किसी घटना की संभावना को इस घटना के घटित होने की संभावना की कुछ संख्यात्मक विशेषता के रूप में समझा जाता है। संभाव्यता निर्धारित करने के लिए कई दृष्टिकोण हैं।

किसी घटना की संभावना एइस घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या और एक पूर्ण समूह बनाने वाले सभी समान रूप से संभव असंगत प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या का अनुपात है। तो किसी घटना की प्रायिकता एसूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

कहाँ एमअनुकूल प्रारंभिक परिणामों की संख्या है ए, एन- परीक्षण के सभी संभावित प्रारंभिक परिणामों की संख्या।

उदाहरण 3.1.एक पासा फेंकने के प्रयोग में, सभी परिणामों की संख्या एन 6 है और वे सभी समान रूप से संभव हैं। चलो घटना एइसका अर्थ है एक सम संख्या का प्रकट होना। तब इस घटना के लिए अनुकूल परिणाम संख्या 2, 4, 6 का आना होगा। इनकी संख्या 3 है। अतः घटना की प्रायिकता एके बराबर है

उदाहरण 3.2.इसकी क्या प्रायिकता है कि यादृच्छिक रूप से चुनी गई दो अंकों की संख्या में अंक समान हैं?

दो अंकों की संख्याएँ 10 से 99 तक की संख्याएँ हैं, कुल मिलाकर ऐसी 90 संख्याएँ हैं। 9 संख्याओं की संख्याएँ समान हैं (ये संख्याएँ 11, 22, ..., 99 हैं)। चूंकि इस मामले में एम=9, एन=90, तो

कहाँ ए- घटना, "समान अंकों वाली एक संख्या।"

उदाहरण 3.3. 10 भागों के लॉट में 7 मानक भाग होते हैं। छः यादृच्छिक रूप से चयनित भागों में से 4 मानक भाग होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

परीक्षण के संभावित प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या उन तरीकों की संख्या के बराबर है जिनसे 10 में से 6 भाग निकाले जा सकते हैं, यानी, 6 तत्वों के 10 तत्वों के संयोजन की संख्या। उन परिणामों की संख्या निर्धारित करें जो हमारी रुचि की घटना के पक्ष में हों ए(छह भागों में से 4 मानक हैं)। सात मानक भागों में से चार मानक भाग इस प्रकार लिए जा सकते हैं; उसी समय, शेष 6-4=2 भाग गैर-मानक होने चाहिए, लेकिन आप 10-7=3 गैर-मानक भागों में से दो गैर-मानक भाग अलग-अलग तरीकों से ले सकते हैं। अत: अनुकूल परिणामों की संख्या है।

तब वांछित प्रायिकता बराबर है

निम्नलिखित गुण संभाव्यता की परिभाषा से अनुसरण करते हैं:

1. एक निश्चित घटना की प्रायिकता एक के बराबर होती है।

वास्तव में, यदि घटना विश्वसनीय है, तो परीक्षण का प्रत्येक प्रारंभिक परिणाम घटना के पक्ष में होता है। इस मामले में m=n, इसलिए

2. किसी असंभव घटना की प्रायिकता शून्य है।

वास्तव में, यदि घटना असंभव है, तो परीक्षण का कोई भी प्रारंभिक परिणाम घटना के पक्ष में नहीं होता है। इस मामले में इसका मतलब है

3. किसी यादृच्छिक घटना की प्रायिकता शून्य और एक के बीच एक धनात्मक संख्या होती है।

दरअसल, परीक्षण के प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या का केवल एक हिस्सा यादृच्छिक घटना का पक्ष लेता है। इस मामले में< एम< n, मतलब 0 < m/n < 1, यानी 0< पी(ए) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

तार्किक रूप से पूर्ण संभाव्यता सिद्धांत का निर्माण एक यादृच्छिक घटना की स्वयंसिद्ध परिभाषा और उसकी संभाव्यता पर आधारित है। ए.एन. कोलमोगोरोव द्वारा प्रस्तावित स्वयंसिद्धों की प्रणाली में, अपरिभाषित अवधारणाएँ एक प्राथमिक घटना और संभाव्यता हैं। यहां वे सिद्धांत हैं जो संभाव्यता को परिभाषित करते हैं:

1. प्रत्येक घटना एएक गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या निर्दिष्ट की गई पी(ए). इस संख्या को घटना की प्रायिकता कहा जाता है. ए.

2. एक निश्चित घटना की प्रायिकता एक के बराबर होती है।

3. जोड़ीवार असंगत घटनाओं में से कम से कम एक के घटित होने की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है।

इन सिद्धांतों के आधार पर, संभावनाओं के गुण और उनके बीच के संबंध प्रमेय के रूप में प्राप्त होते हैं।

आत्मनिरीक्षण के लिए प्रश्न

1. किसी घटना की संभावना की संख्यात्मक विशेषता का क्या नाम है?

2. किसी घटना की प्रायिकता क्या कहलाती है?

3. किसी निश्चित घटना की प्रायिकता क्या है?

4. किसी असंभव घटना की प्रायिकता क्या है?

5. किसी यादृच्छिक घटना की संभावना की सीमाएँ क्या हैं?

6. किसी घटना की प्रायिकता की सीमाएँ क्या हैं?

7. संभाव्यता की किस परिभाषा को शास्त्रीय कहा जाता है?

प्रारंभ में, पासे के खेल की जानकारी और अनुभवजन्य टिप्पणियों का एक संग्रह मात्र होने के कारण, संभाव्यता का सिद्धांत एक ठोस विज्ञान बन गया है। फ़र्मेट और पास्कल इसे गणितीय ढाँचा देने वाले पहले व्यक्ति थे।

शाश्वत पर चिंतन से लेकर संभाव्यता के सिद्धांत तक

दो व्यक्ति जिनके लिए संभाव्यता के सिद्धांत के कई मौलिक सूत्र हैं, ब्लेज़ पास्कल और थॉमस बेयस, गहरे धार्मिक लोगों के रूप में जाने जाते हैं, बाद वाला एक प्रेस्बिटेरियन मंत्री था। जाहिरा तौर पर, इन दो वैज्ञानिकों की एक निश्चित फॉर्च्यून के बारे में राय की भ्रांति को साबित करने की इच्छा, अपने पसंदीदा को शुभकामनाएं देते हुए, इस क्षेत्र में शोध को प्रोत्साहन दिया। आख़िरकार, वास्तव में, मौका का कोई भी खेल, अपनी जीत और हार के साथ, गणितीय सिद्धांतों की एक सिम्फनी मात्र है।

शेवेलियर डी मेर के उत्साह के लिए धन्यवाद, जो समान रूप से एक जुआरी और एक ऐसा व्यक्ति था जो विज्ञान के प्रति उदासीन नहीं था, पास्कल को संभाव्यता की गणना करने का एक तरीका खोजने के लिए मजबूर होना पड़ा। डी मेरे को इस प्रश्न में दिलचस्पी थी: "आपको कितनी बार जोड़े में दो पासे फेंकने की ज़रूरत है ताकि 12 अंक प्राप्त करने की संभावना 50% से अधिक हो जाए?"। दूसरा प्रश्न जिसमें सज्जन की अत्यधिक रुचि थी: "अधूरे खेल में प्रतिभागियों के बीच दांव को कैसे विभाजित किया जाए?" बेशक, पास्कल ने डे मेरे के दोनों सवालों का सफलतापूर्वक उत्तर दिया, जो संभाव्यता के सिद्धांत के विकास के अनजाने सर्जक बन गए। दिलचस्प बात यह है कि डे मेरे का व्यक्तित्व साहित्य में नहीं, बल्कि इसी क्षेत्र में जाना जाता रहा।

इससे पहले, किसी भी गणितज्ञ ने घटनाओं की संभावनाओं की गणना करने का प्रयास नहीं किया था, क्योंकि यह माना जाता था कि यह केवल एक अनुमान समाधान था। ब्लेज़ पास्कल ने किसी घटना की संभाव्यता की पहली परिभाषा दी और दिखाया कि यह एक विशिष्ट आंकड़ा है जिसे गणितीय रूप से उचित ठहराया जा सकता है। संभाव्यता सिद्धांत सांख्यिकी का आधार बन गया है और आधुनिक विज्ञान में इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

यादृच्छिकता क्या है

यदि हम एक ऐसे परीक्षण पर विचार करें जिसे अनंत बार दोहराया जा सकता है, तो हम एक यादृच्छिक घटना को परिभाषित कर सकते हैं। यह अनुभव के संभावित परिणामों में से एक है।

अनुभव निरंतर परिस्थितियों में विशिष्ट कार्यों का कार्यान्वयन है।

अनुभव के परिणामों के साथ काम करने में सक्षम होने के लिए, घटनाओं को आमतौर पर ए, बी, सी, डी, ई ... अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है।

एक यादृच्छिक घटना की संभावना

संभाव्यता के गणितीय भाग की ओर आगे बढ़ने में सक्षम होने के लिए, इसके सभी घटकों को परिभाषित करना आवश्यक है।

किसी घटना की संभावना किसी अनुभव के परिणामस्वरूप किसी घटना (ए या बी) के घटित होने की संभावना का एक संख्यात्मक माप है। प्रायिकता को P(A) या P(B) के रूप में दर्शाया जाता है।

संभाव्यता सिद्धांत है:

• भरोसेमंदप्रयोग के परिणामस्वरूप घटना घटित होने की गारंटी है Р(Ω) = 1;
• असंभवघटना कभी घटित नहीं हो सकती Р(Ø) = 0;
• अनियमितघटना निश्चित और असंभव के बीच होती है, अर्थात, इसके घटित होने की संभावना संभव है, लेकिन इसकी गारंटी नहीं है (यादृच्छिक घटना की संभावना हमेशा 0≤P(A)≤1 के भीतर होती है)।

घटनाओं के बीच संबंध

घटनाओं के एक और योग ए + बी दोनों पर विचार किया जाता है जब घटना को कम से कम एक घटक, ए या बी, या दोनों - ए और बी के कार्यान्वयन में गिना जाता है।

एक दूसरे के संबंध में, घटनाएँ हो सकती हैं:

• उतना ही संभव है.
• अनुकूल।
• असंगत.
• विपरीत (परस्पर अनन्य)।
• आश्रित।

यदि दो घटनाएँ समान संभावना के साथ घटित हो सकती हैं, तो वे समान रूप से संभव.

यदि घटना A के घटित होने से घटना B के घटित होने की संभावना समाप्त नहीं होती है, तो वे अनुकूल।

यदि घटनाएँ A और B एक ही प्रयोग में एक ही समय में कभी नहीं घटित होती हैं, तो उन्हें कहा जाता है असंगत. सिक्का उछालना एक अच्छा उदाहरण है: पट आना स्वचालित रूप से चित्त नहीं आना है।

ऐसी असंगत घटनाओं के योग की संभावना में प्रत्येक घटना की संभावनाओं का योग शामिल होता है:

पी(ए+बी)=पी(ए)+पी(बी)

यदि एक घटना का घटित होना दूसरी घटना के घटित होने को असंभव बना देता है, तो उन्हें विपरीत कहा जाता है। फिर उनमें से एक को ए के रूप में नामित किया गया है, और दूसरे को - Ā ("ए नहीं" के रूप में पढ़ें)। घटना A के घटित होने का अर्थ है कि Ā घटित नहीं हुआ। ये दो घटनाएँ 1 के बराबर संभावनाओं के योग के साथ एक पूर्ण समूह बनाती हैं।

आश्रित घटनाएँ परस्पर प्रभाव डालती हैं, एक-दूसरे की संभावना को घटाती या बढ़ाती हैं।

घटनाओं के बीच संबंध. उदाहरण

संभाव्यता सिद्धांत के सिद्धांतों और घटनाओं के संयोजन को उदाहरणों का उपयोग करके समझना बहुत आसान है।

जो प्रयोग किया जाएगा वह गेंदों को बॉक्स से बाहर निकालना है, और प्रत्येक प्रयोग का परिणाम एक प्रारंभिक परिणाम है।

एक घटना एक अनुभव के संभावित परिणामों में से एक है - एक लाल गेंद, एक नीली गेंद, छह नंबर वाली एक गेंद, आदि।

टेस्ट नंबर 1. 6 गेंदें हैं, जिनमें से तीन विषम संख्या वाली नीली हैं, और अन्य तीन सम संख्या वाली लाल हैं।

टेस्ट नंबर 2. एक से छह तक संख्याओं वाली 6 नीली गेंदें हैं।

इस उदाहरण के आधार पर, हम संयोजनों को नाम दे सकते हैं:

• विश्वसनीय घटना.स्पेनिश में नंबर 2, घटना "नीली गेंद प्राप्त करें" विश्वसनीय है, क्योंकि इसके घटित होने की संभावना 1 है, क्योंकि सभी गेंदें नीली हैं और कोई छूट नहीं सकती। जबकि घटना "नंबर 1 के साथ गेंद प्राप्त करें" यादृच्छिक है।
• असंभव घटना.स्पेनिश में नीली और लाल गेंदों के साथ नंबर 1, घटना "बैंगनी गेंद प्राप्त करें" असंभव है, क्योंकि इसके घटित होने की संभावना 0 है।
• समतुल्य घटनाएँ.स्पेनिश में नंबर 1, घटनाएँ "नंबर 2 के साथ गेंद प्राप्त करें" और "नंबर 3 के साथ गेंद प्राप्त करें" समान रूप से संभावित हैं, और घटनाएँ "सम संख्या के साथ गेंद प्राप्त करें" और "नंबर 2 के साथ गेंद प्राप्त करें" "अलग-अलग संभावनाएँ हैं।
• संगत घटनाएँ.लगातार दो बार पासा फेंकने की प्रक्रिया में छक्का प्राप्त करना सुसंगत घटनाएँ हैं।
• असंगत घटनाएँ.उसी स्पैनिश में नंबर 1 इवेंट "लाल गेंद प्राप्त करें" और "विषम संख्या वाली गेंद प्राप्त करें" को एक ही अनुभव में नहीं जोड़ा जा सकता है।
• विपरीत घटनाएँ.इसका सबसे उल्लेखनीय उदाहरण सिक्का उछालना है, जहां चित निकालना, पट नहीं निकालने के समान है, और उनकी संभावनाओं का योग हमेशा 1 (पूर्ण समूह) होता है।
• आश्रित घटनाएँ. तो, स्पेनिश में नंबर 1, आप अपने लिए लगातार दो बार लाल गेंद निकालने का लक्ष्य निर्धारित कर सकते हैं। पहली बार इसे निकालने या न निकालने से दूसरी बार इसे निकालने की संभावना प्रभावित होती है।

यह देखा जा सकता है कि पहली घटना दूसरे (40% और 60%) की संभावना को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करती है।

घटना संभाव्यता सूत्र

भाग्य बताने से लेकर सटीक डेटा तक का परिवर्तन विषय को गणितीय स्तर पर स्थानांतरित करने से होता है। अर्थात्, "उच्च संभावना" या "न्यूनतम संभावना" जैसी यादृच्छिक घटना के बारे में निर्णयों को विशिष्ट संख्यात्मक डेटा में अनुवादित किया जा सकता है। ऐसी सामग्री का मूल्यांकन, तुलना और अधिक जटिल गणनाओं में परिचय करना पहले से ही अनुमत है।

गणना के दृष्टिकोण से, किसी घटना की संभावना की परिभाषा किसी विशेष घटना के संबंध में अनुभव के सभी संभावित परिणामों की संख्या के लिए प्राथमिक सकारात्मक परिणामों की संख्या का अनुपात है। संभाव्यता को पी (ए) द्वारा दर्शाया जाता है, जहां पी का अर्थ "संभावना" शब्द है, जिसका फ्रांसीसी से अनुवाद "संभावना" के रूप में किया जाता है।

तो, किसी घटना की संभावना का सूत्र है:

जहाँ m घटना A के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या है, n इस अनुभव के सभी संभावित परिणामों का योग है। किसी घटना की प्रायिकता सदैव 0 और 1 के बीच होती है:

0 ≤ पी(ए) ≤ 1.

किसी घटना की संभाव्यता की गणना. उदाहरण

आइए स्पैनिश लें। गेंदों के साथ नंबर 1, जिसका वर्णन पहले किया गया है: 1/3/5 नंबर वाली 3 नीली गेंदें और 2/4/6 नंबर वाली 3 लाल गेंदें।

इस परीक्षण के आधार पर, कई अलग-अलग कार्यों पर विचार किया जा सकता है:

• ए - लाल गेंद का गिरना। 3 लाल गेंदें हैं, और कुल 6 प्रकार हैं। यह सबसे सरल उदाहरण है, जिसमें किसी घटना की संभावना P(A)=3/6=0.5 है।
• बी - एक सम संख्या छोड़ना। कुल 3 (2,4,6) सम संख्याएँ हैं, और संभावित संख्यात्मक विकल्पों की कुल संख्या 6 है। इस घटना की संभावना P(B)=3/6=0.5 है।
• C - 2 से बड़ी संख्या का नुकसान। संभावित परिणामों की कुल संख्या में से 4 ऐसे विकल्प (3,4,5,6) हैं। 6. घटना C की संभावना P(C)=4/6= है 0.67.

जैसा कि गणना से देखा जा सकता है, घटना सी की संभावना अधिक है, क्योंकि संभावित सकारात्मक परिणामों की संख्या ए और बी की तुलना में अधिक है।

असंगत घटनाएँ

ऐसी घटनाएँ एक ही अनुभव में एक साथ प्रकट नहीं हो सकतीं। जैसा कि स्पेनिश में है नंबर 1, एक ही समय में नीली और लाल गेंद प्राप्त करना असंभव है। यानी आपको नीली या लाल गेंद मिल सकती है. उसी प्रकार, पासे में एक सम और एक विषम संख्या एक ही समय में नहीं आ सकती।

दो घटनाओं की प्रायिकता को उनके योग या गुणनफल की प्रायिकता माना जाता है। ऐसी घटनाओं ए + बी का योग एक घटना माना जाता है जिसमें एक घटना ए या बी की उपस्थिति होती है, और उनके एबी का उत्पाद - दोनों की उपस्थिति में होता है। उदाहरण के लिए, एक ही बार में दो पासों के फलक पर एक साथ दो छक्कों का दिखना।

कई घटनाओं का योग एक ऐसी घटना है जो उनमें से कम से कम एक के घटित होने का संकेत देती है। कई घटनाओं का उत्पाद उन सभी की संयुक्त घटना है।

संभाव्यता सिद्धांत में, एक नियम के रूप में, संघ "और" का उपयोग योग को दर्शाता है, संघ "या" - गुणन। उदाहरणों के साथ सूत्र आपको संभाव्यता सिद्धांत में जोड़ और गुणा के तर्क को समझने में मदद करेंगे।

असंगत घटनाओं के योग की प्रायिकता

यदि असंगत घटनाओं की संभावना पर विचार किया जाता है, तो घटनाओं के योग की संभावना उनकी संभावनाओं के योग के बराबर होती है:

पी(ए+बी)=पी(ए)+पी(बी)

उदाहरण के लिए: हम स्पेनिश में संभावना की गणना करते हैं। नीली और लाल गेंदों के साथ नंबर 1, 1 और 4 के बीच एक संख्या छोड़ देगा। हम एक क्रिया में नहीं, बल्कि प्राथमिक घटकों की संभावनाओं के योग से गणना करेंगे। तो, ऐसे प्रयोग में केवल 6 गेंदें या सभी संभावित परिणामों में से 6 हैं। शर्त को पूरा करने वाली संख्याएँ 2 और 3 हैं। संख्या 2 प्राप्त करने की संभावना 1/6 है, संख्या 3 प्राप्त करने की संभावना भी 1/6 है। 1 और 4 के बीच एक संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता है:

एक पूर्ण समूह की असंगत घटनाओं के योग की प्रायिकता 1 है।

इसलिए, यदि घन के साथ प्रयोग में हम सभी संख्याएँ प्राप्त करने की संभावनाओं को जोड़ते हैं, तो परिणामस्वरूप हमें एक प्राप्त होता है।

यह विपरीत घटनाओं के लिए भी सच है, उदाहरण के लिए, एक सिक्के के साथ प्रयोग में, जहां इसका एक पक्ष घटना ए है, और दूसरा विपरीत घटना ए है, जैसा कि ज्ञात है,

Р(А) + Р(Ā) = 1

असंगत घटनाएँ उत्पन्न होने की संभावना

एक अवलोकन में दो या दो से अधिक असंगत घटनाओं की घटना पर विचार करते समय संभावनाओं के गुणन का उपयोग किया जाता है। घटना A और B के एक ही समय में इसमें प्रकट होने की प्रायिकता उनकी संभावनाओं के गुणनफल के बराबर है, या:

पी(ए*बी)=पी(ए)*पी(बी)

उदाहरण के लिए, संभावना है कि में नंबर 1 दो प्रयासों के परिणामस्वरूप, एक नीली गेंद दो बार, बराबर दिखाई देगी

अर्थात्, उस घटना के घटित होने की संभावना जब गेंदों को निकालने के दो प्रयासों के परिणामस्वरूप केवल नीली गेंदें निकाली जाएंगी, 25% है। इस समस्या पर व्यावहारिक प्रयोग करना और देखना बहुत आसान है कि क्या वास्तव में ऐसा है।

संयुक्त आयोजन

घटनाओं को संयुक्त माना जाता है जब उनमें से एक की उपस्थिति दूसरे की उपस्थिति के साथ मेल खा सकती है। इस तथ्य के बावजूद कि वे संयुक्त हैं, स्वतंत्र घटनाओं की संभावना पर विचार किया जाता है। उदाहरण के लिए, दो पासे फेंकने पर परिणाम तब मिल सकता है जब अंक 6 उन दोनों पर पड़ता है। हालाँकि घटनाएँ एक ही समय में मेल खाती हैं और प्रकट होती हैं, वे एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं - केवल एक ही छक्का गिर सकता है, दूसरे पासे में कोई अंक नहीं है उस पर प्रभाव.

संयुक्त घटनाओं की प्रायिकता को उनके योग की प्रायिकता माना जाता है।

संयुक्त घटनाओं के योग की प्रायिकता. उदाहरण

घटनाओं ए और बी के योग की संभावना, जो एक दूसरे के संबंध में संयुक्त हैं, घटना की संभावनाओं के योग से उनके उत्पाद की संभावना के योग के बराबर है (अर्थात, उनका संयुक्त कार्यान्वयन):

आर जोड़. (ए + बी) = पी (ए) + पी (बी) - पी (एबी)

मान लें कि एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 0.4 है। फिर घटना ए - पहले प्रयास में लक्ष्य को मारना, बी - दूसरे में। ये घटनाएँ संयुक्त हैं, क्योंकि यह संभव है कि पहले और दूसरे शॉट दोनों से लक्ष्य को भेदना संभव हो। लेकिन घटनाएँ निर्भर नहीं हैं. दो शॉट (कम से कम एक) से लक्ष्य को भेदने की घटना की प्रायिकता क्या है? सूत्र के अनुसार:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

प्रश्न का उत्तर है: "दो शॉट से लक्ष्य को भेदने की संभावना 64% है।"

किसी घटना की संभावना के लिए यह सूत्र असंगत घटनाओं पर भी लागू किया जा सकता है, जहां किसी घटना की संयुक्त घटना की संभावना पी (एबी) = 0. इसका मतलब है कि असंगत घटनाओं के योग की संभावना को एक विशेष मामला माना जा सकता है प्रस्तावित फार्मूले का.

स्पष्टता के लिए संभाव्यता ज्यामिति

दिलचस्प बात यह है कि संयुक्त घटनाओं के योग की संभावना को दो क्षेत्रों ए और बी के रूप में दर्शाया जा सकता है जो एक दूसरे के साथ प्रतिच्छेद करते हैं। जैसा कि आप चित्र से देख सकते हैं, उनके मिलन का क्षेत्रफल उनके प्रतिच्छेदन के क्षेत्रफल को घटाकर कुल क्षेत्रफल के बराबर है। यह ज्यामितीय व्याख्या प्रतीत होने वाले अतार्किक सूत्र को और अधिक समझने योग्य बनाती है। ध्यान दें कि संभाव्यता सिद्धांत में ज्यामितीय समाधान असामान्य नहीं हैं।

संयुक्त घटनाओं के एक सेट (दो से अधिक) के योग की संभावना की परिभाषा बल्कि बोझिल है। इसकी गणना करने के लिए, आपको उन सूत्रों का उपयोग करने की आवश्यकता है जो इन मामलों के लिए प्रदान किए गए हैं।

आश्रित घटनाएँ

आश्रित घटनाएँ कहलाती हैं यदि उनमें से एक (ए) की घटना दूसरे (बी) की घटना की संभावना को प्रभावित करती है। इसके अलावा, घटना ए के घटित होने और उसके घटित न होने दोनों के प्रभाव को ध्यान में रखा जाता है। हालाँकि परिभाषा के अनुसार घटनाओं को आश्रित कहा जाता है, उनमें से केवल एक ही आश्रित है (बी)। सामान्य संभाव्यता को पी(बी) या स्वतंत्र घटनाओं की संभावना के रूप में दर्शाया गया था। आश्रितों के मामले में, एक नई अवधारणा पेश की गई है - सशर्त संभाव्यता पी ए (बी), जो इस शर्त के तहत आश्रित घटना बी की संभावना है कि घटना ए (परिकल्पना) घटित हुई है, जिस पर यह निर्भर करता है।

लेकिन घटना ए भी यादृच्छिक है, इसलिए इसकी भी संभावना है कि गणना में इसे ध्यान में रखा जाना चाहिए। निम्नलिखित उदाहरण दिखाएगा कि आश्रित घटनाओं और एक परिकल्पना के साथ कैसे काम किया जाए।

आश्रित घटनाओं की संभावना की गणना का उदाहरण

आश्रित घटनाओं की गणना के लिए एक अच्छा उदाहरण कार्डों का एक मानक डेक है।

36 कार्डों के डेक के उदाहरण पर, आश्रित घटनाओं पर विचार करें। इस संभावना को निर्धारित करना आवश्यक है कि डेक से निकाला गया दूसरा कार्ड डायमंड सूट होगा, यदि निकाला गया पहला कार्ड है:

1. तंबूरा।
2. एक और सूट.

जाहिर है, दूसरी घटना बी की संभावना पहले ए पर निर्भर करती है। इसलिए, यदि पहला विकल्प सत्य है, जो डेक में 1 कार्ड (35) और 1 हीरा (8) कम है, तो घटना बी की संभावना:

पी ए (बी) = 8/35 = 0.23

यदि दूसरा विकल्प सत्य है, तो डेक में 35 कार्ड हैं, और टैम्बोरिन की कुल संख्या (9) अभी भी संरक्षित है, तो निम्नलिखित घटना की संभावना बी है:

पी ए (बी) = 9/35 = 0.26।

यह देखा जा सकता है कि यदि घटना ए इस तथ्य पर सशर्त है कि पहला कार्ड एक हीरा है, तो घटना बी की संभावना कम हो जाती है, और इसके विपरीत।

आश्रित घटनाओं का गुणन

पिछले अध्याय के आधार पर, हम पहली घटना (ए) को एक तथ्य के रूप में स्वीकार करते हैं, लेकिन संक्षेप में, इसका एक यादृच्छिक चरित्र है। इस घटना की प्रायिकता, अर्थात् ताश के पत्तों से टैम्बोरिन का निकलना, बराबर है:

पी(ए) = 9/36=1/4

चूँकि सिद्धांत स्वयं अस्तित्व में नहीं है, बल्कि व्यावहारिक उद्देश्यों की पूर्ति के लिए कहा जाता है, यह ध्यान रखना उचित है कि सबसे अधिक बार निर्भर घटनाओं के उत्पादन की संभावना की आवश्यकता होती है।

आश्रित घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद पर प्रमेय के अनुसार, संयुक्त रूप से निर्भर घटनाओं ए और बी की घटना की संभावना एक घटना ए की संभावना के बराबर है, घटना बी की सशर्त संभावना से गुणा (ए के आधार पर):

पी (एबी) = पी (ए) * पी ए (बी)

फिर एक डेक वाले उदाहरण में, हीरे के एक सूट के साथ दो कार्ड निकालने की संभावना है:

9/36*8/35=0.0571 या 5.7%

और पहले हीरे नहीं, और फिर हीरे निकालने की संभावना बराबर है:

27/36*9/35=0.19 या 19%

यह देखा जा सकता है कि घटना बी के घटित होने की संभावना अधिक है, बशर्ते कि हीरे के अलावा किसी अन्य सूट का कार्ड पहले निकाला जाए। यह परिणाम काफी तार्किक और समझने योग्य है।

किसी घटना की कुल संभावना

जब सशर्त संभावनाओं वाली कोई समस्या बहुआयामी हो जाती है, तो इसकी गणना पारंपरिक तरीकों से नहीं की जा सकती। जब दो से अधिक परिकल्पनाएँ होती हैं, अर्थात् A1, A2, ..., A n, .. तो स्थिति के तहत घटनाओं का एक पूरा समूह बनता है:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• ए आई ∩ ए जे =Ø,आई≠जे.
• Σ क ए क =Ω.

तो, यादृच्छिक घटनाओं A1, A2, ..., A n के पूरे समूह के साथ घटना B की कुल संभाव्यता का सूत्र है:

भविष्य पर एक नजर

एक यादृच्छिक घटना की संभावना विज्ञान के कई क्षेत्रों में आवश्यक है: अर्थमिति, सांख्यिकी, भौतिकी, आदि। चूंकि कुछ प्रक्रियाओं को नियतात्मक रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि वे स्वयं संभाव्य हैं, इसलिए काम के विशेष तरीकों की आवश्यकता होती है। किसी घटना सिद्धांत की संभाव्यता का उपयोग किसी भी तकनीकी क्षेत्र में किसी त्रुटि या खराबी की संभावना को निर्धारित करने के तरीके के रूप में किया जा सकता है।

यह कहा जा सकता है कि, संभाव्यता को पहचानकर, हम किसी तरह भविष्य में एक सैद्धांतिक कदम उठाते हैं, इसे सूत्रों के चश्मे से देखते हैं।

रूसी संघ के अध्यक्ष के अधीन राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था और सार्वजनिक सेवा की रूसी अकादमी

ओरेल शाखा

समाजशास्त्र और सूचना प्रौद्योगिकी विभाग

विशिष्ट गणना संख्या 1

अनुशासन में "संभावना सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी"

"संभावना सिद्धांत के मूल सिद्धांत" विषय पर

ईगल - 2016।

कार्य का लक्ष्य:विशिष्ट समस्याओं को हल करके संभाव्यता सिद्धांत की नींव के विषय पर सैद्धांतिक ज्ञान का समेकन। मुख्य प्रकार की यादृच्छिक घटनाओं की अवधारणाओं में महारत हासिल करना और घटनाओं पर बीजगणितीय संचालन के कौशल विकसित करना।

नौकरी प्रस्तुत करने की आवश्यकताएँ: कार्य हस्तलिखित रूप में किया जाता है, कार्य में सभी आवश्यक स्पष्टीकरण और निष्कर्ष शामिल होने चाहिए, सूत्रों में स्वीकृत पदनामों का डिकोडिंग होना चाहिए, पृष्ठों को क्रमांकित किया जाना चाहिए।

भिन्न संख्या समूह सूची में छात्र के क्रमांक से मेल खाता है।

बुनियादी सैद्धांतिक जानकारी

सिद्धांत संभावना- गणित की एक शाखा जो यादृच्छिक घटनाओं के पैटर्न का अध्ययन करती है।

किसी घटना की अवधारणा. घटना वर्गीकरण.

संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाओं में से एक घटना की अवधारणा है। घटनाओं को बड़े लैटिन अक्षरों में दर्शाया गया है। ए, में, साथ,…

आयोजन- यह किसी परीक्षण या अनुभव का संभावित परिणाम (परिणाम) है।

परीक्षण को किसी भी उद्देश्यपूर्ण कार्रवाई के रूप में समझा जाता है।

उदाहरण : निशानेबाज निशाने पर गोली चलाता है। गोली चलाना एक परीक्षण है, लक्ष्य को भेदना एक घटना है।

इवेंट कहा जाता है अनियमित , यदि किसी दिए गए प्रयोग की शर्तों के तहत यह घटित भी हो सकता है और घटित नहीं भी हो सकता है।

उदाहरण : बन्दूक से गोली चलना - परीक्षण

इंक ए- लक्ष्य पर प्रहार करना

इंक में- मिस - यादृच्छिक घटनाएँ।

इवेंट कहा जाता है भरोसेमंद यदि परीक्षण के परिणामस्वरूप यह आवश्यक रूप से घटित होना चाहिए।

उदाहरण : पासा फेंकते समय 6 अंक से अधिक न गिराएं।

इवेंट कहा जाता है असंभव यदि, दिए गए प्रयोग की शर्तों के तहत, यह बिल्कुल भी घटित नहीं हो सकता है।

उदाहरण : पासा फेंकते समय 6 से अधिक अंक लुढ़के।

घटनाओं को कहा जाता है असंगत यदि उनमें से एक की घटना किसी अन्य की घटना को रोकती है। अन्यथा, घटनाओं को संयुक्त कहा जाता है।

उदाहरण : एक पासा फेंका जाता है। 5 का रोल 6 के रोल को खत्म कर देता है। ये असंगत घटनाएँ हैं. एक छात्र को दो अलग-अलग विषयों में परीक्षा में "अच्छे" और "उत्कृष्ट" ग्रेड प्राप्त करना एक संयुक्त घटना है।

दो असंगत घटनाएँ, जिनमें से एक अवश्य घटित होनी चाहिए, कहलाती हैं विलोम . घटना के विपरीत घटना एनामित Ā .

उदाहरण : सिक्का उछालते समय "कोट ऑफ आर्म्स" का दिखना और "टेल्स" का दिखना विपरीत घटनाएं हैं।

इस अनुभव में कई घटनाओं को कहा जाता है समान रूप से संभव यदि यह मानने का कारण है कि इनमें से कोई भी घटना अन्य की तुलना में अधिक संभव नहीं है।

उदाहरण : ताश के पत्तों से इक्के, दहाई, रानियाँ निकालना - घटनाएँ समान रूप से संभावित हैं।

अनेक घटनाएँ बनती हैं पूरा समूह यदि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, इनमें से एक और केवल एक घटना अनिवार्य रूप से घटित होनी चाहिए।

उदाहरण : पासा फेंकते समय अंकों की संख्या 1, 2, 3, 4, 5, 6 गिराना।

किसी घटना की संभाव्यता की क्लासिक परिभाषा. संभाव्यता गुण

व्यावहारिक गतिविधियों के लिए, घटनाओं की उनके घटित होने की संभावना की डिग्री के अनुसार तुलना करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है।

संभावनाएक घटना किसी घटना के घटित होने की वस्तुनिष्ठ संभावना की डिग्री का एक संख्यात्मक माप है।

चलो कॉल करो प्रारंभिक परिणाम प्रत्येक समान रूप से संभावित परीक्षण परिणाम।

पलायन कहा जाता है अनुकूल (अनुकूल) घटना ए, यदि इसके घटित होने में किसी घटना का घटित होना शामिल हो ए.

क्लासिक परिभाषा : घटना की संभावना एकिसी घटना के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या और संभावित परिणामों की कुल संख्या के अनुपात के बराबर है।

(1)कहां पी(ए) किसी घटना की प्रायिकता है ए,

एम- अनुकूल परिणामों की संख्या,

एनसभी संभावित परिणामों की संख्या है.

उदाहरण : लॉटरी में 1000 टिकट हैं, जिनमें से 700 टिकटें जीत नहीं रही हैं। खरीदे गए एक टिकट पर जीतने की संभावना क्या है?

आयोजन ए- एक विजयी टिकट खरीदा

संभावित परिणामों की संख्या एन=1000 लॉटरी टिकटों की कुल संख्या है।

घटना के पक्ष में परिणामों की संख्या एजीतने वाले टिकटों की संख्या है, यानी, एम=1000-700=300.

संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार:

उत्तर:
.

टिप्पणी घटना संभाव्यता गुण:

1) किसी भी घटना की प्रायिकता शून्य से एक के बीच होती है, अर्थात। 0≤ पी(ए)≤1.

2) एक निश्चित घटना की संभावना 1 है।

3) एक असंभव घटना की संभावना 0 है।

शास्त्रीय के अलावा, संभाव्यता की ज्यामितीय और सांख्यिकीय परिभाषाएँ भी हैं।

कॉम्बिनेटरिक्स के तत्व.

प्रश्नगत घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या या परिणामों की कुल संख्या की गणना करने के लिए कॉम्बिनेटरिक्स फ़ार्मुलों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

एक सेट हो जाए एनसे एनविभिन्न तत्व.

परिभाषा 1: संयोजन, जिनमें से प्रत्येक में सभी शामिल हैं एनतत्व और जो केवल तत्वों के क्रम से एक दूसरे से भिन्न होते हैं, कहलाते हैं क्रमपरिवर्तन से एनतत्व.

पी एन=एन! (2), कहाँ एन! (एन-फैक्टोरियल) - उत्पाद एनप्राकृतिक श्रृंखला की पहली संख्याएँ, अर्थात्

एन! = 1∙2∙3∙…∙(एन–1)∙एन

तो, उदाहरण के लिए, 5!=1∙2∙3∙4∙5 = 120

परिभाषा 2: एमतत्व ( एम≤एन) और तत्वों की संरचना या उनके क्रम में एक दूसरे से भिन्न कहलाते हैं प्लेसमेंट से एनद्वारा एमतत्व.

(3) 
परिभाषा 3: संयोजन, प्रत्येक युक्त एमतत्व ( एम≤एन) तथा केवल संघटन में एक दूसरे से भिन्न तत्वों को कहा जाता है युग्म से एनद्वारा एमतत्व.

(4)
टिप्पणी:एक ही संयोजन में तत्वों का क्रम बदलने से नया संयोजन नहीं बनता है।

हम दो महत्वपूर्ण नियम बनाते हैं जिनका उपयोग अक्सर संयुक्त समस्याओं को हल करने में किया जाता है

योग नियम: यदि वस्तु एचुना जा सकता है एमतरीके, और वस्तु में – एनतरीके, तो विकल्प या तो है एया मेंहो सकता है एम+एनतौर तरीकों।

प्रॉडक्ट नियम: यदि वस्तु एचुना जा सकता है एमतरीके, और वस्तु मेंऐसे प्रत्येक विकल्प के बाद, कोई भी चुन सकता है एनतरीके, फिर वस्तुओं की एक जोड़ी एऔर मेंउस क्रम में चयन किया जा सकता है. एम ∙ एनतौर तरीकों।

संभाव्यता एक निश्चित संख्या में दोहराव वाली घटना की संभावना को दर्शाती है। यह एक या अधिक परिणामों वाले संभावित परिणामों की संख्या को संभावित घटनाओं की कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त संख्या है। कई घटनाओं की संभावना की गणना समस्या को अलग-अलग संभावनाओं में विभाजित करके और फिर इन संभावनाओं को गुणा करके की जाती है।

कदम

एकल यादृच्छिक घटना की संभावना

1. परस्पर अनन्य परिणामों वाला एक ईवेंट चुनें।संभाव्यता की गणना केवल तभी की जा सकती है जब प्रश्न में घटना घटित होती है या घटित नहीं होती है। किसी भी घटना और विपरीत परिणाम का एक ही समय में प्राप्त होना असंभव है। ऐसी घटनाओं का एक उदाहरण गेम पासे पर 5 का रोल करना या किसी रेस में एक निश्चित घोड़े को जीतना है। पांच या तो आएंगे या नहीं; एक निश्चित घोड़ा या तो पहले आएगा या नहीं।

   • उदाहरण के लिए, ऐसी घटना की संभावना की गणना करना असंभव है: पासे के एक रोल में, 5 और 6 एक ही समय में रोल करेंगे।

2. घटित होने वाली सभी संभावित घटनाओं और परिणामों की पहचान करें।मान लीजिए कि हमें इस संभावना को निर्धारित करने की आवश्यकता है कि जब 6 अंकों वाला एक पासा फेंका जाएगा तो एक प्रकार का तीन आएगा। "एक तरह की तीन" एक घटना है, और चूँकि हम जानते हैं कि 6 में से कोई भी संख्या सामने आ सकती है, संभावित परिणामों की संख्या छह है। इस प्रकार, हम जानते हैं कि इस मामले में 6 संभावित परिणाम और एक घटना है जिसकी संभावना हम निर्धारित करना चाहते हैं। नीचे दो और उदाहरण हैं.

   • उदाहरण 1. इस मामले में, घटना "सप्ताहांत पर पड़ने वाले दिन का चयन" है, और संभावित परिणामों की संख्या सप्ताह के दिनों की संख्या के बराबर है, यानी सात।
   • उदाहरण 2. घटना "लाल गेंद खींचो" है, और संभावित परिणामों की संख्या गेंदों की कुल संख्या के बराबर है, यानी बीस।

3. घटनाओं की संख्या को संभावित परिणामों की संख्या से विभाजित करें।इस तरह आप किसी एक घटना की संभावना निर्धारित करते हैं। यदि हम पासे के रोल पर 3 के मामले पर विचार करते हैं, तो घटनाओं की संख्या 1 है (तीन केवल पासे के एक तरफ है), और परिणामों की कुल संख्या 6 है। परिणाम 1/6 का अनुपात है, 0.166, या 16.6%। उपरोक्त दो उदाहरणों के लिए किसी घटना की प्रायिकता इस प्रकार पाई जाती है:

   • उदाहरण 1. इसकी क्या प्रायिकता है कि आप बेतरतीब ढंग से सप्ताहांत पर पड़ने वाला दिन चुनेंगे?घटनाओं की संख्या 2 है, क्योंकि एक सप्ताह में दो दिन की छुट्टी है, और परिणामों की कुल संख्या 7 है। इस प्रकार, संभावना 2/7 है। प्राप्त परिणाम को 0.285 या 28.5% के रूप में भी लिखा जा सकता है।
   • उदाहरण 2. एक डिब्बे में 4 नीली, 5 लाल और 11 सफेद गेंदें हैं। यदि आप बॉक्स से एक यादृच्छिक गेंद निकालते हैं, तो इसकी क्या संभावना है कि वह लाल होगी?घटनाओं की संख्या 5 है, क्योंकि बॉक्स में 5 लाल गेंदें हैं, और परिणामों की कुल संख्या 20 है। संभावना ज्ञात करें: 5/20 = 1/4। प्राप्त परिणाम को 0.25 या 25% के रूप में भी लिखा जा सकता है।

4. सभी संभावित घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ें और देखें कि क्या कुल 1 है।सभी संभावित घटनाओं की कुल संभावना 1, या 100% होनी चाहिए। यदि आप 100% प्राप्त नहीं करते हैं, तो संभावना है कि आपने गलती की है और एक या अधिक संभावित घटनाओं से चूक गए हैं। अपनी गणनाओं की जाँच करें और सुनिश्चित करें कि आप सभी संभावित परिणामों का हिसाब रखते हैं।

   • उदाहरण के लिए, पासा उछालने पर 3 लुढ़कने की प्रायिकता 1/6 है। इस स्थिति में, शेष पांच में से किसी अन्य संख्या के निकलने की संभावना भी 1/6 के बराबर है। परिणामस्वरूप, हमें 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, यानी 100% मिलता है।
   • यदि, उदाहरण के लिए, आप पासे पर संख्या 4 के बारे में भूल जाते हैं, तो संभावनाओं को जोड़ने पर आपको केवल 5/6, या 83% मिलेगा, जो एक के बराबर नहीं है और एक त्रुटि को इंगित करता है।

5. असंभव परिणाम की प्रायिकता को 0 के रूप में व्यक्त करें।इसका मतलब यह है कि दी गई घटना घटित नहीं हो सकती है और इसकी संभावना 0 है। इस तरह आप असंभव घटनाओं का हिसाब लगा सकते हैं।

   • उदाहरण के लिए, यदि आप इस संभावना की गणना कर रहे हैं कि 2020 में ईस्टर सोमवार को पड़ेगा, तो आपको 0 मिलेगा, क्योंकि ईस्टर हमेशा रविवार को मनाया जाता है।

   कई यादृच्छिक घटनाओं की संभावना

   1. स्वतंत्र घटनाओं पर विचार करते समय, प्रत्येक संभावना की अलग से गणना करें।एक बार जब आप यह निर्धारित कर लेते हैं कि घटनाओं की संभावनाएँ क्या हैं, तो उनकी गणना अलग से की जा सकती है। मान लीजिए कि हम एक पासे को लगातार दो बार 5 से उछालने की प्रायिकता जानना चाहते हैं। हम जानते हैं कि एक पासे को 5 से घुमाने की प्रायिकता 1/6 है, और दूसरे पाँच को उछालने की प्रायिकता भी 1/6 है। पहला परिणाम दूसरे से संबंधित नहीं है.

      • फाइव के कई रोल बुलाए जाते हैं स्वतंत्र घटनाएँ, क्योंकि पहली बार जो घटित होता है उसका दूसरी घटना पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता।

   2. आश्रित घटनाओं की संभावना की गणना करते समय पिछले परिणामों के प्रभाव पर विचार करें।यदि पहली घटना दूसरे परिणाम की संभावना को प्रभावित करती है, तो संभावना की गणना करना कहा जाता है आश्रित घटनाएँ. उदाहरण के लिए, यदि आप 52 पत्तों की गड्डी में से दो पत्ते चुनते हैं, तो पहला पत्ता निकलने के बाद, गड्डी की संरचना बदल जाती है, जो दूसरे पत्ते के चयन को प्रभावित करती है। दो आश्रित घटनाओं में से दूसरे की संभावना की गणना करने के लिए, दूसरी घटना की संभावना की गणना करते समय संभावित परिणामों की संख्या से 1 घटाएं।

      • उदाहरण 1. निम्नलिखित घटना पर विचार करें: डेक से एक के बाद एक यादृच्छिक रूप से दो कार्ड निकाले जाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों कार्डों में क्लब सूट होगा?पहले कार्ड में क्लब सूट होने की प्रायिकता 13/52 या 1/4 है, क्योंकि डेक में एक ही सूट के 13 कार्ड हैं।
        • उसके बाद, दूसरा कार्ड क्लब सूट होने की संभावना 12/51 है, क्योंकि अब एक भी क्लब कार्ड नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि पहली घटना दूसरी को प्रभावित करती है। यदि आप 3 क्लब निकालते हैं और उसे वापस नहीं रखते हैं, तो डेक में एक कार्ड कम हो जाएगा (52 के बजाय 51)।
      • उदाहरण 2. एक डिब्बे में 4 नीली, 5 लाल और 11 सफेद गेंदें हैं। यदि तीन गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि पहली लाल, दूसरी नीली और तीसरी सफेद है?
        • पहली गेंद के लाल होने की प्रायिकता 5/20 या 1/4 है। दूसरी गेंद के नीले होने की प्रायिकता 4/19 है, क्योंकि बॉक्स में एक गेंद कम बची है, लेकिन फिर भी 4 नीलागेंद। अंत में, तीसरी गेंद के सफेद होने की संभावना 11/18 है क्योंकि हम पहले ही दो गेंदें निकाल चुके हैं।

   3. प्रत्येक व्यक्तिगत घटना की संभावनाओं को गुणा करें।भले ही आप स्वतंत्र या आश्रित घटनाओं के साथ-साथ परिणामों की संख्या (2, 3 या 10 भी हो सकते हैं) से निपट रहे हों, आप सभी घटनाओं की संभावनाओं को एक-दूसरे से गुणा करके समग्र संभावना की गणना कर सकते हैं। . परिणामस्वरूप, आपको निम्नलिखित कई घटनाओं की प्रायिकता प्राप्त होगी एक क. उदाहरण के लिए, कार्य है एक पासे को लगातार दो बार 5 से घुमाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।. ये दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं, जिनमें से प्रत्येक की प्रायिकता 1/6 है। इस प्रकार, दोनों घटनाओं की संभावना 1/6 x 1/6 = 1/36 है, अर्थात 0.027, या 2.7%।

      • उदाहरण 1. डेक से एक के बाद एक यादृच्छिक रूप से दो कार्ड निकाले जाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों कार्डों में क्लब सूट होगा?पहली घटना की प्रायिकता 13/52 है। दूसरी घटना की प्रायिकता 12/51 है। हम कुल संभावना पाते हैं: 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17, यानी 0.058, या 5.8%।
      • उदाहरण 2. एक डिब्बे में 4 नीली, 5 लाल और 11 सफेद गेंदें हैं। यदि बक्से से एक के बाद एक यादृच्छिक रूप से तीन गेंदें निकाली जाती हैं, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि पहली लाल, दूसरी नीली और तीसरी सफेद है?पहली घटना की प्रायिकता 5/20 है। दूसरी घटना की प्रायिकता 4/19 है। तीसरी घटना की प्रायिकता 11/18 है। तो कुल संभावना 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0.032, या 3.2% है।

व्यावहारिक गतिविधि के लिए, घटनाओं की उनके घटित होने की संभावना की डिग्री के अनुसार तुलना करने में सक्षम होना आवश्यक है। आइए शास्त्रीय मामले पर विचार करें। एक कलश में 10 गेंदें हैं, जिनमें से 8 सफेद और 2 काली हैं। जाहिर है, घटना "कलश से एक सफेद गेंद निकाली जाएगी" और घटना "कलश से एक काली गेंद निकाली जाएगी" के घटित होने की संभावना अलग-अलग है। इसलिए, घटनाओं की तुलना करने के लिए एक निश्चित मात्रात्मक माप की आवश्यकता होती है।

किसी घटना के घटित होने की संभावना का एक मात्रात्मक माप है संभावना . किसी घटना की संभाव्यता की दो परिभाषाएँ सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाती हैं: शास्त्रीय और सांख्यिकीय।

क्लासिक परिभाषासंभाव्यता अनुकूल परिणाम की धारणा से संबंधित है। आइए इस पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

मान लीजिए कि किसी परीक्षण के परिणाम घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं और समान रूप से संभावित होते हैं, अर्थात। विशिष्ट रूप से संभव, असंगत और समान रूप से संभव हैं। ऐसे परिणाम कहलाते हैं प्रारंभिक परिणाम, या मामलों. ऐसा कहा जाता है कि परीक्षण कम हो गया है केस चार्टया " कलश योजना", क्योंकि ऐसे परीक्षण के लिए किसी भी संभाव्य समस्या को विभिन्न रंगों के कलशों और गेंदों वाली समतुल्य समस्या से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

पलायन कहा जाता है अनुकूलआयोजन एयदि इस मामले के घटित होने में घटना का घटित होना शामिल है ए.

शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार घटना की संभावना ए इस घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या और परिणामों की कुल संख्या के अनुपात के बराबर है, अर्थात।

,

(1.1)

कहाँ पी(ए)- किसी घटना की संभावना ए; एम- घटना के अनुकूल मामलों की संख्या ए; एनमामलों की कुल संख्या है.

उदाहरण 1.1.पासा फेंकते समय छह परिणाम संभव हैं - 1, 2, 3, 4, 5, 6 अंक की हानि। सम संख्या में अंक प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

समाधान। सभी एन= 6 परिणाम घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं और समान रूप से संभावित होते हैं, अर्थात। विशिष्ट रूप से संभव, असंगत और समान रूप से संभव हैं। घटना ए - "सम संख्या में अंकों की उपस्थिति" - 3 परिणामों (मामलों) द्वारा समर्थित है - 2, 4 या 6 अंकों की हानि। किसी घटना की प्रायिकता के शास्त्रीय सूत्र के अनुसार हम प्राप्त करते हैं

पी(ए) = = . ◄

किसी घटना की संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा के आधार पर, हम इसके गुणों पर ध्यान देते हैं:

1. किसी भी घटना की प्रायिकता शून्य और एक के बीच होती है, अर्थात।

0 ≤ आर(ए) ≤ 1.

2. एक निश्चित घटना की प्रायिकता एक के बराबर होती है।

3. किसी असंभव घटना की प्रायिकता शून्य है।

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा केवल उन घटनाओं के लिए लागू होती है जो परीक्षणों के परिणामस्वरूप प्रकट हो सकती हैं जिनमें संभावित परिणामों की समरूपता होती है, अर्थात। मामलों की योजना को कम करने योग्य। हालाँकि, घटनाओं का एक बड़ा वर्ग है जिसकी संभावनाओं की गणना शास्त्रीय परिभाषा का उपयोग करके नहीं की जा सकती है।

उदाहरण के लिए, यदि हम मान लें कि सिक्का चपटा है, तो यह स्पष्ट है कि घटनाओं "हथियारों के कोट की उपस्थिति" और "पूंछ की उपस्थिति" को समान रूप से संभव नहीं माना जा सकता है। इसलिए, शास्त्रीय योजना के अनुसार संभाव्यता निर्धारित करने का सूत्र इस मामले में लागू नहीं है।

हालाँकि, घटनाओं की संभावना का आकलन करने का एक और तरीका है, जो इस बात पर आधारित होता है कि किए गए परीक्षणों में कोई घटना कितनी बार घटित होगी। इस मामले में, संभाव्यता की सांख्यिकीय परिभाषा का उपयोग किया जाता है।

सांख्यिकीय संभाव्यताघटना ए प्रदर्शन किए गए एन परीक्षणों में इस घटना की घटना की सापेक्ष आवृत्ति (आवृत्ति) है, यानी।

,

(1.2)

कहाँ आर * (ए)किसी घटना की सांख्यिकीय संभावना है ए; वा)घटना की सापेक्ष आवृत्ति है ए; एमउन परीक्षणों की संख्या है जिनमें घटना घटित हुई ए; एनपरीक्षणों की कुल संख्या है.

गणितीय संभाव्यता के विपरीत पी(ए)शास्त्रीय परिभाषा में, सांख्यिकीय संभाव्यता पर विचार किया जाता है आर * (ए)एक विशेषता है अनुभव, प्रयोगात्मक. दूसरे शब्दों में, किसी घटना की सांख्यिकीय संभावना एवह संख्या कहलाती है जिसके सापेक्ष सापेक्ष आवृत्ति स्थिर (स्थापित) होती है वा)समान परिस्थितियों में किए गए परीक्षणों की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ।

उदाहरण के लिए, जब वे एक निशानेबाज के बारे में कहते हैं कि वह 0.95 की संभावना के साथ एक लक्ष्य को मारता है, तो इसका मतलब है कि उसके द्वारा कुछ शर्तों (समान दूरी पर एक ही लक्ष्य, एक ही राइफल, आदि) के तहत फायर किए गए सौ में से एक शॉट। ), औसतन लगभग 95 सफल हैं। स्वाभाविक रूप से, हर सौ में 95 सफल शॉट नहीं होंगे, कभी-कभी कम होंगे, कभी-कभी अधिक, लेकिन औसतन, समान परिस्थितियों में शूटिंग की बार-बार पुनरावृत्ति के साथ, हिट का यह प्रतिशत अपरिवर्तित रहेगा। संख्या 0.95, जो निशानेबाज के कौशल के संकेतक के रूप में कार्य करती है, आमतौर पर बहुत होती है स्थिर, अर्थात। अधिकांश शूटिंग में हिट का प्रतिशत किसी दिए गए शूटर के लिए लगभग समान होगा, केवल दुर्लभ मामलों में इसके औसत मूल्य से किसी भी महत्वपूर्ण तरीके से विचलन होगा।

संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा का एक और नुकसान ( 1.1 ), जो इसके अनुप्रयोग को सीमित करता है वह यह है कि यह संभावित परीक्षण परिणामों की एक सीमित संख्या मानता है। कुछ मामलों में, संभाव्यता की ज्यामितीय परिभाषा का उपयोग करके इस कमी को दूर किया जा सकता है, अर्थात। एक निश्चित क्षेत्र (खंड, विमान का हिस्सा, आदि) में एक बिंदु से टकराने की संभावना का पता लगाना।

चलो एक सपाट आंकड़ा जीएक सपाट आकृति का हिस्सा बनता है जी(चित्र 1.1)। चित्र पर जीएक बिंदु यादृच्छिक रूप से फेंका जाता है। इसका मतलब है कि क्षेत्र के सभी बिंदु जीएक फेंके गए यादृच्छिक बिंदु से इसे मारने के संबंध में "बराबर"। यह मानते हुए कि किसी घटना की प्रायिकता ए- किसी आकृति पर फेंके गए बिंदु को मारना जी- इस आकृति के क्षेत्रफल के समानुपाती और इसके सापेक्ष इसके स्थान पर निर्भर नहीं है जी, न रूप से जी, पाना