Odotettu arvo

Dispersio Jatkuva satunnaismuuttuja X, jonka mahdolliset arvot kuuluvat koko akselille Ox, määräytyy yhtälöllä:

Palvelutehtävä. Online-laskin on suunniteltu ratkaisemaan ongelmia, joissa joko jakautumistiheys f(x) tai jakaumafunktio F(x) (katso esimerkki). Yleensä tällaisissa tehtävissä on löydettävä matemaattinen odotus, keskihajonta, piirrä funktiot f(x) ja F(x).

Ohje. Valitse syötetietojen tyyppi: jakautumistiheys f(x) tai jakautumistiheys F(x) .

Annettu jakautumistiheys f(x) Annettu jakautumistiheys F(x)

Jakauman tiheys f(x) on annettu:

Jakaumafunktio F(x) on annettu:

Jatkuva satunnaismuuttuja määritellään todennäköisyystiheydellä
(Rayleigh'n jakelulaki - käytetään radiotekniikassa). Etsi M(x) , D(x) .

Satunnaismuuttujaa X kutsutaan jatkuva , jos sen jakaumafunktio F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Jatkuvan satunnaismuuttujan jakaumafunktiolla lasketaan todennäköisyydet, että satunnaismuuttuja putoaa tiettyyn väliin:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Lisäksi jatkuvalle satunnaismuuttujalle ei ole väliä, sisällytetäänkö sen rajat tähän väliin vai eivät:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Jakauman tiheys jatkuvaa satunnaismuuttujaa kutsutaan funktioksi
f(x)=F'(x) , jakaumafunktion derivaatta.

Jakauman tiheyden ominaisuudet

1. Satunnaismuuttujan jakautumistiheys on ei-negatiivinen (f(x) ≥ 0) kaikille x:n arvoille.
2. Normalisointitila:

Normalisointiehdon geometrinen merkitys: jakautumistiheyskäyrän alla oleva pinta-ala on yhtä suuri kuin yksi.
3. Todennäköisyys osua satunnaismuuttujaan X välillä α - β voidaan laskea kaavalla

Geometrisesti todennäköisyys, että jatkuva satunnaismuuttuja X putoaa väliin (α, β), on sama kuin kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala jakautumistiheyskäyrän alla tämän intervallin perusteella.
4. Jakaumafunktio ilmaistaan ​​tiheydellä seuraavasti:

Jakauman tiheysarvo pisteessä x ei ole yhtä suuri kuin tämän arvon ottamisen todennäköisyys, jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa voidaan puhua vain todennäköisyydestä putoaa tiettyyn väliin. Anna (4)

missä a ja b ei välttämättä rajallinen. Esimerkiksi kaasumolekyylin nopeusvektorin moduulille VО makaa koko mahdollisten arvojen alueella, ts. x O [ x,x+ D x] O [ a, b] (5)

Sitten todennäköisyys D W(x, D x) osumia x välissä (5) on yhtä suuri kuin

Tässä N on mittausten kokonaismäärä x, ja D n(x, D x) on väliin (5) osuvien tulosten määrä.

Todennäköisyys D W riippuu luonnollisesti kahdesta argumentista: x– intervallin paikat sisällä [ a, b] ja D x on sen pituus (oletetaan, vaikka se ei ole ollenkaan välttämätöntä, että D x> 0). Esimerkiksi todennäköisyys saada tarkka arvo x, toisin sanoen osumisen todennäköisyys x nollapituusväliin on mahdottoman tapahtuman todennäköisyys ja on siksi yhtä kuin nolla: D W(x, 0) = 0

Toisaalta arvon saamisen todennäköisyys x jossain (ei väliä missä) koko ajanjakson aikana [ a, b] on tietyn tapahtuman todennäköisyys (aina tapahtuu jotain) ja on siksi yhtä suuri kuin yksi (oletetaan, että b > a):D W(a, b – a) = 1.

Anna D x muutama. Riittävän pienuuden kriteeri riippuu todennäköisyysjakauman D kuvaaman järjestelmän erityisominaisuuksista W(x, D x). Jos D x pieni, sitten funktio D W(x, D x) voidaan laajentaa D:n potenssien sarjassa x:

Jos piirretään riippuvuusgraafi D W(x, D x) toisesta väitteestä D x, jolloin tarkan riippuvuuden korvaaminen likimääräisellä lausekkeella (7) tarkoittaa tarkan käyrän korvaamista (pienellä alueella) paraabelipalalla (7).

Kohdassa (7) ensimmäinen termi on täsmälleen nolla, kolmas ja sitä seuraavat termit, jos D on riittävän pieni, x voidaan jättää pois. Johdatus notaatioon

antaa tärkeän tuloksen D W(x, D x) » r( x) D x (8)

Suhde (8), joka on tarkempi, mitä pienempi D x tarkoittaa, että lyhyellä aikavälillä todennäköisyys putoaa tähän väliin on verrannollinen sen pituuteen.

Voit silti siirtyä pienestä, mutta lopullisesta D:stä x muodollisesti äärettömään pieneen dx, korvaamalla samanaikaisesti D W(x, D x) päällä dW(x). Sitten likimääräinen yhtälö (8) muuttuu tarkaksi yhtälöksi dW(x) = r( x)· dx(9)

Suhteellisuuskerroin r( x) on yksinkertainen merkitys. Kuten kohdista (8) ja (9) voidaan nähdä, r( x) on numeerisesti yhtä suuri kuin osumistodennäköisyys x yksikköpituuden väliin. Siksi yksi funktion nimistä r( x) on muuttujan todennäköisyysjakauman tiheys x.

Funktio r( x) sisältää kaikki tiedot siitä, miten todennäköisyys dW(x) osumia x tietyn pituuden välissä dx riippuu tämän intervallin sijainnista, ts. se näyttää kuinka todennäköisyys jakautuu x. Siksi funktio r( x) kutsutaan yleisesti muuttujan jakaumafunktioksi x ja siten tämän fyysisen järjestelmän jakaumafunktio sen tilojen spektrin kuvaamiseksi, joissa muuttuja on otettu käyttöön x. Termejä "todennäköisyystiheys" ja "jakaumafunktio" käytetään vaihtokelpoisesti tilastollisessa fysiikassa.

Voidaan harkita todennäköisyyden (6) ja jakaumafunktion (9) määritelmän yleistämistä esimerkiksi kolmen muuttujan tapaukselle. Yleistys sattumanvaraisen suuren muuttujamäärän tapaukseen suoritetaan täsmälleen samalla tavalla.

Olkoon ajassa satunnaisesti vaihtelevan fyysisen järjestelmän tila kolmen muuttujan arvojen perusteella x, y ja z jatkuvalla spektrillä:

x O [ a, b]

y O [ c, d]

z O [ e, f] (10)

missä a, b,…, f, kuten ennenkin, eivät välttämättä ole rajallisia. Muuttujat x, y ja z voivat olla esimerkiksi kaasumolekyylin massakeskuksen koordinaatit, sen nopeusvektorin komponentit x YU Vx, y YU V v ja z YU Vz tai impulssi jne. Tapahtumalla tarkoitetaan kaikkien kolmen muuttujan samanaikaista esiintymistä D-pituisissa intervalleissa x, D y ja D z vastaavasti, eli:

x O [ x, x+ D x]

y O [ y, y+ D y]

z O [ z, z+ D z] (11)

Tapahtuman (11) todennäköisyys voidaan määrittää samalla tavalla kuin (6)

sillä erolla, että nyt D n– mittausten määrä x, y ja z, jonka tulokset tyydyttävät samanaikaisesti suhteita (11). Käyttämällä sarjalaajennusta, joka on samanlainen kuin (7), saadaan

dW(x, y, z) = r( x, y, z)· dx dy dz(13)

missä r( x, y, z) on jakaumafunktio kolmelle muuttujalle kerralla x, y ja z.

Matemaattisessa todennäköisyysteoriassa termiä "jakaumafunktio" käytetään merkitsemään suuruutta, joka on eri kuin r( x), nimittäin: olkoon x jokin satunnaismuuttujan arvo x. Funktio Ф(x), joka antaa todennäköisyyden, että x saa arvon, joka ei ole suurempi kuin x, ja sitä kutsutaan jakautumisfunktioksi. Funktioilla r ja Ф on eri merkitys, mutta ne liittyvät toisiinsa. Todennäköisyyslisäyslauseen avulla saadaan (tässä a on mahdollisten arvojen alueen vasen pää x (cm. TODENNÄKÖISYYSTEORIA: , (14) mistä

Käyttämällä likimääräistä relaatiota (8) saadaan D W(x, D x) » r( x) D x.

Vertailu täsmälliseen lausekkeeseen (15) osoittaa, että (8):n käyttö vastaa integraalin korvaamista kohdassa (16) integrandin r() tulolla. x) integrointivälin D pituudella x:

Relaatio (17) on tarkka, jos r = konst siksi virhe korvattaessa (16) arvolla (17) on pieni, kun integrandi muuttuu hieman integrointivälin D pituudella x.

Voit syöttää D x eff on sen välin pituus, jolla jakaumafunktio r( x) muuttuu merkittävästi, ts. itse funktion järjestyksen arvolla tai suurella Dr eff modulo tilaus r. Lagrangen kaavaa käyttämällä voimme kirjoittaa:

mistä seuraa, että D x eff mille tahansa funktiolle r

Jakaumafunktiota voidaan pitää "melkein vakiona" argumentin tietyllä muutosvälillä, jos sen inkrementti |Dr| tällä välillä absoluuttinen arvo on paljon pienempi kuin itse funktio tämän välin kohdissa. Vaatimus |Dr| eff| ~ r (jakaumafunktio r і 0) antaa

D x x eff (20)

integrointivälin pituuden tulee olla pieni verrattuna siihen, jossa integrandi muuttuu merkittävästi. Kuva on kuva. yksi.

(17):n vasemmalla puolella oleva integraali on yhtä suuri kuin käyrän alla oleva pinta-ala. Kohdan (17) oikealla puolella oleva tuote on kuvassa varjostetun alueen alue. 1 sarake. Vastaavien alueiden välisen eron pienuuden kriteerinä on epätasa-arvon täyttyminen (20). Tämä voidaan varmistaa korvaamalla integraaliin (17) funktion r( x) valtuuksien sarjassa

Vaatimus, että korjausta ((21):n oikealla puolella olevaa toista termiä verrataan ensimmäiseen pieneen, antaa epäyhtälön (20) D:n kanssa x eff alkaen (19).

Esimerkkejä useista jakautumisfunktioista, joilla on tärkeä rooli tilastollisessa fysiikassa.

Maxwell-jakauma molekyylin nopeusvektorin projektiosta tiettyyn suuntaan (esim. tämä on akselin suunta HÄRKÄ).

Tässä m on kaasumolekyylin massa, T- sen lämpötila k on Boltzmannin vakio.

Maxwell-jakauma nopeusvektorin moduulille:

Maxwell-jakauma molekyylien translaatioliikkeen energialle e = mV 2/2

Boltzmann-jakauma, tarkemmin sanottuna ns barometrinen kaava, joka määrittää molekyylien pitoisuuden tai ilmanpaineen jakautumisen korkeudessa h jostain "nollatasosta" olettaen, että ilman lämpötila ei riipu korkeudesta (isoterminen ilmakehän malli). Itse asiassa ilmakehän alempien kerrosten lämpötila laskee huomattavasti korkeuden kasvaessa.

Satunnaismuuttujien ja niiden muuttujien jakaumafunktioiden löytämiseksi on tarpeen tutkia kaikkia tämän tietokentän piirteitä. Kyseisten arvojen löytämiseen on useita erilaisia ​​tapoja, mukaan lukien muuttujan muuttaminen ja hetken generointi. Jakauma on käsite, joka perustuu sellaisiin elementteihin kuin dispersio, variaatiot. Ne kuvaavat kuitenkin vain sironta-alueen astetta.

Satunnaismuuttujien tärkeämpiä funktioita ovat ne, jotka liittyvät toisiinsa ja ovat riippumattomia ja jakautuneet tasaisesti. Esimerkiksi, jos X1 on satunnaisesti valitun yksilön paino miespopulaatiosta, X2 on toisen paino, ... ja Xn on toisen henkilön paino miespopulaatiosta, meidän on tiedettävä, kuinka satunnaisfunktio X on hajautettu. Tässä tapauksessa pätee klassinen lause, jota kutsutaan keskusrajalauseeksi. Sen avulla voimme osoittaa, että suurella n:llä funktio seuraa standardijakaumia.

Yhden satunnaismuuttujan funktiot

Keskirajalause on suunniteltu approksimoimaan kyseessä olevia diskreettejä arvoja, kuten binomiaalia ja Poissonia. Satunnaismuuttujien jakautumisfunktioita tarkastellaan ensinnäkin yhden muuttujan yksinkertaisilla arvoilla. Esimerkiksi jos X on jatkuva satunnaismuuttuja, jolla on oma todennäköisyysjakauma. Tässä tapauksessa tutkimme kuinka löytää Y:n tiheysfunktio käyttämällä kahta eri lähestymistapaa, nimittäin jakaumafunktiomenetelmää ja muuttujan muutosta. Ensinnäkin vain yksi-yhteen arvot otetaan huomioon. Sitten sinun on muutettava muuttujan muuttamistekniikkaa sen todennäköisyyden selvittämiseksi. Lopuksi on opittava, kuinka kumulatiivinen jakauma voi auttaa mallintamaan satunnaislukuja, jotka noudattavat tiettyjä peräkkäisiä kaavoja.

Tarkastettujen arvojen jakautumismenetelmä

Satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumafunktion menetelmää voidaan soveltaa sen tiheyden löytämiseen. Tätä menetelmää käytettäessä lasketaan kumulatiivinen arvo. Sitten erottamalla sen saat todennäköisyystiheyden. Nyt kun meillä on jakelufunktiomenetelmä, voimme tarkastella vielä muutamia esimerkkejä. Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jolla on tietty todennäköisyystiheys.

Mikä on x2:n todennäköisyystiheysfunktio? Jos katsot tai piirrät funktiota (ylhäällä ja oikealla) y \u003d x2, voit huomata, että se on kasvava X ja 0

Viimeisessä esimerkissä kumulatiiviset funktiot ja todennäköisyystiheys indeksoitiin erittäin huolellisesti joko X:llä tai Y:llä osoittamaan, mihin satunnaismuuttujaan ne kuuluivat. Esimerkiksi kun etsitään kumulatiivista jakaumafunktiota Y, saimme X. Jos haluat löytää satunnaismuuttujan X ja sen tiheyden, sinun tarvitsee vain erottaa se.

Muuttujien tekniikan muuttaminen

Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka antaa jakaumafunktio, jolla on yhteinen nimittäjä f(x). Tässä tapauksessa, jos laitat y:n arvon X = v (Y), saat x:n arvon, esimerkiksi v (y). Nyt meidän on saatava jatkuvan satunnaismuuttujan Y jakaumafunktio. Missä ensimmäinen ja toinen yhtälö esiintyvät kumulatiivisen Y:n määritelmästä. Kolmas yhtälö pätee, koska funktion osa, jolle u (X) ≤ y on myös totta, että X ≤ v (Y ). Ja jälkimmäinen tehdään jatkuvan satunnaismuuttujan X todennäköisyyden määrittämiseksi. Nyt meidän on otettava FY (y) derivaatta, Y:n kumulatiivinen jakaumafunktio, jotta saadaan Y:n todennäköisyystiheys.

Yleistys vähennysfunktiolle

Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jolla on yhteinen f(x) määritettynä c1:n kohdalla

Tämän ongelman ratkaisemiseksi voidaan kerätä kvantitatiivisia tietoja ja käyttää empiiristä kumulatiivista jakaumafunktiota. Näillä tiedoilla ja niihin vetoamalla sinun on yhdistettävä keinonäytteet, keskihajonnat, mediatiedot ja niin edelleen.

Samoin jopa melko yksinkertaisella todennäköisyysmallilla voi olla valtava määrä tuloksia. Jos esimerkiksi käännät kolikon 332 kertaa. Tällöin käännöksistä saatujen tulosten määrä on suurempi kuin googlella (10100) - luku, mutta vähintään 100 kvintiljoona kertaa suurempi kuin tunnetun universumin alkuainehiukkaset. En ole kiinnostunut analyysistä, joka antaa vastauksen kaikkiin mahdollisiin tuloksiin. Tarvittaisiin yksinkertaisempi käsite, kuten päiden lukumäärä tai pisin hännän lyönti. Jos haluat keskittyä kiinnostaviin asioihin, hyväksytään tietty tulos. Määritelmä tässä tapauksessa on seuraava: satunnaismuuttuja on reaalifunktio, jolla on todennäköisyysavaruus.

Satunnaismuuttujan aluetta S kutsutaan joskus tilaavaruudeksi. Jos X on siis kyseessä oleva arvo, niin N = X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc ja niin edelleen. Näistä viimeistä, joka pyöristää X lähimpään kokonaislukuun, kutsutaan kerrosfunktioksi.

Jakelutoiminnot

Kun satunnaismuuttujan x kiinnostava jakautumisfunktio on määritetty, kysytään yleensä: "Millä todennäköisyyksillä X osuu johonkin B:n arvojen osajoukkoon?". Esimerkiksi B = (parittomat luvut), B = (suurempi kuin 1) tai B = (välillä 2 ja 7) osoittamaan tuloksia, joilla on X, satunnaismuuttujan arvo, osajoukossa A. Näin yllä olevassa Esimerkiksi, voit kuvata tapahtumia seuraavasti.

(X on pariton luku), (X on suurempi kuin 1) = (X > 1), (X on välillä 2 ja 7) = (2

Satunnaismuuttujat ja jakaumafunktiot

Näin ollen on mahdollista laskea todennäköisyys, että satunnaismuuttujan x jakaumafunktio ottaa arvoja väliltä vähentämällä. Päätepisteiden sisällyttämistä tai poissulkemista on harkittava.

Kutsumme satunnaismuuttujaa diskreetiksi, jos sillä on äärellinen tai laskettavasti ääretön tila-avaruus. Siten X on päiden lukumäärä kolmella riippumattomalla vinoutuneella kolikolla, joka nousee todennäköisyydellä p. Meidän on löydettävä diskreetin satunnaismuuttujan FX kumulatiivinen jakautumisfunktio X:lle. Olkoon X huippujen lukumäärä kolmen kortin joukossa. Sitten Y = X3 FX:n kautta. FX alkaa 0:sta, päättyy 1:een eikä pienene x-arvojen kasvaessa. Diskreetin satunnaismuuttujan X kumulatiivinen FX-jakaumafunktio on vakio, lukuun ottamatta hyppyjä. Hyppääessä FX on jatkuva. Määritelmän avulla on mahdollista todistaa väite jakaumafunktion oikeasta jatkuvuudesta todennäköisyysominaisuudesta. Se kuulostaa tältä: vakiolla satunnaismuuttujalla on kumulatiivinen FX, joka on differentioituva.

Osoittaaksemme, kuinka tämä voi tapahtua, voimme antaa esimerkin: kohde, jolla on yksikkösäde. Oletettavasti. tikka on jakautunut tasaisesti määritetylle alueelle. Joillekin λ> 0. Näin ollen jatkuvien satunnaismuuttujien jakaumafunktiot kasvavat tasaisesti. FX:llä on jakelufunktion ominaisuudet.

Mies odottaa bussipysäkillä, kunnes bussi saapuu. Päätettyään itse kieltäytyä, kun odotusaika on 20 minuuttia. Tästä on löydettävä kumulatiivinen jakautumisfunktio T:lle. Aika, jolloin henkilö on vielä linja-autoasemalla tai ei lähde. Huolimatta siitä, että kumulatiivinen jakaumafunktio on määritelty kullekin satunnaismuuttujalle. Muut ominaisuudet ovat kuitenkin käytössä melko usein: diskreetin muuttujan massa ja satunnaismuuttujan jakautumistiheysfunktio. Yleensä arvo tulostetaan jommankumman näistä arvoista.

Joukkotoiminnot

Nämä arvot otetaan huomioon seuraavilla ominaisuuksilla, jotka ovat luonteeltaan yleisiä (massa). Ensimmäinen perustuu siihen, että todennäköisyydet eivät ole negatiivisia. Toinen seuraa havainnosta, että joukko kaikille x=2S, tila-avaruus X:lle, muodostaa osion X:n todennäköisyysvapaudesta. Esimerkki: heitetään vino kolikko, jonka tulokset ovat riippumattomia. Voit jatkaa tiettyjen toimien suorittamista, kunnes saat päänheiton. Olkoon X satunnaismuuttuja, joka antaa ensimmäisen pään edessä olevien häntien lukumäärän. Ja p tarkoittaa todennäköisyyttä missä tahansa tietyssä toiminnassa.

Massatodennäköisyysfunktiolla on siis seuraavat ominaispiirteet. Koska termit muodostavat numeerisen sekvenssin, X:ää kutsutaan geometriseksi satunnaismuuttujaksi. Geometrinen kaavio c, cr, cr2,. , crn:llä on summa. Ja siksi sn:n raja on n 1. Tässä tapauksessa rajana on ääretön summa.

Yllä oleva massafunktio muodostaa geometrisen sekvenssin, jossa on suhde. Siksi luonnolliset luvut a ja b. Jakaumafunktion arvojen ero on yhtä suuri kuin massafunktion arvo.

Tarkasteltavana olevilla tiheysarvoilla on seuraava määritelmä: X on satunnaismuuttuja, jonka jakaumalla FX on derivaatta. FX, joka täyttää Z xFX (x) = fX (t) dt-1, kutsutaan todennäköisyystiheysfunktioksi. Ja X:ää kutsutaan jatkuvaksi satunnaismuuttujaksi. Laskennan peruslauseessa tiheysfunktio on jakauman derivaatta. Voit laskea todennäköisyyksiä laskemalla määrällisiä integraaleja.

Koska tietoja kerätään useista havainnoista, kokeellisten menettelyjen mallintamiseksi on otettava huomioon useampi kuin yksi satunnaismuuttuja kerrallaan. Siksi näiden arvojen joukko ja niiden yhteinen jakautuminen kahdelle muuttujalle X1 ja X2 tarkoittaa tapahtumien katselua. Diskreeteille satunnaismuuttujille määritetään yhteiset todennäköisyysmassafunktiot. Jatkuville otetaan huomioon fX1, X2, joissa yhteistodennäköisyystiheys täyttyy.

Riippumattomat satunnaismuuttujat

Kaksi satunnaismuuttujaa X1 ja X2 ovat riippumattomia, jos mitkä tahansa kaksi niihin liittyvää tapahtumaa ovat samat. Todennäköisyys, että kaksi tapahtumaa (X1 2 B1) ja (X2 2 B2) tapahtuu samanaikaisesti, y, on sanoin yhtä suuri kuin yllä olevien muuttujien tulo, että kukin niistä tapahtuu erikseen. Riippumattomille diskreeteille satunnaismuuttujille on olemassa yhteinen todennäköisyysfunktio, joka on ionien rajoittavan tilavuuden tulo. Jatkuville satunnaismuuttujille, jotka ovat riippumattomia, yhteinen todennäköisyystiheysfunktio on marginaalitiheysarvojen tulo. Lopuksi tarkastellaan n itsenäistä havaintoa x1, x2. , xn, joka johtuu tuntemattomasta tiheys- tai massafunktiosta f. Esimerkiksi tuntematon parametri funktioissa eksponentiaaliselle satunnaismuuttujalle, joka kuvaa väylän odotusaikaa.

Satunnaismuuttujien simulointi

Tämän teoreettisen alan päätavoitteena on tarjota työkalut, joita tarvitaan tilastotieteen perusperiaatteisiin perustuvien päättelymenetelmien kehittämiseen. Siten yksi erittäin tärkeä ohjelmiston käyttötapaus on kyky tuottaa pseudodataa todellisen tiedon jäljittelemiseksi. Tämä mahdollistaa analyysimenetelmien testaamisen ja parantamisen ennen kuin niitä joudutaan käyttämään oikeissa tietokannoissa. Tämä on tarpeen tietojen ominaisuuksien tutkimiseksi mallinnuksen avulla. Monille yleisesti käytetyille satunnaismuuttujien perheille R tarjoaa komennot niiden luomiseksi. Muissa olosuhteissa tarvitaan menetelmiä itsenäisten satunnaismuuttujien sarjan mallintamiseksi, joilla on yhteinen jakauma.

Diskreetit satunnaismuuttujat ja esimerkkikomento. Sample-komentoa käytetään luomaan yksinkertaisia ​​ja kerrostettuja satunnaisotoksia. Tämän seurauksena, jos sekvenssi x syötetään, näyte(x, 40) valitsee 40 tietuetta x:stä siten, että kaikilla koon 40 valinnoilla on sama todennäköisyys. Tämä käyttää oletusarvoista R-komentoa hakemiseen ilman korvaamista. Voidaan käyttää myös diskreettien satunnaismuuttujien mallintamiseen. Tätä varten sinun on annettava tila-avaruus vektoriin x ja massafunktioon f. Kutsu korvaamaan = TOSI osoittaa, että näytteenotto tapahtuu korvaamisen yhteydessä. Sitten n riippumattoman satunnaismuuttujan otoksen saamiseksi, joilla on yhteinen massafunktio f, käytetään näytettä (x, n, korvaa = TOSI, todennäköisyys = f).

Määritetään, että 1 on pienin esitetty arvo ja 4 on suurin kaikista. Jos komento prob = f jätetään pois, näyte ottaa tasaisesti näytteen vektorin x arvoista. Voit tarkistaa simulaation datan tuottaneeseen massafunktioon katsomalla kaksoissuuruusmerkkiä ==. Ja laskemalla uudelleen havainnot, jotka ottavat x:n kaikki mahdolliset arvot. Voit tehdä pöydän. Toista tämä 1000:lle ja vertaa simulaatiota vastaavaan massafunktioon.

Todennäköisyysmuunnoksen kuvaaminen

Simuloi ensin satunnaismuuttujien u1, u2, homogeeniset jakaumafunktiot. , un välissä . Noin 10 % luvuista tulee olla sisällä. Tämä vastaa 10 %:n simulaatioita satunnaismuuttujan aikavälillä FX-jakaumafunktiolla. Samoin noin 10 % satunnaisluvuista tulisi olla välissä . Tämä vastaa 10 % simulaatioita satunnaismuuttujavälillä jakaumafunktiolla FX. Nämä arvot x-akselilla saadaan ottamalla käänteisarvo FX:stä. Jos X on jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheys fX on positiivinen kaikkialla alueellaan, niin jakaumafunktio on tiukasti kasvava. Tässä tapauksessa FX:llä on käänteinen FX-1-funktio, joka tunnetaan nimellä kvantiilifunktio. FX (x) u vain, kun x FX-1 (u). Todennäköisyysmuunnos seuraa satunnaismuuttujan U = FX(X) analyysistä.

FX:n alue on 0-1. Se ei voi ottaa arvoja alle 0 tai yli 1. Arvoille u välillä 0 ja 1. Jos U voidaan mallintaa, on tarpeen simuloida satunnaismuuttuja FX-jakaumalla kvantiilifunktion kautta. Ota derivaatta nähdäksesi, että tiheys u vaihtelee 1:n sisällä. Koska satunnaismuuttujan U tiheys on vakio mahdollisten arvojensa välillä, sitä kutsutaan yhtenäiseksi. Se mallinnetaan R:llä runif-komennolla. Identiteettiä kutsutaan todennäköisyysmuunnokseksi. Voit nähdä kuinka se toimii tikkatauluesimerkissä. X välillä 0 ja 1, jakaumafunktio u = FX(x) = x2, ja siten kvantiilifunktio x = FX-1(u). On mahdollista mallintaa riippumattomia havaintoja etäisyydestä tikkataulun keskipisteestä, samalla kun generoidaan yhtenäisiä satunnaismuuttujia U1, U2,. , Un. Jakaumafunktio ja empiirinen funktio perustuvat 100 tikkataulun jakauman simulaatioon. Eksponentiaaliselle satunnaismuuttujalle oletettavasti u = FX (x) = 1 - exp (- x), ja siten x = - 1 ln (1 - u). Joskus logiikka koostuu vastaavista lauseista. Tässä tapauksessa sinun on ketjutettava argumentin kaksi osaa. Leikkausidentiteetti on samanlainen kaikille 2 (S i i) S:lle jonkin arvon sijaan. Unioni Ci on yhtä suuri kuin tilaavaruus S ja jokainen pari on toisensa poissulkeva. Koska Bi - on jaettu kolmeen aksioomaan. Jokainen tarkistus perustuu vastaavaan todennäköisyyteen P. Jollekin osajoukolle. Identiteetin käyttäminen varmistaaksesi, että vastaus ei riipu siitä, sisällytetäänkö välin päätepisteet.

Eksponentiaalinen funktio ja sen muuttujat

Jokaisen lopputuloksen osalta kaikissa tapahtumissa käytetään lopulta todennäköisyyksien jatkuvuuden toista ominaisuutta, jota pidetään aksiomaattisena. Satunnaismuuttujan funktion jakautumislaki osoittaa, että jokaisella on oma ratkaisunsa ja vastauksensa.

Satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumafunktio ja sen ominaisuudet.

Harkitse toimintoa F(x), joka on määritelty koko numeeriselle akselille seuraavasti: jokaiselle X merkitys F(x) on yhtä suuri kuin todennäköisyys, että diskreetti satunnaismuuttuja saa arvon, joka on pienempi kuin X, eli

(18)

Tätä toimintoa kutsutaan todennäköisyysjakaumafunktio tai lyhyesti jakelutoiminto.

Esimerkki 1 Etsi esimerkin 1 kohdan 1 satunnaismuuttujan jakaumafunktio.

Ratkaisu: On selvää, että jos , niin F(x) = 0, koska se ei ota arvoja pienempiä kuin yksi. Jos sitten ; jos sitten . Mutta tapahtuma<3 в данном случае является суммой двух несовместных событий: =1 и =2. Следовательно,

Meillä siis on F(x) = 1/3. Funktion arvot välissä , ja lasketaan samalla tavalla. Lopuksi jos x>6 sitten F(x)=1, koska tässä tapauksessa mikä tahansa mahdollinen arvo (1, 2, 3, 4, 5, 6) vähemmän kuin x. Funktiokaavio F(x) esitetty kuvassa. neljä.

Esimerkki 2 Etsi esimerkin 2 kohdan 1 satunnaismuuttujan jakaumafunktio.

Ratkaisu: Se on selvää

Ajoittaa F(x) esitetty kuvassa. 5.

Jakaumafunktion tunteminen F(x), on helppo löytää todennäköisyys sille, että satunnaismuuttuja täyttää epäyhtälöt.
Harkitse tapahtumaa, jossa satunnaismuuttuja saa arvon, joka on pienempi kuin . Tämä tapahtuma jakautuu kahden yhteensopimattoman tapahtuman summaksi: 1) satunnaismuuttuja saa arvoja pienempiä kuin , ts. ; 2) satunnaismuuttuja saa arvot, jotka täyttävät epäyhtälöt . Summa-aksiooman avulla saamme

Mutta jakelufunktion määritelmän mukaan F(x)[cm. kaava (18)], meillä on , ; siksi,

(19)

Tällä tavalla, todennäköisyys, että diskreetti satunnaismuuttuja putoaa väliin, on yhtä suuri kuin jakaumafunktion inkrementti tällä välillä.

Harkitse jakaumafunktion pääominaisuuksia.
1°. Jakaumafunktio on ei-laskeva.
Todellakin, anna< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то . Siksi kaavasta (19) seuraa, että , eli .

2°. Jakaumafunktion arvot tyydyttävät epäyhtälöt .
Tämä ominaisuus johtuu siitä, että F(x) määritelty todennäköisyydeksi [vrt. kaava (18)]. On selvää, että * ja .

3°. Todennäköisyys, että diskreetti satunnaismuuttuja saa yhden mahdollisista arvoista xi, on yhtä suuri kuin jakaumafunktion hyppy pisteessä xi.
Todellakin, anna xi- diskreetin satunnaismuuttujan saama arvo ja . Oletetaan, että kaavassa (19) , , saadaan

Nuo. merkitys p(xi) vastaa funktion hyppyä** xi. Tämä ominaisuus on havainnollistettu selvästi kuvassa. 4 ja fig. 5.

*Tässä ja seuraavassa esitetään seuraavat merkinnät: , .
** Se voidaan osoittaa F(xi)=F(xi-0), eli mikä on toiminto F(x) jätetty jatkuvaksi johonkin kohtaan xi.

3. Jatkuvat satunnaismuuttujat.

Diskreettien satunnaismuuttujien, joiden mahdolliset arvot muodostavat äärellisen tai äärettömän lukujonon, jotka eivät täysin täytä mitään väliä, lisäksi on usein satunnaismuuttujia, joiden mahdolliset arvot muodostavat tietyn välin. Esimerkki tällaisesta satunnaismuuttujasta on osan tietyn koon nimellisarvosta poikkeama oikein perustetulla teknologisella prosessilla. Tällaisia ​​satunnaismuuttujia ei voida määrittää todennäköisyysjakaumalain avulla p(x). Ne voidaan kuitenkin määrittää käyttämällä todennäköisyysjakaumafunktiota F(x). Tämä funktio määritellään täsmälleen samalla tavalla kuin diskreetin satunnaismuuttujan tapauksessa:

Toiminto siis myös tässä F(x) määritelty kokonaislukuakselilla ja sen arvo pisteessä X on yhtä suuri kuin todennäköisyys, että satunnaismuuttuja saa arvon, joka on pienempi kuin X.
Kaava (19) ja ominaisuudet 1° ja 2° ovat voimassa minkä tahansa satunnaismuuttujan jakaumafunktiolle. Todistus suoritetaan samalla tavalla kuin diskreetin suuren tapauksessa.
Satunnaismuuttujaa kutsutaan jatkuva, jos sille on olemassa ei-negatiivinen palakohtaisesti jatkuva funktio*, joka täyttää minkä tahansa arvot x tasa-arvo

Integraalin alueen geometrisen merkityksen perusteella voidaan sanoa, että epäyhtälöiden toteutumisen todennäköisyys on yhtä suuri kuin kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala, jossa on kanta. yläpuolella rajattu käyrällä (kuva 6).

Alkaen ja kaavan (22) perusteella

Huomaa, että jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa jakaumafunktio F(x) jatkuvaa missä tahansa kohdassa X, jossa funktio on jatkuva. Tämä seuraa siitä tosiasiasta, että F(x) on erotettavissa näissä kohdissa.
Perustuu kaavaan (23), olettaen x 1 = x, , meillä on

Toiminnan jatkuvuuden vuoksi F(x) saamme sen

Näin ollen

Tällä tavalla, todennäköisyys, että jatkuva satunnaismuuttuja voi saada minkä tahansa yksittäisen x:n arvon, on nolla.
Tästä seuraa, että tapahtumat koostuvat kunkin epätasa-arvon täyttymisestä

Niillä on sama todennäköisyys, ts.

Todellakin esim.

Koska

Kommentti. Kuten tiedämme, jos tapahtuma on mahdoton, niin sen toteutumisen todennäköisyys on nolla. Klassisessa todennäköisyyden määritelmässä, kun testitulosten lukumäärä on äärellinen, tapahtuu myös käänteinen väite: jos tapahtuman todennäköisyys on nolla, tapahtuma on mahdoton, koska tässä tapauksessa mikään testituloksista ei suosi sitä. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa sen mahdollisten arvojen määrä on ääretön. Todennäköisyys, että tämä arvo saa jonkin tietyn arvon x 1 kuten olemme nähneet, on yhtä suuri kuin nolla. Tästä ei kuitenkaan seuraa, että tämä tapahtuma olisi mahdoton, koska testin tuloksena satunnaismuuttuja voi erityisesti saada arvon x 1. Siksi jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa on järkevää puhua todennäköisyydestä, että satunnaismuuttuja putoaa väliin, eikä todennäköisyydestä, että se saa tietyn arvon.
Joten esimerkiksi telan valmistuksessa emme ole kiinnostuneita todennäköisyydestä, että sen halkaisija on yhtä suuri kuin nimellisarvo. Meille on tärkeää, että telan halkaisija ei mene toleranssin ulkopuolelle.

Satunnaismuuttujan X jakaumafunktio on funktio F(x), joka ilmaisee kullekin x:lle todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja X saa arvon, pienempi x

Esimerkki 2.5. Annettu satunnaismuuttujan jakauman sarja

Etsi ja kuvaa graafisesti sen jakelufunktio. Ratkaisu. Määritelmän mukaan

F(jc) = 0 X X

F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 at 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 at X > 5.

Joten (katso kuva 2.1):

Jakelufunktion ominaisuudet:

1. Satunnaismuuttujan jakaumafunktio on ei-negatiivinen funktio, joka on suljettu nollan ja yhden väliin:

2. Satunnaismuuttujan jakaumafunktio on ei-pienevä funktio koko lukuakselilla, ts. klo X 2 >x

3. Miinus äärettömyydessä jakaumafunktio on yhtä suuri kuin nolla, plus äärettömyydessä yhtä, ts.

4. Satunnaismuuttujan osumisen todennäköisyys X välissä on yhtä suuri kuin sen todennäköisyystiheyden määrällinen integraali, joka vaihtelee a ennen b(katso kuva 2.2), ts.

Riisi. 2.2

3. Jatkuvan satunnaismuuttujan jakaumafunktio (ks. kuva 2.3) voidaan ilmaista todennäköisyystiheydellä kaavalla:

F(x)= Jp(*)*. (2.10)

4. Väärä integraali jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyystiheyden äärettömissä rajoissa on yhtä suuri kuin yksi:

Geometriset ominaisuudet / ja 4 todennäköisyystiheydet tarkoittavat, että sen käyrä on jakautumiskäyrä - ei sijaitse x-akselin alapuolella, ja hahmon kokonaispinta-ala, rajoitettu jakautumiskäyrä ja x-akseli, on yhtä suuri kuin yksi.

Jatkuvalle satunnaismuuttujalle X odotettu arvo M(X) ja varianssi D(X) määritetään seuraavilla kaavoilla:

(jos integraali suppenee ehdottomasti); tai

(jos pelkistetyt integraalit konvergoivat).

Yllä mainittujen numeeristen ominaisuuksien ohella satunnaismuuttujan kuvaamiseen käytetään kvantiilien ja prosenttipisteiden käsitettä.

q-tason kvantiili(tai q-kvantiili) on sellainen arvox qSatunnaismuuttuja, jossa sen jakaumafunktio saa arvon, yhtä suuri kuin q, eli

• 100Q%ou-piste on kvantiili X~ q .
• ? Esimerkki 2.8.

Etsi kvantiili esimerkin 2.6 mukaan xqj ja 30 % satunnaismuuttujapiste x.

Ratkaisu. Määritelmän (2.16) mukaan F(xo t3)= 0,3, ts.

~Y~ = 0,3, mistä kvantiili x 0 3 = 0,6. 30 % satunnaismuuttujan piste X, tai kvantiili Х)_о,з = xoj» löytyy samalla tavalla yhtälöstä ^ = 0,7. mistä *,= 1.4. ?

Satunnaismuuttujan numeeristen ominaisuuksien joukossa on alkukirjain v* ja keskeinen R* k:nnen järjestyksen hetkiä, joka määritetään diskreeteille ja jatkuville satunnaismuuttujille kaavoilla: