Kulkekoon suora pisteiden M 1 (x 1; y 1) ja M 2 (x 2; y 2) läpi. Pisteen M 1 kautta kulkevan suoran yhtälön muoto on y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

missä k - kerroin vielä tuntematon.

Koska suora kulkee pisteen M 2 (x 2 y 2) läpi, tämän pisteen koordinaattien on täytettävä yhtälö (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1).

Täältä löydämme Korvaus löydetyn arvon k yhtälöön (10.6), saamme pisteiden M 1 ja M 2 kautta kulkevan suoran yhtälön:

Oletetaan, että tässä yhtälössä x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Jos x 1 \u003d x 2, niin pisteiden M 1 (x 1, y I) ja M 2 (x 2, y 2) kautta kulkeva suora on yhdensuuntainen y-akselin kanssa. Sen yhtälö on x = x 1 .

Jos y 2 \u003d y I, niin suoran yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa y \u003d y 1, suora M 1 M 2 on yhdensuuntainen x-akselin kanssa.

Segmenttien suoran yhtälö

Olkoon suora leikkaava Ox-akselin pisteessä M 1 (a; 0) ja Oy-akselin - pisteessä M 2 (0; b). Yhtälö saa muodon:
nuo.
. Tätä yhtälöä kutsutaan suoran yhtälö segmenteissä, koska numerot a ja b osoittavat mitkä segmentit suora katkaisee koordinaattiakseleilta.

Tietyn vektorin kanssa kohtisuorassa olevan pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö

Etsitään yhtälö suoralle, joka kulkee tietyn pisteen Mo (x O; y o) kautta kohtisuorassa annettuun nollasta poikkeavaan vektoriin n = (A; B).

Otetaan mielivaltainen piste M(x; y) suoralta ja katsotaan vektoria M 0 M (x - x 0; y - y o) (ks. kuva 1). Koska vektorit n ja M o M ovat kohtisuorassa, niiden skalaaritulo on yhtä suuri kuin nolla: eli

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Yhtälöä (10.8) kutsutaan tietyn vektorin kanssa kohtisuorassa olevan pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö .

Suoraa vastaan ​​kohtisuorassa olevaa vektoria n = (A; B) kutsutaan normaaliksi tämän suoran normaalivektori .

Yhtälö (10.8) voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

missä A ja B ovat normaalivektorin koordinaatit, C \u003d -Ax o - Vu o - vapaa jäsen. Yhtälö (10.9) on suoran suoran yleinen yhtälö(katso kuva 2).

Kuva 1 Kuva 2

Suoran kanoniset yhtälöt

,

Missä
ovat sen pisteen koordinaatit, jonka kautta suora kulkee, ja
- suuntavektori.

Toisen asteen ympyrän käyrät

Ympyrä on joukko kaikkia tason pisteitä, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä, jota kutsutaan keskustaksi.

Kanoninen yhtälö sädeympyrästä R keskitetty johonkin pisteeseen
:

Erityisesti, jos panoksen keskipiste on sama kuin origo, yhtälö näyttää tältä:

Ellipsi

Ellipsi on joukko tasossa olevia pisteitä, etäisyyksien summa jokaisesta niistä kahteen annettuun pisteeseen ja , joita kutsutaan polttopisteiksi, on vakioarvo
, suurempi kuin polttopisteiden välinen etäisyys
.

Kanoninen yhtälö ellipsistä, jonka polttopisteet ovat Ox-akselilla ja jonka origo on polttopisteiden keskellä, on muotoa
G de a suuren puoliakselin pituus; b on pienemmän puoliakselin pituus (kuva 2).

Tason suoran yhtälö.
Suuntavektori on suora. Normaali vektori

Tasossa oleva suora on yksi yksinkertaisimmista geometrisista muodoista, joka on tuttu sinulle perusluokista lähtien, ja tänään opimme käsittelemään sitä analyyttisen geometrian menetelmillä. Materiaalin hallitsemiseksi on pystyttävä rakentamaan suora viiva; tietää, mikä yhtälö määrittelee suoran, erityisesti origon kautta kulkevan suoran ja koordinaattiakselien suuntaiset suorat. Nämä tiedot löytyvät käsikirjasta. Alkeisfunktioiden kuvaajat ja ominaisuudet, loin sen matanille, mutta lineaarifunktiota käsittelevä osio osoittautui erittäin onnistuneeksi ja yksityiskohtaiseksi. Siksi, rakkaat teekannut, lämmitkää ensin siellä. Lisäksi sinulla tulee olla perustiedot vektorit muuten materiaalin ymmärtäminen jää puutteelliseksi.

Tällä oppitunnilla tarkastellaan tapoja, joilla voit kirjoittaa suoran yhtälön tasoon. Suosittelen olemaan laiminlyömättä käytännön esimerkkejä (vaikka se vaikuttaisikin hyvin yksinkertaiselta), sillä annan heille alkeellisia ja tärkeitä faktoja, teknisiä menetelmiä, joita tarvitaan tulevaisuudessa, myös muissa korkeamman matematiikan osissa.

• Kuinka kirjoittaa yhtälö suorasta viivasta, jossa on kaltevuus?
• Miten ?
• Kuinka löytää suuntavektori suoran yleisen yhtälön avulla?
• Kuinka kirjoittaa yhtälö suorasta pisteestä ja normaalivektorista?

ja aloitamme:

Viivayhtälö kaltevuuden kanssa

Tunnettua suoran yhtälön "koulumuotoa" kutsutaan suoran ja kaltevuuden yhtälö. Jos esimerkiksi yhtälö antaa suoran, niin sen kaltevuus: . Harkitse tämän kertoimen geometrista merkitystä ja kuinka sen arvo vaikuttaa viivan sijaintiin:

Geometrian aikana se on todistettu suoran kaltevuus on kulman tangentti positiivisen akselin suunnan välilläja annettu rivi: , ja kulma "kierretään auki" vastapäivään.

Jotta piirustus ei sotkeutuisi, piirsin kulmia vain kahdelle suoralle viivalla. Harkitse "punaista" suoraa ja sen kaltevuutta. Yllä olevan mukaan: (kulma "alfa" on merkitty vihreällä kaarella). "Siniselle" suoralle viivalle kaltevuuden kanssa tasa-arvo on totta (kulma "beta" osoitetaan ruskealla kaarella). Ja jos kulman tangentti tunnetaan, niin se on tarvittaessa helppo löytää ja nurkkaan käyttämällä käänteisfunktiota - arctangentti. Kuten sanotaan, trigonometrinen taulukko tai laskin kädessä. Täten, kaltevuus kuvaa suoran kaltevuuden astetta x-akseliin nähden.

Tässä tapauksessa seuraavat tapaukset ovat mahdollisia:

1) Jos kaltevuus on negatiivinen: , viiva kulkee karkeasti sanottuna ylhäältä alas. Esimerkkejä ovat "siniset" ja "punaiset" suorat viivat piirustuksessa.

2) Jos kaltevuus on positiivinen: , viiva kulkee alhaalta ylös. Esimerkkejä ovat "musta" ja "punainen" suorat viivat piirustuksessa.

3) Jos kaltevuus on yhtä suuri kuin nolla: , yhtälö saa muotoa , ja vastaava suora on yhdensuuntainen akselin kanssa. Esimerkki on "keltainen" viiva.

4) Akselin suuntaisten suorien perheelle (piirustuksessa ei ole esimerkkiä, paitsi itse akseli), kaltevuus ei ole olemassa (90 asteen tangenttia ei ole määritelty).

Mitä suurempi kaltevuusmoduuli, sitä jyrkemmäksi viivakaavio menee.

Tarkastellaan esimerkiksi kahta suoraa. Tässä suoralla viivalla on jyrkempi kaltevuus. Muistutan, että moduuli antaa sinun jättää huomiotta merkin, olemme vain kiinnostuneita absoluuttiset arvot kulmakertoimet.

Suora viiva puolestaan ​​on jyrkempi kuin suora. .

Päinvastoin: mitä pienempi kaltevuus modulo, sitä tasaisempi suora viiva on.

Suorille linjoille epäyhtälö on totta, joten suora viiva on enemmän kuin katos. Lasten liukumäki, jotta ei istuta mustelmia ja kuoppia.

Miksi tätä tarvitaan?

Pidennä kärsimystäsi Yllä olevien tosiasioiden tietäminen antaa sinun nähdä välittömästi virheesi, erityisesti virheet kaavioiden piirtämisessä - jos piirustus osoittautui "selvästi jotain on vialla". On toivottavaa, että sinä heti oli selvää, että esimerkiksi suora on erittäin jyrkkä ja kulkee alhaalta ylös, ja suora on erittäin tasainen, lähellä akselia ja kulkee ylhäältä alas.

Geometrisissa tehtävissä esiintyy usein useita suoria viivoja, joten ne on kätevä merkitä jollain tavalla.

Merkintä: suorat viivat on merkitty pienillä latinalaisilla kirjaimilla: . Suosittu vaihtoehto on saman kirjaimen merkitseminen luonnollisilla alaindeksillä. Esimerkiksi viisi riviä, joita juuri tarkastelimme, voidaan merkitä .

Koska minkä tahansa suoran määrittää yksiselitteisesti kaksi pistettä, se voidaan merkitä seuraavilla pisteillä: jne. Merkintä viittaa aivan selvästi siihen, että pisteet kuuluvat suoralle.

Aika rentoutua hieman:

Kuinka kirjoittaa yhtälö suorasta viivasta, jossa on kaltevuus?

Jos tiedetään piste, joka kuuluu tiettyyn suoraan, ja tämän suoran kaltevuus, tämän suoran yhtälö ilmaistaan ​​kaavalla:

Esimerkki 1

Muodosta yhtälö suorasta kulmasta, jos tiedetään, että piste kuuluu tähän suoraan.

Päätös: Muodostamme suoran yhtälön kaavan mukaan . Tässä tapauksessa:

Vastaus:

Tutkimus suoritettu alkeellisesti. Ensin tarkastelemme tuloksena olevaa yhtälöä ja varmistamme, että kaltevuus on paikallaan. Toiseksi pisteen koordinaattien on täytettävä annettu yhtälö. Yhdistämme ne yhtälöön:

Saadaan oikea yhtälö, mikä tarkoittaa, että piste täyttää tuloksena olevan yhtälön.

Johtopäätös: Yhtälö löydetty oikein.

Hankalempi esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta:

Esimerkki 2

Kirjoita suoran yhtälö, jos tiedetään, että sen kaltevuuskulma akselin positiiviseen suuntaan on , ja piste kuuluu tähän suoraan.

Jos sinulla on vaikeuksia, lue teoreettinen materiaali uudelleen. Tarkemmin, käytännöllisemmin, kaipaan monia todisteita.

Viimeinen kello soi, valmistujaispallo vaimeni ja kotikoulumme porttien takana meitä odottaa itse asiassa analyyttinen geometria. Vitsit loppui... Ehkä se on vasta alussa =)

Nostalgisesti heilutamme kahvaa tutulle ja tutustumme suoran yleiseen yhtälöön. Koska analyyttisessä geometriassa juuri tämä on käytössä:

Suoran suoran yleisellä yhtälöllä on muoto: , missä on joitain numeroita. Samaan aikaan kertoimet samanaikaisesti eivät ole yhtä suuret kuin nolla, koska yhtälö menettää merkityksensä.

Pukeudutaan pukuun ja sidotaan yhtälö rinteeseen. Ensin siirrämme kaikki ehdot vasemmalle puolelle:

Termi "x" on asetettava ensimmäiselle sijalle:

Periaatteessa yhtälöllä on jo muoto , mutta matemaattisen etiketin sääntöjen mukaan ensimmäisen termin kertoimen (tässä tapauksessa ) on oltava positiivinen. Muuttuvat merkit:

Muista tämä tekninen ominaisuus! Teemme ensimmäisestä kertoimesta (useimmiten) positiivisen!

Analyyttisessä geometriassa suoran yhtälö annetaan lähes aina yleisessä muodossa. No, tarvittaessa se on helppo tuoda "koulu"-muotoon, jossa on kaltevuus (lukuun ottamatta y-akselin suuntaisia ​​suoria viivoja).

Kysytään itseltämme mitä tarpeeksi osaatko rakentaa suoran? Kaksi pistettä. Mutta tästä lapsuuden tapauksesta myöhemmin, nyt pysyy nuolien säännössä. Jokaisella suoralla on hyvin määritelty kaltevuus, johon se on helppo "sopeutua" vektori.

Vektoria, joka on yhdensuuntainen suoran kanssa, kutsutaan tämän suoran suuntavektoriksi.. On selvää, että millä tahansa suoralla on äärettömän monta suuntavektoria, ja ne kaikki ovat kollineaarisia (yhteisohjattuja vai ei - sillä ei ole väliä).

Merkitsen suuntavektorin seuraavasti: .

Mutta yksi vektori ei riitä rakentamaan suoraa, vektori on vapaa eikä ole kiinnittynyt mihinkään tason pisteeseen. Siksi on lisäksi tarpeen tietää jokin linjaan kuuluva piste.

Kuinka kirjoittaa yhtälö suorasta pisteestä ja suuntavektorista?

Jos jokin suoraan kuuluva piste ja tämän suoran suuntavektori tunnetaan, tämän suoran yhtälö voidaan koota kaavalla:

Joskus sitä kutsutaan suoran kanoninen yhtälö .

Mitä tehdä milloin yksi koordinaateista on nolla, tarkastelemme alla käytännön esimerkkejä. Muuten, huomio - molemmat kerralla koordinaatit eivät voi olla nolla, koska nollavektori ei määritä tiettyä suuntaa.

Esimerkki 3

Kirjoita yhtälö suorasta pisteestä ja suuntavektorista

Päätös: Muodostamme suoran yhtälön kaavan mukaan. Tässä tapauksessa:

Suhteen ominaisuuksien avulla pääsemme eroon murtoluvuista:

Ja viemme yhtälön yleiseen muotoon:

Vastaus:

Tällaisten esimerkkien piirtäminen ei yleensä ole välttämätöntä, mutta ymmärtämisen vuoksi:

Piirustuksessa nähdään aloituspiste, alkuperäinen suuntavektori (se voidaan lykätä mistä tahansa tason pisteestä) ja muodostettu viiva. Muuten, monissa tapauksissa suoran linjan rakentaminen suoritetaan kätevimmin käyttämällä kaltevuusyhtälöä. Yhtälömme on helppo muuntaa muotoon ja ilman ongelmia poimia vielä yksi piste suoran rakentamiseksi.

Kuten osan alussa todettiin, suoralla on äärettömän monta suuntavektoria, ja ne ovat kaikki kollineaarisia. Esimerkiksi piirsin kolme tällaista vektoria: . Minkä suuntavektorin valitsemmekin, tuloksena on aina sama suora yhtälö.

Muodostetaan suoran yhtälö pisteestä ja suuntavektorista:

Osuuden jaottelu:

Jaa molemmat puolet -2:lla ja hanki tuttu yhtälö:

Halukkaat voivat testata vektoreita samalla tavalla tai mikä tahansa muu kollineaarinen vektori.

Ratkaistaan ​​nyt käänteinen ongelma:

Kuinka löytää suuntavektori suoran yleisen yhtälön avulla?

Erittäin yksinkertainen:

Jos suora on annettu yleisellä yhtälöllä suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa, niin vektori on tämän suoran suuntavektori.

Esimerkkejä suorien suuntavektorien löytämisestä:

Lausekkeen avulla voimme löytää vain yhden suuntavektorin äärettömästä joukosta, mutta emme tarvitse enempää. Vaikka joissakin tapauksissa on suositeltavaa pienentää suuntavektorien koordinaatteja:

Yhtälö määrittää siis suoran, joka on yhdensuuntainen akselin kanssa, ja tuloksena olevan ohjausvektorin koordinaatit jaetaan kätevästi -2:lla, jolloin ohjausvektoriksi saadaan täsmälleen kantavektori. Loogisesti.

Vastaavasti yhtälö määrittelee akselin suuntaisen suoran, ja jakamalla vektorin koordinaatit viidellä, saadaan suuntavektoriksi ort.

Nyt toteutetaan tarkista esimerkki 3. Esimerkki nousi, joten muistutan, että siinä teimme suoran yhtälön käyttämällä pistettä ja suuntavektoria

Ensinnäkin, suoran yhtälön mukaisesti palautamme sen suuntavektorin: - kaikki on kunnossa, saimme alkuperäisen vektorin (joissain tapauksissa se voi osoittautua kollineaariseksi alkuperäisen vektorin kanssa, ja tämä on yleensä helppo nähdä vastaavien koordinaattien suhteellisuudesta).

toiseksi, pisteen koordinaattien on täytettävä yhtälö . Korvaamme ne yhtälöön:

Oikea tasa-arvo on saavutettu, mihin olemme erittäin tyytyväisiä.

Johtopäätös: Työ suoritettu oikein.

Esimerkki 4

Kirjoita yhtälö suorasta pisteestä ja suuntavektorista

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa. On erittäin toivottavaa suorittaa tarkistus juuri tarkasteltavan algoritmin mukaan. Yritä aina (jos mahdollista) tarkistaa luonnos. On typerää tehdä virheitä siellä, missä ne voidaan 100 % välttää.

Jos jokin suuntavektorin koordinaateista on nolla, se on hyvin yksinkertaista:

Esimerkki 5

Päätös: Kaava on virheellinen, koska oikeanpuoleinen nimittäjä on nolla. Siellä on uloskäynti! Suhteen ominaisuuksien avulla kirjoitamme kaavan uudelleen muotoon ja loput rullaamme syvää uraa pitkin:

Vastaus:

Tutkimus:

1) Palauta suoran suuntavektori:
– tuloksena oleva vektori on kollineaarinen alkuperäisen suuntavektorin kanssa.

2) Korvaa yhtälön pisteen koordinaatit:

Oikea tasa-arvo saavutetaan

Johtopäätös: työ suoritettu oikein

Herää kysymys, miksi vaivautua kaavan kanssa, jos on olemassa universaali versio, joka toimii joka tapauksessa? Siihen on kaksi syytä. Ensinnäkin murtokaava paljon parempi muistaa. Ja toiseksi, universaalin kaavan haittapuoli on se huomattavasti lisääntynyt sekaannusriski koordinaatteja vaihdettaessa.

Esimerkki 6

Laadi pisteen ja suuntavektorin antaman suoran yhtälö.

Tämä on tee-se-itse-esimerkki.

Palataan arjen kahteen asiaan:

Kuinka kirjoittaa kahdella pisteellä olevan suoran yhtälö?

Jos tunnetaan kaksi pistettä, näiden pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälö voidaan laatia kaavalla:

Itse asiassa tämä on eräänlainen kaava, ja tästä syystä: jos kaksi pistettä tunnetaan, niin vektori on tämän suoran suuntavektori. Oppitunnilla Vektorit tutille harkitsimme yksinkertaisinta ongelmaa - kuinka löytää vektorin koordinaatit kahdesta pisteestä. Tämän tehtävän mukaan suuntavektorin koordinaatit:

Huomautus : pisteitä voidaan "vaihtaa" ja käyttää kaavaa . Tällainen päätös olisi tasavertainen.

Esimerkki 7

Kirjoita suoran yhtälö kahdesta pisteestä .

Päätös: Käytä kaavaa:

Kampaamme nimittäjät:

Ja sekoita pakkaa:

Nyt on kätevää päästä eroon murtoluvuista. Tässä tapauksessa sinun on kerrottava molemmat osat 6:lla:

Avaa sulut ja tuo yhtälö mieleen:

Vastaus:

Tutkimus on ilmeinen - alkupisteiden koordinaattien on täytettävä tuloksena oleva yhtälö:

1) Korvaa pisteen koordinaatit:

Todellinen tasa-arvo.

2) Korvaa pisteen koordinaatit:

Todellinen tasa-arvo.

Johtopäätös: suoran yhtälö on oikea.

Jos ainakin yksi pisteistä ei täytä yhtälöä, etsi virhe.

On syytä huomata, että graafinen varmennus tässä tapauksessa on vaikeaa, koska rakentaa viiva ja katsoa, ​​kuuluvatko pisteet siihen , ei niin helppo.

Huomautan pari ratkaisun teknistä seikkaa. Ehkä tässä ongelmassa on edullisempaa käyttää peilikaavaa ja samoista kohdista tee yhtälö:

Murtolukuja on vähemmän. Jos haluat, voit suorittaa ratkaisun loppuun asti, tuloksena tulee olla sama yhtälö.

Toinen kohta on tarkastella lopullista vastausta ja katsoa, ​​voidaanko sitä yksinkertaistaa entisestään? Jos esimerkiksi saadaan yhtälö, on suositeltavaa pienentää se kahdella: - yhtälö asettaa saman suoran. Tämä on kuitenkin jo keskustelunaihe suorien viivojen keskinäinen järjestely.

Vastauksen saatuaan Esimerkissä 7 tarkistin varmuuden vuoksi, ovatko yhtälön KAIKKI kertoimet jaollisia 2:lla, 3:lla tai 7:llä. Useimmiten tällaisia ​​vähennyksiä tehdään kuitenkin ratkaisun aikana.

Esimerkki 8

Kirjoita pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälö .

Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta, jonka avulla voit vain ymmärtää ja kehittää laskentatekniikkaa paremmin.

Samanlainen kuin edellisessä kappaleessa: jos kaavassa yksi nimittäjistä (suuntavektorikoordinaatti) katoaa, niin kirjoitamme sen uudelleen muotoon . Ja taas, huomaa kuinka kömpelöltä ja hämmentyneeltä hän alkoi näyttää. Käytännön esimerkkien antamisessa ei ole paljon järkeä, koska olemme jo itse asiassa ratkaisseet tällaisen ongelman (ks. nro 5, 6).

Suoraviivainen normaalivektori (normaalivektori)

Mikä on normaalia? Yksinkertaisesti sanottuna normaali on kohtisuora. Eli suoran normaalivektori on kohtisuorassa annettua suoraa vastaan. On selvää, että millä tahansa suoralla on ääretön määrä niitä (sekä suuntaavia vektoreita), ja kaikki suoran normaalivektorit ovat kollineaarisia (yhteissuuntaisia ​​vai ei - sillä ei ole väliä).

Niiden käsitteleminen on vielä helpompaa kuin suuntavektoreiden kanssa:

Jos suora on annettu yleisellä yhtälöllä suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa, niin vektori on tämän suoran normaalivektori.

Jos suuntavektorin koordinaatit täytyy varovasti "vetää ulos" yhtälöstä, niin normaalivektorin koordinaatit voidaan yksinkertaisesti "poistaa".

Normaalivektori on aina ortogonaalinen suoran suuntavektoriin nähden. Tarkistamme näiden vektorien ortogonaalisuuden käyttämällä pistetuote:

Annan esimerkkejä samoilla yhtälöillä kuin suuntavektorille:

Onko mahdollista kirjoittaa suoran yhtälö, kun tiedetään yksi piste ja normaalivektori? Tuntuu, että se on mahdollista. Jos normaalivektori tunnetaan, myös suorimman viivan suunta määritetään yksiselitteisesti - tämä on "jäykkä rakenne", jonka kulma on 90 astetta.

Kuinka kirjoittaa yhtälö suorasta pisteestä ja normaalivektorista?

Jos jokin suoraan kuuluva piste ja tämän suoran normaalivektori tunnetaan, tämän suoran yhtälö ilmaistaan ​​kaavalla:

Täällä kaikki sujui ilman murtolukuja ja muita yllätyksiä. Tällainen on normaalivektorimme. Rakastan sitä. Ja kunnioitus =)

Esimerkki 9

Laadi pisteen ja normaalivektorin antaman suoran yhtälö. Etsi suoran suuntavektori.

Päätös: Käytä kaavaa:

Suoran suoran yleinen yhtälö saadaan, tarkistetaan:

1) "Poista" normaalivektorin koordinaatit yhtälöstä: - kyllä, todellakin, alkuperäinen vektori saadaan ehdosta (tai vektorin tulee olla kollineaarinen alkuperäisen vektorin kanssa).

2) Tarkista, täyttääkö piste yhtälön:

Todellinen tasa-arvo.

Kun olemme vakuuttuneita, että yhtälö on oikea, suoritamme tehtävän toisen, helpomman osan. Vedämme ulos suoran suuntavektorin:

Vastaus:

Piirustuksessa tilanne on seuraava:

Koulutusta varten samanlainen tehtävä itsenäiseen ratkaisuun:

Esimerkki 10

Laadi pisteen ja normaalivektorin antaman suoran yhtälö. Etsi suoran suuntavektori.

Oppitunnin viimeinen osa on omistettu vähemmän yleisille, mutta myös tärkeille tasoviivan yhtälötyypeille

Segmenttien suoran yhtälö.
Suoran yhtälö parametrimuodossa

Segmenttien suoran yhtälöllä on muoto , jossa ovat nollasta poikkeavat vakiot. Joitakin yhtälötyyppejä ei voida esittää tässä muodossa, esimerkiksi suoraa suhteellisuutta (koska vapaa termi on nolla ja yhtä ei voi saada oikealle puolelle).

Tämä on kuvaannollisesti sanottuna "tekninen" yhtälö. Tavallinen tehtävä on esittää suoran yleinen yhtälö suoran yhtälönä segmenteissä. Miksi se on kätevää? Segmenttien suoran yhtälön avulla voit nopeasti löytää suoran leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa, mikä on erittäin tärkeää joissakin korkeamman matematiikan ongelmissa.

Etsi suoran ja akselin leikkauspiste. Nollaamme "y":n ja yhtälö saa muotoa . Haluttu piste saadaan automaattisesti: .

Sama akselin kanssa on piste, jossa suora leikkaa y-akselin.

Tässä artikkelissa tarkastelemme tasossa olevan suoran yleistä yhtälöä. Otetaan esimerkkejä suoran yleisen yhtälön rakentamisesta, jos tämän suoran kaksi pistettä tunnetaan tai jos yksi piste ja tämän suoran normaalivektori tunnetaan. Esitetään menetelmiä yhtälön muuntamiseksi yleismuodossa kanoniseen ja parametriseen muotoon.

Olkoon mielivaltainen suorakulmainen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä Oxy. Harkitse ensimmäisen asteen yhtälöä tai lineaarista yhtälöä:

Ax+By+C=0,

(1)

missä A, B, C ovat joitain vakioita ja ainakin yksi elementeistä A ja B eroaa nollasta.

Osoitamme, että tasossa oleva lineaarinen yhtälö määrittelee suoran. Todistetaan seuraava lause.

Lause 1. Satunnaisessa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa jokainen suora voidaan antaa lineaarisella yhtälöllä. Päinvastoin, jokainen lineaarinen yhtälö (1) mielivaltaisessa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa määrittelee suoran.

Todiste. Se riittää todistamaan, että linja L määritetään lineaarisella yhtälöllä mille tahansa suorakaiteen muotoiselle koordinaattijärjestelmälle, koska silloin se määräytyy lineaarisella yhtälöllä ja mille tahansa suorakulmaisen suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän valinnalle.

Annetaan suora viiva tasolle L. Valitsemme koordinaattijärjestelmän niin, että akseli Härkä linjassa linjan kanssa L, ja akseli Oy oli kohtisuorassa siihen nähden. Sitten suoran yhtälö L tulee seuraavassa muodossa:

y = 0.

(2)

Kaikki pisteet linjalla L täyttää lineaarisen yhtälön (2), ja kaikki tämän suoran ulkopuolella olevat pisteet eivät täytä yhtälöä (2). Lauseen ensimmäinen osa on todistettu.

Olkoon suorakulmainen suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä ja annettu lineaarinen yhtälö (1), jossa ainakin yksi alkioista A ja B eroaa nollasta. Etsi pisteet, joiden koordinaatit täyttävät yhtälön (1). Koska ainakin yksi kertoimista A ja B on eri kuin nolla, yhtälöllä (1) on ainakin yksi ratkaisu M(x 0 ,y 0). (Esimerkiksi milloin A≠0, piste M 0 (−C/A, 0) kuuluu annettuun pisteen paikkaan). Korvaamalla nämä koordinaatit kohtaan (1), saadaan identiteetti

Kirves 0 +Tekijä: 0 +C=0.

(3)

Vähennetään identiteetti (3) arvosta (1):

A(x−x 0)+B(y−y 0)=0.

(4)

Ilmeisesti yhtälö (4) vastaa yhtälöä (1). Siksi riittää todistamaan, että (4) määrittelee jonkin suoran.

Koska tarkastelemme suorakulmaista suorakulmaista koordinaattijärjestelmää, yhtälöstä (4) seuraa, että vektori komponenteilla ( x-x 0 , y-y 0 ) on ortogonaalinen vektoriin nähden n koordinaatteilla ( A, B}.

Harkitse jotain linjaa L kulkee pisteen läpi M 0 (x 0 , y 0) ja kohtisuorassa vektoriin nähden n(Kuva 1). Anna pointin M(x,y) kuuluu riville L. Sitten vektori koordinaatteineen x-x 0 , y-y 0 kohtisuorassa n ja yhtälö (4) täyttyy (vektorien skalaaritulo). n ja on nolla). Päinvastoin, jos kohta M(x,y) ei ole rivillä L, sitten vektori koordinaatteineen x-x 0 , y-y 0 ei ole ortogonaalinen vektoriin nähden n ja yhtälö (4) ei täyty. Lause on todistettu.

Todiste. Koska suorat (5) ja (6) määrittävät saman suoran, normaalivektorit n 1 ={A 1 ,B 1) ja n 2 ={A 2 ,B 2) ovat kollineaarisia. Vektoreista lähtien n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, silloin on numero λ , mitä n 2 =n 1 λ . Siksi meillä on: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Todistetaan se C 2 =C 1 λ . On selvää, että osuvilla viivoilla on yhteinen piste M 0 (x 0 , y 0). Kerrotaan yhtälö (5) luvulla λ ja vähentämällä siitä yhtälö (6) saamme:

Koska kaksi ensimmäistä yhtälöä lausekkeista (7) täyttyvät, niin C 1 λ −C 2 = 0. Nuo. C 2 =C 1 λ . Huomautus on todistettu.

Huomaa, että yhtälö (4) määrittää pisteen läpi kulkevan suoran yhtälön M 0 (x 0 , y 0) ja jolla on normaalivektori n={A, B). Siksi, jos suoran normaalivektori ja tähän suoraan kuuluva piste tunnetaan, voidaan suoran yleinen yhtälö muodostaa yhtälön (4) avulla.

Esimerkki 1. Suora kulkee pisteen läpi M=(4,−1) ja sillä on normaalivektori n=(3, 5). Muodosta suoran suoran yleinen yhtälö.

Päätös. Meillä on: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Suoran suoran yleisen yhtälön muodostamiseksi korvaamme nämä arvot yhtälöllä (4):

Vastaus:

Viivan suuntainen vektori L ja on siten kohtisuorassa suoran normaalivektoriin nähden L. Muodostetaan normaali viivavektori L, kun otetaan huomioon, että vektorien skalaaritulo n ja on yhtä suuri kuin nolla. Voimme kirjoittaa esim. n={1,−3}.

Muodostaaksemme suoran yleisen yhtälön käytämme kaavaa (4). Korvataan (4) pisteen koordinaatit M 1 (voimme myös ottaa pisteen koordinaatit M 2) ja normaalivektori n:

Korvaa pisteen koordinaatit M 1 ja M 2 kohdassa (9) voimme varmistaa, että yhtälön (9) antama suora kulkee näiden pisteiden läpi.

Vastaus:

Vähennä (10) kohdasta (1):

Olemme saaneet suoran kanonisen yhtälön. Vektori q={−B, A) on suoran (12) suuntavektori.

Katso käänteinen muunnos.

Esimerkki 3. Tasossa olevaa suoraa edustaa seuraava yleinen yhtälö:

Siirrä toista termiä oikealle ja jaa yhtälön molemmat puolet luvulla 25.

Pisteen K(x 0; y 0) läpi kulkeva suoran y = kx + a kanssa samansuuntainen suora löytyy kaavasta:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Missä k on suoran kaltevuus.

Vaihtoehtoinen kaava:
Suoraa, joka kulkee pisteen M 1 (x 1 ; y 1) läpi ja on yhdensuuntainen suoran Ax+By+C=0 kanssa, esittää yhtälö

A(x-x1)+B(y-y1)=0. (2)

Kirjoita pisteen K kautta kulkevan suoran yhtälö ;) yhdensuuntainen suoran y = kanssa x + .

Esimerkki #1. Laadi pisteen M 0 (-2.1) kautta kulkevan suoran yhtälö ja samalla:
a) yhdensuuntainen suoran 2x+3y -7 = 0 kanssa;
b) kohtisuorassa suoraa 2x+3y -7 = 0 vastaan.
Päätös . Esitetään kaltevuusyhtälö muodossa y = kx + a . Tätä varten siirrämme kaikki arvot paitsi y oikealle puolelle: 3y = -2x + 7 . Sitten jaetaan oikea puoli kertoimella 3 . Saamme: y = -2/3x + 7/3
Etsi yhtälö NK, joka kulkee pisteen K(-2;1) kautta, joka on yhdensuuntainen suoran y = -2 / 3 x + 7 / 3 kanssa
Korvaamalla x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 saamme:
y-1 = -2/3 (x-(-2))
tai
y = -2/3 x -1/3 tai 3v + 2x +1 = 0

Esimerkki #2. Kirjoita suoran 2x + 5y = 0 suuntaisen suoran yhtälö, joka muodostaa yhdessä koordinaattiakselien kanssa kolmion, jonka pinta-ala on 5.
Päätös . Koska suorat ovat yhdensuuntaiset, halutun suoran yhtälö on 2x + 5y + C = 0. Suorakulmaisen kolmion pinta-ala, jossa a ja b ovat sen haarat. Etsi halutun suoran leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa:
;
.
Joten A(-C/2,0), B(0,-C/5). Korvaa kaavassa alue: . Saamme kaksi ratkaisua: 2x + 5y + 10 = 0 ja 2x + 5y - 10 = 0 .

Esimerkki #3. Kirjoita pisteen (-2; 5) ja yhdensuuntaisen suoran 5x-7y-4=0 läpi kulkevan suoran yhtälö.
Päätös. Tämä suora voidaan esittää yhtälöllä y = 5/7 x – 4/7 (tässä a = 5/7). Halutun suoran yhtälö on y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), ts. 7(y-5)=5(x+2) tai 5x-7y+45=0.

Esimerkki #4. Ratkaisemalla esimerkin 3 (A=5, B=-7) kaavalla (2) saadaan 5(x+2)-7(y-5)=0.

Esimerkki numero 5. Kirjoita pisteen (-2;5) läpi kulkevan suoran ja yhdensuuntaisen suoran 7x+10=0 yhtälö.
Päätös. Tässä A=7, B=0. Kaava (2) antaa 7(x+2)=0, so. x+2=0. Kaavaa (1) ei voida soveltaa, koska tätä yhtälöä ei voida ratkaista y:n suhteen (tämä suora on yhdensuuntainen y-akselin kanssa).

Suoran suoran yleinen yhtälö:

Suoran yleisen yhtälön erityistapaukset:

ja jos C= 0, yhtälöllä (2) on muoto

Kirves + Tekijä: = 0,

ja tämän yhtälön määrittelemä suora kulkee origon läpi, koska origon koordinaatit x = 0, y= 0 täyttävät tämän yhtälön.

b) Jos suoran (2) yleisessä yhtälössä B= 0, yhtälö saa muodon

Kirves + Kanssa= 0 tai .

Yhtälö ei sisällä muuttujaa y, ja tämän yhtälön määrittelemä suora on yhdensuuntainen akselin kanssa Oy.

c) Jos suoran (2) yleisessä yhtälössä A= 0, niin tämä yhtälö saa muodon

Tekijä: + Kanssa= 0 tai ;

yhtälö ei sisällä muuttujaa x, ja sen määrittelemä suora on yhdensuuntainen akselin kanssa Härkä.

On syytä muistaa: jos suora on yhdensuuntainen minkä tahansa koordinaattiakselin kanssa, niin sen yhtälö ei sisällä termiä, joka sisältää samannimisen koordinaatin tämän akselin kanssa.

d) Milloin C= 0 ja A= 0 yhtälö (2) saa muodon Tekijä:= 0 tai y = 0.

Tämä on akseliyhtälö Härkä.

e) Milloin C= 0 ja B= 0 yhtälö (2) voidaan kirjoittaa muotoon Kirves= 0 tai x = 0.

Tämä on akseliyhtälö Oy.

Suorien viivojen keskinäinen järjestely tasossa. Tason viivojen välinen kulma. Yhdensuuntaisten viivojen kunto. Viivojen kohtisuoran ehto.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Vektoreita S 1 ja S 2 kutsutaan niiden viivojen ohjaiksi.

Linjojen l 1 ja l 2 välinen kulma määräytyy suuntavektorien välisestä kulmasta.
Lause 1: cos-kulma välillä l 1 ja l 2 \u003d cos (l 1; l 2) \u003d

Lause 2: Jotta 2 riviä olisi yhtä suuri, on välttämätöntä ja riittävää:

Lause 3: niin, että 2 suoraa ovat kohtisuorassa, on välttämätöntä ja riittävää:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Tason yleinen yhtälö ja sen erikoistapaukset. Tason yhtälö segmenteissä.

Yleinen tasoyhtälö:

Ax + By + Cz + D = 0

Erikoistapaukset:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 - taso kulkee origon läpi

2. С=0 Ax+By+D = 0 – taso || oz

3. В=0 Ax+Cz+d = 0 – taso || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – taso || HÄRKÄ

5. A=0 ja D=0 By+Cz = 0 - taso kulkee OX:n läpi

6. B=0 ja D=0 Ax+Cz = 0 - taso kulkee OY:n kautta

7. C=0 ja D=0 Ax+By = 0 - taso kulkee OZ:n läpi

Tasojen ja suorien keskinäinen järjestely avaruudessa:

1. Avaruudessa olevien viivojen välinen kulma on niiden suuntavektorien välinen kulma.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. Tasojen välinen kulma määräytyy niiden normaalivektorien välisen kulman kautta.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. Suoran ja tason välisen kulman kosini löytyy suoran suuntavektorin ja tason normaalivektorin välisen kulman sinin kautta.

4. 2 riviä || avaruudessa, kun heidän || vektoriohjaimet

5. 2 konetta || milloin || normaalit vektorit

6. Viivojen ja tasojen kohtisuoran käsitteet esitellään samalla tavalla.

Kysymys #14

Erilaiset tasaisen suoran yhtälön tyypit (suoran yhtälö segmenteissä, jyrkkyydellä jne.)

Segmenttien suoran yhtälö:
Oletetaan, että suoran yleisessä yhtälössä:

1. C \u003d 0 Ah + Wu \u003d 0 - suora kulkee origon läpi.

2. a \u003d 0 Wu + C \u003d 0 y \u003d

3. in \u003d 0 Ax + C \u003d 0 x \u003d

4. v \u003d C \u003d 0 Ax \u003d 0 x \u003d 0

5. a \u003d C \u003d 0 Wu \u003d 0 y \u003d 0

Suoran ja kaltevuuden yhtälö:

Mikä tahansa suora, joka ei ole yhtä suuri kuin y-akseli (B ei = 0), voidaan kirjoittaa seuraavaksi. muoto:

k = tgα α on suoran ja positiivisesti suunnatun suoran välinen kulma ОХ

b - suoran ja käyttöjärjestelmän akselin leikkauspiste

Asiakirja:

Ax+By+C = 0

Wu \u003d -Ax-C |: B

Suoran yhtälö kahdessa pisteessä:

Kysymys #16

Funktion äärellinen raja pisteessä ja x→∞

Loppuraja pisteessä x 0:

Lukua A kutsutaan funktion y \u003d f (x) rajaksi arvolle x → x 0, jos jollakin E > 0:lla on b > 0 siten, että x ≠ x 0, mikä tyydyttää epäyhtälön |x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Raja on merkitty: = A

Loppuraja pisteessä +∞:

Lukua A kutsutaan funktion y = f(x) rajaksi x:lle → + ∞ , jos jollekin E > 0:lle on olemassa C > 0 siten, että x > C epäyhtälö |f(x) - A|< Е

Raja on merkitty: = A

Loppuraja kohdassa -∞:

Lukua A kutsutaan funktion y = f(x) rajaksi x→-∞, jos jollekin E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е