Luento 9

Analyyttinen geometria avaruudessa.

Tason yleinen yhtälö.

Määritelmä. kone kutsutaan pintaa, jonka kaikki pisteet täyttävät yleisen yhtälön:

Ax + By + Cz + D = 0,

missä A, B, C ovat vektori-vektorin koordinaatit normaalit lentokoneeseen.

Seuraavat erikoistapaukset ovat mahdollisia:

A \u003d 0 - taso on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa

B \u003d 0 - taso on yhdensuuntainen Oy-akselin kanssa

C \u003d 0 - taso on yhdensuuntainen Oz-akselin kanssa

D = 0 - taso kulkee origon läpi

A \u003d B \u003d 0 - taso on yhdensuuntainen xOy-tason kanssa

A \u003d C \u003d 0 - taso on yhdensuuntainen xOz-tason kanssa

B = C = 0 - taso on yhdensuuntainen tason yOz kanssa

A \u003d D \u003d 0 - taso kulkee Ox-akselin läpi

B \u003d D \u003d 0 - taso kulkee Oy-akselin läpi

C \u003d D \u003d 0 - taso kulkee Oz-akselin läpi

A \u003d B \u003d D \u003d 0 - taso osuu xOy-tason kanssa

A = C = D = 0 - taso yhtyy xOz-tason kanssa

B = C = D = 0 - taso osuu yhteen tason yOz kanssa

Kolmen pisteen läpi kulkevan tason yhtälö.

Jotta yksi taso voidaan piirtää minkä tahansa kolmen avaruuden pisteen läpi, on välttämätöntä, että nämä pisteet eivät ole yhdellä suoralla.

Tarkastellaan karteesisen koordinaatiston pisteitä M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3).

Jotta mielivaltainen piste M(x, y, z) olisi samassa tasossa pisteiden M 1, M 2, M 3 kanssa, on välttämätöntä, että vektorit
olivat samassa tasossa, ts. heidän sekoitettu tuote:

(
) = 0

Tällä tavalla,

Kolmen pisteen läpi kulkevan tason yhtälö:

Kahden vektorin suuntaisen pisteen läpi kulkevan tason yhtälö.

Olkoon pisteet M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) ja vektori
.

Muodostetaan yhtälö tasosta, joka kulkee annettujen pisteiden M 1 ja M 2 ja mielivaltaisen vektorin suuntaisen pisteen M (x, y, z) kautta .

Vektorit
ja vektori
on oltava samassa tasossa, ts.

(
) = 0

Tasoyhtälö:

Kahden vektorin suuntaisen pisteen läpi kulkevan tason yhtälö.

Olkoon kaksi vektoria annettu
ja
, kollineaariset tasot ja piste M 1 (x 1, y 1, z 1). Sitten tasoon kuuluvalle mielivaltaiselle pisteelle M(x, y, z) vektorit
on oltava samassa tasossa.

Tasoyhtälö:

Vektoriin nähden kohtisuorassa olevan pisteen läpi kulkevan tason yhtälö.

Lause. Jos avaruudessa on annettu piste M 0 (x 0, y 0, z 0), niin pisteen M 0 läpi kulkevan tason yhtälö on kohtisuorassa normaalivektoriin nähden (A, B, C) on muotoa:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Todiste. Tasoon kuuluvalle mielivaltaiselle pisteelle M(x, y, z) muodostetaan vektori . Koska vektori - normaalivektori, silloin se on kohtisuorassa tasoon nähden ja siten kohtisuorassa vektoriin nähden
. Sitten skalaaritulo

= 0

Siten saamme tason yhtälön

Lause on todistettu.

Tason yhtälö segmenteissä.

Jos yleisessä yhtälössä Ax + Wu + Cz + D = 0 jaa molemmat osat -D:llä

,

korvaamalla
, saamme tason yhtälön segmenteissä:

Numerot a, b, c ovat janat, jotka leikataan karteesisen suorakulmaisen koordinaatiston x-, y- ja z-akselien leikkauspisteessä.

Tasoyhtälö vektorimuodossa.

missä

- nykyisen pisteen sädevektori M(x, y, z),

Yksikkövektori, jonka kohtisuoran suunta on pudonnut tasoon origosta.

,  ja  ovat kulmia, jotka tämä vektori muodostaa x-, y-, z-akselien kanssa.

p on tämän kohtisuoran pituus.

Koordinaateissa tällä yhtälöllä on muoto:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Parametrinen tasoyhtälö

Olkoon avaruudessa piste M 0 (x 0, y 0, z 0) ja kaksi ei-kollineaarista vektoria

(p 1, p 2, p 3) ja (q 1, q 2, q 3). Olkoon M(x, y, z) tason nykyinen piste. Vektoreista lähtien ja ovat epäkollineaarisia, niin ne muodostavat perustan tasolle, jossa laajennamme vektoria
=t+ s, missä t,s ovat parametreja. Asetetaan mielivaltaisesti suorakulmainen suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä tasolle siten, että Ox- ja Oy-akselit ovat tasossa. Keskuksesta O piirretään sädevektorit pisteisiin M 0 ja M ja . Sitten
=-ja

=+t+ s .

Tämä on tason parametrinen yhtälö vektorimuodossa ja skalaarimuodossa

x = x 0 + p 1 t + q 1 s

y=y 0 + p 2 t + q 2 s

z = z 0 + p 3 t + q 3 s

Etäisyys pisteestä tasoon.

Etäisyys mielivaltaisesta pisteestä M 0 (x 0, y 0, z 0) tasoon Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 on:

Esimerkki. Etsi tason yhtälö tietäen, että piste P (4; -3; 12) on alustasta tälle tasolle pudotetun kohtisuoran kanta.

Joten A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, käytä kaavaa:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Esimerkki . Etsi kahden pisteen läpi kulkevan tason yhtälö

P(2; 0; -1) ja Q(1; -1; 3) ovat kohtisuorassa tasoon 3x + 2y - z + 5 = 0.

Normaalivektori tasolle 3x + 2y - z + 5 = 0
yhdensuuntainen halutun tason kanssa.

Saamme:

Esimerkki . Etsi pisteiden A(2, -1, 4) läpi kulkevan tason yhtälö ja

В(3, 2, -1) kohtisuorassa tasoon nähden X + klo + 2z – 3 = 0.

Halutulla tasoyhtälöllä on muoto: A x+ B y+ C z+ D = 0, tämän tason normaalivektori (A, B, C). Vektori
(1, 3, -5) kuuluu tasoon. Meille annetulla tasolla, joka on kohtisuorassa haluttuun nähden, on normaalivektori (1, 1, 2). Koska pisteet A ja B kuuluvat molempiin tasoihin ja tasot ovat siis keskenään kohtisuorassa

Normaalivektori siis (11, -7, -2). Koska piste A kuuluu haluttuun tasoon, silloin sen koordinaattien on täytettävä tämän tason yhtälö, ts. 112 + 71 - 24 + D = 0; D = -21.

Joten, saamme tason yhtälön: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Esimerkki . Etsi tason yhtälö tietäen, että piste P(4, -3, 12) on alustasta tälle tasolle pudotetun kohtisuoran kanta.

Normaalivektorin koordinaattien löytäminen
= (4, -3, 12). Haluttu tason yhtälö on muotoa: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Kertoimen D löytämiseksi korvaamme pisteen Р koordinaatit yhtälöön:

16 + 9 + 144 + D = 0

Joten, saamme halutun yhtälön: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Esimerkki . Annettu pyramidin kärkien koordinaatit

A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1), A 4 (1; 2; 5).

Laske reunan pituus A 1 A 2 .

Etsi reunojen A 1 A 2 ja A 1 A 4 välinen kulma.

Etsi reunan A 1 A 4 ja pinnan A 1 A 2 A 3 välinen kulma.

Etsi ensin normaalivektori kasvolle A 1 A 2 A 3 - vektorien ristitulona
ja
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Etsi kulma normaalivektorin ja vektorin välillä
.

-4 – 4 = -8.

Haluttu kulma  vektorin ja tason välillä on  = 90 0 - .

Etsi kasvojen pinta-ala A 1 A 2 A 3 .

Etsi pyramidin tilavuus.

Etsi tason А 1 А 2 А 3 yhtälö.

Käytämme kaavaa kolmen pisteen läpi kulkevan tason yhtälöön.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

Pintayhtälö avaruudessa

Määritelmä. Mikä tahansa yhtälö, joka liittyy minkä tahansa pinnan pisteen x-, y-, z-koordinaatteihin, on tämän pinnan yhtälö.

Tason yleinen yhtälö

Määritelmä. Taso on pinta, jonka kaikki pisteet täyttävät yleisen yhtälön:

Ax + By + Cz + D = 0,

missä A, B, C ovat vektorin koordinaatit

tason normaalivektori. Seuraavat erikoistapaukset ovat mahdollisia:

A \u003d 0 - taso on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa

B \u003d 0 - taso on yhdensuuntainen Oy-akselin kanssa

C \u003d 0 - taso on yhdensuuntainen Oz-akselin kanssa

D = 0 - taso kulkee origon läpi

A \u003d B \u003d 0 - taso on yhdensuuntainen xOy-tason kanssa

A \u003d C \u003d 0 - taso on yhdensuuntainen xOz-tason kanssa

B \u003d C \u003d 0 - taso on yhdensuuntainen tason yOz kanssa

A \u003d D \u003d 0 - taso kulkee Ox-akselin läpi

B \u003d D \u003d 0 - taso kulkee Oy-akselin läpi

C \u003d D \u003d 0 - taso kulkee Oz-akselin läpi

A \u003d B \u003d D \u003d 0 - taso osuu xOy-tason kanssa

A \u003d C \u003d D \u003d 0 - taso osuu xOz-tason kanssa

B \u003d C \u003d D \u003d 0 - kone osuu yhteen koneen yOz kanssa

Kolmen pisteen läpi kulkevan tason yhtälö

Jotta yksi taso voidaan piirtää minkä tahansa kolmen avaruuden pisteen läpi, on välttämätöntä, että nämä pisteet eivät ole yhdellä suoralla. Tarkastellaan pisteitä М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) yleisessä suorakulmaisessa koordinaatistossa. Jotta mielivaltainen piste M(x, y, z) olisi samassa tasossa kuin pisteet M1, M2, M3, vektorien on oltava samassa tasossa.

Tällä tavalla,

Kolmen pisteen läpi kulkevan tason yhtälö:

Tason yhtälö, jossa on kaksi pistettä ja tason kanssa kollineaarinen vektori

Olkoon pisteet M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) ja vektori.

Muodostetaan yhtälö annettujen pisteiden M1 ja M2 kautta kulkevasta tasosta ja mielivaltaisesta vektorin suuntaisesta pisteestä M(x, y, z).

Vektorien ja vektorin tulee olla samassa tasossa, ts.

Tasoyhtälö:

Tason yhtälö yhden pisteen ja kahden tason kanssa kollineaarisen vektorin suhteen

Olkoon kaksi vektoria ja kollineaaritasoa annettu. Tällöin tasoon kuuluvan mielivaltaisen pisteen M(x, y, z) vektorien on oltava samassa tasossa. Tasoyhtälö:

Tasoyhtälö pisteen ja normaalivektorin mukaan

Lause. Jos avaruudessa on annettu piste M0 (x0, y0, z0), niin pisteen M0 kautta kohtisuorassa normaalivektoriin (A, B, C) kulkevan tason yhtälöllä on muoto:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.

Todiste. Tasoon kuuluvalle mielivaltaiselle pisteelle M(x, y, z) muodostetaan vektori. Koska vektori on normaalivektori, silloin se on kohtisuorassa tasoon nähden ja siten myös kohtisuorassa vektoria vastaan. Sitten skalaaritulo

Siten saamme tason yhtälön

Lause on todistettu.

Suoran suoran yleistä yhtälöä kutsutaan saattaa loppuun, jos kaikki sen kertoimet eivät ole yhtä suuria kuin 0. Muussa tapauksessa yhtälöä kutsutaan epätäydellinen.

D = 0 Ax+Vu+Сz=0-lentokone, kulkee koordinaattien origon kautta.

Loput tapaukset määräytyvät normaalivektorin sijainnin mukaan n=( A; B; C).

A = 0 Ву+Сz+D=0 on tason yhtälö, yhdensuuntainen akseli Ox.(Koska normaalivektori n=( 0;B;C) on kohtisuorassa Ox-akselia vastaan).

B = 0 Ah+Сz+D=0 - tasoyhtälö, yhdensuuntainen y-akselin kanssa.(Koska normaalivektori n=( A; 0; C) on kohtisuorassa Oy-akseliin nähden).

C = 0 Ah+Wu+D=0 - tasoyhtälö, yhdensuuntainen akseli Oz. (Koska normaalivektori n=( A; B; 0) on kohtisuorassa Oz-akseliin nähden).

A=B=0 Сz+D=0 – z = -D/C – Oxy-tason kanssa yhdensuuntaisen tason yhtälö (koska tämä taso on yhdensuuntainen Ox- ja Oy-akselien kanssa).

A=C=0 Wu+D=0 - y=-D/B- Oxz-tason kanssa yhdensuuntaisen tason yhtälö (koska tämä taso on yhdensuuntainen Ox- ja Oz-akselien kanssa).

B=C=0 Ah+D=0 – x=-D/A- Oyz-tason kanssa yhdensuuntaisen tason yhtälö (koska tämä taso on yhdensuuntainen Oy- ja Oz-akselien kanssa).

A=D=0 Tekijä+Cz=0 - x-akselin läpi kulkevan tason yhtälö.

B = D = 0 Ax+Cz=0 - Oy-akselin läpi kulkevan tason yhtälö.

A=B=D=0 Cz=0 (z=0) – Oxy-koordinaattitaso.(koska tämä taso on yhdensuuntainen Oxyn kanssa ja kulkee origon kautta).

A=C=D=0 By=0 (y=0) – koordinaattitaso Охz.(koska tämä taso on yhdensuuntainen Oxzin kanssa ja kulkee origon läpi).

B=C=D=0 ax=0 (x=0) – koordinaattitaso Оуz.(koska tämä taso on yhdensuuntainen Oyzin kanssa ja kulkee origon kautta).

Kolmen annetun pisteen läpi kulkevan tason yhtälö.

Johdetaan tason yhtälö, joka kulkee 3 eri pisteen läpi M 1 (x 1; y 1; z 1), M 2 (x 2; y 2; z 2), M 3 (x 3; y 3; z 3) , ei makaa yhdellä suoralla linjalla. Sitten vektorit M 1 M 2 \u003d (x 2 -x 1; y 2 ​​- y 1; z 2 -z 1) ja M 1 M 3 \u003d (x 3 -x 1; y 3 -y 1; z 3 -z 1) eivät ole kollineaarisia. Siksi piste M(x, y, z) on samassa tasossa pisteiden M 1 , M 2 ja M 3 kanssa, jos ja vain jos vektorit M 1 M 2 , M 1 M 3 ja M 1 M\u003d (x-x 1; y-y 1; z-z 1) - koplanaarinen, ts.  kun niiden sekatulo on 0

(M 1 MM 1 M 2 M 1 M 3 =0) , eli

(4) Yhtälö tasosta, joka kulkee 3 annetun pisteen kautta.

(Laajentamalla determinanttia 1. riviä pitkin ja yksinkertaistamalla saamme tason yleisen yhtälön: Ax + Vy + Cz + D \u003d 0).

Että. kolme pistettä määrittelevät yksiselitteisesti tason.

Tason yhtälö akseleiden segmenteissä.

Taso Π leikkaa koordinaattiakselit pisteissä M 1 (a; 0; 0), M 2 (0; b; 0), M 3 (0; 0; c).

M (x; y; z) on tason muuttuva piste.

M 1 M=(x-a; y; z)

M 1 M 2 =(0-а;b;0) määrittelee annetun tason

M 1 M 3 =(-a;0;c)

Nuo. M 1 MM 1 M 2 M 1 M 3 =0

Laajennamme ensimmäistä riviä: (х-а)bc-y(-ac)+zab=xbc-abc+yac+zab=0

Jaa yhtäläisyys abc≠0:lla. Saamme:

(5) tason yhtälö akseleiden segmenteissä.

Yhtälö (5) voidaan saada tason yleisestä yhtälöstä olettaen, että D≠0, jaettuna D:llä

Merkitään –D/A=a, -D/B=b, -C/D=c – saadaan yhtälö 4.

Kahden tason välinen kulma. Tasojen yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran ehdot.

Kahden tason α 1 ja α 2 välinen kulma φ mitataan tasaisella kulmalla kahden säteen välillä, jotka ovat kohtisuorassa linjaan nähden, jota pitkin nämä tasot leikkaavat. Mitkä tahansa kaksi leikkaavaa tasoa muodostavat kaksi kulmaa, joiden summa on . Riittää, kun määritetään yksi näistä kulmista.

Esitetään tasot yleisillä yhtälöillä:

 1 : A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0

 2 : A 2 x+ B 2 y+ C 2 z+ D 2 =0

Harkitse PDSC:tä (O, i,j,k) tilassa R 3 . Olkoon  jokin taso ja vektori  N kohtisuorassa suhteessa a. Kiinnitetään mielivaltainen piste M 0 tasolle  ja otetaan tilan nykyinen piste M. Merkitse ` r =
ja` r 0 =
. Sitten
=`r – `r 0 , ja piste М jos ja vain jos vektorit ` N ja
ortogonaalinen. Jälkimmäinen on mahdollista, kun

N .
= 0, eli N . (`r-`r 0) = 0, (9)

tätä yhtälöä kutsutaan vektoriyhtälö lentokoneita. Vektori ` N nimeltään normaali tasovektori.

Jos ` N =(MUTTA, AT, FROM), M 0 ( X 0 , klo 0 , z 0) , M( X, klo, z), yhtälö (9) saa muodon

MUTTA( X – X 0) + B( klo – klo 0) + C( z – z 0) = 0, (10).

Tätä yhtälöä kutsutaan yhtälöksi tasosta, joka kulkee tietyn pisteen kautta kohtisuorassa tiettyyn vektoriin nähden.

Vastaanottaja Tiedetään, että kolmen pisteen kautta voidaan piirtää yksi taso. Olkoon M 1 ( X 1 , klo 1 , z 1), M 3 ( X 2 , klo 2 , z 2), M 3 ( X 3 , klo 3 , z 3). Etsitään tämän tason yhtälö. Vektoriyhtälön (9) mukaan tämän yhtälön kirjoittamiseksi on tiedettävä tason piste ja normaalivektori. Meillä on piste (esimerkiksi M 1). Ja normaalivektorina mikä tahansa vektori, joka on kohtisuorassa tähän tasoon nähden, käy. Tiedetään, että kahden vektorin ristitulo on kohtisuorassa tasoon nähden, jossa nämä vektorit sijaitsevat. Siksi vektorien ristitulo
ja
voidaan pitää tason normaalivektorina :

` N =


Silloin tason  vektorimuodossa yhtälöllä on muoto

. (

) =
.
.
= 0.

(Huomaa, että olemme saaneet vektorien komplanaarisuuden ehdon
,
,
).

Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa pisteiden M 1, M 2, M 3 ja M koordinaattien kautta

, (11)

ja sitä kutsutaan tason yhtälöksi, kulkee kolmen annetun pisteen läpi M 1 ( X 1 , klo 1 , z 1), M 2 ( X 2 , klo 2 , z 2), M 3 ( X 3 , klo 3 , z 3).

Tarkastele yhtälöä (9) uudelleen, muunna se:

vai niin + Wu + cz +(–vai niin 0 – Wu 0 – cz 0) = 0 ,

vai niin + Wu + cz+D = 0, missä D = (– vai niin 0 – Wu 0 – cz 0) .

Yhtälö

vai niin + Wu + cz+D = 0, (12)

nimeltään yleinen yhtälö lentokoneita. Tässä vektoriN = ( A, B, C) on tason normaalivektori (eli vektori, joka on kohtisuorassa tasoon nähden). Lause on totta:

Lause 4.2.

Avaruudessa R3 mikä tahansa taso voidaan kuvata lineaariseksi muuttujien suhteen x y, z yhtälö ja päinvastoin. mikä tahansa ensimmäisen asteen yhtälö määrittelee jonkin tason.

Tutkitaan tason sijaintia suhteessa koordinaattijärjestelmään sen yleisen yhtälön mukaisesti vai niin + Wu + cz+D = 0.

Jos kerroin D = 0, niin pisteen O(0, 0, 0) koordinaatit täyttävät yhtälön vai niin + Wu + cz= 0, joten tämä piste on tasossa, ts. taso yhtälön kanssa vai niin + Wu + cz= 0 kulkee origon läpi.

Jos tason yleisessä yhtälössä puuttuu yksi muuttujista (vastaava kerroin on nolla), silloin taso on samannimisen koordinaattiakselin suuntainen. Esimerkiksi yhtälö vai niin + cz + D= 0 määrittää y-akselin suuntaisen tason. Itse asiassa normaalivektorilla on koordinaatit ` N= (A, 0, C) ja se on helppo tarkistaa ` Nj. Mutta jos taso ja vektori ovat kohtisuorassa samaan vektoriin nähden, ne ovat yhdensuuntaisia. Taso yhtälöllä Wu + cz= 0, tässä tapauksessa, kulkee OX-akselin läpi (eli tämä akseli on tasossa)

Kahden poissaolo muuttujat tasoyhtälössä tarkoittaa, että taso on samansuuntainen vastaavan koordinaattitason kanssa, esimerkiksi yhtälö muotoa vai niin + D= 0 määrittelee tason, joka on yhdensuuntainen YOZ-tason kanssa. Normaalivektorilla on koordinaatit ` N= (A, 0, 0), se on kollineaarinen vektorin  kanssa i, ja siksi taso on kohtisuorassa vektoriin  i, tai yhdensuuntainen UOZ-tason kanssa.

Koordinaattitasojen yhtälöt näyttää kuin: MITEN: z= 0, pl. XOZ: y= 0, pl. YOZ: x = 0.

Todellakin, HOW-taso kulkee origon (D = 0) ja vektorin  läpi k=(0, 0, 1) on sen normaalivektori. Vastaavasti XOZ- ja YOZ-tasot kulkevat origon (D = 0) ja vektorien  läpi j=(0, 1, 0) ja  i = (1,0,0) ovat niiden normaalit, vastaavasti.

Jos D0, niin muunnetaan yleinen yhtälö seuraavasti

vai niin + Wu+C z = –D,
,
.

O tarkoittaa tässä
,
,
, saamme yhtälön
, (13)

jota kutsutaan tasoyhtälöksi segmenteissä akseleilla. Tässä a, b, c ovat koordinaattiakseleiden tason leikkaamien segmenttien arvot (kuva). Tätä yhtälöä on kätevä käyttää tason rakentamiseen koordinaattijärjestelmässä. On helppo varmistaa, että pisteet ( a, 0, 0), (0. b, 0), (0, 0, Kanssa) makaa lentokoneessa. Näiden pisteiden läpi kulkevia viivoja kutsutaan jälkiä tasot koordinaattitasoilla.

Rakennetaan esimerkiksi lentokone

2X – 3klo + 4z –12 = 0.

Vie tämä yhtälö muotoon (13), saamme

D Koordinaattijärjestelmän tason rakentamiseksi merkitse piste (6, 0, 0) OX-akselille, piste (0, -4, 0) OY-akselille, (0, 0, 3) OZ-akselille , yhdistä ne suorilla segmenteillä (tasojäljet). Tuloksena oleva kolmio on osa haluttua tasoa, joka on suljettu koordinaattiakselien väliin.

Jotta löytää tason yhtälö tarpeeksi tietää

Joko tämän tason ja minkä tahansa sen pisteen normaalivektori (yhtälö (10));

Tai kolme tasossa olevaa pistettä (yhtälö (11)).

Lentokoneiden keskinäinen järjestely avaruudessa on kätevää tutkia niitä vastaavilla vektoreilla. Jos  on taso, jolla on normaalivektori N, niin

.

Kaavan johtaminen on samanlainen kuin kuinka se tehtiin suoralle tasolle. Suorita se itse.

Se voidaan määrittää eri tavoin (yksi piste ja vektori, kaksi pistettä ja vektori, kolme pistettä jne.). Tämä mielessä pitäen tason yhtälöllä voi olla erilaisia ​​muotoja. Tietyissä olosuhteissa tasot voivat myös olla yhdensuuntaisia, kohtisuorassa, leikkaavia jne. Puhumme tästä tässä artikkelissa. Opimme kirjoittamaan tason yleisen yhtälön eikä vain.

Yhtälön normaalimuoto

Oletetaan, että on avaruus R 3, jolla on suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä XYZ. Asetetaan vektori α, joka vapautetaan alkupisteestä O. Piirretään vektorin α pään kautta taso P, joka on kohtisuorassa siihen nähden.

Merkitse P:llä mielivaltainen piste Q=(x, y, z). Merkitsemme pisteen Q sädevektorin kirjaimella p. Vektorin α pituus on p=IαI ja Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Tämä on yksikkövektori, joka osoittaa sivuttain, aivan kuten vektori α. α, β ja γ ovat kulmia, jotka muodostuvat vektorin Ʋ ja avaruusakselien x, y, z positiivisten suuntien välille, vastaavasti. Jonkin pisteen QϵП projektio vektoriin Ʋ on vakioarvo, joka on yhtä suuri kuin р: (р,Ʋ) = р(р≥0).

Tämä yhtälö on järkevä, kun p = 0. Ainoa asia on, että taso P tässä tapauksessa leikkaa pisteen O (α=0), joka on origo, ja pisteestä O irrotettu yksikkövektori Ʋ on kohtisuorassa P:tä vastaan, riippumatta sen suunnasta, mikä tarkoittaa että vektori Ʋ määritetään etumerkkitarkkuudesta. Edellinen yhtälö on P-tasomme yhtälö ilmaistuna vektorimuodossa. Mutta koordinaateissa se näyttää tältä:

P tässä on suurempi tai yhtä suuri kuin 0. Olemme löytäneet avaruuden tason yhtälön normaalimuodossaan.

Yleinen yhtälö

Jos kerromme yhtälön koordinaateissa millä tahansa luvulla, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla, saadaan yhtälö, joka vastaa annettua yhtälöä, joka määrittää saman tason. Se näyttää tältä:

Tässä A, B, C ovat lukuja, jotka ovat samanaikaisesti erilaisia ​​kuin nolla. Tätä yhtälöä kutsutaan yleistasoyhtälöksi.

Tasoyhtälöt. Erikoistapaukset

Yhtälöä yleisessä muodossa voidaan muuttaa lisäehtojen läsnä ollessa. Tarkastellaanpa joitain niistä.

Oletetaan, että kerroin A on 0. Tämä tarkoittaa, että annettu taso on yhdensuuntainen annetun akselin Ox kanssa. Tässä tapauksessa yhtälön muoto muuttuu: Ву+Cz+D=0.

Samalla tavalla yhtälön muoto muuttuu seuraavissa olosuhteissa:

• Ensinnäkin, jos B = 0, niin yhtälö muuttuu muotoon Ax + Cz + D = 0, mikä osoittaa yhdensuuntaisuuden Oy-akselin kanssa.
• Toiseksi, jos С=0, niin yhtälö muunnetaan muotoon Ах+Ву+D=0, mikä osoittaa yhdensuuntaisuuden annetun akselin Oz kanssa.
• Kolmanneksi, jos D=0, yhtälö näyttää muotoa Ax+By+Cz=0, mikä tarkoittaisi, että taso leikkaa O:n (origo).
• Neljänneksi, jos A=B=0, yhtälö muuttuu muotoon Cz+D=0, mikä osoittautuu rinnakkaiseksi Oxyn kanssa.
• Viidenneksi, jos B=C=0, yhtälöstä tulee Ax+D=0, mikä tarkoittaa, että taso Oyz:ään on yhdensuuntainen.
• Kuudenneksi, jos A=C=0, yhtälö saa muotoa Ву+D=0, eli se raportoi rinnakkaisuuden Oxz:lle.

Yhtälön tyyppi segmenteissä

Jos luvut A, B, C, D eivät ole nollia, yhtälön (0) muoto voi olla seuraava:

x/a + y/b + z/c = 1,

jossa a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Saamme tuloksena On syytä huomata, että tämä taso leikkaa Ox-akselin pisteessä, jonka koordinaatit (a,0,0), Oy - (0,b,0) ja Oz - (0,0,c) .

Kun otetaan huomioon yhtälö x/a + y/b + z/c = 1, on helppo esittää visuaalisesti tason sijainti suhteessa annettuun koordinaattijärjestelmään.

Normaalivektorikoordinaatit

Tason P normaalivektorilla n on koordinaatit, jotka ovat annetun tason yleisen yhtälön eli n (A, B, C) kertoimia.

Normaalin n:n koordinaattien määrittämiseksi riittää, että tunnetaan tietyn tason yleinen yhtälö.

Käytettäessä yhtälöä segmenteissä, jonka muoto on x/a + y/b + z/c = 1, sekä yleistä yhtälöä käytettäessä voidaan kirjoittaa minkä tahansa tietyn tason normaalivektorin koordinaatit: (1 /a + 1/b + 1/ Kanssa).

On huomattava, että normaalivektori auttaa ratkaisemaan erilaisia ​​​​ongelmia. Yleisimpiä ovat tehtävät, jotka koostuvat tasojen kohtisuoran tai yhdensuuntaisuuden osoittamisesta, ongelmista tasojen välisten kulmien tai tasojen ja suorien välisten kulmien löytämisessä.

Näkymä tason yhtälöstä pisteen ja normaalivektorin koordinaattien mukaan

Nollasta poikkeavaa vektoria n, joka on kohtisuorassa tiettyyn tasoon nähden, kutsutaan normaaliksi (normaaliksi) tietylle tasolle.

Oletetaan, että koordinaattiavaruudessa (suorakulmainen koordinaattijärjestelmä) Oxyz on annettu:

• piste Mₒ koordinaattein (xₒ,yₒ,zₒ);
• nollavektori n=A*i+B*j+C*k.

On tarpeen muodostaa yhtälö tasolle, joka kulkee pisteen Mₒ kautta kohtisuorassa normaaliin n nähden.

Avaruudessa valitsemme minkä tahansa mielivaltaisen pisteen ja merkitsemme sitä M (x y, z). Olkoon minkä tahansa pisteen M (x, y, z) sädevektori r=x*i+y*j+z*k ja pisteen Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) sädevektori - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Piste M kuuluu annettuun tasoon, jos vektori MₒM on kohtisuorassa vektoriin n nähden. Kirjoitamme ortogonaalisuusehdon käyttämällä skalaarituloa:

[MₒM, n] = 0.

Koska MₒM \u003d r-rₒ, tason vektoriyhtälö näyttää tältä:

Tämä yhtälö voi saada toisen muodon. Tätä varten käytetään skalaaritulon ominaisuuksia ja yhtälön vasen puoli muunnetaan. = -. Jos se merkitään c:ksi, saadaan seuraava yhtälö: - c \u003d 0 tai \u003d c, joka ilmaisee projektioiden pysyvyyden tasoon kuuluvien annettujen pisteiden sädevektoreiden normaalivektoriin.

Nyt voit saada tasomme vektoriyhtälön kirjoittamisen koordinaattimuodon = 0. Koska r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, ja n = A*i+B *j+C*k, meillä on:

Osoittautuu, että meillä on yhtälö tasolle, joka kulkee kohtisuorassa normaaliin n:ään nähden:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Näkymä tasoyhtälöstä kahden pisteen koordinaattien ja tasoon nähden kollineaarisen vektorin mukaan

Määrittelemme kaksi mielivaltaista pistettä M′ (x′,y′,z′) ja M″ (x″,y″,z″) sekä vektorin a (a′,a″,a‴).

Nyt voidaan muodostaa yhtälö annetulle tasolle, joka kulkee käytettävissä olevien pisteiden M′ ja M″ kautta sekä minkä tahansa pisteen M, jonka koordinaatit (x, y, z) ovat yhdensuuntaiset annetun vektorin a kanssa.

Tässä tapauksessa vektorien M'M=(x-x';y-y';z-z') ja M'M=(x'-x';y'-y';z'-z') on oltava samassa tasossa vektorin kanssa a=(a′,a″,a‴), mikä tarkoittaa, että (M′M, M″M, a)=0.

Joten yhtälömme tasosta avaruudessa näyttää tältä:

Kolmen pisteen leikkaavan tason yhtälön tyyppi

Oletetaan, että meillä on kolme pistettä: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), jotka eivät kuulu samaan suoraan. On tarpeen kirjoittaa annettujen kolmen pisteen läpi kulkevan tason yhtälö. Geometrian teoria väittää, että tällainen taso on todella olemassa, mutta se on ainoa ja jäljittelemätön. Koska tämä taso leikkaa pisteen (x′, y′, z′), sen yhtälön muoto on seuraava:

Tässä A, B, C eroavat nollasta samanaikaisesti. Lisäksi annettu taso leikkaa vielä kaksi pistettä: (x″,y″,z″) ja (x‴,y‴,z‴). Tässä suhteessa seuraavat ehdot on täytettävä:

Nyt voimme muodostaa homogeenisen järjestelmän tuntemattomilla u, v, w:

Meidän tapauksessamme x, y tai z on mielivaltainen piste, joka täyttää yhtälön (1). Kun yhtälö (1) ja yhtälöjärjestelmä (2) ja (3) otetaan huomioon, yllä olevassa kuvassa esitetty yhtälöjärjestelmä täyttää vektorin N (A, B, C), joka on ei-triviaali. Siksi tämän järjestelmän determinantti on nolla.

Yhtälö (1), jonka olemme saaneet, on tason yhtälö. Se kulkee tarkalleen 3 pisteen läpi, ja tämä on helppo tarkistaa. Tätä varten meidän on laajennettava determinanttiamme ensimmäisen rivin elementtien päälle. Determinantin olemassa olevista ominaisuuksista seuraa, että tasomme leikkaa samanaikaisesti kolme alun perin annettua pistettä (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Eli olemme ratkaisseet meille asetetun tehtävän.

Tasojen välinen dihedraalinen kulma

Dihedraalinen kulma on spatiaalinen geometrinen kuvio, joka muodostuu kahdesta puolitasosta, jotka lähtevät yhdestä suorasta. Toisin sanoen tämä on se osa tilaa, jota nämä puolitasot rajoittavat.

Oletetaan, että meillä on kaksi tasoa, joilla on seuraavat yhtälöt:

Tiedämme, että vektorit N=(A,B,C) ja N¹=(A¹,B1,C1) ovat kohtisuorassa annettujen tasojen mukaan. Tässä suhteessa vektorien N ja N¹ välinen kulma φ on yhtä suuri kuin kulma (dihedral), joka on näiden tasojen välillä. Skalaaritulolla on muoto:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

juuri siksi

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Riittää, kun otetaan huomioon, että 0≤φ≤π.

Itse asiassa kaksi tasoa, jotka leikkaavat, muodostavat kaksi (dihedral) kulmaa: φ 1 ja φ 2 . Niiden summa on yhtä suuri kuin π (φ 1 + φ 2 = π). Mitä tulee kosineihin, niiden absoluuttiset arvot ovat samat, mutta ne eroavat etumerkeissä, toisin sanoen cos φ 1 =-cos φ 2. Jos yhtälössä (0) korvaamme A:n, B:n ja C:n numeroilla -A, -B ja -C, niin saatu yhtälö määrittää saman tason, ainoan kulman φ yhtälössä cos φ= NN 1 /| N||N 1 | korvataan π-φ:lla.

Kohtisuoran tason yhtälö

Tasoja kutsutaan kohtisuoraksi, jos niiden välinen kulma on 90 astetta. Yllä hahmoteltua materiaalia käyttämällä voimme löytää toista kohti kohtisuoran tason yhtälön. Oletetaan, että meillä on kaksi tasoa: Ax+By+Cz+D=0 ja A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Voimme sanoa, että ne ovat kohtisuorassa, jos cosφ=0. Tämä tarkoittaa, että NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Yhdensuuntaisen tason yhtälö

Yhdensuuntaisia ​​ovat kaksi tasoa, jotka eivät sisällä yhteisiä pisteitä.

Ehto (niiden yhtälöt ovat samat kuin edellisessä kappaleessa) on, että vektorit N ja N¹, jotka ovat kohtisuorassa niihin nähden, ovat kollineaarisia. Tämä tarkoittaa, että seuraavat suhteellisuusedellytykset täyttyvät:

A/A1=B/B1=C/C1.

Jos suhteellisuusehtoja laajennetaan - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

tämä osoittaa, että nämä tasot osuvat yhteen. Tämä tarkoittaa, että yhtälöt Ax+By+Cz+D=0 ja A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 kuvaavat yhtä tasoa.

Etäisyys koneeseen pisteestä

Oletetaan, että meillä on taso P, joka saadaan yhtälöllä (0). On tarpeen löytää etäisyys siihen pisteestä, jonka koordinaatit (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Tätä varten sinun on saatettava tason P yhtälö normaalimuotoon:

(ρ,v)=p (p≥0).

Tässä tapauksessa ρ(x,y,z) on pisteemme Q sädevektori, joka sijaitsee P:llä, p on kohtisuoran P pituus, joka vapautettiin nollapisteestä, v on yksikkövektori, joka on sijaitsee a-suunnassa.

Jonkin P:hen kuuluvan pisteen Q \u003d (x, y, z) sädevektorin ero ρ-ρº sekä tietyn pisteen sädevektorin Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) ero on sellainen vektori, jonka projektion itseisarvo v:llä on yhtä suuri kuin etäisyys d, joka on löydettävä paikasta Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) P:hen:

D=|(ρ-ρ 0,v)|, mutta

(ρ-ρ0,v)= (ρ,v)-(ρ0,v) =р-(ρ0,v).

Joten se käy ilmi

d=|(ρ0,v)-p|.

Siten löydämme tuloksena olevan lausekkeen itseisarvon, eli halutun d:n.

Parametrien kieltä käyttämällä saamme ilmeisen:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Jos annettu piste Q 0 on tason P toisella puolella, samoin kuin origo, niin vektorien ρ-ρ 0 ja v välillä on siis:

d=-(ρ-ρ0,v)=(ρ0,v)-p>0.

Siinä tapauksessa, että piste Q 0 yhdessä origon kanssa sijaitsee P:n samalla puolella, luotu kulma on terävä, eli:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Tuloksena käy ilmi, että ensimmäisessä tapauksessa (ρ 0 ,v)> р, toisessa (ρ 0 ,v)<р.

Tangenttitaso ja sen yhtälö

Pinnan tangenttitaso tangenttipisteessä Mº on taso, joka sisältää tämän pinnan pisteen kautta piirrettyjen käyrien kaikki mahdolliset tangentit.

Tällä pintayhtälön F (x, y, z) \u003d 0 muodolla tangenttitason yhtälö tangenttipisteessä Mº (xº, yº, zº) näyttää tältä:

F x (xº, yº, zº)(x-xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Jos määrität pinnan eksplisiittisessä muodossa z=f (x, y), tangenttitasoa kuvataan yhtälöllä:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Kahden tason leikkauspiste

Koordinaatistossa (suorakulmainen) Oxyz sijaitsee, on annettu kaksi tasoa П′ ja П″, jotka leikkaavat eivätkä ole samat. Koska mikä tahansa suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa sijaitseva taso määräytyy yleisellä yhtälöllä, oletetaan, että P' ja P' on annettu yhtälöillä A'x+B'y+C'z+D'=0 ja A'x. +B″y+ С″z+D″=0. Tässä tapauksessa meillä on P′-tason normaali n' (A', B', C') ja P'-tason normaali n' (A', B', C'). Koska tasomme eivät ole yhdensuuntaisia ​​eivätkä täsmää, nämä vektorit eivät ole kollineaarisia. Matematiikan kieltä käyttämällä voimme kirjoittaa tämän ehdon seuraavasti: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Merkitään P′:n ja P″:n leikkauspisteessä olevaa suoraa kirjaimella a, tässä tapauksessa a = P′ ∩ P″.

a on suora, joka koostuu (yhteisten) tasojen П′ ja П″ kaikkien pisteiden joukosta. Tämä tarkoittaa, että minkä tahansa suoralle a kuuluvan pisteen koordinaattien tulee samanaikaisesti täyttää yhtälöt A′x+B′y+C′z+D′=0 ja A″x+B″y+C″z+D″= 0. Tämä tarkoittaa, että pisteen koordinaatit ovat erityinen ratkaisu seuraavalle yhtälöjärjestelmälle:

Tuloksena käy ilmi, että tämän yhtälöjärjestelmän (yleinen) ratkaisu määrittää jokaisen suoran pisteen koordinaatit, jotka toimivat П′:n ja П″:n leikkauspisteenä ja määrittävät suoran. viiva a koordinaattijärjestelmässä Oxyz (suorakulmainen) avaruudessa.