इसके बाद, हम साबित करते हैं कि आवृत्ति समीकरण (4.25) की जड़ें दो सकारात्मक मान हैं को 2 और से 2(दोलन के सिद्धांत में, एक निचला सूचकांक कम आवृत्ति से मेल खाता है, यानी। k (इस उद्देश्य के लिए, हम पहले आंशिक आवृत्ति की अवधारणा का परिचय देते हैं। इस शब्द को एक प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति के रूप में समझा जाता है, जिसमें एक डिग्री की स्वतंत्रता होती है, जो मूल प्रणाली से एक को छोड़कर सभी सामान्यीकृत निर्देशांक को ठीक करके प्राप्त की जाती है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि सिस्टम समीकरणों के पहले में हम (4.22) स्वीकार करते हैं क्यू 2 = 0, तो आंशिक आवृत्ति होगी पी (=yjc यू /ए एन. इसी प्रकार, p 2 ~^c n /a 21 को ठीक करना।

आवृत्ति समीकरण (4.25) के लिए दो वास्तविक मूल हों के एक्सऔर क 2, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि, सबसे पहले, फ़ंक्शन ए का ग्राफ (2 को)पर क = 0 का एक धनात्मक कोटि होगा, और दूसरा, यह x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है। एकाधिक आवृत्तियों का मामला के (= के. ) , साथ ही सबसे कम आवृत्ति को शून्य में बदलने पर यहां विचार नहीं किया गया है। इनमें से पहली शर्त पूरी हो गई है, क्योंकि d (0) = c„c 22 - और साथ> 0 (4.25) को प्रतिस्थापित करके दूसरी शर्त की वैधता को सत्यापित करना आसान है के = के = पी 2 ; इस मामले में, ए(पी, 2) इंजीनियरिंग गणना में इस प्रकार की जानकारी पूर्वानुमान और अनुमान की सुविधा प्रदान करती है।

परिणामी दो आवृत्ति मान को, और से 2प्रपत्र (4.23) के विशेष समाधानों के अनुरूप, इसलिए सामान्य समाधान का निम्नलिखित रूप होता है:

इस प्रकार, प्रत्येक सामान्यीकृत निर्देशांक एक जटिल दोलन प्रक्रिया में भाग लेता है, जो विभिन्न आवृत्तियों, आयामों और चरणों के साथ हार्मोनिक आंदोलनों का जोड़ है (चित्र 4.6)। आवृत्तियों के टीऔर से 2इसलिए, सामान्य स्थिति में ये असंगत हैं क्यू वी सी,आवधिक कार्य नहीं हैं.

चावल। 4.6

एक निश्चित प्राकृतिक आवृत्ति पर मुक्त कंपन के आयामों के अनुपात को आकार गुणांक कहा जाता है। स्वतंत्रता की दो डिग्री वाली प्रणाली के लिए, आकार गुणांक (3.= बीजेए।"सीधे समीकरणों (4.24) से निर्धारित होते हैं:

इस प्रकार, प्रपत्र p के गुणांक, = वी 1 /ए [और आर.,= वी.,/ए.,केवल सिस्टम मापदंडों पर निर्भर करते हैं और प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर नहीं होते हैं। आकृति गुणांकों को विचाराधीन प्राकृतिक आवृत्ति के लिए चित्रित किया गया है को।दोलन सर्किट के साथ आयामों का वितरण। इन आयामों का संयोजन तथाकथित बनता है कंपन रूप.

नकारात्मक आकार कारक मान का मतलब है कि दोलन चरण से बाहर हैं।

मानक कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग करते समय, वे कभी-कभी उपयोग करते हैं सामान्यीकृत आकार गुणांक।इस शब्द का अर्थ है

गुणांक पी'जी सूचकांक में मैंनिर्देशांक संख्या और सूचकांक से मेल खाता है जी-आवृत्ति संख्या. यह तो स्पष्ट है या यह नोटिस करना आसान है कि पी*

समीकरणों की प्रणाली (4.28) में, शेष चार अज्ञात हैं ए जी ए 2, oc, cx 2 प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करके निर्धारित किए जाते हैं:

एक रैखिक प्रतिरोध बल की उपस्थिति, जैसे कि एक डिग्री की स्वतंत्रता वाली प्रणाली में, मुक्त दोलनों के अवमंदन की ओर ले जाती है।

चावल। 4.7

उदाहरण। आइए हम चित्र में दिखाए गए दोलन प्रणाली के लिए प्राकृतिक आवृत्तियों, आंशिक आवृत्तियों और आकार कारकों का निर्धारण करें। 4.7, एक।द्रव्यमान g के पूर्ण विस्थापन को सामान्यीकृत निर्देशांक के रूप में लेते हुए, = क्यू वी एक्स 2 = क्यू. आरआइए गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं के लिए अभिव्यक्तियाँ लिखें:

इस प्रकार,

आवृत्ति समीकरण (4.25) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है

इसके अलावा, (4.29) के अनुसार

चित्र में. 4.7, बीकंपन मोड दिए गए हैं. दोलन के पहले रूप में, द्रव्यमान एक दिशा में समकालिक रूप से चलते हैं, और दूसरे में, विपरीत दिशा में। इसके अलावा, बाद वाले मामले में एक क्रॉस सेक्शन दिखाई दिया एन,अपनी स्वयं की आवृत्ति के साथ दोलन प्रक्रिया में भाग नहीं लेना के आरयह तथाकथित है कंपन इकाई.

स्वतंत्रता की कई डिग्री के साथ सिस्टम के मुक्त दोलनों का सिद्धांत उसी तरह से बनाया गया है जैसे § 21 में एक-आयामी दोलनों पर विचार किया गया था।

मान लीजिए कि सिस्टम U की संभावित ऊर्जा, सामान्यीकृत निर्देशांक के एक फ़ंक्शन के रूप में, न्यूनतम है। छोटे ऑफसेट का परिचय

और उनके संदर्भ में यू को दूसरे क्रम के पदों तक विस्तारित करने पर, हम संभावित ऊर्जा को एक सकारात्मक निश्चित द्विघात रूप के रूप में प्राप्त करते हैं

जहां हम फिर से संभावित ऊर्जा को उसके न्यूनतम मान से गिनते हैं। चूँकि गुणांकों को (23.2) में समान मान से गुणा करके शामिल किया गया है, यह स्पष्ट है कि उन्हें हमेशा उनके सूचकांकों में सममित माना जा सकता है

गतिज ऊर्जा में, जिसका सामान्य स्थिति में रूप होता है

(देखें (5.5)), हम इसे गुणांकों में रखते हैं और, स्थिरांक को , से निरूपित करते हुए, हम इसे एक सकारात्मक निश्चित द्विघात रूप के रूप में प्राप्त करते हैं

इस प्रकार, मुक्त छोटे दोलन करने वाली प्रणाली का लैग्रेंजियन कार्य:

आइए अब हम गति के समीकरण बनाते हैं। उनमें शामिल व्युत्पन्नों को निर्धारित करने के लिए, हम लैग्रेंज फ़ंक्शन का कुल अंतर लिखते हैं

चूंकि योग का मूल्य, निश्चित रूप से, योग सूचकांकों के पदनाम पर निर्भर नहीं करता है, हम कोष्ठक में पहले और तीसरे शब्दों को i से k, और k को i से बदलते हैं; गुणांकों की समरूपता को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

इससे यह स्पष्ट है कि

इसलिए लैग्रेंज के समीकरण

(23,5)

वे स्थिर गुणांक वाले रैखिक सजातीय अंतर समीकरणों की एक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करते हैं।

ऐसे समीकरणों को हल करने के सामान्य नियमों के अनुसार, हम फॉर्म में अज्ञात कार्यों की तलाश करते हैं

कुछ, अभी तक अपरिभाषित, स्थिरांक कहां हैं। सिस्टम (23.5) में (23.6) को प्रतिस्थापित करते हुए, हम रैखिक सजातीय बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली में कमी करके प्राप्त करते हैं जिन्हें स्थिरांक से संतुष्ट होना चाहिए:

इस प्रणाली के लिए गैर-शून्य समाधान होने के लिए, इसके निर्धारक को गायब होना होगा

समीकरण (23.8) - तथाकथित विशेषता समीकरण डिग्री एस का एक समीकरण है, सामान्य स्थिति में, इसमें अलग-अलग वास्तविक सकारात्मक जड़ें होती हैं (विशेष मामलों में, इनमें से कुछ जड़ें मेल खा सकती हैं)। इस प्रकार निर्धारित की गई मात्राएँ प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्तियाँ कहलाती हैं।

समीकरण (23.8) की जड़ों की वास्तविकता और सकारात्मकता भौतिक विचारों से पहले से ही स्पष्ट है। वास्तव में, y में एक काल्पनिक भाग की उपस्थिति का अर्थ समय में तेजी से घटते या तेजी से बढ़ते कारक के निर्देशांक (23.6) (और उनके साथ वेग) की निर्भरता में उपस्थिति होगा। लेकिन इस मामले में ऐसे कारक की उपस्थिति अस्वीकार्य है, क्योंकि इससे समय के साथ सिस्टम की कुल ऊर्जा में बदलाव आएगा, जो इसके संरक्षण के नियम के विपरीत है।

एक ही बात को पूर्णतः गणितीय रूप से सत्यापित किया जा सकता है। समीकरण (23.7) को गुणा करने पर और फिर योग करने पर हमें प्राप्त होता है:

इस अभिव्यक्ति के अंश और हर में द्विघात रूप गुणांक की वास्तविकता और समरूपता के कारण वास्तविक हैं और, वास्तव में,

वे काफी सकारात्मक भी हैं, और इसलिए सकारात्मक भी

आवृत्तियों के पाए जाने के बाद, उनमें से प्रत्येक को समीकरणों (23.7) में प्रतिस्थापित करके, कोई गुणांक के संबंधित मान पा सकता है। यदि विशेषता समीकरण की सभी जड़ें अलग-अलग हैं, तो, जैसा कि ज्ञात है, गुणांक ए निर्धारक (23.8) के अवयस्कों के समानुपाती होते हैं, जिसमें प्रतिस्थापन हम इन अवयस्कों को Do के माध्यम से संगत मान से निरूपित करते हैं। अत: अवकल समीकरणों की प्रणाली (23.5) का एक विशेष समाधान इस रूप में होता है

एक मनमाना (जटिल) स्थिरांक कहां है।

सामान्य समाधान सभी विशेष समाधानों के योग द्वारा दिया जाता है। वास्तविक भाग की ओर बढ़ते हुए, हम इसे प्रपत्र में लिखते हैं

जहां हमने नोटेशन पेश किया

(23,10)

इस प्रकार, समय के साथ सिस्टम के प्रत्येक निर्देशांक में परिवर्तन मनमाने ढंग से आयामों और चरणों के साथ सरल आवधिक दोलनों के सुपरपोजिशन का प्रतिनिधित्व करता है, लेकिन अच्छी तरह से परिभाषित आवृत्तियों के साथ।

सवाल स्वाभाविक रूप से उठता है: क्या सामान्यीकृत निर्देशांक को इस तरह से चुनना संभव है कि उनमें से प्रत्येक केवल एक सरल दोलन करता है? सामान्य समाकलन (23.9) का स्वरूप ही इस समस्या को हल करने का मार्ग बताता है।

वास्तव में, एस संबंध (23.9) को अज्ञात मात्राओं के साथ समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में मानते हुए, हम इस प्रणाली को हल करके, निर्देशांक के माध्यम से मात्राओं को व्यक्त कर सकते हैं। इसलिए, मात्राओं को नए सामान्यीकृत निर्देशांक के रूप में माना जा सकता है। इन निर्देशांकों को सामान्य (या प्रिंसिपल) कहा जाता है, और उनके द्वारा किए जाने वाले सरल आवधिक दोलनों को सिस्टम के सामान्य दोलन कहा जाता है।

जैसा कि उनकी परिभाषा से स्पष्ट है, सामान्य निर्देशांक समीकरणों को संतुष्ट करते हैं

(23,11)

इसका मतलब यह है कि सामान्य निर्देशांक में गति के समीकरण एक दूसरे से स्वतंत्र एस समीकरणों में टूट जाते हैं। प्रत्येक सामान्य निर्देशांक का त्वरण केवल उसी निर्देशांक के मूल्य पर निर्भर करता है, और इसकी समय निर्भरता को पूरी तरह से निर्धारित करने के लिए, केवल स्वयं के प्रारंभिक मूल्यों और इसकी संबंधित गति को जानना आवश्यक है। दूसरे शब्दों में, सिस्टम के सामान्य दोलन पूरी तरह से स्वतंत्र हैं।

उपरोक्त से, यह स्पष्ट है कि सामान्य निर्देशांक के संदर्भ में व्यक्त लैग्रेंज फ़ंक्शन, अभिव्यक्तियों के योग में टूट जाता है, जिनमें से प्रत्येक आवृत्तियों में से एक के साथ एक आयामी दोलन से मेल खाता है, यानी, इसका रूप है

(23,12)

सकारात्मक स्थिरांक कहाँ हैं. गणितीय दृष्टिकोण से, इसका मतलब है कि परिवर्तन (23.9) द्वारा दोनों द्विघात रूप - गतिज ऊर्जा (23.3) और स्थितिज ऊर्जा (23.2) एक साथ एक विकर्ण रूप में कम हो जाते हैं।

आमतौर पर, सामान्य निर्देशांक चुने जाते हैं ताकि लैग्रेंज फ़ंक्शन में वर्ग वेग के गुणांक 1/2 के बराबर हों। ऐसा करने के लिए, सामान्य निर्देशांक (अब हम उन्हें निरूपित करते हैं) को समानता द्वारा परिभाषित करना पर्याप्त है

उपरोक्त सभी चीजें उस स्थिति में बहुत कम बदलती हैं जब विशेषता समीकरण की जड़ों के बीच कई जड़ें होती हैं। गति के समीकरणों के अभिन्न अंग का सामान्य रूप (23.9), (23.10) वही रहता है (पदों की समान संख्या के साथ) केवल अंतर के साथ कि एकाधिक आवृत्तियों के अनुरूप गुणांक अब निर्धारक के नाबालिग नहीं हैं, जो , जैसा कि ज्ञात है, इस मामले में शून्य में बदल जाता है।

प्रत्येक एकाधिक (या, जैसा कि वे कहते हैं, पतित) आवृत्ति बहुलता की डिग्री के समान कई अलग-अलग सामान्य निर्देशांक से मेल खाती है, लेकिन इन सामान्य निर्देशांक की पसंद स्पष्ट नहीं है। चूँकि सामान्य निर्देशांक (उसी के साथ) गतिज और संभावित ऊर्जाओं को समान रूप से परिवर्तनीय योगों के रूप में दर्ज करते हैं, उन्हें किसी भी रैखिक परिवर्तन के अधीन किया जा सकता है जो वर्गों के योग को अपरिवर्तित छोड़ देता है।

एक स्थिर बाहरी क्षेत्र में स्थित एक भौतिक बिंदु के त्रि-आयामी कंपन के लिए सामान्य निर्देशांक खोजना बहुत सरल है। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति को न्यूनतम संभावित ऊर्जा के बिंदु पर रखकर, हम बाद वाले को चर x, y, z और गतिज ऊर्जा के द्विघात रूप के रूप में प्राप्त करते हैं।

(एम कणों का द्रव्यमान है) निर्देशांक अक्षों की दिशा की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। अत: अक्षों के उचित घूर्णन द्वारा स्थितिज ऊर्जा को विकर्ण रूप में लाना ही आवश्यक है। तब

और x, y, z अक्षों के साथ कंपन आवृत्तियों वाले मुख्य हैं

केंद्रीय सममित क्षेत्र के विशेष मामले में, ये तीन आवृत्तियाँ मेल खाती हैं (समस्या 3 देखें)।

सामान्य निर्देशांक का उपयोग एक आयामी मजबूर दोलन की समस्याओं के लिए स्वतंत्रता की कई डिग्री के साथ एक प्रणाली के मजबूर दोलनों की समस्या को कम करना संभव बनाता है। सिस्टम का लैग्रेंज फ़ंक्शन, उस पर कार्य करने वाली परिवर्तनीय बाहरी ताकतों को ध्यान में रखते हुए, इस प्रकार है

(23,15)

मुक्त दोलनों का लैग्रेंजियन कार्य कहां है।

निर्देशांक के बजाय सामान्य निर्देशांक प्रस्तुत करने पर, हमें यह मिलता है:

जहां पदनाम का परिचय दिया गया है

तदनुसार, गति के समीकरण

(23.17)

कार्य

1. स्वतंत्रता की दो डिग्री के साथ एक प्रणाली के दोलनों का निर्धारण करें यदि इसका लैग्रेंज कार्य करता है

स्वतंत्रता की दो डिग्री वाले सिस्टम के विशेष मामले में, द्विघात रूप T, P, Ф क्रमशः बराबर होंगे

और छोटे-छोटे कंपनों के विभेदक समीकरण रूप ले लेंगे

आइए एक रूढ़िवादी प्रणाली के मुक्त दोलनों पर विचार करें। इस मामले में

और विभेदक समीकरण रूप लेते हैं:

के लिए प्रारंभिक शर्तें प्रपत्र है:

गतिज ऊर्जा के द्विघात रूप की सकारात्मक निश्चितता के कारण, सामान्यीकृत जड़त्व गुणांक संबंधों को संतुष्ट करते हैं

और क्वासीलैस्टिक गुणांकों के लिए समान संबंध

प्रणाली की संतुलन स्थिति की स्थिरता के लिए पर्याप्त स्थितियाँ हैं।

गुणांक और जो सामान्यीकृत निर्देशांक को जोड़ते हैं और समीकरण (4.5) में क्रमशः जड़त्वीय और लोचदार युग्मन गुणांक कहलाते हैं। यदि दोलन प्रणाली में एक गुणांक है, तो इसे एक लोचदार कनेक्शन वाली प्रणाली कहा जाता है, और यदि यह एक जड़त्वीय कनेक्शन वाली प्रणाली है।

सामान्यीकृत समन्वय के अनुरूप एक आंशिक प्रणाली को स्वतंत्रता की एक डिग्री के साथ एक सशर्त दोलन प्रणाली कहा जाता है, जो मूल प्रणाली से प्राप्त होती है यदि इसे छोड़कर सभी सामान्यीकृत निर्देशांक को बदलने पर प्रतिबंध लगाया जाता है। आंशिक आवृत्तियाँ आंशिक प्रणालियों की प्राकृतिक आवृत्तियाँ हैं:

चूँकि समीकरण (4.5) में केवल सामान्यीकृत निर्देशांक और समय के संबंध में उनके दूसरे व्युत्पन्न होते हैं, हम उनके समाधान को फॉर्म में देखते हैं

अभी भी अज्ञात मात्राएँ कहाँ हैं?

(4.8) को (4.5) में प्रतिस्थापित करने और ज्या के गुणांकों को बराबर करने पर, हमें और के संबंध में एक सजातीय बीजगणितीय प्रणाली प्राप्त होती है:

सजातीय बीजीय प्रणाली (4.9) के लिए एक गैर-शून्य समाधान होने के लिए, इसे पतित होना चाहिए, अर्थात। इसका निर्धारक शून्य के बराबर होना चाहिए:

नतीजतन, समाधान (4.7) केवल उन मूल्यों के लिए समझ में आएगा जो शर्त (4.9) को संतुष्ट करते हैं। (4.10) का विस्तार करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(4.10), (4.11) या (4.12) के रूप में प्रस्तुत समीकरण कहलाता है आवृत्तिजैसा कि (4.12) से देखा जा सकता है, आवृत्ति समीकरण एक द्विघात समीकरण है। (4.10)-(4.12) से प्राप्त मान कहलाते हैं प्रणाली के दोलनों की प्राकृतिक आवृत्तियाँ।

आवृत्ति समीकरण की जड़ों का अध्ययन हमें निम्नलिखित निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है:

1) यदि संतुलन स्थिति स्थिर है, तो आवृत्ति समीकरण की दोनों जड़ें सकारात्मक हैं;

2) सिस्टम की पहली प्राकृतिक आवृत्ति हमेशा छोटी आंशिक आवृत्ति से कम होती है, और दूसरी बड़ी आंशिक आवृत्ति से अधिक होती है।

लोचदार युग्मन (= 0) के साथ दोलन प्रणालियों के लिए, समानता

आइए हम आवृत्तियों और के अनुरूप दो आंशिक स्वतंत्र समाधान इस रूप में लिखें

जहां सूचकांक में दूसरा अंक आवृत्ति संख्या या संख्या से मेल खाता है कंपन स्वर.

स्थिरांक स्वतंत्र नहीं हैं, क्योंकि सिस्टम (4.9) पतित है। गुणांक एक दूसरे से संबंधों द्वारा संबंधित हैं

कहाँ । (4.15)

कहाँ । (4.16)

(4.15) और (4.16) को ध्यान में रखते हुए, विशेष समाधान (4.14) का रूप होगा

वे दोलन जिनके समीकरणों का रूप (4.17) होता है, कहलाते हैं मुख्य उतार-चढ़ाव.वे क्रमशः आवृत्तियों के साथ हार्मोनिक कंपन का प्रतिनिधित्व करते हैं। गुणांक कहलाते हैं आयाम वितरण गुणांक।वे मुख्य कंपनों में आयामों के अनुपात की विशेषता बताते हैं रूपमुख्य उतार-चढ़ाव.

आयामों के वितरण गुणांक और, परिणामस्वरूप, मुख्य कंपन के आकार, साथ ही प्राकृतिक आवृत्तियों, दोलन प्रणाली के मापदंडों द्वारा ही निर्धारित होते हैं और प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर नहीं होते हैं। इसलिए, कंपन के तरीकों को कहा जाता है, साथ ही आवृत्तियों को भी, स्वयं के कंपन मोडजब संगत स्वर के अनुसार दोलन किया जाता है।

समीकरणों की प्रणाली (4.5) के सामान्य समाधान को पाए गए आंशिक समाधानों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है (4.17)

सामान्य समाधान में चार अनिर्धारित स्थिरांक होते हैं, जिन्हें प्रारंभिक स्थितियों (4.6) से निर्धारित किया जाना चाहिए।

मनमानी प्रारंभिक स्थितियों के तहत, दोनों स्थिरांक शून्य से भिन्न हैं। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक सामान्यीकृत निर्देशांक के समय में परिवर्तन आवृत्तियों के साथ हार्मोनिक दोलनों का योग होगा। और ऐसे दोलन न केवल गैर-हार्मोनिक होते हैं, बल्कि सामान्य स्थिति में वे आवधिक नहीं होते हैं।

आइए सिस्टम के मुक्त दोलनों के मामले पर विचार करें, जब सिस्टम के दोलनों की प्राकृतिक आवृत्तियाँ एक दूसरे से बहुत कम भिन्न होती हैं:

आइए हम मुक्त दोलनों के समीकरणों के सामान्य समाधान (4.18) में ज्याओं के तर्कों में अंतर को निरूपित करें

जब मूल्य होता है, और बढ़ते समय के साथ यह निर्भरता अपनी छोटीता के कारण बहुत धीरे-धीरे बढ़ती है। तब

अंतिम समानता को ध्यान में रखते हुए, मुक्त कंपन के समीकरण (4.18) का सामान्य समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है:

इन समीकरणों में

चूँकि अभिव्यक्ति (4.21) और पर निर्भर करती है, और कोण समय के साथ धीरे-धीरे बदलता है, माना गया दोलन (4.20) समय-समय पर बदलते आयाम के साथ दोलन होंगे। इस मामले में आयाम में परिवर्तन की अवधि दोलन की अवधि की तुलना में बहुत लंबी है (चित्र 4.1)। यदि आयाम वितरण गुणांक के अलग-अलग संकेत हैं, तो न्यूनतम अधिकतम से मेल खाता है और इसके विपरीत। जैसे ही पहला मुख्य कंपन तेज होता है, दूसरे मुख्य कंपन की तीव्रता कम हो जाती है और इसके विपरीत, यानी, सिस्टम की गति की ऊर्जा समय-समय पर इस कंपन प्रणाली के एक या दूसरे लिंक में केंद्रित होती दिखाई देती है। इस घटना को कहा जाता है पिटाई।

सिस्टम के मुक्त दोलनों की समस्या को हल करने के लिए एक और दृष्टिकोण संभव है - कुछ नए सामान्यीकृत निर्देशांक खोजने के लिए और कहा जाता है सामान्यया मुख्य, जिसके लिए, किसी भी प्रारंभिक स्थिति में, गति एकल-आवृत्ति और हार्मोनिक होगी।

सामान्यीकृत निर्देशांक और, मनमाने ढंग से चुने गए, और मुख्य निर्देशांक के बीच संबंध और निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

आयाम वितरण गुणांक (आकार गुणांक) कहां और कहां हैं। यह दिखाया जा सकता है कि मूल निर्देशांक से मुख्य निर्देशांक तक संक्रमण गतिज और संभावित ऊर्जा के द्विघात रूपों को विहित रूप में ले जाता है:

दूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरणों के लिए प्राप्त अभिव्यक्तियों (4.23) को प्रतिस्थापित करते हुए, हम मुख्य निर्देशांक में सिस्टम के छोटे दोलनों के लिए समीकरण प्राप्त करते हैं:। गतिज और स्थितिज ऊर्जा के भावों का विहित रूप होगा: और

आइए स्वतंत्रता की दो डिग्री के साथ एक प्रणाली के छोटे दोलनों पर विचार करें, जो एक संभावित क्षेत्र की ताकतों और समय-समय पर समय-समय पर बदलने वाली ताकतों के अधीन है। सिस्टम के परिणामी आंदोलनों को मजबूर दोलन कहा जाता है।

बता दें कि परेशान करने वाली सामान्यीकृत ताकतें समय के साथ एक हार्मोनिक कानून के अनुसार बदलती रहती हैं, जिसमें समान अवधि और प्रारंभिक चरण होते हैं। तब विचाराधीन प्रणाली की गति के समीकरण इस प्रकार होंगे:

विचाराधीन मामले में गति के समीकरण स्थिर गुणांक और दाहिनी ओर वाले रैखिक दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों की एक प्रणाली हैं।

मुख्य निर्देशांक पर जाएँ

गति के समीकरणों का अध्ययन करने की सुविधा के लिए, आइए सिस्टम के मुख्य निर्देशांकों पर आगे बढ़ें। निर्देशांक के बीच संबंध फॉर्म के पिछले पैराग्राफ के सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

आइए हम सामान्य निर्देशांक के अनुरूप सामान्यीकृत बलों को तदनुसार निरूपित करें। चूंकि सामान्यीकृत बल सिस्टम पर कार्य करने वाले बलों के प्रारंभिक कार्य की अभिव्यक्ति में सामान्यीकृत निर्देशांक के संबंधित बदलावों के लिए गुणांक का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो

इस तरह:

इस प्रकार, मुख्य निर्देशांक में गति के समीकरण निम्न रूप लेते हैं:

सामान्य निर्देशांक में स्वतंत्रता की दो डिग्री के साथ एक प्रणाली के मजबूर दोलनों के समीकरण एक दूसरे से स्वतंत्र होते हैं और अलग से एकीकृत किए जा सकते हैं।

अशांतकारी बल की क्रांतिक आवृत्तियाँ

सामान्य निर्देशांक में परिवर्तन की दोलन प्रकृति का समीकरण या निर्धारण करता है, एक सीधी रेखा के साथ एक बिंदु के मजबूर दोलन पर विचार करते समय विस्तार से अध्ययन किया जाता है, क्योंकि गति के अंतर समीकरण दोनों मामलों में समान होते हैं। विशेष रूप से, यदि विक्षुब्ध बल की आवृत्ति प्रणाली के प्राकृतिक दोलनों में से किसी एक की आवृत्ति के बराबर है, या फिर समाधान में समय टी को एक कारक के रूप में शामिल किया जाएगा। नतीजतन, पर्याप्त रूप से बड़े टी के लिए सामान्य सामान्यीकृत निर्देशांक में से एक मनमाने ढंग से बड़ा होगा, या हमारे पास अनुनाद की घटना होगी।