Gammafunktion määritelmäalue Г(g) Integraalilla (1) on kahdenlaisia ​​singulaarisuuksia: 1) integrointi puoliviivan yli 2) pisteessä, jossa integrandista tulee ääretön. Näiden ominaisuuksien erottamiseksi esitämme funktion Г(x) kahden integraalin summana Gammafunktiota kutsutaan integraaliksi Gammafunktion toimialue Gammafunktion joitakin ominaisuuksia Beta-funktio ja sen ominaisuudet Beta-funktion alue funktio Euler-integraalien käyttö määrällisten integraalien laskennassa ja Tarkastellaan jokaista niistä erikseen. Siitä lähtien integraali konvergoi arvoon (vertailun perusteella). Integraali konvergoi mille tahansa x:lle. Todellakin, kun otetaan mielivaltainen yksi, saadaan, että mille tahansa x:lle Integraali konvergoi, siksi integraali konvergoi mille tahansa x:lle. Siten konvergoi ja olemme osoittaneet, että gammafunktion Г(x) alue on puoliviiva. Osoitetaan, että integraali (1) konvergoi tasaisesti x:ssä millä tahansa janalla Let. Sitten , meillä on Kaavojen (2) ja (3) oikealla puolella olevat integraalit konvergoivat ja epäyhtälöiden (2) ja (3) vasemman puolen integraalit konvergoivat tasaisesti Weierstrassin kriteerin mukaisesti. . Näin ollen tasa-arvon perusteella saamme Γ(x):n tasaisen konvergenssin millä tahansa segmentillä [c, d], missä. Γ(x):n tasaisesta konvergenssista seuraa, että tämä funktio on jatkuva 1:lle (gammafunktiolla ei ole nollia, kun x > 0). 2. Jos x > 0, gammafunktion pelkistyskaava pätee 3. Jos x = n, kaava pätee Kun x = 1, meillä on x) kupera alaspäin. Tästä seuraa, että derivaatalla puoliviivalla voi olla vain yksi nolla. Ja koska Rollen lauseen mukaan tämä derivaatan Γ"(x) nolla x0 on olemassa ja sijaitsee välissä (1,2). Koska silloin funktiolla Γ(x) on minimi pisteessä x0. Se voi osoittaa, että kohdassa (0, +oo) funktio Γ(x) on differentioituva kuinka monta kertaa tahansa. Kaavasta se on jatkuva kuin 6. Komplementaarinen kaava Gammafunktion kuvaaja on kuvan 4 muodossa § 4. Beetafunktio ja sen ominaisuudet Beetafunktiota kutsutaan parametreistä riippuvaiseksi integraaliksi. 4.1 Beetafunktion määritelmäalue B(x) Integrandilla for at on kaksi singulaaripistettä - singulaaripiste t = 1. Integraali on 2. tyyppinen virheellinen integraali.Se konvergoi sillä ehdolla, että at, ja integraali on integraali Beetafunktion määritelmät Euler-integraalien soveltaminen tiettyjen integraalit konvergoivat kohdassa Siten beetafunktio B(x) y) on määritelty kaikille xny:n positiivisille arvoille. Voidaan todistaa, että integraali (7) konvergoi tasaisesti jokaisella alueella x^a>0, Y>b>Oy siten, että beetafunktio on jatkuva. Kaavasta (9) seuraa beetafunktion joitakin ominaisuuksia. §5. Euler-integraalien soveltaminen määrällisten integraalien laskennassa Tarkastellaan muutamia esimerkkejä. Esimerkki 1. Laske integraali 4 Otetaan käyttöön saamamme korvaus Siksi Esimerkki 2. Laske integraali Oletetaan, että silloin integroinnin rajat pysyvät samoina, jolloin annettu integraali pelkistyy beetafunktioon: Esimerkki 3. Perustuu yhtälöön , laske integraali Tässä käytimme beetafunktion määritelmää ja kaavoja Harjoitukset Laske rajat: Etsi F "(y) derivaatat seuraaville funktioille: o. Yhtälön perusteella. laske integraali 7. Yhtälön avulla derivoimalla parametrin suhteen, hanki seuraava kaava: 8. Osoita, että integraali konvergoi tasaisesti y:ssä kaikilla reaaliakseleilla 7 dx 9. Osoita, että integraali konvergoi tasaisesti parametrin s suhteen millä tahansa välillä 10. yhtälö, laske integraali differentoimalla parametrin suhteen Laske Euler-integraalien avulla seuraavat integraalit: Ilmaise Eulerin integraaleilla: Gammafunktio on integraali -funktiot Jotkut gammafunktion ominaisuudet beetafunktiosta ja sen ominaisuuksia beetafunktion määritelmät Eulerin integraalien käyttö määrällisten integraalien laskennassa (positiivinen kokonaisluku) Osoitetaan, että integraali konvergoi tasaisesti koko reaaliakselilla: voidaan ottaa Kohdalle B > A meillä on Todistamme, että integraali /( «) = / konvergoi tasaisesti a:lle Koska 0 1 ja integraali konvergoi, päätämme Weierstrassin riittävästä testistä, että annettu integraali konvergoi tasaisesti. 10. Meillä on

Kokeellisesti on todettu, että - säteily (ks. § 255) ei ole itsenäinen radioaktiivisuuden tyyppi, vaan se vain seuraa - ja - hajoaa ja esiintyy myös ydinreaktioiden aikana, varautuneiden hiukkasten hidastumisessa, niiden hajoamisessa jne. - Spektri on viiva. -Spektri on -kvanttien lukumäärän jakautuminen energioihin (sama tulkinta -spektristä on annettu §:ssä 258). -spektrin diskreettisyys on perustavanlaatuista, koska se on todiste atomiytimien energiatilojen diskreetistä.

Tällä hetkellä on vakaasti todistettu, että -säteilyä lähettää tytär (eikä äiti) ydin. Muodostumishetkellä tytärydin virittyneenä noin 10 -13 -10 -14 s ajaksi, joka on paljon vähemmän kuin virittyneen atomin elinikä (noin 10 -8 s), siirtyy perustilaan. -säteilyn emissio. Palattuaan perustilaan virittynyt ydin voi kulkea useiden välitilojen läpi, joten saman radioaktiivisen isotoopin -säteily voi sisältää useita -kvanttiryhmiä, jotka eroavat toisistaan ​​energialtaan.

-säteilyllä MUTTA ja Z ytimet eivät muutu, joten sitä ei kuvata millään syrjäytyssäännöillä. - Useimpien ytimien säteily on niin lyhytaaltoista, että sen aaltoominaisuudet ilmenevät hyvin heikosti. Tässä korostuvat korpuskulaariset ominaisuudet, joten säteilyä pidetään hiukkasvirtana - -kvanttina. Eri ytimien radioaktiivisen hajoamisen aikana kvanttien energiat ovat 10 keV - 5 MeV.

Virittyneessä tilassa oleva ydin voi mennä perustilaan paitsi emittoimalla -kvanttia, vaan myös siirtämällä viritysenergian suoraan (ilman kvantin aikaisempaa emissiota) jollekin saman atomin elektroneista. . Tämä tuottaa ns elektronin muunnos. Ilmiö itsessään on ns sisäinen muunnos. Sisäinen muunnos on prosessi, joka kilpailee -säteilyn kanssa.

Muunnoselektronit vastaavat erillisiä energia-arvoja, jotka riippuvat elektronin työtoiminnasta kuoresta, josta elektroni karkaa, ja energiasta E jonka ydin antaa siirtyessään virittyneestä tilasta perustilaan. Jos kaikki energia E vapautuu -kvantin muodossa, niin säteilytaajuus määritetään tunnetusta suhteesta . Jos sisäisiä konversioelektroneja emittoidaan, niiden energiat ovat yhtä suuria kuin E – A K, E – A L, ... , missä A K, A L, ... on elektronin työfunktio Vastaanottaja- ja L-kuoret. Konversioelektronien monoenergeettinen luonne mahdollistaa niiden erottamisen (-elektroneista, joiden spektri on jatkuva (ks. § 258). Elektronin emission seurauksena syntynyt tyhjä tila atomin sisäkuoressa täytetään elektroneilla, jotka ovat peräisin päällä olevista kuorista, joten sisäiseen konversioon liittyy aina ominaista röntgensäteilyä.

Kvantit, joiden lepomassa on nolla, eivät voi hidastua väliaineessa, joten kun -säteily kulkee aineen läpi, se joko absorboi tai siroaa ne. -Kvantit eivät sisällä sähkövarausta eivätkä siten koe Coulombin voimien vaikutusta. Kun -kvanttien säde kulkee aineen läpi, niiden energia ei muutu, mutta törmäysten seurauksena intensiteetti heikkenee, jonka muutosta kuvaa eksponentiaalinen laki X,- absorptiokerroin). Koska -säteily on läpäisevin säteily, monille aineille se on hyvin pieni arvo; riippuu aineen ominaisuuksista ja kvantin energiasta.

Aineen läpi kulkevat kvantit voivat olla vuorovaikutuksessa sekä aineatomien elektronikuoren että niiden ytimien kanssa. Kvanttielektrodynamiikassa on todistettu, että tärkeimmät prosessit, jotka liittyvät -säteilyn kulkemiseen aineen läpi, ovat valosähköinen vaikutus, Compton-ilmiö (Compton-sironta) ja elektroni-positroniparien muodostuminen.

valosähköinen efekti tai valosähköinen absorptio - säteily, on prosessi, jossa atomi absorboi -kvantin ja emittoi elektronin. Koska elektroni tippuu pois yhdestä atomin sisäkuoresta, vapautunut tila täyttyy elektroneilla päällä olevista kuorista, ja valosähköiseen vaikutukseen liittyy ominaista röntgensäteilyä. Valosähköinen vaikutus on vallitseva absorptiomekanismi alhaisten energioiden alueella - kvantit (£ 100 keV). Valosähköinen vaikutus voi tapahtua vain sidotuissa elektroneissa, koska vapaa elektroni ei voi absorboida -kvanttia, kun taas energian ja liikemäärän säilymisen lait eivät täyty samaan aikaan.

Kun -kvantin energia kasvaa ( » 0,5 MeV), valosähköisen vaikutuksen todennäköisyys on hyvin pieni ja -kvantin ja aineen välinen vuorovaikutuksen päämekanismi on Compton-sironta(katso § 206).

Yli 1,02 MeV = 2 2 ( - elektronin lepomassa) elektroni-positroniparien muodostumisprosessi ytimien sähkökentissä tulee mahdolliseksi. Tämän prosessin todennäköisyys on verrannollinen Z 2 ja kasvaa . Siksi » 10 MeV:ssa missä tahansa aineessa -säteilyn päävuorovaikutusprosessi on elektroni-positroniparien muodostuminen.

Jos -kvantin energia ylittää ytimessä olevien nukleonien sitoutumisenergian (7 - 8 MeV), niin -kvantin absorption seurauksena ydinvoiman valosähköinen vaikutus- yhden nukleonin, useimmiten neutronin, ejektio ytimestä.

-säteilyn suurta läpäisykykyä käytetään gammavirheiden tunnistus- Vikojen havaitsemismenetelmä, joka perustuu säteilyn erilaiseen absorptioon, kun se etenee saman matkan eri väliaineissa. Vikojen (onkalot, halkeamat jne.) sijainnin ja koon määrää läpikuultavan tuotteen eri osien läpi kulkeneen säteilyn intensiteettien ero.

Säteilyn (sekä muun tyyppisen ionisoivan säteilyn) vaikutukselle aineeseen on tunnusomaista ionisoivan säteilyn annos. Ero:

Absorboitunut säteilyannos- fysikaalinen määrä, joka on yhtä suuri kuin säteilyenergian suhde säteilytetyn aineen massaan. Absorboituneen säteilyannoksen yksikkö - harmaa(Gy) (S. Gray (1666-1736) - englantilainen fyysikko): 1 Gy \u003d 1 J / kg - säteilyannos, jolla minkä tahansa ionisoivan säteilyn energia 1 J siirretään säteilytettyyn aineeseen, joka painaa 1 kg.

Altistusannos säteilylle- fysikaalinen määrä, joka on yhtä suuri kuin säteilytettyyn ilmaan vapautuneiden elektronien synnyttämien samanmerkkisten ionien sähkövarausten summan suhde tämän ilman massaan. Säteilyaltistusannoksen yksikkö on riipus kilogrammaa kohti (C/kg); järjestelmän ulkopuolinen yksikkö on röntgenkuvaus(P): 1 P = 2,58 × 10-4 C/kg.

Biologinen annos- arvo, joka määrittää säteilyn vaikutuksen kehoon. Biologisen annoksen yksikkö - röntgenkuvan biologinen vastine(rem): 1 rem on minkä tahansa ionisoivan säteilyn annos, joka tuottaa saman biologisen vaikutuksen kuin röntgen- tai säteilyannos 1 P:ssä (1 rem = 10 -2 J / kg).

Säteilyannosnopeus- arvo, joka on yhtä suuri kuin säteilyannoksen suhde altistusaikaan. Erota: 1) imeytynyt annosnopeus(yksikkö - harmaa sekunnissa (Gy/s)); 2) altistumisannosnopeus(yksikkö - ampeeri per kilogramma (A/kg)).

§ 260. Säteilyn resonanssiabsorptio (Mössbauer-ilmiö)

Kuten jo mainittiin, -säteilyn diskreettispektri johtuu atomiytimien energiatasojen diskreetistä. Kuitenkin, kuten epävarmuussuhteesta (215.5) seuraa, ytimen virittyneiden tilojen energia saa arvot sisällä, missä on ytimen elinikä viritetyssä tilassa. Siksi mitä pienempi, sitä suurempi on viritetyn tilan energian epävarmuus. = 0 vain vakaan ytimen perustilalle (sille ). Kvanttimekaanisen järjestelmän (esimerkiksi atomin), jolla on erilliset energiatasot, energian epävarmuus määrää luonnollisen energiatason leveys (G). Esimerkiksi viritystilan eliniällä 10 -13 s energiatason luonnollinen leveys on noin 10 -2 eV.

Viritetyn tilan energian epävarmuus, joka johtuu ytimen virittyneiden tilojen rajallisesta eliniästä, johtaa ytimen siirtyessä viritetystä tilasta perustilaan säteilevän säteilyn ei-monokromaattisuuteen. Tätä ei-monokromaattisuutta kutsutaan luonnollinen viivan leveys-säteilyä.

-säteilyn kulkiessa aineessa, edellä kuvattujen prosessien (katso kappale 259) (valosähköinen vaikutus, Compton-sironta, elektroni-positroni-parien muodostuminen) lisäksi tulee periaatteessa huomioida myös resonanssivaikutuksia. Jos ydin säteilytetään -kvanteilla energialla, joka on yhtä suuri kuin ytimen viritys- ja maaenergiatilan välinen ero, niin ytimien -säteilyn resonanssiabsorptio: ydin absorboi -kvantin, jonka taajuus on sama kuin ytimen emittoiman -kvantin taajuus ytimen siirtyessä annetusta virittyneestä tilasta perustilaan.

-Kvanttien resonanssiabsorptiota ytimiin pidettiin mahdottomaksi pitkään, koska ytimen siirtyessä virittyneestä tilasta energialla E pääasialliseen (sen energian oletetaan olevan nolla), emittoidun -kvantin energia on hieman pienempi kuin E, johtuen ytimen rekyylistä säteilyprosessissa:

missä on ytimen rekyylin liike-energia. Kun ydin on virittynyt ja se siirtyy perustilasta virittyneeseen tilaan energialla E-kvantin energian täytyy olla hieman suurempi kuin E, eli

missä on rekyylienergia, joka -kvantin on siirrettävä absorboivaan ytimeen.

Siten emissio- ja absorptioviivojen maksimiarvoja siirretään suhteessa toisiinsa arvolla 2 (kuva 344). Käyttämällä liikemäärän säilymislakia, jonka mukaan tarkasteluissa säteily- ja absorptioprosesseissa kvantin ja ytimen momentin on oltava yhtä suuri, saadaan

(260.1)

Esimerkiksi iridium-isotoopin virittyneen tilan energia on 129 keV ja sen elinikä on luokkaa 10 -10 s, joten tason leveys G» 4×10 -5 eV. Säteilyn aikana tältä tasolta rekyylienergia on (260.1) mukaan noin 5 × 10 -2 eV, ts. kolme suuruusluokkaa suurempi kuin tason leveys. Luonnollisesti resonanssiabsorptio ei ole mahdollista tällaisissa olosuhteissa (resonanssiabsorption havaitsemiseksi absorptioviivan on oltava sama kuin emissioviiva). Kokeista seurasi myös, että resonanssiabsorptiota ei havaita vapaissa ytimissä.

-säteilyn resonanssiabsorptio voidaan periaatteessa saada vain kompensoimalla ytimen rekyylistä johtuvaa energiahäviötä. Tämän ongelman ratkaisi vuonna 1958 R. Mössbauer (R. Mössbauer (s. 1929) - saksalainen fyysikko, Nobel-palkinto vuonna 1961). Hän tutki -säteilyn emissiota ja absorptiota ytimissä, jotka sijaitsevat kidehilassa, eli sidotuissa tilassa (kokeet suoritettiin matalissa lämpötiloissa). Tässä tapauksessa liikemäärä ja rekyylienergia eivät siirry yhdelle ytimelle, joka emittoi (absorboi) -kvanttia, vaan koko kidehilaan kokonaisuutena. Koska kiteen massa on paljon suurempi kuin yksittäisen ytimen massa, niin kaavan (260.1) mukaan rekyylistä johtuvat energiahäviöt muuttuvat katoavan pieniksi. Siksi säteilyn emissio- ja absorptioprosessit tapahtuvat käytännössä ilman energiahäviötä (ihanteellisesti elastisia).

Kiinteään kappaleeseen sitoutuneiden atomiytimien -kvanttien elastinen emissio (absorptio), johon ei liity kehon sisäisen energian muutosta, on ns. Mössbauer-ilmiö. Tarkastetuissa olosuhteissa -säteilyn emissio- ja absorptioviivat ovat käytännössä samat ja niillä on hyvin pieni leveys, joka vastaa luonnollista leveyttä G. Mössbauer-ilmiö löydettiin syvälle jäähtyneestä (lämpötilan laskeessa, hilavärähtelyt "jäätyvät") ja myöhemmin yli 20 stabiilista isotoopista (esimerkiksi 57 Fe, 67 Zn jne.).

Mössbauer aseisti kokeellisen fysiikan uudella mittausmenetelmällä ennennäkemättömällä tarkkuudella. Mössbauer-ilmiö mahdollistaa säteilyn energioiden (taajuuksien) mittaamisen suhteellisen tarkasti G/E\u003d 10 -15 ¸ 10 -17, joten monilla tieteen ja teknologian aloilla se voi toimia ohuimpana "työkaluna" erilaisille mittauksille. Tuli mahdolliseksi mitata hienoimpia yksityiskohtia - viivoja, sisäisiä magneetti- ja sähkökenttiä kiinteissä aineissa jne.

Ulkoinen vaikutus (esimerkiksi ydintasojen Zeeman-halkeama tai fotonien energian muutos gravitaatiokentässä liikkuessa) voi johtaa joko absorptiolinjan tai emissiolinjan hyvin pieneen siirtymään, toisin sanoen lyijyä. Mössbauer-ilmiön heikkenemiseen tai katoamiseen. Tämä siirtymä voidaan siten korjata. Samoin laboratoriossa (1960) löydettiin sellainen hienovarainen vaikutus kuin Einsteinin yleisen suhteellisuusteorian ennustama "gravitaatiopunasiirtymä".

Kurssityön selitys on tehty 36 arkin verran. Se sisältää gammafunktioarvojen taulukon joillekin muuttujien arvoille ja ohjelmatekstejä gammafunktion arvojen laskemiseen ja piirtämiseen sekä 2 kuvaa.

Termipaperin kirjoittamiseen käytettiin 7 lähdettä.

Johdanto

Varaa erityinen funktioiden luokka, joka voidaan esittää oikean tai väärän integraalin muodossa, joka ei riipu vain muodollisesta muuttujasta, vaan myös parametrista.

Tällaisia ​​toimintoja kutsutaan parametririippuviksi integraaleiksi. Näitä ovat Eulerin gamma- ja beetafunktiot.

Beta-funktioita edustaa ensimmäisen tyyppinen Euler-integraali:

Gammafunktiota edustaa toisen tyyppinen Euler-integraali:

Gammafunktio on yksi yksinkertaisimmista ja merkittävimmistä erikoisfunktioista, jonka ominaisuuksien tunteminen on välttämätöntä monien muiden erikoisfunktioiden, esimerkiksi sylinterimäisten, hypergeometristen ja muiden, tutkimiseen.

Käyttöönoton ansiosta kykymme integraalien laskennassa laajenevat merkittävästi. Myös niissä tapauksissa, joissa lopullinen kaava ei sisällä muita funktioita kuin alkeisfunktioita, sen saaminen helpottaa silti usein funktion Г käyttöä ainakin välilaskuissa.

Eulerin integraalit ovat hyvin tutkittuja ei-alkeisfunktioita. Ongelma katsotaan ratkaistuksi, jos se pelkistetään Euler-integraalien laskemiseen.

1. Beta-toiminnot minä euler

Beta-funktiot määritetään ensimmäisen tyypin Euler-integraalilla:

=(1.1)

Se edustaa kahden muuttuvan parametrin funktiota

ja: toiminto B. Jos nämä parametrit täyttävät ehdot ja , niin integraali (1.1) on väärä integraali riippuen parametreista ja , ja tämän integraalin yksikköpisteet ovat pisteet ja

Integraali (1.1) konvergoi for

.Olettaen, että saamme: = - =

eli Perustelu

ja syötä symmetrisesti. Ottaen huomioon henkilöllisyyden

meillä olevan integrointikaavan mukaan

Mistä saamme?

=

Kun kokonaisluku b = n, sovelletaan peräkkäin (1.2)

kokonaisluvulle

= m,= n, meillä on

mutta B(1,1) = 1, joten:

Laitamme (1.1)

.Funktion kaaviosta lähtien symmetrinen suoran linjan suhteen

ja vaihdon seurauksena

, saamme

asetus (1.1)

, mistä saamme

jakaa integraali kahdella välillä 0 - 1 ja 1 -

ja soveltamalla substituutiota toiseen integraaliin, saamme

2. Gammafunktio

2.1 Määritelmä

Huutomerkki matemaattisissa teoksissa tarkoittaa yleensä jonkin ei-negatiivisen kokonaisluvun faktoriaalin ottamista:

n! = 1 2 3 ... n.

Tekijäfunktio voidaan kirjoittaa myös rekursiorelaatioksi:

(n+1)! = (n+1) n!.

Tätä suhdetta voidaan harkita paitsi n:n kokonaislukuarvoille.

Harkitse eroyhtälöä

Yksinkertaisesta merkinnästä huolimatta tätä yhtälöä ei voida ratkaista alkeisfunktioissa. Sen ratkaisua kutsutaan gammafunktioksi. Gammafunktio voidaan kirjoittaa sarjana tai integraalina. Gammafunktion globaalien ominaisuuksien tutkimiseen käytetään yleensä integraaliesitystä.

2.2 yhtenäinen esitys

Jatketaan tämän yhtälön ratkaisemiseen. Etsimme ratkaisua Laplace-integraalin muodossa:

Tässä tapauksessa yhtälön (2.1) oikea puoli voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Tämä kaava on voimassa, jos ei-integraalitermille on rajat. Emme tiedä etukäteen kuvan [(G)\tilde](p) käyttäytymistä p®±¥. Oletetaan, että gammafunktion kuva on sellainen, että integraalin ulkopuolella oleva termi on yhtä suuri kuin nolla. Ratkaisun löytymisen jälkeen on tarkistettava, pitääkö oletus ei-integraalitermistä totta, muuten joudumme etsimään G(z):tä jollain muulla tavalla.

Gammasäteily on yksi lyhytaaltoisista sähkömagneettisen säteilyn muodoista. Äärimmäisen lyhyen aallonpituuden vuoksi gammasäteilyllä on korostuneet korpuskulaariset ominaisuudet, kun taas aaltoominaisuudet puuttuvat käytännössä.

Gammalla on voimakas traumaattinen vaikutus eläviin organismeihin, ja samalla sen tunnistaminen aisteilla on täysin mahdotonta.

Se kuuluu ionisoivan säteilyn ryhmään, eli se edistää eri aineiden stabiilien atomien muuntamista ioneiksi, joilla on positiivinen tai negatiivinen varaus. Gammasäteilyn nopeus on verrattavissa valon nopeuteen. Ranskalainen tiedemies Villard löysi aiemmin tuntemattomista säteilyvuoista vuonna 1900.

Nimissä käytettiin kreikkalaisten aakkosten kirjaimia. Säteilyä, joka on sähkömagneettisen säteilyn asteikolla röntgensäteilyn jälkeen, kutsutaan gammaksi - aakkosten kolmanneksi kirjaimeksi.

On ymmärrettävä, että eri säteilytyyppien väliset rajat ovat hyvin mielivaltaisia.

Mikä on gammasäteily

Yritetään tiettyä terminologiaa välttäen ymmärtää, mitä gamma-ionisoiva säteily on. Mikä tahansa aine koostuu atomeista, jotka puolestaan ​​sisältävät ytimen ja elektroneja. Atomi ja varsinkin sen ydin ovat erittäin stabiileja, joten niiden halkeamiseen tarvitaan erityisiä olosuhteita.

Jos nämä olosuhteet jotenkin syntyvät tai saadaan keinotekoisesti, tapahtuu ydinhajoamisprosessi, johon liittyy suuri määrä energiaa ja alkuainehiukkasia.

Sen mukaan, mitä tässä prosessissa tarkalleen vapautuu, säteily jaetaan useisiin tyyppeihin. Alfa-, beeta- ja neutronisäteily erottuu alkuainehiukkasten vapautumisesta, ja röntgen- ja gamma-aktiiviset säteet ovat energiavirtaa.

Vaikka itse asiassa mikä tahansa säteily, mukaan lukien säteily gamma-alueella, on kuin hiukkasvirta. Tämän säteilyn tapauksessa virtaushiukkaset ovat fotoneja tai kvarkeja.

Kvanttifysiikan lakien mukaan mitä lyhyempi aallonpituus, sitä suurempi on säteilykvantin energia.

Koska gammasäteilyn aallonpituus on hyvin pieni, voidaan väittää, että gammasäteilyn energia on erittäin korkea.

Gammasäteilyn syntyminen

Säteilyn lähteitä gamma-alueella ovat erilaisia ​​prosesseja. Universumissa on esineitä, joissa tapahtuu reaktioita. Näiden reaktioiden tulos on kosmista gammasäteilyä.

Tärkeimmät gammasäteiden lähteet ovat kvasaarit ja pulsarit. Ydinreaktioita, joissa vapautuu valtavasti energiaa ja gammasäteitä, tapahtuu myös tähden muuttuessa supernovaksi.

Gamma-sähkömagneettista säteilyä esiintyy erilaisten siirtymien aikana atomielektronikuoren alueella sekä joidenkin alkuaineiden ytimien hajoamisen aikana. Gammasäteiden lähteistä voidaan mainita myös tietty voimakas magneettikenttä, jossa alkuainehiukkasia hidastaa tämän väliaineen vastus.

Gammasäteilyn vaara

Ominaisuuksiensa vuoksi gammasäteilyllä on erittäin korkea läpäisykyky. Sen pysäyttämiseksi tarvitset vähintään viiden senttimetrin paksuisen lyijyseinän.

Elävän olennon iho ja muut suojamekanismit eivät ole este gammasäteilylle. Se tunkeutuu suoraan soluihin ja vaikuttaa tuhoisasti kaikkiin rakenteisiin. Aineen säteilytetyt molekyylit ja atomit itse tulevat säteilyn lähteiksi ja aiheuttavat muiden hiukkasten ionisoitumista.

Tämän prosessin tuloksena joistakin aineista saadaan muita aineita. Ne muodostavat uusia soluja, joilla on erilainen genomi. Tarpeetonta uusien solujen rakentamisessa, vanhojen rakenteiden jäännökset muuttuvat myrkkyiksi keholle.

Säteilysäteiden suurin vaara säteilyannoksen saaneille eläville organismeille on se, että ne eivät pysty aistimaan tämän tappavan aallon läsnäoloa avaruudessa. Ja myös siinä, että elävillä soluilla ei ole erityistä suojaa gamma-ionisoivan säteilyn kantamaa tuhoenergiaa vastaan. Tämäntyyppinen säteily vaikuttaa eniten DNA-molekyylejä kantavien sukusolujen tilaan.

Kehon eri solut käyttäytyvät eri tavalla gammasäteilyssä, ja niillä on vaihteleva vastustuskyky tämän tyyppisen energian vaikutuksille. Toinen gammasäteilyn ominaisuus on kuitenkin kumulatiivinen kyky.

Yksittäinen säteilytys pienellä annoksella ei aiheuta korjaamatonta tuhoisaa vaikutusta elävään soluun. Siksi säteilyä on käytetty tieteessä, lääketieteessä, teollisuudessa ja muilla ihmisen toiminnan aloilla.

Gammasäteiden sovellukset

Jopa tutkijoiden uteliaiden mielien tappavat säteet ovat löytäneet käyttökohteita. Tällä hetkellä gammasäteilyä käytetään eri teollisuudenaloilla, se hyödyttää tiedettä, ja sitä käytetään menestyksekkäästi myös erilaisissa lääketieteellisissä laitteissa.

Kyky muuttaa atomien ja molekyylien rakennetta osoittautui hyödylliseksi hoidettaessa vakavia sairauksia, jotka tuhoavat kehon solutasolla.

Onkologisten kasvainten hoidossa gammasäteet ovat välttämättömiä, koska ne voivat tuhota epänormaalit solut ja pysäyttää niiden nopean jakautumisen. Joskus on mahdotonta pysäyttää syöpäsolujen epänormaalia kasvua, jolloin gammasäteily tulee apuun, jossa solut tuhoutuvat kokonaan.

Gamma-ionisoivaa säteilyä käytetään patogeenisen mikroflooran ja erilaisten mahdollisesti vaarallisten epäpuhtauksien tuhoamiseen. Radioaktiivisissa säteissä lääketieteelliset instrumentit ja laitteet steriloidaan. Tämän tyyppistä säteilyä käytetään myös tiettyjen tuotteiden desinfiointiin.

Gammasäteet paistavat erilaisten avaruus- ja muiden teollisuudenalojen täysmetallituotteiden läpi piilotettujen vikojen havaitsemiseksi. Niillä tuotantoalueilla, joilla tuotteiden laadun äärimmäinen valvonta on välttämätöntä, tämäntyyppinen tarkastus on yksinkertaisesti välttämätöntä.

Gammasäteiden avulla tutkijat mittaavat porauksen syvyyttä, saavat tietoa erilaisten kivien esiintymismahdollisuuksista. Gammasäteitä voidaan käyttää myös jalostuksessa. Tiettyjä valikoituja kasveja säteilytetään tiukasti annostetulla virtauksella haluttujen mutaatioiden saamiseksi niiden genomiin. Näin kasvattajat saavat uusia kasveja, joilla on tarvitsemansa ominaisuudet.

Gammavuon avulla määritetään avaruusalusten ja keinotekoisten satelliittien nopeudet. Lähettämällä säteitä avaruuteen tutkijat voivat määrittää etäisyyden ja mallintaa avaruusaluksen polun.

Suojausmenetelmät

Maapallolla on luonnollinen puolustusmekanismi kosmista säteilyä vastaan, se on otsonikerros ja yläilmakehä.

Ne säteet, jotka valtavilla nopeuksilla tunkeutuvat maan suojattuun tilaan, eivät aiheuta paljon haittaa eläville olennoille. Suurinta vaaraa edustavat lähteet ja maanpäällisissä olosuhteissa saatu gammasäteily.

Säteilysaastumisen tärkein vaaralähde on edelleen yritykset, joissa hallittu ydinreaktio suoritetaan ihmisen valvonnassa. Nämä ovat ydinvoimaloita, joissa tuotetaan energiaa, jotta väestö ja teollisuus saavat valoa ja lämpöä.

Vakavimpia toimenpiteitä toteutetaan näiden tilojen työntekijöiden saamiseksi. Eri puolilla maailmaa tapahtuneet tragediat, jotka johtuivat ihmisen hallinnan menettämisestä ydinreaktioon, opettivat ihmisiä olemaan varovaisia ​​näkymätöntä vihollista kohtaan.

Voimalaitosten työntekijöiden suojelu

Ydinvoimalaitoksilla ja gammasäteilyn käyttöön liittyvillä teollisuudenaloilla kosketusaika säteilyvaaran lähteeseen on tiukasti rajoitettu.

Kaikki työntekijät, joilla on liiketoimintaa, tarvitsevat yhteyttä gammasäteilylähteeseen tai ovat sen lähellä, käyttävät erityisiä suojapukuja ja käyvät läpi useita siivousvaiheita ennen paluutaan "puhtaalle" alueelle.

Tehokkaan suojan gammasäteitä vastaan ​​käytetään lujia materiaaleja. Näitä ovat lyijy, luja betoni, lyijylasi ja tietyt terästyypit. Näitä materiaaleja käytetään voimalaitosten suojapiirien rakentamisessa.

Näistä materiaaleista valmistettuja elementtejä käytetään säteilynestopukujen luomiseen voimalaitosten työntekijöille, joilla on pääsy säteilylähteisiin.

Niin kutsutulla "kuumalla" vyöhykkeellä lyijy ei kestä kuormitusta, koska sen sulamispiste ei ole tarpeeksi korkea. Alueella, jossa lämpöydinreaktio etenee korkeiden lämpötilojen vapautuessa, käytetään kalliita harvinaisia ​​maametalleja, kuten volframia ja tantaalia.

Kaikille gammasäteilyn parissa työskenteleville on saatavilla yksilölliset mittauslaitteet.

Luonnollisen säteilyherkkyyden puutteen vuoksi henkilö voi määrittää annosmittarin avulla, kuinka paljon säteilyä hän sai tietyn ajanjakson aikana.

Annosta, joka ei ylitä 18-20 mikroröntgeeniä tunnissa, pidetään normaalina. Mitään erityisen kauheaa ei tapahdu, kun sitä säteilytetään jopa 100 mikroröntgeenin annoksella. Jos henkilö on saanut tällaisen annoksen, vaikutukset voivat ilmetä kahdessa viikossa.

Saatuaan 600 röntgenin annoksen ihmistä uhkaa kuolema 95 prosentissa tapauksista kahden viikon sisällä. 700 roentgeenin annos on tappava 100 %:ssa tapauksista.

Kaikista säteilytyypeistä gammasäteet ovat vaarallisimpia ihmisille. Valitettavasti säteilykontaminaation todennäköisyys on olemassa kaikille. Jopa ollessaan poissa teollisuuslaitoksista, jotka tuottavat energiaa atomiydintä halkaisemalla, voi altistua säteilyaltistuksen vaaralle.

Historia tietää esimerkkejä tällaisista tragedioista.

abstrakti

Tämän kurssityön tarkoituksena on tutkia Euler Gamma -funktion erityisominaisuuksia. Työn aikana tutkittiin Gamma-funktiota, sen pääominaisuuksia ja laadittiin laskenta-algoritmi vaihtelevalla tarkkuudella. Algoritmi kirjoitettiin korkean tason kielellä - C. Ohjelman tulosta verrataan taulukkoon. Arvoissa ei havaittu poikkeamia.

Kurssityön selitys on tehty 36 arkin verran. Se sisältää gammafunktioarvojen taulukon joillekin muuttujien arvoille ja ohjelmatekstejä gammafunktion arvojen laskemiseen ja piirtämiseen sekä 2 kuvaa.

Termipaperin kirjoittamiseen käytettiin 7 lähdettä.

Johdanto

Varaa erityinen funktioiden luokka, joka voidaan esittää oikean tai väärän integraalin muodossa, joka ei riipu vain muodollisesta muuttujasta, vaan myös parametrista.

Tällaisia ​​toimintoja kutsutaan parametririippuviksi integraaleiksi. Näitä ovat Eulerin gamma- ja beetafunktiot.

Beta-funktioita edustaa ensimmäisen tyyppinen Euler-integraali:

Gammafunktiota edustaa toisen tyyppinen Euler-integraali:

Gammafunktio on yksi yksinkertaisimmista ja merkittävimmistä erikoisfunktioista, jonka ominaisuuksien tunteminen on välttämätöntä monien muiden erikoisfunktioiden, esimerkiksi sylinterimäisten, hypergeometristen ja muiden, tutkimiseen.

Käyttöönoton ansiosta kykymme integraalien laskennassa laajenevat merkittävästi. Myös niissä tapauksissa, joissa lopullinen kaava ei sisällä muita funktioita kuin alkeisfunktioita, sen saaminen helpottaa silti usein funktion Г käyttöä ainakin välilaskuissa.

Eulerin integraalit ovat hyvin tutkittuja ei-alkeisfunktioita. Ongelma katsotaan ratkaistuksi, jos se pelkistetään Euler-integraalien laskemiseen.

1. Beta-toiminnot minä euler

Beta-funktiot määritetään ensimmäisen tyypin Euler-integraalilla:

Se edustaa kahden muuttujaparametrin funktiota ja: funktiota B. Jos nämä parametrit täyttävät ehdot ja , niin integraali (1.1) on väärä integraali riippuen parametreista ja , ja tämän integraalin yksikköpisteet ovat pisteet ja

Integraali (1.1) konvergoi kohdassa . Olettaen, että saamme:

= - =

eli argumentti ja syötä symmetrisesti. Ottaen huomioon henkilöllisyyden

meillä olevan integrointikaavan mukaan

Mistä saamme?

Kun kokonaisluku b = n, sovelletaan peräkkäin (1.2)

kokonaisluvuille = m,= n, meillä on

mutta B(1,1) = 1, joten:

Laitetaan (1.1) .Funktion kaaviosta lähtien symmetrinen suoran linjan suhteen

ja korvaamisen seurauksena saamme

oletetaan (1.1) , mistä saamme

jaetaan integraali kahdella alueella 0-1 ja 1:stä ja sovelletaan substituutiointegraalia toiseen integraaliin, saadaan

2. Gammafunktio

2.1 Määritelmä

Huutomerkki matemaattisissa teoksissa tarkoittaa yleensä jonkin ei-negatiivisen kokonaisluvun faktoriaalin ottamista:

n! = 1 2 3 ... n.

Tekijäfunktio voidaan kirjoittaa myös rekursiorelaatioksi:

(n+1)! = (n+1) n!.

Tätä suhdetta voidaan harkita paitsi n:n kokonaislukuarvoille.

Harkitse eroyhtälöä

Yksinkertaisesta merkinnästä huolimatta tätä yhtälöä ei voida ratkaista alkeisfunktioissa. Sen ratkaisua kutsutaan gammafunktioksi. Gammafunktio voidaan kirjoittaa sarjana tai integraalina. Gammafunktion globaalien ominaisuuksien tutkimiseen käytetään yleensä integraaliesitystä.

2.2 yhtenäinen esitys

Jatketaan tämän yhtälön ratkaisemiseen. Etsimme ratkaisua Laplace-integraalin muodossa:

Tässä tapauksessa yhtälön (2.1) oikea puoli voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Tämä kaava on voimassa, jos ei-integraalitermille on rajat. Emme tiedä etukäteen kuvan [(G)\tilde](p) käyttäytymistä p®±¥. Oletetaan, että gammafunktion kuva on sellainen, että integraalin ulkopuolella oleva termi on yhtä suuri kuin nolla. Ratkaisun löytymisen jälkeen on tarkistettava, pitääkö oletus ei-integraalitermistä totta, muuten joudumme etsimään G(z):tä jollain muulla tavalla.

Yhtälön (2.1) vasen puoli kirjoitetaan seuraavasti:

Tällöin yhtälö (2.1) gammafunktion kuvalle on muotoa:

Tämä yhtälö on helppo ratkaista:

On helppo nähdä, että löydetty funktio [(Γ)\tilde](p) on itse asiassa sellainen, että kaavan (2.2) ei-integraalitermi on yhtä suuri kuin nolla.

Gammafunktion kuvan tuntemalla esikuvalle on helppo saada lauseke:

Tämä on ei-kanoninen kaava, jotta se saadaan Eulerin saamaan muotoon, on tarpeen muuttaa integrointimuuttuja: t = exp(-p), niin integraali saa muodon:

Vakio C valitaan siten, että z:n kokonaislukuarvoille gammafunktio on sama kuin tekijäfunktio: Г(n+1) = n!, sitten:

joten C = 1. Lopuksi saadaan Eulerin kaava gammafunktiolle:

Tämä toiminto on hyvin yleinen matemaattisissa teksteissä. Kun työskentelet erikoistoimintojen kanssa, ehkä jopa useammin kuin huutomerkki.

Voit tarkistaa, että kaavalla (2.3) määritetty funktio todella täyttää yhtälön (2.1) integroimalla tämän kaavan oikealla puolella olevan integraalin osissa:

2.3 Domain ja navat

Integraalin (2.3) integrandissa kohdassa , eksponentti exp( -tz) R( z) > 0 pienenee paljon nopeammin kuin algebrallinen funktio kasvaa t(z-1) . Singulariteetti nollassa on integroitavissa, joten virheellinen integraali kohdassa (2.3) konvergoi absoluuttisesti ja tasaisesti arvolle R (z) > 0. Lisäksi peräkkäisellä differentiaatiolla parametrin suhteen z on helppo varmistaa, että G( z) on holomorfinen funktio R:lle ( z) > 0. Integraaliesityksen (2.3) sopimattomuus R ( z) 0 ei tarkoita, että itse gammafunktio ei olisi siellä määritelty - yhtälön (2.1) ratkaisu.

Tarkastellaan Г(z):n käyttäytymistä nollan ympäristössä. Tätä varten kuvitellaan:

missä on holomorfinen funktio naapurustossa z = 0. Kaavasta (2.1) seuraa:

eli Г(z):llä on ensimmäisen asteen napa kohdassa z = 0.

Se on myös helppo saada:

eli pisteen läheisyydessä funktio Г( z) on myös ensimmäisen asteen napa.

Samalla tavalla saat kaavan:

Tästä kaavasta seuraa, että pisteet z = 0,-1,-2,... ovat gammafunktion yksinkertaisia ​​napoja eikä tällä funktiolla ole muita napoja reaaliakselilla. Jäännös on helppo laskea pisteessä z = -n, n = 0,1,2,...:

2.4 Hankel-esitys silmukkaintegraalin kautta

Selvitä, onko gammafunktiossa nollia. Harkitse toimintoa tehdäksesi tämän

Tämän funktion navat ovat funktion Г(z) nollia.

Erotusyhtälö I( z) on helppo saada käyttämällä lauseketta Г( z):

Lauseke tämän yhtälön ratkaisemiseksi integraalin muodossa voidaan saada samalla tavalla kuin gammafunktion integraalilauseke saatiin - Laplace-muunnoksen avulla. Alla on laskelmat. Kumpikaan ei ole sama kuin kappaleessa 1. Ja  integraali on pisteitä __________________________________________________________________________________

Muuttujien erottamisen jälkeen saamme:

Integroinnin jälkeen saamme:

Laplacen esikuvaan siirtyminen antaa:

Tuloksena olevassa integraalissa teemme muutoksen integrointimuuttujaan:

Sitten

Tässä on tärkeää huomata, että integrandi ei-kokonaislukuarvoille z on haarautumispiste t= 0. Muuttujan kompleksitasolla t Piirretään leikkaus negatiivista todellista puoliakselia pitkin. Esitämme integraalin tätä puoliakselia pitkin tämän jakson yläsivun integraalin summana arvoon 0 ja integraalin 0:sta osan alapuolelle. Jotta integraali ei kulje haarapisteen läpi, järjestämme sen ympärille silmukan.

Kuva 1: Silmukka integraalisessa Hankel-esityksessä.

Tuloksena saamme:

Vakion arvon selvittämiseksi muista, että I(1) = 1, toisaalta:

yhtenäinen esitys

kutsutaan Hankelin esitykseksi silmukan suhteen.

On helppo nähdä, että funktio 1/Γ( z) ei sisällä napoja kompleksitasossa, joten gammafunktiolla ei ole nollia.

Tätä integraaliesitystä käyttämällä voidaan saada kaava gammafunktioiden tulolle. Tätä varten integraalissa teemme muutoksen muuttujaa , sitten:

2.5 Eulerin rajalomake

Gammafunktio voidaan esittää äärettömänä tulona. Tämä voidaan nähdä, jos integraalissa (2.3) edustamme

Sitten gammafunktion integraalinen esitys on:

Tässä kaavassa voimme muuttaa rajoja - integroinnin rajaa väärässä integraalissa ja rajaa integraalin sisällä. Tässä on tulos:

Otetaan tämä integraali osittain:

Jos suoritamme tämän menettelyn n kertaa, saamme:

Ylittäessämme rajan, saamme gammafunktiolle Eulerin rajamuodon:

2.6 Tuotteen kaava

Alla tarvitsemme kaavan, jossa kahden gammafunktion tulo esitetään yhden gammafunktion kautta. Johdetaan tämä kaava käyttämällä gammafunktioiden integraaliesitystä.

Esitämme iteroidun integraalin kaksoisvirheintegraalina. Tämä voidaan tehdä käyttämällä Fubinin lausetta. Tuloksena saamme:

Väärä integraali konvergoi tasaisesti. Sitä voidaan pitää esimerkiksi integraalina kolmion yli, jota rajoittavat koordinaattiakselit ja suora x + y = R kohdassa R. Kaksoisintegraalissa tehdään muuttujien muutos:

Tämän korvaajan Jacobian

Integrointirajat: u muuttuu 0:sta ∞:ksi, v samalla kun vaihdat 0:sta 1:ksi. Tuloksena saamme:

Kirjoitamme tämän integraalin uudelleen toistuvaksi, tuloksena saamme:

missä R s> 0, R v > 0.

2. Gammafunktion derivaatta

Integraali

lähentyy kullekin , koska , ja integraali kohdassa konvergoi.

Alueella, jossa on mielivaltainen positiivinen luku, tämä integraali konvergoi tasaisesti, koska ja voimme soveltaa Weirstrass-testiä. Koko integraali on myös konvergentti kaikille arvoille koska oikealla puolella oleva toinen termi on integraali, joka varmasti suppenee mille tahansa. On helppo nähdä, että integraali konvergoi minkä tahansa alueen yli missä mielivaltaista. Voimassa kaikille määritetyille arvoille ja kaikille , ja siitä lähtien lähentyy, Weierstrassin kriteerin ehdot täyttyvät. Alueella siis kiinteä yhtyy tasaisesti.

Tämä merkitsee gammafunktion jatkuvuutta at. Todistakaamme tämän funktion differentiatiivisuus kohdassa . Huomaa, että funktio on jatkuva ja, ja näytämme, että integraali:

konvergoi tasaisesti jokaisessa segmentissä, . Valitaan numero siten, että ; sitten for . Siksi on olemassa luku sellainen, että ja varten. Mutta sitten epätasa-arvo pätee

ja koska integraali suppenee, integraali suppenee tasaisesti suhteessa . Vastaavasti sillä on olemassa luku, joka on kaikelle epäyhtälölle . Sellaisten ja kaikella mitä saamme , josta vertailukriteerin perusteella seuraa, että integraali suppenee tasaisesti suhteessa . Lopuksi integraali

jossa integrandi on jatkuva alueella

Ilmeisesti lähentyy tasaisesti suhteessa . Siten integraalille

konvergoi tasaisesti, ja näin ollen gammafunktio on äärettömästi differentioituva mille tahansa ja tasa-arvolle

.

Mitä tulee integraaliin, voimme toistaa saman päättelyn ja päätellä, että

Induktiolla todistetaan, että Γ-funktio on äärettömästi differentioituva ja sen i:s derivaatta täyttää yhtälön

Tutkitaanpa nyt käyttäytymisfunktioita ja laaditaan luonnos sen graafista. (Katso liite 1)

-funktion toisen derivaatan lausekkeesta voidaan nähdä, että kaikille . Siksi se kasvaa. Koska , sitten segmentin roolilauseen mukaan derivaatta varten ja for , Eli pienenee monotonisesti ja monotonisesti kasvaa . Edelleen, koska , sitten klo . Sillä , kaavasta seuraa, että varten .

Tasa-arvo , voimassa , voidaan käyttää laajennettaessa -funktiota negatiiviseen arvoon.

Laitetaan siihen . Tämän tasa-arvon oikea puoli on määritelty alkaen (-1,0) . Saamme, että näin jatkettu funktio saa (-1,0) negatiiviset arvot ja at , sekä funktiossa .

Kun olet määritellyt tällä tavalla kohdassa , voimme jatkaa sitä väliin (-2,-1) käyttämällä samaa kaavaa. Tällä aikavälillä jatko on funktio, joka ottaa positiivisia arvoja ja siten, että for ja . Jatkamalla tätä prosessia määrittelemme funktion, jolla on epäjatkuvuuksia kokonaislukupisteissä (Katso liite 1.)

Huomaa jälleen, että integraali

määrittelee Γ-funktion vain positiivisille arvoille, jatkamisen negatiivisiin arvoihin suoritamme muodollisesti pelkistyskaavalla .

4. Joidenkin integraalien laskeminen.

Stirlingin kaava

Sovelletaan gammafunktiota integraalin laskemiseen:

missä m > -1,n > -1. Olettaen, että , meillä on

ja (2.8) perusteella meillä on

Integraalissa

Jos k > -1,n > 0, riittää, että laitetaan

Integraali

Jos s > 0, laajenna sarjassa

=

missä on Riemannin zetta-funktio

Harkitse epätäydellisiä gammafunktioita (prim-funktioita)

eriarvoisuuden sitoma

Laajentumassa, peräkkäin meillä on

Siirrytään Stirlingin kaavan johtamiseen, joka antaa erityisesti likimääräisen arvon n! suurille n:n arvoille harkitse ensin apufunktiota

(4.2)

Jatkuva välillä (-1,) kasvaa monotonisesti arvosta - kun vaihtuu arvosta - ja muuttuu 0:ksi, kun u = 0. Koska

Ja niin derivaatta on jatkuva ja positiivinen koko välissä, täyttää ehdon

Yllä olevasta seuraa, että välille on määritetty käänteisfunktio, joka on jatkuva ja monotonisesti kasvava tällä välillä,

Kääntyminen 0:ksi kohdassa v=0 ja ehdon täyttyminen

Johdamme Stirlingin kaavan tasa-arvosta

olettaen, että meillä on

,

olettaen lopussa, saamme

rajassa ts. klo (katso 4.3)

mistä Stirlingin kaava tulee

joka voidaan ottaa muodossa

missä

riittävän suurille oletuksille

laskenta tehdään logaritmeilla

jos positiivinen kokonaisluku, niin (4.5) muuttuu myös likimääräiseksi kaavaksi kertoimien laskemiseksi suurille n:n arvoille

annamme ilman johtamista tarkemman kaavan

jossa suluissa on ei-konvergoituva sarja.

5. Esimerkkejä integraalien laskemisesta

Laskemiseen tarvitaan kaavoja:

G()

Laske integraalit

KÄYTÄNNÖN OSA

Gammafunktion laskemiseen käytetään sen logaritmin approksimaatiota. Gammafunktion approksimoimiseksi välillä x>0 käytetään seuraavaa kaavaa (kompleksille z):

G(z+1)=(z+g+0,5) z+0,5 exp(-(z+g+0,5))

Tämä kaava on samanlainen kuin Stirlingin approksimaatio, mutta siinä on korjaussarja. Arvoille g=5 ja n=6 tarkistetaan, että virhe ε ei ylitä 2*10 -10 . Lisäksi virhe ei ylitä tätä arvoa koko kompleksitason oikealla puoliskolla: z > 0.

(Todellinen) gammafunktion saamiseksi väliltä x>0 käytetään rekursiivista kaavaa Г(z+1)=zГ(z) ja yllä olevaa approksimaatiota Г(z+1). Lisäksi voidaan nähdä, että gammafunktion logaritmia on kätevämpi approksimoida kuin itse gammafunktiota. Ensinnäkin tämä vaatii vain yhden matemaattisen funktion - logaritmin - kutsumisen, ei kahden - eksponentin ja asteen kutsumista (jälkimmäinen käyttää edelleen logaritmin kutsua), ja toiseksi gammafunktio kasvaa nopeasti suurelle x:lle, ja sen approksimaatio logaritmin avulla poistaa ylivuotoongelmat.

Ln(Г(х) - gammafunktion logaritmin arvioimiseksi - saadaan kaava:

log(G(x))=(x+0.5)log(x+5.5)-(x+5.5)+

log(C 0 (C 1 + C 2 /(x+1) + C 3 / (x+2)+...+C 7 / (x+8))/x)

Kerroin arvot Ck- taulukkotiedot (katso ohjelmasta).

Itse gammafunktio saadaan sen logaritmista ottamalla eksponentti.

Johtopäätös

Gammafunktiot ovat kätevä työkalu joidenkin integraalien laskemiseen, erityisesti moniin integraaleihin, jotka eivät ole esitettävissä alkeisfunktioissa.

Tämän vuoksi niitä käytetään laajalti matematiikassa ja sen sovelluksissa, mekaniikassa, termodynamiikassa ja muilla modernin tieteen aloilla.

Bibliografia

1. Erikoistoiminnot ja niiden sovellukset:

Lebedev I.I., M., Gostekhterioizdat, 1953

2. Matemaattisen analyysin osa 2:

Ilyin O.A., Sadovnichiy V.A., Sendov Bl.Kh., M. "Moskovan yliopisto", 1987

3. Matemaattisen analyysin ongelmakokoelma:

Demidovich B.P., M., Nauka, 1966

4. Integraalit ja sarja erikoistoimintoja:

Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., M., Nauka, 1983

5. Erikoisominaisuudet:

Kuznetsov, M. "Lukio", 1965

6. Asymptotiikka ja erikoisfunktiot

F. Olver, M., Nauka, 1990.

7. Hirviöeläintarha tai esittely erikoisominaisuuksiin

O.M. Kiselev,

SOVELLUKSET

Liite 1 - Reaalimuuttujan gammafunktion kuvaaja

Liite 2 - Gammafunktion kuvaaja

Taulukko - taulukko gammafunktion arvoista joillekin argumentin arvoille.

Liite 3 on ohjelmaluettelo, joka piirtää gammafunktioarvojen taulukon joillekin argumenttiarvoille.

Liite 4 - luettelo ohjelmasta, joka piirtää gammafunktion kaavion

Abstrakti................................................. ...................................................3

Johdanto .................................................. ...................................................... neljä

Teoreettinen osa……………………………………………………….5

Eulerin beetafunktio………………………………………………….5

Gamma-toiminto................................................ ................................................... kahdeksan

2.1. Määritelmä……………………………………………………8

2.2. Integroitu esitys…………………………………8

2.3. Määritelmäalue ja navat……………………………..10

2.4. Hankel-esitys silmukkaintegraalina………..10

2.5. Eulerin rajalomake………………………………………12

2.6. Tuotteen kaava…………………………………..13

Gammafunktion johdannainen ................................................ .............. ......... viisitoista

Integraalien laskeminen. Stirlingin kaava................................18

Esimerkkejä integraalien laskemisesta .................................................. ..................................23

Käytännön osa……………………………………………………….24

Johtopäätös................................................ ..............................................25

Viitteet…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Hakemukset…………………………………………………………………..27

LIITE 1

Reaalimuuttujan gammafunktion kuvaaja

LIITE 2

Gammafunktion kuvaaja

PÖYTÄ

X	g(x)

LIITE 3

#sisältää

#sisältää

#sisältää

#sisältää

#sisältää

staattinen double cof=(

2.5066282746310005,

1.0000000000190015,

76.18009172947146,

86.50532032941677,

24.01409824083091,

1.231739572450155,

0.1208650973866179e-2,

0.5395239384953e-5,

double GammLn(double x) (

lg1=log(cof*(cof+cof/(x+1)+cof/(x+2)+cof/(x+3)+cof/(x+4)+cof/(x+5)+cof /(x+6))/x);

lg=(x+0,5)*log(x+5,5)-(x+5,5)+lg1;

double Gamma(double x) (

return(exp(GammLn(x)));

cout<<"vvedite x";

printf("\n\t\t\t| x |Gamma(x) |");

printf("\n\t\t\t___________________________________________");

for(i=1;i<=8;i++)

x = x[i]+0,5;

g[i] = Gamma(x[i]);

printf("\n\t\t\t| %f | %f |",x[i],g[i]);

printf("\n\t\t\t___________________________________________");

printf("\n Dlia vuhoda iz programmu najmite lybyiy klavishy");

LIITE 4

#sisältää

#sisältää

#sisältää

#sisältää

double gam (double x, double eps)

Int I, j, n, nb;

Double dze=(1,6449340668422643647,

1.20205690315959428540,

1.08232323371113819152,

1.03692775514336992633,

1.01734306198444913971};

Double a = x, y, fc = 1,0, s, s1, b;

Printf("Annoit vääriä tietoja, yritä uudelleen\n"); paluu -1,0;

Jos(a==0) palauttaa fc;

For(i=0;i<5;i++)

S=s+b*dze[i]/(i+2,0);

Nb=exp((i.0/6.0)*(7.0*log(a)-log(42/0)-log(eps)))+I;

For(n=1;n<=nb;n++)

For(j=0; j<5; j++)

Si=si+b/(j+1,0);

S=s+si-log(1,0+a/n);

Double dx, dy, xfrom=0,xto=4, yto=5, h, maxy, mini;

Int n=100, I, gdriver=DETECT, gmode, X0, YN0, X, Y, Y0,pr=0;

Initgraph(&gdriver,&gmode, " ");

YN0=getmaxy()-20;

Line(30, getmaxy()-10,30,30);

Line(20, getmaxy()-30, getmaxx()-20, getmaxy()-30);

)kun taas (Y>30);

) kun taas (X<700);

) kun taas (X<=620);

)kun taas (y>=30);

X = 30 + 150,0 * 0,1845;

For9i=1;i

Dy=gam(dx,1e-3);

X = 30+(600/0*i)/n;

Jos(Y<30) continue;

X=30+150,0*308523;

rivi(30,30,30,10);

Rivi(620,450,640,450);

rivi(30,10,25,15);

rivi(30,10,25,15);

Rivi(640,450,635,445);

Rivi(640,450,635,455);

Rivi(170,445,170,455);

Rivi(320,445,320,455);

Rivi(470,445,470,455);

Rivi(620,445,620,455);

rivi(25,366,35,366);

rivi(25,282,35,282);

Rivi(25,114,35,114);

Rivi(25,30,35,30);

Outtexty(20,465"0");

Outtexty(165,465; "1";

Outtexty(315,465; "2";

Outtexty(465,465; "3";

Outtexty(615,465; "4";

Outtexty(630,465; "x";

Outtexty(15,364; "1";

Outtexty(15 280, "2";

Outtexty(15,196; "3";

Outtexty(15,112, "4";

Outtexty(15;30; "5";