Kun ratkaiset monia matemaattisia ongelmia Varsinkin ennen luokkaa 10 tapahtuvien toimenpiteiden järjestys, joka johtaa tavoitteeseen, on selkeästi määritelty. Tällaisia ​​ongelmia ovat esimerkiksi lineaariset ja toisen asteen yhtälöt, lineaariset ja toisen asteen epäyhtälöt, murtoyhtälöt ja neliöllisiksi pelkistävät yhtälöt. Jokaisen mainitun tehtävän onnistuneen ratkaisun periaate on seuraava: on määritettävä, minkä tyyppistä tehtävää ratkaistaan, muistaa tarvittava toimintosarja, joka johtaa haluttuun tulokseen, ts. vastaa ja noudata näitä ohjeita.

Ilmeisesti onnistuminen tai epäonnistuminen tietyn ongelman ratkaisemisessa riippuu pääasiassa siitä, kuinka oikein ratkaistavan yhtälön tyyppi määritetään, kuinka oikein sen ratkaisun kaikkien vaiheiden järjestys toistetaan. Tietenkin tässä tapauksessa tarvitaan taidot suorittaa identtisiä muunnoksia ja laskelmia.

Erilainen tilanne syntyy trigonometriset yhtälöt. Ei ole vaikeaa todeta, että yhtälö on trigonometrinen. Vaikeuksia syntyy määritettäessä toimintosarjaa, joka johtaisi oikeaan vastaukseen.

Joskus on vaikea määrittää sen tyyppiä yhtälön ulkonäön perusteella. Ja tietämättä yhtälön tyyppiä on melkein mahdotonta valita oikea useista kymmenistä trigonometrisista kaavoista.

Trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi meidän on yritettävä:

1. tuo kaikki yhtälöön sisältyvät funktiot "samoihin kulmiin";
2. tuo yhtälö "samoihin funktioihin";
3. kerroin yhtälön vasen puoli jne.

Harkitse perusmenetelmiä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen.

I. Pelkistys yksinkertaisimpiin trigonometrisiin yhtälöihin

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Ilmaise trigonometrinen funktio tunnetuilla komponenteilla.

Vaihe 2 Etsi funktion argumentti kaavojen avulla:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Vaihe 3 Etsi tuntematon muuttuja.

Esimerkki.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Ratkaisu.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, nЄZ;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, nЄZ;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Vastaus: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Muuttuva korvaus

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Tuo yhtälö algebralliseen muotoon yhden trigonometrisen funktion suhteen.

Vaihe 2 Merkitse tuloksena oleva funktio muuttujalla t (tarvittaessa aseta rajoituksia t:lle).

Vaihe 3 Kirjoita muistiin ja ratkaise tuloksena oleva algebrallinen yhtälö.

Vaihe 4 Tee käänteinen vaihto.

Vaihe 5 Ratkaise yksinkertaisin trigonometrinen yhtälö.

Esimerkki.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Ratkaisu.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Olkoon sin (x/2) = t, missä |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5 t + 3 = 0;

t = 1 tai e = -3/2 ei täytä ehtoa |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, nЄZ;

x = π + 4πn, n Є Z.

Vastaus: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Yhtälön järjestyksen vähentämismenetelmä

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Korvaa tämä yhtälö lineaarisella käyttämällä tehonvähennyskaavoja:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

rusketus 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Vaihe 2 Ratkaise saatu yhtälö menetelmillä I ja II.

Esimerkki.

cos2x + cos2x = 5/4.

Ratkaisu.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n ЄZ;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Vastaus: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogeeniset yhtälöt

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Tuo tämä yhtälö muotoon

a) a sin x + b cos x = 0 (ensimmäisen asteen homogeeninen yhtälö)

tai näkymään

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (toisen asteen homogeeninen yhtälö).

Vaihe 2 Jaa yhtälön molemmat puolet arvolla

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

ja hanki tg x:n yhtälö:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Vaihe 3 Ratkaise yhtälö tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Ratkaisu.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Olkoon sitten tg x = t

t2 + 3t-4 = 0;

t = 1 tai t = -4, joten

tg x = 1 tai tg x = -4.

Ensimmäisestä yhtälöstä x = π/4 + πn, n Є Z; toisesta yhtälöstä x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Vastaus: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Menetelmä yhtälön muuntamiseksi trigonometristen kaavojen avulla

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Käytä kaikenlaisia ​​trigonometrisiä kaavoja, tuo tämä yhtälö yhtälöön, joka voidaan ratkaista menetelmillä I, II, III, IV.

Vaihe 2 Ratkaise tuloksena oleva yhtälö tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Ratkaisu.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 tai 2cos x + 1 = 0;

Ensimmäisestä yhtälöstä 2x = π/2 + πn, n Є Z; toisesta yhtälöstä cos x = -1/2.

Meillä on x = π/4 + πn/2, n Є Z; toisesta yhtälöstä x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Tuloksena x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Vastaus: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Kyky ja taidot ratkaista trigonometrisiä yhtälöitä ovat erittäin hyviä On tärkeää, että niiden kehittäminen vaatii huomattavia ponnistuksia sekä opiskelijalta että opettajalta.

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisuun liittyy monia stereometrian, fysiikan jne. ongelmia.Tällaisten ongelmien ratkaisuprosessi sisältää ikään kuin monia tietoja ja taitoja, joita hankitaan trigonometrian elementtejä opiskellessa.

Trigonometriset yhtälöt ovat tärkeässä asemassa matematiikan ja yleensä persoonallisuuden kehittämisen opetusprosessissa.

Onko sinulla kysymyksiä? Etkö tiedä kuinka ratkaista trigonometriset yhtälöt?
Avun saaminen tutorilta -.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

blog.site, kopioimalla materiaali kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Videokurssi "Get an A" sisältää kaikki aiheet, joita tarvitaan matematiikan kokeen onnistuneeseen läpäisemiseen 60-65 pisteellä. Täysin kaikki profiilin tehtävät 1-13 USE matematiikassa. Soveltuu myös matematiikan peruskäytön suorittamiseen. Jos haluat läpäistä kokeen 90-100 pisteellä, sinun tulee ratkaista osa 1 30 minuutissa ja ilman virheitä!

Valmennuskurssi tenttiin luokille 10-11 sekä opettajille. Kaikki mitä tarvitset matematiikan tentin osan 1 (ensimmäiset 12 tehtävää) ja tehtävän 13 (trigonometria) ratkaisemiseen. Ja tämä on yli 70 pistettä yhtenäisestä valtionkokeesta, eikä sadan pisteen opiskelija eikä humanisti tule toimeen ilman niitä.

Kaikki tarvittava teoria. Nopeita ratkaisuja, ansoja ja tentin salaisuuksia. Kaikki osan 1 asiaankuuluvat tehtävät FIPI-pankin tehtävistä on analysoitu. Kurssi täyttää täysin USE-2018:n vaatimukset.

Kurssi sisältää 5 isoa aihetta, kukin 2,5 tuntia. Jokainen aihe on annettu tyhjästä, yksinkertaisesti ja selkeästi.

Satoja koetehtäviä. Tekstitehtävät ja todennäköisyysteoria. Yksinkertaiset ja helposti muistettavat ongelmanratkaisualgoritmit. Geometria. Teoria, viitemateriaali, kaikentyyppisten USE-tehtävien analyysi. Stereometria. Ovelia temppuja ratkaisemiseen, hyödyllisiä huijauslehtiä, tilamielikuvituksen kehittäminen. Trigonometria tyhjästä - tehtävään 13. Ymmärtäminen tukkeutumisen sijaan. Monimutkaisten käsitteiden visuaalinen selitys. Algebra. Juuret, potenssit ja logaritmit, funktio ja derivaatta. Pohja kokeen 2. osan monimutkaisten tehtävien ratkaisemiseen.

Yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisu.

Minkä tahansa monimutkaisuuden trigonometristen yhtälöiden ratkaisu tulee lopulta ratkaisemaan yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt. Ja tässä trigonometrinen ympyrä osoittautuu jälleen parhaaksi auttajaksi.

Muista kosinin ja sinin määritelmät.

Kulman kosini on yksikköympyrän pisteen abskissa (eli koordinaatti akselilla), joka vastaa kiertoa tietyllä kulmalla.

Kulman sini on yksikköympyrän pisteen ordinaatti (eli koordinaatti akselilla), joka vastaa kiertoa tietyllä kulmalla.

Positiivisena liikkeen suuntana trigonometristä ympyrää pitkin katsotaan liike vastapäivään. Kierto 0 astetta (tai 0 radiaania) vastaa pistettä, jonka koordinaatit (1; 0)

Käytämme näitä määritelmiä yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen.

1. Ratkaise yhtälö

Tämän yhtälön täyttävät kaikki sellaiset kiertokulman arvot, jotka vastaavat ympyrän pisteitä, joiden ordinaatta on yhtä suuri kuin .

Merkitään y-akselille piste, jossa on ordinaatit:

Piirrä x-akselin suuntainen vaakasuora viiva, kunnes se leikkaa ympyrän. Saamme kaksi pistettä, jotka makaavat ympyrällä ja joilla on ordinaatta. Nämä pisteet vastaavat kiertokulmia ja radiaaneja:

Jos jätämme pisteen, joka vastaa kiertokulmaa radiaania kohti, kiertämme täyden ympyrän, niin pääsemme pisteeseen, joka vastaa kiertokulmaa radiaania kohti ja jolla on sama ordinaatta. Toisin sanoen tämä kiertokulma täyttää myös yhtälömme. Voimme tehdä niin monta "tyhjäkäyntiä" kuin haluamme palataen samaan pisteeseen, ja kaikki nämä kulma-arvot täyttävät yhtälömme. "Tyhjäkäyntien" kierrosten lukumäärä on merkitty kirjaimella (tai). Koska voimme tehdä nämä kierrokset sekä positiiviseen että negatiiviseen suuntaan, (tai ) voi ottaa minkä tahansa kokonaisluvun arvot.

Eli alkuperäisen yhtälön ensimmäisen ratkaisusarjan muoto on:

, , - joukko kokonaislukuja (1)

Vastaavasti toisella ratkaisusarjalla on muoto:

, missä , . (2)

Kuten arvasit, tämä ratkaisusarja perustuu ympyrän pisteeseen, joka vastaa kiertokulmaa .

Nämä kaksi ratkaisusarjaa voidaan yhdistää yhdeksi kohteeksi:

Jos otamme tämän merkinnän (eli parillisen), saamme ensimmäisen sarjan ratkaisuja.

Jos otamme tämän merkinnän (eli parittoman), saamme toisen sarjan ratkaisuja.

2. Ratkaistaan ​​nyt yhtälö

Koska kulman läpi kiertämällä saatu yksikköympyrän pisteen abskissa, merkitsemme akselille pisteen abskissalla:

Piirrä pystysuora viiva, joka on yhdensuuntainen akselin kanssa, kunnes se leikkaa ympyrän. Saamme kaksi pistettä, jotka makaavat ympyrällä ja joilla on abskissa. Nämä pisteet vastaavat kiertokulmia ja radiaaneja. Muista, että kun liikutaan myötäpäivään, saadaan negatiivinen kiertokulma:

Kirjoitamme kaksi ratkaisusarjaa:

,

,

(Oikeaan pisteeseen pääsemme ohittamalla päätäydeltä ympyrältä, eli.

Yhdistetään nämä kaksi sarjaa yhdeksi postaukseksi:

3. Ratkaise yhtälö

Tangenttien viiva kulkee yksikköympyrän pisteen, jonka koordinaatit (1,0) on yhdensuuntainen OY-akselin kanssa

Merkitse siihen piste, jonka ordinaatit ovat yhtä suuret kuin 1 (etsiimme tangenttia, jonka kulmat on 1):

Yhdistä tämä piste origoon suoralla ja merkitse suoran leikkauspisteet yksikköympyrän kanssa. Suoran ja ympyrän leikkauspisteet vastaavat kiertokulmia ja:

Koska yhtälömme täyttäviä kiertokulmia vastaavat pisteet sijaitsevat radiaanien päässä toisistaan, voimme kirjoittaa ratkaisun seuraavasti:

4. Ratkaise yhtälö

Kotangenttien viiva kulkee pisteen läpi, jonka yksikköympyrän koordinaatit ovat yhdensuuntaiset akselin kanssa.

Merkitsemme pisteen abskissalla -1 kotangenttien riville:

Yhdistä tämä piste suoran alkupisteeseen ja jatka sitä, kunnes se leikkaa ympyrän. Tämä viiva leikkaa ympyrän pisteissä, jotka vastaavat kiertokulmia ja radiaaneja:

Koska nämä pisteet erotetaan toisistaan ​​etäisyydellä, joka on yhtä suuri, voimme kirjoittaa tämän yhtälön yleisratkaisun seuraavasti:

Annetuissa esimerkeissä, jotka havainnollistavat yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisua, käytettiin trigonometristen funktioiden taulukkoarvoja.

Jos yhtälön oikealla puolella on ei-taulukkoarvo, korvaamme arvon yhtälön yleisessä ratkaisussa:

ERIKOISRATKAISUT:

Merkitse pisteet ympyrään, jonka ordinaatit ovat 0:

Merkitse ympyrään yksi piste, jonka ordinaatit ovat yhtä kuin 1:

Merkitse ympyrään yksi piste, jonka ordinaatin arvo on -1:

Koska on tapana ilmoittaa lähimpänä nollaa olevat arvot, kirjoitamme ratkaisun seuraavasti:

Merkitse pisteet ympyrään, jonka abskissa on 0:

5.
Merkitään yksi piste ympyrään, jonka abskissa on 1:

Merkitse ympyrään yksi piste, jonka abskissa on -1:

Ja muutama monimutkaisempi esimerkki:

1.

Sini on yksi, jos argumentti on

Sinin argumentti on , joten saamme:

Jaa yhtälön molemmat puolet kolmella:

Vastaus:

2.

Kosini on nolla, jos kosini-argumentti on

Kosiniemme argumentti on , joten saamme:

Ilmaisemme , tätä varten siirrymme ensin oikealle päinvastaisella merkillä:

Yksinkertaista oikea puoli:

Jaa molemmat osat -2:lla:

Huomaa, että termiä edeltävä etumerkki ei muutu, koska k voi ottaa minkä tahansa kokonaisluvun.

Vastaus:

Ja lopuksi, katso video-opetusohjelma "Juurien valinta trigonometrisessa yhtälössä trigonometrisen ympyrän avulla"

Tämä päättää keskustelun yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisesta. Ensi kerralla puhumme siitä, kuinka ratkaista.

Oppitunti ja esitys aiheesta: "Yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisu"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, palautetta, ehdotuksia! Kaikki materiaalit tarkistetaan virustorjuntaohjelmalla.

Ohjekirjat ja simulaattorit verkkokaupassa "Integral" luokalle 10 alkaen 1C
Ratkaisemme geometrian tehtäviä. Interaktiivisia tehtäviä avaruudessa rakentamiseen
Ohjelmistoympäristö "1C: Mathematical constructor 6.1"

Mitä opiskelemme:
1. Mitä ovat trigonometriset yhtälöt?

3. Kaksi päämenetelmää trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi.
4. Homogeeniset trigonometriset yhtälöt.
5. Esimerkkejä.

Mitä ovat trigonometriset yhtälöt?

Kaverit, olemme jo tutkineet arkosiinia, arkosiinia, arctangenttia ja arkotangenttia. Katsotaanpa nyt trigonometrisiä yhtälöitä yleisesti.

Trigonometriset yhtälöt - yhtälöt, joissa muuttuja on trigonometrisen funktion merkin alla.

Toistamme yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisumuodon:

1) Jos |а|≤ 1, niin yhtälöllä cos(x) = a on ratkaisu:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Jos |а|≤ 1, niin yhtälöllä sin(x) = a on ratkaisu:

3) Jos |a| > 1, niin yhtälöllä sin(x) = a ja cos(x) = a ei ole ratkaisuja 4) Yhtälöllä tg(x)=a on ratkaisu: x=arctg(a)+ πk

5) Yhtälöllä ctg(x)=a on ratkaisu: x=arcctg(a)+ πk

Kaikissa kaavoissa k on kokonaisluku

Yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt ovat muotoa: Т(kx+m)=a, T- mikä tahansa trigonometrinen funktio.

Esimerkki.

Ratkaise yhtälöt: a) sin(3x)= √3/2

Ratkaisu:

A) Merkitään 3x=t, niin kirjoitetaan yhtälömme muotoon:

Tämän yhtälön ratkaisu on: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Arvotaulukosta saamme: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Palataan muuttujaamme: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Sitten x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Vastaus: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, missä n on kokonaisluku. (-1)^n - miinus yksi n:n potenssiin.

Lisää esimerkkejä trigonometrisista yhtälöistä.

Ratkaise yhtälöt: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Ratkaisu:

A) Tällä kertaa mennään suoraan yhtälön juurien laskemiseen:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Sitten x/5= πk => x=5πk

Vastaus: x=5πk, missä k on kokonaisluku.

B) Kirjoitetaan muodossa: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Tiedämme, että arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Vastaus: x=2π/9 + πk/3, missä k on kokonaisluku.

Ratkaise yhtälöt: cos(4x)= √2/2. Ja etsi segmentin kaikki juuret.

Ratkaisu:

Ratkaistaan ​​yhtälömme yleisessä muodossa: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x = ± π/4 + 2πk;

X = ± π/16+ πk/2;

Katsotaan nyt, mitkä juuret osuvat segmentillemme. Jos k Kun k=0, x= π/16, olemme annetussa segmentissä .
Kun k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, he osuvat uudelleen.
Jos k=2, x= π/16+ π=17π/16, mutta tässä emme osuneet, mikä tarkoittaa, että emme osu myöskään suurella k:llä.

Vastaus: x= π/16, x= 9π/16

Kaksi pääasiallista ratkaisumenetelmää.

Olemme tarkastelleet yksinkertaisimpia trigonometrisiä yhtälöitä, mutta on myös monimutkaisempia. Niiden ratkaisemiseksi käytetään uuden muuttujan käyttöönoton menetelmää ja tekijöiden jakamista. Katsotaanpa esimerkkejä.

Ratkaistaan ​​yhtälö:

Ratkaisu:
Yhtälömme ratkaisemiseksi käytämme menetelmää ottaa käyttöön uusi muuttuja, jota merkitään: t=tg(x).

Korvauksen tuloksena saamme: t 2 + 2t -1 = 0

Etsi toisen asteen yhtälön juuret: t=-1 ja t=1/3

Sitten tg(x)=-1 ja tg(x)=1/3, saatiin yksinkertaisin trigonometrinen yhtälö, etsitään sen juuret.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Vastaus: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Esimerkki yhtälön ratkaisemisesta

Ratkaise yhtälöt: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Ratkaisu:

Käytetään identiteettiä: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Yhtälöstämme tulee: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Otetaan käyttöön korvaus t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Neliöyhtälömme ratkaisut ovat juuret: t=2 ja t=-1/2

Sitten cos(x)=2 ja cos(x)=-1/2.

Koska kosini ei voi ottaa yhtä suurempia arvoja, jolloin cos(x)=2:lla ei ole juuria.

Jos cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Vastaus: x= ±2π/3 + 2πk

Homogeeniset trigonometriset yhtälöt.

Määritelmä: Yhtälöä, jonka muoto on a sin(x)+b cos(x), kutsutaan ensimmäisen asteen homogeenisiksi trigonometrisiksi yhtälöiksi.

Muodon yhtälöt

toisen asteen homogeeniset trigonometriset yhtälöt.

Ensimmäisen asteen homogeenisen trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi jaamme sen cos(x:lla): On mahdotonta jakaa kosinilla, jos se on nolla, varmistamme, että näin ei ole:
Olkoon cos(x)=0, sitten asin(x)+0=0 => sin(x)=0, mutta sini ja kosini eivät ole yhtä aikaa nolla, saimme ristiriidan, joten voimme turvallisesti jakaa nollalla.

Ratkaise yhtälö:
Esimerkki: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Ratkaisu:

Ota pois yhteinen tekijä: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Sitten meidän on ratkaistava kaksi yhtälöä:

cos(x)=0 ja cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0, kun x= π/2 + πk;

Tarkastellaan yhtälöä cos(x)+sin(x)=0 Jaa yhtälömme cos(x):lla:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Vastaus: x= π/2 + πk ja x= -π/4+πk

Kuinka ratkaista toisen asteen homogeeniset trigonometriset yhtälöt?
Kaverit, noudata näitä sääntöjä aina!

1. Katso mikä kerroin a on yhtä suuri, jos a \u003d 0, yhtälömme on muotoa cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), jonka ratkaisun esimerkki on edellisessä liukumäki

2. Jos a≠0, sinun on jaettava yhtälön molemmat osat kosinin neliöllä, saamme:

Teemme muuttujan t=tg(x) muutoksen, jolloin saadaan yhtälö:

Ratkaise esimerkki #:3

Ratkaise yhtälö:
Ratkaisu:

Jaa yhtälön molemmat puolet kosinin neliöllä:

Muutetaan muuttuja t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Etsi toisen asteen yhtälön juuret: t=-3 ja t=1

Sitten: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Vastaus: x=-arctg(3) + πk ja x= π/4+ πk

Ratkaise esimerkki #:4

Ratkaise yhtälö:

Ratkaisu:
Muutetaan ilmaisumme:

Voimme ratkaista seuraavat yhtälöt: x= - π/4 + 2πk ja x=5π/4 + 2πk

Vastaus: x= - π/4 + 2πk ja x=5π/4 + 2πk

Ratkaise esimerkki #:5

Ratkaise yhtälö:

Ratkaisu:
Muutetaan ilmaisumme:

Otamme käyttöön korvaavan tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Neliöyhtälömme ratkaisu on juuret: t=-2 ja t=1/2

Sitten saadaan: tg(2x)=-2 ja tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Vastaus: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ja x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun.

1) Ratkaise yhtälö

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Ratkaise yhtälöt: sin(3x)= √3/2. Ja etsi kaikki juuret segmentistä [π/2; π].

3) Ratkaise yhtälö: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Ratkaise yhtälö: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Ratkaise yhtälö: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Ratkaise yhtälö: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Käsite trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisesta.

• Jos haluat ratkaista trigonometrisen yhtälön, muunna se yhdeksi tai useammaksi trigonometriseksi perusyhtälöksi. Trigonometrisen yhtälön ratkaiseminen päättyy lopulta neljän trigonometrisen perusyhtälön ratkaisemiseen.

Trigonometristen perusyhtälöiden ratkaisu.

• Trigonometrisiä perusyhtälöitä on 4 tyyppiä:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Trigonometristen perusyhtälöiden ratkaisemiseen kuuluu yksikköympyrän eri x-asemien tarkasteleminen sekä muunnostaulukon (tai laskimen) käyttäminen.
• Esimerkki 1. sin x = 0,866. Muunnostaulukon (tai laskimen) avulla saat vastauksen: x = π/3. Yksikköympyrä antaa toisen vastauksen: 2π/3. Muista: kaikki trigonometriset funktiot ovat jaksollisia, eli niiden arvot toistuvat. Esimerkiksi sin x:n ja cos x:n jaksollisuus on 2πn ja tg x:n ja ctg x:n jaksollisuus on πn. Eli vastaus on kirjoitettu näin:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Esimerkki 2 cos x = -1/2. Muunnostaulukkoa (tai laskinta) käyttämällä saat vastauksen: x = 2π/3. Yksikköympyrä antaa toisen vastauksen: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Esimerkki 3. tg (x - π/4) = 0.
• Vastaus: x \u003d π / 4 + πn.
• Esimerkki 4. ctg 2x = 1,732.
• Vastaus: x \u003d π / 12 + πn.

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisussa käytetyt muunnokset.

• Trigonometristen yhtälöiden muuntamiseen käytetään algebrallisia muunnoksia (faktorointi, homogeenisten termien pelkistys jne.) ja trigonometrisiä identiteettejä.
• Esimerkki 5. Käyttämällä trigonometrisiä identiteettejä yhtälö sin x + sin 2x + sin 3x = 0 muunnetaan yhtälöksi 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Näin ollen seuraavat trigonometriset perusyhtälöt täytyy ratkaista: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Kulmien etsiminen tunnetuista funktioiden arvoista.

  • Ennen kuin opit ratkaisemaan trigonometrisiä yhtälöitä, sinun on opittava löytämään kulmia tunnetuista funktioiden arvoista. Tämä voidaan tehdä muunnostaulukon tai laskimen avulla.
  • Esimerkki: cos x = 0,732. Laskin antaa vastauksen x = 42,95 astetta. Yksikköympyrä antaa lisäkulmia, joiden kosini on myös yhtä suuri kuin 0,732.

• Aseta liuos sivuun yksikköympyrässä.

  • Voit laittaa trigonometrisen yhtälön ratkaisuja yksikköympyrään. Yksikköympyrän trigonometrisen yhtälön ratkaisut ovat säännöllisen monikulmion kärjet.
  • Esimerkki: Yksikköympyrän ratkaisut x = π/3 + πn/2 ovat neliön kärkipisteitä.
  • Esimerkki: Yksikköympyrän ratkaisut x = π/4 + πn/3 ovat säännöllisen kuusikulmion huippuja.

• Trigonometristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät.

  • Jos annettu trigonometrinen yhtälö sisältää vain yhden trigonometrisen funktion, ratkaise tämä yhtälö trigonometrisenä perusyhtälönä. Jos tämä yhtälö sisältää kaksi tai useampia trigonometrisiä funktioita, on olemassa 2 menetelmää tällaisen yhtälön ratkaisemiseksi (riippuen sen muunnosmahdollisuudesta).
    • Menetelmä 1
  • Muunna tämä yhtälö yhtälöksi, jonka muoto on: f(x)*g(x)*h(x) = 0, missä f(x), g(x), h(x) ovat trigonometriset perusyhtälöt.
  • Esimerkki 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Ratkaisu. Korvaa sin 2x käyttämällä kaksoiskulmakaavaa sin 2x = 2*sin x*cos x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Ratkaise nyt kaksi trigonometristä perusyhtälöä: cos x = 0 ja (sin x + 1) = 0.
  • Esimerkki 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Ratkaisu: Muunna tämä yhtälö trigonometristen identiteettien avulla yhtälöksi, jonka muoto on: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Ratkaise nyt kaksi trigonometristä perusyhtälöä: cos 2x = 0 ja (2cos x + 1) = 0.
  • Esimerkki 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Ratkaisu: Muunna tämä yhtälö trigonometristen identiteettien avulla yhtälöksi, jonka muoto on: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Ratkaise nyt kaksi trigonometristä perusyhtälöä: cos 2x = 0 ja (2sin x + 1) = 0.
    • Menetelmä 2
  • Muunna annettu trigonometrinen yhtälö yhtälöksi, joka sisältää vain yhden trigonometrisen funktion. Korvaa sitten tämä trigonometrinen funktio jollakin tuntemattomalla funktiolla, esimerkiksi t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t jne.).
  • Esimerkki 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Ratkaisu. Korvaa tässä yhtälössä (cos^2 x) arvolla (1 - sin^2 x) (identiteetin mukaan). Muunnettu yhtälö näyttää tältä:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Korvaa sin x t:llä. Nyt yhtälö näyttää tältä: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Tämä on toisen asteen yhtälö, jolla on kaksi juuria: t1 = -1 ja t2 = 9/5. Toinen juuri t2 ei täytä funktion aluetta (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Esimerkki 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Ratkaisu. Korvaa tg x t:llä. Kirjoita alkuperäinen yhtälö uudelleen seuraavasti: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Etsi nyt t ja etsi sitten x, kun t = tg x.