पीविद और उसके गुण

अंतराल (a; b) पर एक प्रतिअवकलन फलन f(x) एक ऐसा फलन F(x) है जो किसी दिए गए अंतराल से किसी भी x के लिए समानता रखता है।

यदि हम इस तथ्य को ध्यान में रखें कि स्थिरांक C का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, तो समानता . इस प्रकार, फ़ंक्शन f(x) में एक मनमाना स्थिरांक C के लिए प्रतिअवकलन F(x)+C का एक सेट होता है, और ये प्रतिअवकलज एक मनमाने स्थिरांक मान द्वारा एक दूसरे से भिन्न होते हैं।

आदिम के गुण.

यदि फलन F(x) अंतराल यह अंतराल.

यदि फ़ंक्शन F(x) अंतराल X=(a,b) पर फ़ंक्शन f(x) के लिए कुछ प्रतिअवकलन है, तो किसी भी अन्य प्रतिअवकलन F1(x) को F1(x) = F(x) + के रूप में दर्शाया जा सकता है C, जहाँ C, X पर एक स्थिर फलन है।

2 अनिश्चितकालीन अभिन्न की परिभाषा.

फलन f(x) के प्रतिअवकलन के पूरे समुच्चय को इस फलन का अनिश्चित समाकलन कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है .

अभिव्यक्ति को इंटीग्रैंड कहा जाता है, और f(x) को इंटीग्रैंड कहा जाता है। इंटीग्रैंड फ़ंक्शन f(x) का अंतर है।

किसी अज्ञात फ़ंक्शन को उसके दिए गए अंतर द्वारा खोजने की क्रिया को अनिश्चितकालीन एकीकरण कहा जाता है, क्योंकि एकीकरण का परिणाम एक फ़ंक्शन F(x) नहीं है, बल्कि इसके एंटीडेरिवेटिव्स F(x)+C का सेट है।

अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण (प्रतिअवकलन के गुण)।

एकीकरण परिणाम का व्युत्पन्न इंटीग्रैंड के बराबर है।

किसी फ़ंक्शन के अंतर का अनिश्चित अभिन्न अंग स्वयं फ़ंक्शन के योग और एक मनमाना स्थिरांक के बराबर होता है।

जहाँ k एक मनमाना स्थिरांक है। गुणांक को अनिश्चितकालीन अभिन्न के चिह्न से निकाला जा सकता है।

कार्यों के योग/अंतर का अनिश्चित समाकलन, कार्यों के अनिश्चित समाकलन के योग/अंतर के बराबर होता है।

अनिश्चित समाकलन में चर का परिवर्तन

परिवर्तनीय प्रतिस्थापनअनिश्चितकालीन अभिन्न अंग में दो प्रकार के प्रतिस्थापन का उपयोग करके किया जाता है:

ए) नए वेरिएबल टी का एक मोनोटोन, लगातार अलग-अलग कार्य कहां है। इस मामले में परिवर्तनीय प्रतिस्थापन सूत्र:

जहाँ U एक नया वेरिएबल है। इस प्रतिस्थापन के लिए परिवर्तनीय प्रतिस्थापन सूत्र:

भागों द्वारा एकीकरण

सूत्र द्वारा समाकलन ज्ञात करना भागों द्वारा एकीकरण कहा जाता है। यहाँ U=U(x), υ=υ(x) x के निरंतर भिन्न-भिन्न फलन हैं। इस सूत्र की मदद से, अभिन्न को ढूंढना दूसरे अभिन्न को खोजने के लिए कम हो जाता है; इसका उपयोग उन मामलों में समीचीन है जहां अंतिम अभिन्न या तो मूल से सरल है या उसके समान है।

इस मामले में, υ को एक ऐसा फ़ंक्शन माना जाता है जो विभेदन पर सरल बनाता है, और डीयू इंटीग्रैंड का वह हिस्सा है, जिसका इंटीग्रल ज्ञात है या पाया जा सकता है।

न्यूटन-लीबनिज सूत्र

ऊपरी सीमा के फलन के रूप में एक निश्चित अभिन्न की निरंतरता

यदि फ़ंक्शन y = f (x) खंड पर पूर्णांकित है, तो, जाहिर है, यह एक मनमाना खंड [ए, एक्स] में भी पूर्णांकित है। समारोह ,

जहाँ x О , को परिवर्तनीय ऊपरी सीमा वाला अभिन्न अंग कहा जाता है। बिंदु x पर फ़ंक्शन Ф (x) का मान खंड [a, x] पर वक्र y \u003d f (x) के तहत क्षेत्र S (x) के बराबर है। यह परिवर्तनशील ऊपरी सीमा वाले अभिन्न का ज्यामितीय अर्थ है।

प्रमेय. यदि फ़ंक्शन f(x) अंतराल पर निरंतर है, तो फ़ंक्शन Φ(x) भी [a, b] पर निरंतर है।

माना Δх ऐसा हो कि x + Δ x О . अपने पास

माध्य मान प्रमेय के अनुसार, н [x, x + Δ x] के साथ ऐसा मान होता है, क्योंकि н के साथ, और फ़ंक्शन f (x) परिबद्ध है, Δ x → 0 के रूप में सीमा तक गुजरते हुए, हम प्राप्त करते हैं

ओडीआर प्रथम क्रम

सजातीय अंतर समीकरण और अन्य प्रकार के DE के बीच क्या अंतर है? इसे एक ठोस उदाहरण के साथ तुरंत समझाना सबसे आसान है।

अवकल समीकरण हल करें

किसी भी प्रथम कोटि अवकल समीकरण को हल करते समय सबसे पहले किसका विश्लेषण किया जाना चाहिए? सबसे पहले, यह जांचना आवश्यक है कि क्या "स्कूल" क्रियाओं का उपयोग करके चर को तुरंत अलग करना संभव है? आमतौर पर ऐसा विश्लेषण मानसिक रूप से किया जाता है या किसी मसौदे में चरों को अलग करने का प्रयास किया जाता है।

इस उदाहरण में, चरों को विभाजित नहीं किया जा सकता है (आप शब्दों को एक भाग से दूसरे भाग में बदलने का प्रयास कर सकते हैं, कारकों को कोष्ठक से बाहर निकाल सकते हैं, आदि)। वैसे, इस उदाहरण में, गुणक की उपस्थिति के कारण चरों को विभाजित नहीं किया जा सकता यह तथ्य बिल्कुल स्पष्ट है

सवाल उठता है - इस अंतर को कैसे हल किया जाए?

यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या यह समीकरण सजातीय है? सत्यापन सरल है, और सत्यापन एल्गोरिथ्म स्वयं निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है:

मूल समीकरण के लिए:

x के स्थान पर, y के स्थान पर, अवकलज को प्रतिस्थापित करें, स्पर्श न करें: लैम्ब्डा अक्षर कुछ अमूर्त संख्यात्मक पैरामीटर है, मुद्दा स्वयं लैम्ब्डा में नहीं है, और उनके मूल्यों में नहीं है, लेकिन मुद्दा यह है:

यदि, परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, सभी "लैम्ब्डा" को कम करना संभव है (अर्थात, मूल समीकरण प्राप्त करें), तो यह अंतर समीकरण सजातीय है।

जाहिर है, लंबोदर तुरंत प्रतिपादक में रद्द कर देता है: अब, दाईं ओर, हम लैम्ब्डा को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं: समीकरण के दोनों हिस्सों को इसी लैम्ब्डा में घटाया जा सकता है: परिणामस्वरूप, सभी लैम्ब्डा एक सपने की तरह, सुबह की धुंध की तरह गायब हो गए, और हमें मूल समीकरण मिल गया।

निष्कर्ष: यह समीकरण सजातीय है

LOU.समाधानों के सामान्य गुण

अर्थात्, अज्ञात फलन के संबंध में रैखिक है यऔर इसके डेरिवेटिव और . इस समीकरण के गुणांक और दायां पक्ष निरंतर हैं।

यदि समीकरण का दाहिना भाग है, तो समीकरण को रैखिक अमानवीय कहा जाता है। यदि , तो समीकरण का रूप है

(9)

और रैखिक सजातीय कहलाता है।

मान लीजिए कि समीकरण (9) का कोई विशेष समाधान है, अर्थात उनमें मनमाने स्थिरांक नहीं हैं।

प्रमेय 1.यदि तथा दूसरे क्रम के रैखिक समांगी समीकरण के दो आंशिक समाधान हैं, तो यह भी इस समीकरण का एक समाधान है।

चूँकि और समीकरण (9) के समाधान हैं, वे इस समीकरण को एक पहचान में बदल देते हैं, अर्थात,

और

(10)

समीकरण (9) में प्रतिस्थापित करें। तो हमारे पास हैं:

(10) के कारण। अतः, समीकरण का एक हल है।

प्रमेय 2.यदि दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय समीकरण का एक समाधान है, और सीएक स्थिरांक है, तो यह इस समीकरण का एक समाधान भी है।

सबूत।समीकरण (9) में प्रतिस्थापित करें। हमें मिलता है: अर्थात्, समीकरण का हल।

परिणाम।यदि और समीकरण (9) के समाधान हैं, तो प्रमेय (1) और (2) के आधार पर इसका समाधान भी ऐसा ही है।

परिभाषा।दो समाधान और समीकरण (9) को रैखिक रूप से निर्भर (खंड पर) कहा जाता है यदि ऐसी संख्याओं को चुनना संभव है और, जो एक साथ शून्य के बराबर नहीं हैं, जैसे कि इन समाधानों का रैखिक संयोजन समान रूप से शून्य के बराबर है, कि है, यदि .

यदि ऐसी संख्याओं को नहीं चुना जा सकता है, तो समाधान और रैखिक रूप से स्वतंत्र (अंतराल पर) कहलाते हैं।

जाहिर है, समाधान और रैखिक रूप से निर्भर होंगे यदि और केवल यदि उनका अनुपात स्थिर है, यानी (या इसके विपरीत)।

वास्तव में, यदि और रैखिक रूप से निर्भर हैं, तो, जहां कम से कम एक स्थिरांक या शून्य से भिन्न है। उदाहरण के लिए, चलो. तब, , निरूपित करते हुए हमें प्राप्त होता है, अर्थात अनुपात स्थिर है।

इसके विपरीत, यदि . यहां, पर गुणांक, यानी, शून्य से भिन्न है, जिसका परिभाषा के अनुसार अर्थ है और रैखिक रूप से निर्भर हैं।

टिप्पणी।रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों की परिभाषा और उपरोक्त तर्क से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यदि और रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, तो उनका अनुपात स्थिर नहीं हो सकता है।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन और for रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, क्योंकि , क्योंकि । और यहां 5 विशेषताएं हैं एक्सऔर एक्सरैखिक रूप से निर्भर हैं, क्योंकि उनका अनुपात है।

प्रमेय.यदि और दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र विशेष समाधान हैं, तो उनका रैखिक संयोजन, जहां और मनमाना स्थिरांक हैं, इस समीकरण का एक सामान्य समाधान है।

सबूत।प्रमेय 1 और 2 (और उनके परिणाम) के आधार पर, स्थिरांक और के किसी भी विकल्प के लिए समीकरण (9) का एक समाधान है।

यदि समाधान और रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, तो यह एक सामान्य समाधान है, क्योंकि इस समाधान में दो मनमाने स्थिरांक हैं जिन्हें एक में नहीं घटाया जा सकता है।

साथ ही, भले ही वे रैखिक रूप से निर्भर समाधान हों, यह अब एक सामान्य समाधान नहीं होगा। इस मामले में जहां α -नियत। फिर, स्थिरांक कहां है. दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का सामान्य समाधान नहीं हो सकता, क्योंकि यह केवल एक स्थिरांक पर निर्भर करता है।

तो, समीकरण (9) का सामान्य समाधान:

19. कार्यों की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली की अवधारणा। व्रोन्स्की का निर्धारक. रैखिक स्वतंत्रता के लिए पर्याप्त शर्त। किसी फ़ंक्शन की मौलिक प्रणाली की अवधारणा। उदाहरण। अंतराल पर व्रोनस्की निर्धारक के शून्य से अंतर के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त [ए, सी]

कार्यों की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली की अवधारणा

कार्य यदि उनमें से एक दूसरे का रैखिक संयोजन है तो उन्हें रैखिक रूप से निर्भर कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, कार्य यदि ऐसी संख्याएँ मौजूद हैं, जिनमें से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं है, तो उन्हें रैखिक रूप से निर्भर कहा जाता है

यदि पहचान (4) केवल सभी को रखती है, तो कार्यों को रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है।

एक अंतराल पर रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों की प्रणाली

निरंतर गुणांक वाले वें क्रम (3) के सजातीय अंतर समीकरण को इस समीकरण के समाधान की मौलिक प्रणाली कहा जाता है।

निरंतर गुणांक वाले वें क्रम (3) के एक रैखिक सजातीय अंतर समीकरण को हल करने के लिए, हमें इसके समाधान की मौलिक प्रणाली को खोजने की आवश्यकता है।

प्रमेय 1 के अनुसार, समाधानों का एक मनमाना रैखिक संयोजन, यानी, योग

, (5)

जहां मनमानी संख्याएं हैं, बदले में समीकरण (3) का समाधान है। लेकिन इसके विपरीत, किसी अंतराल पर अंतर समीकरण (3) का कोई भी समाधान इसके संकेतित (अन्योन्याश्रित) विशेष समाधानों का एक निश्चित रैखिक संयोजन होता है (नीचे प्रमेय 4 देखें), जो समाधानों की एक मौलिक प्रणाली बनाते हैं।

इस प्रकार, सजातीय अंतर समीकरण (3) के सामान्य समाधान का रूप (5) होता है, जहां मनमाना स्थिरांक होते हैं, और विशेष समाधान (3) होते हैं, जो सजातीय समीकरण के समाधान की मौलिक प्रणाली बनाते हैं।

ध्यान दें कि अमानवीय समीकरण (1) का सामान्य समाधान इसके किसी विशेष समाधान का योग है और सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान है

. (6)

वास्तव में,

.

दूसरी ओर, यदि समीकरण (1) का कोई मनमाना समाधान है, तो

और, इसलिए, सजातीय समीकरण का एक समाधान है; लेकिन फिर कुछ संख्याएं ऐसी भी हैं

,

यानी, इन संख्याओं के लिए समानता (6) कायम है।

व्रोन्स्की का निर्धारक.

प्रमेय 2. यदि कार्य रैखिक रूप से निर्भर होते हैं और वें क्रम तक व्युत्पन्न होते हैं, फिर निर्धारक

. (7)

मैं

सारणिक (7) को व्रोन्स्की निर्धारक या व्रोनस्कियन कहा जाता है और इसे प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है .

सबूत। कार्यों के बाद से पर रैखिक रूप से निर्भर हैं, तो ऐसी गैर-शून्य संख्याएँ हैं जो पहचान (4) पर टिकी रहती हैं। इसके समय को विभेदित करने पर, हमें समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है

इस सजातीय प्रणाली में, धारणा के अनुसार, एक गैर-तुच्छ समाधान है (यानी, कम से कम एक)। उत्तरार्द्ध तब संभव है जब सिस्टम का निर्धारक, जो कि व्रोन्स्की निर्धारक है, समान रूप से शून्य के बराबर है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

टिप्पणी। प्रमेय 2 का तात्पर्य है कि यदि कम से कम एक बिंदु पर, तो फलन रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं।

उदाहरण 2. फलन किसी पर भी रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं

.

उदाहरण 3. फलन किसी भी पर रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं, यदि - विभिन्न संख्याएँ (वास्तविक या सम्मिश्र)।

वास्तव में।

,

चूँकि अंतिम निर्धारक एक वेंडरमोंडे निर्धारक है, जो विभिन्न के लिए शून्य के बराबर नहीं है।

उदाहरण 4 कार्य किसी पर भी रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

चूँकि और

तो इन कार्यों की रैखिक स्वतंत्रता दूसरे उदाहरण से मिलती है।

प्रमेय 3. समाधान के क्रम में निरंतर गुणांक वाले रैखिक अंतर सजातीय समीकरण रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं, यह सभी के लिए आवश्यक और पर्याप्त है।

सबूत। 1) यदि चालू है, तो कार्य रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, भले ही वे समीकरण के समाधान हों या नहीं (टिप्पणी देखें)।

2) मान लीजिए कि समीकरण पर रैखिक रूप से स्वतंत्र कार्य हैं और समाधान हैं।

आइए हम इसे हर जगह साबित करें। इसके विपरीत मान लें कि एक बिंदु मौजूद है जिस पर। हम ऐसी संख्याएँ चुनते हैं जो एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं होती हैं ताकि वे सिस्टम का समाधान हों

(8)

ऐसा किया जा सकता है, क्योंकि सिस्टम का निर्धारक (8) है। फिर, प्रमेय 1 के आधार पर, फलन शून्य प्रारंभिक शर्तों के साथ समीकरण का समाधान होगा ((8) द्वारा)

लेकिन तुच्छ समाधान भी उन्हीं शर्तों को पूरा करता है। अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय के आधार पर, केवल एक ही समाधान हो सकता है जो इन प्रारंभिक स्थितियों को संतुष्ट करता है; इसलिए, पर, यानी, कार्य रैखिक रूप से निर्भर होते हैं, जिसे नहीं माना गया था। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

यदि अंतराल में असंतत फलन हैं जहां हम समाधान ढूंढ रहे हैं, तो समीकरण में एक से अधिक समाधान हो सकते हैं जो प्रारंभिक स्थितियों को संतुष्ट करते हैं, और फिर यह संभव है कि पर।

उदाहरण 5. यह जांचना आसान है कि कार्य

पर और उनके लिए रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

ऐसा इसलिए है क्योंकि फ़ंक्शन समीकरण का एक सामान्य समाधान है

,

कहाँ बिंदु पर असंतत. इस समीकरण के लिए, अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय (बिंदु के पड़ोस में) लागू नहीं होता है। न केवल फलन, बल्कि फलन भी एक विभेदक समीकरण का एक समाधान है जो शर्तों और के लिए संतुष्ट करता है।

सामान्य समाधान की संरचना.

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प्रमेय 4. यदि - निरंतर गुणांक के साथ वें क्रम के एक रैखिक सजातीय अंतर समीकरण के समाधान पर रैखिक रूप से स्वतंत्र , फिर फ़ंक्शन

, (9)

जहां मनमाना स्थिरांक हैं, समीकरण का एक सामान्य समाधान है, यानी किसी के लिए योग (9), इस समीकरण का एक समाधान है और, इसके विपरीत, इस समीकरण के किसी भी समाधान को संबंधित मूल्यों के लिए योग (9) के रूप में दर्शाया जा सकता है का .

सबूत। हम पहले से ही जानते हैं कि किसी के लिए योग (9) समीकरण का एक समाधान है। मान लीजिए, इसके विपरीत, इस समीकरण का एक मनमाना समाधान है। चलो रखो

प्राप्त नंबरों के लिए हम अज्ञात संख्याओं के लिए समीकरणों की एक रैखिक प्रणाली की रचना करेंगे: यह कुछ - वास्तविक स्थिरांक खोजने के लिए पर्याप्त है। समीकरण (8) का सामान्य समाधान खोजने के लिए, हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं। हम समीकरण (8) के लिए एक विशेषता समीकरण बनाते हैं:। प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करते हुए, हम परिभाषित करते हैं

रैखिक अवकल समीकरण पर विचार करें एन-वाँ क्रम

य (एन) + एक -1 (एक्स)य (एन- 1) + ... + ए 1 (एक्स)य" + ए 0 (एक्स)य = एफ(एक्स).

निरंतर गुणांक के साथ एक -1 (एक्स), एक -2 (एक्स), ..., ए 1 (एक्स), ए 0 (एक्स) और निरंतर दाहिनी ओर एफ(एक्स).

सुपरपोजिशन सिद्धांतनिम्नलिखित पर आधारित रैखिक अवकल समीकरणों के समाधान के गुण।

1. यदि य 1 (एक्स) और य 2 (एक्स) रैखिक समांगी अवकल समीकरण के दो समाधान हैं

य (एन) + एक -1 (एक्स)य (एन- 1) + ... + ए 1 (एक्स)य" + ए 0 (एक्स)य = 0

फिर उनका कोई रैखिक संयोजन य(एक्स) = सी 1 य 1 (एक्स) + सी 2 य 2 (एक्स) इस सजातीय समीकरण का एक समाधान है।

2. यदि य 1 (एक्स) और य 2 (एक्स) रैखिक अमानवीय समीकरण के दो समाधान हैं एल(य) = एफ(एक्स) , फिर उनका अंतर य(एक्स) = य 1 (एक्स) − य 2 (एक्स) सजातीय समीकरण का एक समाधान है एल(य) = 0 .

3. किसी अमानवीय रैखिक समीकरण का कोई हल एल(य) = एफ(एक्स) एक गैर-सजातीय समीकरण के किसी निश्चित (विशेष) समाधान और एक सजातीय समीकरण के कुछ समाधान का योग है।

4. यदि य 1 (एक्स) और य 2 (एक्स) - रैखिक अमानवीय समीकरणों के समाधान एल(य) = एफ 1 (एक्स) और एल(य) = एफ 2 (एक्स) क्रमशः, फिर उनका योग य(एक्स) =य 1 (एक्स) + य 2 (एक्स) अमानवीय समीकरण का एक समाधान है एल(य) = एफ 1 (एक्स) + एफ 2 (एक्स).

यह अंतिम कथन आमतौर पर कहा जाता है सुपरपोजिशन सिद्धांत.

निरंतर परिवर्तन विधि

-वें क्रम के अमानवीय समीकरण पर विचार करें

जहां गुणांक और दाएं पक्ष को अंतराल पर निरंतर कार्य दिए जाते हैं।

आइए मान लें कि हम समाधान की मूलभूत प्रणाली जानते हैं संगत सजातीय समीकरण

जैसा कि हमने § 1.15 (सूत्र (6)) में दिखाया, समीकरण (1) का सामान्य समाधान समीकरण (2) के सामान्य समाधान और समीकरण (1) के किसी भी समाधान के योग के बराबर है।

अमानवीय समीकरण (1) का हल हो सकता है

अनिश्चितकालीन अभिन्न में चर के परिवर्तन का उपयोग उन अभिन्नों को खोजने के लिए किया जाता है जिनमें से एक फ़ंक्शन दूसरे फ़ंक्शन का व्युत्पन्न होता है। मान लीजिए कि एक अभिन्न $ \int f(x) dx $ है, आइए प्रतिस्थापन $ x=\phi(t) $ करें। ध्यान दें कि फ़ंक्शन $ \phi(t) $ भिन्न है, इसलिए $ dx = \phi"(t) dt $ पाया जा सकता है।

अब हम $ \begin(vmatrix) x = \phi(t) \\ dx = \phi"(t) dt \end(vmatrix) $ को इंटीग्रल में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

$$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi"(t) dt $$

यह एक है अनिश्चितकालीन अभिन्न में परिवर्तनीय परिवर्तन सूत्र.

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि एल्गोरिथ्म

इस प्रकार, यदि समस्या में फॉर्म का एक अभिन्न अंग दिया गया है: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx $$ चर को एक नए से बदलने की सलाह दी जाती है: $ $ t = \phi(x) $ $ $$ dt = \phi"(t) dt $$

उसके बाद, इंटीग्रल को ऐसे रूप में प्रस्तुत किया जाएगा जिसे मुख्य एकीकरण विधियों के साथ लेना आसान है: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx = \int f(t) डीटी $$

बदले गए वेरिएबल को वापस $x$ पर सेट करना न भूलें।

समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1

चर विधि के परिवर्तन द्वारा अनिश्चितकालीन अभिन्न ज्ञात करें: $$ \int e^(3x) dx $$

समाधान

हम इंटीग्रल में वेरिएबल को $ t = 3x, dt = 3dx $ में बदलते हैं: $$ \int e^(3x) dx = \int e^t \frac(dt)(3) = \frac(1)(3) \int e^t dt = $$ एकीकरण तालिका के अनुसार घातांकीय समाकलन अभी भी वही है, हालाँकि $ x $ के स्थान पर $ t $ लिखा गया है: $$ = \frac(1)(3) e^t + C = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ यदि आप अपनी समस्या का समाधान नहीं कर सकते तो हमें भेजें। हम एक विस्तृत समाधान प्रदान करेंगे. आप गणना की प्रगति से परिचित हो सकेंगे और जानकारी एकत्र कर सकेंगे। इससे आपको समय पर शिक्षक से क्रेडिट प्राप्त करने में मदद मिलेगी!

उत्तर

$$ \int e^(3x) dx = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$

प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण (चर का परिवर्तन)। मान लीजिए कि समाकलन की गणना करना आवश्यक है, जो सारणीबद्ध नहीं है। प्रतिस्थापन विधि का सार यह है कि अभिन्न में चर x को सूत्र x \u003d q (t) के अनुसार चर t द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जहाँ से dx \u003d q "(t) dt।

प्रमेय. मान लीजिए कि फ़ंक्शन x=u(t) को कुछ सेट T पर परिभाषित और भिन्न किया जा सकता है और मान लीजिए कि X इस फ़ंक्शन के मानों का सेट है जिस पर फ़ंक्शन f(x) परिभाषित है। फिर यदि समुच्चय X पर फ़ंक्शन f(x) में एक प्रतिअवकलन है, तो समुच्चय T पर सूत्र सत्य है:

सूत्र (1) को अनिश्चित समाकलन में चर सूत्र के परिवर्तन को कहते हैं।

भागों द्वारा एकीकरण. भागों द्वारा एकीकरण की विधि दो कार्यों के उत्पाद के अंतर के सूत्र से अनुसरण करती है। मान लीजिए u(x) और v(x) x के दो भिन्न फलन हैं। तब:

d(uv)=udv+vdu. - (3)

समानता (3) के दोनों भागों को एकीकृत करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

लेकिन तब से:

संबंध (4) को भागों द्वारा एकीकरण सूत्र कहा जाता है। इस सूत्र का प्रयोग करते हुए समाकलन ज्ञात कीजिए। इसका उपयोग तब करने की सलाह दी जाती है जब सूत्र (4) के दाईं ओर के अभिन्न अंग की गणना मूल की तुलना में आसान हो।

सूत्र (4) में कोई मनमाना स्थिरांक C नहीं है, क्योंकि इस सूत्र के दाईं ओर एक अनिश्चित समाकलन है जिसमें एक मनमाना स्थिरांक है।

आइए हम भागों द्वारा एकीकरण की विधि द्वारा गणना किए गए कुछ सामान्य प्रकार के अभिन्न अंग प्रस्तुत करें।

I. रूप का समाकलन, (P n (x) घात n का एक बहुपद है, k कोई संख्या है)। इन अभिन्नों को खोजने के लिए, u=P n (x) लगाना और सूत्र (4) n बार लागू करना पर्याप्त है।

द्वितीय. प्रपत्र का समाकलन, (Pn(x) x के संबंध में घात n का एक बहुपद है)। वे लगातार लोगों द्वारा पाए जा सकते हैं, आपके लिए वह कार्य जो P n (x) पर एक कारक है।

चर में परिवर्तन की सहायता से, आप सरल अभिन्नों की गणना कर सकते हैं और, कुछ मामलों में, अधिक जटिल अभिन्नों की गणना को सरल बना सकते हैं।

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि यह है कि हम मूल एकीकरण चर से चलते हैं, इसे x होने दें, दूसरे चर पर, जिसे हम t के रूप में दर्शाते हैं। साथ ही, हम मानते हैं कि चर x और t किसी संबंध x = x से संबंधित हैं (टी), या टी = टी (एक्स). उदाहरण के लिए एक्स = लॉग टी, एक्स = पाप टी, टी = 2 एक्स + 1, और इसी तरह। हमारा कार्य x और t के बीच ऐसा संबंध चुनना है ताकि मूल समाकलन या तो सारणीबद्ध हो जाए या सरल हो जाए।

मूल परिवर्तनीय परिवर्तन सूत्र

उस अभिव्यक्ति पर विचार करें जो अभिन्न चिह्न के अंतर्गत है। इसमें इंटीग्रैंड का गुणनफल शामिल है, जिसे हम एफ के रूप में निरूपित करेंगे (एक्स)और अंतर dx : . आइए कुछ संबंध x = x चुनकर एक नए वेरिएबल t को पास करें (टी). फिर हमें फलन f को व्यक्त करना होगा (एक्स)और चर t के संदर्भ में अंतर dx।

इंटीग्रैंड एफ को व्यक्त करने के लिए (एक्स)वेरिएबल t के माध्यम से, आपको केवल वेरिएबल x के बजाय चुने गए अनुपात x = x को प्रतिस्थापित करना होगा (टी).

विभेदक परिवर्तन इस प्रकार किया जाता है:
.
अर्थात्, अंतर dx, t और अंतर dt के संबंध में x के अवकलज के गुणनफल के बराबर है।

तब
.

व्यवहार में, सबसे आम मामला तब होता है जब हम पुराने चर के फ़ंक्शन के रूप में एक नया चर चुनकर प्रतिस्थापन करते हैं: t = t (एक्स). यदि हमने अनुमान लगाया कि इंटीग्रैंड को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है
,
जहां टी' (एक्स)तो, x के संबंध में t का व्युत्पन्न है
.

अत: मूल परिवर्तनशील परिवर्तन सूत्र को दो रूपों में प्रस्तुत किया जा सकता है।
(1) ,
जहाँ x, t का एक फलन है।
(2) ,
जहाँ t x का एक फलन है।

महत्वपूर्ण लेख

अभिन्नों की तालिकाओं में, एकीकरण चर को अक्सर x के रूप में दर्शाया जाता है। हालाँकि, यह विचार करने योग्य है कि एकीकरण चर को किसी भी अक्षर द्वारा दर्शाया जा सकता है। इसके अलावा, किसी भी अभिव्यक्ति का उपयोग एकीकरण चर के रूप में किया जा सकता है।

उदाहरण के तौर पर, तालिका अभिन्न पर विचार करें
.

यहां x को किसी अन्य वेरिएबल या किसी वेरिएबल के फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। यहां संभावित विकल्पों के उदाहरण दिए गए हैं:
;
;
.

अंतिम उदाहरण में, आपको यह ध्यान रखना होगा कि एकीकरण चर x को पास करते समय, अंतर निम्नानुसार रूपांतरित होता है:
.
तब
.

यह उदाहरण प्रतिस्थापन एकीकरण का सार है. यानी हमें इसका अनुमान लगाना चाहिए
.
उसके बाद, अभिन्न को सारणीबद्ध रूप में घटा दिया जाता है।
.

आप सूत्र को लागू करके, चर के परिवर्तन का उपयोग करके इस अभिन्न का मूल्यांकन कर सकते हैं (2) . माना t = x 2+x. तब
;
;

.

चर के परिवर्तन द्वारा एकीकरण के उदाहरण

1) हम अभिन्न की गणना करते हैं
.
हम उस पर ध्यान देते हैं (sin x)′ = cos x. तब

.
यहां हमने प्रतिस्थापन t = लागू किया है पाप एक्स.

2) हम अभिन्न की गणना करते हैं
.
हम उस पर ध्यान देते हैं। तब

.
यहां हमने वेरिएबल t = को बदलकर एकीकरण किया है आर्कटग एक्स.

3) आइए एकीकृत करें
.
हम उस पर ध्यान देते हैं। तब

. यहां, एकीकरण के दौरान, चर t = x का परिवर्तन होता है 2 + 1 .

रैखिक प्रतिस्थापन

शायद सबसे आम रैखिक प्रतिस्थापन हैं। यह फॉर्म वेरिएबल का प्रतिस्थापन है
टी = कुल्हाड़ी + बी
जहाँ a और b स्थिरांक हैं। ऐसे परिवर्तन के तहत, अंतर संबंध से संबंधित होते हैं
.

रैखिक प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण के उदाहरण

ए)इंटीग्रल की गणना करें
.
समाधान।
.

बी)अभिन्न खोजें
.
समाधान।
आइए घातीय फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करें।
.
एलएन 2- एक स्थिरांक है. हम अभिन्न की गणना करते हैं।

.

सी)इंटीग्रल की गणना करें
.
समाधान।
हम भिन्न के हर में वर्ग बहुपद को वर्गों के योग में लाते हैं।
.
हम अभिन्न की गणना करते हैं।

.

डी)अभिन्न खोजें
.
समाधान।
हम बहुपद को मूल के अंतर्गत रूपांतरित करते हैं।

.
हम परिवर्तन विधि का उपयोग करके एकीकृत करते हैं।

.
हमने पहले ही सूत्र प्राप्त कर लिया है
.
यहाँ से
.
इस अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करने पर, हमें अंतिम उत्तर मिलता है।

इ)इंटीग्रल की गणना करें
.
समाधान।
साइन और कोसाइन के गुणनफल के लिए सूत्र लागू करें।
;
.
हम एकीकृत करते हैं और प्रतिस्थापन करते हैं।


.

सन्दर्भ:
एन.एम. गुंथर, आर.ओ. कुज़मिन, उच्च गणित में समस्याओं का संग्रह, लैन, 2003।

इस पाठ में, हम सबसे महत्वपूर्ण और सबसे आम युक्तियों में से एक से परिचित होंगे जिसका उपयोग अनिश्चितकालीन अभिन्नों को हल करने के दौरान किया जाता है - चर विधि का परिवर्तन। सामग्री में सफल महारत हासिल करने के लिए प्रारंभिक ज्ञान और एकीकरण कौशल की आवश्यकता होती है। यदि इंटीग्रल कैलकुलस में एक खाली पूर्ण चायदानी की भावना है, तो आपको पहले सामग्री को पढ़ना चाहिए, जहां मैंने एक सुलभ रूप में समझाया कि इंटीग्रल क्या है और शुरुआती लोगों के लिए बुनियादी उदाहरणों का विस्तार से विश्लेषण किया गया है।

तकनीकी रूप से, एक चर को अनिश्चितकालीन अभिन्न में बदलने की विधि दो तरीकों से लागू की जाती है:

- फ़ंक्शन को अंतर के चिह्न के अंतर्गत लाना;
– चर का वास्तविक परिवर्तन.

वास्तव में, यह एक ही बात है, लेकिन समाधान का डिज़ाइन अलग दिखता है।

आइए एक सरल मामले से शुरुआत करें।

किसी फ़ंक्शन को विभेदक चिन्ह के अंतर्गत लाना

सबक पर अनिश्चितकालीन अभिन्न। समाधान के उदाहरणहमने सीखा कि अंतर को कैसे खोला जाए, मुझे वह उदाहरण याद है जो मैंने दिया था:

अर्थात्, अंतर को खोलना औपचारिक रूप से व्युत्पन्न को खोजने के समान ही है।

उदाहरण 1

एक जाँच चलाएँ.

हम अभिन्नों की तालिका को देखते हैं और एक समान सूत्र पाते हैं: . लेकिन समस्या यह है कि साइन के अंतर्गत हमारे पास केवल "x" अक्षर नहीं है, बल्कि एक जटिल अभिव्यक्ति है। क्या करें?

हम फ़ंक्शन को अंतर के चिह्न के अंतर्गत लाते हैं:

अंतर का विस्तार करते हुए, यह जांचना आसान है कि:

वास्तव में और उसी का एक रिकार्ड है.

लेकिन, फिर भी, सवाल यह है कि हमें यह विचार कैसे आया कि पहले चरण में हमें अपना अभिन्न अंग बिल्कुल इस तरह लिखना होगा: ? ऐसा क्यों, अन्यथा नहीं?

FORMULA (और अन्य सभी सारणीबद्ध सूत्र) मान्य हैं और न केवल एक चर के लिए, बल्कि किसी भी जटिल अभिव्यक्ति के लिए भी लागू होते हैं। केवल फ़ंक्शन तर्क(- हमारे उदाहरण में) और विभेदक चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति थी जो उसी .

इसलिए, हल करते समय मानसिक तर्क कुछ इस तरह होना चाहिए: “मुझे अभिन्न को हल करने की आवश्यकता है। मैंने तालिका को देखा और एक समान सूत्र पाया . लेकिन मेरे पास एक जटिल तर्क है और मैं तुरंत सूत्र का उपयोग नहीं कर सकता। हालाँकि, अगर मैं अंतर के संकेत के तहत आने में कामयाब हो गया, तो सब कुछ ठीक हो जाएगा। अगर मैं लिखूं तो. लेकिन मूल अभिन्न में कोई ट्रिपल कारक नहीं है, इसलिए, इंटीग्रैंड में बदलाव न हो, इसके लिए मुझे इसे "से गुणा करना होगा। लगभग ऐसे ही मानसिक तर्क-वितर्क के क्रम में एक अभिलेख का जन्म होता है:

अब आप स्प्रेडशीट का उपयोग कर सकते हैं :

तैयार

अंतर केवल इतना है कि हमारे पास "x" अक्षर नहीं है, बल्कि एक जटिल अभिव्यक्ति है।

चलो एक जाँच करते हैं. डेरिवेटिव की तालिका खोलें और उत्तर को अलग करें:

मूल इंटीग्रैंड प्राप्त किया गया था, जिसका अर्थ है कि इंटीग्रल सही ढंग से पाया गया था।

कृपया ध्यान दें कि सत्यापन के दौरान हमने एक जटिल फ़ंक्शन के विभेदन के नियम का उपयोग किया था . वास्तव में, फ़ंक्शन को अंतर और के चिह्न के अंतर्गत लाना दो परस्पर विपरीत नियम हैं.

उदाहरण 2

हम इंटीग्रैंड फ़ंक्शन का विश्लेषण करते हैं। यहां हमारे पास एक भिन्न है, और हर एक रैखिक फलन है (पहली डिग्री में "x" के साथ)। हम अभिन्नों की तालिका में देखते हैं और सबसे समान चीज़ पाते हैं: .

हम फ़ंक्शन को अंतर के चिह्न के अंतर्गत लाते हैं:

जिन लोगों को तुरंत यह पता लगाना मुश्किल लगता है कि किस भिन्न से गुणा करना है, वे ड्राफ्ट पर अंतर को तुरंत प्रकट कर सकते हैं:। हाँ, यह पता चला है, ताकि कुछ भी न बदले, मुझे इंटीग्रल को से गुणा करना होगा।
इसके बाद, हम स्प्रेडशीट फॉर्मूला का उपयोग करते हैं :

इंतिहान:


मूल इंटीग्रैंड प्राप्त किया गया था, जिसका अर्थ है कि इंटीग्रल सही ढंग से पाया गया था।

उदाहरण 3

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें. एक जाँच चलाएँ.

उदाहरण 4

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें. एक जाँच चलाएँ.

यह स्वयं करने का उदाहरण है. पाठ के अंत में उत्तर दें।

इंटीग्रल्स को हल करने में कुछ अनुभव के साथ, ऐसे उदाहरण आसान लगेंगे, और पागल की तरह टूट जाएंगे:

इस अनुच्छेद के अंत में, मैं "मुक्त" मामले पर भी ध्यान देना चाहूंगा जब एक चर एक इकाई गुणांक के साथ एक रैखिक फ़ंक्शन में प्रवेश करता है, उदाहरण के लिए:

कड़ाई से बोलते हुए, समाधान इस तरह दिखना चाहिए:

जैसा कि आप देख सकते हैं, फ़ंक्शन को अंतर के चिह्न के अंतर्गत लाना बिना किसी गुणा के "दर्द रहित" हो गया। इसलिए, व्यवहार में, इतने लंबे समाधान को अक्सर उपेक्षित कर दिया जाता है और तुरंत लिख दिया जाता है . लेकिन यदि आवश्यक हो, तो शिक्षक को यह समझाने के लिए तैयार रहें कि आपने कैसे निर्णय लिया! चूँकि तालिका में कोई अभिन्न अंग ही नहीं है।

अनिश्चितकालीन अभिन्न में परिवर्तनीय परिवर्तन विधि

हम सामान्य मामले पर विचार करते हैं - अनिश्चितकालीन अभिन्न में चर बदलने की विधि।

उदाहरण 5

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

उदाहरण के तौर पर, मैंने अभिन्न अंग लिया, जिस पर हमने पाठ की शुरुआत में ही विचार किया था। जैसा कि हम पहले ही बता चुके हैं कि समाकलन को हल करने के लिए हमें सारणीबद्ध सूत्र पसंद आया , और मैं पूरी बात उसके लिए कम करना चाहूँगा।

प्रतिस्थापन विधि के पीछे का विचार है एक जटिल अभिव्यक्ति (या कुछ फ़ंक्शन) को एक अक्षर से बदलें.
इस मामले में यह पूछता है:
दूसरा सबसे लोकप्रिय प्रतिस्थापन पत्र पत्र है।
सिद्धांत रूप में, आप अन्य अक्षरों का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन हम अभी भी परंपराओं पर कायम हैं।

इसलिए:
लेकिन प्रतिस्थापित करते समय, हम चले गए हैं! संभवतः, कई लोगों ने अनुमान लगाया है कि यदि एक नए चर में परिवर्तन किया जाता है, तो नए अभिन्न अंग में सब कुछ अक्षर के माध्यम से व्यक्त किया जाना चाहिए, और अंतर के लिए बिल्कुल भी जगह नहीं है।
इससे एक तार्किक निष्कर्ष निकलता है कि यह आवश्यक है किसी ऐसी अभिव्यक्ति में बदलें जो केवल पर निर्भर करती है.

कार्रवाई निम्नलिखित है. इस उदाहरण में, एक प्रतिस्थापन चुनने के बाद, हमें अंतर खोजने की आवश्यकता है। मुझे लगता है कि मतभेदों के साथ, हर किसी के लिए दोस्ती पहले ही स्थापित हो चुकी है।

के बाद से

अंतर के साथ तसलीम के बाद, मैं अंतिम परिणाम को यथासंभव संक्षेप में फिर से लिखने की सलाह देता हूं:
अब, अनुपात के नियमों के अनुसार, हम वह व्यक्त करते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है:

अंततः:
इस प्रकार:

और यह सर्वाधिक सारणीबद्ध समाकलन है (बेशक, अभिन्नों की तालिका चर के लिए भी मान्य है)।

अंत में, यह रिवर्स प्रतिस्थापन को पूरा करने के लिए बना हुआ है। हमें वह याद है.

तैयार।

इस उदाहरण का अंतिम डिज़ाइन कुछ इस तरह दिखना चाहिए:

“

आइए प्रतिस्थापित करें:

“

आइकन का कोई गणितीय अर्थ नहीं है, इसका मतलब है कि हमने मध्यवर्ती स्पष्टीकरण के समाधान को बाधित कर दिया है।

नोटबुक में एक उदाहरण बनाते समय, रिवर्स प्रतिस्थापन को एक साधारण पेंसिल से सुपरस्क्रिप्ट करना बेहतर होता है।

ध्यान!निम्नलिखित उदाहरणों में, अंतर खोजने का विस्तार से वर्णन नहीं किया जाएगा।

और अब पहला समाधान याद रखने का समय आ गया है:

क्या अंतर है? कोई बुनियादी अंतर नहीं है. यह वास्तव में वही बात है. लेकिन कार्य के डिज़ाइन के दृष्टिकोण से, फ़ंक्शन को अंतर के चिह्न के अंतर्गत लाने की विधि बहुत छोटी है.

सवाल उठता है. यदि पहला तरीका छोटा है, तो प्रतिस्थापन विधि का उपयोग क्यों करें? तथ्य यह है कि कई अभिन्नों के लिए अंतर के संकेत के तहत फ़ंक्शन को "फिट" करना इतना आसान नहीं है।

उदाहरण 6

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

आइए एक प्रतिस्थापन करें: (यहां किसी अन्य प्रतिस्थापन के बारे में सोचना कठिन है)

जैसा कि आप देख सकते हैं, प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप, मूल इंटीग्रल को बहुत सरल बना दिया गया है - एक सामान्य पावर फ़ंक्शन तक कम कर दिया गया है। प्रतिस्थापन का यही उद्देश्य है - अभिन्न को सरल बनाना.

आलसी उन्नत लोग फ़ंक्शन को विभेदक चिह्न के अंतर्गत लाकर इस अभिन्न को आसानी से हल कर सकते हैं:

दूसरी बात यह है कि ऐसा समाधान सभी छात्रों के लिए स्पष्ट नहीं है। इसके अलावा, इस उदाहरण में पहले से ही किसी फ़ंक्शन को विभेदक चिह्न के अंतर्गत लाने की विधि का उपयोग किया गया है निर्णय में भ्रम का खतरा काफी बढ़ जाता है.

उदाहरण 7

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें. एक जाँच चलाएँ.

उदाहरण 8

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

प्रतिस्थापन:
क्या बनेगा ये तो देखना बाकी है

ठीक है, हमने व्यक्त कर दिया है, लेकिन अंश में "X" शेष रहने पर क्या करें?!
समय-समय पर, अभिन्नों को हल करने के क्रम में, निम्नलिखित युक्ति घटित होती है: हम उसी प्रतिस्थापन से व्यक्त करेंगे!

उदाहरण 9

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

यह स्वयं करने का उदाहरण है. पाठ के अंत में उत्तर दें।

उदाहरण 10

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

निश्चित रूप से कुछ लोगों ने देखा है कि मेरी संदर्भ तालिका में परिवर्तनीय प्रतिस्थापन नियम नहीं है। यह जानबूझ कर किया गया. नियम स्पष्टीकरण और समझ को भ्रमित कर देगा, क्योंकि यह उपरोक्त उदाहरणों में स्पष्ट रूप से प्रकट नहीं होता है।

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करने के मूल आधार के बारे में बात करने का समय आ गया है: इंटीग्रैंड में कुछ फ़ंक्शन और उसका व्युत्पन्न होना चाहिए:(फ़ंक्शन उत्पाद में नहीं हो सकते हैं)

इस संबंध में, अभिन्नों को खोजने पर, अक्सर डेरिवेटिव की तालिका को देखना पड़ता है।

इस उदाहरण में, हम देखते हैं कि अंश की घात हर की घात से एक कम है। डेरिवेटिव की तालिका में हमें वह सूत्र मिलता है, जो डिग्री को बस एक से कम कर देता है। और, इसलिए, यदि आप हर के लिए नामित करते हैं, तो इस बात की बहुत अधिक संभावना है कि अंश कुछ अच्छा बन जाएगा।