Tämä artikkeli sisältää materiaalia aiheesta " neliöepäyhtälöiden ratkaisu". Ensin esitetään, mitä ovat toisen muuttujan neliöyhtälöt, annetaan niiden yleinen muoto. Ja sitten analysoidaan yksityiskohtaisesti, kuinka neliölliset epätasa-arvot ratkaistaan. Pääasialliset lähestymistavat ratkaisuun esitetään: graafinen menetelmä, intervallimenetelmä ja korostamalla binomiaalin neliö epäyhtälön vasemmalla puolella. Tyypillisten esimerkkien ratkaisut annetaan.

Sivulla navigointi.

Mikä on neliöllinen epäyhtälö?

Luonnollisesti, ennen kuin puhutaan toisen asteen epätasa-arvon ratkaisemisesta, on ymmärrettävä selvästi, mitä neliöllinen epäyhtälö on. Toisin sanoen sinun on kyettävä erottamaan neliöyhtälöt muun tyyppisistä epäyhtälöistä tietuetyypin perusteella.

Määritelmä.

Neliön epätasa-arvo on epäyhtälö muotoa a x 2 +b x+c<0 (вместо знака >voi olla mikä tahansa muu epäyhtälömerkki ≤, >, ≥), jossa a, b ja c ovat joitain lukuja ja a≠0 ja x on muuttuja (muuttuja voidaan merkitä millä tahansa muulla kirjaimella).

Annetaan heti toinen nimi neliöllisille epätasa-arvoille - toisen asteen epätasa-arvo. Tämä nimi selittyy sillä, että epäyhtälöiden vasemmalla puolella on x 2 +b x+c<0 находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства».

Voit myös joskus kuulla, että toisen asteen epätasa-arvoja kutsutaan neliöllisiksi epätasa-arvoiksi. Tämä ei pidä täysin paikkaansa: "neliön" määritelmä viittaa funktioihin, jotka on annettu yhtälöillä, jotka ovat muotoa y=a x 2 +b x+c . Joten on olemassa neliöllinen epätasa-arvo ja neliöfunktiot, mutta ei neliöllistä epätasa-arvoa.

Otetaan esimerkkejä neliöyhtälöistä: 5 x 2 −3 x+1>0 , tässä a=5 , b=−3 ja c=1 ; −2,2 z 2 −0,5 z−11≤0, tämän toisen asteen epäyhtälön kertoimet ovat a=−2.2 , b=−0.5 ja c=−11 ; , tässä tapauksessa .

Huomaa, että neliöllisen epäyhtälön määritelmässä kerrointa a kohdassa x 2 pidetään nollasta poikkeavana. Tämä on ymmärrettävää, kertoimen a yhtäläisyys nollaan "poistaa" neliön, ja kyseessä on muotoa b x + c>0 oleva lineaarinen epäyhtälö ilman muuttujan neliötä. Mutta kertoimet b ja c voivat olla nolla, sekä erikseen että samanaikaisesti. Tässä on esimerkkejä tällaisista neliö-epäyhtälöistä: x 2 −5≥0 , tässä muuttujan x kerroin b on nolla; −3 x 2 −0,6 x<0 , здесь c=0 ; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 ja b ja c ovat nollia.

Kuinka ratkaista toisen asteen epäyhtälöt?

Nyt voit olla ymmälläsi kysymyksestä, kuinka ratkaista neliöllinen epätasa-arvo. Periaatteessa ratkaisuun käytetään kolmea päämenetelmää:

• graafinen menetelmä (tai, kuten A.G. Mordkovich, funktionaalinen-graafinen),
• intervallimenetelmä,
• ja toisen asteen epäyhtälöiden ratkaiseminen korostamalla binomiaalin neliötä vasemmalla puolella.

Graafisesti

Tehdään heti varauma, että algebrakoulujen oppikirjoissa ei alebran oppikirjoissa kutsuta graafiseksi menetelmää toisen asteen epäyhtälöiden ratkaisemiseksi. Pohjimmiltaan hän kuitenkin on sitä. Lisäksi ensimmäinen tutustuminen graafinen tapa ratkaista eriarvoisuudet yleensä alkaa, kun herää kysymys, kuinka neliöllinen epätasa-arvo ratkaistaan.

Graafinen tapa ratkaista toisen asteen epäyhtälöt a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥) on analysoida toisen asteen funktion y=a x 2 +b x+c kuvaajaa löytääkseen aikavälit, joissa määritetty funktio saa negatiivisia, positiivisia, ei-positiivisia tai ei-negatiivisia arvoja. Nämä välit muodostavat toisen asteen epäyhtälöiden a x 2 +b x+c ratkaisut<0 , a·x 2 +b·x+c>0, ax2+b x+c<0 ja ax2+b x+c≥0, vastaavasti.

intervallimenetelmä

Neliöepäyhtälöiden ratkaisemiseksi yhdellä muuttujalla on graafisen menetelmän lisäksi varsin kätevä intervallimenetelmä, joka itsessään on erittäin monipuolinen ja sopii useiden erilaisten epäyhtälöiden ratkaisemiseen, ei vain neliöihin. Sen teoreettinen puoli on luokkien 8, 9 algebran kurssin ulkopuolella, kun he oppivat ratkaisemaan toisen asteen epäyhtälöitä. Siksi tässä emme mene intervallimenetelmän teoreettiseen perusteluun, vaan keskitymme siihen, kuinka neliölliset epäyhtälöt ratkaistaan ​​sen avulla.

Intervallimenetelmän olemus suhteessa neliöepäyhtälöiden a x 2 +b x + c ratkaisuun<0 (≤, >, ≥), koostuu niiden etumerkkien määrittämisestä, joilla on neliötrinomin a x 2 + b x + c arvot väleillä, joihin koordinaattiakseli on jaettu tämän trinomin nollalla (jos sellainen on). Miinusmerkeillä varustetut aukot muodostavat toisen asteen epäyhtälön a x 2 +b x+c ratkaisut<0 , со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0 , ja kun ratkaistaan ​​ei-tiukkoja epäyhtälöitä, trinomin nollia vastaavat pisteet lisätään esitettyihin väleihin.

Voit tutustua tämän menetelmän kaikkiin yksityiskohtiin, sen algoritmiin, merkkien asettamisen sääntöihin intervalleille ja harkita valmiita ratkaisuja tyypillisille esimerkeille kuvilla, jotka on annettu viitaten artikkelin materiaaliin, joka ratkaisee toisen asteen epäyhtälöitä intervallimenetelmällä. .

Eristämällä binomiaalin neliö

Graafisen menetelmän ja intervallimenetelmän lisäksi on olemassa muita lähestymistapoja, jotka mahdollistavat toisen asteen epäyhtälöiden ratkaisemisen. Ja tulemme yhteen niistä, joka perustuu binomiaalin neliöinti neliöllisen epäyhtälön vasemmalla puolella.

Tämän neliö-epäyhtälöiden ratkaisumenetelmän periaate on suorittaa epäyhtälön ekvivalenttimuunnokset, jolloin voidaan siirtyä muotoa (x−p) 2 olevan ekvivalentin epäyhtälön ratkaisuun. , ≥), jossa p ja q ovat joitain lukuja.

Ja miten on siirtyminen epäyhtälöön (x−p) 2 , ≥) ja kuinka se ratkaistaan, artikkelin materiaali selittää toisen asteen epäyhtälöiden ratkaisun korostamalla binomiaalin neliötä. On myös esimerkkejä toisen asteen epäyhtälöiden ratkaisemisesta tällä tavalla ja tarvittavat graafiset kuvat on annettu.

Neliölliset epätasa-arvot

Käytännössä joutuu hyvin usein käsittelemään epäyhtälöitä, jotka voidaan pelkistää ekvivalenttien muunnoksilla muotoa a x 2 +b x + c oleviksi toisen asteen epäyhtälöiksi.<0 (знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам.

Aloitetaan esimerkeillä yksinkertaisimmista epäyhtälöistä, jotka voidaan pelkistää neliöiksi. Joskus toisen epäyhtälön siirtymiseksi riittää, että tässä epäyhtälössä olevat termit järjestetään uudelleen tai siirretään osasta toiseen. Esimerkiksi, jos siirretään kaikki termit epäyhtälön 5≤2 x−3 x 2 oikealta puolelta vasemmalle, niin saadaan neliöllinen epäyhtälö yllä määritellyssä muodossa 3 x 2 −2 x+5≤0 . Toinen esimerkki: epäyhtälön 5+0.6 x 2 −x järjestäminen uudelleen vasemmalla puolella<0 слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0 .

Koulussa, algebran tunneilla, kun he oppivat ratkaisemaan toisen asteen epäyhtälöitä, he käsittelevät samanaikaisesti rationaalisten eriarvoisuuksien ratkaisu, pienennetään neliöön. Niiden ratkaisu sisältää kaikkien termien siirtämisen vasemmalle puolelle ja siellä muodostetun lausekkeen muuntamisen sen jälkeen muotoon a x 2 +b x + c suorittamalla . Harkitse esimerkkiä.

Esimerkki.

Etsi joukko ratkaisuja epätasa-arvoon 3 (x−1) (x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5 .irrationaalinen epätasa-arvo on yhtä suuri kuin neliöllinen epäyhtälö x 2 −6 x −9<0 , а logaritminen epäyhtälö – epäyhtälö x 2 +x−2≥0 .

Bibliografia.

• Algebra: oppikirja 8 solulle. Yleissivistävä koulutus laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M. : Koulutus, 2008. - 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9. luokka: oppikirja. yleissivistävää koulutusta varten laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M. : Koulutus, 2009. - 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8. luokka. Klo 14 Osa 1. Oppikirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich. - 11. painos, poistettu. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A.G. Algebra. Luokka 9 Klo 14 Osa 1. Oppikirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. painos, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A.G. Algebra ja matemaattisen analyysin alku. Luokka 11. Klo 14 Osa 1. Oppikirja oppilaitosten opiskelijoille (profiilitaso) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. painos, poistettu. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.

Ennen kuin otat selvää kuinka ratkaista neliöllinen epätasa-arvo, Pohditaan mitä epäyhtälöä kutsutaan neliöksi.

Muistaa!

Epätasa-arvoa kutsutaan neliö-, jos tuntemattoman "x":n suurin (suurin) teho on yhtä suuri kuin kaksi.

Harjoitellaan eriarvoisuuden tyypin määrittämistä esimerkkien avulla.

Kuinka ratkaista neliöllinen epäyhtälö

Edellisillä tunneilla keskustelimme lineaaristen epäyhtälöiden ratkaisemisesta. Mutta toisin kuin lineaariset epäyhtälöt, neliöyhtälöt ratkaistaan ​​täysin eri tavalla.

Tärkeä!

On mahdotonta ratkaista neliöllistä epäyhtälöä samalla tavalla kuin lineaarista!

Neliöllisen epäyhtälön ratkaisemiseksi käytetään erityistä menetelmää, jota kutsutaan intervallimenetelmä.

Mikä on intervallimenetelmä

intervallimenetelmä jota kutsutaan erityiseksi tavaksi ratkaista toisen asteen epäyhtälöt. Alla selitämme kuinka tätä menetelmää käytetään ja miksi se on nimetty.

Muistaa!

Kun haluat ratkaista neliöllisen epäyhtälön intervallimenetelmällä, tarvitset:

Ymmärrämme, että yllä kuvattuja sääntöjä on vaikea havaita vain teoriassa, joten tarkastelemme heti esimerkkiä neliöllisen epäyhtälön ratkaisemisesta yllä olevan algoritmin avulla.

Se on tarpeen neliöllisen epäyhtälön ratkaisemiseksi.

Piirrä nyt, kuten kohdassa , "kaaret" merkittyjen pisteiden väliin.

Laitetaan merkkejä välien sisään. Oikealta vasemmalle, vuorotellen, alkaen "+", huomaamme merkit.

Meidän täytyy vain suorittaa , eli valita halutut intervallit ja kirjoittaa ne muistiin vastauksena. Palataan eriarvoisuuteen.

Koska meidän eriarvoisuutta x 2 + x − 12 ", joten tarvitsemme negatiivisia intervalleja. Varjostetaan kaikki negatiiviset alueet numeerisella akselilla ja kirjoitamme ne vastaukseen.

Vain yksi väli osoittautui negatiiviseksi, joka on lukujen "-3" ja "4" välissä, joten kirjoitamme sen vastauksena kaksois-epäyhtälönä
"-3".

Kirjataan ylös neliöllisen epäyhtälön vastaus.

Vastaus: -3

Muuten, juuri siitä syystä, että otamme huomioon lukujen väliset intervallit ratkaisettaessa neliöllistä epäyhtälöä, intervallimenetelmä sai nimensä.

Vastauksen saatuaan on järkevää tarkistaa se varmistaaksesi, että ratkaisu on oikea.

Valitaan mikä tahansa numero, joka on vastaanotetun vastauksen varjostetulla alueella" −3" ja korvaa se "x":n sijaan alkuperäisessä epäyhtälössä. Jos saamme oikean epäyhtälön, olemme havainneet, että vastaus neliölliseen epäyhtälöön on oikea.

Otetaan esimerkiksi luku "0" väliltä. Korvaa se alkuperäiseen epäyhtälöön "x 2 + x − 12".

X 2 + x - 12
0 2 + 0 − 12 −12 (oikein)

Saimme oikean epäyhtälön korvattaessa lukua ratkaisualueelta, mikä tarkoittaa, että vastaus löytyi oikein.

Ratkaisun lyhyt merkintä intervallimenetelmällä

Lyhennetty tietue neliöllisen epäyhtälön ratkaisusta " x 2 + x − 12” intervallimenetelmä näyttää tältä:

X 2 + x - 12
x2 + x − 12 = 0

x 1 = 1+ 7 2

x 2 = 1 − 7 2

x 1 = 8 2

x 2 = x 1 = 1+ 1 4 x 2 = 1 − 1 4 x 1 = 2 4 x 2 = 0 4 x 1 = 1 2 x2 = 0 Vastaus: x ≤ 0 ; x ≥ 1 2 Harkitse esimerkkiä, jossa neliöepäyhtälössä on negatiivinen kerroin "x 2":n edessä. Tässä osiossa olemme keränneet tietoa toisen asteen epäyhtälöistä ja tärkeimmistä lähestymistavoista niiden ratkaisemiseksi. Vahvistamme materiaalia esimerkkianalyysillä. Mikä on neliöllinen epäyhtälö Katsotaan kuinka erottaa eri tyyppiset epäyhtälöt tietuetyypin mukaan ja valitaan niistä neliön muotoiset. Määritelmä 1 Neliön epätasa-arvo on epätasa-arvo, joka näyttää a x 2 + b x + c< 0 , jossa a , b ja c ovat joitakin numeroita ja a ei ole yhtä kuin nolla. x on muuttuja ja merkin tilalla < voi olla mikä tahansa muu eriarvoisuusmerkki. Toisen asteen epäyhtälöiden toinen nimi on nimi "toisen asteen epätasa-arvo". Toisen nimen olemassaolo voidaan selittää seuraavasti. Epäyhtälön vasemmalla puolella on toisen asteen polynomi - neliötrinomi. Käsitteen "neliöllinen epäyhtälö" soveltaminen toisen asteen epäyhtälöihin on väärin, koska neliöfunktiot annetaan muodon yhtälöillä y = a x 2 + b x + c. Tässä on esimerkki neliöllisestä epätasa-arvosta: Esimerkki 1 Otetaan 5 x 2 − 3 x + 1 > 0. Tässä tapauksessa a = 5 , b = − 3 ja c = 1. Tai tämä epätasa-arvo: Esimerkki 2 − 2 , 2 z 2 − 0 , 5 z − 11 ≤ 0, jossa a = − 2 , 2 , b = − 0 , 5 ja c = −11. Otetaan esimerkkejä neliöllisistä epätasa-arvoista: Esimerkki 3 Erityistä huomiota on kiinnitettävä siihen, että kerroin x2 pidetään nollana. Tämä selittyy sillä, että muuten saamme muodon lineaarisen epäyhtälön b x + c > 0, koska neliömuuttuja, kun se kerrotaan nollalla, tulee itse nollaksi. Samaan aikaan kertoimet b ja c voi olla nolla sekä yhdessä että erikseen. Esimerkki 4 Esimerkki tällaisesta epätasa-arvosta x 2 − 5 ≥ 0. Keinot ratkaista neliöllinen epätasa-arvo On kolme päämenetelmää: Määritelmä 2 graafinen; intervallimenetelmä; valitsemalla vasemmalla puolella olevan binomiaalin neliön. Graafinen menetelmä Menetelmään kuuluu toisen asteen funktion kuvaajan rakentaminen ja analysointi y = a x 2 + b x + c neliöyhtälöille a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) . Neliöllisen epäyhtälön ratkaisu on intervallit tai intervallit, joilla määritetty funktio saa positiivisia ja negatiivisia arvoja. Välitysmenetelmä Voit ratkaista toisen asteen epäyhtälön yhdellä muuttujalla intervallimenetelmällä. Menetelmä soveltuu kaikenlaisten epäyhtälöiden ratkaisemiseen, ei vain neliöihin. Menetelmän ydin on määrittää niiden intervallien etumerkit, joihin koordinaattiakseli on jaettu trinomin nollalla a x 2 + b x + c jos saatavilla. Epätasa-arvon puolesta a x 2 + b x + c< 0 ratkaisut ovat välejä, joissa on miinusmerkki epäyhtälölle a x 2 + b x + c > 0, välit plusmerkillä. Jos kyse on ei-tiukoista epäyhtälöistä, niin ratkaisusta tulee väli, joka sisältää pisteitä, jotka vastaavat trinomin nollia. Binomin neliön valinta Binomin neliön valinnan periaate toisen asteen epäyhtälön vasemmalla puolella on suorittaa vastaavat muunnokset, jotka mahdollistavat muodon (x − p) 2 olevan ekvivalentin epäyhtälön ratkaisun.< q (≤ , >, ≥) , missä s ja q- joitain numeroita. Toisen tyyppisistä epäyhtälöistä on mahdollista päästä toisen tyyppisten epäyhtälöiden ekvivalenttien muunnosten avulla. Tämä voidaan tehdä eri tavoin. Esimerkiksi järjestämällä termejä uudelleen tietyssä epätasa-arvossa tai siirtämällä termejä osasta toiseen. Otetaan esimerkki. Harkitse epätasa-arvon ekvivalenttia muunnosa 5 ≤ 2 x − 3 x2. Jos siirrämme kaikki termit oikealta puolelta vasemmalle, saamme muodon neliöllisen epäyhtälön 3 x 2 − 2 x + 5 ≤ 0. Esimerkki 5 On tarpeen löytää joukko ratkaisuja epäyhtälölle 3 (x − 1) (x + 1)< (x − 2) 2 + x 2 + 5 . Ratkaisu Ongelman ratkaisemiseksi käytämme lyhennettyjen kertolaskujen kaavoja. Tätä varten keräämme kaikki ehdot epäyhtälön vasemmalle puolelle, avaa sulut ja anna samanlaiset termit: 3 (x - 1) (x + 1) - (x - 2) 2 - x 2 - 5< 0 , 3 · (x 2 − 1) − (x 2 − 4 · x + 4) − x 2 − 5 < 0 , 3 · x 2 − 3 − x 2 + 4 · x − 4 − x 2 − 5 < 0 , x 2 + 4 · x − 12 < 0 . Olemme saaneet ekvivalentin toisen asteen epäyhtälön, joka voidaan ratkaista graafisesti määrittämällä diskriminantti- ja leikkauspisteet. D’ = 2 2 − 1 (− 12) = 16, x 1 = −6, x 2 = 2 Kun graafi on rakennettu, voimme nähdä, että ratkaisujoukko on väli (− 6 , 2) . Vastaus: (− 6 , 2) . Irrationaaliset ja logaritmiset epäyhtälöt ovat esimerkki epäyhtälöistä, jotka usein pelkistyvät neliöiksi. Joten esimerkiksi epäyhtälö 2 x 2 + 5< x 2 + 6 · x + 14 on sama kuin neliöllinen epäyhtälö x 2 - 6 x - 9< 0 , ja logaritminen epäyhtälö log 3 (x 2 + x + 7) ≥ 2 epäyhtälölle x 2 + x − 2 ≥ 0. Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter Tällä oppitunnilla jatkamme rationaalisten epätasa-arvojen ja niiden järjestelmien pohdiskelua, nimittäin: lineaarisen ja neliöllisen epätasa-arvon järjestelmää. Muistakaamme ensin, mikä on kahden lineaarisen epäyhtälön ja yhden muuttujan järjestelmä. Seuraavaksi tarkastellaan toisen asteen epäyhtälöiden järjestelmää ja menetelmää niiden ratkaisemiseksi tiettyjen ongelmien esimerkin avulla. Katsotaanpa tarkemmin niin sanottua kattomenetelmää. Analysoimme järjestelmien tyypillisiä ratkaisuja ja oppitunnin lopussa pohditaan lineaaristen ja neliöllisten epäyhtälöiden järjestelmän ratkaisua. 2. Elektroninen koulutus- ja metodologinen kompleksi luokkien 10-11 valmisteluun tietojenkäsittelytieteen, matematiikan, venäjän kielen pääsykokeisiin (). 3. Koulutuskeskus "Kasvatusteknologia" (). 4. College.ru matematiikan osio (). 1. Mordkovich A.G. et al. Algebra Grade 9: Tehtäväkirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4. painos. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 s.: ill. nro 58 (a, c); 62; 63. Neliöllisen epätasa-arvon määritelmä Huomautus 1 Neliö-epätasa-arvoa kutsutaan koska. muuttuja on neliöity. Kutsutaan myös neliöllisiksi epäyhtälöiksi toisen asteen eriarvoisuudet. Esimerkki 1 Esimerkki. $7x^2-18x+3 0$, $11z^2+8 \le 0$ ovat toisen asteen epäyhtälöitä. Kuten esimerkistä voidaan nähdä, kaikki elementit epäyhtälöstä muodossa $ax^2+bx+c > 0$ eivät ole läsnä. Esimerkiksi epäyhtälössä $\frac(5)(11) y^2+\sqrt(11) y>0$ ei ole vapaata termiä (termi $c$), mutta epäyhtälössä $11z^2+8 \le 0$ ei ole termiä kertoimella $b$. Tällaiset epäyhtälöt ovat myös neliöepäyhtälöitä, mutta niitä kutsutaan myös epätäydellinen neliöllinen epäyhtälö. Se tarkoittaa vain, että kertoimet $b$ tai $c$ ovat nolla. Menetelmät asteen epäyhtälöiden ratkaisemiseksi Kun ratkaistaan ​​toisen asteen epäyhtälöitä, käytetään seuraavia perusmenetelmiä: graafinen; intervallimenetelmä; binomin neliön valinta. Graafinen tapa Huomautus 2 Graafinen tapa ratkaista neliöyhtälöt $ax^2+bx+c > 0$ (tai $-merkillä Nämä välit ovat neliöllisen epäyhtälön ratkaisu. Välitysmenetelmä Huomautus 3 Intervallimenetelmä neliöepäyhtälöiden ratkaisemiseksi muotoa $ax^2+bx+c > 0$ (epäyhtälömerkki voi olla myös $ Neliöllisen epäyhtälön ratkaisuja merkillä $""$ - positiiviset intervallit, merkeillä $"≤"$ ja $"≥"$ - negatiiviset ja positiiviset intervallit (vastaavasti), mukaan lukien pisteet, jotka vastaavat trinomin nollia. Binomin neliön valinta Tapa ratkaista neliöllinen epäyhtälö valitsemalla binomiaalin neliö on siirtyä ekvivalenttiin epäyhtälöön muotoa $(x-n)^2 > m$ (tai merkillä $ Epätasa-arvot, jotka pienenevät neliöön Huomautus 4 Usein epäyhtälöitä ratkaistaessa ne joudutaan pelkistämään neliömäisiksi epäyhtälöiksi, jotka ovat muotoa $ax^2+bx+c > 0$ (epäyhtälömerkki voi olla myös neliöiksi pelkistäviä $-epäyhtälöitä. Huomautus 5 Helpoin tapa vähentää epätasa-arvot neliöiksi on järjestää termit uudelleen alkuperäisessä epäyhtälössä tai siirtää ne esimerkiksi oikealta puolelta vasemmalle. Esimerkiksi, kun siirretään kaikki epäyhtälön $7x > 6-3x^2$ ehdot oikealta puolelta vasemmalle, saadaan neliöllinen epäyhtälö muotoa $3x^2+7x-6 > 0$. Jos järjestämme epäyhtälön $1,5y-2+5,3x^2 \ge 0$ vasemmalla puolella olevat termit muuttujan $y$ asteen mukaan laskevaan järjestykseen, niin tämä johtaa muodon ekvivalenttiin neliölliseen epäyhtälöön 5,3 $ x^2+1,5v-2 \ge 0 $. Rationaalisia epäyhtälöitä ratkaistaessa käytetään usein niiden pelkistämistä neliöllisiksi epäyhtälöiksi. Tässä tapauksessa on tarpeen siirtää kaikki termit vasemmalle puolelle ja muuntaa tuloksena oleva lauseke neliön trinomin muotoon. Esimerkki 2 Esimerkki. Neliössä epäyhtälö $7 \cdot (x+0,5) \cdot x > (3+4x)^2-10x^2+10$. Ratkaisu. Siirrämme kaikki ehdot epäyhtälön vasemmalle puolelle: 7 $ \cdot (x+0,5) \cdot x-(3+4x)^2+10x^2-10 > 0 $. Yksinkertaistamme epäyhtälön vasemmalla puolella olevaa lauseketta käyttämällä lyhennettyjä kertolaskukaavoja ja laajentamalla sulkuja: $7x^2+3.5x-9-24x-16x^2+10x^2-10 > 0$; $x^2-21,5x-19 > 0 $. Vastaus: $x^2-21,5x-19 > 0 $. AIHEESEEN LIITTYVÄT ARTIKKELIT Palaute sivuston kartta Tietoja sivustosta