Kun luku moninkertaistaa itsensä itselleni, työ nimeltään tutkinnon.

Joten 2,2 = 4, 2:n neliö tai toinen potenssi
2.2.2 = 8, kuutio tai kolmas potenssi.
2.2.2.2 = 16, neljäs aste.

Myös 10,10 = 100, toinen potenssi on 10.
10.10.10 = 1000, kolmas aste.
10.10.10.10 = 10000 neljäs astetta.

Ja a.a = aa, a:n toinen potenssi
a.a.a = aaa, a:n kolmas potenssi
a.a.a.a = aaaa, a:n neljäs potenssi

Alkuperäiseen numeroon soitetaan juuri tämän luvun asteet, koska siitä luvut luotiin.

Ei kuitenkaan ole kovin kätevää, varsinkaan suurten voimien tapauksessa, kirjoittaa muistiin kaikkia tehot muodostavia tekijöitä. Siksi käytetään lyhennettyä merkintämenetelmää. Tutkinnon juuri kirjoitetaan vain kerran ja sen vieressä oikealle ja hieman korkeammalle, mutta hieman pienemmällä kirjasimella kirjoitetaan kuinka monta kertaa juuri toimii tekijänä. Tätä numeroa tai kirjainta kutsutaan eksponentti tai tutkinnon numeroita. Joten 2 on yhtä suuri kuin a.a tai aa, koska a:n juuri on kerrottava itsellään kahdesti, jotta saadaan aa:n potenssi. Myös 3 tarkoittaa aaa, eli tässä a toistetaan kolme kertaa kertoimena.

Ensimmäisen potenssin eksponentti on 1, mutta sitä ei yleensä kirjoiteta ylös. Joten 1 kirjoitetaan muodossa a.

Astioita ei pidä sekoittaa keskenään kertoimet. Kerroin osoittaa, kuinka usein arvo otetaan osa koko. Eksponentti osoittaa, kuinka usein arvo otetaan tekijä töissä.
Joten 4a = a + a + a + a. Mutta 4 = a.a.a.a

Eksponentiaalisella merkinnällä on se erityinen etu, että voimme ilmaista tuntematon tutkinnon. Tätä tarkoitusta varten luvun sijasta kirjoitetaan eksponentti kirje. Ongelman ratkaisuprosessissa voimme saada arvon, joka, kuten tiedämme, on jonkin verran toisen suuruisen asteen. Mutta toistaiseksi emme tiedä, onko se neliö, kuutio vai jokin muu korkeampi aste. Joten lausekkeessa a x eksponentti tarkoittaa, että tällä lausekkeella on jonkin verran tutkinto, vaikka sitä ei ole määritelty mikä tutkinto. Joten b m ja d n nostetaan m:n ja n:n potenssiin. Kun eksponentti löytyy, määrä kirjeen tilalle. Joten jos m = 3, niin b m = b3; mutta jos m = 5, niin b m = b 5 .

Arvojen kirjoittamismenetelmä eksponenteilla on myös suuri etu käytettäessä ilmaisuja. Siten (a + b + d) 3 on (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), eli trinomin kuutio (a + b + d) . Mutta jos kirjoitamme tämän lausekkeen kuution jälkeen, se näyttää tältä
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3 ad 2 + b 3 + d 3 .

Jos otamme sarjan potenssia, jonka eksponentit kasvavat tai pienenevät 1:llä, huomaamme, että tulo kasvaa yhteinen tekijä tai vähennetty yhteinen jakaja, ja tämä kerroin tai jakaja on alkuperäinen luku, joka korotetaan potenssiin.

Joten sarjassa aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
tai a 5, a 4, a 3, a 2, a 1;
indikaattorit, jos ne lasketaan oikealta vasemmalle, ovat 1, 2, 3, 4, 5; ja niiden arvojen ero on 1. Jos aloitamme oikealla moninkertaistaa a, saamme onnistuneesti useita arvoja.

Joten a.a = a 2 , toinen termi. Ja a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , kolmas termi. a 4 .a = a 5 .

Jos aloitamme vasemmalle jakaa on,
saamme 5:a = a 4 ja 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Mutta tällaista jakoprosessia voidaan jatkaa edelleen, ja saamme uudet arvot.

Joten a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Koko rivi tulee olemaan: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Tai 5, a 4, a 3, a 2, a, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a3.

Tässä arvot oikealla yksiköstä on käänteinen arvot yhden vasemmalla puolella. Siksi näitä tutkintoja voidaan kutsua käänteiset potenssit a. Voidaan myös sanoa, että vasemmanpuoleiset potenssit ovat käänteiset oikealle.

Joten 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. Ja 1:(1/a 3) = a 3 .

Samaa tallennussuunnitelmaa voidaan soveltaa polynomit. Joten a + b:lle saamme joukon,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2, 1/(a + b) 3 .

Mukavuussyistä käytetään toista käänteisvoiman kirjoitustapaa.

Tämän muodon mukaan 1/a tai 1/a 1 = a -1 . Ja 1/aaa tai 1/a3 = a -3.
1/aa tai 1/a2 = a -2. 1/aaaa tai 1/a 4 = a -4.

Ja jotta eksponentit täydentävät sarjaa, jonka kokonaiserotus on 1, a/a tai 1 katsotaan sellaiseksi, jolla ei ole astetta ja se kirjoitetaan 0:na.

Sitten, ottaen huomioon suorat ja käänteiset voimat
sijasta aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
voit kirjoittaa 4, a 3, a 2, a 1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
Tai a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.

Ja vain erikseen otettujen tutkintojen sarjalla on muoto:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Tutkinnon juuri voidaan ilmaista useammalla kuin yhdellä kirjaimella.

Siten aa.aa tai (aa) 2 on aa:n toinen potenssi.
Ja aa.aa.aa tai (aa) 3 on aa:n kolmas potenssi.

Kaikki luvun 1 asteet ovat samat: 1.1 tai 1.1.1. on yhtä suuri kuin 1.

Eksponenttiointi tarkoittaa minkä tahansa luvun arvon löytämistä kertomalla se itsellään. Eksponenttisääntö:

Kerro arvo itsellään niin monta kertaa kuin luvun potenssissa on ilmoitettu.

Tämä sääntö on yhteinen kaikille esimerkeille, joita voi esiintyä eksponentioprosessissa. Mutta on oikein selittää, kuinka se koskee tiettyjä tapauksia.

Jos vain yksi termi korotetaan potenssiin, se kerrotaan itsestään niin monta kertaa kuin eksponentti osoittaa.

Neljäs potenssi a on 4 tai aaaa. (Arti. 195.)
Y:n kuudes potenssi on y 6 tai yyyyyy.
X:n n:s potenssi on x n tai xxx..... n kertaa toistettu.

Jos on tarpeen nostaa usean termin lauseke potenssiin, periaate, että useiden tekijöiden tulon aste on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden tulo potenssiin korotettuna.

Joten (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Mutta ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Joten (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Siksi tuotteen astetta etsittäessä voimme joko operoida koko tuotteeseen kerralla tai sitten voidaan operoida jokaisella tekijällä erikseen ja sitten kertoa niiden arvot asteilla.

Esimerkki 1. Dhy:n neljäs potenssi on (dhy) 4 tai d 4 h 4 y 4 .

Esimerkki 2. 4b:n kolmas potenssi on (4b) 3 tai 4 3 b 3 tai 64b 3 .

Esimerkki 3. 6ad:n n:s potenssi on (6ad) n tai 6 n a n d n .

Esimerkki 4. Kolmas potenssi 3m.2y on (3m.2y) 3 tai 27m 3 .8y 3.

Binomin aste, joka koostuu termeistä, jotka on yhdistetty + ja -, lasketaan kertomalla sen termit. Joo,

(a + b) 1 = a + b, ensimmäinen potenssi.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, toinen potenssi (a + b).
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, kolmas aste.
(a + b) 4 \u003d a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, neljäs aste.

Neliö a - b, on 2 - 2ab + b 2 .

Neliö a + b + h on a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Harjoitus 1. Etsi kuutio a + 2d + 3

Harjoitus 2. Etsi neljäs potenssi b + 2.

Harjoitus 3. Etsi x + 1:n viides potenssi.

Harjoitus 4. Etsi kuudes aste 1 - b.

Summaneliöt määriä ja ero binomiaalit ovat niin yleisiä algebrassa, että on välttämätöntä tuntea ne erittäin hyvin.

Jos kerromme a + h itsellään tai a - h itsellään,
saamme: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 myös, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Tämä osoittaa, että kussakin tapauksessa ensimmäinen ja viimeinen termi ovat a:n ja h:n neliöt ja keskitermi on kaksi kertaa a:n ja h:n tulo. Näin ollen binomiaalien summan ja erotuksen neliö voidaan löytää seuraavan säännön avulla.

Binomin neliö, jotka molemmat ovat positiivisia, on yhtä suuri kuin ensimmäisen termin neliö + kaksi kertaa molempien termien tulo + viimeisen termin neliö.

Neliö ero binomi on yhtä suuri kuin ensimmäisen termin neliö miinus kaksi kertaa molempien termien tulo plus toisen termin neliö.

Esimerkki 1. Neliö 2a + b, on 4a 2 + 4ab + b 2 .

Esimerkki 2. Neliö ab + cd on a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .

Esimerkki 3. Neliö 3d - h on 9d 2 + 6dh + h 2 .

Esimerkki 4. Neliö a - 1 on 2 - 2a + 1.

Katso seuraavista osista menetelmä binomien suurempien potenssien löytämiseksi.

Monissa tapauksissa kirjoittaminen on tehokasta tutkinnon ei kertolaskua.

Neliö a + b on siis (a + b) 2 .
N:s potenssi bc + 8 + x on (bc + 8 + x) n

Tällaisissa tapauksissa kiinnikkeet peittävät kaikki tutkinnon alaisia ​​jäseniä.

Mutta jos tutkinnon juuri koostuu useista kertoimet, sulut voivat peittää koko lausekkeen tai niitä voidaan soveltaa tekijöihin erikseen mukavuuden mukaan.

Siten neliö (a + b)(c + d) on joko [(a + b).(c + d)] 2 tai (a + b) 2 .(c + d) 2 .

Ensimmäisen näistä lausekkeista tulos on kahden tekijän tulon neliö ja toiselle niiden neliöiden tulo. Mutta he ovat tasa-arvoisia keskenään.

Kuutio a.(b + d), on 3 tai a 3 .(b + d) 3.

On myös otettava huomioon osallistuvien jäsenten edessä oleva kyltti. On erittäin tärkeää muistaa, että kun voiman juuri on positiivinen, kaikki sen positiiviset voimat ovat myös positiivisia. Mutta kun juuri on negatiivinen, arvot alkaen outo tehot ovat negatiivisia, kun taas arvot jopa asteet ovat positiivisia.

Toinen potenssi (-a) on +a 2
Kolmas aste (-a) on -a 3
Neljäs potenssi (-a) on +a 4
Viides potenssi (-a) on -a 5

Siksi mikä tahansa outo eksponentti on sama merkki kuin numero. Mutta jopa aste on positiivinen riippumatta siitä, onko numerolla negatiivinen vai positiivinen etumerkki.
Joten +a.+a = +a 2
JA -a.-a = +a 2

Arvo, joka on jo korotettu potenssiin, nostetaan uudelleen potenssiksi kertomalla eksponentit.

A 2:n kolmas potenssi on a 2,3 = a 6 .

Jos a 2 = aa; kuutio aa on aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; joka on a:n kuudes potenssi, mutta a 2:n kolmas potenssi.

Neljäs potenssi a 3 b 2 on a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

Kolmas potenssi 4a 2 x on 64a 6 x 3 .

(a + b) 2:n viides potenssi on (a + b) 10 .

3:n N:s potenssi on 3n

(x - y) m:n n:s potenssi on (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Sääntö pätee yhtä lailla negatiivinen astetta.

Esimerkki 1. Kolmas potenssi a -2 on -3.3 =a -6 .

Jos a -2 = 1/aa, ja tämän kolmas potenssi
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Neljäs potenssi a2b-3 on a 8b-12 tai a 8/b12.

Neliö b 3 x -1 on b 6 x -2 .

N:s teho ax -m on x -mn tai 1/x .

Tässä on kuitenkin muistettava, että jos merkki Edellinen aste on "-", niin se tulee vaihtaa arvoon "+", kun aste on parillinen luku.

Esimerkki 1. Neliö -a 3 on +a 6 . Neliö -a 3 on -a 3 .-a 3 , joka kertomerkkien sääntöjen mukaan on +a 6 .

2. Mutta kuutio -a 3 on -a 9 . Kun -a 3.-a 3.-a 3 = -a 9 .

3. -a 3:n N:s potenssi on 3n .

Tässä tulos voi olla positiivinen tai negatiivinen riippuen siitä, onko n parillinen vai pariton.

Jos murto-osa korotetaan potenssiin, osoittaja ja nimittäjä korotetaan potenssiin.

Neliö a/b on a 2/b 2 . Murtolukujen kertolaskusäännön mukaan
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

1/a:n toinen, kolmas ja n:s potenssit ovat 1/a 2 , 1/a 3 ja 1/a n .

Esimerkkejä binomiaalit jossa yksi termeistä on murtoluku.

1. Etsi neliö x + 1/2 ja x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x. (1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Neliö a + 2/3 on a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Neliö x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4.

4 Neliö x - b/m on x 2 - 2bx/m + b 2/m 2 .

Aiemmin se on osoitettu murtokerroin voidaan siirtää osoittajasta nimittäjään tai nimittäjästä osoittajaan. Käänteisten potenssien kirjoittamisen mallia käyttämällä voidaan nähdä, että mikä tahansa kerroin voidaan myös siirtää jos tutkinnon etumerkkiä muutetaan.

Joten murto-osassa ax -2 /y voimme siirtää x:n osoittajasta nimittäjään.
Sitten ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

Murtoluvussa a/by 3 voimme siirtää y:n nimittäjästä osoittajaan.
Sitten a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Samalla tavalla voimme siirtää tekijän, jolla on positiivinen eksponentti, osoittajaan tai tekijän, jolla on negatiivinen eksponentti, nimittäjään.

Joten ax 3 / b = a / bx -3 . Kun x 3 käänteisarvo on x -3 , joka on x 3 = 1/x -3 .

Siksi minkä tahansa murtoluvun nimittäjä voidaan poistaa kokonaan tai osoittaja voidaan pienentää yhdeksi muuttamatta lausekkeen merkitystä.

Joten a/b = 1/ba-1 tai ab-1.

Jatkossa keskustelua luvun asteesta on loogista käsitellä asteen arvon löytämistä. Tämä prosessi on nimetty eksponentio. Tässä artikkelissa tutkimme vain, kuinka eksponentiointi suoritetaan, samalla kun kosketamme kaikkia mahdollisia eksponenteja - luonnollisia, kokonaislukuja, rationaalisia ja irrationaalisia. Ja perinteen mukaan harkitsemme yksityiskohtaisesti ratkaisuja esimerkkeihin lukujen nostamisesta eri asteilla.

Sivulla navigointi.

Mitä "exponsaatio" tarkoittaa?

Aloitetaan selittämällä, mitä kutsutaan eksponentioksi. Tässä on asiaankuuluva määritelmä.

Määritelmä.

Eksponentointi on löytää luvun potenssin arvo.

Siten a:n potenssin arvon löytäminen eksponentin r kanssa ja luvun a nostaminen r:n potenssiin on sama asia. Esimerkiksi, jos tehtävänä on "laske potenssin arvo (0,5) 5", se voidaan muotoilla uudelleen seuraavasti: "Nosta luku 0,5 potenssiin 5".

Nyt voit siirtyä suoraan sääntöihin, joilla eksponentiointi suoritetaan.

Luvun nostaminen luonnolliseksi voimaksi

Käytännössä tasa-arvoa sovelletaan yleensä muodossa . Toisin sanoen nostettaessa lukua a murto-osaan m / n, erotetaan ensin n:nnen asteen juuri luvusta a, minkä jälkeen tulos nostetaan kokonaislukupotenssiin m.

Harkitse ratkaisuja esimerkkeihin nostamisesta murto-osaan.

Esimerkki.

Laske tutkinnon arvo.

Ratkaisu.

Näytämme kaksi ratkaisua.

Ensimmäinen tapa. Asteen määritelmän mukaan murto-eksponentilla. Laskemme asteen arvon juuren merkin alla, minkä jälkeen poimimme kuutiojuuren: .

Toinen tapa. Murto-eksponentin asteen määritelmän ja juurien ominaisuuksien perusteella yhtälöt ovat tosia . Poimi nyt juuri Lopuksi nostetaan kokonaislukupotenssiin .

Ilmeisesti murto-osaan nostamisesta saadut tulokset osuvat yhteen.

Vastaus:

Huomaa, että murto-osien eksponentti voidaan kirjoittaa desimaalilukuna tai sekalukuna, näissä tapauksissa se tulee korvata vastaavalla tavallisella murtoluvulla ja sitten suorittaa eksponentio.

Esimerkki.

Laske (44,89) 2,5 .

Ratkaisu.

Kirjoitamme eksponentin tavallisen murto-osan muodossa (katso tarvittaessa artikkeli): . Nyt suoritamme korotuksen murto-osaan:

Vastaus:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

On myös sanottava, että lukujen nostaminen rationaalisiin potenssiin on melko työläs prosessi (varsinkin kun murto-eksponentin osoittaja ja nimittäjä ovat melko suuria lukuja), joka yleensä suoritetaan tietokonetekniikalla.

Tämän kappaleen lopuksi tarkastelemme luvun nollan rakentamista murto-osaan. Annoimme muodon murto-osalle nolla-asteen seuraavan merkityksen: sillä meillä on , kun taas nollaa tehoon m/n ei ole määritelty. Joten nollasta positiiviseen murto-osaan on nolla, esimerkiksi . Ja nolla murto-osa negatiivisessa potenssissa ei ole järkevää, esimerkiksi lausekkeet ja 0 -4,3 eivät ole järkeviä.

Nousu irrationaaliseen voimaan

Joskus on tarpeen selvittää luvun asteen arvo irrationaalisella eksponentilla. Tässä tapauksessa käytännön syistä yleensä riittää, että tutkinnon arvo saadaan tiettyyn merkkiin asti. Huomaamme heti, että käytännössä tämä arvo lasketaan elektronisella laskentatekniikalla, koska manuaalinen nostaminen irrationaaliseen tehoon vaatii suuren määrän hankalia laskelmia. Mutta siitä huolimatta kuvaamme toimien olemuksen yleisesti.

Jotta saadaan likimääräinen arvo a:n potenssille irrationaalisella eksponentilla, otetaan eksponentin desimaaliapproksimaatio ja lasketaan eksponentin arvo. Tämä arvo on luvun a asteen likimääräinen arvo irrationaalisen eksponentin kanssa. Mitä tarkempi desimaaliapproksimaatio luvun alussa otetaan, sitä tarkempi astearvo on lopulta.

Lasketaan esimerkiksi potenssin 2 likimääräinen arvo 1,174367... . Otetaan seuraava irrationaalisen indikaattorin desimaaliapproksimaatio: . Nyt nostetaan 2 rationaaliseen potenssiin 1,17 (kuvasimme tämän prosessin olemuksen edellisessä kappaleessa), saamme 2 1,17 ≈ 2,250116. Tällä tavalla, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Jos otamme irrationaalisen eksponentin tarkemman desimaaliarvion, esimerkiksi , niin saadaan alkuperäisen asteen tarkempi arvo: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematiikan Zh oppikirja 5 solulle. koulutusinstituutiot.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: oppikirja 7 solulle. koulutusinstituutiot.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: oppikirja 8 solulle. koulutusinstituutiot.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: oppikirja 9 solulle. koulutusinstituutiot.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ja muut Algebra ja analyysin alku: Oppikirja yleisten oppilaitosten luokille 10-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin hakijoille).

Tärkeät muistiinpanot!
1. Jos näet kaavojen sijasta abrakadabra, tyhjennä välimuisti. Kuinka se tehdään selaimessasi, on kirjoitettu tähän:
2. Ennen kuin aloitat artikkelin lukemisen, kiinnitä huomiota navigaattoriimme saadaksesi hyödyllisimmän resurssin

Miksi tutkintoja tarvitaan? Missä niitä tarvitset? Miksi sinun täytyy käyttää aikaa niiden tutkimiseen?

Lue tämä artikkeli, jos haluat oppia kaiken tutkinnoista, niiden tarkoituksesta ja tietojesi käyttämisestä jokapäiväisessä elämässä.

Ja tietysti tutkintojen tunteminen vie sinut lähemmäksi onnistuneesti OGE- tai Unified State -tutkintoa ja pääsyä unelmiesi yliopistoon.

Mennään... (Mennään!)

ENSIMMÄINEN TASO

Eksponenttioiminen on sama matemaattinen operaatio kuin yhteen-, vähennys-, kerto- tai jakolasku.

Nyt selitän kaiken ihmiskielellä käyttäen hyvin yksinkertaisia ​​esimerkkejä. Ole varovainen. Esimerkit ovat alkeellisia, mutta selittävät tärkeitä asioita.

Aloitetaan lisäyksellä.

Tässä ei ole mitään selitettävää. Tiedät jo kaiken: meitä on kahdeksan. Jokaisessa on kaksi pulloa colaa. Paljonko colaa? Aivan oikein - 16 pulloa.

Nyt kertolasku.

Sama esimerkki colan kanssa voidaan kirjoittaa eri tavalla: . Matemaatikot ovat ovelia ja laiskoja ihmisiä. He huomaavat ensin joitain kuvioita ja sitten keksivät tavan "laskea" ne nopeammin. Meidän tapauksessamme he huomasivat, että jokaisella kahdeksalla ihmisellä oli sama määrä kolapulloja, ja he keksivät tekniikan nimeltä kertolasku. Samaa mieltä, sitä pidetään helpommin ja nopeampana kuin.

Joten, jotta voit laskea nopeammin, helpommin ja ilman virheitä, sinun on vain muistettava kertotaulu. Tietysti kaiken voi tehdä hitaammin, kovemmin ja virhein! Mutta…

Tässä on kertotaulukko. Toistaa.

Ja toinen, kauniimpi:

Ja mitä muita hankalia laskentatemppuja laiskot matemaatikot keksivät? Oikein - luvun nostaminen potenssiin.

Numeron nostaminen potenssiin

Jos sinun on kerrottava luku itsellään viisi kertaa, matemaatikot sanovat, että sinun on nostettava tämä luku viidenteen potenssiin. Esimerkiksi, . Matemaatikot muistavat, että kahdesta viiteen potenssi on. Ja he ratkaisevat tällaiset ongelmat mielessään - nopeammin, helpommin ja ilman virheitä.

Tätä varten tarvitset vain muista, mikä on korostettu värillä lukujen potenssitaulukossa. Usko minua, se tekee elämästäsi paljon helpompaa.

Muuten, miksi toista tutkintoa kutsutaan neliö- numerot ja kolmas kuutio? Mitä se tarkoittaa? Erittäin hyvä kysymys. Nyt sinulla on sekä neliöitä että kuutioita.

Esimerkki tosielämästä #1

Aloitetaan neliöstä tai luvun toisesta potenssista.

Kuvittele neliönmuotoinen allas, jonka mitat ovat metrejä metreinä. Allas on takapihallasi. On kuuma ja haluan todella uida. Mutta ... allas ilman pohjaa! Altaan pohja on tarpeen peittää laatoilla. Kuinka monta laattaa tarvitset? Tämän määrittämiseksi sinun on tiedettävä altaan pohjan pinta-ala.

Voit yksinkertaisesti laskea sormea ​​työntämällä, että altaan pohja koostuu kuutioista metri metriltä. Jos laattasi ovat metri metriltä, ​​tarvitset kappaleita. Se on helppoa... Mutta missä näit sellaisen laatan? Laatta on mieluummin cm cm. Ja sitten sinua kiusaa "sormella laskeminen". Sitten sinun on kerrottava. Joten altaan pohjan yhdelle puolelle sovitamme laatat (palat) ja toiselle myös laatat. Kertomalla saat laatat ().

Huomasitko, että kerroimme saman luvun itsellään määrittääksemme altaan pohjan alueen? Mitä se tarkoittaa? Koska sama luku kerrotaan, voimme käyttää eksponentiotekniikkaa. (Tietenkin, kun sinulla on vain kaksi lukua, sinun on silti kerrottava ne tai nostettava ne potenssiin. Mutta jos niitä on paljon, niin potenssiin nostaminen on paljon helpompaa ja laskelmissa on myös vähemmän virheitä . Kokeen kannalta tämä on erittäin tärkeää).
Joten, kolmekymmentä toiseen asteeseen on (). Tai voit sanoa, että kolmekymmentä neliötä tulee olemaan. Toisin sanoen luvun toinen potenssi voidaan aina esittää neliönä. Ja päinvastoin, jos näet neliön, se on AINA jonkin luvun toinen potenssi. Neliö on kuva luvun toisesta potenssista.

Esimerkki tosielämästä #2

Tässä on sinulle tehtävä, laske kuinka monta ruutua on shakkilaudalla käyttämällä numeroruutua ... Toisella puolella soluja ja myös toisella. Niiden lukumäärän laskemiseksi sinun on kerrottava kahdeksan kahdeksalla tai ... jos huomaat, että shakkilauta on neliö, jossa on sivu, voit laittaa kahdeksan. Hanki soluja. () Siis?

Esimerkki tosielämästä #3

Nyt kuutio tai luvun kolmas potenssi. Sama uima-allas. Mutta nyt sinun on selvitettävä, kuinka paljon vettä on kaadettava tähän altaaseen. Sinun on laskettava tilavuus. (Muuten tilavuudet ja nesteet mitataan kuutiometreissä. Odottamatonta, eikö?) Piirrä allas: pohja metrin kokoinen ja metrin syvyys ja yritä laskea kuinka monta kuutiota metri kertaa metrillä tulee sisään uima-allas.

Osoita vain sormella ja laske! Yksi, kaksi, kolme, neljä… kaksikymmentäkaksi, kaksikymmentäkolme… Kuinka paljon siitä tuli? Etkö eksynyt? Onko vaikeaa laskea sormella? Jotta! Otetaan esimerkki matemaatikoilta. He ovat laiskoja, joten he huomasivat, että uima-altaan tilavuuden laskemiseksi sinun on kerrottava sen pituus, leveys ja korkeus toisillaan. Meidän tapauksessamme altaan tilavuus on yhtä suuri kuin kuutiot ... Helpompaa, eikö?

Kuvittele nyt kuinka laiskoja ja ovelia matemaatikot ovat, jos he tekevät sen liian helpoksi. Supistettiin kaikki yhteen toimintoon. He huomasivat, että pituus, leveys ja korkeus ovat yhtä suuret ja että sama luku kerrotaan itsestään ... Ja mitä tämä tarkoittaa? Tämä tarkoittaa, että voit käyttää tutkintoa. Joten sen, minkä kerran laskit sormella, he tekevät yhdellä toiminnolla: kolme kuutiossa on yhtä suuri. Se on kirjoitettu näin:

Jää vain muistaa astetaulukko. Ellei tietysti ole yhtä laiska ja ovela kuin matemaatikot. Jos haluat työskennellä kovasti ja tehdä virheitä, voit jatkaa laskemista sormella.

No, saadaksesi sinut vihdoin vakuuttuneeksi siitä, että tutkinnot ovat loafereiden ja ovelien ihmisten keksimiä elämänongelmiensa ratkaisemiseksi, eikä ongelmien luomiseksi sinulle, tässä on vielä pari esimerkkiä elämästä.

Esimerkki tosielämästä #4

Sinulla on miljoona ruplaa. Jokaisen vuoden alussa ansaitset toisen miljoonan jokaista miljoonaa kohden. Toisin sanoen jokainen miljoonasta jokaisen vuoden alussa tuplaantuu. Paljonko sinulla on rahaa vuosien kuluttua? Jos nyt istut ja "lasket sormella", olet erittäin ahkera ihminen ja .. tyhmä. Mutta todennäköisesti annat vastauksen muutamassa sekunnissa, koska olet älykäs! Joten ensimmäisenä vuonna - kaksi kertaa kaksi ... toisena vuonna - mitä tapahtui, kahdella lisää, kolmantena vuonna ... Stop! Huomasit, että luku kerrotaan itsellään kerran. Joten kahdesta viiteen potenssiin on miljoona! Kuvittele nyt, että sinulla on kilpailu ja se, joka laskee nopeammin, saa nämä miljoonat... Kannattaako muistaa lukujen asteet, mitä mieltä olet?

Esimerkki tosielämästä #5

Sinulla on miljoona. Jokaisen vuoden alussa ansaitset kaksi lisää jokaista miljoonaa kohden. Se on hieno eikö? Jokainen miljoona kolminkertaistuu. Paljonko sinulla on rahaa vuodessa? Lasketaan. Ensimmäinen vuosi - kerrotaan, sitten tulos toisella ... Se on jo tylsää, koska olet jo ymmärtänyt kaiken: kolme kerrotaan itsestään kertaa. Neljäs teho on siis miljoona. Sinun tarvitsee vain muistaa, että kolmesta neljänteen potenssi on tai.

Nyt tiedät, että nostamalla luvun arvoon, teet elämästäsi paljon helpompaa. Katsotaanpa tarkemmin, mitä voit tehdä tutkinnoilla ja mitä sinun on tiedettävä niistä.

Termit ja käsitteet ... jotta ei menisi sekaisin

Joten ensin määritellään käsitteet. Mitä mieltä sinä olet, mikä on eksponentti? Se on hyvin yksinkertaista - tämä on numero, joka on luvun tehon "huipussa". Ei tieteellinen, mutta selkeä ja helppo muistaa...

No samaan aikaan mitä sellainen tutkintopohja? Vielä yksinkertaisempi on numero, joka on alareunassa, pohjassa.

Tässä on kuva varmuuden vuoksi.

Yleisesti ottaen, yleistääksesi ja muistaaksemme paremmin ... Tutkinto, jonka kanta on "" ja indikaattori "", luetaan "asteena" ja kirjoitetaan seuraavasti:

Luvun potenssi luonnollisella eksponentilla

Luultavasti jo arvasit: koska eksponentti on luonnollinen luku. Kyllä, mutta mikä on luonnollinen luku? Perus! Luonnolliset luvut ovat niitä, joita käytetään laskettaessa kohteita listattaessa: yksi, kaksi, kolme ... Kun laskemme kohteita, emme sano: "miinus viisi", "miinus kuusi", "miinus seitsemän". Emme myöskään sano "kolmasosa" tai "nolla piste viisi kymmenesosaa". Nämä eivät ole luonnollisia lukuja. Mitä nämä luvut mielestäsi ovat?

Numerot, kuten "miinus viisi", "miinus kuusi", "miinus seitsemän" viittaavat kokonaislukuja. Yleisesti ottaen kokonaisluvut sisältävät kaikki luonnolliset luvut, luonnollisten lukujen vastakohtaiset luvut (eli miinusmerkillä otettuja) ja luvun. Nolla on helppo ymmärtää - silloin kun ei ole mitään. Ja mitä negatiiviset ("miinus") luvut tarkoittavat? Mutta ne keksittiin ensisijaisesti merkitsemään velkoja: jos sinulla on puhelimesi saldo ruplissa, tämä tarkoittaa, että olet velkaa operaattorille ruplaa.

Kaikki murtoluvut ovat rationaalilukuja. Miten ne syntyivät, luuletko? Erittäin yksinkertainen. Useita tuhansia vuosia sitten esi-isämme huomasivat, että heillä ei ollut tarpeeksi luonnollisia lukuja mittaamaan pituutta, painoa, pinta-alaa jne. Ja he keksivät rationaalisia lukuja… Mielenkiintoista, eikö?

On myös irrationaalisia lukuja. Mitä nämä luvut ovat? Lyhyesti sanottuna ääretön desimaaliluku. Jos esimerkiksi jaat ympyrän kehän sen halkaisijalla, saat irrationaalisen luvun.

Yhteenveto:

Määrittelemme asteen käsite, jonka eksponentti on luonnollinen luku (eli kokonaisluku ja positiivinen).

1. Mikä tahansa luku ensimmäiseen potenssiin on yhtä suuri kuin itsensä:
2. Numeron neliöinti tarkoittaa sen kertomista itsellään:
3. Luvun kuutioiminen tarkoittaa sen kertomista itsellään kolme kertaa:

Määritelmä. Luvun nostaminen luonnolliseen potenssiin tarkoittaa luvun kertomista itsellään kertaa:
.

Tutkinnon ominaisuudet

Mistä nämä ominaisuudet ovat peräisin? Näytän sinulle nyt.

Katsotaan mikä on ja ?

Määritelmän mukaan:

Kuinka monta kerrointa on yhteensä?

Se on hyvin yksinkertaista: lisäsimme tekijöitä tekijöihin, ja tulos on tekijöitä.

Mutta määritelmän mukaan tämä on luvun aste, jossa on eksponentti, eli: , joka oli todistettava.

Esimerkki: Yksinkertaista lauseke.

Ratkaisu:

Esimerkki: Yksinkertaista ilmaisu.

Ratkaisu: On tärkeää huomata se säännössämme välttämättä täytyy olla sama syy!
Siksi yhdistämme asteet kantaan, mutta pysymme erillisenä tekijänä:

vain voimatuotteille!

Älä missään tapauksessa saa kirjoittaa niin.

2. eli -luvun potenssi

Kuten edellisen ominaisuuden kohdalla, siirrytään tutkinnon määritelmään:

Osoittautuu, että lauseke kerrotaan itsellään kerran, eli määritelmän mukaan tämä on luvun :s potenssi:

Itse asiassa tätä voidaan kutsua "ilmaisimen haarukointiin". Mutta et voi koskaan tehdä tätä kokonaisuudessaan:

Muistetaan lyhennetyn kertolaskukaavat: kuinka monta kertaa halusimme kirjoittaa?

Mutta se ei todellakaan ole totta.

Negatiivinen tutkinto

Tähän asti olemme keskustelleet vain siitä, mikä eksponentin tulisi olla.

Mutta minkä pitäisi olla perusta?

Asteina alkaen luonnollinen indikaattori perusteena voi olla mikä tahansa numero. Voimme todellakin kertoa minkä tahansa luvun toisillaan, olivat ne sitten positiivisia, negatiivisia tai parillisia.

Ajatellaanpa, millä merkeillä ("" tai "") on positiivisten ja negatiivisten lukujen asteet?

Onko luku esimerkiksi positiivinen vai negatiivinen? MUTTA? ? Ensimmäisen kanssa kaikki on selvää: riippumatta siitä, kuinka monta positiivista numeroa kerromme keskenään, tulos on positiivinen.

Mutta negatiiviset ovat hieman mielenkiintoisempia. Muistammehan yksinkertaisen säännön kuudennelta luokalta: "miinus kertaa miinus antaa plussan." Eli tai. Mutta jos kerromme, niin se käy.

Päätä itse, mikä merkki seuraavilla ilmaisuilla on:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Onnistuitko?

Tässä ovat vastaukset: Toivon, että neljässä ensimmäisessä esimerkissä kaikki on selvää? Katsomme yksinkertaisesti kantaa ja eksponenttia ja sovellamme asianmukaista sääntöä.

Esimerkissä 5) kaikki ei myöskään ole niin pelottavaa kuin näyttää: sillä ei ole väliä, mikä kanta on yhtä suuri - aste on parillinen, mikä tarkoittaa, että tulos on aina positiivinen.

Paitsi silloin, kun perusarvo on nolla. Pohja ei ole sama, eihän? Ilmeisesti ei, koska (koska).

Esimerkki 6) ei ole enää niin yksinkertainen!

6 esimerkkiä harjoituksista

Ratkaisun analyysi 6 esimerkkiä

koko nimeämme luonnolliset luvut, niiden vastakohdat (eli otettuna merkillä "") ja luvun.

positiivinen kokonaisluku, ja se ei eroa luonnollisesta, niin kaikki näyttää täsmälleen samalta kuin edellisessä osiossa.

Katsotaan nyt uusia tapauksia. Aloitetaan indikaattorilla, joka on yhtä suuri kuin.

Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi:

Kuten aina, kysymme itseltämme: miksi näin on?

Harkitse pohjan tehoa. Otetaan esimerkiksi ja kerrotaan:

Joten kerroimme luvun luvulla ja saimme saman kuin se oli -. Millä luvulla pitää kertoa, ettei mikään muutu? Aivan oikein, päällä. Keinot.

Voimme tehdä saman mielivaltaisella numerolla:

Toistetaan sääntö:

Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi.

Mutta moniin sääntöihin on poikkeuksia. Ja tässä se on myös siellä - tämä on numero (pohjana).

Toisaalta sen on oltava yhtä suuri kuin mikä tahansa aste - riippumatta siitä, kuinka paljon kerrot nollan itsellään, saat silti nollan, tämä on selvää. Mutta toisaalta, kuten minkä tahansa luvun nollaasteeseen, sen on oltava yhtä suuri. Joten mikä on totuus tästä? Matemaatikko päätti olla puuttumatta asiaan ja kieltäytyi nostamasta nollaa nollaan. Eli nyt emme voi vain jakaa nollalla, vaan myös nostaa sen nollatehoon.

Mennään pidemmälle. Luonnollisten lukujen ja lukujen lisäksi kokonaisluvut sisältävät negatiivisia lukuja. Ymmärtääksemme, mikä negatiivinen aste on, tehdään samoin kuin viime kerralla: kerrotaan jokin normaaliluku samalla negatiivisessa asteessa:

Täältä on jo helppo ilmaista haluttu:

Laajennamme nyt tuloksena olevaa sääntöä mielivaltaiseen määrään:

Joten muotoillaan sääntö:

Luku negatiiviselle potenssille on saman luvun käänteisarvo positiiviselle potenssille. Mutta samaan aikaan kanta ei voi olla tyhjä:(koska se on mahdoton jakaa).

Tehdään yhteenveto:

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun:

No, kuten tavallista, esimerkkejä itsenäisestä ratkaisusta:

Tehtävien analyysi itsenäistä ratkaisua varten:

Tiedän, tiedän, luvut ovat pelottavia, mutta tentissä pitää olla valmis kaikkeen! Ratkaise nämä esimerkit tai analysoi niiden ratkaisu, jos et pystynyt ratkaisemaan sitä, niin opit käsittelemään niitä helposti kokeessa!

Jatketaan eksponentiksi "sopivien" lukujen ympyrän laajentamista.

Harkitse nyt rationaalisia lukuja. Mitä lukuja kutsutaan rationaalisiksi?

Vastaus: kaikki mikä voidaan esittää murtolukuna, missä ja ovat lisäksi kokonaislukuja.

Ymmärtääkseen mikä on "murto-aste" Tarkastellaanpa murto-osaa:

Nostetaan yhtälön molemmat puolet potenssiksi:

Muista nyt sääntö "asteesta asteeseen":

Mikä luku on nostettava potenssiin saadakseen?

Tämä muotoilu on th asteen juuren määritelmä.

Muistutan teitä: luvun th:n potenssin juuri () on luku, joka potenssiin korotettuna on yhtä suuri.

Toisin sanoen th asteen juuri on eksponentioinnin käänteisoperaatio: .

Siitä käy ilmi. Ilmeisesti tätä erikoistapausta voidaan jatkaa: .

Lisää nyt osoittaja: mikä se on? Vastaus on helppo saada tehosta tehoon -säännöllä:

Mutta voiko kanta olla mikä tahansa luku? Kaikista luvuista ei loppujen lopuksi voida erottaa juuria.

Ei mitään!

Muista sääntö: mikä tahansa parilliseen potenssiin korotettu luku on positiivinen luku. Eli negatiivisista luvuista on mahdotonta erottaa parillisen asteen juuria!

Ja tämä tarkoittaa, että tällaisia ​​lukuja ei voida nostaa murto-osaan parillisella nimittäjällä, eli lausekkeessa ei ole järkeä.

Entä ilmaisu?

Mutta tässä syntyy ongelma.

Numero voidaan esittää muina, pelkistetyinä murtoina, esimerkiksi tai.

Ja käy ilmi, että se on olemassa, mutta ei ole olemassa, ja nämä ovat vain kaksi eri tietuetta, joilla on sama numero.

Tai toinen esimerkki: kerran, sitten voit kirjoittaa sen muistiin. Mutta heti kun kirjoitamme indikaattorin eri tavalla, saamme jälleen ongelmia: (eli saimme täysin erilaisen tuloksen!).

Tällaisten paradoksien välttämiseksi harkitse vain positiivinen kantaeksponentti murto-osien eksponentin kanssa.

Niin jos:

• - luonnollinen luku;
• on kokonaisluku;

Esimerkkejä:

Potenssit, joissa on rationaalinen eksponentti, ovat erittäin hyödyllisiä juurilla olevien lausekkeiden muuntamiseen, esimerkiksi:

5 esimerkkiä harjoituksista

Analyysi 5 esimerkistä koulutusta varten

No, nyt - vaikein. Nyt analysoimme aste irrationaalisella eksponenttilla.

Kaikki asteiden säännöt ja ominaisuudet ovat tässä täsmälleen samat kuin rationaalisen eksponentin asteilla, lukuun ottamatta

Itse asiassa irrationaaliset luvut ovat määritelmän mukaan lukuja, joita ei voida esittää murtolukuna, missä ja ovat kokonaislukuja (eli irrationaaliset luvut ovat kaikki reaalilukuja paitsi rationaaliset luvut).

Kun tutkimme tutkintoja luonnollisella, kokonaisluvulla ja rationaalisella indikaattorilla, keksimme joka kerta tietyn "kuvan", "analogian" tai kuvauksen tutummin.

Esimerkiksi luonnollinen eksponentti on luku, joka kerrotaan itsellään useita kertoja;

...nolla teho- tämä on ikään kuin itsellään kerran kerrottu luku, eli sitä ei ole vielä alettu kertoa, mikä tarkoittaa, että itse numero ei ole vielä edes ilmestynyt - siksi tulos on vain tietty "tyhjä luku" , nimittäin numero;

...negatiivinen kokonaisluku eksponentti- On kuin tietty "käänteinen prosessi" olisi tapahtunut, eli numeroa ei kerrottu itsestään, vaan jaettu.

Muuten, tiede käyttää usein astetta kompleksisella eksponentilla, eli eksponentti ei ole edes reaaliluku.

Mutta koulussa emme ajattele tällaisia ​​vaikeuksia; sinulla on mahdollisuus ymmärtää nämä uudet käsitteet instituutissa.

MINNE OLEMME VARMUKSIA, ETTÄ MENET! (jos opit ratkaisemaan tällaisia ​​esimerkkejä :))

Esimerkiksi:

Päätä itse:

Ratkaisujen analyysi:

1. Aloitetaan jo tavallisesta säännöstä tutkinnon nostamiseksi asteeksi:

EDISTYNYT TASO

Tutkinnon määritelmä

Aste on muodon ilmaisu: , jossa:

• — tutkinnon perusta;
• - eksponentti.

Aste luonnollisella eksponentilla (n = 1, 2, 3,...)

Luvun nostaminen luonnolliseen potenssiin n tarkoittaa luvun kertomista itsellään kertaa:

Potentti kokonaislukueksponentilla (0, ±1, ±2,...)

Jos eksponentti on positiivinen kokonaisluku määrä:

erektio nollatehoon:

Lauseke on epämääräinen, koska toisaalta missä tahansa asteessa on tämä, ja toisaalta mikä tahansa luku :nteen asteeseen asti on tämä.

Jos eksponentti on negatiivinen kokonaisluku määrä:

(koska se on mahdoton jakaa).

Vielä kerran nolla-arvoista: lauseketta ei ole määritelty tapauksessa. Jos sitten.

Esimerkkejä:

Aste rationaalisen eksponentin kanssa

• - luonnollinen luku;
• on kokonaisluku;

Esimerkkejä:

Tutkinnon ominaisuudet

Ongelmien ratkaisemisen helpottamiseksi yritetään ymmärtää: mistä nämä ominaisuudet ovat peräisin? Todistakaamme ne.

Katsotaanpa: mikä on ja?

Määritelmän mukaan:

Joten tämän lausekkeen oikealla puolella saadaan seuraava tuote:

Mutta määritelmän mukaan tämä on luvun potenssi, jossa on eksponentti, eli:

Q.E.D.

Esimerkki : Yksinkertaista lauseke.

Ratkaisu : .

Esimerkki : Yksinkertaista lauseke.

Ratkaisu : On tärkeää huomata, että säännössämme välttämättä pitää olla samat perusteet. Siksi yhdistämme asteet kantaan, mutta pysymme erillisenä tekijänä:

Toinen tärkeä huomautus: tämä sääntö - vain voimatuotteille!

En missään tapauksessa saa kirjoittaa niin.

Kuten edellisen ominaisuuden kohdalla, siirrytään tutkinnon määritelmään:

Järjestetään se uudelleen näin:

Osoittautuu, että lauseke kerrotaan itsellään kerran, eli määritelmän mukaan tämä on luvun -:s potenssi:

Itse asiassa tätä voidaan kutsua "ilmaisimen haarukointiin". Mutta et voi koskaan tehdä tätä kokonaisuudessaan:!

Muistetaan lyhennetyn kertolaskukaavat: kuinka monta kertaa halusimme kirjoittaa? Mutta se ei todellakaan ole totta.

Teho negatiivisella pohjalla.

Tähän asti olemme keskustelleet vain siitä, mitä pitäisi olla indeksi tutkinnon. Mutta minkä pitäisi olla perusta? Asteina alkaen luonnollinen indikaattori perusteena voi olla mikä tahansa numero .

Voimme todellakin kertoa minkä tahansa luvun toisillaan, olivat ne sitten positiivisia, negatiivisia tai parillisia. Ajatellaanpa, millä merkeillä ("" tai "") on positiivisten ja negatiivisten lukujen asteet?

Onko luku esimerkiksi positiivinen vai negatiivinen? MUTTA? ?

Ensimmäisen kanssa kaikki on selvää: riippumatta siitä, kuinka monta positiivista numeroa kerromme keskenään, tulos on positiivinen.

Mutta negatiiviset ovat hieman mielenkiintoisempia. Muistammehan yksinkertaisen säännön kuudennelta luokalta: "miinus kertaa miinus antaa plussan." Eli tai. Mutta jos kerromme (:llä), saamme -.

Ja niin edelleen loputtomiin: jokaisen seuraavan kertolaskun yhteydessä merkki muuttuu. Voit muotoilla nämä yksinkertaiset säännöt:

1. jopa tutkinto, - numero positiivinen.
2. Negatiivinen luku korotettu arvoon outo tutkinto, - numero negatiivinen.
3. Minkä tahansa potenssin positiivinen luku on positiivinen luku.
4. Nolla mihin tahansa potenssiin on yhtä suuri kuin nolla.

Päätä itse, mikä merkki seuraavilla ilmaisuilla on:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Onnistuitko? Tässä vastaukset:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Toivon, että neljässä ensimmäisessä esimerkissä kaikki on selvää? Katsomme yksinkertaisesti kantaa ja eksponenttia ja sovellamme asianmukaista sääntöä.

Esimerkissä 5) kaikki ei myöskään ole niin pelottavaa kuin näyttää: sillä ei ole väliä, mikä kanta on yhtä suuri - aste on parillinen, mikä tarkoittaa, että tulos on aina positiivinen. Paitsi silloin, kun perusarvo on nolla. Pohja ei ole sama, eihän? Ilmeisesti ei, koska (koska).

Esimerkki 6) ei ole enää niin yksinkertainen. Tässä sinun on selvitettävä, kumpi on vähemmän: vai? Jos muistat sen, se tulee selväksi, mikä tarkoittaa, että kanta on pienempi kuin nolla. Eli sovelletaan sääntöä 2: tulos on negatiivinen.

Ja taas käytämme tutkinnon määritelmää:

Kaikki on kuten tavallista - kirjoitamme muistiin asteiden määritelmät ja jaamme ne toisiinsa, jaamme ne pareiksi ja saamme:

Ennen kuin analysoimme viimeistä sääntöä, ratkaistaan ​​muutama esimerkki.

Laske lausekkeiden arvot:

Ratkaisut :

Palataanpa esimerkkiin:

Ja taas kaava:

Eli nyt viimeinen sääntö:

Kuinka aiomme todistaa sen? Tietysti, kuten tavallista: laajennetaan tutkinnon käsitettä ja yksinkertaistetaan:

No, nyt avataan sulut. Kuinka monta kirjainta tulee olemaan? kertaa kertoimilla - miltä se näyttää? Tämä ei ole muuta kuin toiminnan määritelmä kertolasku: yhteensä oli kertoimia. Eli se on määritelmän mukaan luvun potenssi, jossa on eksponentti:

Esimerkki:

Aste irrationaalisella eksponentilla

Keskitason tutkintojen tietojen lisäksi analysoimme tutkinnon irrationaalisella indikaattorilla. Kaikki asteiden säännöt ja ominaisuudet ovat tässä täsmälleen samat kuin rationaalisen eksponentin asteella, poikkeuksella - loppujen lopuksi irrationaaliset luvut ovat määritelmän mukaan lukuja, joita ei voida esittää murtolukuna, missä ja ovat kokonaislukuja (eli , irrationaaliset luvut ovat kaikki reaalilukuja paitsi rationaaliset luvut).

Kun tutkimme tutkintoja luonnollisella, kokonaisluvulla ja rationaalisella indikaattorilla, keksimme joka kerta tietyn "kuvan", "analogian" tai kuvauksen tutummin. Esimerkiksi luonnollinen eksponentti on luku, joka kerrotaan itsellään useita kertoja; nolla-asteen luku on ikään kuin itsellään kerran kerrottu luku, eli se ei ole vielä alkanut kertoa, mikä tarkoittaa, että itse luku ei ole vielä edes ilmestynyt - siksi tulos on vain tietty "numeron valmistelu", nimittäin numero; aste, jossa on kokonaisluku negatiivinen indikaattori - on ikään kuin tietty "käänteinen prosessi" olisi tapahtunut, eli numeroa ei kerrottu itsestään, vaan se jaettiin.

On äärimmäisen vaikeaa kuvitella astetta irrationaalisella eksponentilla (kuten on vaikea kuvitella 4-ulotteista avaruutta). Pikemminkin se on puhtaasti matemaattinen objekti, jonka matemaatikot ovat luoneet laajentaakseen asteen käsitteen koko lukuavaruuteen.

Muuten, tiede käyttää usein astetta kompleksisella eksponentilla, eli eksponentti ei ole edes reaaliluku. Mutta koulussa emme ajattele tällaisia ​​vaikeuksia; sinulla on mahdollisuus ymmärtää nämä uudet käsitteet instituutissa.

Joten mitä teemme, jos näemme irrationaalisen eksponentin? Yritämme parhaamme päästä eroon siitä! :)

Esimerkiksi:

Päätä itse:

1)

2)

3)

Vastaukset:

OSION YHTEENVETO JA PERUSKAAVA

Tutkinto kutsutaan lausekkeeksi muodossa: , jossa:

Aste kokonaislukueksponentilla

aste, jonka eksponentti on luonnollinen luku (eli kokonaisluku ja positiivinen).

Aste rationaalisen eksponentin kanssa

astetta, jonka indikaattori on negatiivinen ja murtoluku.

Aste irrationaalisella eksponentilla

eksponentti, jonka eksponentti on ääretön desimaalimurto tai juuri.

Tutkinnon ominaisuudet

Asteiden ominaisuudet.

• Negatiivinen luku korotettu arvoon jopa tutkinto, - numero positiivinen.
• Negatiivinen luku korotettu arvoon outo tutkinto, - numero negatiivinen.
• Minkä tahansa potenssin positiivinen luku on positiivinen luku.
• Nolla on yhtä suuri kuin mikä tahansa teho.
• Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri.

NYT SINULLA ON SANA...

Mitä pidät artikkelista? Kerro alla olevissa kommenteissa, piditkö siitä vai et.

Kerro meille kokemuksistasi tehoominaisuuksista.

Ehkä sinulla on kysymyksiä. Tai ehdotuksia.

Kirjoita kommentteihin.

Ja onnea kokeisiin!

No, aihe on ohi. Jos luet näitä rivejä, olet erittäin siisti.

Koska vain 5% ihmisistä pystyy hallitsemaan jotain itse. Ja jos olet lukenut loppuun, olet 5 %:ssa!

Nyt se tärkein asia.

Olet keksinyt teorian tästä aiheesta. Ja toistan, se on... se on vain super! Olet jo parempi kuin suurin osa ikäisistäsi.

Ongelmana on, että tämä ei ehkä riitä...

Minkä vuoksi?

Kokeen onnistuneesta läpäisystä, instituutin budjetille pääsystä ja, TÄRKEIMMÄN, elinikäiseksi.

En vakuuta sinua mistään, sanon vain yhden asian ...

Hyvän koulutuksen saaneet ansaitsevat paljon enemmän kuin ne, jotka eivät ole saaneet sitä. Tämä on tilastoa.

Mutta tämä ei ole pääasia.

Pääasia, että he ovat ONNELISEMME (sellaisia ​​tutkimuksia on). Ehkä siksi, että heille avautuu paljon enemmän mahdollisuuksia ja elämästä tulee valoisampaa? En tiedä...

Mutta ajattele itse...

Mitä tarvitaan, jotta voit olla varmasti parempi kuin muut kokeessa ja lopulta... onnellisempi?

TÄYTÄ KÄSI RATKAISEMME ONGELMIA TÄSTÄ AIHESTA.

Kokeessa sinulta ei kysytä teoriaa.

Tarvitset ratkaista ongelmat ajoissa.

Ja jos et ole ratkaissut niitä (PALJON!), teet varmasti tyhmän virheen jossain tai et yksinkertaisesti tee sitä ajoissa.

Se on kuin urheilussa - sinun täytyy toistaa monta kertaa voittaaksesi varmasti.

Löydä kokoelma mistä tahansa välttämättä ratkaisuilla, yksityiskohtaisella analyysillä ja päätä, päätä, päätä!

Voit käyttää tehtäviämme (ei välttämätöntä) ja suosittelemme niitä ehdottomasti.

Jotta saat apua tehtäviemme avulla, sinun on autettava pidentämään parhaillaan lukemasi YouClever-oppikirjan käyttöikää.

Miten? Vaihtoehtoja on kaksi:

1. Avaa pääsy kaikkiin tämän artikkelin piilotettuihin tehtäviin -
2. Avaa pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin kaikissa opetusohjelman 99 artikkelissa - Osta oppikirja - 499 ruplaa

Kyllä, meillä on 99 tällaista artikkelia oppikirjassa ja pääsy kaikkiin tehtäviin ja kaikkiin niissä oleviin piiloteksteihin voidaan avata välittömästi.

Pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin tarjotaan sivuston koko elinkaaren ajan.

Tiivistettynä...

Jos et pidä tehtävistämme, etsi muita. Älä vain lopeta teoriaan.

"Ymmärretty" ja "tiedän kuinka ratkaista" ovat täysin erilaisia ​​taitoja. Tarvitset molemmat.

Etsi ongelmia ja ratkaise!

Laskurin avulla voit nopeasti nostaa luvun tehoon verkossa. Asteen kanta voi olla mikä tahansa luku (sekä kokonaisluku että reaaliluku). Eksponentti voi olla myös kokonaisluku tai reaaliluku sekä sekä positiivinen että negatiivinen. On syytä muistaa, että nostoa ei-kokonaislukupotenssiin ei ole määritelty negatiivisille luvuille, ja siksi laskin ilmoittaa virheestä, jos yrität silti tehdä tämän.

Tutkintolaskuri

Nosta tehoon

Eksponentti: 24601

Mikä on luvun luonnollinen teho?

Lukua p kutsutaan luvun a n:nneksi potenssiksi, jos p on yhtä suuri kuin luku a kerrottuna itsestään n kertaa: p \u003d a n \u003d a ... a
n - soitettiin eksponentti ja numero a - tutkinnon perusta.

Kuinka nostaa luku luonnolliseksi voimaksi?

Ymmärtääksesi kuinka nostaa eri lukuja luonnollisiin voimavaroihin, harkitse muutamia esimerkkejä:

Esimerkki 1. Nosta numero kolme neljänteen potenssiin. Eli on tarpeen laskea 3 4
Ratkaisu: kuten edellä mainittiin, 3 4 = 3 3 3 3 = 81 .
Vastaus: 3 4 = 81 .

Esimerkki 2. Nosta numero viisi viidenteen potenssiin. Eli on tarpeen laskea 5 5
Ratkaisu: vastaavasti 5 5 = 5 5 5 5 5 = 3125 .
Vastaus: 5 5 = 3125 .

Siten luvun nostamiseksi luonnolliseen potenssiin riittää, että se kerrotaan itsestään n kertaa.

Mikä on luvun negatiivinen potenssi?

A:n negatiivinen potenssi -n on jaettuna a:lla n:n potenssiin: a -n = .

Tässä tapauksessa negatiivinen eksponentti on olemassa vain muille luvuille kuin nolla, koska muuten tapahtuisi jako nollalla.

Kuinka nostaa luku negatiiviseksi kokonaisluvuksi?

Nollasta poikkeavan luvun nostamiseksi negatiiviseen potenssiin sinun on laskettava tämän luvun arvo samaan positiiviseen potenssiin ja jaettava yksi tuloksella.

Esimerkki 1. Nosta numero kaksi miinus neljänteen potenssiin. Eli on tarpeen laskea 2 -4

Ratkaisu: kuten edellä mainittiin, 2 -4 = = = 0,0625 .

Vastaus: 2 -4 = 0.0625 .

Selvitimme, mikä luvun aste yleensä on. Nyt meidän on ymmärrettävä, kuinka se lasketaan oikein, ts. nostaa lukuja valtuuksiin. Tässä materiaalissa analysoimme asteen laskennan perussääntöjä kokonaisluvun, luonnollisen, murto-osan, rationaalisen ja irrationaalisen eksponentin tapauksessa. Kaikki määritelmät havainnollistetaan esimerkein.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Eksponentioinnin käsite

Aloitetaan perusmääritelmien muotoilusta.

Määritelmä 1

Eksponentointi on jonkin luvun potenssin arvon laskeminen.

Toisin sanoen sanat "tutkinnon arvon laskeminen" ja "eksponenttiointi" tarkoittavat samaa asiaa. Joten jos tehtävänä on "Nosta luku 0 , 5 viidenteen potenssiin", tämä tulee ymmärtää "laske tehon (0 , 5) arvo 5 .

Nyt annamme perussäännöt, joita on noudatettava tällaisissa laskelmissa.

Muista, mikä on luonnollisen eksponentin luvun potenssi. Potentiolle, jonka kanta on a ja eksponentti n, tämä on n:nnen tekijöiden lukumäärä, joista jokainen on yhtä suuri kuin a. Tämä voidaan kirjoittaa näin:

Laskeaksesi asteen arvon, sinun on suoritettava kertolasku, eli kerrottava asteen kannat tietyn määrän kertoja. Luonnollisen indikaattorin tutkinnon käsite perustuu kykyyn moninkertaistua nopeasti. Annetaan esimerkkejä.

Esimerkki 1

Kunto: Nosta - 2 potenssiin 4 .

Ratkaisu

Yllä olevaa määritelmää käyttäen kirjoitetaan: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Seuraavaksi meidän on vain noudatettava näitä vaiheita ja saatava 16 .

Otetaan monimutkaisempi esimerkki.

Esimerkki 2

Laske arvo 3 2 7 2

Ratkaisu

Tämä merkintä voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon 3 2 7 · 3 2 7 . Aiemmin tarkastelimme, kuinka ehdossa mainitut sekaluvut kerrotaan oikein.

Suorita nämä vaiheet ja saat vastauksen: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Jos tehtävä osoittaa, että irrationaaliset luvut on nostettava luonnolliseen potenssiin, meidän on ensin pyöristettävä niiden emäkset numeroon, jonka avulla voimme saada halutun tarkkuuden. Otetaan esimerkki.

Esimerkki 3

Suorita luvun π neliöinti.

Ratkaisu

Pyöristetään se ensin sadasosaan. Sitten π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Jos π ≈ 3 . 14159, niin saamme tarkemman tuloksen: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Huomaa, että tarve laskea irrationaalisten lukujen potenssit tulee käytännössä esiin suhteellisen harvoin. Voimme sitten kirjoittaa vastauksen potenssiksi itse (ln 6) 3 tai muuntaa, jos mahdollista: 5 7 = 125 5 .

Erikseen on ilmoitettava, mikä on luvun ensimmäinen potenssi. Tässä voit vain muistaa, että mikä tahansa ensimmäiseen potenssiin korotettu luku pysyy itsestään:

Tämä käy ilmi pöytäkirjasta. .

Se ei riipu tutkinnon perusteella.

Esimerkki 4

Joten (− 9) 1 = − 9 ja 7 3 nostettuna ensimmäiseen potenssiin pysyy yhtä suurena kuin 7 3 .

Mukavuuden vuoksi analysoimme kolme tapausta erikseen: jos eksponentti on positiivinen kokonaisluku, jos se on nolla ja jos se on negatiivinen kokonaisluku.

Ensimmäisessä tapauksessa tämä on sama kuin luonnolliseen potenssiin nostaminen: loppujen lopuksi positiiviset kokonaisluvut kuuluvat luonnollisten lukujen joukkoon. Olemme jo kuvanneet, kuinka työskennellä tällaisten tutkintojen kanssa edellä.

Katsotaan nyt kuinka nostaa oikein nollatehoon. Käytettäessä nollasta poikkeavaa kantaa tämä laskelma tuottaa aina arvon 1 . Olemme aiemmin selittäneet, että a:n 0:s potenssi voidaan määrittää mille tahansa reaaliluvulle, joka ei ole yhtä suuri kuin 0, ja a 0 = 1.

Esimerkki 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - ei määritelty.

Jäljelle jää vain negatiivisen kokonaislukueksponentin asteen tapaus. Olemme jo käsitelleet, että tällaiset asteet voidaan kirjoittaa murto-osana 1 a z, missä a on mikä tahansa luku ja z on negatiivinen kokonaisluku. Näemme, että tämän murtoluvun nimittäjä ei ole muuta kuin tavallinen aste positiivisella kokonaisluvulla, ja olemme jo oppineet laskemaan sen. Otetaan esimerkkejä tehtävistä.

Esimerkki 6

Nosta 3 tehoon -2.

Ratkaisu

Yllä olevaa määritelmää käyttämällä kirjoitamme: 2 - 3 = 1 2 3

Laskemme tämän murtoluvun nimittäjän ja saamme 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Sitten vastaus on: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Esimerkki 7

Nosta 1, 43 tehoon -2.

Ratkaisu

Muotoile uudelleen: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Laskemme neliön nimittäjässä: 1,43 1,43. Desimaalit voidaan kertoa seuraavasti:

Tuloksena saimme (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Meidän on kirjoitettava tämä tulos tavallisen murto-osan muodossa, jota varten se on kerrottava 10 tuhannella (katso materiaali murto-osien muuntamisesta).

Vastaus: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Erillinen tapaus on luvun nostaminen miinus ensimmäiseen potenssiin. Tällaisen asteen arvo on yhtä suuri kuin luku, joka on vastakkainen perustan alkuperäisen arvon kanssa: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Esimerkki 8

Esimerkki: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Kuinka nostaa luku murto-osaan

Suorittaaksemme tällaisen toiminnon meidän on muistettava asteen perusmääritelmä murto-eksponentilla: a m n \u003d a m n mille tahansa positiiviselle a:lle, kokonaisluvulle m ja luonnolliselle n:lle.

Määritelmä 2

Näin ollen murto-osuuden laskenta on suoritettava kahdessa vaiheessa: nostetaan kokonaislukupotenssiin ja löydetään n:nnen asteen juuri.

Meillä on yhtälö a m n = a m n , jota käytetään juurien ominaisuuksien perusteella yleensä tehtävien ratkaisemiseen muodossa a m n = a n m . Tämä tarkoittaa, että jos nostamme luvun a murto-osaan m / n, erotamme ensin n:nnen asteen juuren a:sta, sitten nostamme tuloksen potenssiksi kokonaislukueksponentilla m.

Havainnollistetaan esimerkillä.

Esimerkki 9

Laske 8 - 2 3 .

Ratkaisu

Menetelmä 1. Perusmääritelmän mukaan voimme esittää tämän seuraavasti: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Lasketaan nyt juuren alla oleva aste ja poimitaan tuloksesta kolmas juuri: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Menetelmä 2. Muunnetaan perusyhtälö: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Tämän jälkeen erotamme juuren 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 ja neliöimme tuloksen: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Näemme, että ratkaisut ovat identtisiä. Voit käyttää haluamallasi tavalla.

On tapauksia, joissa tutkinnolla on indikaattori, joka ilmaistaan ​​sekalukuna tai desimaalilukuna. Laskennan helpottamiseksi on parempi korvata se tavallisella murto-osalla ja laskea kuten yllä on osoitettu.

Esimerkki 10

Nosta 44,89 potenssiin 2,5.

Ratkaisu

Muunnetaan indikaattorin arvo tavalliseksi murtoluvuksi - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Ja nyt suoritamme kaikki yllä ilmoitetut toiminnot järjestyksessä: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 =1 = 51070 13 501, 25107

Vastaus: 13501, 25107.

Jos murto-eksponentin osoittajassa ja nimittäjässä on suuria lukuja, niin tällaisten eksponentien laskeminen rationaalisilla eksponenteilla on melko vaikeaa työtä. Se vaatii yleensä tietotekniikkaa.

Erikseen tarkastelemme asteikkoa nollakanta- ja murto-eksponentilla. Muotoa 0 m n olevalle lausekkeelle voidaan antaa seuraava merkitys: jos m n > 0, niin 0 m n = 0 m n = 0 ; jos m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Kuinka nostaa luku irrationaaliseen potenssiin

Tarve laskea tutkinnon arvo, jonka indikaattorissa on irrationaalinen luku, ei esiinny niin usein. Käytännössä tehtävä rajoittuu yleensä likimääräisen arvon laskemiseen (tiettyyn määrään desimaaleja). Tämä lasketaan yleensä tietokoneella tällaisten laskelmien monimutkaisuuden vuoksi, joten emme käsittele tätä yksityiskohtaisesti, osoitamme vain tärkeimmät säännökset.

Jos meidän on laskettava asteen a arvo irrationaalisella eksponentilla a, otetaan eksponentin desimaaliapproksimaatio ja lasketaan siitä. Tuloksena on likimääräinen vastaus. Mitä tarkempi desimaaliapproksimaatio on otettu, sitä tarkempi vastaus. Esitetään esimerkillä:

Esimerkki 11

Laske likimääräinen arvo 21 , 174367 ....

Ratkaisu

Rajataan desimaaliapproksimaatioon a n = 1, 17. Tehdään laskelmat käyttämällä tätä lukua: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Jos otamme esimerkiksi likiarvon a n = 1 , 1743 , niin vastaus on hieman tarkempi: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter