विभेदक समीकरण एक समीकरण है जिसमें एक फ़ंक्शन और उसके एक या अधिक व्युत्पन्न शामिल होते हैं। अधिकांश व्यावहारिक समस्याओं में, फलन भौतिक मात्राएँ होते हैं, व्युत्पन्न इन मात्राओं के परिवर्तन की दर के अनुरूप होते हैं, और समीकरण उनके बीच संबंध निर्धारित करता है।
यह आलेख कुछ प्रकार के सामान्य अंतर समीकरणों को हल करने के तरीकों पर चर्चा करता है, जिनके समाधान फॉर्म में लिखे जा सकते हैं प्राथमिक कार्य, अर्थात्, बहुपद, घातांकीय, लघुगणकीय और त्रिकोणमितीय फलन, साथ ही उनके व्युत्क्रम फलन। इनमें से कई समीकरण वास्तविक जीवन में घटित होते हैं, हालांकि अधिकांश अन्य अंतर समीकरणों को इन तरीकों से हल नहीं किया जा सकता है, और उनके लिए उत्तर विशेष कार्यों या शक्ति श्रृंखला के रूप में लिखा जाता है, या संख्यात्मक तरीकों से पाया जाता है।
इस लेख को समझने के लिए, आपको डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस जानने की जरूरत है, साथ ही आंशिक डेरिवेटिव की कुछ समझ भी होनी चाहिए। अंतर समीकरणों, विशेष रूप से दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों पर लागू रैखिक बीजगणित की मूल बातें जानने की भी सिफारिश की जाती है, हालांकि अंतर और अभिन्न कलन का ज्ञान उन्हें हल करने के लिए पर्याप्त है।
प्रारंभिक जानकारी
- विभेदक समीकरणों का व्यापक वर्गीकरण होता है। यह लेख बात करता है सामान्य अवकल समीकरण, यानी, उन समीकरणों के बारे में जिनमें एक चर और उसके डेरिवेटिव का एक फ़ंक्शन शामिल है। साधारण अंतर समीकरणों को समझना और हल करना बहुत आसान होता है आंशिक अंतर समीकरण, जिसमें कई चर के कार्य शामिल हैं। यह लेख आंशिक अंतर समीकरणों पर विचार नहीं करता है, क्योंकि इन समीकरणों को हल करने की विधियाँ आमतौर पर उनके विशिष्ट रूप से निर्धारित होती हैं।
- नीचे साधारण अंतर समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
- d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
- d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
- नीचे आंशिक अवकल समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
- ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\आंशिक ^(2)f)(\आंशिक x^(2)))+(\frac (\आंशिक ^(2)f)(\आंशिक y^(2)))=0)
- ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\आंशिक u)(\आंशिक t))-\alpha (\frac (\आंशिक ^(2)u)(\आंशिक x^(2)))=0)
- नीचे साधारण अंतर समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
- आदेशविभेदक समीकरण इस समीकरण में शामिल उच्चतम व्युत्पन्न के क्रम से निर्धारित होता है। उपरोक्त सामान्य अवकल समीकरणों में से पहला पहले क्रम का है, जबकि दूसरा दूसरे क्रम का है। डिग्रीकिसी अवकल समीकरण की वह उच्चतम घात कहलाती है जिस तक इस समीकरण का कोई एक पद बढ़ा दिया जाता है।
- उदाहरण के लिए, नीचे दिया गया समीकरण तीसरे क्रम और दूसरी शक्ति का है।
- (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\right)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
- उदाहरण के लिए, नीचे दिया गया समीकरण तीसरे क्रम और दूसरी शक्ति का है।
- विभेदक समीकरण है रैखिक अंतर समीकरणयदि फ़ंक्शन और उसके सभी डेरिवेटिव पहली शक्ति में हैं। अन्यथा, समीकरण है अरेखीय विभेदक समीकरण. रैखिक अवकल समीकरण इस मायने में उल्लेखनीय हैं कि उनके समाधानों से रैखिक संयोजन बनाए जा सकते हैं, जो इस समीकरण का समाधान भी होंगे।
- नीचे रैखिक अवकल समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
- नीचे अरैखिक अवकल समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। पहला समीकरण ज्या पद के कारण अरैखिक है।
- d 2 θ d t 2 + g l पाप θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+(\frac (g)(l))\sin \theta =0)
- d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+\left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)= 0)
- सामान्य निर्णयसाधारण अंतर समीकरण अद्वितीय नहीं है, इसमें शामिल है एकीकरण के मनमाने स्थिरांक. अधिकांश मामलों में, मनमाना स्थिरांकों की संख्या समीकरण के क्रम के बराबर होती है। व्यवहार में, इन स्थिरांकों का मान दिए गए द्वारा निर्धारित किया जाता है आरंभिक स्थितियां, अर्थात्, फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव के मानों द्वारा x = 0. (\displaystyle x=0.)खोजने के लिए आवश्यक आरंभिक स्थितियों की संख्या निजी निर्णयअधिकांश मामलों में अवकल समीकरण भी इस समीकरण के क्रम के बराबर होता है।
- उदाहरण के लिए, यह आलेख नीचे दिए गए समीकरण को हल करने पर ध्यान देगा। यह द्वितीय कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है। इसके सामान्य समाधान में दो मनमाने स्थिरांक शामिल हैं। इन स्थिरांकों को ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक स्थितियों को जानना आवश्यक है x (0) (\displaystyle x(0))और एक्स′ (0) . (\डिस्प्लेस्टाइल x"(0).)आमतौर पर प्रारंभिक शर्तें बिंदु पर दी जाती हैं x = 0 , (\displaystyle x=0,), हालाँकि इसकी आवश्यकता नहीं है। यह आलेख इस बात पर भी विचार करेगा कि दी गई प्रारंभिक स्थितियों के लिए विशेष समाधान कैसे खोजा जाए।
- d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2)x=0)
- x (t) = c 1 cos k x + c 2 syn k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)
- उदाहरण के लिए, यह आलेख नीचे दिए गए समीकरण को हल करने पर ध्यान देगा। यह द्वितीय कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है। इसके सामान्य समाधान में दो मनमाने स्थिरांक शामिल हैं। इन स्थिरांकों को ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक स्थितियों को जानना आवश्यक है x (0) (\displaystyle x(0))और एक्स′ (0) . (\डिस्प्लेस्टाइल x"(0).)आमतौर पर प्रारंभिक शर्तें बिंदु पर दी जाती हैं x = 0 , (\displaystyle x=0,), हालाँकि इसकी आवश्यकता नहीं है। यह आलेख इस बात पर भी विचार करेगा कि दी गई प्रारंभिक स्थितियों के लिए विशेष समाधान कैसे खोजा जाए।
कदम
भाग ---- पहला
प्रथम क्रम समीकरणइस सेवा का उपयोग करते समय, कुछ जानकारी YouTube पर स्थानांतरित की जा सकती है।
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प्रथम कोटि के रैखिक समीकरण.यह अनुभाग सामान्य और विशेष मामलों में प्रथम क्रम के रैखिक अंतर समीकरणों को हल करने के तरीकों पर चर्चा करता है, जब कुछ पद शून्य के बराबर होते हैं। चलिए ऐसा दिखावा करते हैं y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) पी (एक्स) (\डिस्प्लेस्टाइल पी(एक्स))और q (x) (\displaystyle q(x))कार्य हैं एक्स । (\डिस्प्लेस्टाइल x.)
D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x))
पी (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.)गणितीय विश्लेषण के मुख्य प्रमेयों में से एक के अनुसार, किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का अभिन्न अंग भी एक फ़ंक्शन है। इस प्रकार, इसका समाधान खोजने के लिए समीकरण को एकीकृत करना ही पर्याप्त है। इस मामले में, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि अनिश्चितकालीन अभिन्न की गणना करते समय, एक मनमाना स्थिरांक प्रकट होता है।
- y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)
Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.)हम विधि का उपयोग करते हैं चरों का पृथक्करण. इस मामले में, विभिन्न चर समीकरण के विभिन्न पक्षों में स्थानांतरित हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, आप सभी सदस्यों को स्थानांतरित कर सकते हैं वाई (\डिस्प्लेस्टाइल वाई)एक में, और सभी सदस्य एक साथ एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x)समीकरण के दूसरी ओर. सदस्यों को स्थानांतरित भी किया जा सकता है d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x)और d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), जो व्युत्पन्न अभिव्यक्तियों में शामिल हैं, हालांकि, यह याद रखना चाहिए कि यह सिर्फ एक परंपरा है, जो एक जटिल फ़ंक्शन को अलग करते समय सुविधाजनक है। इन शब्दों की चर्चा, जिन्हें कहा जाता है भिन्नता, इस लेख के दायरे से बाहर है।
- सबसे पहले, आपको वेरिएबल्स को बराबर चिह्न के विपरीत दिशा में ले जाना होगा।
- 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
- हम समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करते हैं। एकीकरण के बाद, दोनों पक्षों पर मनमाना स्थिरांक दिखाई देते हैं, जिन्हें समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित किया जा सकता है।
- ln y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
- y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
- उदाहरण 1.1.अंतिम चरण में, हमने नियम का उपयोग किया e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))और प्रतिस्थापित किया गया ई सी (\displaystyle ई^(सी))पर सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी), क्योंकि यह एकीकरण का एक मनमाना स्थिरांक भी है।
- d y d x - 2 y पाप x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) ) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
- 1 2 y d y = syn x d x 1 2 ln y = - cos x + C ln y = - 2 cos x + C y (x) = C e - 2 cos x (\displaystyle (\begin(allined)(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x (\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(allined)))
P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)सामान्य समाधान खोजने के लिए, हमने परिचय दिया एकीकृत करने वाला कारकके एक समारोह के रूप में एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x)बाईं ओर को एक सामान्य व्युत्पन्न में कम करना और इस प्रकार समीकरण को हल करना।
- दोनों पक्षों को इससे गुणा करें μ (x) (\displaystyle \mu (x))
- μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) ) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
- बाईं ओर को एक सामान्य व्युत्पन्न में कम करने के लिए, निम्नलिखित परिवर्तन किए जाने चाहिए:
- d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\f rac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
- आखिरी समानता का मतलब यही है d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). यह एक एकीकृत कारक है जो किसी भी प्रथम क्रम रैखिक समीकरण को हल करने के लिए पर्याप्त है। अब हम इस समीकरण को हल करने के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं µ , (\displaystyle \mu ,)हालाँकि प्रशिक्षण के लिए सभी मध्यवर्ती गणनाएँ करना उपयोगी है।
- μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
- उदाहरण 1.2.इस उदाहरण में, हम विचार करते हैं कि दी गई प्रारंभिक शर्तों के साथ एक अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान कैसे खोजा जाए।
- t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2),\quad y(2)=3)
- d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
- μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e^(2\ln t)=t^(2))
- d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(alline)(\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4)+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(allined)))
- 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
- y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2))))
प्रथम क्रम के रैखिक समीकरणों को हल करना (इंटुइट - राष्ट्रीय मुक्त विश्वविद्यालय द्वारा दर्ज)। -
अरेखीय प्रथम कोटि समीकरण. इस अनुभाग में प्रथम कोटि के कुछ अरेखीय अवकल समीकरणों को हल करने की विधियों पर विचार किया गया है। हालाँकि ऐसे समीकरणों को हल करने की कोई सामान्य विधि नहीं है, उनमें से कुछ को नीचे दी गई विधियों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।
D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) ) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) ) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).)यदि फ़ंक्शन f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))को एक चर के फलनों में विभाजित किया जा सकता है, ऐसे समीकरण को कहा जाता है वियोज्य अंतर समीकरण. इस मामले में, आप उपरोक्त विधि का उपयोग कर सकते हैं:- ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
- उदाहरण 1.3.
- d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))(y(1+x^(4)))))
- ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln (1 + x 4) + C (\displaystyle (\begin(alline)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))( 1+x^(4))(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac (1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(allined)))
डी वाई डी एक्स = जी (एक्स , वाई) एच (एक्स , वाई) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) ) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).)चलिए ऐसा दिखावा करते हैं जी (एक्स , वाई) (\डिस्प्लेस्टाइल जी(एक्स, वाई))और h (x , y) (\displaystyle h(x, y))कार्य हैं एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x)और य . (\डिस्प्लेस्टाइल वाई.)तब सजातीय विभेदक समीकरणएक समीकरण है जिसमें जी (\डिस्प्लेस्टाइल जी)और एच (\डिस्प्लेस्टाइल एच)हैं सजातीय कार्यएक ही डिग्री. अर्थात्, कार्यों को शर्त पूरी करनी होगी g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)कहाँ के (\डिस्प्लेस्टाइल के)समरूपता की डिग्री कहलाती है. कोई भी समांगी अवकल समीकरण उपयुक्त द्वारा दिया जा सकता है चरों का परिवर्तन (v = y / x (\displaystyle v=y/x)या v = x / y (\displaystyle v=x/y)) वियोज्य चर वाले समीकरण में परिवर्तित करने के लिए।
- उदाहरण 1.4.समरूपता का उपरोक्त विवरण अस्पष्ट लग सकता है। आइए इस अवधारणा को एक उदाहरण से देखें।
- d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^(3))(y^(2)x)))
- आरंभ करने के लिए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह समीकरण गैर-रैखिक है य . (\डिस्प्लेस्टाइल वाई.)हम यह भी देखते हैं कि इस मामले में चरों को अलग करना असंभव है। हालाँकि, यह अंतर समीकरण सजातीय है, क्योंकि अंश और हर दोनों 3 की घात के साथ सजातीय हैं। इसलिए, हम चर में परिवर्तन कर सकते हैं v=y/x. (\displaystyle v=y/x.)
- d y d x = y x - x 2 y 2 = v - 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
- y = v x , d y d x = d v d x
- डी वी डी एक्स एक्स = - 1 वी 2। (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) ) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).)परिणामस्वरूप, हमारे पास एक समीकरण है वी (\डिस्प्लेस्टाइल वी)साझा चर के साथ.
- v (x) = − 3 log x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
- y (x) = x − 3 ln x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
डी वाई डी एक्स = पी (एक्स) वाई + क्यू (एक्स) वाई एन। (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) ) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).)यह बर्नौली विभेदक समीकरण- प्रथम डिग्री का एक विशेष प्रकार का अरेखीय समीकरण, जिसका समाधान प्राथमिक कार्यों का उपयोग करके लिखा जा सकता है।
- समीकरण के दोनों पक्षों को इससे गुणा करें (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
- (1 - n) y - n d y d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1 -n)q(x))
- हम बाईं ओर एक जटिल फ़ंक्शन के विभेदन के नियम का उपयोग करते हैं और समीकरण को इसके संबंध में एक रैखिक समीकरण में बदलते हैं y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),)जिसे उपरोक्त विधियों द्वारा हल किया जा सकता है।
- d y 1 - n d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n))((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0.)यह कुल अंतर समीकरण. तथाकथित को खोजना आवश्यक है संभावित कार्य φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), जो शर्त को पूरा करता है d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)
- इस शर्त को पूरा करना जरूरी है कुल व्युत्पन्न. कुल व्युत्पन्न अन्य चर पर निर्भरता को ध्यान में रखता है। कुल व्युत्पन्न की गणना करने के लिए φ (\displaystyle \varphi )द्वारा एक्स , (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स,)हम मानते हैं कि वाई (\डिस्प्लेस्टाइल वाई)पर भी निर्भर हो सकता है एक्स । (\डिस्प्लेस्टाइल x.)
- d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y)) (\f rac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
- शर्तों की तुलना करने से हमें पता चलता है M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\आंशिक \varphi )(\आंशिक x)))और एन (एक्स, वाई) = ∂ φ ∂ वाई . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\आंशिक \varphi )(\आंशिक y)).)यह कई चर वाले समीकरणों के लिए एक विशिष्ट परिणाम है, जहां सुचारू कार्यों के मिश्रित व्युत्पन्न एक दूसरे के बराबर होते हैं। कभी-कभी इस मामले को कहा जाता है क्लैरौट का प्रमेय. इस मामले में, यदि निम्नलिखित शर्त पूरी होती है, तो अंतर समीकरण कुल अंतर में एक समीकरण है:
- ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\आंशिक M)(\आंशिक y))=(\frac (\आंशिक N)(\आंशिक x)))
- कुल अंतरों में समीकरणों को हल करने की विधि कई व्युत्पन्नों की उपस्थिति में संभावित कार्यों को खोजने के समान है, जिस पर हम संक्षेप में चर्चा करेंगे। पहले हम एकीकृत करते हैं एम (\डिस्प्लेस्टाइल एम)द्वारा एक्स । (\डिस्प्लेस्टाइल x.)क्योंकि एम (\डिस्प्लेस्टाइल एम)एक फ़ंक्शन है और एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x), और y , (\displaystyle y,)एकीकृत करते समय, हमें एक अधूरा फ़ंक्शन मिलता है φ , (\displaystyle \varphi ,)के रूप में लेबल किया गया φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). परिणाम में आश्रित भी शामिल है वाई (\डिस्प्लेस्टाइल वाई)एकीकरण का स्थिरांक.
- φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
- उसके बाद पाना है सी (वाई) (\डिस्प्लेस्टाइल सी(वाई))आप परिणामी फ़ंक्शन के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न ले सकते हैं y , (\displaystyle y,)परिणाम को बराबर करें एन (एक्स , वाई) (\डिस्प्लेस्टाइल एन(एक्स, वाई))और एकीकृत करें. कोई पहले एकीकृत भी कर सकता है एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन), और फिर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न लें एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x), जो हमें एक मनमाना फ़ंक्शन खोजने की अनुमति देगा घ(x). (\displaystyle d(x).)दोनों विधियाँ उपयुक्त हैं, और आमतौर पर एकीकरण के लिए सरल फ़ंक्शन को चुना जाता है।
- N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\partial (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) ) c)(( \mathrm (d) )y)))
- उदाहरण 1.5.आप आंशिक व्युत्पन्न ले सकते हैं और सत्यापित कर सकते हैं कि नीचे दिया गया समीकरण कुल अंतर समीकरण है।
- 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
- φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(alline)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3) + xy^(2)+c(y)\\(\frac (\आंशिक \varphi )(\आंशिक y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(allined)))
- d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
- x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
- यदि अंतर समीकरण कुल अंतर समीकरण नहीं है, तो कुछ मामलों में आप एक एकीकृत कारक पा सकते हैं जो आपको इसे कुल अंतर समीकरण में बदलने की अनुमति देगा। हालाँकि, ऐसे समीकरणों का व्यवहार में शायद ही कभी उपयोग किया जाता है, और यद्यपि यह एकीकरण कारक है मौजूद, खोजें कि ऐसा होता है आसान नहीं है, इसलिए इस आलेख में इन समीकरणों पर विचार नहीं किया गया है।
भाग 2
दूसरे क्रम के समीकरण-
स्थिर गुणांकों के साथ सजातीय रैखिक अंतर समीकरण।ये समीकरण व्यवहार में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं, इसलिए इनका समाधान अत्यंत महत्वपूर्ण है। इस मामले में, हम सजातीय कार्यों के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, बल्कि इस तथ्य के बारे में कि समीकरण के दाईं ओर 0 है। अगले भाग में, हम दिखाएंगे कि संगत कैसे है विजातीयविभेदक समीकरण। नीचे ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)और बी (\डिस्प्लेस्टाइल बी)स्थिरांक हैं.
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
विशेषता समीकरण. यह विभेदक समीकरण इस मायने में उल्लेखनीय है कि इसे बहुत आसानी से हल किया जा सकता है यदि आप इस बात पर ध्यान दें कि इसके समाधान में क्या गुण होने चाहिए। इसे समीकरण से देखा जा सकता है वाई (\डिस्प्लेस्टाइल वाई)और इसके व्युत्पन्न एक दूसरे के समानुपाती होते हैं। पिछले उदाहरणों से, जिन पर प्रथम-क्रम समीकरणों के अनुभाग में विचार किया गया था, हम जानते हैं कि केवल घातीय फलन में ही यह गुण होता है। अत: इसे आगे रखना संभव है ansatz(एक शिक्षित अनुमान) कि दिए गए समीकरण का समाधान क्या होगा।
- समाधान एक घातीय फलन का रूप लेगा ई आर एक्स , (\displaystyle ई^(आरएक्स),)कहाँ आर (\डिस्प्लेस्टाइल आर)एक स्थिरांक है जिसका मान ज्ञात किया जाना है। इस फ़ंक्शन को समीकरण में रखें और निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करें
- e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
- यह समीकरण इंगित करता है कि एक घातांकीय फलन और एक बहुपद का गुणनफल शून्य होना चाहिए। यह ज्ञात है कि डिग्री के किसी भी मान के लिए घातांक शून्य के बराबर नहीं हो सकता है। अतः हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि बहुपद शून्य के बराबर है। इस प्रकार, हमने एक अंतर समीकरण को हल करने की समस्या को एक बीजगणितीय समीकरण को हल करने की एक बहुत ही सरल समस्या में बदल दिया है, जिसे किसी दिए गए अंतर समीकरण के लिए विशेषता समीकरण कहा जाता है।
- r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
- r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
- हमारी दो जड़ें हैं. चूँकि यह विभेदक समीकरण रैखिक है, इसका सामान्य समाधान आंशिक समाधानों का एक रैखिक संयोजन है। चूँकि यह दूसरे क्रम का समीकरण है, हम जानते हैं कि यह है वास्तव मेंसामान्य समाधान, और कोई अन्य नहीं है। इसका अधिक कठोर औचित्य समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता पर प्रमेयों में निहित है, जो पाठ्यपुस्तकों में पाया जा सकता है।
- यह जांचने का एक उपयोगी तरीका है कि क्या दो समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, गणना करना है रोन्स्कियन. रोन्स्कियन डब्ल्यू (\डिस्प्लेस्टाइल डब्ल्यू)- यह मैट्रिक्स का निर्धारक है, जिसके कॉलम में फ़ंक्शन और उनके क्रमिक व्युत्पन्न होते हैं। रैखिक बीजगणित प्रमेय बताता है कि यदि व्रोन्स्कियन शून्य के बराबर है तो व्रोनस्कियन में कार्य रैखिक रूप से निर्भर होते हैं। इस खंड में, हम यह सुनिश्चित करके परीक्षण कर सकते हैं कि क्या दो समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं कि व्रोनस्कियन गैर-शून्य है। पैरामीटर भिन्नता विधि द्वारा निरंतर गुणांक वाले गैर-सजातीय अंतर समीकरणों को हल करने में व्रोनस्कियन महत्वपूर्ण है।
- डब्ल्यू = | y 1 y 2 y 1' y 2' | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
- रैखिक बीजगणित के संदर्भ में, किसी दिए गए अंतर समीकरण के सभी समाधानों का सेट एक वेक्टर स्थान बनाता है जिसका आयाम अंतर समीकरण के क्रम के बराबर होता है। इस स्थान में, कोई भी आधार चुन सकता है रैखिक रूप से स्वतंत्रनिर्णय एक दूसरे से. यह इस तथ्य के कारण संभव है कि function y (x) (\displaystyle y(x))वैध रैखिक ऑपरेटर. यौगिक हैरैखिक ऑपरेटर, क्योंकि यह भिन्न-भिन्न कार्यों के स्थान को सभी कार्यों के स्थान में बदल देता है। ऐसे मामलों में समीकरणों को सजातीय कहा जाता है जहां कुछ रैखिक ऑपरेटर के लिए एल (\डिस्प्लेस्टाइल एल)समीकरण का हल ढूंढना आवश्यक है एल [ वाई ] = 0. (\displaystyle एल[y]=0.)
आइए अब कुछ विशिष्ट उदाहरणों की ओर मुड़ें। विशेषता समीकरण की अनेक जड़ों के मामले पर थोड़ा बाद में, क्रम में कमी के अनुभाग में विचार किया जाएगा।
यदि जड़ें r ± (\displaystyle r_(\pm ))भिन्न-भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं, अवकल समीकरण का निम्नलिखित समाधान है
- y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x))
दो जटिल जड़ें.बीजगणित के मौलिक प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि वास्तविक गुणांक वाले बहुपद समीकरणों के समाधानों की जड़ें वास्तविक होती हैं या संयुग्मी जोड़े बनाती हैं। इसलिए, यदि सम्मिश्र संख्या r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta )तो, विशेषता समीकरण का मूल है r * = α - i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta )इस समीकरण का मूल भी है. इस प्रकार, समाधान को प्रपत्र में लिखा जा सकता है c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^((\alpha -i\beta)x),)हालाँकि, यह एक जटिल संख्या है और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में अवांछनीय है।
- इसके बजाय, आप उपयोग कर सकते हैं यूलर फार्मूला e i x = cos x + i पाप x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), जो आपको त्रिकोणमितीय कार्यों के रूप में समाधान लिखने की अनुमति देता है:
- e α x (c 1 cos β x + i c 1 पाप β x + c 2 cos β x - i c 2 पाप β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2) \sin \बीटा x ))
- अब आप स्थिरांक के बजाय कर सकते हैं सी 1 + सी 2 (\displaystyle सी_(1)+सी_(2))लिखो सी 1 (\डिस्प्लेस्टाइल सी_(1)), और अभिव्यक्ति i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))द्वारा प्रतिस्थापित सी 2 . (\displaystyle c_(2).)उसके बाद हमें निम्नलिखित समाधान मिलता है:
- y (x) = e α x (c 1 cos β x + c 2 syn β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_(2)\sin \beta x))
- आयाम और चरण के संदर्भ में समाधान लिखने का एक और तरीका है, जो भौतिक समस्याओं के लिए बेहतर अनुकूल है।
- उदाहरण 2.1.आइए दी गई प्रारंभिक शर्तों के साथ नीचे दिए गए अंतर समीकरण का समाधान खोजें। इसके लिए प्राप्त समाधान का सेवन करना आवश्यक है, साथ ही इसका व्युत्पन्न भी, और उन्हें प्रारंभिक स्थितियों में प्रतिस्थापित करें, जो हमें मनमाना स्थिरांक निर्धारित करने की अनुमति देगा।
- d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 )t))+1 0x=0,\quad x(0)=1,\x"(0)=-1)
- r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = - 3 ± 9 - 40 2 = - 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm )=(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3) )(2))\pm (\frac (\ sqrt(31))(2))i)
- x (t) = e - 3 t / 2 (c 1 cos 31 2 t + c 2 पाप 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31) )(2))टी \दाएं))
- x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
- एक्स ′ (टी) = − 3 2 ई 3 टी / 2 (सी 1 कॉस 31 2 टी + सी 2 सिन 31 2 टी) + ई - 3 टी / 2 (− 31 2 सी 1 साइन 31 2 टी + 31 2 सी 2 कॉस 31 2 टी ), \frac (\sqrt (31))(2))c_( 1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(allined)))
- x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_(1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
- x (t) = e − 3 t / 2 (cos 31 2 t + 1 31 syn 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\ sqrt (31 ))(2))t\right))
स्थिर गुणांकों के साथ nवें क्रम के अंतर समीकरणों को हल करना (इंटुइट - राष्ट्रीय मुक्त विश्वविद्यालय द्वारा दर्ज)। - समाधान एक घातीय फलन का रूप लेगा ई आर एक्स , (\displaystyle ई^(आरएक्स),)कहाँ आर (\डिस्प्लेस्टाइल आर)एक स्थिरांक है जिसका मान ज्ञात किया जाना है। इस फ़ंक्शन को समीकरण में रखें और निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करें
-
पदावनति आदेश.ऑर्डर रिडक्शन अंतर समीकरणों को हल करने की एक विधि है जब एक रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान ज्ञात होता है। इस विधि में समीकरण के क्रम को एक से कम करना शामिल है, जो पिछले अनुभाग में वर्णित विधियों का उपयोग करके समीकरण को हल करने की अनुमति देता है। समाधान बताएं. ऑर्डर को कम करने का मुख्य विचार नीचे दिए गए फॉर्म में एक समाधान ढूंढना है, जहां फ़ंक्शन को परिभाषित करना आवश्यक है v (x) (\displaystyle v(x)), इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करें और खोजें वी(एक्स). (\डिस्प्लेस्टाइल v(x).)आइए विचार करें कि निरंतर गुणांक और एकाधिक जड़ों वाले अंतर समीकरण को हल करने के लिए ऑर्डर कटौती का उपयोग कैसे किया जा सकता है।
एकाधिक जड़ेंस्थिर गुणांकों के साथ सजातीय विभेदक समीकरण। याद रखें कि दूसरे क्रम के समीकरण में दो रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान होने चाहिए। यदि विशेषता समीकरण में कई जड़ें हैं, तो समाधान का सेट नहींएक स्थान बनाता है क्योंकि ये समाधान रैखिक रूप से निर्भर होते हैं। इस मामले में, दूसरा रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान खोजने के लिए ऑर्डर कटौती का उपयोग किया जाना चाहिए।
- मान लीजिए कि अभिलक्षणिक समीकरण के अनेक मूल हैं आर (\डिस्प्लेस्टाइल आर). हम मानते हैं कि दूसरा समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), और इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करें। इस मामले में, अधिकांश पद, फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न वाले पद को छोड़कर वी , (\डिस्प्लेस्टाइल वी,)कम कर दिया जाएगा।
- v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
- उदाहरण 2.2.निम्नलिखित समीकरण दिया गया है, जिसके अनेक मूल हैं आर = − 4. (\displaystyle आर=-4.)प्रतिस्थापित करते समय, अधिकांश शर्तें रद्द कर दी जाती हैं।
- d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
- y = v (x) e - 4 x y ′ = v ' (x) e - 4 x - 4 v (x) e - 4 x y ″ = v ″ (x) e - 4 x - 8 v ' (x) e - 4 x + 16 v (x) e - 4 x (\displaystyle ( \begin(allined)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v" (x)e^(-4x)-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^(-4x)\end(allined)))
- v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(align)v""e^(-4x)&-(\cancel ( 8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\ &+(\cancel (8v"e^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(allined)))
- स्थिर गुणांक वाले विभेदक समीकरण के लिए हमारे ansatz की तरह, इस मामले में केवल दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर हो सकता है। हम दो बार एकीकृत करते हैं और वांछित अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं वी (\डिस्प्लेस्टाइल वी):
- v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
- फिर स्थिर गुणांक वाले विभेदक समीकरण का सामान्य समाधान, यदि विशेषता समीकरण में कई जड़ें हैं, तो निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है। सुविधा के लिए, आप याद रख सकते हैं कि रैखिक स्वतंत्रता प्राप्त करने के लिए, दूसरे पद को केवल इससे गुणा करना पर्याप्त है एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x). समाधानों का यह सेट रैखिक रूप से स्वतंत्र है, और इस प्रकार हमने इस समीकरण के सभी समाधान ढूंढ लिए हैं।
- y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))
D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.)यदि समाधान ज्ञात हो तो ऑर्डर में कटौती लागू होती है y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), जिसे समस्या विवरण में पाया या दिया जा सकता है।
- हम फॉर्म में समाधान तलाश रहे हैं.' y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))और इसे इस समीकरण में प्लग करें:
- v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_(1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y _(1)"+q(x ))=0)
- क्योंकि y 1 (\displaystyle y_(1))सभी पदों के साथ अवकल समीकरण का एक समाधान है वी (\डिस्प्लेस्टाइल वी)सिकुड़ रहे हैं. परिणामस्वरूप, यह बना रहता है प्रथम कोटि रैखिक समीकरण. इसे और अधिक स्पष्ट रूप से देखने के लिए, आइए हम चरों को बदलें w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
- y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0)
- w (x) = exp (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d
- v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
- यदि अभिन्नों की गणना की जा सकती है, तो हमें प्राथमिक कार्यों के संयोजन के रूप में सामान्य समाधान मिलता है। अन्यथा, समाधान को समग्र रूप में छोड़ा जा सकता है।
- मान लीजिए कि अभिलक्षणिक समीकरण के अनेक मूल हैं आर (\डिस्प्लेस्टाइल आर). हम मानते हैं कि दूसरा समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), और इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करें। इस मामले में, अधिकांश पद, फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न वाले पद को छोड़कर वी , (\डिस्प्लेस्टाइल वी,)कम कर दिया जाएगा।
-
कॉची-यूलर समीकरण.कॉची-यूलर समीकरण दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का एक उदाहरण है चरगुणांक, जिसका सटीक समाधान है। इस समीकरण का उपयोग व्यवहार में किया जाता है, उदाहरण के लिए, गोलाकार निर्देशांक में लाप्लास समीकरण को हल करने के लिए।
X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\ displaystyle x^(2) (\ frac ((\ mathrm (d))^(2) y) ((\ mathrm (d)) x^(2)) + ax (\ frac (\ mathrm (d))
विशेषता समीकरण.जैसा कि आप देख सकते हैं, इस अंतर समीकरण में, प्रत्येक पद में एक शक्ति कारक होता है, जिसकी डिग्री संबंधित व्युत्पन्न के क्रम के बराबर होती है।
- इस प्रकार, कोई फॉर्म में समाधान ढूंढने का प्रयास कर सकता है y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),)कहां परिभाषित करें एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन), जैसे हम स्थिर गुणांक वाले रैखिक अंतर समीकरण के लिए एक घातांकीय फलन के रूप में एक समाधान की तलाश कर रहे थे। विभेदन एवं प्रतिस्थापन के बाद हमें प्राप्त होता है
- x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
- विशेषता समीकरण का उपयोग करने के लिए, हमें यह मानना होगा x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). डॉट x = 0 (\displaystyle x=0)बुलाया नियमित एकवचन बिंदुअंतर समीकरण। घात श्रृंखला का उपयोग करके अंतर समीकरणों को हल करते समय ऐसे बिंदु महत्वपूर्ण होते हैं। इस समीकरण की दो जड़ें हैं, जो भिन्न और वास्तविक, एकाधिक या जटिल संयुग्मी हो सकती हैं।
- n ±= 1 - a ± (a - 1) 2 - 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b)))(2)))
दो भिन्न वास्तविक जड़ें.यदि जड़ें n ± (\displaystyle n_(\pm ))वास्तविक और भिन्न हैं, तो अवकल समीकरण के समाधान का निम्नलिखित रूप होता है:
- y (x) = c 1 x n + + c 2 x n - (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))
दो जटिल जड़ें.यदि विशेषता समीकरण की जड़ें हैं n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), समाधान एक जटिल कार्य है।
- समाधान को वास्तविक फ़ंक्शन में बदलने के लिए, हम चर में परिवर्तन करते हैं x = e t , (\displaystyle x=e^(t),)वह है t = ln x , (\displaystyle t=\ln x,)और यूलर सूत्र का उपयोग करें। मनमाने स्थिरांक को परिभाषित करते समय पहले भी इसी तरह की क्रियाएं की गई थीं।
- y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+c_(2)e^(-\beta it)))
- तब सामान्य समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है
- y (x) = x α (c 1 cos (β ln x) + c 2 पाप (β ln x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))
एकाधिक जड़ें.दूसरा रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान प्राप्त करने के लिए, क्रम को फिर से कम करना आवश्यक है।
- इसमें काफी गणना करनी पड़ती है, लेकिन सिद्धांत एक ही है: हम स्थानापन्न करते हैं y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))एक समीकरण में जिसका पहला समाधान है y 1 (\displaystyle y_(1)). कटौती के बाद, निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:
- v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
- यह के संबंध में प्रथम कोटि का रैखिक समीकरण है वी′ (एक्स) . (\displaystyle v"(x).)उसका समाधान है वी (एक्स) = सी 1 + सी 2 एलएन एक्स . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)इस प्रकार, समाधान को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है। यह याद रखना बहुत आसान है - दूसरा रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान प्राप्त करने के लिए, आपको बस एक अतिरिक्त शब्द की आवश्यकता है ln x (\displaystyle \ln x).
- y (x) = x n (c 1 + c 2 ln x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))
- इस प्रकार, कोई फॉर्म में समाधान ढूंढने का प्रयास कर सकता है y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),)कहां परिभाषित करें एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन), जैसे हम स्थिर गुणांक वाले रैखिक अंतर समीकरण के लिए एक घातांकीय फलन के रूप में एक समाधान की तलाश कर रहे थे। विभेदन एवं प्रतिस्थापन के बाद हमें प्राप्त होता है
-
स्थिर गुणांक वाले अमानवीय रैखिक अंतर समीकरण।गैर-सजातीय समीकरणों का रूप होता है L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),)कहाँ एफ (एक्स) (\डिस्प्लेस्टाइल एफ(एक्स))- तथाकथित स्वतंत्र सदस्य. अवकल समीकरणों के सिद्धांत के अनुसार, इस समीकरण का सामान्य समाधान एक सुपरपोजिशन है निजी निर्णय y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))और अतिरिक्त समाधान वाई सी (एक्स) . (\displaystyle y_(c)(x).)हालाँकि, इस मामले में, एक विशेष समाधान का मतलब प्रारंभिक स्थितियों द्वारा दिया गया समाधान नहीं है, बल्कि एक ऐसा समाधान है जो असमानता (मुक्त सदस्य) की उपस्थिति के कारण होता है। पूरक समाधान संगत सजातीय समीकरण का समाधान है जिसमें f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)सामान्य समाधान, इन दो समाधानों का एक सुपरपोजिशन है L [y p + y c ] = L [y p ] + L [y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), और तबसे L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,)ऐसा सुपरपोज़िशन वास्तव में एक सामान्य समाधान है।
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
अनिश्चित गुणांक की विधि.अनिश्चित गुणांकों की विधि का उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां मुक्त पद घातीय, त्रिकोणमितीय, अतिशयोक्तिपूर्ण या घात कार्यों का संयोजन होता है। केवल इन कार्यों में रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव की एक सीमित संख्या होने की गारंटी है। इस अनुभाग में, हम समीकरण का एक विशेष समाधान ढूंढेंगे।
- में शर्तों की तुलना करें एफ (एक्स) (\डिस्प्लेस्टाइल एफ(एक्स))निरंतर कारकों की अनदेखी करने की शर्तों के साथ। तीन स्थितियाँ संभव हैं।
- कोई समान सदस्य नहीं हैं.इस मामले में, एक विशेष समाधान y p (\displaystyle y_(p))से पदों का एक रैखिक संयोजन होगा y p (\displaystyle y_(p))
- एफ (एक्स) (\डिस्प्लेस्टाइल एफ(एक्स)) सदस्य शामिल है x n (\displaystyle x^(n)) और एक सदस्य y c , (\displaystyle y_(c),) कहाँ एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन) शून्य या एक धनात्मक पूर्णांक है, और यह पद विशेषता समीकरण के एकल मूल से मेल खाता है।इस मामले में y p (\displaystyle y_(p))फ़ंक्शन के संयोजन से युक्त होगा x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),)इसके रैखिक रूप से स्वतंत्र व्युत्पन्न, साथ ही अन्य पद एफ (एक्स) (\डिस्प्लेस्टाइल एफ(एक्स))और उनके रैखिक रूप से स्वतंत्र व्युत्पन्न।
- एफ (एक्स) (\डिस्प्लेस्टाइल एफ(एक्स)) सदस्य शामिल है एच (एक्स) , (\डिस्प्लेस्टाइल एच(एक्स),) जो एक काम है x n (\displaystyle x^(n)) और एक सदस्य y c , (\displaystyle y_(c),) कहाँ एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन) 0 या एक धनात्मक पूर्णांक के बराबर है, और यह पद इससे मेल खाता है एकाधिकविशेषता समीकरण की जड़.इस मामले में y p (\displaystyle y_(p))फ़ंक्शन का एक रैखिक संयोजन है x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(कहाँ s (\डिस्प्लेस्टाइल s)- जड़ की बहुलता) और इसके रैखिक रूप से स्वतंत्र व्युत्पन्न, साथ ही फ़ंक्शन के अन्य सदस्य एफ (एक्स) (\डिस्प्लेस्टाइल एफ(एक्स))और इसके रैखिक रूप से स्वतंत्र व्युत्पन्न।
- चलो लिखो y p (\displaystyle y_(p))उपरोक्त पदों के एक रैखिक संयोजन के रूप में। रैखिक संयोजन में इन गुणांकों के कारण इस विधि को "अनिश्चित गुणांकों की विधि" कहा जाता है। उनमें निहित लोगों के प्रकट होने पर y c (\displaystyle y_(c))मनमाने स्थिरांक की उपस्थिति के कारण उनके सदस्यों को खारिज किया जा सकता है वाई सी . (\displaystyle y_(c).)उसके बाद हम स्थानापन्न करते हैं y p (\displaystyle y_(p))एक समीकरण में बदलें और समान पदों को बराबर करें।
- हम गुणांक निर्धारित करते हैं। इस स्तर पर, बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है, जिसे आमतौर पर बिना किसी विशेष समस्या के हल किया जा सकता है। इस प्रणाली का समाधान प्राप्त करना संभव बनाता है y p (\displaystyle y_(p))और इस प्रकार समीकरण को हल करें।
- उदाहरण 2.3.एक अमानवीय अवकल समीकरण पर विचार करें जिसके मुक्त पद में रैखिक रूप से स्वतंत्र व्युत्पन्नों की एक सीमित संख्या होती है। ऐसे समीकरण का एक विशेष समाधान अनिश्चित गुणांक की विधि द्वारा पाया जा सकता है।
- d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t - cos 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2)))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
- y c (t) = c 1 cos 6 t + c 2 syn 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
- y p (t) = A e 3 t + B cos 5 t + C syn 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
- 9 ए ई 3 टी - 25 बी कॉस 5 टी - 25 सी पाप 5 टी + 6 ए ई 3 टी + 6 बी कॉस 5 टी + 6 सी पाप 5 टी = 2 ई 3 टी - कॉस 5 टी (\displaystyle (\begin(alline)9Ae^(3t)- 25B\cos 5 t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\cos 5t\end(allined)))
- ( 9 ए + 6 ए = 2 , ए = 2 15 - 25 बी + 6 बी = - 1 , बी = 1 19 - 25 सी + 6 सी = 0 , सी = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+6A=2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=( \dfrac (1)(1 9))\\-25C+6C=0,&C=0\end(cases)))
- y (t) = c 1 cos 6 t + c 2 syn 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos 5 t )+(\frac (1)(19))\cos 5t)
लैग्रेंज विधि.लैग्रेंज विधि, या मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि, अमानवीय अंतर समीकरणों को हल करने के लिए एक अधिक सामान्य विधि है, खासकर उन मामलों में जहां मुक्त पद में रैखिक रूप से स्वतंत्र व्युत्पन्न की एक सीमित संख्या नहीं होती है। उदाहरण के लिए, मुफ़्त सदस्यों के साथ tan x (\displaystyle \tan x)या x − n (\displaystyle x^(-n))किसी विशेष समाधान को खोजने के लिए लैग्रेंज विधि का उपयोग करना आवश्यक है। लैग्रेंज विधि का उपयोग चर गुणांक वाले अंतर समीकरणों को हल करने के लिए भी किया जा सकता है, हालांकि इस मामले में, कॉची-यूलर समीकरण के अपवाद के साथ, इसका उपयोग अक्सर कम किया जाता है, क्योंकि अतिरिक्त समाधान आमतौर पर प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जाता है।
- आइए मान लें कि समाधान का रूप निम्नलिखित है। इसका व्युत्पत्ति दूसरी पंक्ति में दिया गया है।
- y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_(2)(x)y_(2)(x))
- y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1)"+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
- चूँकि प्रस्तावित समाधान में शामिल है दोअज्ञात मात्राएँ लगाना आवश्यक है अतिरिक्तस्थिति। हम इस अतिरिक्त शर्त को निम्नलिखित रूप में चुनते हैं:
- v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
- y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
- y ″ = V 1 ′ Y 1 ′ + V 1 Y 1 ″ + V 2 ′ Y 2 ′ + V 2 Y 2 ″ (\ DisplayStyle y "" = V_ (1) "y_ (1)" + v_ (1) y_ (1) "" + v_ (2) "y_ (2)" + v_ (2) "" + v_ (2) "" " + v_ (2)"
- अब हम दूसरा समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। सदस्यों को प्रतिस्थापित और पुनर्वितरित करने के बाद, आप सदस्यों को एक साथ समूहित कर सकते हैं v 1 (\displaystyle v_(1))और सदस्यों से v 2 (\displaystyle v_(2)). ये शर्तें रद्द कर दी गई हैं क्योंकि y 1 (\displaystyle y_(1))और y 2 (\displaystyle y_(2))संगत सजातीय समीकरण के समाधान हैं। परिणामस्वरूप, हमें समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त होती है
- v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(alline)v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y _(2)"&=f(x) \\\end(संरेखित)))
- इस प्रणाली को फॉर्म के मैट्रिक्स समीकरण में बदला जा सकता है A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ,)जिसका समाधान है एक्स = ए - 1 बी। (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).)मैट्रिक्स के लिए 2 × 2 (\प्रदर्शन शैली 2\गुना 2)व्युत्क्रम मैट्रिक्स को निर्धारक द्वारा विभाजित करके, विकर्ण तत्वों को क्रमबद्ध करके और ऑफ-विकर्ण तत्वों के चिह्न को उलट कर पाया जाता है। वास्तव में, इस मैट्रिक्स का निर्धारक एक व्रोनस्कियन है।
- (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_(2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_( 2)"&-y_(2)\\-y_(1)" &y_(1)\end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
- के लिए अभिव्यक्तियाँ v 1 (\displaystyle v_(1))और v 2 (\displaystyle v_(2))नीचे सूचीबद्ध हैं. जैसा कि क्रम में कमी विधि में होता है, इस मामले में एकीकरण के दौरान एक मनमाना स्थिरांक प्रकट होता है, जिसमें अंतर समीकरण के सामान्य समाधान में एक अतिरिक्त समाधान शामिल होता है।
- v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_(2)(x)(\mathrm (d) )x)
- v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1)(x)(\mathrm (d) )x)
नेशनल ओपन यूनिवर्सिटी इंटुइट का व्याख्यान "निरंतर गुणांक के साथ एन-वें क्रम के रैखिक अंतर समीकरण" शीर्षक से दिया गया। - में शर्तों की तुलना करें एफ (एक्स) (\डिस्प्लेस्टाइल एफ(एक्स))निरंतर कारकों की अनदेखी करने की शर्तों के साथ। तीन स्थितियाँ संभव हैं।
प्रायोगिक उपयोग
विभेदक समीकरण किसी फ़ंक्शन और उसके एक या अधिक डेरिवेटिव के बीच संबंध स्थापित करते हैं। चूँकि ऐसे रिश्ते बहुत आम हैं, अंतर समीकरणों को विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, और चूंकि हम चार आयामों में रहते हैं, इसलिए ये समीकरण अक्सर अंतर समीकरण होते हैं निजीव्युत्पन्न। यह अनुभाग इस प्रकार के कुछ सबसे महत्वपूर्ण समीकरणों पर चर्चा करता है।
- घातीय वृद्धि और क्षय.रेडियोधर्मी क्षय। चक्रवृद्धि ब्याज। रासायनिक प्रतिक्रियाओं की दर. रक्त में दवाओं की सांद्रता. असीमित जनसंख्या वृद्धि. न्यूटन-रिचमैन नियम. वास्तविक दुनिया में, ऐसी कई प्रणालियाँ हैं जिनमें किसी भी समय वृद्धि या गिरावट की दर उस समय की मात्रा के समानुपाती होती है, या एक मॉडल द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित की जा सकती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि इस अंतर समीकरण का समाधान, घातांकीय फलन, गणित और अन्य विज्ञानों में सबसे महत्वपूर्ण कार्यों में से एक है। अधिक सामान्यतः, नियंत्रित जनसंख्या वृद्धि के तहत, सिस्टम में अतिरिक्त शर्तें शामिल हो सकती हैं जो वृद्धि को सीमित करती हैं। नीचे दिए गए समीकरण में, स्थिरांक के (\डिस्प्लेस्टाइल के)शून्य से अधिक या कम भी हो सकता है।
- d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
- हार्मोनिक कंपन.शास्त्रीय और क्वांटम यांत्रिकी दोनों में, हार्मोनिक ऑसिलेटर अपनी सादगी और सरल पेंडुलम जैसी अधिक जटिल प्रणालियों का अनुमान लगाने के लिए व्यापक अनुप्रयोग के कारण सबसे महत्वपूर्ण भौतिक प्रणालियों में से एक है। शास्त्रीय यांत्रिकी में, हार्मोनिक दोलनों का वर्णन एक समीकरण द्वारा किया जाता है जो हुक के नियम के माध्यम से किसी सामग्री बिंदु की स्थिति को उसके त्वरण से जोड़ता है। इस मामले में, अवमंदन और ड्राइविंग बलों को भी ध्यान में रखा जा सकता है। नीचे दिए गए अभिव्यक्ति में x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- समय का व्युत्पन्न एक्स , (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स,) β (\डिस्प्लेस्टाइल \बीटा )एक पैरामीटर है जो अवमंदन बल का वर्णन करता है, ω 0 (\displaystyle \ओमेगा _(0))- प्रणाली की कोणीय आवृत्ति, एफ (टी) (\डिस्प्लेस्टाइल एफ(टी))समय पर निर्भर प्रेरक शक्ति है। हार्मोनिक ऑसिलेटर इलेक्ट्रोमैग्नेटिक ऑसिलेटरी सर्किट में भी मौजूद होता है, जहां इसे मैकेनिकल सिस्टम की तुलना में अधिक सटीकता के साथ लागू किया जा सकता है।
- x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x=F(t))
- बेसेल समीकरण.बेसेल अंतर समीकरण का उपयोग भौतिकी के कई क्षेत्रों में किया जाता है, जिसमें तरंग समीकरण, लाप्लास समीकरण और श्रोडिंगर समीकरण का समाधान शामिल है, विशेष रूप से बेलनाकार या गोलाकार समरूपता की उपस्थिति में। चर गुणांकों वाला यह दूसरे क्रम का अंतर समीकरण कॉची-यूलर समीकरण नहीं है, इसलिए इसके समाधानों को प्राथमिक कार्यों के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। बेसेल समीकरण के समाधान बेसेल फ़ंक्शन हैं, जिनका इस तथ्य के कारण अच्छी तरह से अध्ययन किया जाता है कि उनका उपयोग कई क्षेत्रों में किया जाता है। नीचे दिए गए अभिव्यक्ति में α (\displaystyle \alpha )एक स्थिरांक है जो मेल खाता है आदेशबेसेल कार्य करता है.
- x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+( x^(2)- \alpha ^(2))y=0)
- मैक्सवेल के समीकरण.लोरेंत्ज़ बल के साथ, मैक्सवेल के समीकरण शास्त्रीय इलेक्ट्रोडायनामिक्स का आधार बनते हैं। ये विद्युत के लिए चार आंशिक विभेदक समीकरण हैं E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t))और चुंबकीय B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t))खेत। नीचे दिए गए भावों में ρ = ρ (आर , टी) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- चार्ज का घनत्व, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))वर्तमान घनत्व है, और ϵ 0 (\displaystyle \एप्सिलॉन _(0))और μ 0 (\displaystyle \mu _(0))क्रमशः विद्युत और चुंबकीय स्थिरांक हैं।
- μ 0 rac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\mathb f (J) )+\mu _(0 )\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(allined)))
- श्रोडिंगर समीकरण.क्वांटम यांत्रिकी में, श्रोडिंगर समीकरण गति का मूल समीकरण है जो तरंग फ़ंक्शन में परिवर्तन के अनुसार कणों की गति का वर्णन करता है Ψ = Ψ (आर , टी) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t))समय के साथ। गति का समीकरण व्यवहार द्वारा वर्णित है हैमिल्टनियन एच ^ (\प्रदर्शन शैली (\टोपी(एच))) - ऑपरेटर, जो सिस्टम की ऊर्जा का वर्णन करता है। भौतिकी में श्रोडिंगर समीकरण के प्रसिद्ध उदाहरणों में से एक एक गैर-सापेक्ष कण के लिए समीकरण है, जो क्षमता के अधीन है V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). कई प्रणालियों का वर्णन समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण द्वारा किया गया है, जिसमें बाईं ओर का समीकरण है ई Ψ , (\displaystyle ई\Psi ,)कहाँ ई (\डिस्प्लेस्टाइल ई)कण की ऊर्जा है. नीचे दिए गए भावों में ℏ (\displaystyle \hbar )घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक है।
- i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
- i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) )\right)\Psi )
- तरंग समीकरण.तरंगों के बिना भौतिकी और प्रौद्योगिकी की कल्पना करना असंभव है, ये सभी प्रकार की प्रणालियों में मौजूद हैं। सामान्य तौर पर, तरंगों का वर्णन नीचे दिए गए समीकरण द्वारा किया जाता है यू = यू (आर , टी) (\displaystyle यू=यू((\मैथबीएफ (आर) ),टी))वांछित कार्य है, और सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी)- प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित स्थिरांक। डी'अलेम्बर्ट ने सबसे पहले यह पता लगाया था कि एक-आयामी मामले के लिए तरंग समीकरण का समाधान क्या है कोईतर्क के साथ कार्य करें x − c t (\displaystyle x-ct), जो दाईं ओर फैलने वाली एक मनमानी लहर का वर्णन करता है। एक-आयामी मामले के लिए सामान्य समाधान एक तर्क के साथ दूसरे फ़ंक्शन के साथ इस फ़ंक्शन का एक रैखिक संयोजन है x + c t (\displaystyle x+ct), जो बाईं ओर फैलने वाली एक लहर का वर्णन करता है। यह समाधान दूसरी पंक्ति में प्रस्तुत किया गया है.
- ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\आंशिक ^(2)u)(\आंशिक t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u)
- u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
- नेवियर-स्टोक्स समीकरण.नेवियर-स्टोक्स समीकरण तरल पदार्थों की गति का वर्णन करते हैं। चूंकि तरल पदार्थ विज्ञान और प्रौद्योगिकी के लगभग हर क्षेत्र में मौजूद हैं, इसलिए ये समीकरण मौसम की भविष्यवाणी, विमान डिजाइन, समुद्री धाराओं और कई अन्य अनुप्रयोगों के लिए बेहद महत्वपूर्ण हैं। नेवियर-स्टोक्स समीकरण गैर-रैखिक आंशिक अंतर समीकरण हैं, और ज्यादातर मामलों में उन्हें हल करना बहुत मुश्किल है, क्योंकि गैर-रैखिकता अशांति की ओर ले जाती है, और संख्यात्मक तरीकों से एक स्थिर समाधान प्राप्त करने के लिए, बहुत छोटी कोशिकाओं में विभाजन आवश्यक है, जिसके लिए महत्वपूर्ण कंप्यूटिंग शक्ति की आवश्यकता होती है। हाइड्रोडायनामिक्स में व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, अशांत प्रवाह को मॉडल करने के लिए समय औसत जैसी विधियों का उपयोग किया जाता है। इससे भी अधिक बुनियादी प्रश्न, जैसे कि गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरणों के समाधानों का अस्तित्व और विशिष्टता, जटिल समस्याएं हैं, और तीन आयामों में नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के समाधानों के अस्तित्व और विशिष्टता को साबित करना सहस्राब्दी की गणितीय समस्याओं में से एक है। नीचे असम्पीडित द्रव प्रवाह समीकरण और निरंतरता समीकरण हैं।
- ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u - ν ∇ 2 u = - ∇ h \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h,\quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)
- कई विभेदक समीकरणों को उपरोक्त विधियों द्वारा हल नहीं किया जा सकता है, विशेष रूप से पिछले अनुभाग में उल्लिखित विधियों द्वारा। यह तब लागू होता है जब समीकरण में परिवर्तनीय गुणांक होते हैं और यह कॉची-यूलर समीकरण नहीं होता है, या जब समीकरण गैर-रैखिक होता है, कुछ बहुत ही दुर्लभ मामलों को छोड़कर। हालाँकि, उपरोक्त विधियाँ आपको कई महत्वपूर्ण अंतर समीकरणों को हल करने की अनुमति देती हैं जो अक्सर विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में सामने आते हैं।
- विभेदन के विपरीत, जो आपको किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने की अनुमति देता है, कई अभिव्यक्तियों का अभिन्न अंग प्राथमिक कार्यों में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इसलिए, जहां यह असंभव है वहां अभिन्न की गणना करने में समय बर्बाद न करें। अभिन्नों की तालिका देखें. यदि किसी विभेदक समीकरण का समाधान प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, तो कभी-कभी इसे अभिन्न रूप में दर्शाया जा सकता है, और इस मामले में इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि इस अभिन्न की गणना विश्लेषणात्मक रूप से की जा सकती है या नहीं।
चेतावनियाँ
- उपस्थितिअंतर समीकरण भ्रामक हो सकता है. उदाहरण के लिए, नीचे दो प्रथम-क्रम अवकल समीकरण हैं। इस आलेख में वर्णित विधियों का उपयोग करके पहला समीकरण आसानी से हल किया गया है। पहली नज़र में, मामूली बदलाव वाई (\डिस्प्लेस्टाइल वाई)पर y 2 (\displaystyle y^(2))दूसरे समीकरण में यह गैर-रैखिक हो जाता है और इसे हल करना बहुत कठिन हो जाता है।
- d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) ) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
- d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) ) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))
या तो व्युत्पन्न के संबंध में पहले ही हल किया जा चुका है, या उन्हें व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है 
.
अंतराल पर प्रकार के विभेदक समीकरणों का सामान्य समाधान एक्स, जो दिया गया है, इस समानता के दोनों पक्षों का अभिन्न अंग लेकर पाया जा सकता है।
पाना 
.
यदि हम अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुणों को देखें, तो हमें वांछित सामान्य समाधान मिलता है:
वाई = एफ(एक्स) + सी,
कहाँ एफ(एक्स)- फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव में से एक एफ(एक्स)बीच में एक्स, ए साथएक मनमाना स्थिरांक है.
कृपया ध्यान दें कि अधिकांश कार्यों में अंतराल एक्सइंगित न करें. इसका मतलब है कि हर किसी के लिए एक समाधान खोजा जाना चाहिए। एक्स, जिसके लिए और वांछित कार्य य, और मूल समीकरण समझ में आता है।
यदि आपको किसी विभेदक समीकरण के किसी विशेष समाधान की गणना करने की आवश्यकता है जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है y(x0) = y0, फिर सामान्य अभिन्न की गणना करने के बाद वाई = एफ(एक्स) + सी, स्थिरांक का मान निर्धारित करना अभी भी आवश्यक है सी=सी0प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करना। यानी एक स्थिरांक सी=सी0समीकरण से निर्धारित होता है एफ(एक्स 0) + सी = वाई 0, और अवकल समीकरण का वांछित विशेष समाधान रूप लेगा:
y = F(x) + C0.
एक उदाहरण पर विचार करें:
अवकल समीकरण का सामान्य समाधान खोजें, परिणाम की सत्यता की जाँच करें। आइए इस समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करेगा।
समाधान:
दिए गए अंतर समीकरण को एकीकृत करने के बाद, हमें मिलता है:
.
हम इस अभिन्न अंग को भागों द्वारा एकीकरण की विधि द्वारा लेते हैं:
वह।, 
अवकल समीकरण का एक सामान्य समाधान है।
आइए यह सुनिश्चित करने के लिए जांच करें कि परिणाम सही है। ऐसा करने के लिए, हम दिए गए समीकरण में पाए गए समाधान को प्रतिस्थापित करते हैं:
.
यानी, पर 
मूल समीकरण एक पहचान में बदल जाता है:
इसलिए, अंतर समीकरण का सामान्य समाधान सही ढंग से निर्धारित किया गया था।
हमने जो समाधान पाया वह तर्क के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है एक्स.
यह ODE के एक विशेष समाधान की गणना करने के लिए बना हुआ है जो प्रारंभिक स्थिति को पूरा करेगा। दूसरे शब्दों में, स्थिरांक के मान की गणना करना आवश्यक है साथ, जिस पर समानता सत्य होगी:
.
.
फिर, प्रतिस्थापित करना सी = 2 ODE के सामान्य समाधान में, हम अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान प्राप्त करते हैं जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है:
.
साधारण अंतर समीकरण 
समीकरण के 2 भागों को विभाजित करके व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है एफ(एक्स). यह परिवर्तन समतुल्य होगा यदि एफ(एक्स)किसी के लिए शून्य नहीं जाता एक्सविभेदक समीकरण के एकीकरण के अंतराल से एक्स.
स्थितियाँ तब संभावित होती हैं, जब तर्क के कुछ मूल्यों के लिए एक्स ∈ एक्सकार्य एफ(एक्स)और जी(एक्स)एक ही समय में शून्य हो जाओ. समान मूल्यों के लिए एक्सअवकल समीकरण का सामान्य समाधान कोई फलन है य, जो उनमें परिभाषित है, क्योंकि .
यदि तर्क के कुछ मूल्यों के लिए एक्स ∈ एक्सशर्त संतुष्ट है, जिसका अर्थ है कि इस मामले में ODE के पास कोई समाधान नहीं है।
अन्य सभी के लिए एक्सअंतराल से एक्सअवकल समीकरण का सामान्य समाधान परिवर्तित समीकरण से निर्धारित होता है।
आइए उदाहरण देखें:
उदाहरण 1
आइए हम ODE का सामान्य समाधान खोजें: 
.
समाधान।
बुनियादी प्राथमिक कार्यों के गुणों से, यह स्पष्ट है कि प्राकृतिक लघुगणक फ़ंक्शन को तर्क के गैर-नकारात्मक मानों के लिए परिभाषित किया गया है, इसलिए, अभिव्यक्ति का डोमेन लॉग(x+3)एक अंतराल है एक्स > -3 . इसलिए, दिया गया अंतर समीकरण समझ में आता है एक्स > -3 . तर्क के इन मूल्यों के साथ, अभिव्यक्ति एक्स + 3गायब नहीं होता है, इसलिए कोई भी व्युत्पन्न के संबंध में ODE को 2 भागों से विभाजित करके हल कर सकता है एक्स + 3.
हम पाते हैं 
.
इसके बाद, हम व्युत्पन्न के संबंध में हल किए गए परिणामी अंतर समीकरण को एकीकृत करते हैं: 
. इस समाकलन को लेने के लिए, हम अवकल के चिह्न के अंतर्गत सम्मिलित करने की विधि का उपयोग करते हैं।
साधारण अंतर समीकरण एक समीकरण कहा जाता है जो एक स्वतंत्र चर, इस चर के एक अज्ञात फ़ंक्शन और इसके विभिन्न आदेशों के डेरिवेटिव (या अंतर) को जोड़ता है।
विभेदक समीकरण का क्रम इसमें निहित उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम है।
सामान्य समीकरणों के अतिरिक्त आंशिक अवकल समीकरणों का भी अध्ययन किया जाता है। ये स्वतंत्र चरों से संबंधित समीकरण हैं, इन चरों का एक अज्ञात फलन और समान चरों के संबंध में इसके आंशिक व्युत्पन्न हैं। लेकिन हम सिर्फ विचार करेंगे सामान्य अवकल समीकरण और इसलिए हम संक्षिप्तता के लिए "सामान्य" शब्द को छोड़ देंगे।
विभेदक समीकरणों के उदाहरण:
(1) 
;
(3) 
;
(4) 
;
समीकरण (1) चौथे क्रम का है, समीकरण (2) तीसरे क्रम का है, समीकरण (3) और (4) दूसरे क्रम का है, समीकरण (5) पहले क्रम का है।
अंतर समीकरण एनऑर्डर में स्पष्ट रूप से एक फ़ंक्शन, उसके पहले से लेकर सभी डेरिवेटिव शामिल होने की आवश्यकता नहीं है एनवां क्रम और एक स्वतंत्र चर। इसमें स्पष्ट रूप से कुछ आदेशों, एक फ़ंक्शन, एक स्वतंत्र चर के डेरिवेटिव शामिल नहीं हो सकते हैं।
उदाहरण के लिए, समीकरण (1) में स्पष्ट रूप से तीसरे और दूसरे क्रम के व्युत्पन्न, साथ ही फ़ंक्शन नहीं हैं; समीकरण (2) में - दूसरे क्रम का व्युत्पन्न और कार्य; समीकरण (4) में - स्वतंत्र चर; समीकरण (5) में - कार्य। केवल समीकरण (3) में स्पष्ट रूप से सभी व्युत्पन्न, फ़ंक्शन और स्वतंत्र चर शामिल हैं।
अवकल समीकरण को हल करके किसी फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है वाई = एफ(एक्स), जिसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, यह एक पहचान में बदल जाता है।
किसी अवकल समीकरण का हल ढूंढने की प्रक्रिया को उसका कहा जाता है एकीकरण.
उदाहरण 1अवकल समीकरण का हल खोजें.
समाधान। हम इस समीकरण को इस रूप में लिखते हैं। समाधान यह है कि फ़ंक्शन को उसके व्युत्पन्न द्वारा खोजा जाए। मूल फलन, जैसा कि समाकलन कलन से ज्ञात होता है, इसका प्रतिअवकलन है, अर्थात्।
यह वही है दिए गए अंतर समीकरण का समाधान . इसमें परिवर्तन हो रहा है सी, हमें अलग-अलग समाधान मिलेंगे। हमने पाया कि प्रथम-क्रम अवकल समीकरण के अनंत संख्या में समाधान हैं।
अवकल समीकरण का सामान्य समाधान एनवां क्रम इसका समाधान है जो अज्ञात फ़ंक्शन और युक्त के संबंध में स्पष्ट रूप से व्यक्त किया गया है एनस्वतंत्र मनमाना स्थिरांक, अर्थात्
उदाहरण 1 में अवकल समीकरण का समाधान सामान्य है।
अवकल समीकरण का आंशिक समाधान इसका समाधान कहलाता है, जिसमें मनमाने स्थिरांकों को विशिष्ट संख्यात्मक मान निर्दिष्ट किये जाते हैं।
उदाहरण 2अवकल समीकरण का सामान्य समाधान और एक विशेष समाधान खोजें 
.
समाधान। हम समीकरण के दोनों भागों को इतनी बार एकीकृत करते हैं कि अंतर समीकरण का क्रम बराबर हो जाता है।
,
.
परिणामस्वरूप, हमें सामान्य समाधान मिला -
तीसरे क्रम का अंतर समीकरण दिया गया है।
आइए अब निर्दिष्ट शर्तों के तहत एक विशेष समाधान खोजें। ऐसा करने के लिए, हम मनमाने गुणांकों के स्थान पर उनके मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं
.
यदि अवकल समीकरण के अतिरिक्त प्रारंभिक स्थिति को रूप में दिया जाए तो ऐसी समस्या कहलाती है कॉची समस्या . मानों को समीकरण के सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित किया जाता है और एक मनमाना स्थिरांक का मान पाया जाता है सी, और फिर पाए गए मान के लिए समीकरण का एक विशेष समाधान सी. यह कॉची समस्या का समाधान है.
उदाहरण 3शर्त के तहत उदाहरण 1 से अवकल समीकरण के लिए कॉची समस्या को हल करें।
समाधान। हम प्रारंभिक स्थिति से मूल्यों को सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करते हैं य = 3, एक्स= 1. हमें मिलता है
हम पहले क्रम के दिए गए अंतर समीकरण के लिए कॉची समस्या का समाधान लिखते हैं:
अंतर समीकरणों को हल करने के लिए, यहां तक कि सबसे सरल समीकरणों को भी, जटिल कार्यों सहित, एकीकृत करने और डेरिवेटिव लेने में अच्छे कौशल की आवश्यकता होती है। इसे निम्नलिखित उदाहरण में देखा जा सकता है।
उदाहरण 4अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।
समाधान। समीकरण इस प्रकार लिखा गया है कि दोनों पक्षों को तुरंत एकीकृत किया जा सके।
.
हम चर (प्रतिस्थापन) को बदलकर एकीकरण की विधि लागू करते हैं। चलो, फिर.
लेना आवश्यक है डीएक्सऔर अब - ध्यान - हम इसे एक जटिल फ़ंक्शन के भेदभाव के नियमों के अनुसार करते हैं एक्सऔर एक जटिल कार्य है ("सेब" - वर्गमूल निकालना या, जो समान है - "एक सेकंड" की शक्ति तक बढ़ाना, और "कीमा बनाया हुआ मांस" - जड़ के नीचे ही अभिव्यक्ति):
हम अभिन्न पाते हैं:
वेरिएबल पर लौटना एक्स, हम पाते हैं:
.
यह प्रथम डिग्री के इस अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है।
अंतर समीकरणों को हल करने के लिए न केवल उच्च गणित के पिछले अनुभागों के कौशल की आवश्यकता होगी, बल्कि प्रारंभिक यानी स्कूली गणित के कौशल की भी आवश्यकता होगी। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, किसी भी क्रम के अंतर समीकरण में एक स्वतंत्र चर, यानी एक चर नहीं हो सकता है एक्स. स्कूल बेंच से अनुपात के बारे में जो ज्ञान भुलाया नहीं गया है (हालाँकि, किसी के पास भी ऐसा है) इस समस्या को हल करने में मदद करेगा। यह अगला उदाहरण है.
उस समस्या को याद करें जिसका सामना हमें निश्चित समाकलन ढूँढ़ते समय करना पड़ा था:
या dy = f(x)dx. उसका समाधान:
और यह अनिश्चितकालीन अभिन्न की गणना के लिए कम हो जाता है। व्यवहार में, एक अधिक कठिन कार्य अधिक सामान्य है: एक फ़ंक्शन ढूंढना य, यदि यह ज्ञात हो कि यह प्रपत्र के संबंध को संतुष्ट करता है
यह संबंध स्वतंत्र चर से संबंधित है एक्स, अज्ञात फ़ंक्शन यऔर इसके डेरिवेटिव ऑर्डर तक एनसमावेशी, कहलाते हैं .
एक अंतर समीकरण में एक आदेश या किसी अन्य के डेरिवेटिव (या अंतर) के संकेत के तहत एक फ़ंक्शन शामिल होता है। उच्चतम के क्रम को क्रम कहा जाता है (9.1) .
विभेदक समीकरण:
- पहले के आदेश
दूसरा आदेश,
- पाँचवाँ क्रम, आदि।
एक फ़ंक्शन जो किसी दिए गए अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है उसे इसका समाधान कहा जाता है , या अभिन्न . इसे हल करने का अर्थ है इसके सभी समाधान ढूंढना। यदि वांछित कार्य के लिए यएक ऐसा सूत्र प्राप्त करने में सफल हो गया जो सभी समाधान देता है, तो हम कहते हैं कि हमने इसका सामान्य समाधान ढूंढ लिया है , या सामान्य अभिन्न .
सामान्य निर्णय
रोकना एनमनमाना स्थिरांक 
और ऐसा दिखता है
यदि कोई संबंध प्राप्त होता है जो संबंधित है एक्स, वाईऔर एनमनमाना स्थिरांक, ऐसे रूप में जिसके संबंध में अनुमति नहीं है य -
तो ऐसे संबंध को समीकरण (9.1) का सामान्य समाकलन कहा जाता है।
कॉची समस्या
प्रत्येक विशिष्ट समाधान, अर्थात, प्रत्येक विशिष्ट फ़ंक्शन जो किसी दिए गए अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है और मनमाने स्थिरांक पर निर्भर नहीं करता है, एक विशेष समाधान कहलाता है , या निजी अभिन्न. सामान्य समाधानों से विशेष समाधान (अभिन्न) प्राप्त करने के लिए, स्थिरांकों के साथ विशिष्ट संख्यात्मक मान संलग्न करना आवश्यक है।
किसी विशेष समाधान के ग्राफ़ को अभिन्न वक्र कहा जाता है। सामान्य समाधान, जिसमें सभी विशेष समाधान शामिल हैं, अभिन्न वक्रों का एक परिवार है। प्रथम-क्रम समीकरण के लिए, यह परिवार एक मनमाना स्थिरांक पर निर्भर करता है; समीकरण के लिए एनवां क्रम - से एनमनमाना स्थिरांक.
कॉची समस्या समीकरण का एक विशेष समाधान खोजना है एनवां क्रम, संतोषजनक एनआरंभिक स्थितियां:
जो n स्थिरांक с 1 , с 2 ,..., c n निर्धारित करते हैं।
प्रथम क्रम विभेदक समीकरण
व्युत्पन्न के संबंध में एक अनसुलझे के लिए, प्रथम क्रम के अंतर समीकरण का रूप होता है
या अपेक्षाकृत अनुमति के लिए
उदाहरण 3.46. समीकरण का सामान्य समाधान खोजें
समाधान।एकीकृत करने पर हमें प्राप्त होता है
जहाँ C एक मनमाना स्थिरांक है। यदि हम C को विशिष्ट संख्यात्मक मान देते हैं, तो हमें विशेष समाधान मिलते हैं, उदाहरण के लिए,
उदाहरण 3.47. 100 आर के संचय के अधीन, बैंक में जमा की गई धनराशि की बढ़ती राशि पर विचार करें प्रति वर्ष चक्रवृद्धि ब्याज. मान लीजिए कि यो धन की प्रारंभिक राशि है, और समाप्ति के बाद Yx है एक्ससाल। जब ब्याज की गणना वर्ष में एक बार की जाती है, तो हमें मिलता है
जहाँ x = 0, 1, 2, 3,.... जब ब्याज की गणना वर्ष में दो बार की जाती है, तो हमें मिलता है
जहां x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... ब्याज की गणना करते समय एनसाल में एक बार और यदि एक्सफिर क्रमिक रूप से मान 0, 1/n, 2/n, 3/n,... लेता है
1/n = h को निरूपित करें, तो पिछली समानता इस प्रकार दिखाई देगी:
असीमित आवर्धन के साथ एन(पर 
) सीमा में हम निरंतर ब्याज उपार्जन के साथ धन की मात्रा बढ़ाने की प्रक्रिया पर आते हैं:
इस प्रकार, यह निरंतर परिवर्तन के साथ देखा जा सकता है एक्समुद्रा आपूर्ति में परिवर्तन का नियम प्रथम क्रम के अंतर समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है। जहाँ Y x एक अज्ञात फलन है, एक्स- स्वतंत्र चर, आर- नियत। हम इस समीकरण को हल करते हैं, इसके लिए हम इसे इस प्रकार फिर से लिखते हैं:
कहाँ 
, या 
, जहां P का मतलब e C है।
प्रारंभिक स्थितियों Y(0) = Yo से, हम पाते हैं P: Yo = Pe o, जहां से, Yo = P. इसलिए, समाधान इस प्रकार दिखता है:
दूसरी आर्थिक समस्या पर विचार करें. मैक्रोइकॉनॉमिक मॉडल को पहले क्रम के रैखिक अंतर समीकरणों द्वारा भी वर्णित किया जाता है, जो समय के एक फ़ंक्शन के रूप में आय या आउटपुट वाई में परिवर्तन का वर्णन करता है।
उदाहरण 3.48. मान लीजिए कि राष्ट्रीय आय Y उसके मूल्य के अनुपातिक दर से बढ़ती है:
और मान लीजिए, सरकारी व्यय में घाटा आनुपातिकता गुणांक के साथ आय Y के सीधे आनुपातिक है क्यू. व्यय में कमी से राष्ट्रीय ऋण में वृद्धि होती है D:
आरंभिक स्थितियाँ Y = Yo और D = t = 0 पर करें। पहले समीकरण से Y= Yoe kt। Y को प्रतिस्थापित करने पर हमें dD/dt = qYoe kt प्राप्त होता है। सामान्य समाधान का स्वरूप होता है
डी = (क्यू/ के) यो केटी +सी, जहां सी = स्थिरांक, जो प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होता है। प्रारंभिक शर्तों को प्रतिस्थापित करने पर, हम Do = (q/k)Yo + C प्राप्त करते हैं। तो, अंततः,
डी = करो +(क्यू/के)यो (ई केटी -1),
इससे पता चलता है कि राष्ट्रीय ऋण उसी सापेक्ष दर से बढ़ रहा है क, जो राष्ट्रीय आय है।
सबसे सरल अंतर समीकरणों पर विचार करें एनक्रम, ये फॉर्म के समीकरण हैं
इसका सामान्य समाधान प्रयोग करके प्राप्त किया जा सकता है एनएकीकरण का समय.
उदाहरण 3.49.उदाहरण y """ = cos x पर विचार करें।
समाधान।एकीकृत करते हुए, हम पाते हैं
सामान्य समाधान का स्वरूप होता है
रैखिक विभेदक समीकरण
अर्थशास्त्र में ये बड़े काम के हैं, ऐसे समीकरणों के समाधान पर विचार करें। यदि (9.1) का रूप है:
तो इसे रैखिक कहा जाता है, जहां po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) फ़ंक्शन दिए गए हैं। यदि f(x) = 0 है, तो (9.2) को सजातीय कहा जाता है, अन्यथा इसे गैर-सजातीय कहा जाता है। समीकरण (9.2) का सामान्य समाधान इसके किसी विशेष समाधान के योग के बराबर है वाई(एक्स)और इसके अनुरूप सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान:
यदि गुणांक p o (x), p 1 (x),..., p n (x) स्थिरांक हैं, तो (9.2)
(9.4) क्रम के स्थिर गुणांकों वाला एक रैखिक अवकल समीकरण कहलाता है एन .
(9.4) के लिए इसका रूप है:
हम व्यापकता की हानि के बिना p o = 1 सेट कर सकते हैं और फॉर्म में (9.5) लिख सकते हैं
हम y = e kx के रूप में एक समाधान (9.6) की तलाश करेंगे, जहां k एक स्थिरांक है। अपने पास: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx । प्राप्त भावों को (9.6) में रखें, हमें प्राप्त होगा:
(9.7) एक बीजगणितीय समीकरण है, इसका अज्ञात है क, इसे विशेषता कहा जाता है। विशेषता समीकरण में डिग्री होती है एनऔर एनजड़ें, जिनके बीच एकाधिक और जटिल दोनों हो सकते हैं। मान लीजिए k 1 , k 2 ,..., k n वास्तविक और विशिष्ट हैं, तो 
विशेष समाधान (9.7) हैं, जबकि सामान्य
स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के एक रैखिक सजातीय अंतर समीकरण पर विचार करें:
इसका चारित्रिक समीकरण रूप है
(9.9)
इसका विवेचक D = p 2 - 4q, D के चिन्ह के आधार पर तीन स्थितियाँ संभव हैं।
1. यदि D>0, तो मूल k 1 और k 2 (9.9) वास्तविक और भिन्न हैं, और सामान्य समाधान का रूप है:
समाधान।अभिलक्षणिक समीकरण: k 2 + 9 = 0, जहाँ से k = ± 3i, a = 0, b = 3, सामान्य समाधान है:
y = C 1 cos 3x + C 2 पाप 3x।
दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरणों का उपयोग माल के स्टॉक के साथ एक वेब-जैसे आर्थिक मॉडल का अध्ययन करने के लिए किया जाता है, जहां मूल्य पी में परिवर्तन की दर स्टॉक के आकार पर निर्भर करती है (पैराग्राफ 10 देखें)। यदि आपूर्ति और मांग कीमत के रैखिक कार्य हैं, अर्थात,
ए - एक स्थिरांक है जो प्रतिक्रिया दर निर्धारित करता है, फिर मूल्य परिवर्तन की प्रक्रिया को एक अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है:
किसी विशेष समाधान के लिए, आप एक स्थिरांक ले सकते हैं
जिसका तात्पर्य संतुलन कीमत से है। विचलन 
सजातीय समीकरण को संतुष्ट करता है
(9.10)
विशेषता समीकरण निम्नलिखित होगा:
मामले में, शब्द सकारात्मक है. निरूपित 
. विशेषता समीकरण k 1,2 = ± i w की जड़ें, इसलिए सामान्य समाधान (9.10) का रूप है:
जहां C और मनमाना स्थिरांक, वे प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होते हैं। हमने समय में मूल्य परिवर्तन का नियम प्राप्त कर लिया है:
