit läpäistä minkä tahansa aineen.

Mahdollisuudella suorittaa profiilimatematiikan uudelleen syyskuussa on useita ehtoja:

• Jos opiskelija on läpäissyt perusmatematiikan, hän ei saa suorittaa profiilitasoa uudelleen tänä vuonna. Mahdollisuus kokeen uusimiseen syntyy vasta ensi vuonna;
• Jos molemmat matematiikan kokeet (perus- ja profiilikokeet) hylätään, opiskelija voi päättää, kumman hän suorittaa uudelleen.

Matematiikan uusinta nimitetty syyskuussa 7. syyskuuta. Syyskuun 15. päivä on listattu varapäiväksi.

Luokka 11

Tehtävän ehdot

1. Vedenkeittimen hintaa nostettiin 14 prosenttia ja se oli 1 596 ruplaa. Minkä arvoinen vedenkeitin oli ennen hinnankorotusta?
2. Kaavio näyttää moottorin vääntömomentin riippuvuuden kierrosten määrästä minuutissa. Kierrosten lukumäärä minuutissa on piirretty abskissa-akselille ja vääntömomentti N∙m on piirretty ordinaatta-akselille. Ajoneuvon nopeus (km/h) lasketaan kaavalla missä n on moottorin kierrosten määrä minuutissa. Mikä on pienin nopeus auton liikkeelle, jotta vääntömomentti on 120 N∙m? Anna vastauksesi kilometreinä tunnissa.
   
3. Kolmio ABC on kuvattu ruudulliselle paperille, jonka solukoko on x. Etsi sen korkeuden pituus, joka on pudonnut sivulle BC.
4. Tieteellinen konferenssi pidetään 5 päivän kuluttua. Raportteja on suunniteltu yhteensä 75 - ensimmäiset kolme päivää, kutakin 17 raporttia, loput jakautuvat tasan neljännen ja viidennen päivän välillä. Konferenssissa on suunniteltu professori M.:n raportti, jonka esitysjärjestys määräytyy arvalla. Millä todennäköisyydellä professori M:n raportti ajoitetaan konferenssin viimeiselle päivälle?
5. Etsi yhtälön juuri
6. Nelikulmainen ABCD on piirretty ympyrään. Kulma ABC on 105 o, kulma CAD on 35 o. Etsi kulma ABD. Kerro vastauksesi asteina.
7. Kuvassa on kaavio välille määritetyn funktion derivaatasta. Etsi segmenttiin kuuluvien funktion enimmäispisteiden lukumäärä.
   
8. Pallo on kaiverrettu sylinteriin. Pallon pinta-ala on 111. Laske sylinterin kokonaispinta-ala.
9. Etsi lausekkeen arvo
10. Hehkulampusta suurennetun kuvan saamiseksi näytöllä käytetään laboratoriossa konvergoivaa linssiä, jonka pääpolttoväli on cm. Etäisyys linssistä lamppuun voi vaihdella välillä 30-50 cm ja etäisyys linssistä näytölle voi vaihdella 150 - 180 cm. näyttö on selkeä, jos suhde täyttyy. Ilmoita pienin etäisyys linssistä, jolle hehkulamppu voidaan sijoittaa niin, että sen kuva näytöllä on selkeä. Ilmaise vastauksesi senttimetreinä.
11. Laiturien A ja B välinen etäisyys on 120 km. Lautta lähti liikkeelle jokea pitkin paikasta A paikkaan B ja tunnin kuluttua sen perässä lähti jahti, joka saavuttuaan pisteeseen B kääntyi välittömästi takaisin ja palasi A:lle. Tähän mennessä lautta oli kulkenut 24 km. Selvitä jahdin nopeus tyynessä vedessä, jos joen nopeus on 2 km/h. Anna vastauksesi yksikössä km/h.
12. Etsi funktion maksimipiste.
13. a) Ratkaise yhtälö ; b) Ilmoita segmenttiin kuuluvat tämän yhtälön juuret.
14. Pisteet M ja N on merkitty kolmiopyramidin ABCD reunoihin AB ja BC, vastaavasti, AM:MB = CN:NB = 3:1. Pisteet P ja Q ovat reunojen DA ja DC keskipisteitä.
    a) Osoita, että pisteet P,Q,M ja N ovat samassa tasossa;
    b) Selvitä, missä suhteessa tämä taso jakaa pyramidin tilavuuden.
15. Ratkaise epätasa-arvo
16. Piste E on puolisuunnikkaan ABCD lateraalisen sivun CD keskipiste. Sivullaan AB otti pisteen K siten, että suorat SC ja AE ovat yhdensuuntaisia. Jaksot SK ja BE leikkaavat pisteessä O.
    a) Todista, että CO=CO.
    b) Laske puolisuunnikkaan BC: AD kantojen suhde, jos kolmion BCK pinta-ala on 9/64 koko puolisuunnikkaan ABCD pinta-alasta.
17. Heinäkuussa on tarkoitus ottaa lainaa pankista tietylle määrälle. Sen palautusehdot ovat seuraavat:
    - Joka tammikuu velka kasvaa r % edellisen vuoden loppuun verrattuna;
    - Joka vuosi helmi-kesäkuussa osa velasta on maksettava takaisin.
    Etsi r, jos tiedetään, että jos maksat 777 600 ruplaa, laina maksetaan takaisin 4 vuodessa ja jos maksat 1 317 600 ruplaa vuodessa, laina maksetaan kokonaan takaisin 2 vuodessa?
18. Etsi kaikki parametrin arvot, joista jokaisella yhtälöllä on täsmälleen yksi juuri välissä .
19. Jokainen 32 opiskelijasta kirjoitti joko yhden kahdesta kokeesta tai kirjoitti molemmat kokeet. Jokaisesta työstä oli mahdollista saada kokonaislukumäärä pisteitä 0-20 mukaan lukien. Kummallakin koetyöllä erikseen keskimääräinen pistemäärä oli 14. Sitten jokainen opiskelija nimesi korkeimman pistemääränsä (jos opiskelija kirjoitti yhden työn, niin hän nimesi sen pistemäärän). Nimettyjen pisteiden aritmeettinen keskiarvo oli yhtä suuri kuin S.
    a) Anna esimerkki, kun S<14
    b) Voisiko S:n arvo olla 17?
    c) Mikä on pienin arvo, jonka S voisi saada, jos molemmat kokeet kirjoittaisi 12 opiskelijaa?

Yleinen keskiasteen koulutus

Line UMK G.K. Muravina. Algebra ja matemaattisen analyysin alku (10-11) (syvä)

Line UMK Merzlyak. Algebra ja analyysin alku (10-11) (U)

Matematiikka

Valmistautuminen matematiikan tenttiin (profiilitaso): tehtävät, ratkaisut ja selitykset

Analysoimme tehtäviä ja ratkaisemme esimerkkejä opettajan kanssa

Profiilitason koepaperi kestää 3 tuntia 55 minuuttia (235 minuuttia).

Minimikynnys- 27 pistettä.

Tenttipaperi koostuu kahdesta osasta, jotka eroavat sisällöltään, monimutkaisuuden ja tehtävien lukumäärän osalta.

Jokaisen työn osan määrittävä piirre on tehtävien muoto:

• osa 1 sisältää 8 tehtävää (tehtävät 1-8), joissa on lyhyt vastaus kokonaisluvun tai viimeisen desimaaliluvun muodossa;
• Osa 2 sisältää 4 tehtävää (tehtävät 9-12), joihin on lyhyt vastaus kokonaisluvun tai viimeisen desimaaliluvun muodossa, ja 7 tehtävää (tehtävät 13-19), joissa on yksityiskohtainen vastaus (täydellinen pöytäkirja päätöksenteon perusteluineen) suoritetut toimet).

Panova Svetlana Anatolievna, koulun korkeimman luokan matematiikan opettaja, työkokemus 20 vuotta:

”Opiskelutodistuksen saamiseksi valmistuneen on suoritettava kaksi pakollista yhtenäisen valtiontutkinnon koetta, joista yksi on matematiikka. Venäjän federaation matemaattisen koulutuksen kehittämiskonseptin mukaisesti matematiikan yhtenäinen valtiontutkinto on jaettu kahteen tasoon: perus- ja erikoistunut. Tänään tarkastelemme vaihtoehtoja profiilitasolle.

Tehtävä numero 1- tarkistaa USE-osallistujien kyvyn soveltaa 5-9 luokalla hankittuja taitoja matematiikan alkeisopetuksessa käytännön toiminnassa. Osallistujalla tulee olla laskentataidot, kyky työskennellä rationaalisten lukujen kanssa, pyöristää desimaalilukuja, kyettävä muuttamaan mittayksikkö toiseksi.

Esimerkki 1 Huoneistossa, jossa Petr asuu, asennettiin kylmävesimittari (mittari). Toukokuun ensimmäisenä päivänä mittari näytti 172 kuutiometrin kulutusta. m vettä ja ensimmäisenä kesäkuuta - 177 kuutiometriä. m. Kuinka paljon Pietarin pitäisi maksaa kylmästä vedestä toukokuussa, jos hinta on 1 cu. m kylmää vettä on 34 ruplaa 17 kopekkaa? Anna vastauksesi ruplissa.

Ratkaisu:

1) Laske kuukaudessa käytetty vesimäärä:

177 - 172 = 5 (cu m)

2) Selvitä, kuinka paljon käytetystä vedestä maksetaan:

34,17 5 = 170,85 (hankaa)

Vastaus: 170,85.

Tehtävä numero 2- on yksi kokeen yksinkertaisimmista tehtävistä. Suurin osa valmistuneista selviytyy siitä menestyksekkäästi, mikä osoittaa, että funktion käsitteen määritelmä on hallussa. Vaatimusten mukainen tehtävätyyppi nro 2 on tehtävä hankittujen tietojen ja taitojen hyödyntämiseksi käytännön toiminnassa ja arjessa. Tehtävä nro 2 koostuu erilaisten suureiden välisten todellisten suhteiden kuvaamisesta, funktioiden avulla ja niiden kuvaajien tulkitsemisesta. Tehtävä numero 2 testaa kykyä poimia taulukoissa, kaavioissa, kaavioissa esitettyä tietoa. Valmistuneiden tulee kyetä määrittämään funktion arvo argumentin arvon avulla eri tavoilla funktion määrittelyyn ja kuvata funktion käyttäytymistä ja ominaisuuksia sen kaavion mukaisesti. On myös osattava löytää suurin tai pienin arvo funktiokaaviosta ja rakentaa graafit tutkituista funktioista. Tehdyt virheet ovat satunnaisia ​​ongelman ehtoja luettaessa, kaaviota luettaessa.

#ADVERTISING_INSERT#

Esimerkki 2 Kuvassa näkyy kaivosyhtiön yhden osakkeen vaihto-arvon muutos huhtikuun 2017 ensimmäisellä puoliskolla. Liikemies osti 7. huhtikuuta 1 000 tämän yhtiön osaketta. Hän myi 10. huhtikuuta kolme neljäsosaa ostetuista osakkeista ja 13. huhtikuuta kaikki loput. Kuinka paljon liikemies menetti näiden toimien seurauksena?

Ratkaisu:

2) 1000 3/4 = 750 (osakkeet) - muodostavat 3/4 kaikista ostetuista osakkeista.

6) 247500 + 77500 = 325000 (ruplaa) - liikemies sai 1000 osakkeen myynnin jälkeen.

7) 340 000 - 325 000 = 15 000 (ruplaa) - liikemies menetti kaikkien toimintojen seurauksena.

Vastaus: 15000.

Tehtävä numero 3- on ensimmäisen osan perustason tehtävä, joka tarkistaa kyvyn suorittaa toimintoja geometrisilla muodoilla kurssin "Planimetria" sisällön mukaan. Tehtävä 3 testaa kykyä laskea kuvion pinta-ala ruudulliselle paperille, kykyä laskea kulmien astemittoja, laskea kehyksiä jne.

Esimerkki 3 Etsi ruudulliselle paperille piirretyn suorakulmion pinta-ala, jonka solukoko on 1 cm x 1 cm (katso kuva). Anna vastauksesi neliösenttimetrinä.

Ratkaisu: Voit laskea tämän kuvan pinta-alan käyttämällä Peak-kaavaa:

Tämän suorakulmion alueen laskemiseksi käytämme Peak-kaavaa:

S= B +	G
	2

missä V = 10, G = 6, siis

S = 18 +	6
	2

Vastaus: 20.

Lue myös: KÄYTTÖ fysiikassa: värähtelyongelmien ratkaiseminen

Tehtävä numero 4- kurssin "Todennäköisyyslaskenta ja tilastot" tehtävä. Testataan kykyä laskea tapahtuman todennäköisyys yksinkertaisimmassa tilanteessa.

Esimerkki 4 Ympyrässä on 5 punaista ja 1 sinistä pistettä. Selvitä, mitkä polygonit ovat suurempia: ne, joilla on kaikki punaiset kärjet, vai ne, joilla on yksi sinisistä pisteistä. Ilmoita vastauksessasi, kuinka monta enemmän yhtä kuin toista.

Ratkaisu: 1) Käytämme kaavaa yhdistelmien lukumäärälle alkaen n elementtejä k:

joiden kaikki kärjet ovat punaisia.

3) Yksi viisikulmio, jossa on kaikki punaiset kärjet.

4) 10 + 5 + 1 = 16 polygonia, joissa on kaikki punaiset kärjet.

joiden kärjet ovat punaisia ​​tai joilla on yksi sininen kärki.

joiden kärjet ovat punaisia ​​tai joilla on yksi sininen kärki.

8) Yksi kuusikulmio, jonka kärjet ovat punaisia, ja yksi sininen kärki.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polygonia, joissa on kaikki punaiset tai yksi sininen kärki.

10) 42 - 16 = 26 monikulmiota, jotka käyttävät sinistä pistettä.

11) 26 - 16 = 10 polygonia - kuinka monta polygonia, jonka yksi kärkipisteistä on sininen piste, on enemmän kuin polygoneja, joissa kaikki kärjet ovat vain punaisia.

Vastaus: 10.

Tehtävä numero 5- Ensimmäisen osan perustasolla testataan kykyä ratkaista yksinkertaisimmat yhtälöt (irrationaalinen, eksponentiaalinen, trigonometrinen, logaritminen).

Esimerkki 5 Ratkaise yhtälö 2 3 + x= 0,4 5 3 + x .

Ratkaisu. Jaa tämän yhtälön molemmat puolet luvulla 5 3 + X≠ 0, saamme

2 3 + x	= 0,4 tai		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

mistä seuraa, että 3+ x = 1, x = –2.

Vastaus: –2.

Tehtävä numero 6 planimetriassa geometristen suureiden (pituudet, kulmat, pinta-alat) etsimiseen, todellisten tilanteiden mallintamiseen geometrian kielellä. Rakennettujen mallien tutkiminen geometristen käsitteiden ja lauseiden avulla. Vaikeuksien lähde on yleensä tietämättömyys tai tarvittavien planimetrian lauseiden virheellinen soveltaminen.

Kolmion pinta-ala ABC vastaa 129. DE- sivun suuntainen keskiviiva AB. Etsi puolisuunnikkaan pinta-ala SÄNKY.

Ratkaisu. Kolmio CDE samanlainen kuin kolmio OHJAAMO kahdessa kulmassa, koska kulma kärjessä C yleinen, kulma CDE yhtä suuri kuin kulma OHJAAMO kuin vastaavat kulmat DE || AB sekantti AC. Koska DE on kolmion keskiviiva ehdolla, sitten keskiviivan ominaisuudella | DE = (1/2)AB. Eli samankaltaisuuskerroin on 0,5. Samankaltaisten lukujen alueet suhteutetaan samankaltaisuuskertoimen neliöön, joten

Näin ollen S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Tehtävä numero 7- tarkistaa derivaatan soveltamisen funktion tutkimukseen. Onnistunut toteutus edellyttää johdannaisen käsitteen mielekästä, epämuodollista hallussapitoa.

Esimerkki 7 Funktion kaavioon y = f(x) kohdassa, jossa on abskissa x 0 piirretään tangentti, joka on kohtisuorassa tämän kuvaajan pisteiden (4; 3) ja (3; -1) kautta kulkevaa suoraa vastaan. löytö f′( x 0).

Ratkaisu. 1) Käytetään kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälöä ja löydetään pisteiden (4; 3) ja (3; -1) kautta kulkevan suoran yhtälö.

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16| · (-yksi)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x– 13, missä k 1 = 4.

2) Etsi tangentin kaltevuus k 2, joka on kohtisuorassa viivaa vastaan y = 4x– 13, missä k 1 = 4 kaavan mukaan:

3) Tangentin jyrkkyys on funktion derivaatta kosketuspisteessä. tarkoittaa, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Vastaus: –0,25.

Tehtävä numero 8- tarkistaa kokeeseen osallistuvien alkeisstereometrian tuntemuksen, kyvyn soveltaa kaavoja kuvioiden pinta-alojen ja tilavuuksien, dihedraalisten kulmien löytämiseen, vertailla samankaltaisten kuvioiden tilavuuksia, osaa suorittaa toimintoja geometrisilla kuvioilla, koordinaatteilla ja vektoreilla jne. .

Pallon ympärille piirretyn kuution tilavuus on 216. Selvitä pallon säde.

Ratkaisu. 1) V kuutio = a 3 (missä a on kuution reunan pituus), joten

a 3 = 216

a = 3 √216

2) Koska pallo on kirjoitettu kuutioon, se tarkoittaa, että pallon halkaisijan pituus on yhtä suuri kuin kuution reunan pituus, joten d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Tehtävä numero 9- vaatii valmistuneelta muuntamaan ja yksinkertaistamaan algebrallisia lausekkeita. Tehtävä nro 9 monimutkaisempi ja lyhyt vastaus. Tehtävät osasta "Laskut ja muunnokset" USE:ssa on jaettu useisiin tyyppeihin:

numeeristen rationaalisten lausekkeiden muunnokset;

algebrallisten lausekkeiden ja murtolukujen muunnokset;

numeeristen/kirjaimien irrationaalisten lausekkeiden muunnokset;

toiminnot tutkinnoilla;

logaritmisen lausekkeiden muunnos;

1. numeeristen/kirjaimien trigonometristen lausekkeiden muuntaminen.

Esimerkki 9 Laske tgα, jos tiedetään, että cos2α = 0,6 ja

3π	< α < π.
4

Ratkaisu. 1) Käytetään kaksoisargumenttikaavaa: cos2α = 2 cos 2 α - 1 ja etsitään

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Näin ollen tan 2 α = ± 0,5.

3) Ehdon mukaan

3π	< α < π,
4

siten α on toisen neljänneksen ja tgα kulma< 0, поэтому tgα = –0,5.

Vastaus: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Tehtävä numero 10- tarkistaa opiskelijoiden kyvyn käyttää varhain hankittuja tietoja ja taitoja käytännön toiminnassa ja arjessa. Voimme sanoa, että nämä ovat fysiikan, ei matematiikan, ongelmia, mutta kaikki tarvittavat kaavat ja suuret on annettu ehdossa. Tehtävät rajoittuvat lineaarisen tai toisen asteen yhtälön tai lineaarisen tai neliöllisen epäyhtälön ratkaisemiseen. Siksi on välttämätöntä pystyä ratkaisemaan tällaiset yhtälöt ja epäyhtälöt ja määrittämään vastaus. Vastauksen tulee olla kokonaisluvun tai viimeisen desimaaliluvun muodossa.

Kaksi massakappaletta m= 2 kg kukin, liikkuvat samalla nopeudella v= 10 m/s kulmassa 2α toisiinsa nähden. Niiden ehdottoman joustamattoman törmäyksen aikana vapautuva energia (jouleina) määräytyy lausekkeen avulla K = mv 2 sin 2 α. Missä pienimmässä kulmassa 2α (asteina) kappaleiden tulee liikkua, jotta törmäyksen seurauksena vapautuu vähintään 50 joulea?
Ratkaisu. Ongelman ratkaisemiseksi meidän on ratkaistava epäyhtälö Q ≥ 50 välillä 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin2α ≥ 50

Koska α ∈ (0°; 90°), ratkaisemme vain

Esitämme epäyhtälön ratkaisun graafisesti:

Koska oletuksella α ∈ (0°; 90°), se tarkoittaa, että 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Tehtävä numero 11- on tyypillistä, mutta se osoittautuu opiskelijoille vaikeaksi. Suurin vaikeuksien lähde on matemaattisen mallin rakentaminen (yhtälön laatiminen). Tehtävä numero 11 testaa kykyä ratkaista tekstitehtäviä.

Esimerkki 11. Kevättauon aikana 11-luokkalainen Vasya joutui ratkaisemaan 560 harjoitustehtävää valmistautuakseen tenttiin. Maaliskuun 18. päivänä, viimeisenä koulupäivänä, Vasya ratkaisi 5 ongelmaa. Sitten hän ratkaisi joka päivä saman määrän ongelmia enemmän kuin edellisenä päivänä. Selvitä, kuinka monta ongelmaa Vasya ratkaisi 2. huhtikuuta viimeisenä lomapäivänä.

Ratkaisu: Merkitse a 1 = 5 - tehtävien lukumäärä, jotka Vasya ratkaisi 18. maaliskuuta, d- päivittäinen määrä Vasyan ratkaisemia tehtäviä, n= 16 - päivien lukumäärä 18. maaliskuuta 2. huhtikuuta mukaan lukien, S 16 = 560 - tehtävien kokonaismäärä, a 16 - tehtävien lukumäärä, jotka Vasya ratkaisi 2. huhtikuuta. Kun tiedät, että Vasya ratkaisi joka päivä saman määrän tehtäviä enemmän kuin edellisenä päivänä, voit käyttää kaavoja aritmeettisen etenemisen summan löytämiseen:

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Vastaus: 65.

Tehtävä numero 12- tarkistaa opiskelijoiden kykyä suorittaa toimintoja funktioilla, osata soveltaa derivaatta funktion tutkimiseen.

Etsi funktion maksimipiste y= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Ratkaisu: 1) Etsi funktion toimialue: x + 9 > 0, x> –9, eli x ∈ (–9; ∞).

2) Etsi funktion derivaatta:

4) Löytöpiste kuuluu väliin (–9; ∞). Määrittelemme funktion derivaatan merkit ja kuvaamme funktion käyttäytymistä kuvassa:

Haluttu maksimipiste x = –8.

Lataa ilmaiseksi matematiikan työohjelma UMK G.K:n linjalle. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10-11 Lataa ilmaisia ​​algebran käsikirjoja

Tehtävä numero 13- lisääntynyt monimutkaisuus yksityiskohtaisella vastauksella, joka testaa kykyä ratkaista yhtälöitä, menestyksekkäimmin ratkaistuja tehtäviä yksityiskohtaisella vastauksella, jonka monimutkaisuus on lisääntynyt.

a) Ratkaise yhtälö 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin.

Ratkaisu: a) Olkoon log 3 (2cos x) = t, sitten 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	log3(2cos x) =	2	⇔		2cos x = 9	⇔		cos x =	4,5	⇔ koska |cos x| ≤ 1,
	log3(2cos x) =	1			2cos x = √3			cos x =	√3
		2							2

sitten cos x =	√3
	2

	x =	π	+ 2π k
		6
	x = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Etsi segmentin juuret.

Kuvasta voidaan nähdä, että annetulla segmentillä on juuret

11π	ja	13π	.
6		6

Vastaus: a)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; b)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Tehtävä numero 14- edistynyt taso viittaa toisen osan tehtäviin yksityiskohtaisella vastauksella. Tehtävä testaa kykyä suorittaa toimintoja geometrisilla muodoilla. Tehtävä sisältää kaksi kohdetta. Ensimmäisessä kappaleessa tehtävä on todistettava ja toisessa kappaleessa se on laskettava.

Sylinterin pohjan ympäryshalkaisija on 20, sylinterin generatrix on 28. Taso leikkaa kantansa pituudeltaan 12 ja 16 olevia jänteitä pitkin. Painteiden välinen etäisyys on 2√197.

a) Osoita, että sylinterin kantojen keskipisteet ovat samalla puolella tätä tasoa.

b) Etsi kulma tämän tason ja sylinterin kannan tason välillä.

Ratkaisu: a) Pituus 12 jänne on etäisyydellä = 8 perusympyrän keskustasta ja jänne, jonka pituus on 16, on vastaavasti etäisyydellä 6. Siksi niiden projektioiden välinen etäisyys tasossa, joka on yhdensuuntainen sylinterien kanta on joko 8 + 6 = 14 tai 8 - 6 = 2.

Silloin sointujen välinen etäisyys on joko

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Ehdon mukaan toteutui toinen tapaus, jossa jänteiden projektiot ovat sylinterin akselin toisella puolella. Tämä tarkoittaa, että akseli ei leikkaa tätä tasoa sylinterin sisällä, eli kantat ovat sen toisella puolella. Mitä piti todistaa.

b) Merkitään kantojen keskipisteitä O 1 ja O 2. Piirretään kannan keskeltä jänteellä, jonka pituus on 12, kohtisuora puolittaja tähän jänteeseen (sen pituus on 8, kuten jo todettiin) ja toisen kannan keskustasta toiseen jänteeseen. Ne sijaitsevat samassa tasossa β kohtisuorassa näihin jänteisiin nähden. Kutsutaan pienemmän jänteen B keskipiste, joka on suurempi kuin A, ja A:n projektio toiseen kantaan H (H ∈ β). Tällöin AB,AH ∈ β ja siten AB,AH ovat kohtisuorassa jänteeseen, eli kannan leikkausviivaan annetun tason kanssa.

Tarvittava kulma on siis

∠ABH = arctaani	AH	= arctg	28	= arctg14.
	BH		8 – 6

Tehtävä numero 15- lisääntynyt monimutkaisuus yksityiskohtaisella vastauksella, tarkistaa kyvyn ratkaista epätasa-arvot, menestyksekkäimmin ratkaistu tehtävien joukossa yksityiskohtaisella vastauksella, jolla on lisääntynyt monimutkaisuus.

Esimerkki 15 Ratkaise epäyhtälö | x 2 – 3x| loki 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Ratkaisu: Tämän epäyhtälön määritelmäalue on väli (–1; +∞). Harkitse kolmea tapausta erikseen:

1) Anna x 2 – 3x= 0, ts. X= 0 tai X= 3. Tässä tapauksessa tämä epäyhtälö tulee todeksi, joten nämä arvot sisällytetään ratkaisuun.

2) Anna nyt x 2 – 3x> 0, ts. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Tässä tapauksessa tämä epäyhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon ( x 2 – 3x) loki 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 ja jaa positiivisella lausekkeella x 2 – 3x. Saamme lokin 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 -1 tai x≤ -0,5. Kun otetaan huomioon määritelmäalue, meillä on x ∈ (–1; –0,5].

3) Lopuksi harkitse x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). Tässä tapauksessa alkuperäinen epäyhtälö kirjoitetaan uudelleen muotoon (3 x – x 2) loki 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Positiivisella lausekkeella jakamisen jälkeen 3 x – x 2 , saamme lokin 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Pinta-ala huomioon ottaen meillä on x ∈ (0; 1].

Yhdistämällä saadut ratkaisut saadaan x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Vastaus: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Tehtävä numero 16- edistynyt taso viittaa toisen osan tehtäviin yksityiskohtaisella vastauksella. Tehtävä testaa kykyä suorittaa toimintoja geometrisilla muodoilla, koordinaatteilla ja vektoreilla. Tehtävä sisältää kaksi kohdetta. Ensimmäisessä kappaleessa tehtävä on todistettava ja toisessa kappaleessa se on laskettava.

Tasakylkiseen kolmioon ABC, jonka kulma on 120° kärjessä A, piirretään puolittaja BD. Suorakulmio DEFH on piirretty kolmioon ABC siten, että sivu FH on janalla BC ja kärki E on janalla AB. a) Todista, että FH = 2DH. b) Etsi suorakulmion DEFH pinta-ala, jos AB = 4.

Ratkaisu: a)

1) ΔBEF - suorakulmainen, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°) : 2 = 30°, sitten EF = BE 30° kulmaa vastakkaisen jalan ominaisuuden vuoksi.

2) Olkoon EF = DH = x, niin BE = 2 x, BF = x√3 Pythagoraan lauseen mukaan.

3) Koska ΔABC on tasakylkinen, niin ∠B = ∠C = 30˚.

BD on ∠B:n puolittaja, joten ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Tarkastellaan ΔDBH - suorakulmaista, koska DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x(√3 + 1)		4

1	=	2 – x
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = ED EF = (3 - √3 ) 2(3 - √3 )

S DEFH = 24 - 12√3.

Vastaus: 24 – 12√3.

Tehtävä numero 17- Tehtävä yksityiskohtaisella vastauksella, joka testaa tiedon ja taitojen soveltamista käytännön toiminnassa ja jokapäiväisessä elämässä, kykyä rakentaa ja tutkia matemaattisia malleja. Tämä tehtävä on tekstitehtävä, jossa on taloudellista sisältöä.

Esimerkki 17. 20 miljoonan ruplan talletus on tarkoitus avata neljäksi vuodeksi. Pankki kasvattaa talletusta jokaisen vuoden lopussa 10 % vuoden alun kokoon verrattuna. Lisäksi kolmannen ja neljännen vuoden alussa tallettaja täydentää talletuksensa vuosittain mennessä X miljoonaa ruplaa, missä X - koko määrä. Etsi korkein arvo X, jossa pankki lisää alle 17 miljoonaa ruplaa talletukseen neljässä vuodessa.

Ratkaisu: Ensimmäisen vuoden lopussa maksu on 20 + 20 · 0,1 = 22 miljoonaa ruplaa ja toisen vuoden lopussa - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 miljoonaa ruplaa. Kolmannen vuoden alussa osuus (miljoonaa ruplaa) on (24,2 + X), ja lopussa - (24,2 + X) + (24,2 + X) 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Neljännen vuoden alussa panos on (26,62 + 2,1 X), ja lopussa - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Ehdon mukaan sinun on löydettävä suurin kokonaisluku x, jolle epäyhtälö on

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

Suurin kokonaislukuratkaisu tälle epäyhtälölle on luku 24.

Vastaus: 24.

Tehtävä numero 18- monimutkaisempi tehtävä yksityiskohtaisella vastauksella. Tehtävä on tarkoitettu kilpailulliseen valintaan yliopistoihin, joissa hakijoiden matemaattista valmistautumista koskevat vaatimukset ovat kohonneet. Monimutkainen tehtävä ei ole yhden ratkaisumenetelmän soveltamisen tehtävä, vaan eri menetelmien yhdistelmä. Tehtävän 18 onnistunut suorittaminen edellyttää vankan matemaattisen tiedon lisäksi myös korkeatasoista matemaattista kulttuuria.

missä a epätasa-arvojärjestelmä

	x 2 + y 2 ≤ 2voi – a 2 + 1
	y + a ≤ |x| – a

onko täsmälleen kaksi ratkaisua?

Ratkaisu: Tämä järjestelmä voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

	x 2 + (y– a) 2 ≤ 1
	y ≤ |x| – a

Jos piirretään tasolle ensimmäisen epäyhtälön ratkaisujoukko, saadaan ympyrän (jossa on raja) sisäosa, jonka säde on 1 ja jonka keskipiste on piste (0, a). Toisen epäyhtälön ratkaisujoukko on se osa tasosta, joka sijaitsee funktion kuvaajan alla y = | x| – a, ja jälkimmäinen on funktion kuvaaja
y = | x| , siirretty alaspäin a. Tämän järjestelmän ratkaisu on kunkin epäyhtälön ratkaisujoukkojen leikkauspiste.

Tästä johtuen tällä järjestelmällä on kaksi ratkaisua vain kuviossa 2 esitetyssä tapauksessa. yksi.

Ympyrän ja viivojen kosketuspisteet ovat järjestelmän kaksi ratkaisua. Jokainen suora on kallistettu akseleihin nähden 45° kulmassa. Kolmio siis PQR- suorakulmaiset tasakylkiset. Piste K on koordinaatit (0, a), ja pointti R– koordinaatit (0, – a). Lisäksi leikkaukset PR ja PQ ovat yhtä kuin ympyrän säde yhtä suuri kuin 1.

QR= 2a = √2, a =	√2	.
	2

Vastaus: a =	√2	.
	2

Tehtävä numero 19- monimutkaisempi tehtävä yksityiskohtaisella vastauksella. Tehtävä on tarkoitettu kilpailulliseen valintaan yliopistoihin, joissa hakijoiden matemaattista valmistautumista koskevat vaatimukset ovat kohonneet. Monimutkainen tehtävä ei ole yhden ratkaisumenetelmän soveltamisen tehtävä, vaan eri menetelmien yhdistelmä. Tehtävän 19 onnistunut suorittaminen edellyttää, että osataan etsiä ratkaisua valitsemalla erilaisia ​​lähestymistapoja tunnetuista ja modifioimalla tutkittuja menetelmiä.

Päästää sn summa P aritmeettisen progression jäsenet ( a p). On tiedossa, että S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Anna kaava P tämän etenemisen jäsen.

b) Etsi pienin moduulisumma S n.

c) Etsi pienin P, jossa S n on kokonaisluvun neliö.

Ratkaisu a) Ilmeisesti a n = S n – S n- yksi . Käyttämällä tätä kaavaa saamme:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

tarkoittaa, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) koska S n = 2n 2 – 25n, harkitse sitten toimintoa S(x) = | 2x 2 – 25x|. Hänen kaavionsa näkyy kuvassa.

On selvää, että pienin arvo saavutetaan lähimpänä funktion nollia sijaitsevissa kokonaislukupisteissä. Ilmeisesti nämä ovat pointteja. X= 1, X= 12 ja X= 13. Koska, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, niin pienin arvo on 12.

c) Edellisestä kappaleesta seuraa, että sn positiivinen siitä lähtien n= 13. Alkaen S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), niin ilmeinen tapaus, jossa tämä lauseke on täydellinen neliö, toteutuu, kun n = 2n- 25, eli kanssa P= 25.

On vielä tarkistettava arvot 13-25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13 S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Osoittautuu, että pienemmille arvoille P täyttä neliötä ei saavuteta.

Vastaus: a) a n = 4n- 27; b) 12; c) 25.

________________

*Toukokuusta 2017 lähtien DROFA-VENTANA-yhteiskustannusryhmä on ollut osa Russian Textbook Corporationia. Yhtiöön kuuluivat myös kustantamo Astrel ja digitaalinen koulutusalusta LECTA. Alexander Brychkin, valmistunut Venäjän federaation hallituksen alaiselta Finanssiakatemiasta, taloustieteiden kandidaatti, DROFA-kustantamon innovatiivisten projektien johtaja digitaalisen koulutuksen alalla (oppikirjojen elektroniset muodot, venäläinen elektroninen koulu, LECTA digitaalinen koulutus foorumi) on nimitetty pääjohtajaksi. Ennen tuloaan DROFA-kustantamoon hän toimi EKSMO-AST-kustannusholdingin strategisesta kehityksestä ja investoinneista vastaavana johtajana. Nykyään Russian Textbook Publishing Corporationilla on suurin liittovaltion luetteloon sisältyvien oppikirjojen salkku - 485 nimikettä (noin 40%, poislukien vankeuskoulujen oppikirjat). Yhtiön kustantamot omistavat venäläisten koulujen eniten kysytyt fysiikan, piirtämisen, biologian, kemian, tekniikan, maantieteen, tähtitieteen oppikirjasarjat - maan tuotantopotentiaalin kehittämiseen tarvittavat osaamisalueet. Yhtiön salkku sisältää oppikirjoja ja opetusvälineitä Koulutuspresidentin palkinnon saaneille peruskouluille. Nämä ovat oppikirjoja ja käsikirjoja aihealueista, jotka ovat välttämättömiä Venäjän tieteellisen, teknisen ja teollisen potentiaalin kehittämiseksi.

Harjoitus 1

Jos \(74\) ihmiset ovat \(40\%\) , niin \(74:2=37\) ihmiset ovat \(20\%\) . Siksi \(100\%\) ovat \(37\cdot 5=185\) ihmisiä.

Vastaus: 185

Tehtävä 2

Kaavio näyttää veden lämpötilan Celsius-asteina ilmaistun riippuvuuden ajasta, joka on laskettu sen lämmityksen alusta. Aika minuutteina piirretään abskissa-akselille, lämpötila piirretään ordinaatta-akselille. Määritä kaaviosta kuinka monta astetta veden lämpötila on muuttunut \(3\) minuutista \(8\) minuuttiin. Anna vastauksesi Celsius-asteina.

Kaavio osoittaa, että \(3\) minuutin kuluttua lämmityksen alkamisesta veden lämpötila oli \(40^\circ C\) , \(8\) minuutin kuluttua lämpötila oli \(90^\ circ C\) , siksi \(3\) minuutista \(8\) minuuttiin lämpötila muuttui arvoon \(90-40=50^\circ C\) .

Vastaus: 50

Tehtävä 3

Kolmio \(ABC\) on kuvattu ruudulliselle paperille. Etsi tämän kolmion keskiviiva, joka on yhdensuuntainen sivun \(AB\) kanssa.

Koska kolmion keskiviiva on yhtä suuri kuin puolet sivusta, jonka kanssa se on yhdensuuntainen, \(AB\) yhdensuuntainen keskiviiva on \(0,5 AB\) . Koska \(AB=5\) , niin keskiviiva on \(2,5\) .

Vastaus: 2.5

Tehtävä 4

\(500\) koululaista tuli matematiikan olympialaisiin. Ne sijoitettiin neljään luokkahuoneeseen: kolmeen luokkahuoneeseen \(150\) hengelle, neljänteen -\(50\) henkilölle. Laske todennäköisyys, että satunnaisesti valittu oppilas kirjoittaa olympian pienelle yleisölle.

Tarkastelemme todennäköisyyttä sopivien tulosten määrän suhdetta kaikkien tulosten määrään. Koska pienessä auditoriossa on \(50\) paikkaa, sopivia paikkoja on \(50\) . Istumapaikkoja yhteensä \(500\) . Siksi todennäköisyys on \[\dfrac(50)(500)=0.1.\]

Vastaus: 0.1

Tehtävä 5

Tehtävä 6

Annettu suuntaviiva, jonka sivut \(21\) ja \(28\) . Pienemmälle sivulle piirretään korkeus, jonka pituus on \(20\) . Etsi pitemmälle sivulle piirretyn korkeuden pituus.

Harkitse piirustusta. Koska suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin sivun ja tälle sivulle vedetyn korkeuden tulo, tämän suuntaviivan pinta-ala on \(21\cdot 20\) tai \(28\cdot h\) . Näin ollen \

Vastaus: 15

Tehtävä 7

Kuvassa on funktion \(y = f(x)\) derivaatan käyrä. Seitsemän pistettä on merkitty x-akselille: \(x_1\) , \(x_2\) , \(x_3\) , \(x_4\) , \(x_5\) , \(x_6\) , \(x_7\) ) . Kuinka monessa näistä pisteistä funktio \(f(x)\) kasvaa?

Funktio kasvaa niissä kohdissa, joissa sen derivaatan arvo on positiivinen. Siksi, koska derivaatan graafi on esitetty kuvassa, meille sopivat ne pisteet, joissa derivaatan kuvaaja on x-akselin YLILLÄ. Nämä ovat pisteet \(x_3, x_4, x_5, x_6, x_7\) . Tällaisia ​​pisteitä on yhteensä 5.

Vastaus: 5

Tehtävä 8

Lieriömäiseen astiaan kaadetaan vettä tasoon \(32\) cm asti. Minkä tason vesi saavuttaa, jos se kaadetaan toiseen sylinterimäiseen astiaan, jonka pohjan säde on 4 kertaa ensimmäisen astian pohjan säde? Anna vastauksesi senttimetreinä.

Olkoon ensimmäisen aluksen kannan säde yhtä suuri kuin \(R_1\) ja toisen pohjan säde yhtä suuri kuin \(R_2\) . Sitten \(R_2=4R_1\) . Huomaa, että kun kaadetaan vettä astiasta toiseen, veden tilavuus pysyy vakiona. Kun vettä oli ensimmäisessä astiassa, sen tilavuus on yhtä suuri kuin sylinterin tilavuus, jonka korkeus on \(32\) ja pohjasäde \(R_1\) : \(V=\pi R_1^2\cdot 32\) . Kun se kaadettiin toiseen astiaan, sen tilavuus on yhtä suuri kuin sylinterin tilavuus, jonka korkeus on \(h\) (tämä arvo on löydettävä) ja pohjasäde \(R_2\) eli \(V =\pi R_2^2\cdot h\ ) . Mutta toisaalta: \[\pi R_1^2\cdot 32=\pi R_2^2\cdot h \quad\Rightarrow\quad h=\left(\dfrac(R_1)(R_2)\right)^2\cdot 32=\left( \dfrac14\right)^2\cdot 32=2.\]

Vastaus: 2

Tehtävä 9

Etsi lausekkeen arvo \

Kirjoitetaan lauseke muotoon uudelleen \ Kaksoiskulmakosinikaavan \(2\cos^2x-1=\cos 2x\) mukaan lauseke kirjoitetaan uudelleen muotoon \

Vastaus: -3

Tehtävä 10

Kun lähestytään tietyssä väliaineessa suoraviivaisesti toisiaan kohti liikkuvien äänisignaalien lähdettä ja vastaanotinta, vastaanottimen tallentaman äänisignaalin taajuus ei ole sama kuin alkuperäisen signaalin taajuus \(f_0=140\) Hz ja se määräytyy seuraavalla lausekkeella: \ missä \(c\) on signaalin etenemisnopeus väliaineessa (m/s), ja \(u=15\) m/s ja \(v=14\) m/s ovat vastaanottimen nopeudet ja lähde suhteessa väliaineeseen, vastaavasti. Millä suurimmalla signaalin etenemisnopeudella \(c\) (m/s) signaalin taajuus \(f\) vastaanottimessa on vähintään \(145\) Hz?

Koska meidän on löydettävä \(c\) siten, että \(f\geqslant 145\) , meidän on ratkaistava epäyhtälö \ Kun tämä epäyhtälö ratkaistaan ​​intervallimenetelmällä, saadaan \(c\in \) . Siksi tällaisille arvoille\(c\) arvo \(f\) on vähintään \(145\) . Tällöin \(c\):n suurin arvo on \(826\) .

Vastaus: 826

Tehtävä 11

Laiva, jonka nopeus tyynessä vedessä on \(27\) km/h, liikkuu alavirtaan pisteestä A pisteeseen B. Saavuttuaan pisteeseen B alus pysähtyi \(5\) tunniksi ja palasi sitten takaisin piste A. Tiedetään, että alus palasi pisteeseen A \(32\) tunnin kuluessa A:sta lähdön jälkeen. Kuinka monta kilometriä laiva kulki, jos joen nopeus on \(1\) km/h?

Olkoon pisteiden A ja B välinen etäisyys \(S\) . Sitten laiva kulki tiellä A:sta B:hen \[\dfrac(S)(27+1)\quad (\small(\text(tunnit)))\] Sitten hän pysähtyi pisteessä B 5 tunniksi ja vietti matkalla B:stä A:han \[\dfrac(S)(27-1)\quad (\small(\text(tunnit)))\] Yhteensä hän vietti 32 tuntia, joten \[\dfrac S(27+1)+5+\dfrac S(27-1)=32 \quad\Rightarrow\quad 54S=26\cdot 27\cdot 28\quad\Rightarrow\quad S=13\cdot 28 \] Sitten laiva kulki yhteensä \(2S\) kilometriä tai \

Vastaus: 728

Tehtävä 12

Etsi funktion \ minimipiste

odz-toiminnot: \((x+10)^7> 0 \quad\Leftrightarrow\quad x>-10.\)

Funktion minimipisteet ovat pisteitä, joissa derivaatta muuttaa etumerkkinsä arvosta "\(-\)" arvoon "\(+\)" (vasemmalta oikealle katsottuna). Etsimme derivaatan, sen nollat ​​ja pisteet, joissa sitä ei ole, ja laskemme merkit tuloksena oleville intervalleille. \ Johdannan nollat: \ ODZ:n johdannaismerkit:

Siksi \(x=-9\) on minimipiste.

Vastaus: -9

Tehtävä 13

a) Ratkaise yhtälö \[\log_4(2^(2x)-\sqrt3\cos x-\sin2x)=x\]

b) Ilmoita kaikki segmenttiin kuuluvat tämän yhtälön juuret \(\left[-\dfrac(\pi)2;\dfrac(3\pi)2\oikea].\)

a) ODZ-yhtälö: \(2^(2x)-\sqrt3\cos x-\sin2x>0\). Ratkaistaan ​​ODZ:n yhtälö. Se voidaan muuntaa: \[\begin(tasattu) &2^(2x)-\sqrt3\cos x-\sin2x=4^x \ (*)\quad\Rightarrow\quad -\sqrt3\cos x-\sin2x=0 \quad\Rightarrow \\ &\Rightarrow\quad 2\sin x\cos x+\sqrt3\cos x=0\quad\Rightarrow\quad \cos x(2\sin x+\sqrt3)=0\end(tasattu)\] Tämän yhtälön ratkaisut ovat \(\cos x=0\) ja \(\sin x=-\dfrac(\sqrt3)2\) : \[\left[\begin(koottu)\begin(tasattu) &x=\dfrac(\pi)2+\pi n, n\in\mathbb(Z)\\ &x=-\dfrac(\pi)3+ 2\pi m, m\in\mathbb(Z)\\ &x=-\dfrac(2\pi)3+2\pi k, k\in\mathbb(Z) \end(tasattu)\end(koottu) \oikea.\] Katsotaanpa, sopivatko nämä juuret ODZ:hen. Koska nämä juuret saatiin yhtälöstä \((*)\) ja \(4^x>0\) kaikille \(x\) , niin kun nämä juuret korvataan yhtälöön, vasen puoli \(( *)\) on myös aina \(>0\) . Ja tämä on ODZ. Siksi kaikki juuret täyttävät ODZ:n.

b) Otetaan juuret. \[\begin(tasattu) &-\dfrac(\pi)2\leqslant \dfrac(\pi)2+\pi n\leqslant \dfrac(3\pi)2 \quad\Leftrightarrow\quad -1\leqslant n \leqslant 1\quad\Rightarrow \quad n=-1; 0; 1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac(\pi)2; \dfrac(\pi)2; \dfrac(3\pi)2\\ & -\dfrac(\pi)2\leqslant -\dfrac(\pi)3+2\pi m\leqslant \dfrac(3\pi)2 \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac1(12)\leqslant m\leqslant \dfrac(11)(12)\quad\Rightarrow\quad m=0\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac(\pi)3\\ &-\dfrac (\pi)2\leqslant -\dfrac(2\pi)3+2\pi k\leqslant \dfrac(3\pi)2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac1(12)\leqslant k\leqslant \dfrac( 13)(12)\quad\Rightarrow\quad k=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac(4\pi)3 \end(tasattu)\]

Vastaus:

a) \(x=\dfrac(\pi)2+\pi n, -\dfrac(\pi)3+2\pi m, -\dfrac(2\pi)3+2\pi k, n,m,k \in\mathbb(Z)\)

b) \(-\dfrac(\pi)2; -\dfrac(\pi)3; \dfrac(\pi)2; \dfrac(4\pi)3; \dfrac(3\pi)2\)

Tehtävä 14

Nelikulmaisen pyramidin \(SABCD\) kanta on suorakulmio \(ABCD\) , missä \(AB=3\sqrt2\) , \(BC=6\) . Pyramidin korkeuden kanta on suorakulmion keskipiste. Pisteistä \(A\) ja \(C\) kohtisuorat \(AP\) ja \(CQ\) pudotetaan reunaan \(SB\) .

a) Todista, että \(P\) on \(BQ\) keskipiste.

b) Etsi pintojen \(SBA\) ja \(SBC\) välinen kulma, jos \(SD=9\) .

a) Olkoon \(O\) suorakulmion \(ABCD\) diagonaalien leikkauspiste. Silloin \(SO\) on pyramidin korkeus. Koska suorakulmion lävistäjät ovat yhtä suuret ja leikkauspiste on puolitettu, niin \(AO=BO=CO=DO\) . Näin ollen \(\kolmio AOS=\kolmio BOS=\kolmio COS=\kolmio DOS\), mistä \(AS=BS=CS=DS\) . Merkitse \(AS=x\) .
Harkitse kasvoja \(ASB\) . Piirretään \(SK\perp AB\) . Sitten \(KB=0,5 AB=1,5\sqrt2\) . Sitten \[\dfrac(KB)(SB)=\cos \angle SBA=\dfrac(BP)(BA) \quad\Rightarrow\quad BP=\dfrac 9x\] Harkitse kasvoja \(CSB\) . Tehdään \(SH\perp CB\) . Sitten \(HB=0,5 CB=3\) . Sitten \[\dfrac(HB)(SB)=\cos \angle SBC=\dfrac(BQ)(BC) \quad\Rightarrow\quad BQ=\dfrac (18)x\] Siksi \ Thd.

b) Ehdolla \(x=9\) . Huomaa, että edessä \(CSB\) \(PH\parallel CQ\) (koska \(PH\) on \(\kolmio CQB\) keskiviiva) Siksi \(PH\perp SB\) . Siksi määritelmän mukaan \(\angle APH\) on lineaarinen kaksitahoinen kulma pintojen \(SBC\) ja \(SBA\) välillä. Etsitään se kosinilauseen avulla \(\kolmio APH\) .

\(BP=\frac9(x)=1\) . Siksi Pythagoraan lauseella \(\kolmio ABP\) : \(AP^2=18-1=17\) .
Pythagoraan lauseella \(\kolmio HBP\) : \(HP^2=9-1=8\) .
Pythagoraan lauseella \(\kolmio ABH\) : \(AH^2=18+9=27\) .
Siksi kosinilauseen mukaan \(\kolmio APH\): \[\cos \angle APH=\dfrac(AP^2+HP^2-AH^2)(2\cdot AP\cdot HP)= -\dfrac1(2\sqrt(34))\] Siksi pintojen \(SAB\) ja \(SCB\) välinen kulma on yhtä suuri \[\angle APH=\arccos\left(-\dfrac1(2\sqrt(34))\right)\]

Vastaus:

b) \(\arccos\left(-\frac1(2\sqrt(34))\oikea)\)

Tehtävä 15

Ratkaise epätasa-arvo \[\dfrac(2^x)(2^x-8)+\dfrac(2^x+8)(2^x-4) +\dfrac(66)(4^x-12\cdot 2^x +32)\leqslant 0\]

Tehdään muutos \(2^x=t\) , jolloin epäyhtälö saa muodon \[\begin(tasattu) &\dfrac(t)(t-8)+\dfrac(t+8)(t-4)+\dfrac(66)(t^2-12t+32)\leqslant 0 \ quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(t(t-4)+(t^2-8^2)+66)((t-8)(t-4))\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\\ &\ Vasen oikea nuoli\quad \dfrac(2t^2-4t+2)((t-8)(t-4))\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(2(t-1)^2)((t -8)(t-4))\leqslant 0 \end(tasattu)\] Ratkaisemme tämän epäyhtälön intervallimenetelmällä:

Sitten tulee ratkaisu \[\left[\begin(koottu)\begin(tasattu) &t=1\\ &4 Sitten vastaus on: \

Vastaus:

\(\(0\)\kuppi(2;3)\)

Tehtävä 16

Piste \(E\) on puolisuunnikkaan \(ABCD\) lateraalisen sivun \(CD\) keskipiste. Piste \(K\) otetaan sen sivulle \(AB\) siten, että suorat \(CK\) ja \(AE\) ovat yhdensuuntaisia. Janat \(CK\) ja \(BE\) leikkaavat pisteessä \(O\) .

a) Todista, että \(CO=OK\) .

b) Laske puolisuunnikkaan kantojen suhde \(BC:AD\), jos kolmion \(BCK\) pinta-ala on \(\dfrac9(64)\) koko puolisuunnikkaan pinta-alasta \(ABCD\) .

a) Jatka \(AE\) ja \(BC\) pisteen \(P\) leikkauspisteeseen:

Sitten \(\angle AED=\angle CEP\) pystysuorana, \(\angle ADE=\angle PCE\) poikittain \(AD\parallel BP\) ja \(CD\) sekanteissa. Siksi sivua ja kahta vierekkäistä kulmaa pitkin \(\kolmio AED=\kolmio CEP\). Sitten \(AD=CP\) , \(AE=EP\) .
Koska \(CK\parallel AP\) , niin \(\kolmio BKO\sim \kolmio ABE\) ja \(CBO\sim \triangle PBE\) , siis \[\dfrac(KO)(AE)=\dfrac(BO)(BE)=\dfrac(OC)(EP) \quad\Rightarrow\quad \dfrac(KO)(OC)=\dfrac(AE)(EP )=1\] Joten \(KO=OC\) , chtd.

b) Koska \(\kolmio AED=\kolmio CEP\), sitten \(S_(ABCD)=S_(ABP)\) . Joten \ Koska \(\kolmio BCK\sim \kolmio ABP\), niin niiden pinta-alat liittyvät samankaltaisuuskertoimen neliöön, joten \ Siksi \(BC:BP=3:8\) , mikä tarkoittaa \(BC:AD=BC:CP=3:5\) .

Vastaus:

b) \(3:5\)

Tehtävä 17

Heinäkuussa 2020 on tarkoitus ottaa lainaa pankista tietylle määrälle. Sen palautusehdot ovat seuraavat:
- Joka tammikuu velka kasvaa \(30\%\) verrattuna edellisen vuoden loppuun;
- kunkin vuoden helmi-kesäkuusta osa velasta on maksettava yhdellä erällä.
Kuinka monta ruplaa otettiin pankista, jos tiedetään, että laina maksettiin kokonaan takaisin kolmessa yhtä suuressa erässä (eli 3 vuodeksi) ja maksujen määrä ylittää pankista otetun summan \(156\,060) \) ruplaa?

Olkoon \(A\) ruplaa lainattu summa. Huomaa, että laina maksetaan takaisin annuiteettimaksuina. Merkitään \(t=1,3\) ja tehdään taulukko: \[\begin(array)(|l|l|l|c|) \hline \text(Vuosinumero) & \text(Velka ennen kertymistä )\% & \text(Velka kertymän jälkeen )\% & \text( Maksu)\\ \hline 1 & A & tA & x\\ \hline 2 & tA-x & t(tA-x) &x\\ \hline 3 & t(tA-x)-x& t(t(tA-) x)-x) &x\\ \hline \end(array)\] Sitten viimeisen maksun jälkeen velka on yhtä suuri \ Ehdolla \(3x-A=156\,060\) \[\dfrac(3At^3)(t^2+t+1)-A=156\.060 \quad\Rightarrow\quad 3\cdot 2.197A-3.99A=156060\cdot 3.99 \quad\ Rightarrow\quad A=\dfrac(156060\cdot 3990)(2601)=60\cdot 3990=239\,400\]\(x_3\) täyttää \((2)\) . Huomaa myös, että juuri \(x_1\) kuuluu segmenttiin \(\) .
Harkitse kolmea tapausta:

1) \(a>0\) . Sitten \(x_2>3\) , \(x_3<3\) , следовательно, \(x_2\notin .\) Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\) в одном из двух случаях:
- \(x_1\) täyttää \((2)\) , \(x_3\) ei täytä \((1)\) tai vastaa \(x_1\) , tai täyttää \((1)\) , mutta ei sisälly segmenttiin \(\) (eli vähemmän kuin \(0\) );
- \(x_1\) ei täytä \((2)\) , \(x_3\) täyttää \((1)\) eikä ole yhtä suuri kuin \(x_1\) .
Huomaa, että \(x_3\) ei voi olla sekä pienempi kuin nolla että täyttää \((1)\) (eli suurempi kuin \(\frac35\) ). Tämän huomautuksen perusteella tapaukset kirjataan seuraavaan joukkoon: ' end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3-a> Ratkaisemalla tämän kokoelman ja ottaen huomioon, että \(a>0\) , saamme: \

2) \(a=0\) . Sitten \(x_2=x_3=3\in .\) Huomaa, että tässä tapauksessa \(x_1\) täyttää \((2)\) ja \(x_2=3\) täyttää \((1)\) , sitten on yhtälö, jolla on kaksi juurta kohdassa \(\) . Tämä arvo \(a\) ei sovi meille.

3) \(a<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) ja \(x_3\notin \) . Väittäen samalla tavalla kuin kappaleessa 1), sinun on ratkaistava joukko: \[\left[ \begin(koottu)\begin(tasattu) &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end(cases) \end(tasattu) \end(kerätty)\oikea.\] Ratkaisemalla annettu populaatio ja antamalla, että \(1, 2, 3, \dots, 99\) . Tällöin kaikkien satojen lukujen summa on pienin mahdollinen summa, jos lukujen joukossa on \(230\). Lasketaan se: \[\dfrac(1+99)2\cdot 99+230=5180>5120\] Meillä on ristiriita ehdon kanssa, joten vastaus on: ei.

b) Oletetaan, että taululla ei ole numeroa \(14\). Lajittelemme numerot uudelleen nousevaan järjestykseen ja harkitsemme numeroita: \(1, 2, \pisteet, 13, 15, \pisteet, 101\). Otimme pienimmän mahdollisen arvon ensimmäiselle numerolle, toiselle ja niin edelleen. Silloin kaikkien näiden lukujen summa on pienin mahdollinen summa mielivaltaisen sadan luonnollisen luvun summista. Se on yhtä suuri kuin: \[\dfrac(1+101)2\cdot 101-14=5137>5120\] Saimme jälleen ristiriidan ehdon kanssa, joten vastaus on: ei.

c) Otetaan esimerkki, kun lukujen joukossa on neljä lukua, jotka ovat luvun \(14\) kerrannaisia ​​(nämä ovat lukuja \(14, 28, 42, 56\) ): \ Osoittakaamme, että ei voi olla vähemmän kuin neljä lukua, jotka ovat luvun \(14\) kerrannaisia.
Otetaan joukko numeroita \(1\) - \(100\) . Tämän joukon lukujen summa on \(5050\) . Tämä on 100 erilaisen luonnollisen luvun pienin mahdollinen summa. Kutsutaan numeroita, jotka ovat \(14\) kerrannaisia, outoja. Tässä sarjassa on 7 outoa numeroa. Vähennämme joukossamme olevien outojen lukujen määrää pitäen joukon lukujen summan mahdollisimman pienenä.
Joten, jotta lukujen summa olisi minimaalinen, meidän on poistettava suurin outo luku - tämä on \(98\) . Sitten vastineeksi hänen on lisättävä toinen numero (ei outoa!). Pienin tällainen luku on \(101\) . Sen jälkeen saamme vähimmäissumman, joka on yhtä suuri kuin \(5053\) . Se on alle \(5120\) , joten jatkamme.
Tee samoin poistamalla oudot numerot \(98, 84, 70\) . Lisää sen sijaan \(101, 102, 103\) . Tässä tapauksessa saamme vähimmäissumman, joka on yhtä suuri kuin \(5104\) . Suorittamalla tämä toiminto uudelleen, eli poistamalla \(56\) ja lisäämällä \(104\) , saamme vähimmäissumman \(5152\) , joka on suurempi kuin \(5120\) . Koska joukkomme lukujen summa on minimaalinen, saadaan ristiriita.