Stereometria kehitetty havainnoista ja ratkaisuista ongelmiin, jotka nousivat esiin ihmisen käytännön toiminnan prosessissa. Epäilemättä primitiivinenkin ihminen, muuttunut paimentolaiselämästä vakiintuneeksi, ryhtynyt maanviljelykseen, yritti ainakin karkeimmillaan arvioida sadon kokoa, jonka hän oli kerännyt kasattujen leipämassojen avulla. kasoja, iskuja tai pinoja. Vanhimpienkin primitiivisten rakennusten rakentajan piti jotenkin ottaa huomioon käytettävissään oleva materiaali ja pystyä laskemaan, kuinka paljon materiaalia tarvittaisiin tietyn rakennuksen rakentamiseen. Kivenleikkaus muinaisten egyptiläisten ja kaldealaisten keskuudessa edellytti ainakin yksinkertaisimpien geometristen kappaleiden metristen ominaisuuksien tuntemista: kuution, suuntaissärmiön, prisman, sylinterin jne. Maatalouden, navigoinnin, ajassa suuntautumisen tarpeet työnsivät ihmiset tähtitieteellisiin havaintoihin ja jälkimmäiset pallon ja sen osien ominaisuuksien ja siten tasojen ja viivojen suhteellisen sijainnin avaruudessa lakeja tutkimaan.

Muinaisen Kreikan ja sen siirtokuntien taloudellisen ja kulttuurisen kukoistuksen aikana geometria saavutti korkean teoreettisen kehityksen. Kreikan merkittävimmistä geometreistä Anaxagoras, Demokritos ja Hippokrates (5. vuosisadalla eKr.) olivat kiinnostuneita stereometriasta. Hippokrates on ensimmäisten joukossa, joka ratkaisi kuuluisan antiikin ongelman - Delhin ongelman kuution kaksinkertaistamisesta. Platonin koulussa stereometrian ongelmat etenivät huomattavasti. Yksi Platonin koulukunnan edustajista, Teetetus, piti oktaedria ja 20-sivuista ja esitti ensimmäistä kertaa teorian viiden säännöllisen monitahoisen ominaisuuksista. Platonin oppilas Menechme esitti ensimmäisenä teorian kartioleikkauksista. Eukleideen suurin ansio on siinä, että hän keräsi, prosessoi ja yhdisti johdonmukaiseen järjestelmään hänelle tulleen materiaalin. Hänen stereometrian "alkujen" 13 kirjasta on osoitettu XI-XIII kirjaa. Eukleideen keräämää stereometriaa koskevaa tietoa täydensi, syvensi ja laajensi antiikin suurin matemaatikko Arkhimedes. Hän antoi kolmetoista puolisäännöllistä kiintoainetta, joista jokainen on rajattu säännöllisillä monikulmioilla, mutta ei samanlaisilla, ja laski kierroksen kiintoaineiden tilavuudet. Arkhimedesen työn ansiosta stereometria saavutti huipentumapisteensä ja alkeisgeometria sen nykyisessä merkityksessä lopulta vakiintui.

Kreikan kukistumisen jälkeen matematiikan ja erityisesti stereometrian kehityksessä on pitkä pysähtyneisyys, joka kesti tuhat vuotta. Kepler on tehnyt paljon nykyajan stereometrian kehittämiseksi. Teoksessaan "New Stereometry" - "tynnyrien stereometria" - hän käytti ensin äärettömän pientä määrää geometriassa. Newtonin ja Leibnizin integraalilaskennan löytäminen ratkaisi lopulta kvadratuurin ja kubatuurin ongelman.

Sylinteri- kappale, joka koostuu kahdesta ympyrästä, jotka eivät ole samassa tasossa ja jotka on yhdistetty rinnakkaissiirrolla, ja kaikista näiden ympyröiden vastaavia pisteitä yhdistävistä segmenteistä.

r on sylinterin säde;
d on sylinterin halkaisija;
l on sylinterin generatrix;
h on sylinterin korkeus.

merkintä: oikeanpuoleisessa pyöreässä sylinterissä generatrixin pituus on yhtä suuri kuin korkeuden pituus.

Pyöreän sylinterin tilavuus lasketaan kaavalla:

V = π r 2 h, missä

π – vakioarvo (≈3,1415 );
r on sylinterin pohjan säde;
h on sylinterin korkeus.

Kuutio on säännöllinen monitahoinen, jonka jokainen pinta on neliö. Kuution kaikki reunat ovat yhtä suuret.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - kuutio;

A, B, C, D, A1, B1, C1, D1- kuution kärjet;

a - kuution reunan pituus.

Kuution tilavuus lasketaan kaavalla:

V-kuutio \u003d a 3, missä

a on kuution reunan pituus.

Tetraedri on säännöllinen monitahoinen, jonka pinnat ovat neljä kolmiota.

ABCD - tetraedri;

A, B, C, D - tetraedrin kärjet;

AD, BD, CD, AB, BC, AC - tetraedrin reunat;

ABD, BCD, ACD - tetraedrin pinnat.

Tetraedrin tilavuus lasketaan kaavalla:

a on tetraedrin minkä tahansa reunan pituus.

Ohjeita

Jotta voit suorittaa tämän luokan tehtäviä onnistuneesti, sinun on:

tuntea geometristen kappaleiden määritelmät ja niiden ominaisuudet;

pystyä suorittamaan toimintoja geometrisilla muodoilla, koordinaatteilla ja vektoreilla;

osaa ratkaista stereometrisiä tehtäviä geometristen suureiden (pituudet, kulmat, pinta-alat, tilavuudet) löytämiseksi;

tuntea geometristen kappaleiden pinta-alojen ja tilavuuksien laskentakaavat.

Tkyllä ​​Nro 8 Sylinterin tilavuus Vaihtoehto 1.

1. Laske sylinterin tilavuus, jonka korkeus on 3 cm ja pohjan halkaisija 6 cm a) 27π cm 3; b) 9x cm3; c) 36x cm3; d) 18x cm3; e) 54π cm 3.

2. Sylinterin tilavuus on 27π. Laske sylinterin pohjan halkaisija, jos sen kokonaispinta-ala on kaksi kertaa sivupinta-ala.

a) 3; b) ei voida määrittää klo 6; d) 2; e) 9.

3. Sylinterin aksiaalisen poikkileikkauksen diagonaali muodostaa 60˚ kulman sylinterin pohjan tason kanssa. Selvitä sylinterin tilavuus, jos aksiaalileikkauksen pinta-ala on 16√3 cm2.

a) 16xcm3; b) 16√3 cm3; c) 32π√3 cm3; d) 8π√3 cm3; e) 16π√3 cm3.

4. Sylinteriin on piirretty pallo, jonka säde on 1 cm, ja laske sylinterin tilavuus.

a) 4π cm3; b) 2π cm3; c) 8x cm3; d) π cm3; d) ei voida määrittää.

5. Sylinterin tilavuus on 120. Laske sylinterin korkeus tarkkuudella 0,01, jos pohjan säde on 3 kertaa suurempi kuin se.

a) 1,62; b) 1,63; c) 1,61; d) 1,6; e) 1,60.

6. Sylinterin aksiaalileikkauksen pinta-ala on 21 cm 2, pohjan pinta-ala on 18π cm 2. Selvitä sylinterin tilavuus.

a) 9π cm3; b) 31,5π√2 cm3; c) 21x cm3; d) 63x cm3; e) 31,5π√3 cm3.

7. Valitse oikea lause.

a) Sylinterin tilavuus on puolet pohjan pinta-alan ja korkeuden tulosta.

b) Sylinterin tilavuus lasketaan kaavalla V = πS/2, jossa S on sylinterin aksiaalisen leikkauksen pinta-ala;

c) tasasivuisen sylinterin tilavuus on V = 2πR 3, missä R on sylinterin kannan säde;

d) sylinterin tilavuus lasketaan kaavalla V = Mh/2, jossa M on sylinterin sivupinnan pinta-ala ja h on sen korkeus;

8. Sylinterin akselin suuntainen osa katkaisee 120˚ kaaren pohjan kehästä. Sylinterin pohjan säde on R, poikkileikkauksen lävistäjän ja sylinterin akselin välinen kulma on 30˚. Laske sylinterin tilavuus a) 3πR 2 ; b) πR3√3; c) 3πR3; d) πR3; e) 3πR3√3.

9. Sylinterin generatrixin läpi vedetään kaksi tasoa. Niiden välinen kulma on 120˚. Tuloksena olevien osien pinta-alat ovat 1. Sylinterin pohjan säde on 1. Laske sylinterin tilavuus. a) π√3/3; b) 2π; c) π/2; d) pi; d) ei voida määrittää.

10. Halkaisijaltaan 2 mm:n alumiinilangan massa on 3,4 kg. Laske langan pituus 1 cm:n tarkkuudella, jos alumiinin tiheys on 2,6 g/cm3.

a) 41646; b) 43590; c) 41656; d) 41635; e) 41625.

Tkyllä ​​Nro 8 Sylinterin tilavuus Vaihtoehto 2.

1. Laske sylinterin tilavuus, jonka korkeus on 6 cm ja pohjan halkaisija 3 cm. a) 13,5π cm 3; b) 9x cm3; c) 27x cm3; d) 18x cm3; e) 54π cm 3.

2. Sylinterin tilavuus on 32π. Laske sylinterin korkeus, jos sen kokonaispinta-ala on kolme kertaa sivupinta-ala.

a) 3; b) ei voida määrittää klo 4; d) 8; D 2.

3. Sylinterin aksiaalisen poikkileikkauksen diagonaali muodostaa 60˚ kulman sylinterin pohjan tason kanssa. Etsi aksiaalileikkauksen pinta-ala, jos sylinterin tilavuus on 16 π √3 cm 2.

a) 16 cm2; b) 16√3 cm2; c) 32√3 cm2; d) 8-3 cm2; e) 16π√3 cm2.

4. Sylinterin lähellä kuvataan pallo, jonka säde on 1 cm, ja laske sylinterin tilavuus.

a) 4π√2 cm3; b) 0,5π-2 cm3; c) ei voida määrittää d) π cm3; e) π√2 cm3.

5. Sylinterin tilavuus on 120. Laske sylinterin korkeus tarkkuudella 0,01, jos pohjan säde on 3 kertaa pienempi kuin se.

a) 2,3; b) 2,33; c) 2,35; d) 2,335; e) 2.34.

6. Sylinterin aksiaalisen poikkileikkauksen pinta-ala on 30 cm 2, pohjan pinta-ala on 9π cm 2. Selvitä sylinterin tilavuus.

a) 45π cm3; b) 22,5x cm3; c) 23x cm3; d) 9x cm3; e) 30π cm3.

7. Valitse väärä lause.

a) Sylinterin tilavuus on pohjan pinta-alan ja korkeuden tulo.

b) Sylinterin tilavuus lasketaan kaavalla V = 1/2πrS, jossa S on sylinterin aksiaalisen leikkauksen pinta-ala ja r on sylinterin säde;

c) tasasivuisen sylinterin tilavuus lasketaan kaavalla V = 1/4πh 3, missä h on sylinterin korkeus;

d) sylinterin tilavuus lasketaan kaavalla V = 1/2Mr, jossa M on sylinterin sivupinnan pinta-ala ja r on sen säde;

e) Tasasivuisen sylinterin tilavuus lasketaan kaavalla V = πh 3 /2, missä h on sylinterin korkeus.

8. Sylinterin akselin suuntainen leikkaus katkaisee 120 0 kaaren pohjan kehästä. Tämä osa poistetaan sylinterin akselista etäisyydellä, joka on yhtä suuri kuin a. Leikkauksen diagonaali on 4a. Selvitä sylinterin tilavuus. a) 8pa 2; b) 4pa 3; c) 2πa3; d) 16pa3; e) 8πa3.

9. Sylinterin generatrixin läpi vedetään kaksi tasoa. Niiden välinen kulma on 120˚. Tuloksena olevien osien pinta-alat ovat 1. Sylinterin korkeus on 1. Laske sylinterin tilavuus. a) π/4; b) π/2; c) π; d) π/3; d) ei voida määrittää.

10. Alumiinilangan, jonka halkaisija on 2 mm, massa on 3,4 m. Laske langan massa 1 g:n tarkkuudella, jos alumiinin tiheys on 2,6 g / cm 3.

a) 278; b) 277; c) 29; d) 27; e) 28.

Työtyyppi: 8
Teema: Sylinteri

Kunto

Lieriömäisessä astiassa nestepinta saavuttaa 20 cm. Millä korkeudella nestepinta on, jos se kaadetaan toiseen sylinterimäiseen astiaan, jonka halkaisija on kaksi kertaa ensimmäisen halkaisija? Ilmaise vastauksesi senttimetreinä.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Olkoon R ensimmäisen aluksen pohjan säde, niin 2 R on toisen aluksen pohjan säde. Ehdon mukaan nesteen V tilavuus ensimmäisessä ja toisessa astiassa on sama. Merkitse H - taso, jolle neste on noussut toisessa astiassa. Sitten

V=\pi R^2 \cdot 20, ja V = \pi (2R) ^ 2H = 4\pi R^2H. Täältä \pi R^2 \cdot 20 = 4\pi R^2H, 20 = 4H H = 5

Vastaus

Työtyyppi: 8
Teema: Sylinteri

Kunto

2000 cm3 vettä kaadettiin lieriömäiseen astiaan. Nestetaso osoittautui 15 cm. Osa oli kokonaan upotettu veteen. Samalla astian nestepinta nousi 9 cm Mikä on osan tilavuus? Ilmaise vastauksesi cm3:ssä.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Olkoon R sylinterin pohjan säde ja h astiaan kaadetun veden korkeus. Sitten kaadetun veden tilavuus on yhtä suuri kuin sylinterin tilavuus, jonka pohjasäde on R ja korkeus h. V vesi \u003d S pää. · h = \pi R^2\cdot h. Ehdon mukaan yhtälö 2000=\pi R^2\cdot15 täyttyy. Täältä, \pi R^2=\frac(2000)(15)=\frac(400)(3).

Olkoon H veden taso astiassa sen jälkeen, kun esine on upotettu siihen. Tällöin veden ja osan kokonaistilavuus on yhtä suuri kuin sylinterin tilavuus, jonka pohjasäde on R ja korkeus H. Ehdolla H=h+9=15+9=24. Joten V vesi + yksityiskohdat = \pi R^2\cdot H=\frac(400)(3)\cdot24=3200. Siksi V osat = V vesi + osat − V vesi = 3200-2000=1200.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 8
Teema: Sylinteri

Kunto

Laske sylinterin korkeus, jos sen kantasäde on 8 ja sivupinta-ala on 96\pi.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

S=2\pi rh,

96\pi=2\pi\cdot8h,

h=\frac(96\pi)(16\pi)=6.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2016. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 8
Teema: Sylinteri

Kunto

500 kuutiometriä kaadettiin sylinterimäiseen astiaan. nähdä vettä. Määritä kokonaan veteen upotetun osan tilavuus, jos nestepinta upotuksen jälkeen nousi 1,2-kertaiseksi. Ilmaise vastauksesi kuutiossa. cm.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Olkoon V 1 nesteen alkutilavuus sylinterissä. Osan upottamisen jälkeen nestetilavuus kasvoi 1,2-kertaiseksi, mikä tarkoittaa, että nesteen lopullinen tilavuus on V 2 = 1,2 V 1. Osan tilavuus on yhtä suuri kuin ennen upotusta ja sen jälkeen olevien tilavuuksien erotus, mikä tarkoittaa V = V_2-V_1=1,2\cdot 500-500=100 kuutio cm.

Vastaus

Kun neste vuotaa yli, sen alkuperäinen tilavuus ei muutu, eli: V 1 \u003d V 2, mikä tarkoittaa, että yhtälö on totta: \pi\left(\frac(d_1)(2)\right)^2h_1=\pi\left(\frac(3d_1)(2)\right)^2h_2

Korvaa arvot ehdosta, yksinkertaista lauseketta ja etsi toisen astian nesteen haluttu korkeus h 2:

\pi \enspace\frac(d_1^(2))(4)\enspace 63=\pi \enspace\frac(9d_1^(2))(4)\enspace h_2

\frac(63)(4)=\frac(9)(4)h_2

h_2=\frac(63)(9)=7