परिचय

बेलनाकार फलन दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरण के समाधान हैं

एक जटिल चर कहाँ है,

एक पैरामीटर जो कोई भी वास्तविक या जटिल मान ले सकता है।

शब्द "बेलनाकार कार्य" की उत्पत्ति इस तथ्य से हुई है कि समीकरण (1) तब होता है जब एक बेलनाकार डोमेन के लिए संभावित सिद्धांत की सीमा मूल्य समस्याओं पर विचार किया जाता है।

बेलनाकार कार्यों के विशेष वर्गों को साहित्य में बेसेल कार्यों के रूप में जाना जाता है, और कभी-कभी यह नाम बेलनाकार कार्यों के पूरे वर्ग को दिया जाता है।

विचाराधीन कार्यों का अच्छी तरह से विकसित सिद्धांत, विस्तृत तालिकाओं की उपलब्धता और अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला बेलनाकार कार्यों को सबसे महत्वपूर्ण विशेष कार्यों में से एक के रूप में वर्गीकृत करने के लिए पर्याप्त कारण प्रदान करती है।

बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में लाप्लास समीकरण और हेल्महोल्त्ज़ समीकरण का समाधान खोजने पर बेसेल समीकरण उत्पन्न होता है। इसलिए, बेसेल फ़ंक्शंस का उपयोग तरंग प्रसार, स्थैतिक क्षमता आदि के बारे में कई समस्याओं को हल करने में किया जाता है, उदाहरण के लिए:

1) एक बेलनाकार वेवगाइड में विद्युत चुम्बकीय तरंगें;

2) बेलनाकार वस्तुओं में तापीय चालकता;

3) एक पतली गोल झिल्ली के कंपन मोड;

4) तरल से भरे और अपनी धुरी पर घूमते सिलेंडर में कणों की गति।

बेसेल फ़ंक्शंस का उपयोग अन्य समस्याओं को हल करने में भी किया जाता है, उदाहरण के लिए, सिग्नल प्रोसेसिंग में।

बेलनाकार बेसेल फ़ंक्शन सभी विशेष कार्यों में सबसे आम हैं। सभी प्राकृतिक और तकनीकी विज्ञानों (विशेषकर खगोल विज्ञान, यांत्रिकी और भौतिकी) में उनके असंख्य अनुप्रयोग हैं। गणितीय भौतिकी में कई समस्याओं में, बेलनाकार कार्य होते हैं जिनमें तर्क या सूचकांक (कभी-कभी दोनों) जटिल मान लेते हैं। ऐसी समस्याओं को संख्यात्मक रूप से हल करने के लिए, एल्गोरिदम विकसित करना आवश्यक है जो किसी को उच्च सटीकता के साथ बेसेल फ़ंक्शन की गणना करने की अनुमति देता है।

पाठ्यक्रम कार्य का उद्देश्य:बेसेल फ़ंक्शंस का अध्ययन और अंतर समीकरणों को हल करने में उनके गुणों का अनुप्रयोग।

1) बेसेल समीकरण और संशोधित बेसेल समीकरण का अध्ययन करें।

2) बेसेल फ़ंक्शंस के मूल गुणों, स्पर्शोन्मुख अभ्यावेदन पर विचार करें।

3) बेसेल फ़ंक्शन का उपयोग करके अंतर समीकरण को हल करें।

बेसेल धनात्मक पूर्णांक चिह्न के साथ कार्य करता है

बेलनाकार कार्यों के उपयोग से जुड़ी कई समस्याओं पर विचार करने के लिए, इन कार्यों के एक विशेष वर्ग का अध्ययन करने के लिए खुद को सीमित करना पर्याप्त है, जो उस मामले से मेल खाता है जब समीकरण (1) में पैरामीटर शून्य या सकारात्मक पूर्णांक के बराबर होता है।

इस वर्ग का अध्ययन मनमाने मूल्यों से संबंधित सिद्धांत की तुलना में अधिक प्राथमिक है, और इस सामान्य सिद्धांत के लिए एक अच्छे परिचय के रूप में काम कर सकता है।

आइए हम समीकरण का एक समाधान दिखाएं

0, 1, 2, …, (1.1)

पहले प्रकार के क्रम का बेसेल फ़ंक्शन है, जिसे किसी भी मान के लिए श्रृंखला के योग के रूप में परिभाषित किया गया है

डी'अलेम्बर्ट के परीक्षण का उपयोग करके, यह सत्यापित करना आसान है कि विचाराधीन श्रृंखला जटिल चर के पूरे विमान पर अभिसरण करती है और इसलिए, संपूर्ण फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करती है।

यदि हम समीकरण (1.1) के बाईं ओर को निरूपित करते हैं और श्रृंखला के गुणांकों (1.2) के लिए एक संक्षिप्त संकेतन प्रस्तुत करते हैं, तो

तब प्रतिस्थापन के फलस्वरूप हमें प्राप्त होता है

जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि घुंघराले कोष्ठक में व्यंजक शून्य के बराबर है। इस प्रकार, फलन समीकरण (1.1) को संतुष्ट करता है, अर्थात, यह एक बेलनाकार फलन है।

विचाराधीन वर्ग के सबसे सरल कार्य क्रम शून्य और एक के बेसेल फ़ंक्शन हैं:

आइए हम दिखाते हैं कि अन्य आदेशों के बेसेल कार्यों को इन दो कार्यों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। इसे सिद्ध करने के लिए, मान लें कि a एक धनात्मक पूर्णांक है, श्रृंखला (1.2) को इससे गुणा करें और इससे अंतर करें। हम इसे तब प्राप्त करेंगे

इसी प्रकार, श्रृंखला को इससे गुणा करने पर हम पाते हैं

समानताओं (1.4 - 1.1) में अंतर करने और एक कारक से विभाजित करने पर, हम सूत्रों पर पहुंचते हैं:

जो सीधे इस प्रकार है:

परिणामी सूत्रों को बेसेल फ़ंक्शंस के लिए पुनरावृत्ति संबंध के रूप में जाना जाता है।

संबंधों में से पहला ऑर्डर शून्य और एक के कार्यों के माध्यम से एक मनमाना आदेश के फ़ंक्शन को व्यक्त करना संभव बनाता है, जो बेसेल फ़ंक्शन की तालिकाओं को संकलित करने के काम को काफी कम कर देता है।

दूसरा संबंध किसी को बेसेल फ़ंक्शन के माध्यम से बेसेल फ़ंक्शन के डेरिवेटिव का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है। इस संबंध को सूत्र द्वारा प्रतिस्थापित करने के लिए

सीधे इन कार्यों की परिभाषा से अनुसरण करते हुए।

पहले प्रकार के बेसेल फ़ंक्शन केवल फ़ंक्शन के लॉरेंट श्रृंखला विस्तार के गुणांक से संबंधित हैं):

इस विस्तार के गुणांक की गणना शक्ति श्रृंखला को गुणा करके की जा सकती है:

और समान डिग्री वाले सदस्यों के संघ। ऐसा करने पर, हमें मिलता है:

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि विचाराधीन विस्तार को प्रपत्र में लिखा जा सकता है

फ़ंक्शन को पूर्णांक चिह्न के साथ बेसेल फ़ंक्शन के लिए जेनरेटिंग फ़ंक्शन कहा जाता है; पाया गया संबंध (1.12) इन कार्यों के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

समीकरण (1.1) का सामान्य समाकलन प्राप्त करने के लिए, जो एक पूर्णांक चिह्न के साथ एक मनमाना बेलनाकार फ़ंक्शन के लिए एक अभिव्यक्ति देता है, समीकरण का दूसरा समाधान बनाना आवश्यक है, जो सी से रैखिक रूप से स्वतंत्र हो। ऐसे समाधान के रूप में, दूसरे प्रकार के बेसेल फ़ंक्शन को लिया जा सकता है, जिसकी परिभाषा के आधार पर श्रृंखला के रूप में इसके लिए एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति प्राप्त करना आसान है

(- यूलर स्थिरांक) और, इस मामले में, योगों में से पहला शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए।

कट के साथ विमान में फ़ंक्शन नियमित है। विचाराधीन समाधान की एक अनिवार्य विशेषता यह है कि यह जब अनंत तक जाता है। बेलनाकार फ़ंक्शन की सामान्य अभिव्यक्ति निर्मित समाधानों के रैखिक संयोजन का प्रतिनिधित्व करती है

कहां और मनमाना स्थिरांक हैं,

एक वृत्ताकार झिल्ली के दोलनों की समस्या को हल करने के लिए आगे बढ़ने के लिए, हमें पहले बेसेल फ़ंक्शन से परिचित होना चाहिए। बेसेल फ़ंक्शन चर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरण के समाधान हैं

इस समीकरण को बेसेल समीकरण कहा जाता है। स्वयं समीकरण और इसके समाधान दोनों ही न केवल गोलाकार झिल्ली के दोलन की समस्या में पाए जाते हैं, बल्कि बहुत बड़ी संख्या में अन्य समस्याओं में भी पाए जाते हैं।

समीकरण (10.1) में शामिल पैरामीटर k, सामान्यतया, कोई भी सकारात्मक मान ले सकता है। किसी दिए गए k के समीकरण के समाधान को k क्रम के बेसेल फलन कहा जाता है (कभी-कभी इसे बेलनाकार फलन भी कहा जाता है)। हम केवल सबसे सरल मामलों पर विस्तार से विचार करेंगे, जब आगे की प्रस्तुति में हम केवल शून्य और प्रथम क्रम के बेसेल फ़ंक्शन का सामना करेंगे।

बेसेल फ़ंक्शंस के सामान्य अध्ययन के लिए, हम पाठक को विशेष मैनुअल (उदाहरण के लिए देखें, कहा जाता है) का संदर्भ देते हैं बेसेल समीकरण . संख्या \(v\) कहलाती है बेसेल समीकरण का क्रम .

इस विभेदक समीकरण का नाम जर्मन गणितज्ञ और खगोलशास्त्री के नाम पर रखा गया था फ्रेडरिक विल्हेम बेसेल , जिन्होंने इसका विस्तार से अध्ययन किया और दिखाया (\(1824\) में) कि समीकरण के समाधान कार्यों के एक विशेष वर्ग के माध्यम से व्यक्त किए जाते हैं जिन्हें कहा जाता है बेलनाकार कार्य या बेसेल कार्य करता है .

सामान्य समाधान का विशिष्ट प्रतिनिधित्व संख्या \(v.\) पर निर्भर करता है, इसके बाद, हम अलग से दो मामलों पर विचार करेंगे:

क्रम \(v\) एक गैर-पूर्णांक है;

\(v\) का क्रम एक पूर्णांक है।

केस 1. क्रम \(v\) एक गैर-पूर्णांक है

यह मानते हुए कि संख्या \(v\) गैर-पूर्णांक और सकारात्मक है, बेसेल समीकरण का सामान्य समाधान \ के रूप में लिखा जा सकता है जहां \((C_1),\) \((C_2)\) मनमाना स्थिरांक हैं, और \((J_v)\ बाएँ(x \right),\) \((J_( - v))\left(x \right)\) - प्रथम प्रकार के बेसेल कार्य .

पहले प्रकार के बेसेल फ़ंक्शन को एक श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसकी शर्तों को तथाकथित के माध्यम से व्यक्त किया जाता है गामा फ़ंक्शन : \[(J_v)\left(x \right) = \sum\limits_(p = 0)^\infty (\frac((((\left(( - 1) \right))^p)))( (\Gamma \left((p + 1) \right)\Gamma \left((p + v + 1) \right))((\left((\frac(x)(2)) \right)) ^(2पी + वी))) .\] गामा फ़ंक्शन एक विस्तार है भाज्य समारोह पूर्णांकों के समुच्चय से वास्तविक संख्याओं के समुच्चय तक। विशेष रूप से, इसमें निम्नलिखित गुण हैं: \[ (\Gamma \left((p + 1) \right) = p!,)\;\; (\Gamma \left((p + v + 1) \right) = \left((v + 1) \right)\left((v + 2) \right) \cdots \left((v + p) \ दाएं)\गामा \बाएं((v + 1) \दाएं).) \] पहले प्रकार के नकारात्मक क्रम के बेसेल फ़ंक्शन (सूचकांक \(-v\) के साथ) एक समान तरीके से लिखे गए हैं। यहाँ हम मानते हैं कि \(v > 0.\) \[(J_( - v))\left(x \right) = \sum\limits_(p = 0)^\infty (\frac(((\\ बाएँ) (( - 1) \दाएं))^पी)))((\गामा \बाएं((पी + 1) \दाएं)\गामा \बाएं((पी - वी + 1) \दाएं)))((\ बाएं ((\frac(x)(2)) \right))^(2p - v))) .\] बेसेल फ़ंक्शन की गणना अधिकांश गणित पैकेजों में की जाती है। उदाहरण के लिए, \(v = 0\) से \(v = 4\) तक के प्रथम प्रकार के बेसेल फ़ंक्शंस का रूप चित्र \(1.\) में दिखाया गया है। इन फ़ंक्शंस की गणना एमएस एक्सेल में भी की जा सकती है।

केस 2. क्रम \(v\) पूर्णांक है

यदि बेसेल अंतर समीकरण का क्रम \(v\) पूर्णांक है, तो बेसेल फ़ंक्शन पहले प्रकार के \((J_v)\left(x \right)\) और \((J_( - v))\left (x \right)\ ) एक दूसरे पर निर्भर हो जाते हैं। इस मामले में, समीकरण का सामान्य समाधान एक अन्य सूत्र द्वारा वर्णित किया जाएगा: \ जहां \((Y_v)\left(x \right)\) - दूसरे प्रकार का बेसेल फ़ंक्शन . कभी-कभी फ़ंक्शंस के इस परिवार को भी कहा जाता है न्यूमैन कार्य करता है या वेबर कार्य करता है .

दूसरे प्रकार का बेसेल फ़ंक्शन \((Y_v)\left(x \right)\) को पहले प्रकार के बेसेल फ़ंक्शन के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है \((J_v)\left(x \right)\) और \((J_( - v))\left (x \ दाएँ):\) \[(Y_v)\left(x \right) = \frac(((J_v)\left(x \right)\cos \pi v - (J_( - v))\left (x \ दाएँ)))((\sin \pi v)).\] पहले कुछ आदेशों \(v\) के लिए फ़ंक्शनों के ग्राफ़ \((Y_v)\left(x \right)\) ऊपर प्रस्तुत किए गए हैं चित्र 2।\ )

टिप्पणी: वास्तव में, बेसेल अंतर समीकरण का सामान्य समाधान गैर-पूर्णांक क्रम \(v.\) के मामले के लिए पहले और दूसरे प्रकार के बेसेल कार्यों के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है।

बेसेल समीकरण में कम करने योग्य कुछ अंतर समीकरण

1. इस वर्ग का एक और प्रसिद्ध समीकरण है संशोधित बेसेल समीकरण , जो नियमित बेसेल समीकरण से \(x\) को \(-ix.\) से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है। इस समीकरण का रूप है: \[(x^2)y"" + xy" - \left(((x) ^2) + (v^2)) \दाएं)y = 0.\] इस समीकरण का समाधान तथाकथित के माध्यम से व्यक्त किया गया है पहले और दूसरे प्रकार के संशोधित बेसेल फ़ंक्शन : \[ (y\left(x \right) = (C_1)(J_v)\left(( - ix) \right) + (C_2)(Y_v)\left(( - ix) \right) ) = (( C_1)(I_v)\left(x \right) + (C_2)(K_v)\left(x \right),) \] जहां \((I_v)\left(x \right)\) और \((K_v) )\left(x \right)\) क्रमशः पहले और दूसरे प्रकार के संशोधित बेसेल फ़ंक्शन को दर्शाते हैं।

2. हवादार अंतर समीकरण , खगोल विज्ञान और भौतिकी में जाना जाता है, इस रूप में लिखा गया है: \ इसे बेसेल समीकरण में भी घटाया जा सकता है। वायु समीकरण का समाधान भिन्नात्मक क्रम के बेसेल फ़ंक्शन के माध्यम से व्यक्त किया गया है \(\pm \large\frac(1)(3)\normalsize:\) \[ (y\left(x \right) ) = ((C_1) \sqrt x (J_ (\large\frac(1)(3)\सामान्य आकार))\left((\frac(2)(3)i(x^(\large\frac(3)(2)\सामान्य आकार) )) \दाएं) + (C_2)\sqrt x (J_( - \large\frac(1)(3)\सामान्य आकार))\left((\frac(2)(3)i(x^(\large\ frac(3)( 2)\सामान्यआकार)))\दाएं).)\]
3. \[(x^2)y"" + xy" + \left(((a^2)(x^2) - (v^2)) \right)y = 0\] के रूप का एक अंतर समीकरण भिन्न होता है बेसेल समीकरण से \((x^2)\) से पहले केवल एक कारक \((a^2)\) और निम्नलिखित रूप में एक सामान्य समाधान है: \
4. एक समान अंतर समीकरण \[(x^2)y"" + axy" + \left(((x^2) - (v^2)) \right)y = 0\] भी बेसेल समीकरण में कम हो जाता है \[ (x ^2)z"" + xz" + \left(((x^2) - (n^2)) \right)z = 0\] प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए \ यहां पैरामीटर \((n^2)\ ) \[(n^2) = (v^2) + \frac(1)(4)(\left((a - 1) \right)^2).\] को दर्शाता है परिणामस्वरूप, सामान्य समाधान यह अंतर समीकरण सूत्र \.\] द्वारा निर्धारित किया जाता है
गणितीय भौतिकी की समस्याओं को हल करने में विशेष बेसेल फ़ंक्शंस का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, अध्ययन में

लहर प्रसार;

ऊष्मीय चालकता;

झिल्ली कंपन

ऐसे मामलों में जहां वस्तुओं में बेलनाकार या गोलाकार समरूपता होती है।