Käsitteet "polynomi" ja "polynomin faktorointi" ovat hyvin yleisiä algebrassa, koska sinun on tiedettävä ne, jotta voit helposti suorittaa laskutoimituksia suurilla moniarvoisilla luvuilla. Tässä artikkelissa kuvataan useita hajotusmenetelmiä. Kaikki ne ovat melko yksinkertaisia ​​käyttää, sinun on vain valittava jokaisessa tapauksessa oikea.

Polynomin käsite

Polynomi on monomien summa, toisin sanoen lausekkeet, jotka sisältävät vain kertolaskuoperaation.

Esimerkiksi 2 * x * y on monomi, mutta 2 * x * y + 25 on polynomi, joka koostuu kahdesta monomista: 2 * x * y ja 25. Tällaisia ​​polynomeja kutsutaan binomeeiksi.

Joskus moniarvoisten esimerkkien ratkaisemisen helpottamiseksi lauseke on muunnettava, esimerkiksi hajotettava tiettyyn määrään tekijöitä eli lukuja tai lausekkeita, joiden välillä kertolasku suoritetaan. On olemassa useita tapoja kertoa polynomi. Kannattaa harkita niitä alkeellisimmasta alkaen, jota käytetään jopa perusluokissa.

Ryhmittely (yleinen merkintä)

Kaava polynomin laskemiseksi tekijöiksi ryhmittelymenetelmällä näyttää yleensä tältä:

ac + bd + bc + mainos = (ac + bc) + (mainos + bd)

Monomiaalit on ryhmiteltävä siten, että jokaisessa ryhmässä esiintyy yhteinen tekijä. Ensimmäisessä sulussa tämä on tekijä c ja toisessa - d. Tämä on tehtävä, jotta se voidaan sitten ottaa pois suluista, mikä yksinkertaistaa laskelmia.

Hajotusalgoritmi tietyssä esimerkissä

Yksinkertaisin esimerkki polynomin jakamisesta tekijöiksi ryhmittelymenetelmällä on alla:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Ensimmäisessä sulussa sinun on otettava termit tekijällä a, joka on yleinen, ja toisessa - tekijällä b. Kiinnitä huomiota valmiin lausekkeen +- ja -merkkeihin. Laitamme monomiaalin eteen merkin, joka oli alkulausekkeessa. Eli sinun ei tarvitse työskennellä lausekkeen 25a, vaan lausekkeen -25 kanssa. Miinusmerkki on ikään kuin "liimattu" sen takana olevaan lausekkeeseen ja ottaa se aina huomioon laskelmissa.

Seuraavassa vaiheessa sinun on poistettava teline, joka on yleinen. Sitä varten ryhmittely on. Sen poistaminen hakasulkeesta tarkoittaa sitä, että ennen hakasuljetta kirjoitetaan kaikki ne tekijät, jotka toistuvat täsmälleen kaikissa suluissa olevissa termeissä. Jos suluissa ei ole 2, vaan 3 tai useampia termejä, yhteisen tekijän tulee olla jokaisessa niistä, muuten sitä ei voi ottaa pois suluista.

Meidän tapauksessamme vain 2 termiä suluissa. Kokonaiskerroin näkyy heti. Ensimmäinen sulkumerkki on a, toinen on b. Tässä sinun on kiinnitettävä huomiota digitaalisiin kertoimiin. Ensimmäisessä sulussa molemmat kertoimet (10 ja 25) ovat 5:n kerrannaisia. Tämä tarkoittaa, että ei vain a, vaan myös 5a voidaan sulkea. Ennen sulkua kirjoita 5a ja jaa sitten jokainen suluissa oleva termi pois otetulla yhteisellä kertoimella ja kirjoita osamäärä myös suluihin unohtamatta + ja - merkkejä. Tee sama toisella sululla , ota pois 7b, koska 14 ja 35 ovat 7:n kerrannainen.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Tuli kaksi termiä: 5a (2c - 5) ja 7b (2c - 5). Jokainen niistä sisältää yhteisen tekijän (koko suluissa oleva lauseke tässä on sama, mikä tarkoittaa, että se on yhteinen tekijä): 2c - 5. Se on myös otettava pois suluista, eli termit 5a ja 7b jää toisessa sulussa:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Joten täydellinen ilmaus on:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7).

Näin ollen polynomi 10ac + 14bc - 25a - 35b jaetaan 2 tekijään: (2c - 5) ja (5a + 7b). Niiden välinen kertomerkki voidaan jättää pois kirjoitettaessa

Joskus on tämäntyyppisiä lausekkeita: 5a 2 + 50a 3, tässä voit sulkea paitsi a tai 5a, mutta jopa 5a 2. Sinun tulee aina yrittää ottaa suurin mahdollinen yhteinen tekijä pois suluista. Meidän tapauksessamme, jos jaamme jokaisen termin yhteisellä tekijällä, saamme:

5a2/5a2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(laskettaessa useiden potenssien osamäärää, joilla on sama kanta, kanta säilyy ja eksponentti vähennetään). Näin ollen hakasulkeeseen jää yksi (älä missään tapauksessa unohda kirjoittaa sitä, jos otat yhden ehdoista kokonaan pois suluista) ja jaon osamäärä: 10a. Osoittautuu, että:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Neliön kaavat

Laskelmien helpottamiseksi on johdettu useita kaavoja. Niitä kutsutaan supistetuiksi kertolaskukaavoiksi ja niitä käytetään melko usein. Nämä kaavat auttavat kertomaan potenssit sisältävät polynomit. Tämä on toinen tehokas tapa tehdä tekijöitä. Joten tässä ne ovat:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - kaava, jota kutsutaan "summan neliöksi", koska neliölaajennuksen seurauksena suluissa olevien lukujen summa otetaan, eli tämän summan arvo kerrotaan itsellään 2 kertaa, mikä tarkoittaa, että se on tekijä.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - erotuksen neliön kaava, se on samanlainen kuin edellinen. Tuloksena on suluissa oleva ero, joka sisältyy neliöpotenssiin.
• a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b)- tämä on kaava neliöiden erolle, koska alun perin polynomi koostuu 2 neliöstä numeroita tai lausekkeita, joiden välillä vähennetään. Se on ehkä yleisimmin käytetty kolmesta.

Esimerkkejä neliöiden kaavoilla laskemisesta

Niiden laskelmat tehdään melko yksinkertaisesti. Esimerkiksi:

1. 25x2 + 20xy + 4v 2 - käytä kaavaa "summan neliö".
2. 25x2 on 5x:n neliö. 20xy on kaksinkertainen luvun 2*(5x*2y) tulo ja 4y 2 on luvun 2y neliö.
3. Joten 25x 2 + 20xy + 4v 2 = (5x + 2v) 2 = (5x + 2v)(5x + 2v). Tämä polynomi on jaettu 2 tekijään (tekijät ovat samat, joten se kirjoitetaan lausekkeeksi neliöpotenssilla).

Eron neliön kaavan mukaiset operaatiot suoritetaan samalla tavalla kuin nämä. Jäljelle jää neliöiden kaavan ero. Tämän kaavan esimerkkejä on erittäin helppo tunnistaa ja löytää muiden lausekkeiden joukosta. Esimerkiksi:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). Vuodesta 25a 2 \u003d (5a) 2 ja 400 \u003d 20 2
• 36x 2 - 25 v 2 \u003d (6x - 5 v) (6x + 5 v). Koska 36x 2 \u003d (6x) 2, ja 25 v 2 \u003d (5 v 2)
• c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). Koska 169b 2 = (13b) 2

On tärkeää, että jokainen termeistä on jonkin lausekkeen neliö. Sitten tämä polynomi on otettava huomioon neliöiden erotuskaavalla. Tätä varten ei ole välttämätöntä, että toinen potenssi on luvun yläpuolella. On polynomeja, joissa on suuria potenssia, mutta jotka silti sopivat näihin kaavoihin.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

Tässä esimerkissä 8 voidaan esittää muodossa (a 4) 2 , eli tietyn lausekkeen neliö. 25 on 5 2 ja 10a on 4 - tämä on termien 2*a 4 *5 kaksoistulo. Toisin sanoen tämä lauseke voidaan jakaa kahdeksi tekijäksi, huolimatta siitä, että siinä on suuret eksponentit, niiden kanssa työskentelyä varten.

Kuution kaavat

Samat kaavat ovat olemassa kuutioita sisältävien polynomien faktorointiin. Ne ovat hieman monimutkaisempia kuin neliöt:

• a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)- tätä kaavaa kutsutaan kuutioiden summaksi, koska polynomi on alkuperäisessä muodossaan kahden kuution sisällä olevan lausekkeen tai luvun summa.
• a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) - kaava, joka on identtinen edellisen kanssa, on merkitty kuutioiden eroksi.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - summakuutio, laskelmien tuloksena saadaan lukujen tai lausekkeiden summa, suluissa ja kerrottuna itsellään 3 kertaa, eli kuutiossa
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - kaavaa, joka on koottu analogisesti edellisen kanssa ja jossa on muutos vain joissakin matemaattisten operaatioiden merkeissä (plus ja miinus), kutsutaan "erokuutioksi".

Kahta viimeistä kaavaa ei käytännössä käytetä polynomin laskemiseen, koska ne ovat kompleksisia, ja on melko harvinaista löytää polynomeja, jotka vastaavat täysin juuri tällaista rakennetta, jotta ne voidaan hajottaa näiden kaavojen mukaan. Mutta sinun on silti tiedettävä ne, koska niitä tarvitaan toimiin vastakkaiseen suuntaan - sulkuja avattaessa.

Esimerkkejä kuutiokaavoista

Harkitse esimerkkiä: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Olemme ottaneet tähän melko alkulukuja, joten näet heti, että 64a 3 on (4a) 3 ja 8b 3 on (2b) 3 . Siten tämä polynomi laajenee kuutioiden kaavaerolla kahdeksi tekijäksi. Kuutioiden summan kaavaan liittyvät toimet suoritetaan analogisesti.

On tärkeää ymmärtää, että kaikkia polynomeja ei voida hajottaa ainakin yhdellä tavoista. Mutta on sellaisia ​​lausekkeita, jotka sisältävät suuremmat potenssit kuin neliö tai kuutio, mutta ne voidaan myös laajentaa lyhennetyiksi kertolaskumuodoiksi. Esimerkki: x 12 + 125 v 3 =(x 4) 3 +(5 v) 3 =(x 4 +5 v)*((x 4) 2 − x 4 *5 v+(5 v) 2)=(x 4 + 5 v) ( x 8 − 5 x 4 v + 25 v 2).

Tämä esimerkki sisältää jopa 12 astetta. Mutta jopa se voidaan ottaa huomioon kuutioiden summakaavalla. Tätä varten sinun on esitettävä x 12 muodossa (x 4) 3, eli jonkin lausekkeen kuutiona. Nyt sinun on korvattava se kaavassa a:n sijaan. No, lauseke 125y 3 on 5v:n kuutio. Seuraava vaihe on kirjoittaa kaava ja tehdä laskelmat.

Aluksi tai jos olet epävarma, voit aina tarkistaa käänteisellä kertolaskulla. Sinun tarvitsee vain avata tuloksena olevan lausekkeen sulut ja suorittaa toimintoja samanlaisilla termeillä. Tämä menetelmä koskee kaikkia yllä olevia pelkistysmenetelmiä: sekä yhteisen tekijän ja ryhmittelyn kanssa työskentelyä että operaatioita kuutioiden ja neliöpotenssien kaavoilla.

Oppitunnin tarkoitus:  polynomin tekijöiksi laskemisen taitojen muodostaminen eri tavoin;  kasvattaa tarkkuutta, sitkeyttä, ahkeruutta, parityöskentelykykyä. Varusteet: multimediaprojektori, PC, didaktiset materiaalit. Tuntisuunnitelma: 1. Organisaatiohetki; 2. Kotitehtävien tarkistaminen; 3. Suullinen työ; 4. Uuden materiaalin oppiminen; 5. liikuntakasvatus; 6. Tutkitun aineiston konsolidointi; 7. Työskentele pareittain; 8. Kotitehtävät; 9. Yhteenveto. Oppitunnin kulku: 1. Organisaatiohetki. Anna oppilaita oppitunnille. Koulutus ei koostu tiedon määrästä, vaan kaiken osaamisen täydellisestä ymmärtämisestä ja taitavasta soveltamisesta. (Georg Hegel) 2. Kotitehtävien tarkistaminen. Analysoidaan tehtäviä, joiden ratkaisemisessa opiskelijoilla oli vaikeuksia. 3. Suullinen työ.  kerroin: 1) 2) 3) ; neljä).  Muodosta vastaavuus vasemman ja oikean sarakkeen lausekkeiden välille: a. 1. b. 2. c. 3. d. 4. d. 5. .  Ratkaise yhtälöt: 1. 2. 3. 4. Uuden materiaalin oppiminen. Polynomien kertoimessa käytimme sulkeita, ryhmittelyä ja lyhennettyjä kertolaskukaavoja. Joskus on mahdollista jakaa polynomi kertoimella käyttämällä peräkkäin useita menetelmiä. Sinun tulisi aloittaa muunnos, jos mahdollista, ottamalla yhteinen tekijä pois suluista. Tällaisten esimerkkien ratkaisemiseksi onnistuneesti yritämme tänään kehittää suunnitelman niiden johdonmukaiseen soveltamiseen.

150 000₽ palkintorahasto 11 kunniaasiakirjaa Todisteet tiedotusvälineissä julkaistusta

TUNTISUUNNITELMA algebra oppitunti 7. luokalla

Opettaja Prilepova O.A.

Oppitunnin tavoitteet:

Näytä eri menetelmien soveltaminen polynomin tekijöihin laskemiseen

Toista faktorointimenetelmät ja lujita osaamistaan ​​harjoitusten aikana

Kehittää opiskelijoiden taitoja ja kykyjä lyhennettyjen kertolaskujen soveltamisessa.

Kehitä opiskelijoiden loogista ajattelua ja kiinnostusta aihetta kohtaan.

Tehtävät:

suunnassa henkilökohtaista kehitystä:

Kiinnostuksen kehittäminen matemaattista luovuutta ja matemaattisia kykyjä kohtaan;

Oma-aloitteisuuden kehittäminen, aktiivisuus matemaattisten ongelmien ratkaisemisessa;

Kasvata kykyä tehdä itsenäisiä päätöksiä.

meta-aiheen suuntaan :

Matematiikalle ominaisten ja kognitiivisen kulttuurin perustana olevien älyllisen toiminnan yleisten tapojen muodostuminen;

ICT-teknologian käyttö;

aihealueella:

Opiskelun jatkamiseen tarvittavien matemaattisten tietojen ja taitojen hallitseminen;

Muodostaminen opiskelijoille kyky etsiä tapoja tekijöihin jakaminen polynomi ja löytää niitä polynomi, joka on faktoroitu.

Laitteet:monisteet, reittilomakkeet arviointikriteereillä,multimediaprojektori, esitys.

Oppitunnin tyyppi:käsitellyn materiaalin toisto, yleistäminen ja systematisointi

Työmuodot:työskennellä pareittain ja ryhmissä, yksilöllisesti, kollektiivisesti,itsenäistä, eturivin työtä.

Tuntien aikana:

Tasot	Suunnitelma		UUD
Organin hetki.	Jaottelu ryhmiin ja pareihin: Oppilaat valitsevat kumppanin seuraavan kriteerin mukaan: Tämän luokkatoverin kanssa kommunikoin vähiten. Psykologinen mieliala: Valitse haluamasi hymiö (tunnelma oppitunnin alussa) ja katso sen alta arvosana, jonka haluaisit saada tänään oppitunnilla (DIA). - Laita itsesi vihkoon sen arvosanan marginaaliin, jonka haluaisit saada tänään oppitunnilla. Merkitset tulokset taulukkoon (DIA) Reittitaulukko. Harjoittele kaikki yhteensä Arvosana Arviointikriteeri: 1. Ratkaisin kaiken oikein, ilman virheitä - 5 2. Ratkaisessani tein 1-2 virhettä - 4 3. Teki 3-4 virhettä ratkoessaan - 3 4. Teki yli 4 virhettä ratkoessaan - 2		Uusia lähestymistapoja opetukseen (dialogi)
Toteuttaminen.	Kollektiivinen työ. - Tänään tunnilla pääset osoittamaan tietosi, osallistumaan toimintojesi keskinäiseen valvontaan ja itsehallintaan Ottelu (DIA): Kiinnitä seuraavassa diassa huomiota ilmauksiin, mitä huomaat? (DIA) 15x3y2 + 5x2y Yleisen kertoimen poistaminen suluista p 2 + pq - 3 p -3 q Ryhmittelymenetelmä 16m2 - 4n2 Lyhennetty kertolasku Kuinka nämä teot voidaan yhdistää yhteen sanaan? (Polynomien laajennusmenetelmät) Oppilaiden lausunto oppitunnin aiheesta ja tarkoituksesta omana oppimistehtävänään (DIA). Muotoillaan tämän perusteella oppituntimme aihe ja asetetaan tavoitteita. Kysymyksiä opiskelijoille: Nimeä oppitunnin aihe; Muotoile oppitunnin tarkoitus; Jokaisella on kortit, joissa on kaavojen nimi. (Työskennellä pareittain). Anna kaavat kaikille kaavoille
Tiedon soveltaminen	Työskennellä pareittain. Tarkastetaan liukua 1. Valitse oikea vastaus (DIA). Kortit: Harjoittele Vastaus (x+10)2= x2+100-20x x2+100+20x x2+100+10x (5v-7)2= 25v2+49-70v 25u2-49-70u 25v2+49+70 x2-16y2= (x-4v)(x+4v) (x-16v)(x+16v) (x+4v)(4v-x) (2a+c)(2a-c)= 4a2-v2 4а2+в2 2a2-b2 a3-8v3 a2+16-64v6 (a-8c)(a+8c) (a-2c) (a2 + 2av + 4c2)	2. Etsi virheet (DIA): Kortit nro Tarkastetaan liukua 1 pari: o ( b- y)2 = b2 - 4 by+y2 o 49- c2=(49-c)(49+s) 2 paria: o (r-10) 2=r2- 20r+10 o (2a+1)2=4a2+2a+1 3 paria: o (3v+1)2=9v+6v+1 o ( b- a) 2 =b²-4ba+a2 4 paria: o x²- 25= ( x-25)( 25+x) o (7-a) 2 \u003d 7-14a + a²	Ikäominaisuuksien mukainen koulutus
	3. Jokaiselle parille annetaan tehtäviä ja rajoitettu aika niiden ratkaisemiseen (DIA) Tarkistamme vastauskorteista 1. Noudata vaiheita: a) (a + 3c) 2; b) x 2 - 12 x + 36; c) 4v2-y2. 2. Kerroin: a) ; b) ; vuonna 2 x - a 2 y - 2 a 2 x + y 3. Etsi lausekkeen arvo: (7 p + 4) 2 - 7 p (7 p - 2), kun p = 5.		Johtaminen ja johtaminen
	4. Ryhmätyö. Katso, älä tee virhettä (DIAA). Kortit. Tarkastellaan liukua. (а+…)²=…+2…с+с² (... + y)² \u003d x² + 2x ... + ... (... + 2x)² \u003d y² + 4xy + 4x² (…+2 m)²=9+…+4 m² (n + 2v)²= n²+…+4v²		Kriittisen ajattelun opettaminen. Johtaminen ja johtaminen
	5. Ryhmätyö (neuvonta ratkaisusta, keskustelu tehtävistä ja niiden ratkaisuista) Jokaiselle ryhmän jäsenelle annetaan tehtävät tasoilla A, B, C. Jokainen ryhmän jäsen valitsee itselleen sopivan tehtävän. Kortit. (Dia) Tarkistetaan vastauskorteilla Taso A 1. Ota se huomioon: a) c 2 - a 2 ; b) 5x2-45; c) 5a2 + 10av + 5v2; d) ax2-4ax + 4a 2. Toimi seuraavasti: a) (x - 3) (x + 3); b) (x-3)2; c) x (x - 4). Taso B 1. Yksinkertaista: a) (3a + p) (3a-p) + p2; b) (a + 11) 2 - 20a; c) (a-4) (a + 4) -2a (3-a). 2. Laske: a) 962 - 862; b) 1262-742. Taso C 1. Ratkaise yhtälö: (7 x - 8) (7x + 8) - (25x - 4) 2 + 36 (1 - 4x) 2 =44 1. Ratkaise yhtälö: (12 x - 4) (12 x + 4) - (12 x - 1) 2 - (4 x - 5) = 16. 1.		Opettaa lahjakkaita ja lahjakkaita
Oppitunnin yhteenveto	- Tehdään summa, johdetaan arviot taulukon tulosten mukaan. Vertaa pisteitäsi arvioituihin pisteisiin. Valitse arviotasi vastaava hymiö (DIA). c) opettaja arvioi luokan työtä (aktiivisuus, tietotaso, taidot, itseorganisaatio, ahkeruus) Itsenäinen työ kokeen muodossa VARA-tarkastuksella		Arviointi oppimista varten ja Assessment for Learning
Kotitehtävät	Jatka lyhennettyjen kertolaskujen opettamista.
Heijastus	Kaverit, kuunnelkaa vertaus: (DIA) Viisas käveli, ja häntä kohtasi kolme ihmistä kantaen kärryjä Kivet temppelin rakentamiseen. Viisas pysähtyi ja kysyi jokaiselta Kysymys. Ensimmäinen kysyi: - Mitä teit koko päivän? Ja hän vastasi hymyillen, että hän oli kantanut kirottuja kiviä koko päivän. Toinen kysyi: "Ja mitä teit koko päivän? ” Ja hän vastasi: "Tein työni tunnollisesti." Ja kolmas hymyili hänelle, hänen kasvonsa loistivat ilosta ja nautinnosta, ja vastasi: "A Osallistuin temppelin rakentamiseen.” Mikä on sinun temppelisi? (Tieto) Kaverit! Kuka on työskennellyt ensimmäisestä henkilöstä lähtien? (näytä hymiöitä) (Pistemäärä 3 tai 2) (DIA) Kuka työskenteli hyvässä uskossa? (Pistemäärä 4) Ja kuka osallistui Tiedon temppelin rakentamiseen? (Pistemäärä 5)		Kriittisen ajattelun koulutus

• Erilaisten faktorointimenetelmien soveltamisen taitojen muodostuminen.
• Edistää puhekulttuurin, äänitystarkkuuden, itsenäisyyden kasvamista.
• Osittainen hakutoiminnan taitojen muodostuminen: olla tietoinen ongelmasta, analysoida, tehdä johtopäätöksiä.

Varusteet: oppikirja, liitutaulu, muistivihko, tehtäväkortit.

Oppitunnin tyyppi: ZUN:n soveltamisen oppitunti.

Opetusmenetelmä: ongelmallinen, osittain tutkiva.

Koulutustoiminnan organisointimuoto: ryhmä-, etu-, yksilö-, parityöskentely.

Kesto: 1 oppitunti (45 min)

Tuntisuunnitelma:

1. Oppitunnin alun järjestäminen. (1 minuutti)
2. Kotitehtävien tarkistaminen. (2 minuuttia)
3. Toteuttaminen. (5 minuuttia)
4. Uuden materiaalin oppiminen. (10 min)
5. Uuden materiaalin yhdistäminen. (15 minuuttia)
6. Tiedon valvonta ja itsetutkiskelu. (8 min)
7. Yhteenveto. (2 minuuttia)
8. Kotitehtävät. (2 minuuttia)

Tuntien aikana

I. Organisatorinen hetki

Hei kaverit.

Oppitunnin aiheena on ”Erilaisten menetelmien soveltaminen faktorointiin”. Tänään kehitämme erilaisten faktorointimenetelmien käyttötaitoa ja jälleen kerran vakuutumme polynomin faktorointikyvyn hyödyllisyydestä.

Toivon, että työskentelet aktiivisesti oppitunnilla. (Kirjoita aihe vihkoon).

II. Kotitehtävien tarkistaminen

Ennen oppitunnin alkua opiskelijat luovuttavat muistivihkot, joissa on suoritetut kotitehtävät tarkistettavaksi. Ongelmia aiheuttavista asioista keskustellaan.

III. Perustietojen päivittäminen.

Ennen kuin aloitamme ongelmien ratkaisemisen, tarkistamme, kuinka valmiita olemme tähän. Muistetaan, mitä tiedämme oppitunnin aiheesta.

3.1. Etuäänestys:

a) Mitä tarkoittaa polynomin kertominen?
b) Mitä perusmenetelmiä polynomin laskentaan tiedät?
c) Mikä tahansa polynomi voidaan kertoa? Esimerkiksi?
d) Missä tehtävissä on joskus hyödyllistä käyttää faktorointia?

3.2. Piirrä viivoja yhdistääksesi polynomit niitä vastaaviin tekijöihin perustuvaan menetelmään.

3.3. Etsi väärä väite:

a) a 2 + b 2 - 2ab \u003d (a - b) 2

b) m 2 + 2 min - n 2 \u003d (m - n) 2

c) –2pt + p 2 + t 2 = (p - t) 2

d) 25 - 16 s 2 = (5 - 4 s) (5 - 4 s) (virheet b, d)

3.4. Esitä tuotteena: a) 64 x 2 - 1; b) (d-3) 2-36;

3.5. Ratkaise yhtälö x 2 - 16 = 0 (4; -4)

3.5. Etsi lausekkeen arvo 34 2 – 24 2 (580)

IV. Materiaalin opiskelu

Polynomien kertoimessa käytimme sulkeita, ryhmittelyä ja lyhennettyjä kertolaskukaavoja.

Mitä mieltä olette, onko olemassa tilanteita, joissa polynomi on mahdollista faktoroida käyttämällä useita menetelmiä peräkkäin?

Seuraava tehtävä auttaa meitä löytämään vastauksen tähän kysymykseen:

Kerro polynomi ja osoita mitä menetelmiä käytettiin tässä tapauksessa. ( Työskentele pareittain seuraavan ratkaisun kanssa taululla)

Esimerkki 1. 9x 3 - 36x käytetty 2 menetelmää:

Esimerkki 2. a 2 + 2ab + b 2 - c 2 käytti kahta menetelmää:

• ryhmittely;
• lyhennettyjen kertolaskujen käyttö.

Esimerkki 3. y 3 - 3y 2 + 6y - 18 käytti 3 menetelmää:

• ryhmittely;
• lyhennettyjen kertolaskujen käyttö;
• ottamalla yhteinen tekijä pois suluista.

Esimerkki 4. x 3 + 3x 2 + 2x käytetty kolmella tavalla:

• yhteisen tekijän poistaminen suluista;
• alustava muunnos;
• ryhmittely.

Päättelemme: joskus on mahdollista jakaa polynomi käyttämällä useita menetelmiä peräkkäin. Tällaisten esimerkkien ratkaisemiseksi onnistuneesti kehitetään tänään suunnitelma niiden johdonmukaiseen soveltamiseen:

1. Ota yhteinen kerroin pois kannattimesta (jos sellainen on).
2. Yritä kertoa polynomi lyhennettyjen kertolaskujen avulla.
3. Yritä soveltaa ryhmittelymenetelmää (jos aikaisemmat menetelmät eivät johtaneet tavoitteeseen).

V. Harjoitukset mainitun aiheen vahvistamiseksi

5.1. Erilaisten factoring-menetelmien yhdistelmän avulla voit helposti ja sulavasti suorittaa aritmeettisia laskelmia, ratkaista yhtälöitä muotoa ax 2 + bx + c \u003d 0 (a ≠ 0) (tällaisia ​​yhtälöitä kutsutaan neliöllisiksi, tutkimme niitä luokassa 8 ).

* Ratkaise yhtälö: a) x 2 - 17x + 72 = 0, b) x 2 + 10x + 21 = 0

Vihje: Osa polynomin termistä jaetaan tarpeellisiksi termeiksi tai täydennetään lisäämällä siihen jokin termi. Jälkimmäisessä tapauksessa, jotta polynomi ei muutu, siitä vähennetään sama termi.

(Kaksi opiskelijaa ratkaisee yhtälöitä itsenäisesti vihkossa. Vastaus: a) 8; 9; b) - 1; -5).

Suorita harjoitus oppikirjasta nro 1016 (c), 1017 (c), s. 186

(Kaksi opiskelijaa päättää taululla, loput vihkon vaihtoehtojen mukaan).

5.2. Ratkaise yhtälöt ( Oppilaat työskentelevät pareittain, minkä jälkeen suoritetaan itsetutkiskelu)

nro 949, s. 177 a) x 3 - x = 0 b) 9x - x 3 = 0 c) x 3 + x 2 = 0 d) 5x 4 - 2x 2 = 0

** (Yksilöllisiä tehtäviä valmistautuneemmille opiskelijoille)

Kortti 1	Kortti 2	Kortti 3
Ratkaise yhtälö ja kirjoita juurien summa x 2 + 3x + 6 + 2x = 0		Ratkaise yhtälö ja kirjoita juurien summa

x(x+3) +2(3+x) =0 summa on -5

Tämän yhtälön juurien summa:

Yhtälön juurien summa:.

VI. Tiedon valvonta ja itsetutkiskelu.

Käsiteltävä aihe on olennainen osa matematiikan GIA:ta. Voit hallita ja testata tätä aihetta koskevia tietoja suorittamalla testitehtäviä GIA-koulutustehtävistä. Ympyröi vastauksesi testikysymyksiin.

Yksilötyö korttien parissa: (Oppilaat suorittavat GIA-testitehtäviä, + itsetesti)

Mitkä näistä lausekkeista ovat yhtä suuria kuin 4x-10y 2 (2x-5v) -2 (5v-2x) -10v-4x -10v+4x? a) 1; 3; b) kaikki; c) 1;2;4; sortoa	Mitkä näistä lausekkeista ovat identtiset - 3 (-2a + y) -3(-y+2a) 6a-3v 3(2a-y) 3u-6a? ja kaikki; b) 2; y) 2;3; c)1;4	Mitkä näistä lausekkeista ovat identtisiä -6a + 12p -6(a-2p) 12r-6a 6(-a+2p) -6(-p+a) ? a) 1; ollenkaan; c) 2;4; d)1;3
3a 3 -3a 2 -5a + 5. a) (a-1) (3a 2 +5); b) (a + 1) (3a 2-5); c) (a-1) (5-3a 2); e) (a-1) (3a 2 +5).	Ilmaise polynomien tulona 13h-26x-5av + 10v. e) (a-2) (13x-5c); b) (a + 2) (3x-5c); c) (3a-6)(4x-c); d) (a-2) (5c-3x).	Ilmaise polynomien tulona by-6b-5у 2 +30у. a) (6-y) (b-5y); b) (y-6) (b + 5y); c) (y-6) (b-5y); d) (y-6) (5y-b).
Noudata vaiheita: (5a-c) 2 . a) 25a2 + 10ac + s2; b) 25a2 + 10ac-c2; p) 25a2-10ac + c2; d) 25a 2 - 5ac + s 2.	Toimi seuraavasti: (5x + 2v) 2 . a) 25x 2 + 20xy + 4y 2; menestys

Opettaja: Tarkastetaan vastauksia. Lue sanat, jotka sinulla on. Juuri nämä sanat seuraavat seitsemännen luokkalaisia ​​valmistautuessaan GIA:han luokassa 9.

VII. Yhteenveto oppitunnista

Opettaja suorittaa etukatsauksen oppitunnin päävaiheista, arvioi opiskelijoiden työtä ja ohjaa oppilaita kotitehtäviin.

VIII. Kotitehtävät: 38, nro 950 (s. 177), nro 1016 (g), 1017 (g), s. 186.

** Etsi lausekkeen (x+3)2 -2 (x+3) (x-3) +(x-3)2 arvo kohdassa x=100.

Tämän lausekkeen arvo ei riipu x:n valinnasta.

Oppitunti on ohi. Kiitos oppitunnista ja muista, että tieto, jota ei täydennetä päivittäin, vähenee joka päivä.

Käytetyt kirjat:

1. Oppikirja "Algebra Grade 7". Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk ja muut, toim. S.A. Teljakovski. – M.; Valaistus, 2009.
2. Kokoelma testitehtäviä temaattiseen ja lopputarkastukseen. Algebra 7. I.L. Guseva ja muut - M.; Älykeskus, 2009.
3. Valtion lopputodistus (uuden lomakkeen mukaan): Arvosana 9. Temaattiset koulutustehtävät. Algebra / FIPI kirjoittaja-kääntäjä: V.L. Kuznetsova. – M.: Eksmo, 2010.

Osat: Matematiikka

Oppitunnin tyyppi:

• suoritustavan mukaan - käytännön oppitunti;
• didaktista tarkoitusta varten - oppitunti tietojen ja taitojen soveltamisesta.

Kohde: muodostavat kyvyn jakaa polynomin kertoimet.

Tehtävät:

• Didaktinen: systematisoida, laajentaa ja syventää opiskelijoiden tietoja, taitoja, soveltaa erilaisia ​​menetelmiä polynomin laskemiseksi tekijöiksi. Muodostaa kyky soveltaa polynomin hajottamista tekijöiksi eri tekniikoiden yhdistelmällä. Toteuttaa tietoja ja taitoja aiheesta: "Polynomin hajottaminen tekijöiksi" perustehtävien ja monimutkaisempien tehtävien suorittamiseksi.
• Koulutuksellinen: kehittää henkistä toimintaa ratkaisemalla erilaisia ​​​​ongelmia, oppia löytämään ja analysoimaan järkevimpiä ratkaisutapoja, edistämään kykyä yleistää tutkittuja tosiasioita, ilmaista ajatuksiaan selkeästi ja selkeästi.
• Koulutuksellinen: kehittää itsenäisen ja ryhmätyötaitoja, itsehillintää.

Työtavat:

• sanallinen;
• visuaalinen;
• käytännöllinen.

Oppitunnin varusteet: interaktiivinen taulu tai piirtoheitin, taulukot lyhennettyjen kertolaskujen kanssa, ohjeet, moniste ryhmätyöskentelyyn.

Oppitunnin rakenne:

1. Ajan järjestäminen. 1 minuutti
2. Tuntiharjoituksen aiheen, tavoitteiden ja päämäärien muotoilu. 2 minuuttia
3. Kotitehtävien tarkistaminen. 4 minuuttia
4. Opiskelijoiden perustietojen ja taitojen päivittäminen. 12 minuuttia
5. Fizkultminutka. 2 minuuttia
6. Ohjeet työpajan tehtävien suorittamiseen. 2 minuuttia
7. Tehtävien suorittaminen ryhmissä. 15 minuuttia
8. Tarkistaa ja keskustella tehtävien suorittamisesta. Työanalyysi. 3 minuuttia
9. Kotitehtävien asettaminen. 1 minuutti
10. Varaa tehtävät. 3 minuuttia

Tuntien aikana

1. Organisatorinen hetki

Opettaja tarkistaa luokan ja oppilaiden valmiuden oppitunnille.

2. Oppituntiharjoituksen aiheen, päämäärien ja päämäärien muotoilu

• Viesti aiheen viimeisestä oppitunnista.
• Opiskelijoiden koulutustoiminnan motivointi.
• Oppitunnin tavoitteen muotoilu ja tavoitteiden asettaminen (yhdessä oppilaiden kanssa).

3. Kotitehtävien tarkistaminen

Taululla on esimerkkejä kotitehtävien ratkaisemisesta nro 943 (a, c); 945 (c, d). Näytteet tekivät luokan oppilaat. (Tämä opiskelijaryhmä tunnistettiin edellisellä oppitunnilla, he virallistivat päätöksensä välitunnilla). Oppilaat valmistautuvat "puolustamaan" ratkaisuja.

Opettaja:

Tarkistaa läksyt opiskelijoiden vihkoista.

Kehottaa luokan oppilaita vastaamaan kysymykseen: "Mitä vaikeuksia tehtävä aiheutti?".

Tarjoaa vertailemaan ratkaisuaan taululla olevaan ratkaisuun.

Pyytää opiskelijoita taulun ääressä vastaamaan kysymyksiin, joita opiskelijoilla oli kentällä tarkastellessaan näytteitä.

Hän kommentoi opiskelijoiden vastauksia, täydentää vastauksia, selittää (tarvittaessa).

Yhteenveto kotitehtävistä.

Opiskelijat:

Esitä läksyt opettajalle.

Vaihda muistikirjat (pareittain) ja tarkista keskenään.

Vastaa opettajan kysymyksiin.

Tarkista ratkaisusi näytteillä.

He toimivat vastustajina, tekevät lisäyksiä, korjauksia, kirjoittavat eri menetelmän, jos vihkon ratkaisutapa poikkeaa taululla olevasta.

Pyydä tarvittavat selitykset oppilaille, opettajalle.

Etsi tapoja tarkistaa tulokset.

Osallistu tehtävien laadun arviointiin taululla.

4. Opiskelijoiden perustietojen ja -taitojen päivittäminen

1. Suullinen työ

Opettaja:

Vastaa kysymyksiin:

1. Mitä polynomin kertominen tarkoittaa?
2. Kuinka monta hajoamismenetelmää tiedät?
3. Mitkä heidän nimensä ovat?
4. Mikä on yleisin?

2. Polynomit kirjoitetaan taululle:

1. 14x3 - 14x5

2. 16x 2 - (2 + x) 2

3. 9 - x 2 - 2xy - y 2

4.x3 - 3x - 2

Opettaja kehottaa opiskelijoita kertomaan polynomeista 1-3:

• Vaihtoehto I - poistamalla yhteinen tekijä;
• Vaihtoehto II - käyttämällä lyhennettyjä kertolaskukaavoja;
• III variantti - ryhmittelyn avulla.

Yhdelle opiskelijalle tarjotaan polynomin nro 4 kertoimia (yksilöllinen vaikeusaste, tehtävä suoritetaan A 4 -muodossa). Sitten taululle ilmestyy esimerkkiratkaisu tehtäviin 1-3 (opettajan tekemä), esimerkkiratkaisu tehtävään 4 (oppilaan tekemä).

3. Lämmitä

Opettaja neuvoo tekijöitä ja valitsemaan oikeaan vastaukseen liittyvä kirjain. Lisäämällä kirjaimet saat 1600-luvun suurimman matemaatikon nimen, joka antoi valtavan panoksen yhtälöiden ratkaisuteorian kehitykseen. (Descartes)

5. Liikunta Opiskelijat lukevat lausunnot. Jos väite on totta, oppilaiden tulee nostaa kätensä ylös, ja jos se ei ole totta, istua pöydän ääressä. (Liite 2)

6. Ohjeet työpajan tehtävien suorittamiseen.

Interaktiivisella taululla tai erillisellä julisteella pöytä ohjeineen.

Kun polynomi jaetaan tekijöiksi, on noudatettava seuraavaa järjestystä:

1. laita yhteinen kerroin pois suluista (jos sellainen on);

2. Käytä lyhennettyjä kertolaskukaavoja (jos mahdollista);

3. soveltaa ryhmittelymenetelmää;

4. tarkista kertomalla saatu tulos.

Opettaja:

Tarjoaa ohjeita opiskelijoille (korostaa vaihetta 4).

Tarjoaa työpajatehtävien toteuttamista ryhmissä.

Jakaa laskentataulukot ryhmiin, hiilipaperiarkkeja vihkotehtävien suorittamiseen ja niiden myöhempään tarkistamiseen.

Määrittää ajan työskentelyyn ryhmässä, työskentely vihkoissa.

opiskelijat:

He lukevat ohjeet.

Opettajat kuuntelevat tarkasti.

He istuvat ryhmissä (4-5 henkilöä kukin).

Valmistaudu käytännön työhön.

7. Tehtävien suorittaminen ryhmissä

Tehtäviä sisältäviä työarkkeja ryhmille. (Liite 3)

Opettaja:

Hallitsee itsenäistä työskentelyä ryhmissä.

Arvioi opiskelijan itsenäisen työskentelyn kykyä, kykyä työskennellä ryhmässä, laskentataulukon suunnittelun laatua.

opiskelijat:

Suorita tehtäviä työkirjaan liitetyille hiilipaperiarkeille.

Keskustele rationaalisista ratkaisuista.

Valmistele ryhmälle tehtävälomake.

Valmistaudu puolustamaan työtäsi.

8. Tehtävän tarkistaminen ja siitä keskusteleminen

Vastaukset taululle.

Opettaja:

Kerää kopioita päätöksistä.

Hallitsee laskentataulukoiden raportoivien opiskelijoiden työtä.

Tarjoaa itsearvioinnin työstään, vertailla vastauksia muistivihkoissa, laskentataulukoissa ja taululla olevissa näytteissä.

Palauttaa mieleen työn arvosanan, sen toteuttamiseen osallistumisen kriteerit.

Antaa selvennyksiä tuleviin päätöksiin tai itsearviointiin liittyviin kysymyksiin.

Suorittaa yhteenvedon käytännön työn ja reflektoinnin ensimmäisistä tuloksista.

Tekee yhteenvedon (yhdessä oppilaiden kanssa) oppitunnista.

Sanoo, että lopputulokset lasketaan yhteen opiskelijoiden tekemien töiden kopioiden tarkastamisen jälkeen.

opiskelijat:

Anna kopiot opettajalle.

Tehtävälistat on liitetty taululle.

Raportointi työn suorituksesta.

Suorita itsearviointi ja työn suorituskyvyn itsearviointi.

9. Kotitehtävien asettaminen

Kotitehtävät kirjoitetaan taululle: Nro 1016 (a, b); 1017 (c, d); nro 1021 (d, e, f)*

Opettaja:

Tarjoaa tehtävän pakollisen osan kirjoittamista kotona.

Kommentoi sen toteutusta.

Kehottaa valmistautuneempia opiskelijoita kirjoittamaan muistiin numeron 1021 (d, e, f) *.

Kehottaa valmistautumaan seuraavaan tarkasteluoppituntiin