चरम सीमा का पता लगाने के लिए एक सरल एल्गोरिदम..

• फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूँढना
• हम इस व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हैं
• हम परिणामी अभिव्यक्ति के चर के मान पाते हैं (वेरिएबल के मान जिस पर व्युत्पन्न शून्य में परिवर्तित होता है)
• इन मानों का उपयोग करते हुए, हम समन्वय रेखा को अंतरालों में विभाजित करते हैं (विराम बिंदुओं के बारे में मत भूलिए, जिन्हें रेखा पर प्लॉट करने की भी आवश्यकता होती है), इन सभी बिंदुओं को चरम के लिए "संदिग्ध" बिंदु कहा जाता है
• हम गणना करते हैं कि इनमें से कौन सा अंतराल व्युत्पन्न सकारात्मक होगा और कौन सा नकारात्मक होगा। ऐसा करने के लिए, आपको अंतराल से मूल्य को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करना होगा।

एक चरम के लिए संदिग्ध बिंदुओं में से, खोजना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम निर्देशांक रेखा पर अपने अंतरालों को देखते हैं। यदि किसी बिंदु से गुजरते समय अवकलज का चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाए तो यह बिंदु होगा अधिकतम, और यदि माइनस से प्लस तक है, तो न्यूनतम.

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने के लिए, आपको खंड के अंत और चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करने की आवश्यकता है। फिर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान चुनें.

आइए एक उदाहरण देखें
हम व्युत्पन्न पाते हैं और इसे शून्य के बराबर करते हैं:

हम चर के प्राप्त मूल्यों को समन्वय रेखा पर आलेखित करते हैं और प्रत्येक अंतराल पर व्युत्पन्न के चिह्न की गणना करते हैं। खैर, उदाहरण के लिए, पहले वाले को लेते हैं-2 , तो व्युत्पन्न बराबर होगा-0,24 , दूसरे के लिए हम लेंगे0 , तो व्युत्पन्न होगा2 , और तीसरे के लिए हम लेते हैं2 , तो व्युत्पन्न होगा-0.24. हमने उचित संकेत लगाए हैं।

हम देखते हैं कि बिंदु -1 से गुजरने पर, व्युत्पन्न चिह्न ऋण से धन में बदल जाता है, अर्थात, यह न्यूनतम बिंदु होगा, और 1 से गुजरने पर, यह चिह्न क्रमशः धन से ऋण में बदल जाएगा, यह होगा अधिकतम बिंदु.

1°

1°. किसी फ़ंक्शन के चरम का निर्धारण.

दो चर वाले किसी फ़ंक्शन की अधिकतम, न्यूनतम और चरम की अवधारणाएं एक स्वतंत्र चर के फ़ंक्शन की संबंधित अवधारणाओं के समान हैं।

कार्य करने दो z =एफ (एक्स ; य)किसी क्षेत्र में परिभाषित डीडॉट एन (एक्स 0 ;य 0) डी.

डॉट (एक्स 0 ;य 0)एक बिंदु कहा जाता है अधिकतमकार्य जेड= एफ (एक्स ;य ),यदि बिंदु का ऐसा कोई -पड़ोस है (एक्स 0 ;य 0),वह प्रत्येक बिंदु के लिए (x;y),से अलग (एक्स 0 ;य 0)इस पड़ोस से असमानता कायम है एफ (एक्स ;य)< एफ (एक्स 0 ;य0).चित्र 12 में: एन 1 -अधिकतम बिंदु, ए एन 2 -फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु z =एफ (एक्स ;य).

बिंदु इसी प्रकार निर्धारित किया गया है न्यूनतमकार्य: सभी बिंदुओं के लिए (एक्स 0 ;य 0),से अलग (एक्स 0 ;य 0),डी से - एक बिंदु का पड़ोस (एक्स 0 ;य 0)असमानता रखती है: एफ (एक्स 0 ;य0) >एफ (एक्स 0 ;य0).

तीन या अधिक चरों वाले किसी फलन का चरम इसी प्रकार निर्धारित किया जाता है।

अधिकतम (न्यूनतम) बिंदु पर फ़ंक्शन का मान कहलाता है अधिकतम न्यूनतम)कार्य.

किसी फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम कहा जाता है चरम.

ध्यान दें कि, परिभाषा के अनुसार, फ़ंक्शन का चरम बिंदु फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र के अंदर स्थित है; अधिकतम और न्यूनतम है स्थानीय(स्थानीय) वर्ण: एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का मान (एक्स 0 ;य 0)पर्याप्त रूप से करीब बिंदुओं पर इसके मूल्यों के साथ तुलना की जाती है (एक्स 0 ;य0).क्षेत्र में डीएक फ़ंक्शन में कई एक्स्ट्रेमा या कोई भी नहीं हो सकता है।

2°. चरम सीमा के लिए आवश्यक शर्तें.

आइए हम किसी फ़ंक्शन के चरम के अस्तित्व की शर्तों पर विचार करें।

ज्यामितीय समानता एफ"य (एक्स 0 ;य 0)= 0 और एफ"य (एक्स 0 ;य 0)= 0 का अर्थ है कि फ़ंक्शन के चरम बिंदु पर जेड = एफ (एक्स ; य)फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने वाली सतह पर स्पर्शरेखा तल एफ (एक्स ; य),विमान के समानांतर ओह हूचूँकि स्पर्शरेखा तल का समीकरण है z =z 0.

टिप्पणी।एक फ़ंक्शन में उन बिंदुओं पर चरम सीमा हो सकती है जहां कम से कम एक आंशिक व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन बिंदु पर अधिकतम है के बारे में(0;0), लेकिन इस बिंदु पर इसका कोई आंशिक व्युत्पन्न नहीं है।

वह बिंदु जिस पर फ़ंक्शन का पहला ऑर्डर आंशिक व्युत्पन्न होता है जेड = एफ (एक्स ;य)शून्य के बराबर हैं, अर्थात एफ"एक्स = 0, एफ" य = 0, बुलाया गया स्थिर बिंदुकार्य जेड

स्थिर बिंदु और वे बिंदु जिन पर कम से कम एक आंशिक व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, कहलाते हैं महत्वपूर्ण बिंदु।

महत्वपूर्ण बिंदुओं पर, फ़ंक्शन में चरम सीमा हो भी सकती है और नहीं भी। आंशिक व्युत्पन्नों की शून्य से समानता एक चरम के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक लेकिन पर्याप्त शर्त नहीं है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन पर विचार करें जेड = हू.इसके लिए, बिंदु 0(0; 0) महत्वपूर्ण है (यह शून्य हो जाता है)। हालाँकि, इसमें चरम कार्य है z = xyनहीं है, क्योंकि बिंदु O(0;0) के पर्याप्त छोटे पड़ोस में ऐसे बिंदु हैं जिनके लिए z> 0 (पहली और तीसरी तिमाही के अंक) और जेड< 0 (द्वितीय और चतुर्थ तिमाही के अंक)।

इस प्रकार, किसी दिए गए क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन के चरम को खोजने के लिए, फ़ंक्शन के प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु को अतिरिक्त शोध के अधीन करना आवश्यक है।

समीकरणों की प्रणाली को हल करके स्थिर बिंदु पाए जाते हैं

एफएक्स (एक्स, वाई) = 0, एफ"वाई (एक्स, वाई) = 0

(चरम सीमा के लिए आवश्यक शर्तें).

सिस्टम (1) एक समीकरण के बराबर है df(x, y)=0.सामान्य तौर पर, चरम बिंदु पर पी(ए, बी)कार्य एफ(एक्स, वाई)या df(x, y)=0, या डीएफ(ए, बी) मौजूद नहीं होना।

3°. चरम सीमा के लिए पर्याप्त परिस्थितियाँ. होने देना पी(ए; बी)- फ़ंक्शन का स्थिर बिंदु एफ(एक्स,वाई),अर्थात। . डीएफ(ए, बी) = 0. तब:

और अगर d2f (ए, बी)< 0 पर, फिर एफ(ए, बी) वहाँ है अधिकतमकार्य एफ (एक्स, वाई);

बी) यदि d2f (ए, बी) > 0पर, फिर एफ(ए, बी)वहाँ है न्यूनतमकार्य एफ (एक्स, वाई);

ग) यदि d2f (ए, बी)तब संकेत बदलता है एफ (ए, बी) फ़ंक्शन का चरम नहीं है एफ (एक्स, वाई).

दी गई शर्तें निम्नलिखित के बराबर हैं: चलो और । आइए रचना करें विभेदक Δ=एसी -बी².

1) यदि Δ > 0, तो फ़ंक्शन का बिंदु पर एक चरम है पी(ए;बी)अर्थात्, अधिकतम यदि ए<0 (या साथ<0 ), और न्यूनतम यदि ए>0(या С>0);

2) यदि Δ< 0, то экстремума в точке पी(ए; बी)नहीं;

3) यदि Δ =0, तो बिंदु पर फ़ंक्शन के चरम की उपस्थिति का प्रश्न पी(ए; बी)खुला रहता है (आगे शोध की आवश्यकता है)।

4°. कई चर वाले एक फ़ंक्शन का मामला. तीन या अधिक चर वाले फ़ंक्शन के लिए, एक चरम के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्तें शर्तों (1) के समान हैं, और पर्याप्त स्थितियां शर्तों ए), बी), सी) 3 डिग्री के समान हैं।

उदाहरण. चरम फ़ंक्शन की जांच करें z=x³+3xy²-15x-12y.

समाधान। आइए आंशिक व्युत्पन्न खोजें और समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं (1):

सिस्टम को हल करने पर, हमें चार स्थिर बिंदु मिलते हैं:

आइए दूसरे क्रम के डेरिवेटिव खोजें

और एक विभेदक बनाएँ Δ=AC - B²प्रत्येक स्थिर बिंदु के लिए.

1)बिंदु के लिए: , Δ=AC-B²=36-144<0 . इसका मतलब है कि बिंदु पर कोई चरम सीमा नहीं है।

2) बिंदु P2 के लिए: ए=12, बी=6, सी=12; Δ=144-36>0, ए>0. बिंदु P2 पर फ़ंक्शन न्यूनतम है। यह न्यूनतम फ़ंक्शन के मान के बराबर है x=2, y=1: ​​​zmin=8+6-30-12=-28.

3) बिंदु के लिए: ए=-6, बी=-12, सी=-6; Δ = 36-144<0 . कोई अति नहीं है.

4)बिंदु पी 4 के लिए: ए=-12, बी=-6, सी=-12; Δ=144-36>0. बिंदु P4 पर फ़ंक्शन का अधिकतम मान बराबर होता है Zmax=-8-6+30+12=28.

5°. सशर्त चरम. सबसे सरल मामले में सशर्त चरमकार्य एफ(एक्स, वाई) इस फ़ंक्शन का अधिकतम या न्यूनतम है, जो इस शर्त के तहत हासिल किया गया है कि इसके तर्क समीकरण से संबंधित हैं φ(x,y)=0 (कनेक्शन समीकरण). किसी फ़ंक्शन का सशर्त चरम ज्ञात करना एफ(एक्स, वाई) एक रिश्ते की उपस्थिति में φ(x,y) = 0, तथाकथित का गठन करें लैग्रेंज फ़ंक्शन

एफ (एक्स,य )=एफ (एक्स,य )+λφ (एक्स,य ),

जहां λ एक अपरिभाषित स्थिर कारक है, और इस सहायक फ़ंक्शन का सामान्य चरम मांगा जाता है। एक चरम के लिए आवश्यक शर्तें तीन समीकरणों की एक प्रणाली में कम हो जाती हैं

तीन अज्ञात के साथ एक्स, वाई, λ, जिससे ये अज्ञात, आम तौर पर, निर्धारित किए जा सकते हैं।

सशर्त चरम के अस्तित्व और प्रकृति का प्रश्न लैग्रेंज फ़ंक्शन के दूसरे अंतर के संकेत के अध्ययन के आधार पर हल किया गया है

परीक्षणाधीन मूल्य प्रणाली के लिए एक्स, वाई, λ, (2) से प्राप्त किया गया बशर्ते कि डीएक्सऔर dуसमीकरण द्वारा संबंधित

.

अर्थात्, फ़ंक्शन एफ(एक्स, वाई) में एक सशर्त अधिकतम है यदि d²F< 0, और एक सशर्त न्यूनतम यदि d²F>0. विशेष रूप से, यदि फ़ंक्शन के लिए विवेचक Δ एफ(एक्स,वाई)एक स्थिर बिंदु पर सकारात्मक है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का एक सशर्त अधिकतम होता है एफ(एक्स, वाई), अगर ए< 0 (या साथ< 0), और एक सशर्त न्यूनतम यदि ए > ओ(या С>0).

इसी प्रकार, तीन या अधिक चर वाले फ़ंक्शन का सशर्त चरम एक या अधिक कनेक्शन समीकरणों की उपस्थिति में पाया जाता है (हालांकि, इसकी संख्या चर की संख्या से कम होनी चाहिए)। यहां हमें लैग्रेंज फ़ंक्शन में उतने ही अनिश्चित कारकों को शामिल करना होगा जितने युग्मन समीकरण हैं।

उदाहरण। फ़ंक्शन का चरम ज्ञात करें z =6-4एक्स -3यबशर्ते कि चर एक्सऔर परसमीकरण को संतुष्ट करें x²+y²=1.

समाधान। ज्यामितीय रूप से, समस्या अनुप्रयोग के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने में आती है जेडविमान z=6 - 4x - Zuसिलेंडर के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदुओं के लिए x2+y2=1.

लैग्रेंज फ़ंक्शन का संकलन F(x,y)=6 -4x -3y+λ(x2+y2 -1).

हमारे पास है . आवश्यक शर्तें समीकरणों की प्रणाली देती हैं

जिसे हल करके हम पाते हैं:

.

,

d²एफ =2λ (dx²+डाई²).

यदि और, तो d²एफ >0, और, इसलिए, इस बिंदु पर फ़ंक्शन का एक सशर्त न्यूनतम है। अगर और तब d²एफ<0, और, इसलिए, इस बिंदु पर फ़ंक्शन का एक सशर्त अधिकतम है।

इस प्रकार,

6°. किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान।

कार्य करने दो z =एफ (एक्स ; य)एक सीमित बंद क्षेत्र में परिभाषित और निरंतर . फिर वह कुछ बिंदुओं पर पहुंचती है आपका महानतम एमऔर सबसे कम टीमान (तथाकथित) वैश्विक चरम).ये मान क्षेत्र के अंदर स्थित बिंदुओं पर फ़ंक्शन द्वारा प्राप्त किए जाते हैं , या क्षेत्र की सीमा पर स्थित बिंदुओं पर।

फ़ंक्शन मान और अधिकतम और न्यूनतम अंक

सबसे बड़ा फ़ंक्शन मान

सबसे छोटा फ़ंक्शन मान

जैसा कि गॉडफादर ने कहा: "कुछ भी व्यक्तिगत नहीं।" केवल व्युत्पन्न!

सांख्यिकी कार्य 12 को काफी कठिन माना जाता है, और यह सब इसलिए क्योंकि लोगों ने यह लेख (मजाक) नहीं पढ़ा। अधिकांश मामलों में लापरवाही को दोष दिया जाता है।

12 कार्य दो प्रकार में आते हैं:

1. अधिकतम/न्यूनतम बिंदु खोजें ("x" मान खोजने के लिए कहें)।
2. किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा/सबसे छोटा मान ढूंढें ("y" मान ढूंढने के लिए कहें)।

इन मामलों में कैसे कार्रवाई करें?

अधिकतम/न्यूनतम बिंदु ज्ञात करें

1. इसे शून्य के बराबर करें.
2. पाया गया या पाया गया "x" न्यूनतम या अधिकतम अंक होगा।
3. अंतराल विधि का उपयोग करके संकेत निर्धारित करें और कार्य में किस बिंदु की आवश्यकता है उसका चयन करें।

एकीकृत राज्य परीक्षा कार्य:

फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु ज्ञात करें

• हम व्युत्पन्न लेते हैं:

यह सही है, पहले फ़ंक्शन बढ़ता है, फिर घटता है - यह अधिकतम बिंदु है!
उत्तर:-15

फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु ज्ञात करें

• आइए रूपांतरण करें और व्युत्पन्न लें:

• महान! पहले फलन घटता है, फिर बढ़ता है - यह न्यूनतम बिंदु है!

उत्तर:-2

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा/सबसे छोटा मान ज्ञात करें

1. प्रस्तावित फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लें।
   
2. इसे शून्य के बराबर करें.
   
3. पाया गया "x" न्यूनतम या अधिकतम बिंदु होगा।
   
4. अंतराल विधि का उपयोग करके संकेत निर्धारित करें और कार्य में किस बिंदु की आवश्यकता है उसका चयन करें।
5. ऐसे कार्यों में, एक अंतर हमेशा निर्दिष्ट किया जाता है: चरण 3 में पाए गए एक्स को इस अंतर में शामिल किया जाना चाहिए।
6. परिणामी अधिकतम या न्यूनतम बिंदु को मूल समीकरण में रखें, और हमें फ़ंक्शन का सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान प्राप्त होता है।

एकीकृत राज्य परीक्षा कार्य:

अंतराल [−4; पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें; −1]

उत्तर:-6

खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें

• फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान अधिकतम बिंदु (इस खंड पर) "0" पर "11" है।

उत्तर: 11

निष्कर्ष:

1. 70% गलतियाँ ऐसी होती हैं कि लोगों को यह याद नहीं रहता कि उन्होंने क्या जवाब दिया फ़ंक्शन का सबसे बड़ा/सबसे छोटा मान "y" लिखा जाना चाहिए, और पर अधिकतम/न्यूनतम बिंदु "x" लिखें।
2. किसी फ़ंक्शन का मान ज्ञात करते समय व्युत्पन्न का कोई समाधान नहीं है?कोई समस्या नहीं, अंतराल के चरम बिंदुओं को प्रतिस्थापित करें!
3. उत्तर हमेशा संख्या या दशमलव के रूप में लिखा जा सकता है।नहीं? फिर उदाहरण पर दोबारा विचार करें.
4. अधिकांश कार्यों में हमें एक अंक मिलेगा और अधिकतम या न्यूनतम जांचने में हमारी आलस्य उचित होगी। हमें एक बात मिल गई - आप सुरक्षित रूप से वापस लिख सकते हैं।
5. और यहां किसी फ़ंक्शन का मान खोजते समय आपको ऐसा नहीं करना चाहिए!जांचें कि यह सही बिंदु है, अन्यथा अंतर का चरम मान बड़ा या छोटा हो सकता है।

इस लेख से पाठक सीखेंगे कि कार्यात्मक मूल्य की चरम सीमा क्या है, साथ ही व्यावहारिक गतिविधियों में इसके उपयोग की विशेषताओं के बारे में भी। उच्च गणित की नींव को समझने के लिए ऐसी अवधारणा का अध्ययन करना अत्यंत महत्वपूर्ण है। यह विषय पाठ्यक्रम के गहन अध्ययन के लिए मौलिक है।

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चरम सीमा क्या है?

स्कूली पाठ्यक्रम में, "चरम" की अवधारणा की कई परिभाषाएँ दी गई हैं। इस लेख का उद्देश्य इस मुद्दे से अनभिज्ञ लोगों को इस शब्द की सबसे गहरी और स्पष्ट समझ प्रदान करना है। तो, इस शब्द से यह समझा जाता है कि कार्यात्मक अंतराल किस हद तक किसी विशेष सेट पर न्यूनतम या अधिकतम मूल्य प्राप्त करता है।

एक चरम एक फ़ंक्शन का न्यूनतम मान और एक ही समय में अधिकतम दोनों है। एक न्यूनतम बिंदु और एक अधिकतम बिंदु होता है, यानी ग्राफ़ पर तर्क का चरम मान। इस अवधारणा का उपयोग करने वाले मुख्य विज्ञान हैं:

• आँकड़े;
• मशीन नियंत्रण;
• अर्थमिति.

चरम बिंदु किसी दिए गए फ़ंक्शन के अनुक्रम को निर्धारित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। ग्राफ़ में समन्वय प्रणाली कार्यक्षमता में परिवर्तन के आधार पर चरम स्थिति में परिवर्तन को सर्वोत्तम रूप से दर्शाती है।

व्युत्पन्न फलन की चरम सीमा

"व्युत्पन्न" जैसी एक घटना भी है। चरम बिंदु निर्धारित करना आवश्यक है। यह महत्वपूर्ण है कि न्यूनतम या अधिकतम अंक को उच्चतम और निम्नतम मान के साथ भ्रमित न करें। ये अलग-अलग अवधारणाएँ हैं, हालाँकि ये समान लग सकती हैं।

फ़ंक्शन का मान अधिकतम बिंदु कैसे प्राप्त करें यह निर्धारित करने में मुख्य कारक है। व्युत्पन्न मूल्यों से नहीं बनता है, बल्कि विशेष रूप से एक या दूसरे क्रम में इसकी चरम स्थिति से बनता है।

व्युत्पन्न स्वयं इन चरम बिंदुओं के आधार पर निर्धारित किया जाता है, न कि सबसे बड़े या सबसे छोटे मूल्य पर। रूसी स्कूलों में, इन दो अवधारणाओं के बीच की रेखा स्पष्ट रूप से नहीं खींची जाती है, जो सामान्य रूप से इस विषय की समझ को प्रभावित करती है।

आइए अब हम "तीव्र चरम" जैसी अवधारणा पर विचार करें। आज, एक तीव्र न्यूनतम मूल्य और एक तीव्र अधिकतम मूल्य है। परिभाषा किसी फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदुओं के रूसी वर्गीकरण के अनुसार दी गई है। चरम बिंदु की अवधारणा ग्राफ़ पर महत्वपूर्ण बिंदु खोजने का आधार है।

ऐसी अवधारणा को परिभाषित करने के लिए, वे फ़र्मेट के प्रमेय का उपयोग करते हैं। यह चरम बिंदुओं के अध्ययन में सबसे महत्वपूर्ण है और किसी न किसी रूप में उनके अस्तित्व का स्पष्ट विचार देता है। चरमता सुनिश्चित करने के लिए, ग्राफ़ पर कमी या वृद्धि के लिए कुछ स्थितियाँ बनाना महत्वपूर्ण है।

"अधिकतम बिंदु कैसे ज्ञात करें" प्रश्न का सटीक उत्तर देने के लिए, आपको इन दिशानिर्देशों का पालन करना होगा:

1. ग्राफ़ पर परिभाषा का सटीक डोमेन ढूँढना।
2. किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और चरम बिंदु की खोज करें।
3. उस डोमेन के लिए मानक असमानताओं को हल करें जहां तर्क पाया जाता है।
4. यह साबित करने में सक्षम हो कि ग्राफ़ पर एक बिंदु किन कार्यों में परिभाषित और निरंतर है।

ध्यान!किसी फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु की खोज केवल तभी संभव है जब कम से कम दूसरे क्रम का व्युत्पन्न हो, जो एक चरम बिंदु की उपस्थिति के उच्च अनुपात द्वारा सुनिश्चित किया जाता है।

किसी कार्य के चरम के लिए आवश्यक शर्त

एक चरम के अस्तित्व के लिए, यह महत्वपूर्ण है कि न्यूनतम और अधिकतम दोनों बिंदु हों। यदि इस नियम का केवल आंशिक रूप से पालन किया जाता है, तो एक चरम के अस्तित्व की स्थिति का उल्लंघन होता है।

किसी भी स्थिति में प्रत्येक फ़ंक्शन को उसके नए अर्थों की पहचान करने के लिए विभेदित किया जाना चाहिए। यह समझना महत्वपूर्ण है कि किसी बिंदु के शून्य पर जाने का मामला किसी भिन्न बिंदु को खोजने का मुख्य सिद्धांत नहीं है।

एक तीव्र चरम, साथ ही एक फ़ंक्शन का न्यूनतम, चरम मूल्यों का उपयोग करके गणितीय समस्या को हल करने का एक अत्यंत महत्वपूर्ण पहलू है। इस घटक को बेहतर ढंग से समझने के लिए, कार्यक्षमता निर्दिष्ट करने के लिए सारणीबद्ध मानों को संदर्भित करना महत्वपूर्ण है।

पूर्ण अर्थ अनुसंधान

एक वैल्यू ग्राफ़ प्लॉट करना

1. बढ़ते और घटते मूल्यों के बिंदुओं का निर्धारण। 2. समन्वय अक्षों के साथ असंततता बिंदु, चरम और प्रतिच्छेदन ढूँढना। 3. ग्राफ़ पर स्थिति में परिवर्तन निर्धारित करने की प्रक्रिया। 4. स्पर्शोन्मुखता की उपस्थिति को ध्यान में रखते हुए उत्तलता और उत्तलता के सूचक और दिशा का निर्धारण। 5. इसके निर्देशांक निर्धारित करने की दृष्टि से एक शोध सारांश तालिका का निर्माण। 6. चरम और तीक्ष्ण बिंदुओं के बढ़ने और घटने का अंतराल ज्ञात करना। 7. वक्र की उत्तलता एवं अवतलता का निर्धारण। 8. शोध को ध्यान में रखते हुए ग्राफ बनाने से आप न्यूनतम या अधिकतम ज्ञात कर सकते हैं।

जब चरम बिंदुओं के साथ काम करना आवश्यक होता है तो मुख्य तत्व उसके ग्राफ का सटीक निर्माण होता है। स्कूल के शिक्षक अक्सर ऐसे महत्वपूर्ण पहलू पर अधिकतम ध्यान नहीं देते हैं, जो शैक्षिक प्रक्रिया का घोर उल्लंघन है। ग्राफ़ का निर्माण केवल कार्यात्मक डेटा के अध्ययन के परिणामों, तीव्र एक्स्ट्रेमा की पहचान, साथ ही ग्राफ़ पर बिंदुओं के आधार पर होता है। अनंतस्पर्शी निर्धारण के लिए एक मानक प्रक्रिया का उपयोग करते हुए, व्युत्पन्न फ़ंक्शन के तीव्र चरम को सटीक मानों के प्लॉट पर प्रदर्शित किया जाता है। फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु अधिक जटिल ग्राफ़ निर्माण के साथ होते हैं। यह तीव्र चरम की समस्या पर काम करने की गहरी आवश्यकता के कारण है। एक जटिल और सरल फलन का व्युत्पन्न खोजना भी आवश्यक है, क्योंकि यह चरम की समस्या में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है।

क्रियाशीलता की चरम सीमा

उपरोक्त मान ज्ञात करने के लिए, आपको निम्नलिखित नियमों का पालन करना होगा:

• किसी चरम संबंध के लिए आवश्यक शर्त निर्धारित कर सकेंगे;
• ग्राफ़ पर चरम बिंदुओं की पर्याप्त स्थिति को ध्यान में रखें;
• तीव्र चरम की गणना करें.

कमजोर न्यूनतम और मजबूत न्यूनतम जैसी अवधारणाओं का भी उपयोग किया जाता है। चरम सीमा का निर्धारण और इसकी सटीक गणना करते समय इसे ध्यान में रखा जाना चाहिए। साथ ही, तीव्र कार्यक्षमता किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ काम करने के लिए सभी आवश्यक शर्तों की खोज और निर्माण है।

किसी फ़ंक्शन का चरम बिंदु फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र में वह बिंदु है जिस पर फ़ंक्शन का मान न्यूनतम या अधिकतम मान लेता है। इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान को फ़ंक्शन का एक्स्ट्रेमा (न्यूनतम और अधिकतम) कहा जाता है.

परिभाषा. डॉट एक्स1 फ़ंक्शन डोमेन एफ(एक्स) कहा जाता है फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु , यदि इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मान उसके दाएं और बाएं स्थित बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान से अधिक है (अर्थात, असमानता कायम है) एफ(एक्स0 ) > एफ(एक्स 0 + Δ एक्स) एक्स1 अधिकतम।

परिभाषा. डॉट एक्स2 फ़ंक्शन डोमेन एफ(एक्स) कहा जाता है फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु, यदि इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मान उसके दाएं और बाएं स्थित बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान से कम है (अर्थात, असमानता कायम है) एफ(एक्स0 ) < एफ(एक्स 0 + Δ एक्स) ). इस मामले में हम कहते हैं कि फ़ंक्शन बिंदु पर है एक्स2 न्यूनतम।

आइए बताते हैं बिंदु एक्स1 - फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु एफ(एक्स) . फिर तक के अंतराल में एक्स1 कार्य बढ़ जाता है, इसलिए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य से अधिक है ( एफ "(एक्स) > 0 ), और इसके बाद के अंतराल में एक्स1 फलन कम हो जाता है, इसलिए, किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्नशून्य से कम ( एफ "(एक्स) < 0 ). Тогда в точке एक्स1

चलिए बात ये भी मान लेते हैं एक्स2 - फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु एफ(एक्स) . फिर तक के अंतराल में एक्स2 फ़ंक्शन घट रहा है, और फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य से कम है ( एफ "(एक्स) < 0 ), а в интервале после एक्स2 फ़ंक्शन बढ़ रहा है, और फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य से अधिक है ( एफ "(एक्स) > 0 ). इस मामले में भी यही मुद्दा है एक्स2 फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है या मौजूद नहीं है।

फ़र्मेट का प्रमेय (किसी फ़ंक्शन के चरम के अस्तित्व का एक आवश्यक संकेत). अगर बात एक्स0 - फ़ंक्शन का चरम बिंदु एफ(एक्स) तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है ( एफ "(एक्स) = 0 ) या अस्तित्व में नहीं है।

परिभाषा. वे बिंदु जिन पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है या अस्तित्व में नहीं है, कहलाते हैं महत्वपूर्ण बिंदु .

उदाहरण 1।आइए फ़ंक्शन पर विचार करें.

बिंदु पर एक्स= 0 फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है, इसलिए बिंदु एक्स= 0 क्रांतिक बिंदु है. हालाँकि, जैसा कि फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर देखा जा सकता है, यह परिभाषा के पूरे क्षेत्र में बढ़ता है, इसलिए बिंदु एक्स= 0 इस फ़ंक्शन का चरम बिंदु नहीं है।

इस प्रकार, यह स्थितियाँ कि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है या अस्तित्व में नहीं है, एक चरम के लिए आवश्यक शर्तें हैं, लेकिन पर्याप्त नहीं हैं, क्योंकि फ़ंक्शन के अन्य उदाहरण दिए जा सकते हैं जिनके लिए ये शर्तें पूरी होती हैं, लेकिन फ़ंक्शन संगत बिंदु पर कोई चरम सीमा नहीं है। इसीलिए पर्याप्त सबूत होने चाहिए, किसी को यह निर्णय लेने की अनुमति देता है कि क्या किसी विशेष महत्वपूर्ण बिंदु पर कोई चरम सीमा है और यह किस प्रकार की चरम सीमा है - अधिकतम या न्यूनतम।

प्रमेय (किसी फ़ंक्शन के चरम के अस्तित्व का पहला पर्याप्त संकेत)।महत्वपूर्ण बिन्दू एक्स0 एफ(एक्स) यदि, इस बिंदु से गुजरते समय, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न चिह्न बदल जाता है, और यदि चिह्न "प्लस" से "माइनस" में बदल जाता है, तो यह एक अधिकतम बिंदु है, और यदि "माइनस" से "प्लस" हो जाता है, तो यह एक न्यूनतम बिंदु है.

यदि बिंदु के निकट एक्स0 , इसके बायीं और दायीं ओर, व्युत्पन्न अपना चिह्न बरकरार रखता है, इसका मतलब है कि फ़ंक्शन या तो केवल घटता है या केवल बिंदु के एक निश्चित पड़ोस में बढ़ता है एक्स0 . इस मामले में, बिंदु पर एक्स0 कोई अति नहीं है.

इसलिए, फ़ंक्शन के चरम बिंदु निर्धारित करने के लिए, आपको निम्नलिखित कार्य करने की आवश्यकता है :

1. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।
2. व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें और महत्वपूर्ण बिंदु निर्धारित करें।
3. मानसिक रूप से या कागज पर, संख्या रेखा पर महत्वपूर्ण बिंदुओं को चिह्नित करें और परिणामी अंतराल में फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के संकेतों को निर्धारित करें। यदि व्युत्पन्न का चिह्न "प्लस" से "माइनस" में बदल जाता है, तो महत्वपूर्ण बिंदु अधिकतम बिंदु होता है, और यदि "माइनस" से "प्लस" में बदल जाता है, तो न्यूनतम बिंदु होता है।
4. चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें।

उदाहरण 2.फलन का चरम ज्ञात कीजिए .

समाधान। आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

आइए महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजने के लिए व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें:

.

चूँकि "x" के किसी भी मान के लिए हर शून्य के बराबर नहीं है, हम अंश को शून्य के बराबर करते हैं:

एक महत्वपूर्ण बिंदु मिला एक्स= 3 . आइए हम इस बिंदु द्वारा सीमांकित अंतरालों में अवकलज का चिह्न निर्धारित करें:

माइनस इनफिनिटी से 3 तक की सीमा में - एक माइनस साइन, यानी, फ़ंक्शन घट जाता है,

3 से प्लस अनंत तक के अंतराल में एक प्लस चिह्न होता है, यानी फ़ंक्शन बढ़ता है।

अर्थात काल एक्स= 3 न्यूनतम बिंदु है.

आइए न्यूनतम बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें:

इस प्रकार, फ़ंक्शन का चरम बिंदु पाया जाता है: (3; 0), और यह न्यूनतम बिंदु है।

प्रमेय (किसी फ़ंक्शन के चरम के अस्तित्व का दूसरा पर्याप्त संकेत)।महत्वपूर्ण बिन्दू एक्स0 फ़ंक्शन का चरम बिंदु है एफ(एक्स) यदि इस बिंदु पर फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर नहीं है ( एफ ""(एक्स) ≠ 0 ), और यदि दूसरा व्युत्पन्न शून्य से अधिक है ( एफ ""(एक्स) > 0 ), तो अधिकतम बिंदु, और यदि दूसरा व्युत्पन्न शून्य से कम है ( एफ ""(एक्स) < 0 ), то точкой минимума.

नोट 1. यदि बिंदु पर एक्स0 यदि पहला और दूसरा दोनों व्युत्पन्न गायब हो जाते हैं, तो इस बिंदु पर दूसरे पर्याप्त मानदंड के आधार पर एक चरम की उपस्थिति का आकलन करना असंभव है। इस मामले में, आपको किसी फ़ंक्शन के चरम के लिए पहले पर्याप्त मानदंड का उपयोग करने की आवश्यकता है।

टिप्पणी 2. किसी फ़ंक्शन के चरम के लिए दूसरा पर्याप्त मानदंड तब भी लागू नहीं होता है जब पहला व्युत्पन्न एक स्थिर बिंदु पर मौजूद नहीं होता है (तब दूसरा व्युत्पन्न भी मौजूद नहीं होता है)। इस मामले में, आपको किसी फ़ंक्शन के चरम के पहले पर्याप्त संकेत का उपयोग करने की भी आवश्यकता है।

कार्य की चरम सीमा की स्थानीय प्रकृति

उपरोक्त परिभाषाओं से यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी फ़ंक्शन का चरम प्रकृति में स्थानीय है - यह आस-पास के मानों की तुलना में फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान है।

मान लीजिए कि आप एक वर्ष की अवधि में अपनी कमाई देख रहे हैं। यदि मई में आपने 45,000 रूबल कमाए, और अप्रैल में 42,000 रूबल और जून में 39,000 रूबल कमाए, तो मई की कमाई आस-पास के मूल्यों की तुलना में कमाई फ़ंक्शन की अधिकतम है। लेकिन अक्टूबर में आपने 71,000 रूबल, सितंबर में 75,000 रूबल और नवंबर में 74,000 रूबल कमाए, इसलिए अक्टूबर की कमाई आस-पास के मूल्यों की तुलना में कमाई फ़ंक्शन का न्यूनतम है। और आप आसानी से देख सकते हैं कि अप्रैल-मई-जून के मूल्यों में अधिकतम सितंबर-अक्टूबर-नवंबर के न्यूनतम से कम है।

सामान्यतया, एक अंतराल पर एक फ़ंक्शन के कई चरम हो सकते हैं, और ऐसा हो सकता है कि फ़ंक्शन का कुछ न्यूनतम भाग किसी भी अधिकतम से अधिक हो। तो, उपरोक्त चित्र में दिखाए गए फ़ंक्शन के लिए,।

अर्थात्, किसी को यह नहीं सोचना चाहिए कि किसी फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम, क्रमशः, विचाराधीन संपूर्ण खंड पर उसका सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान है। अधिकतम बिंदु पर, फ़ंक्शन का मान केवल उन मानों की तुलना में सबसे बड़ा होता है जो अधिकतम बिंदु के पर्याप्त करीब सभी बिंदुओं पर होता है, और न्यूनतम बिंदु पर इसका मान केवल उन मानों की तुलना में सबसे छोटा होता है कि यह सभी बिंदुओं पर न्यूनतम बिंदु के पर्याप्त करीब है।

इसलिए, हम किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं की उपरोक्त अवधारणा को स्पष्ट कर सकते हैं और न्यूनतम बिंदुओं को स्थानीय न्यूनतम बिंदु और अधिकतम बिंदुओं को स्थानीय अधिकतम बिंदु कह सकते हैं।

हम एक साथ समारोह के चरम की तलाश करते हैं

उदाहरण 3.

समाधान: फ़ंक्शन संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित और निरंतर है। इसका व्युत्पन्न संपूर्ण संख्या रेखा पर भी मौजूद है। इसलिए, इस मामले में, महत्वपूर्ण बिंदु केवल वही हैं जिन पर, अर्थात्। , कहाँ से और . महत्वपूर्ण बिंदु और फ़ंक्शन की परिभाषा के पूरे डोमेन को एकरसता के तीन अंतरालों में विभाजित करें:। आइए उनमें से प्रत्येक में एक नियंत्रण बिंदु चुनें और इस बिंदु पर व्युत्पन्न का चिह्न ढूंढें।

अंतराल के लिए, नियंत्रण बिंदु हो सकता है: खोजें। अंतराल में एक बिंदु लेने पर, हमें मिलता है, और अंतराल में एक बिंदु लेने पर, हमें मिलता है। तो, अंतराल में और, और अंतराल में। चरम सीमा के लिए पहले पर्याप्त मानदंड के अनुसार, बिंदु पर कोई चरम सीमा नहीं होती है (चूंकि व्युत्पन्न अंतराल में अपना संकेत बरकरार रखता है), और बिंदु पर फ़ंक्शन का न्यूनतम होता है (चूंकि व्युत्पन्न परिवर्तन चिह्न को शून्य से प्लस में बदलता है जब गुजरता है) इस बिंदु के माध्यम से)। आइए फ़ंक्शन के संबंधित मान खोजें: , ए . अंतराल में फ़ंक्शन घटता है, क्योंकि इस अंतराल में, और अंतराल में यह बढ़ता है, क्योंकि इस अंतराल में।

ग्राफ़ की संरचना को स्पष्ट करने के लिए, हम निर्देशांक अक्षों के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं। जब हम एक समीकरण प्राप्त करते हैं जिसकी जड़ें और हैं, यानी, फ़ंक्शन के ग्राफ़ के दो बिंदु (0; 0) और (4; 0) पाए जाते हैं। प्राप्त सभी सूचनाओं का उपयोग करके, हम एक ग्राफ़ बनाते हैं (उदाहरण की शुरुआत देखें)।

गणना के दौरान स्व-जाँच के लिए, आप इसका उपयोग कर सकते हैं ऑनलाइन व्युत्पन्न कैलकुलेटर .

उदाहरण 4.फ़ंक्शन का चरम ज्ञात करें और उसका ग्राफ़ बनाएं।

किसी फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र बिंदु को छोड़कर, संपूर्ण संख्या रेखा है, अर्थात। .

अध्ययन को छोटा करने के लिए, आप इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि यह फ़ंक्शन सम है, चूँकि . इसलिए, इसका ग्राफ़ अक्ष के प्रति सममित है ओएऔर अध्ययन केवल अंतराल के लिए ही किया जा सकता है।

व्युत्पन्न ढूँढना और फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु:

1) ;

2) ,

लेकिन इस बिंदु पर फ़ंक्शन में असंततता आ जाती है, इसलिए यह एक चरम बिंदु नहीं हो सकता है।

इस प्रकार, दिए गए फ़ंक्शन के दो महत्वपूर्ण बिंदु हैं: और। फ़ंक्शन की समता को ध्यान में रखते हुए, हम एक चरम के लिए दूसरे पर्याप्त मानदंड का उपयोग करके केवल बिंदु की जांच करेंगे। ऐसा करने के लिए, हम दूसरा व्युत्पन्न पाते हैं और इसका चिह्न निर्धारित करें: हमें मिलता है। चूंकि और, यह फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है, और .

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की अधिक संपूर्ण तस्वीर प्राप्त करने के लिए, आइए परिभाषा के क्षेत्र की सीमाओं पर इसके व्यवहार का पता लगाएं:

(यहाँ प्रतीक इच्छा को इंगित करता है एक्सदाईं ओर से शून्य, और एक्ससकारात्मक रहता है; इसी प्रकार आकांक्षा का भी अर्थ है एक्सबायीं ओर से शून्य तक, और एक्सनकारात्मक रहता है)। इस प्रकार, यदि, तो। अगला, हम पाते हैं

,

वे। तो अगर ।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ में अक्षों के साथ कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है। चित्र उदाहरण की शुरुआत में है.

गणना के दौरान स्व-जाँच के लिए, आप इसका उपयोग कर सकते हैं ऑनलाइन व्युत्पन्न कैलकुलेटर .

हम साथ मिलकर फ़ंक्शन के चरम की खोज जारी रखते हैं

उदाहरण 8.फलन का चरम ज्ञात कीजिए।

समाधान। आइए फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र खोजें। चूँकि असमानता को संतुष्ट किया जाना चाहिए, हम इससे प्राप्त करते हैं।

आइए फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न खोजें।