Aloitetaan ykseyden logaritmin ominaisuudet. Sen muotoilu on seuraava: yksikön logaritmi on yhtä suuri kuin nolla, eli log a 1=0 mille tahansa a>0, a≠1. Todistus on suoraviivainen: koska a 0 =1 mille tahansa a:lle, joka täyttää yllä olevat ehdot a>0 ja a≠1 , niin todistettu yhtäläisyys log a 1=0 seuraa välittömästi logaritmin määritelmästä.
Otetaan esimerkkejä tarkasteltavan ominaisuuden soveltamisesta: log 3 1=0 , lg1=0 ja .
Siirrytään seuraavaan omaisuuteen: kantaa vastaavan luvun logaritmi on yhtä suuri kuin yksi eli log a a=1 jos a>0, a≠1. Todellakin, koska a 1 =a mille tahansa a:lle, niin logaritmin määritelmän mukaan log a a=1 .
Esimerkkejä tämän logaritmien ominaisuuden käytöstä ovat log 5 5=1 , log 5.6 5.6 ja lne=1 .
Esimerkiksi log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ja 
.
Kahden positiivisen luvun tulon logaritmi x ja y on yhtä suuri kuin näiden lukujen logaritmien tulo: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Todistakaamme tuotteen logaritmin ominaisuus. Johtuen tutkinnon ominaisuuksista a log a x+log a y =a log a x a log a y, ja koska päälogaritmisen identiteetin mukaan log a x =x ja log a y =y , niin log a x a log a y =x y . Siten log a x+log a y =x y , josta logaritmin määritelmä seuraa vaadittua yhtälöä.
Otetaan esimerkkejä tuotteen logaritmin ominaisuuden käytöstä: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ja 
.
Tulon logaritmin ominaisuus voidaan yleistää positiivisten lukujen x 1 , x 2 , …, x n äärellisen luvun n tuloksi. log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Tämä tasa-arvo on helposti todistettavissa.
Esimerkiksi tuotteen luonnollinen logaritmi voidaan korvata lukujen 4, e ja kolmen luonnollisen logaritmin summalla.
Kahden positiivisen luvun osamäärän logaritmi x ja y on yhtä suuri kuin näiden lukujen logaritmien välinen ero. Osamäärälogaritmin ominaisuus vastaa muotoa , jossa a>0, a≠1, x ja y ovat joitain positiivisia lukuja. Tämän kaavan pätevyys todistetaan kuten tuotteen logaritmin kaava: koska 
, sitten logaritmin määritelmän mukaan.
Tässä on esimerkki tämän logaritmin ominaisuuden käyttämisestä: 
.
Jatketaan asteen logaritmin ominaisuus. Asteen logaritmi on yhtä suuri kuin eksponentin ja tämän asteen kantamoduulin logaritmi. Kirjoitamme tämän asteen logaritmin ominaisuuden kaavan muodossa: log a b p =p log a |b|, jossa a>0, a≠1, b ja p ovat sellaisia lukuja, että b p:n aste on järkevä ja b p >0.
Todistamme ensin tämän ominaisuuden positiiviselle b:lle. Logaritmisen perusidentiteetin avulla voimme esittää luvun b muodossa log a b , jolloin b p =(a log a b) p , ja tuloksena oleva lauseke on potenssiominaisuudesta johtuen yhtä suuri kuin a p log a b . Saavutetaan siis yhtälö b p =a p log a b , josta logaritmin määritelmän perusteella päätellään, että log a b p =p log a b .
On vielä todistettava tämä ominaisuus negatiiviselle b:lle. Tässä huomautetaan, että lauseke log a b p negatiiviselle b:lle on järkevä vain parillisille eksponenteille p (koska asteen b p arvon on oltava suurempi kuin nolla, muuten logaritmissa ei ole järkeä), ja tässä tapauksessa b p =|b| p . Sitten b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, josta log a b p =p log a |b| .
Esimerkiksi, 
ja ln(-3)4 =4 ln|-3|=4 ln3.
Se seuraa edellisestä omaisuudesta logaritmin ominaisuus juuresta: n:nnen asteen juuren logaritmi on yhtä suuri kuin murto-osan 1/n tulo ja juurilausekkeen logaritmi, eli 
, jossa a>0, a≠1, n on yhtä suurempi luonnollinen luku, b>0.
Todistus perustuu yhtälöön (katso ), joka pätee mille tahansa positiiviselle b:lle, ja asteen logaritmin ominaisuuteen: 
.
Tässä on esimerkki tämän ominaisuuden käytöstä: 
.
Nyt todistetaan muunnoskaava logaritmin uuteen kantaan ystävällinen 
. Tätä varten riittää, kun todistetaan yhtälön log c b=log a b log c a pätevyys. Logaritmisen perusidentiteetin avulla voimme esittää luvun b muodossa log a b, sitten log c b=log c a log a b . Jää käyttää tutkinnon logaritmin ominaisuutta: log c a log a b = log a b log c a. Siten yhtälö log c b=log a b log c a on todistettu, mikä tarkoittaa, että myös logaritmin uuteen kantaan siirtymisen kaava on todistettu.
Otetaan pari esimerkkiä tämän logaritmien ominaisuuden soveltamisesta: ja 
.
Uuteen kantaan siirtymisen kaavan avulla voit siirtyä työskentelemään logaritmien kanssa, joilla on "kätevä" kanta. Sitä voidaan käyttää esimerkiksi siirtymiseen luonnollisiin tai desimaalilogaritmeihin, jotta voit laskea logaritmin arvon logaritmitaulukosta. Uuteen logaritmin kantaan siirtymisen kaava mahdollistaa myös joissain tapauksissa tietyn logaritmin arvon löytämisen, kun joidenkin logaritmien arvot muilla kantaluvuilla ovat tiedossa.
Usein käytetään erikoistapausta siirtymäkaavasta logaritmin uuteen kantaan muodon c=b:lle 
. Tämä osoittaa, että log a b ja log b a – . Esimerkiksi, 
.
Usein käytetään myös kaavaa 
, josta on hyötyä logaritmiarvojen löytämisessä. Sanojemme vahvistamiseksi näytämme kuinka lomakkeen logaritmin arvo lasketaan sen avulla. Meillä on 
. Todistamaan kaavan 
riittää, että käytetään siirtymäkaavaa logaritmin a uuteen kantaan: 
.
On vielä todistettava logaritmien vertailuominaisuudet.
Osoitetaan, että millä tahansa positiivisella luvulla b 1 ja b 2 , b 1 log a b 2 ja a>1:lle epäyhtälö log a b 1 Lopuksi on vielä todistettava viimeinen luetelluista logaritmien ominaisuuksista. Todistamme vain sen ensimmäisen osan, eli todistamme, että jos a 1 >1 , a 2 >1 ja a 1 1 on tosi log a 1 b>log a 2 b . Muut lausumat tästä logaritmien ominaisuudesta todistetaan samanlaisella periaatteella. Käytetään päinvastaista menetelmää. Oletetaan, että 1 >1, 2 >1 ja 1 1 log a 1 b≤log a 2 b on totta. Logaritmien ominaisuuksien perusteella nämä epäyhtälöt voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon 
ja 
vastaavasti, ja niistä seuraa, että log b a 1 ≤log b a 2 ja log b a 1 ≥ log b a 2, vastaavasti. Tällöin samoilla kantakantoilla olevien potenssien ominaisuuksien perusteella yhtäläisyydet b log b a 1 ≥b log b a 2 ja b log b a 1 ≥b log b a 2 on täytettävä, eli a 1 ≥a 2 . Siten olemme päätyneet ristiriidaan ehdon a 1 kanssa
Bibliografia.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ja muut Algebra ja analyysin alku: Oppikirja yleisten oppilaitosten luokille 10-11.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin hakijoille).
Yhteiskunnan kehittyessä tuotannon monimutkaisuuden myötä myös matematiikka kehittyi. Liikkeet yksinkertaisesta monimutkaiseen. Tavanomaisesta yhteen- ja vähennyslaskumenetelmästä toistuvalla toistolla he päätyivät kerto- ja jakolaskujaan. Kerran toistetun operaation vähentämisestä tuli eksponentioimisen käsite. Intialainen matemaatikko Varasena laati ensimmäiset taulukot lukujen riippuvuudesta kantaan ja eksponentioluvusta 800-luvulla. Niistä voit laskea logaritmien esiintymisajan.
Historiallinen ääriviiva
Euroopan elpyminen 1500-luvulla vauhditti myös mekaniikan kehitystä. T vaati paljon laskentaa liittyy moninumeroisten lukujen kerto- ja jakolaskuihin. Vanhat pöydät tekivät hyvää palvelua. Ne mahdollistivat monimutkaisten toimintojen korvaamisen yksinkertaisemmilla - yhteen- ja vähennyslaskulla. Iso askel eteenpäin oli matemaatikko Michael Stiefelin vuonna 1544 julkaistu työ, jossa hän toteutti monien matemaatikoiden ajatuksen. Tämä mahdollisti taulukoiden käytön asteille alkulukujen muodossa, vaan myös mielivaltaisille rationaalisille lukuille.
Vuonna 1614 skotti John Napier kehitti näitä ajatuksia ja esitteli ensimmäisen kerran uuden termin "luvun logaritmi". Sinien ja kosinien logaritmien sekä tangenttien laskemiseen tehtiin uusia kompleksisia taulukoita. Tämä vähensi suuresti tähtitieteilijöiden työtä.
Uusia taulukoita alkoi ilmestyä, joita tutkijat käyttivät menestyksekkäästi kolmen vuosisadan ajan. Kului paljon aikaa ennen kuin uusi algebran operaatio sai lopullisen muotonsa. Logaritmi määriteltiin ja sen ominaisuuksia tutkittiin.
Vasta 1900-luvulla, laskimen ja tietokoneen tultua käyttöön, ihmiskunta hylkäsi muinaiset taulukot, jotka olivat toimineet menestyksekkäästi läpi 1200-luvun.
Nykyään kutsumme b:n logaritmia perustaa a lukua x, joka on a:n potenssi, jotta saadaan luku b. Tämä kirjoitetaan kaavana: x = log a(b).
Esimerkiksi log 3(9) on yhtä suuri kuin 2. Tämä on ilmeistä, jos noudatat määritelmää. Jos korotamme 3:n potenssiin 2, saamme 9.
Näin ollen muotoiltu määritelmä asettaa vain yhden rajoituksen, numeroiden a ja b on oltava todellisia.
Logaritmien lajikkeet
Klassista määritelmää kutsutaan todelliseksi logaritmiksi ja se on itse asiassa yhtälön a x = b ratkaisu. Vaihtoehto a = 1 on rajallinen, eikä sillä ole merkitystä. Huomaa: 1 mihin tahansa potenssiin on 1.
Logaritmin todellinen arvo määritellään vain, jos kanta ja argumentti ovat suurempia kuin 0 ja kantaluku ei saa olla yhtä suuri kuin 1.
Erityinen paikka matematiikan alalla pelaa logaritmeja, jotka nimetään niiden perustan arvon mukaan:
Säännöt ja rajoitukset
Logaritmien perusominaisuus on sääntö: tulon logaritmi on yhtä suuri kuin logaritminen summa. log abp = log a(b) + log a(p).
Tämän lausunnon muunnelmana se on: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), osamääräfunktio on yhtä suuri kuin funktioiden ero.
Kahdesta edellisestä säännöstä on helppo nähdä, että: log a(b p) = p * log a(b).
Muita ominaisuuksia ovat:
Kommentti. Älä tee yleistä virhettä - summan logaritmi ei ole sama kuin logaritmien summa.
Useiden vuosisatojen ajan logaritmin löytäminen oli melko aikaa vievä tehtävä. Matemaatikot käyttivät tunnettua logaritmisen teorian kaavaa polynomilaajennuksesta:
ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), jossa n on luonnollinen luku, joka on suurempi kuin 1, mikä määrittää laskennan tarkkuuden.
Logaritmit muiden kantojen kanssa laskettiin käyttämällä lausetta siirtymisestä kantasta toiseen ja tuotteen logaritmin ominaisuuteen.
Koska tämä menetelmä on erittäin työläs ja kun ratkaistaan käytännön ongelmia vaikea toteuttaa, he käyttivät valmiiksi laadittuja logaritmitaulukoita, mikä nopeutti huomattavasti koko työtä.
Joissakin tapauksissa käytettiin erityisesti koottuja logaritmien kuvaajia, jotka antoivat vähemmän tarkkuutta, mutta nopeuttavat merkittävästi halutun arvon hakua. Useampaan pisteeseen rakennettu funktion y = log a(x) käyrä mahdollistaa tavanomaisen viivaimen avulla funktion arvojen löytämisen mistä tahansa muusta pisteestä. Insinöörit käyttivät pitkään ns. kaaviopaperia näihin tarkoituksiin.
1600-luvulla ilmestyivät ensimmäiset analogiset apulaskentaolosuhteet, jotka 1800-luvulle mennessä olivat saaneet valmiin muodon. Menestynein laite oli nimeltään slidesääntö. Laitteen yksinkertaisuudesta huolimatta sen ulkonäkö nopeuttaa merkittävästi kaikkien teknisten laskelmien prosessia, ja tätä on vaikea yliarvioida. Tällä hetkellä harvat ihmiset tuntevat tämän laitteen.
Laskimien ja tietokoneiden tulo teki turhaksi käyttää muita laitteita.
Yhtälöt ja epäyhtälöt
Seuraavia kaavoja käytetään erilaisten yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseen logaritmeilla:
- Siirtyminen emäksestä toiseen: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- Edellisen version seurauksena: log a(b) = 1 / log b(a).
Eriarvoisuuksien ratkaisemiseksi on hyödyllistä tietää:
- Logaritmin arvo on positiivinen vain, jos sekä kanta että argumentti ovat molemmat suurempia tai pienempiä kuin yksi; jos ainakin yksi ehto rikotaan, logaritmin arvo on negatiivinen.
- Jos logaritmifunktiota sovelletaan epäyhtälön oikealle ja vasemmalle puolelle ja logaritmin kanta on suurempi kuin yksi, niin epäyhtälön etumerkki säilyy; muuten se muuttuu.
Tehtäväesimerkkejä
Harkitse useita logaritmien ja niiden ominaisuuksien käyttövaihtoehtoja. Esimerkkejä yhtälöiden ratkaisemisesta:
Harkitse vaihtoehtoa logaritmin sijoittamiseksi asteeseen:
- Tehtävä 3. Laske 25^log 5(3). Ratkaisu: tehtävän olosuhteissa merkintätapa on samanlainen kuin (5^2)^log5(3) tai 5^(2 * log 5(3)). Kirjoitetaan se toisin: 5^log 5(3*2), tai luvun neliö funktion argumenttina voidaan kirjoittaa itse funktion neliöksi (5^log 5(3))^2. Käyttämällä logaritmien ominaisuuksia tämä lauseke on 3^2. Vastaus: laskennan tuloksena saamme 9.
Käytännöllinen käyttö
Puhtaasti matemaattisena työkaluna näyttää olevan kaukana todellisesta elämästä, että logaritmilla on yhtäkkiä tullut suuri merkitys todellisen maailman esineiden kuvaamisessa. On vaikea löytää tiedettä, jossa sitä ei käytetä. Tämä pätee täysin ei vain luonnollisiin, vaan myös humanistisiin tietoihin.
Logaritmiset riippuvuudet
Tässä on esimerkkejä numeerisista riippuvuuksista:
Mekaniikka ja fysiikka
Historiallisesti mekaniikka ja fysiikka ovat aina kehittyneet käyttämällä matemaattisia tutkimusmenetelmiä ja samalla toimineet kannustimena matematiikan, myös logaritmien, kehitykselle. Useimpien fysiikan lakien teoria on kirjoitettu matematiikan kielellä. Annamme vain kaksi esimerkkiä fysikaalisten lakien kuvauksesta logaritmin avulla.
On mahdollista ratkaista ongelma sellaisen monimutkaisen suuren kuin raketin nopeuden laskemisessa käyttämällä Tsiolkovsky-kaavaa, joka loi perustan avaruustutkimuksen teorialle:
V = I * ln(M1/M2), missä
- V on lentokoneen lopullinen nopeus.
- Minä olen moottorin erityinen impulssi.
- M 1 on raketin alkumassa.
- M 2 - lopullinen massa.
Toinen tärkeä esimerkki- Tämä on toisen suuren tiedemiehen Max Planckin kaavassa, joka toimii termodynamiikan tasapainotilan arvioinnissa.
S = k * ln (Ω), missä
- S on termodynaaminen ominaisuus.
- k on Boltzmannin vakio.
- Ω on eri tilojen tilastollinen paino.
Kemia
Vähemmän ilmeistä olisi logaritmien suhteen sisältävien kaavojen käyttö kemiassa. Tässä on vain kaksi esimerkkiä:
- Nernstin yhtälö, väliaineen redox-potentiaalin ehto suhteessa aineiden aktiivisuuteen ja tasapainovakioon.
- Sellaisten vakioiden kuin autoprolyysiindeksin ja liuoksen happamuuden laskenta ei myöskään ole täydellinen ilman toimintoamme.
Psykologia ja biologia
Ja on täysin käsittämätöntä, mitä tekemistä psykologialla on sen kanssa. Osoittautuu, että tämä funktio kuvaa hyvin tunteen voimakkuutta ärsykkeen intensiteetin arvon käänteisenä suhteena alemman intensiteetin arvoon.
Yllä olevien esimerkkien jälkeen ei ole enää yllättävää, että logaritmien teemaa käytetään laajasti myös biologiassa. Logaritmisia spiraaleja vastaavista biologisista muodoista voidaan kirjoittaa kokonaisia niteitä.
Muut alueet
Näyttää siltä, että maailman olemassaolo on mahdotonta ilman yhteyttä tähän tehtävään, ja se hallitsee kaikkia lakeja. Varsinkin kun luonnonlait liittyvät geometriseen etenemiseen. Kannattaa katsoa MatProfin nettisivuja, joista on monia esimerkkejä seuraavilla toiminta-alueilla:
Lista voisi olla loputon. Kun olet oppinut tämän toiminnon peruslait, voit sukeltaa äärettömän viisauden maailmaan.
Mikä on logaritmi?
Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaali erityisosastossa 555.
Niille, jotka vahvasti "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")
Mikä on logaritmi? Kuinka ratkaista logaritmit? Nämä kysymykset hämmentävät monia valmistuneita. Perinteisesti logaritmien aihetta pidetään monimutkaisena, käsittämättömänä ja pelottavana. Erityisesti - yhtälöt logaritmeilla.
Tämä ei todellakaan ole totta. Ehdottomasti! Etkö usko? Hyvä. Nyt noin 10-20 minuuttia sinä:
1. Ymmärrä mikä on logaritmi.
2. Opi ratkaisemaan koko luokka eksponentiaaliyhtälöitä. Vaikka et ole heistä kuullutkaan.
3. Opi laskemaan yksinkertaisia logaritmeja.
Lisäksi tätä varten sinun tarvitsee vain tietää kertotaulukko ja kuinka luku nostetaan potenssiin ...
Minusta tuntuu, että epäilet... No, pidä aikaa! Mennä!
Ratkaise ensin mielessäsi seuraava yhtälö:
Jos pidät tästä sivustosta...
Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)
Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)
voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.
Suhteessa
Tehtävä löytää mikä tahansa kolmesta numerosta kahdesta muusta, voidaan asettaa. Annettu a ja sitten N löytyy eksponentioimalla. Jos N on annettu ja sitten a löydetään erottamalla potenssin x juuri (tai eksponentio). Tarkastellaan nyt tapausta, jossa a:lla ja N:llä on löydettävä x.
Olkoon luku N positiivinen: luku a on positiivinen eikä yhtä suuri kuin yksi: .
Määritelmä. Luvun N logaritmi kantaan a on eksponentti, johon sinun täytyy nostaa a saadaksesi luvun N; logaritmi on merkitty
Siten yhtälössä (26.1) eksponentti löytyy N:n logaritmina kantaan a. merkinnät
on sama merkitys. Tasa-arvoa (26.1) kutsutaan joskus logaritmien teorian perusidentiteetiksi; itse asiassa se ilmaisee logaritmin käsitteen määritelmän. Tämän määritelmän mukaan logaritmin a kanta on aina positiivinen ja erilainen kuin yksikkö; logaritmisoitu luku N on positiivinen. Negatiivisilla luvuilla ja nollalla ei ole logaritmeja. Voidaan todistaa, että millä tahansa luvulla, jolla on tietty kanta, on hyvin määritelty logaritmi. Siksi tasa-arvo edellyttää. Huomaa, että ehto on tässä välttämätön, muuten johtopäätös ei olisi perusteltu, koska yhtäläisyys on totta kaikille x:n ja y:n arvoille.
Esimerkki 1. Etsi
Päätös. Saadaksesi numeron, sinun on nostettava kanta 2 tehoon Siksi.
Voit tallentaa kun ratkaiset tällaisia esimerkkejä seuraavassa muodossa:
Esimerkki 2. Etsi .
Päätös. Meillä on
Esimerkeissä 1 ja 2 löysimme helposti halutun logaritmin esittämällä logaritmiskelpoista lukua kantaluvun asteena rationaalisella eksponentilla. Yleisessä tapauksessa, esimerkiksi jne., tätä ei voida tehdä, koska logaritmilla on irrationaalinen arvo. Kiinnittäkäämme huomiota yhteen tähän lausuntoon liittyvään kysymykseen. Kohdassa 12 esitimme käsitteen mahdollisuudesta määrittää mikä tahansa tietyn positiivisen luvun todellinen potenssi. Tämä oli tarpeen logaritmien käyttöön ottamiseksi, jotka yleensä voivat olla irrationaalisia lukuja.
Harkitse joitain logaritmien ominaisuuksia.
Ominaisuus 1. Jos luku ja kanta ovat yhtä suuret, niin logaritmi on yhtä suuri kuin yksi, ja päinvastoin, jos logaritmi on yhtä suuri, luku ja kanta ovat yhtä suuret.
Todiste. Olkoon Logaritmin määritelmän mukaan meillä on ja mistä
Päinvastoin, anna sitten määritelmän mukaan
Ominaisuus 2. Minkä tahansa kantayksikön yksikön logaritmi on nolla.
Todiste. Logaritmin määritelmän mukaan (mikä tahansa positiivisen kannan nollapotenssi on yhtä suuri kuin yksi, katso (10.1)). Täältä
Q.E.D.
Käänteinen väite on myös totta: jos , niin N = 1. Todellakin, meillä on .
Ennen kuin toteamme seuraavan logaritmien ominaisuuden, sovimme, että kaksi lukua a ja b ovat kolmannen luvun c samalla puolella, jos ne ovat molemmat suurempia kuin c tai pienempiä kuin c. Jos yksi näistä luvuista on suurempi kuin c ja toinen pienempi kuin c, sanotaan, että ne sijaitsevat c:n vastakkaisilla puolilla.
Ominaisuus 3. Jos luku ja kanta ovat samalla yksikön puolella, logaritmi on positiivinen; jos luku ja kanta ovat yksikön vastakkaisilla puolilla, logaritmi on negatiivinen.
Ominaisuuden 3 todiste perustuu siihen, että a:n aste on suurempi kuin yksi, jos kanta on suurempi kuin yksi ja eksponentti on positiivinen tai kanta on pienempi kuin yksi ja eksponentti on negatiivinen. Aste on pienempi kuin yksi, jos kanta on suurempi kuin yksi ja eksponentti on negatiivinen, tai kanta on pienempi kuin yksi ja eksponentti on positiivinen.
Harkittavia tapauksia on neljä:
Rajaudumme analysoimaan niistä ensimmäistä, lukija harkitsee loput itse.
Olkoon sitten yhtälön eksponentti negatiivinen eikä yhtä suuri kuin nolla, joten se on positiivinen, eli se, joka vaadittiin todistettavaksi.
Esimerkki 3. Selvitä, mitkä seuraavista logaritmeista ovat positiivisia ja mitkä negatiivisia:
Ratkaisu, a) koska numero 15 ja kanta 12 sijaitsevat yksikön samalla puolella;
b) , koska 1000 ja 2 sijaitsevat yksikön samalla puolella; samaan aikaan ei ole välttämätöntä, että kanta on suurempi kuin logaritminen luku;
c), koska 3.1 ja 0.8 sijaitsevat ykseyden vastakkaisilla puolilla;
G) ; miksi?
e) ; miksi?
Seuraavia ominaisuuksia 4-6 kutsutaan usein logaritmin säännöiksi: ne mahdollistavat joidenkin lukujen logaritmit tuntemalla löytää jokaisen tulonsa, osamäärän, asteen logaritmit.
Ominaisuus 4 (tulon logaritmin sääntö). Useiden positiivisten lukujen tulon logaritmi tietyssä kannassa on yhtä suuri kuin näiden samassa kannassa olevien lukujen logaritmien summa.
Todiste. Annetaan positiiviset luvut.
Heidän tulonsa logaritmille kirjoitetaan yhtälö (26.1), joka määrittää logaritmin:
Täältä löydämme
Vertaamalla ensimmäisen ja viimeisen lausekkeen eksponenttia saadaan vaadittu yhtäläisyys:
Huomaa, että ehto on välttämätön; kahden negatiivisen luvun tulon logaritmi on järkevä, mutta tässä tapauksessa saamme
Yleensä, jos useiden tekijöiden tulo on positiivinen, niin sen logaritmi on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden moduulien logaritmien summa.
Ominaisuus 5 (osamäärälogaritmisääntö). Positiivisten lukujen osamäärän logaritmi on yhtä suuri kuin osingon ja jakajan logaritmien välinen ero samassa kannassa. Todiste. Löytää johdonmukaisesti
Q.E.D.
Ominaisuus 6 (asteen logaritmin sääntö). Minkä tahansa positiivisen luvun potenssin logaritmi on yhtä suuri kuin tämän luvun logaritmi kertaa eksponentti.
Todiste. Kirjoitamme uudelleen päätunnuksen (26.1) numerolle:
Q.E.D.
Seuraus. Positiivisen luvun juuren logaritmi on yhtä suuri kuin juuriluvun logaritmi jaettuna juuren eksponenteilla:
Voimme todistaa tämän seurauksen pätevyyden esittämällä kuinka ja käyttämällä ominaisuutta 6.
Esimerkki 4. Logaritmi a:n kantaan:
a) (oletetaan, että kaikki arvot b, c, d, e ovat positiivisia);
b) (oletetaan, että ).
Ratkaisu, a) Tässä lausekkeessa on kätevää siirtää murtolukupotenssit:
Yhtälöiden (26.5)-(26.7) perusteella voimme nyt kirjoittaa:
Huomaamme, että lukujen logaritmeille tehdään yksinkertaisempia operaatioita kuin itse luvuille: lukuja kerrottaessa niiden logaritmit lasketaan yhteen, jaettuna vähennetään jne.
Tästä syystä laskentakäytännössä on käytetty logaritmeja (ks. luku 29).
Logaritmille käänteistä toimintaa kutsutaan potentioimiseksi, nimittäin: potentioiminen on toimenpide, jolla tämä luku itse löydetään luvun annetulla logaritmilla. Potentioiminen ei ole pohjimmiltaan mitään erityistä toimintaa: se laskee kantaluvun nostamisen potenssiin (joka on yhtä suuri kuin luvun logaritmi). Termiä "potentiointi" voidaan pitää synonyyminä termin "exponsaatio" kanssa.
Potentioinnissa on käytettävä sääntöjä, jotka ovat käänteisiä logaritmin säännöille: korvaa logaritmien summa tulon logaritmilla, logaritmien ero osamäärän logaritmilla jne. Varsinkin jos on mikä tahansa tekijä logaritmin etumerkin edessä, niin se on potentioinnissa siirrettävä indikaattoriasteisiin logaritmin etumerkin alla.
Esimerkki 5. Etsi N, jos se tiedetään
Päätös. Juuri esitetyn potenssisäännön yhteydessä tämän yhtälön oikealla puolella olevien logaritmien etumerkkien edessä olevat kertoimet 2/3 ja 1/3 siirretään näiden logaritmien etumerkkien alla oleviin eksponenteihin; saamme
Nyt korvaamme logaritmien eron osamäärän logaritmilla:
saadaksemme viimeisen murto-osan tässä yhtälöketjussa, vapautimme edellisen murto-osan irrationaalisuudesta nimittäjässä (osio 25).
Ominaisuus 7. Jos kanta on suurempi kuin yksi, niin suuremmalla luvulla on suurempi logaritmi (ja pienemmällä on pienempi), jos kanta on pienempi kuin yksi, niin suuremmalla luvulla on pienempi logaritmi (ja pienemmällä). toisessa on isompi).
Tämä ominaisuus on myös muotoiltu sääntönä epäyhtälöiden logaritmille, joiden molemmat osat ovat positiivisia:
Kun epäyhtälöiden logaritmi viedään yhtä suurempaan kantaan, epäyhtälisyysmerkki säilyy, ja kun logaritmi viedään yhtä pienempään kantaan, epäyhtälön etumerkki käännetään (katso myös kohta 80).
Todistus perustuu ominaisuuksiin 5 ja 3. Tarkastellaan tapausta, jossa If , sitten ja logaritmin avulla saadaan
(a ja N/M ovat samalla yksikön puolella). Täältä
Tapaus a seuraa, lukija selvittää sen itse.
