Temporaalinen ja stationaarinen Schrödingerin yhtälö

De Broglien aaltojen ja Heisenbergin epävarmuussuhteen tilastollinen tulkinta johti siihen johtopäätökseen, että kvanttimekaniikan liikeyhtälön, joka kuvaa mikrohiukkasten liikettä eri voimakentissä, tulisi olla yhtälö, josta kokeellisesti havaitut hiukkasten aaltoominaisuudet seuraa. Pääyhtälön tulee olla yhtälö aaltofunktiolle (x, y, z, t), koska juuri tämä funktio tai tarkemmin sanottuna suure 2 määrittää todennäköisyyden, että hiukkanen on tilavuudessa dV hetkellä t , eli alueella, jonka koordinaatit x ja x+dx, y ja y+dy, z ja z+dz. Koska halutussa yhtälössä on otettava huomioon hiukkasten aaltoominaisuudet, sen on oltava aaltoyhtälö, samanlainen kuin sähkömagneettisia aaltoja kuvaava yhtälö.

Tämä yhtälö on oletettu, ja sen oikeellisuus vahvistetaan sen avulla saatujen tulosten kokemuksella.

Ei-relativistisen kvanttimekaniikan perusyhtälö (1926)

4.1 Schrödingerin aikayhtälö:

Yhtälö pätee ei-relativistisille hiukkasille<< ,

missä (\displaystyle \hbar =(h \over 2\pi )) on hiukkasen massa; - kuvitteellinen yksikkö; on hiukkasen potentiaalinen funktio voimakentässä, jossa se liikkuu; on haluttu aaltofunktio; ∆ on Laplace-operaattori

Aaltofunktiolle asetetut ehdot:

Aaltofunktion on oltava äärellinen, yksiarvoinen ja jatkuva.

Derivaatojen ∂Ψ/∂x, ∂Ψ/∂y, ∂Ψ/∂z , ∂Ψ/∂t tulee olla jatkuvia.

Funktion 2 on oltava integroitavissa (tämä ehto pelkistyy todennäköisyyksien normalisointiehdoksi).

4.2 Kiinteä Schrödingerin yhtälö

Kun kyseessä on kiinteä voimakenttä (funktio U=U(x, y, z) ei ole nimenomaisesti riippuvainen ajasta ja sillä on potentiaalienergian merkitys. Tässä tapauksessa Schrödingerin yhtälön ratkaisu voidaan esittää kahden funktion tulona, ​​joista toinen on vain koordinaattien funktio, toinen on vain ajan funktio ja riippuvuus ajasta ilmaistaan ​​tekijällä ).

Tällöin stationaaristen tilojen (tilojen, joilla on kiinteät energia-arvot) aaltofunktio voidaan esittää seuraavasti:

Kiinteä Schrödingerin yhtälö:

saatu aaltofunktion korvaamisen jälkeen Schrödingerin aikayhtälöön ja muunnoksiin (∆ on Laplacen operaattori, m- hiukkasten massa; - alennettu Planck-vakio ( = h/2π); E on hiukkasen kokonaisenergia, U on hiukkasen potentiaalienergia. Klassisessa fysiikassa määrä (E–U) olisi yhtä suuri kuin hiukkasen kineettinen energia. Kvanttimekaniikassa kineettisen energian käsite on epävarmuussuhteen vuoksi merkityksetön. Tässä potentiaalinen energia U on ominaisuus ulkoinen voimakenttä jossa hiukkanen liikkuu. Tämä arvo on melko selvä. Tässä tapauksessa se on myös koordinaattien funktio U =U(x,y,z)).

Schrödingerin pääideana on siirtää geometrisen optiikan ja klassisen mekaniikan välinen matemaattinen analogia valon ja hiukkasten aaltoominaisuuksiin.

Saadaan Schrödingerin yhtälö vapaan elektronin aaltofunktion lausekkeesta. Kirjoitetaan se uudelleen monimutkaiseen muotoon.

Käyttämällä taajuuden suhdetta energiaan ja aallon lukua liikemäärään saamme: .

Yleisessä tapauksessa on hiukkasen kokonaisenergia, , on kineettinen energia ja on vuorovaikutusenergia.

Etsitään ensimmäinen derivaatta funktion Y koordinaatin suhteen ja toinen funktion Y koordinaatin suhteen: (1), (2).

Kerromme yhtälön (1) :llä ja yhtälön (2) kertoimella (siten oikeanpuoleisilla tekijöillä on energiamitta):

, .

Lisäämme tuloksena saadut yhtälöt:

.

Koska , viimeinen yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon .

Tämä on Schrödingerin yhtälö. Se saatiin yhdelle koordinaatille. Jos se kirjoitetaan uudelleen kolmelle koordinaatille, ottamalla käyttöön Laplace-operaattori, saamme vihdoin

.

Schrödingerin yhtälöä ei voida suoraan johtaa klassisen fysiikan peruslaeista. Schrodingerin yhtälön avulla voit löytää aaltofunktion mielivaltaisella ajanhetkellä. Tätä varten sinun on tiedettävä aaltofunktio tietyllä hetkellä, hiukkasen massa ja hiukkasen vuorovaikutuksen energia voimakentän kanssa. Löydetyn aaltofunktion avulla voidaan laskea todennäköisyys löytää hiukkanen mielivaltaisesta avaruuden pisteestä minä tahansa ajanhetkenä.

Tärkeimmät ominaisuudet, jotka aaltofunktioiden on täytettävä, ovat Schrödingerin yhtälön ratkaisut:

1. Aaltofunktio on lineaarinen, ts. jos … ovat yhtälön ratkaisuja, niin niiden lineaarinen yhdistelmä on ratkaisu.

2. Ensimmäiset koordinaattien osittaiset derivaatat ovat lineaarisia

3. Aaltofunktion ja sen spatiaalisten derivaattojen tulee olla yksiarvoisia, äärellisiä ja jatkuvia.

4. Kuten meillä on tapana ∞, aaltofunktion arvon tulisi pyrkiä nollaan.

Schrödingerin yhtälö paikallaan oleville tiloille.

Jos voimakenttä, jossa kuvattu hiukkanen liikkuu, on paikallaan, niin sen potentiaali ei ole eksplisiittisesti riippuvainen ajasta, ja funktiolla on potentiaalienergian merkitys ja se riippuu vain koordinaateista. Tässä tapauksessa aaltofunktio voidaan esittää kahden tulona. Yksi toiminto riippuu vain , toinen vain ajasta :

Korvaamme viimeisen lausekkeen Schrödingerin yhtälöön

Aikatekijällä vähennyksen ja joidenkin alkeismuunnosten jälkeen saamme: (*).

Tämä on Schrödingerin yhtälö stationäärisille tiloille. Se sisältää vain aaltofunktion koordinaattiosan - . Jos jälkimmäinen löytyy, niin kokonaisaaltofunktio löydetään kertomalla koordinaattiosa aikakertoimella .

Koska todennäköisyys määräytyy aaltofunktion neliön perusteella ja kompleksiarvon neliö saadaan kertomalla kompleksikonjugaatilla, seuraava suhde pätee stationäärisille aaltofunktioille:

Siten aaltofunktion löytämiseksi stationäärisille tiloille on ratkaistava yhtälö (*) ja tiedettävä kokonaisenergia .

Hiukkasten vapaa liikkuvuus.

Kvanttihiukkasen vapaan liikkeen aikana siihen ei vaikuta voimia, ja sen potentiaalienergia voi olla nolla. Anna hiukkasen liikkua suuntaan , jolloin (*) saa muodon: .

Erityinen ratkaisu tähän yhtälöön on muodon funktio , missä ja ovat vakioita. Jos korvaamme halutun ratkaisun itse yhtälöön, saamme yhteyden hiukkasen energian ja määrän välillä:

Täysi aaltofunktio, kun otetaan huomioon vapaan hiukkasen aikariippuvuus, on muotoa . Se on taso monokromaattinen aalto taajuudella ja aaltoluvulla. Siitä lähtien ja sitten .

SCHROEDINGERIN YHTÄLÖ
JA SEN ERIKOISTAPAUKSET (jatkuu): hiukkasen kulkeminen MAHDOLLISEN ESTEEN, harmonisen oskillaattorin läpi

Hiukkasen kulku potentiaaliesteen läpi klassisen tapauksen osalta olemme jo tarkastelleet LUENTON 7 OSA 1 (katso kuva 7.2). Tarkastellaan nyt mikrohiukkasta, jonka kokonaisenergia on pienempi kuin taso U potentiaalieste (kuva 19.1). Klassisessa versiossa tässä tapauksessa hiukkasen kulku esteen läpi on mahdotonta. Kvanttifysiikassa on kuitenkin mahdollisuus, että hiukkanen ohittaa. Lisäksi se ei "hyppää" sen yli, vaan ikään kuin "vuotaa läpi" käyttämällä aaltoominaisuuksiaan. Siksi vaikutusta kutsutaan myös "tunneloksi". Jokaiselle alueelle I, II, III kirjoitamme stationaarisen Schrödingerin yhtälön (18.3).

varten minä ja III: , (19.1, a)

varten II: https://pandia.ru/text/78/010/images/image005_107.gif" width="71" height="32">, jossa a = konst. Sitten ja y" = . Korvaa y" kohtaan (19.1a) saadaan: Vaadittu yleinen ratkaisu toimialueelle minä kirjoitettu superpositioksi

https://pandia.ru/text/78/010/images/image010_62.gif" width="132" height="32 src="> . (19.3)

Tässä tapauksessa aallon etenemisen alkupiste siirtyy L, a AT 3 = 0 , koska alueella III on vain ohimenevä aalto.

Alueella II(esteen) substituutio y" kohdassa (19.1b) antaa

https://pandia.ru/text/78/010/images/image012_51.gif" width="177" height="32">.

Ohittamisen todennäköisyys on karakterisoitu lähetyskerroin- lähetetyn aallon voimakkuuden suhde tapahtuman intensiteettiin:

(0) = y2"(0) , y2"( L) = y3"( L); (19.5)

joista kaksi ensimmäistä tarkoittavat toimintojen "ompelua" esteen vasemmalle ja oikealle puolelle, ja kolmas ja neljäs - tällaisen siirtymän sujuvuutta. Korvaamalla funktiot y1, y2 ja y3 arvolla (19.5) saadaan yhtälöt

Jaetaan ne MUTTA 1 ja merkitse a 2=A 2/A 1; b 1=B 1/A 1; a 3=A 3/A 1; b 2=B 2/A 1.

. (19.6)

Kerrotaan ensimmäinen yhtälö (19.6) luvulla ik ja lisää se toiseen. Otetaan 2 ik = a 2(q +ik)-b 2(q-ik) . (19.7)

Toista yhtälöparia (19.6) pidetään kahden tuntemattoman yhtälön järjestelmänä a 2 ja b 2.

Tämän järjestelmän päätekijät ovat:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image017_33.gif" width="319" height="32">,

missä e- qL(q+ik) 2 » 0, koska qL >> 1.

Siksi https://pandia.ru/text/78/010/images/image019_32.gif" width="189" height="63"> ja löytää kompleksiarvon moduuli a 3, kerro tuloksena olevan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä ( q +ik)2. Yksinkertaisten muutosten jälkeen saamme

https://pandia.ru/text/78/010/images/image021_30.gif" width="627" height="135 src=">Yleensä E/U~ 90% ja koko kerroin ennen "e" on luokkaa yksi. Siksi todennäköisyys, että hiukkanen läpäisee esteen, määräytyy seuraavalla suhteella:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image023_24.gif" width="91" height="44">.

Tämä tarkoittaa, että klo E< U hiukkanen ei ylitä estettä, eli klassisessa fysiikassa ei ole tunneliilmiötä.

Tätä vaikutusta käytetään insinöörikäytännössä radiotekniikan laitteissa laajalti käytettyjen tunnelidiodien luomiseen (katso OSA 3, LUETTO 3).

Lisäksi osoittautui mahdolliseksi käynnistää lämpöydinfuusioreaktio maanpäällisissä olosuhteissa, joka tapahtuu Auringossa Auringolle tavanomaisissa olosuhteissa - lämpötilassa T ~ 109 K. Maapallolla ei ole tällaista lämpötilaa, mutta tunneliilmiön ansiosta reaktio on mahdollista käynnistää lämpötilassa T ~ 107 K, joka tapahtuu vetypommin sytytyslaitteena toimivan atomipommin räjähdyksen aikana. Tästä lisää kurssin seuraavassa osassa.

Harmoninen oskillaattori.Klassinen harmoninen oskillaattori on myös meillä jo käsitelty (LUETOJA 1,2 OSA 3). Se on esimerkiksi jousiheiluri, jonka kokonaisenergia E = mV 2/2 + kx 2/2. Teoriassa tämä energia voi saada jatkuvan arvosarjan nollasta alkaen.

Kvanttiharmoninen oskillaattori on harmonisen lain mukaan värähtelevä mikrohiukkanen, joka on sitoutuneessa tilassa atomin tai ytimen sisällä. Tässä tapauksessa potentiaalienergia pysyy klassisena, mikä luonnehtii samanlaista elastista palautusvoimaa kx. Ottaen huomioon, että syklinen taajuus saamme potentiaalienergiaa https://pandia.ru/text/78/010/images/image026_19.gif" width="235" height="59">. (19.9)

Matemaattisesti tämä ongelma on vielä vaikeampi kuin edelliset. Siksi rajoitamme vain toteamaan, mikä on lopputulos. Kuten yksiulotteisen kaivon tapauksessa, saamme diskreetti ominaisfunktioiden ja ominaisenergioiden spektri, ja yksi energian ominaisarvo vastaa yhtä aaltofunktiota: EnÛ y n(ei tapahdu tilojen rappeutumista, kuten kolmiulotteisen kaivon tapauksessa). Todennäköisyystiheys |yn|2 on myös värähtelevä funktio, mutta "kumppien" korkeus on erilainen. Se ei ole enää banaalia synti2 , kun taas eksoottisemmat Hermite-polynomit h n(x). Aaltofunktiolla on muoto

, missä Kanssan- riippuen n vakio. Energian ominaisarvospektri:

, (19.10)

missä on kvanttiluku n = 0, 1, 2, 3 ... . Siten on myös "nollaenergiaa" , jonka yläpuolella energiaspektri muodostaa "pinon", jossa hyllyt sijaitsevat samalla etäisyydellä toisistaan ​​(kuva 19.2). Samassa kuvassa näkyy vastaava todennäköisyystiheys |yn|2 kullekin energiatasolle sekä ulkoisen kentän potentiaalienergia (pisteinen paraabeli).

Oskillaattorin nollasta poikkeavan minimienergian olemassaololla on syvä merkitys. Tämä tarkoittaa, että mikrohiukkasten värähtelyt eivät lopu ei koskaan, mikä puolestaan ​​tarkoittaa, että absoluuttista nollalämpötilaa ei voida saavuttaa.

1., Bursian fysiikka: Luentokurssi tietokoneella: Proc. opintotuki opiskelijoille. korkeampi oppikirja laitokset: 2 nidettä - M .: VLADOS-PRESS Publishing House, 2001.

Periaatteessa ei mitään erikoista, ne löytyvät taulukoista ja jopa kaavioista.

Kvanttimaailman hiukkasiin pätevät muut lait kuin klassisen mekaniikan esineisiin. De Broglien oletuksen mukaan mikroobjekteilla on sekä hiukkasten että aaltojen ominaisuuksia – ja todellakin, kun elektronisuihku siroaa reiän kohdalle, havaitaan diffraktio, joka on tyypillistä aallolle.

Siksi emme voi puhua kvanttihiukkasten liikkeestä, vaan todennäköisyydestä, että hiukkanen on tietyssä pisteessä tietyllä hetkellä.

Mikä kuvaa Schrödingerin yhtälöä

Schrödingerin yhtälö on tarkoitettu kuvaamaan kvanttiobjektien liikkeen piirteitä ulkoisten voimien kentissä. Usein hiukkanen liikkuu voimakentän läpi, joka ei riipu ajasta. Tässä tapauksessa kiinteä Schrödingerin yhtälö kirjoitetaan:

Esitetyssä yhtälössä m ja E ovat vastaavasti hiukkasen energiaa voimakentässä ja U on tämän kentän energia. on Laplace-operaattori. - Planckin vakio, yhtä suuri kuin 6,626 10 -34 J s.

(tätä kutsutaan myös todennäköisyysamplitudiksi tai psi-funktioksi) - tämä on funktio, jonka avulla voit selvittää, missä avaruudessa mikroobjektimme todennäköisimmin on. Fyysinen merkitys ei ole itse funktio, vaan sen neliö. Todennäköisyys, että hiukkanen on alkuainetilavuudessa, on:

Siksi on mahdollista löytää funktio äärellisestä tilavuudesta todennäköisyydellä:

Koska psi-funktio on todennäköisyys, se ei voi olla pienempi kuin nolla eikä suurempi kuin yksi. Kokonaistodennäköisyys löytää hiukkanen äärettömästä tilavuudesta on normalisointiehto:

Psi-funktiolle toimii superpositioperiaate: jos hiukkanen tai järjestelmä voi olla useissa kvanttitiloissa, niin sille on myös mahdollista niiden summan määräämä tila:

Kiinteällä Schrödinger-yhtälöllä on monia ratkaisuja, mutta ratkaisemisessa tulee ottaa huomioon reunaehdot ja valita vain oikeat ratkaisut - ne, joilla on fyysinen merkitys. Sellaisia ​​ratkaisuja on olemassa vain yksittäisille hiukkasen E energian arvoille, jotka muodostavat hiukkasen erillisen energiaspektrin.

Esimerkkejä ongelmanratkaisusta

ESIMERKKI 1

Harjoittele	Aaltofunktio kuvaa elektronin ja vetyytimen välistä etäisyyttä: r on elektronin ja ytimen välinen etäisyys, a on ensimmäinen Bohrin säde. Kuinka kaukana ytimestä elektroni todennäköisesti on?
Päätös	1) Ilmaisemalla tilavuuden ytimen säteen avulla löydämme todennäköisyyden, että elektroni on tietyllä etäisyydellä ytimestä: 2) Todennäköisyys, että elektroni on elementaarisen "renkaan" sisällä dr: 3) Löytääksemme todennäköisimmän etäisyyden, löydämme viimeisestä lausekkeesta: Ratkaisemalla tämän yhtälön saadaan r = a - todennäköisin elektronin ja ytimen välinen etäisyys.
Vastaus	r = a – suurimmalla todennäköisyydellä ydin sijaitsee ensimmäisen Bohrin säteen etäisyydellä ytimestä.

ESIMERKKI 2

Harjoittele

Etsi hiukkasen energiatasot äärettömän syvästä potentiaalikaivosta.

Päätös

Anna hiukkasen liikkua x-akselia pitkin. Kuopan leveys - l. Laskemme kaivon pohjasta tulevan energian ja kuvaamme sitä funktiolla: Kirjoitamme yksiulotteisen stationaarisen Schrödingerin yhtälön: Harkitse rajaehdot. Koska uskomme, että hiukkanen ei voi tunkeutua seinien läpi, niin kaivon ulkopuolella = 0. Kaivon rajalla psi-funktio on myös nolla: Kaivossa potentiaalienergia on U=0. Sitten kaivolle kirjoitettu Schrödinger-yhtälö yksinkertaistuu: Muodossa tämä on harmonisen oskillaattorin DE:

Mikrohiukkasten liikettä eri voimakentissä kuvataan ei-relativistisen kvanttimekaniikan puitteissa käyttäen Schrödingerin yhtälöä, josta seuraa hiukkasten kokeellisesti havaitut aaltoominaisuudet. Tätä yhtälöä, kuten kaikkia fysiikan perusyhtälöitä, ei johdeta, vaan se oletetaan. Sen oikeellisuus vahvistetaan laskentatulosten ja kokeen välisellä sopimuksella. Schrödingerin aaltoyhtälöllä on seuraava yleinen muoto:

- (ħ 2 / 2m) ∙ ∆ψ + U (x, y, z, t) ∙ ψ = i ∙ ħ ∙ (∂ψ / ∂t)

missä ħ = h / 2π, h = 6,623∙10 -34 J ∙ s - Planckin vakio;
m on hiukkasen massa;
∆ - Laplace-operaattori (∆ = ∂ 2 / ∂x 2 + ∂ 2 / ∂y 2 + ∂ 2 / ∂z 2);
ψ = ψ (x, y, z, t) - haluttu aaltofunktio;
U (x, y, z, t) on hiukkasen potentiaalifunktio voimakentässä, jossa se liikkuu;
minä olen kuvitteellinen yksikkö.

Tällä yhtälöllä on ratkaisu vain aaltofunktiolle asetetuissa olosuhteissa:

1. ψ (x, y, z, t) on oltava äärellinen, yksiarvoinen ja jatkuva;
2. sen ensimmäisten johdannaisten on oltava jatkuvia;
3. toiminto | ψ | 2:n tulee olla integroitavissa, mikä yksinkertaisimmissa tapauksissa pelkistyy todennäköisyyksien normalisointiehdoksi.

Monille mikrokosmuksessa esiintyville fysikaalisille ilmiöille yhtälöä (8.1) voidaan yksinkertaistaa poistamalla ψ:n riippuvuus ajasta, ts. Etsi Schrödingerin yhtälö stationäärisille tiloille, joilla on kiinteä energia. Tämä on mahdollista, jos voimakenttä, jossa hiukkanen liikkuu, on paikallaan, ts. U = U (x, y, z) ei ole eksplisiittisesti riippuvainen ajasta ja sillä on potentiaalienergian merkitys. Sitten muunnosten jälkeen voimme päästä Schrödingerin yhtälöön stationaarisille tiloille:

∆ψ + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0

missä ψ = ψ (x, y, z) on vain koordinaattien aaltofunktio;
E on yhtälön parametri - hiukkasen kokonaisenergia.

Tässä yhtälössä vain ratkaisuilla, jotka ilmaistaan ​​säännöllisillä funktioilla ψ (kutsutaan ominaisfunktioiksi), jotka tapahtuvat vain tietyille parametrin E arvoille, joita kutsutaan energian ominaisarvoksi, on todellinen fyysinen merkitys. Nämä E:n arvot voivat muodostaa joko jatkuvan tai diskreetin sarjan, ts. sekä jatkuva että diskreetti energiaspektri.

Minkä tahansa mikrohiukkasen (8.2) tyypin Schrödinger-yhtälön läsnä ollessa kvanttimekaniikan ongelma rajoittuu tämän yhtälön ratkaisemiseen, ts. löytää aaltofunktioiden ψ = ψ (x, y, z) arvot, jotka vastaavat ominaisenergiaspektriä E. Seuraavaksi todennäköisyystiheys | ψ | 2 , joka määrittää kvanttimekaniikassa todennäköisyyden löytää hiukkanen tilavuusyksikössä koordinaattien (x, y, z) pisteen läheisyydestä.

Yksi yksinkertaisimmista tapauksista ratkaista Schrödingerin yhtälö on ongelma hiukkasen käyttäytymisestä yksiulotteisessa suorakaiteen muotoisessa "potentiaalikaivossa", jossa on äärettömän korkeat "seinät". Sellaista "kuoppaa" vain X-akselia pitkin liikkuvalle hiukkaselle kuvaa muodon potentiaalienergia

missä l on "kuopan" leveys ja energia mitataan sen pohjasta (kuva 8.1).

Schrödingerin yhtälö stationäärisille tiloille yksiulotteisen ongelman tapauksessa voidaan kirjoittaa seuraavasti:

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0

Koska "kuopan seinät" ovat äärettömän korkeita, hiukkanen ei tunkeudu "kuopan" ulkopuolelle. Tämä johtaa rajaehtoihin:

ψ (0) = ψ (l) = 0

"Kuopan" (0 ≤ x ≤ l) sisällä yhtälö (8.4) pienenee seuraavasti:

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ E ∙ ψ = 0

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (k 2 ∙ ψ) = 0

missä k 2 = (2m ∙ E) / ħ 2

Yhtälön (8.7) ratkaisulla, kun otetaan huomioon reunaehdot (8.5), on yksinkertaisimmassa tapauksessa muoto:

ψ (x) = A ∙ sin (kx)

jossa k = (n ∙ π)/l

n:n kokonaislukuarvoille.

Lausekkeista (8.8) ja (8.10) seuraa, että

E n = (n 2 ∙ π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) (n = 1, 2, 3 ...)

nuo. stationaaristen tilojen energia riippuu kokonaisluvusta n (kutsutaan kvanttiluvuksi) ja sillä on tietyt diskreetit arvot, joita kutsutaan energiatasoiksi.

Näin ollen mikropartikkeli "potentiaalikaivossa", jossa on äärettömän korkeat "seinät", voi olla vain tietyllä energiatasolla En, ts. diskreeteissä kvanttitiloissa n.

Korvaamalla lausekkeen (8.10) lausekkeella (8.9) saadaan ominaisfunktiot

ψ n (x) = A ∙ sin (nπ / l) ∙ x

Integrointivakio A voidaan löytää kvanttimekaanisesta (todennäköisyydestä) normalisointiehdosta

joka tässä tapauksessa voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Mistä integroinnin tuloksena saamme А = √ (2 / l) ja sitten meillä on

ψ n (x) = (√ (2 / l)) ∙ sin (nπ / l) ∙ x (n = 1, 2, 3 ...)

Funktion ψ n (x) kaavioilla ei ole fyysistä merkitystä, kun taas funktion kaavioilla | ψ n | Kuva 2 esittää hiukkasen havaitsemisen todennäköisyystiheyden jakauman eri etäisyyksillä "kuopan seinistä" (kuva 8.1). Juuri näitä kuvaajia (sekä ψ n (x) - vertailua varten) tutkitaan tässä työssä ja ne osoittavat selvästi, että käsitykset hiukkasten liikeradoista kvanttimekaniikassa ovat kestämättömiä.

Lausekkeesta (8.11) seuraa, että kahden vierekkäisen tason välinen energiaväli on yhtä suuri

∆E n = E n-1 - E n = (π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) ∙ (2n + 1)

Tästä voidaan nähdä, että mikrohiukkasilla (kuten elektronilla), joilla on suuret "kuoppa"-koot (l≈ 10 -1 m), energiatasot ovat niin lähekkäin, että ne muodostavat lähes jatkuvan spektrin. Tällainen tila esiintyy esimerkiksi metallin vapaille elektroneille. Jos "kuopan" mitat ovat oikeassa suhteessa atomien kanssa (l ≈ 10 -10 m), saadaan diskreetti energiaspektri (viivaspektri). Tämän tyyppisiä spektrejä voidaan myös tutkia tässä työssä erilaisille mikropartikkeleille.

Toinen tapaus mikrohiukkasten (samoin kuin mikrojärjestelmien - heilurien) käyttäytymisestä, jota käytännössä kohdataan (ja jota tarkastellaan tässä työssä), on kvanttimekaniikan lineaarisen harmonisen oskillaattorin ongelma.

Kuten tiedetään, yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin potentiaalienergia, jonka massa on m, on yhtä suuri kuin

U (x) = (m ∙ ω 0 2 ∙ x 2)/ 2

missä ω 0 on oskillaattorin luonnollinen värähtelytaajuus ω 0 = √ (k / m);
k - oskillaattorin elastisuuskerroin.

Riippuvuus (8.17) on paraabelin muotoinen, ts. "potentiaalinen kaivo" on tässä tapauksessa parabolinen (kuva 8.2).

Kvanttiharmoninen oskillaattori kuvataan Schrödingerin yhtälöllä (8.2), joka ottaa huomioon potentiaalienergian lausekkeen (8.17). Tämän yhtälön ratkaisu kirjoitetaan seuraavasti:

ψ n (x) = (N n ∙ e - αx2 / 2) ∙ H n (x)

missä N n on vakio normalisoiva tekijä, joka riippuu kokonaisluvusta n;
α = (m ∙ ω 0) / ħ;
H n (x) on n-asteen polynomi, jonka kertoimet lasketaan käyttämällä rekursiivista kaavaa useille kokonaisluvuille n.
Differentiaaliyhtälöiden teoriassa voidaan todistaa, että Schrödingerin yhtälöllä on ratkaisu (8.18) vain energian ominaisarvoille:

E n = (n + (1/2)) ∙ ħ ∙ ω 0

missä n = 0, 1, 2, 3... on kvanttiluku.

Tämä tarkoittaa, että kvanttioskillaattorin energia voi ottaa vain diskreettejä arvoja, ts. on kvantisoitu. Kun n = 0, E 0 = (ħ ∙ ω 0) / 2 tapahtuu, ts. nollavärähtelyn energia, joka on tyypillistä kvanttijärjestelmille ja on suora seuraus epävarmuussuhteesta.

Kuten Schrödingerin yhtälön yksityiskohtainen ratkaisu kvanttioskillaattorille osoittaa, jokaisella energian ominaisarvolla eri n:llä on oma aaltofunktionsa, koska vakionormalisointikerroin riippuu n:stä

ja myös H n (x) on n-asteinen Chebyshev-Hermite-polynomi.
Lisäksi kaksi ensimmäistä polynomia ovat yhtä suuret:

H 0 (x) = 1;
H 1 (x) = 2x ∙ √ α

Kaikki myöhemmät polynomit liittyvät niihin seuraavalla rekursiivisella kaavalla:

H n+1 (x) = 2x ∙ √ α ∙ H n (x) - 2n ∙ H n-1 (x)

Tyypin (8.18) ominaisfunktiot mahdollistavat kvanttioskillaattorin löytämisen todennäköisyystiheyden mikropartikkelin löytämiselle | ψ n (x) | 2 ja tutkia sen käyttäytymistä eri energiatasoilla. Tämän ongelman ratkaiseminen on vaikeaa, koska on tarpeen käyttää rekursiivista kaavaa. Tämä ongelma voidaan ratkaista onnistuneesti vain tietokonetta käyttämällä, mikä tehdään tässä työssä.