समीकरण

समीकरण कैसे हल करें?

इस खंड में, हम सबसे प्राथमिक समीकरणों को याद करेंगे (या अध्ययन करेंगे - जैसा कि कोई भी पसंद करता है)। तो समीकरण क्या है? मानवीय शब्दों में कहें तो यह किसी प्रकार की गणितीय अभिव्यक्ति है, जहाँ एक समान चिन्ह और एक अज्ञात होता है। जिसे आमतौर पर अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है "एक्स". प्रश्न हल करेंऐसे x-मानों को खोजना है, जिन्हें प्रतिस्थापित करते समय शुरुआतीअभिव्यक्ति, हमें सही पहचान देगी। मैं आपको याद दिला दूं कि पहचान एक ऐसी अभिव्यक्ति है जो उस व्यक्ति के लिए भी संदेह पैदा नहीं करती है जो गणितीय ज्ञान से बिल्कुल भी बोझिल नहीं है। जैसे 2=2, 0=0, ab=ab आदि। तो आप समीकरण कैसे हल करते हैं?आइए इसका पता लगाते हैं।

सभी प्रकार के समीकरण हैं (मैं हैरान था, है ना?) लेकिन उनकी सभी अनंत विविधता को केवल चार प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है।

4. अन्य।)

बाकी सब, ज़ाहिर है, सबसे ज़्यादा, हाँ ...) इसमें क्यूबिक, और एक्सपोनेंशियल, और लॉगरिदमिक, और त्रिकोणमितीय, और अन्य सभी प्रकार शामिल हैं। हम संबंधित वर्गों में उनके साथ मिलकर काम करेंगे।

मुझे तुरंत कहना होगा कि कभी-कभी पहले तीन प्रकार के समीकरण इतने खराब हो जाते हैं कि आप उन्हें पहचान नहीं पाते हैं ... कुछ भी नहीं। हम सीखेंगे कि उन्हें कैसे खोलना है।

और हमें इन चार प्रकारों की आवश्यकता क्यों है? और फिर क्या रेखीय समीकरणएक तरह से हल वर्गअन्य भिन्नात्मक परिमेय - तीसरा,एक विश्रामबिल्कुल हल नहीं! ठीक है, ऐसा नहीं है कि वे बिल्कुल भी निर्णय नहीं लेते हैं, मैंने व्यर्थ में गणित को नाराज कर दिया।) यह सिर्फ इतना है कि उनकी अपनी विशेष तकनीक और तरीके हैं।

लेकिन किसी के लिए (मैं दोहराता हूं - के लिए कोई!) समीकरण हल करने का एक विश्वसनीय और परेशानी मुक्त आधार है। हर जगह और हमेशा काम करता है। यह आधार - डरावना लगता है, लेकिन बात बहुत आसान है। और बहुत (बहुत!)महत्वपूर्ण।

दरअसल, समीकरण के समाधान में इन्हीं परिवर्तनों का समावेश होता है। 99% पर। सवाल का जवाब है: " समीकरण कैसे हल करें?" झूठ, बस इन परिवर्तनों में। क्या संकेत स्पष्ट है?)

समीकरणों की पहचान परिवर्तन।

पर कोई समीकरणअज्ञात को खोजने के लिए, मूल उदाहरण को बदलना और सरल बनाना आवश्यक है। इसके अलावा, ताकि उपस्थिति बदलते समय समीकरण का सार नहीं बदला है।ऐसे परिवर्तनों को कहा जाता है सदृशया उसके बराबर।

ध्यान दें कि ये परिवर्तन हैं सिर्फ समीकरणों के लिए।गणित में, अभी भी समान परिवर्तन हैं भाव।यह एक और विषय है।

अब हम सब-ऑल-ऑल बेसिक दोहराएंगे समीकरणों के समान परिवर्तन।

बुनियादी क्योंकि उन्हें लागू किया जा सकता है कोईसमीकरण - रैखिक, द्विघात, भिन्नात्मक, त्रिकोणमितीय, घातांक, लघुगणक, आदि। आदि।

पहला समान परिवर्तन: किसी भी समीकरण के दोनों पक्षों को जोड़ा (घटाया) जा सकता है कोई(लेकिन वही!) एक संख्या या एक अभिव्यक्ति (अज्ञात के साथ अभिव्यक्ति सहित!)। समीकरण का सार नहीं बदलता है।

वैसे, आपने लगातार इस परिवर्तन का उपयोग किया, आपने केवल यह सोचा था कि आप कुछ शर्तों को समीकरण के एक भाग से दूसरे में एक संकेत परिवर्तन के साथ स्थानांतरित कर रहे थे। टाइप:

मामला परिचित है, हम ड्यूस को दाईं ओर ले जाते हैं, और हम प्राप्त करते हैं:

असल में आप दूर ले जाया गयासमीकरण ड्यूस के दोनों ओर से। नतीजा वही है:

एक्स+2 - 2 = 3 - 2

संकेत के परिवर्तन के साथ बाएं-दाएं शब्दों का स्थानांतरण पहले समान परिवर्तन का एक संक्षिप्त संस्करण है। और हमें इतने गहरे ज्ञान की आवश्यकता क्यों है? - आप पूछना। समीकरणों में कुछ भी नहीं। इसे स्थानांतरित करें, भगवान के लिए। बस साइन बदलना न भूलें। लेकिन असमानताओं में स्थानान्तरण की आदत एक मृत अंत की ओर ले जा सकती है....

दूसरा पहचान परिवर्तन: समीकरण के दोनों पक्षों को उसी से गुणा (विभाजित) किया जा सकता है गैर-शून्यसंख्या या अभिव्यक्ति। एक समझने योग्य सीमा पहले से ही यहां दिखाई देती है: शून्य से गुणा करना बेवकूफी है, लेकिन इसे विभाजित करना बिल्कुल भी असंभव है। यह वह परिवर्तन है जिसका उपयोग आप तब करते हैं जब आप कुछ अच्छा निर्णय लेते हैं

समझा जा सकता है, एक्स= 2. लेकिन आपको यह कैसे मिला? चयन? या सिर्फ जलाया? अंतर्दृष्टि की प्रतीक्षा न करने के लिए, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि आप न्यायी हैं समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करें 5. बाईं ओर (5x) को विभाजित करते समय, शुद्ध X को छोड़कर, पांच को घटा दिया गया था। जिसकी हमें जरूरत थी। और जब दाईं ओर (10) को पांच से विभाजित किया गया, तो यह निश्चित रूप से एक ड्यूस निकला।

बस इतना ही।

यह मज़ेदार है, लेकिन ये दो (केवल दो!) समान परिवर्तन समाधान के अंतर्गत आते हैं गणित के सभी समीकरण।कैसे! क्या और कैसे के उदाहरणों को देखना समझ में आता है, है ना?)

समीकरणों के समान परिवर्तनों के उदाहरण। मुख्य समस्याएं।

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं पहलासमान परिवर्तन। बाएं-दाएं ले जाएं।

छोटों के लिए एक उदाहरण।)

मान लें कि हमें निम्नलिखित समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

3-2x=5-3x

आइए याद करते हैं मंत्र: "X के साथ - बाईं ओर, X के बिना - दाईं ओर!"यह वर्तनी पहले पहचान परिवर्तन को लागू करने के लिए एक निर्देश है।) दाईं ओर x के साथ अभिव्यक्ति क्या है? 3x? जवाब गलत है! हमारे दाहिनी ओर - 3x! ऋणतीन एक्स! इसलिए, जब बाईं ओर शिफ्ट किया जाता है, तो चिन्ह प्लस में बदल जाएगा। प्राप्त:

3-2x+3x=5

तो, एक्स को एक साथ रखा गया था। चलो नंबर करते हैं। बाईं ओर तीन। क्या संकेत? उत्तर "बिना किसी के" स्वीकार नहीं किया जाता है!) ट्रिपल के सामने, वास्तव में, कुछ भी नहीं खींचा जाता है। और इसका मतलब है कि ट्रिपल के सामने है एक से अधिक।तो गणितज्ञ सहमत हो गए। कुछ भी नहीं लिखा है, तो एक से अधिक।इसलिए, ट्रिपल को दाईं ओर स्थानांतरित किया जाएगा एक माइनस के साथ।हम पाते हैं:

-2x+3x=5-3

खाली जगह बाकी हैं। बाईं ओर - समान दें, दाईं ओर - गिनें। जवाब तुरंत है:

इस उदाहरण में, एक समान परिवर्तन पर्याप्त था। दूसरे की जरूरत नहीं थी। अच्छी तरह से ठीक है।)

बड़ों के लिए एक उदाहरण।)

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आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

बीजगणित के अध्ययन के दौरान, हमें बहुपद (उदाहरण के लिए ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ इत्यादि) और बीजीय भिन्न (उदाहरण के लिए $\frac(x+5)(x) की अवधारणाओं का पता चला। )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ आदि) इन अवधारणाओं की समानता यह है कि बहुपद और बीजीय भिन्न दोनों में चर और संख्यात्मक मान, अंकगणितीय क्रियाएं: जोड़, घटाव, गुणा, घातांक इन अवधारणाओं के बीच अंतर यह है कि बहुपद में एक चर द्वारा विभाजन नहीं किया जाता है, लेकिन बीजीय अंशों में एक चर द्वारा विभाजन किया जा सकता है।

गणित में बहुपद और बीजीय भिन्न दोनों को परिमेय बीजीय व्यंजक कहा जाता है। लेकिन बहुपद पूर्णांक परिमेय व्यंजक होते हैं, और बीजीय भिन्नात्मक व्यंजक भिन्नात्मक परिमेय व्यंजक होते हैं।

समान परिवर्तन का उपयोग करके भिन्नात्मक परिमेय व्यंजक से संपूर्ण बीजीय व्यंजक प्राप्त करना संभव है, जो इस मामले में भिन्न का मुख्य गुण होगा - भिन्नों का घटाव। आइए इसे व्यवहार में देखें:

उदाहरण 1

रूपांतरण:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

समाधान:इस भिन्नात्मक-तर्कसंगत समीकरण को भिन्न-रद्दीकरण की मूल संपत्ति का उपयोग करके रूपांतरित किया जा सकता है, अर्थात। अंश और हर को $0$ के अलावा समान संख्या या व्यंजक से विभाजित करना।

इस भिन्न को तुरंत कम नहीं किया जा सकता है, अंश को परिवर्तित करना आवश्यक है।

हम भिन्न के अंश में व्यंजक को रूपांतरित करते हैं, इसके लिए हम अंतर के वर्ग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

अंश का रूप है

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\बाएं(x-2\दाएं)(x-2))(x-2)\]

अब हम देखते हैं कि अंश और हर में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है - यह व्यंजक $x-2$ है, जिस पर हम भिन्न को घटाएंगे

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\बाएं(x-2\दाएं)(x-2))(x-2)=x-2\]

कमी के बाद, हमने प्राप्त किया है कि मूल भिन्नात्मक-तर्कसंगत व्यंजक $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ एक बहुपद $x-2$ बन गया है, अर्थात। संपूर्ण तर्कसंगत।

अब आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि भाव $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ और $x-2\ $ को चर के सभी मूल्यों के लिए समान नहीं माना जा सकता है, क्योंकि एक भिन्नात्मक-तर्कसंगत अभिव्यक्ति के अस्तित्व के लिए और बहुपद $x-2$ द्वारा कमी संभव हो, भिन्न का हर $0$ के बराबर नहीं होना चाहिए (साथ ही वह कारक जिसके द्वारा हम कम करते हैं। इस उदाहरण में, भाजक और गुणनखंड समान हैं, लेकिन हमेशा ऐसा नहीं होता है)।

वेरिएबल मान जिनके लिए बीजीय भिन्न मौजूद होगा, वेरिएबल वेरिएबल मान कहलाते हैं।

हम भिन्न के हर पर एक शर्त लगाते हैं: $x-2≠0$, फिर $x≠2$।

तो भाव $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ और $x-2$ $2$ को छोड़कर चर के सभी मूल्यों के लिए समान हैं।

परिभाषा 1

समान रूप से समानभाव वे हैं जो चर के सभी संभावित मूल्यों के लिए समान हैं।

एक समान परिवर्तन मूल अभिव्यक्ति के किसी भी समान समान के साथ कोई भी प्रतिस्थापन है। इस तरह के परिवर्तनों में प्रदर्शन क्रियाएं शामिल हैं: जोड़, घटाव, गुणा, एक सामान्य कारक को ब्रैकेट से बाहर निकालना, बीजीय अंशों को एक सामान्य भाजक में लाना, बीजीय अंशों को कम करना, लाना जैसे शर्तें, आदि। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि कई परिवर्तन, जैसे कमी, समान शर्तों में कमी, चर के स्वीकार्य मूल्यों को बदल सकते हैं।

पहचान साबित करने के लिए इस्तेमाल की जाने वाली तकनीक

पहचान परिवर्तन का उपयोग करके पहचान के बाईं ओर दाईं ओर या इसके विपरीत रूपांतरित करें

समान परिवर्तनों का उपयोग करके दोनों भागों को एक ही अभिव्यक्ति में कम करें

व्यंजक के एक भाग के व्यंजकों को दूसरे भाग में स्थानांतरित करें और सिद्ध करें कि परिणामी अंतर $0$ . के बराबर है

दी गई पहचान को साबित करने के लिए उपरोक्त में से कौन सी विधि का उपयोग करना मूल पहचान पर निर्भर करता है।

उदाहरण 2

पहचान साबित करें $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

समाधान:इस पहचान को साबित करने के लिए, हम उपरोक्त विधियों में से पहली का उपयोग करते हैं, अर्थात्, हम पहचान के बाईं ओर को तब तक बदल देंगे जब तक कि यह दाईं ओर के बराबर न हो जाए।

पहचान के बाईं ओर पर विचार करें: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- यह दो बहुपदों का अंतर है। इस मामले में, पहला बहुपद तीन पदों के योग का वर्ग है। कई पदों के योग का वर्ग करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

ऐसा करने के लिए, हमें एक संख्या को एक बहुपद से गुणा करना होगा। याद रखें कि इसके लिए हमें कोष्ठक के बाहर के सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक में बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा। तब हमें प्राप्त होता है:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

अब मूल बहुपद पर वापस, यह रूप लेगा:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

ध्यान दें कि कोष्ठक के सामने एक "-" चिन्ह है, जिसका अर्थ है कि जब कोष्ठक खोले जाते हैं, तो कोष्ठक में मौजूद सभी चिह्न विपरीत दिशा में बदल जाते हैं।

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

यदि हम समान शब्द लाते हैं, तो हम पाते हैं कि मोनोमियल $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ और $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ एक दूसरे को रद्द कर देते हैं, अर्थात उनका योग $0$ के बराबर है।

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

तो, समान परिवर्तनों द्वारा, हमने मूल पहचान के बाईं ओर समान अभिव्यक्ति प्राप्त की

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

ध्यान दें कि परिणामी अभिव्यक्ति दर्शाती है कि मूल पहचान सत्य है।

ध्यान दें कि मूल पहचान में चर के सभी मूल्यों की अनुमति है, जिसका अर्थ है कि हमने समान परिवर्तनों का उपयोग करके पहचान को साबित कर दिया है, और यह चर के सभी अनुमत मूल्यों के लिए सही है।

मान लीजिए कि दो बीजीय व्यंजक दिए गए हैं:

आइए अक्षर x के विभिन्न संख्यात्मक मानों के लिए इनमें से प्रत्येक भाव के मूल्यों की एक तालिका बनाएं।

हम देखते हैं कि उन सभी मानों के लिए जो अक्षर x को दिए गए थे, दोनों भावों के मान समान निकले। वही x के किसी अन्य मान के लिए भी सत्य होगा।

इसे सत्यापित करने के लिए, हम पहली अभिव्यक्ति को रूपांतरित करते हैं। वितरण कानून के आधार पर, हम लिखते हैं:

संख्याओं पर संकेतित संचालन करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

तो, पहली अभिव्यक्ति, इसके सरलीकरण के बाद, दूसरी अभिव्यक्ति के समान ही निकली।

अब यह स्पष्ट है कि x के किसी भी मान के लिए दोनों व्यंजकों का मान बराबर होता है।

वे भाव जिनके मान उनमें शामिल अक्षरों के किसी भी मान के लिए समान हैं, समान रूप से समान या समरूप कहलाते हैं।

इसलिए, वे समान अभिव्यक्ति हैं।

आइए एक महत्वपूर्ण टिप्पणी करें। आइए भाव लेते हैं:

पिछले एक के समान एक तालिका संकलित करने के बाद, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि x के किसी भी मान के लिए, दोनों व्यंजकों में समान संख्यात्मक मान हों। केवल जब दूसरा व्यंजक 6 के बराबर हो, और पहला अपना अर्थ खो देता है, क्योंकि हर शून्य है। (याद रखें कि आप शून्य से भाग नहीं दे सकते।) क्या हम कह सकते हैं कि ये व्यंजक समरूप हैं?

हम पहले सहमत थे कि प्रत्येक अभिव्यक्ति को केवल अक्षरों के स्वीकार्य मूल्यों के लिए माना जाएगा, अर्थात उन मूल्यों के लिए जिनके लिए अभिव्यक्ति अपना अर्थ नहीं खोती है। इसका मतलब यह है कि यहाँ, दो भावों की तुलना करते समय, हम केवल उन अक्षर मानों को ध्यान में रखते हैं जो दोनों भावों के लिए मान्य हैं। इसलिए, हमें मूल्य को बाहर करना चाहिए। और चूंकि x के अन्य सभी मानों के लिए दोनों व्यंजकों का संख्यात्मक मान समान है, इसलिए हमें उन्हें समान मानने का अधिकार है।

जो कहा गया है उसके आधार पर, हम समान अभिव्यक्तियों की निम्नलिखित परिभाषा देते हैं:

1. अभिव्यक्तियों को समान कहा जाता है यदि उनमें शामिल अक्षरों के सभी स्वीकार्य मूल्यों के लिए समान संख्यात्मक मान हैं।

यदि हम दो समान व्यंजकों को एक समान चिह्न से जोड़ते हैं, तो हमें एक सर्वसमिका प्राप्त होती है। माध्यम:

2. एक पहचान एक समानता है जो इसमें शामिल अक्षरों के सभी स्वीकार्य मूल्यों के लिए सत्य है।

हम पहले भी पहचान का सामना कर चुके हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, सभी समानताएं पहचान हैं, जिसके साथ हमने जोड़ और गुणा के बुनियादी नियमों को व्यक्त किया।

उदाहरण के लिए, जोड़ के कम्यूटेटिव कानून को व्यक्त करने वाली समानताएं

और गुणन का साहचर्य नियम

अक्षरों के किसी भी मान के लिए मान्य हैं। इसलिए, ये समानताएं पहचान हैं।

सभी वास्तविक अंकगणितीय समानताएं भी पहचान मानी जाती हैं, उदाहरण के लिए:

बीजगणित में, अक्सर एक व्यंजक को उसके समान दूसरे व्यंजक से बदलना पड़ता है। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, व्यंजक का मान ज्ञात करना आवश्यक है

यदि हम दिए गए व्यंजक को उसके समरूप व्यंजक से प्रतिस्थापित करते हैं, तो हम परिकलन को बहुत आसान कर देंगे। वितरण कानून के आधार पर, हम लिख सकते हैं:

लेकिन कोष्ठक में दी गई संख्याओं का योग 100 तक होता है। इसलिए, हमारी एक पहचान है:

इसके दाहिनी ओर a के स्थान पर 6.53 रखने पर हम तुरंत (मन में) इस व्यंजक का संख्यात्मक मान (653) ज्ञात करते हैं।

एक व्यंजक को उसके समान दूसरे व्यंजक से प्रतिस्थापित करना इस व्यंजक का समरूप परिवर्तन कहलाता है।

याद रखें कि अक्षरों के किसी भी स्वीकार्य मान के लिए कोई भी बीजीय व्यंजक कुछ होता है

संख्या। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि पिछले अध्याय में दिए गए अंकगणितीय संक्रियाओं के सभी नियम और गुण बीजीय व्यंजकों पर लागू होते हैं। इसलिए, अंकगणितीय संक्रियाओं के नियमों और गुणों का अनुप्रयोग किसी दिए गए बीजीय व्यंजक को उसके समान व्यंजक में बदल देता है।

7 वीं कक्षा

"पहचान। अभिव्यक्तियों की पहचान परिवर्तन ”।

अब्दुलकेरीमोवा खदीज़हत मखमुदोव्ना,

गणित शिक्षक

पाठ मकसद

परिचित और शुरू में "समान रूप से समान भाव", "पहचान", "समान परिवर्तन" की अवधारणाओं को समेकित करना;

पहचान साबित करने के तरीकों पर विचार करना, पहचान साबित करने के लिए कौशल के विकास को बढ़ावा देना;

छात्रों द्वारा अध्ययन की गई सामग्री को आत्मसात करने की जाँच करना, नए की धारणा के लिए अध्ययन को लागू करने के कौशल का निर्माण करना।

पाठ प्रकार: नई सामग्री सीखना

उपकरण : बोर्ड, पाठ्यपुस्तक, कार्यपुस्तिका।

पी लैन पाठ

आयोजन का समय

होमवर्क की जाँच करना

ज्ञान अद्यतन

नई सामग्री का अध्ययन ("पहचान", "समान परिवर्तन") की अवधारणाओं का परिचय और प्राथमिक समेकन।

प्रशिक्षण अभ्यास ("पहचान", "समान परिवर्तन") की अवधारणाओं का गठन।

पाठ का प्रतिबिंब (पाठ में प्राप्त सैद्धांतिक जानकारी को सारांशित करें)।

होमवर्क संदेश (होमवर्क की सामग्री की व्याख्या करें)

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण।

द्वितीय . गृहकार्य की जाँच। (सामने)

तृतीय . ज्ञान अद्यतन।

अंकीय व्यंजक और चरों वाले व्यंजक का उदाहरण दीजिए

x=-4 पर व्यंजकों x+3 और 3x के मानों की तुलना करें; 1.5; 5

किस संख्या से विभाजित नहीं किया जा सकता है? (0)

गुणन परिणाम? (काम)

दो अंकों की सबसे बड़ी संख्या? (99)

-200 से 200 तक का उत्पाद क्या है? (0)

घटाव का परिणाम। (अंतर)

एक किलोग्राम में कितने ग्राम होते हैं? (1000)

जोड़ की कम्यूटेटिव संपत्ति। (शर्तों के स्थानों की पुनर्व्यवस्था से योग नहीं बदलता है)

गुणन की कम्यूटेटिव संपत्ति। (उत्पाद कारकों के स्थानों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है)

जोड़ की साहचर्य संपत्ति। (दो संख्याओं के योग में एक संख्या जोड़ने के लिए, आप पहली संख्या में दूसरी और तीसरी का योग जोड़ सकते हैं)

गुणन की साहचर्य संपत्ति। (दो संख्याओं के गुणनफल को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप पहली संख्या को दूसरी और तीसरी संख्या के गुणनफल से गुणा कर सकते हैं)

वितरण संपत्ति। (किसी संख्या को दो संख्याओं के योग से गुणा करने के लिए, आप इस संख्या को प्रत्येक पद से गुणा कर सकते हैं और परिणाम जोड़ सकते हैं)

चतुर्थ। नए विषय की व्याख्या:

x=5 और y=4 . पर व्यंजकों का मान ज्ञात कीजिए

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3x+3y=3*5+3*4=27

हमें वही परिणाम मिला। यह वितरण संपत्ति से इस प्रकार है कि, सामान्य रूप से, चर के किसी भी मूल्य के लिए, भावों के मान 3(x + y) और 3x + 3y बराबर हैं।

अब व्यंजकों 2x + y और 2xy पर विचार करें। x=1 और y=2 के लिए वे समान मान लेते हैं:

2x+y=2*1+2=4

2xy=2*1*2=4

हालाँकि, आप x और y मान निर्दिष्ट कर सकते हैं जैसे कि इन भावों के मान समान नहीं हैं। उदाहरण के लिए, यदि x=3, y=4, तो

2x+y=2*3+4=10

2xy=2*3*4=24

परिभाषा: दो व्यंजक जिनके मान चर के किसी भी मान के लिए समान हैं, समान रूप से समान कहलाते हैं।

व्यंजक 3(x+y) और 3x+3y समान रूप से समान हैं, लेकिन व्यंजक 2x+y और 2xy समान रूप से समान नहीं हैं।

समानता 3(x+y) और 3x+3y x और y के किसी भी मान के लिए सही है। ऐसी समानताएं पहचान कहलाती हैं।

परिभाषा: एक समानता जो चर के किसी भी मान के लिए सत्य है, एक पहचान कहलाती है।

वास्तविक संख्यात्मक समानताएं भी पहचान मानी जाती हैं। हम पहले ही पहचान से मिल चुके हैं। सर्वसमिकाएँ वे समानताएँ हैं जो क्रियाओं के मूल गुणों को संख्याओं पर व्यक्त करती हैं (छात्र प्रत्येक गुण का उच्चारण करके उस पर टिप्पणी करते हैं)।

ए + बी = बी + ए अब = बीए (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी) (एबी) सी = ए (बीसी) ए (बी + सी) = एबी + एसी

सर्वसमिकाओं के अन्य उदाहरण दिए जा सकते हैं (छात्र प्रत्येक संपत्ति पर टिप्पणी करते हैं, उसका उच्चारण करते हैं)।

ए + 0 = ए

ए * 1 = ए

ए + (-ए) = 0

एक * (- बी ) = - अब

एक - बी = एक + (- बी )

(- एक ) * (- बी ) = अब

परिभाषा: एक व्यंजक का दूसरे व्यंजक के स्थान पर, जो उसके समान रूप से समान हो, समरूप रूपान्तरण या केवल व्यंजक का रूपान्तरण कहलाता है।

शिक्षक:

संख्याओं पर संक्रियाओं के गुणों के आधार पर चरों के साथ व्यंजकों का पहचान रूपांतरण किया जाता है।

अभिव्यक्तियों के मूल्यों की गणना और अन्य समस्याओं को हल करने में अभिव्यक्तियों के पहचान परिवर्तनों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। आपको पहले से ही कुछ समान परिवर्तन करने थे, उदाहरण के लिए, समान शब्दों की कमी, कोष्ठक का विस्तार। इन परिवर्तनों के नियमों को याद करें:

छात्र:

समान पदों को लाने के लिए, उनके गुणांकों को जोड़ना और परिणाम को सामान्य अक्षर भाग से गुणा करना आवश्यक है;

यदि कोष्ठक के सामने धन का चिह्न है, तो कोष्ठकों में संलग्न प्रत्येक पद के चिह्न को बनाए रखते हुए कोष्ठकों को छोड़ा जा सकता है;

यदि कोष्ठक से पहले ऋण चिह्न है, तो कोष्ठक में संलग्न प्रत्येक पद के चिह्न को बदलकर कोष्ठक को छोड़ा जा सकता है।

शिक्षक:

उदाहरण 1. हम समान पद प्रस्तुत करते हैं

5x + 2x-3x=x(5+2-3)=4x

हमने किस नियम का इस्तेमाल किया?

विद्यार्थी:

हमने समान पदों के न्यूनीकरण के नियम का प्रयोग किया है। यह परिवर्तन गुणन के वितरण गुण पर आधारित है।

शिक्षक:

उदाहरण 2. व्यंजक 2a + में कोष्ठकों का विस्तार कीजिए।बी-3 सी) = 2 एक + बी – 3 सी

हमने धन चिह्न से पहले कोष्ठक खोलने का नियम लागू किया।

विद्यार्थी:

किया गया परिवर्तन जोड़ की साहचर्य संपत्ति पर आधारित है।

शिक्षक:

उदाहरण 3. आइए व्यंजक a - (4 .) में कोष्ठक खोलेंबी- सी) =एक – 4 बी + सी

हमने कोष्ठक खोलने के नियम का उपयोग किया है, जो ऋण चिह्न से पहले होता है।

यह परिवर्तन किस गुण पर आधारित है?

विद्यार्थी:

किया गया परिवर्तन गुणन के वितरण गुण और योग के साहचर्य गुण पर आधारित है।

वी . व्यायाम कर रहा या कर रही हूं।

№85 मौखिक रूप से

№86 मौखिक रूप से

№88 मौखिक रूप से

№93

№94

№90av

№96

№97

छठी . सबक प्रतिबिंब .

शिक्षक प्रश्न पूछता है, और छात्र अपनी इच्छानुसार उनका उत्तर देते हैं।

किन दो भावों को समान रूप से समान कहा जाता है? उदाहरण दो।

किस समानता को पहचान कहा जाता है? एक उदाहरण दें।

आप कौन से समान परिवर्तन जानते हैं?

सातवीं . गृहकार्य . पी.5, नंबर 95, 98,100 (ए, सी)

पहचान रूपांतरण वे कार्य हैं जो हम संख्यात्मक और वर्णानुक्रमिक अभिव्यक्तियों के साथ-साथ उन अभिव्यक्तियों के साथ करते हैं जिनमें चर होते हैं। हम मूल अभिव्यक्ति को एक ऐसे रूप में लाने के लिए इन सभी परिवर्तनों को अंजाम देते हैं जो समस्या को हल करने के लिए सुविधाजनक हो। हम इस विषय में मुख्य प्रकार के समान परिवर्तनों पर विचार करेंगे।

एक अभिव्यक्ति की पहचान परिवर्तन। यह क्या है?

पहली बार हम कक्षा 7 के बीजगणित पाठों में समरूप रूपांतरित हम की अवधारणा से मिले हैं। तब हम सबसे पहले समान रूप से समान व्यंजकों की अवधारणा से परिचित होते हैं। आइए विषय को आत्मसात करने की सुविधा के लिए अवधारणाओं और परिभाषाओं से निपटें।

परिभाषा 1

एक अभिव्यक्ति की पहचान परिवर्तनमूल अभिव्यक्ति को एक अभिव्यक्ति के साथ बदलने के लिए की जाने वाली क्रियाएं हैं जो समान रूप से मूल अभिव्यक्ति के बराबर होंगी।

अक्सर इस परिभाषा को संक्षिप्त रूप में प्रयोग किया जाता है, जिसमें "समान" शब्द छोड़ा जाता है। यह माना जाता है कि किसी भी मामले में हम अभिव्यक्ति के परिवर्तन को इस तरह से करते हैं कि मूल अभिव्यक्ति के समान अभिव्यक्ति प्राप्त हो, और इस पर अलग से जोर देने की आवश्यकता नहीं है।

आइए इस परिभाषा को उदाहरणों के साथ स्पष्ट करें।

उदाहरण 1

यदि हम व्यंजक को प्रतिस्थापित करते हैं एक्स + 3 - 2समान रूप से समान अभिव्यक्ति के लिए एक्स+1, तब हम व्यंजक का समान परिवर्तन करते हैं एक्स + 3 - 2.

उदाहरण 2

व्यंजक 2 a 6 को व्यंजक से प्रतिस्थापित करना एक 3पहचान परिवर्तन है, जबकि अभिव्यक्ति का प्रतिस्थापन एक्सअभिव्यक्ति के लिए x2एक समान परिवर्तन नहीं है, क्योंकि भाव एक्सतथा x2समान रूप से समान नहीं हैं।

समान परिवर्तन करते समय हम आपका ध्यान अभिव्यक्ति के लेखन के रूप की ओर आकर्षित करते हैं। हम आम तौर पर मूल अभिव्यक्ति और परिणामी अभिव्यक्ति को समानता के रूप में लिखते हैं। अतः, x + 1 + 2 = x + 3 लिखने का अर्थ है कि व्यंजक x + 1 + 2 को x + 3 के रूप में घटा दिया गया है।

क्रियाओं का क्रमिक निष्पादन हमें समानता की एक श्रृंखला की ओर ले जाता है, जो कि कई लगातार समान परिवर्तन हैं। तो, हम दो परिवर्तनों के क्रमिक कार्यान्वयन के रूप में संकेतन x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x को समझते हैं: पहला, अभिव्यक्ति x + 1 + 2 को x + 3 के रूप में घटाया गया था, और इसे घटाया गया था फॉर्म 3 + एक्स।

पहचान परिवर्तन और ODZ

कई अभिव्यक्तियाँ जिनका हम कक्षा 8 में अध्ययन करना शुरू करते हैं, वेरिएबल के किसी भी मान के लिए कोई अर्थ नहीं रखते हैं। इन मामलों में समान परिवर्तन करने के लिए हमें चर (ODV) के स्वीकार्य मूल्यों के क्षेत्र पर ध्यान देने की आवश्यकता है। समान परिवर्तन करने से ODZ अपरिवर्तित रह सकता है या इसे छोटा कर सकता है।

उदाहरण 3

अभिव्यक्ति से संक्रमण करते समय ए + (-बी)अभिव्यक्ति के लिए ए-बीचर के अनुमत मूल्यों की सीमा एकतथा बीएक ही रहता है।

उदाहरण 4

व्यंजक x से व्यंजक में संक्रमण एक्स 2 एक्ससभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय से सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय तक चर x के स्वीकार्य मानों की सीमा को संकुचित करता है, जिसमें से शून्य को बाहर रखा गया है।

उदाहरण 5

एक अभिव्यक्ति की पहचान परिवर्तन एक्स 2 एक्सव्यंजक x शून्य को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय से सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय तक चर x के स्वीकार्य मानों की सीमा के विस्तार की ओर ले जाता है।

समान परिवर्तन करते समय चर के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा को कम करना या विस्तारित करना समस्याओं को हल करने में महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह गणना की सटीकता को प्रभावित कर सकता है और त्रुटियों को जन्म दे सकता है।

बुनियादी पहचान परिवर्तन

आइए अब देखें कि समान परिवर्तन क्या हैं और उन्हें कैसे किया जाता है। आइए हम उन प्रकार के समान परिवर्तनों को अलग करें जिन्हें हमें मुख्य समूह में सबसे अधिक बार निपटना पड़ता है।

मूल पहचान परिवर्तनों के अलावा, ऐसे कई परिवर्तन हैं जो किसी विशेष प्रकार के भावों से संबंधित हैं। भिन्नों के लिए, ये एक नए हर में कमी और कमी के तरीके हैं। जड़ों और शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति के लिए, सभी क्रियाएं जो जड़ों और शक्तियों के गुणों के आधार पर की जाती हैं। लॉगरिदमिक अभिव्यक्तियों के लिए, क्रियाएँ जो लघुगणक के गुणों के आधार पर की जाती हैं। त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों के लिए, त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके सभी क्रियाएं। इन सभी विशेष परिवर्तनों पर अलग-अलग विषयों में विस्तार से चर्चा की गई है जो हमारे संसाधन पर पाए जा सकते हैं। इस कारण से, हम इस लेख में उन पर ध्यान नहीं देंगे।

आइए हम मुख्य समान परिवर्तनों पर विचार करने के लिए आगे बढ़ें।

शर्तों, कारकों की पुनर्व्यवस्था

आइए शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करके शुरू करें। हम अक्सर इस समान परिवर्तन से निपटते हैं। और निम्नलिखित कथन को यहां मुख्य नियम माना जा सकता है: किसी भी योग में, स्थानों में शब्दों की पुनर्व्यवस्था परिणाम को प्रभावित नहीं करती है।

यह नियम योग के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुणों पर आधारित है। ये गुण हमें पदों को स्थानों में पुनर्व्यवस्थित करने की अनुमति देते हैं और साथ ही ऐसे भाव प्राप्त करते हैं जो मूल रूप से समान रूप से समान हैं। इसलिए योग के स्थानों में पदों की पुनर्व्यवस्था एक समान परिवर्तन है।

उदाहरण 6

हमारे पास तीन पदों का योग 3 + 5 + 7 है। यदि हम 3 और 5 पदों की अदला-बदली करते हैं, तो व्यंजक 5 + 3 + 7 का रूप लेगा। इस मामले में शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए कई विकल्प हैं। वे सभी ऐसे भाव प्राप्त करने की ओर ले जाते हैं जो मूल रूप से समान रूप से समान हैं।

न केवल संख्याएँ, बल्कि व्यंजक भी योग में पदों के रूप में कार्य कर सकते हैं। वे, संख्याओं की तरह, गणना के अंतिम परिणाम को प्रभावित किए बिना पुनर्व्यवस्थित किए जा सकते हैं।

उदाहरण 7

तीन पदों 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 और - 12 a के योग में 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + (- 12) a पदों को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, इस तरह (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3। बदले में, आप भिन्न 1 a + b के हर में पदों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं, जबकि भिन्न 1 b + a का रूप लेगा। और मूल चिह्न के नीचे का व्यंजक ए 2 + 2 ए + 5एक योग भी है जिसमें शब्दों को आपस में बदला जा सकता है।

उसी तरह जैसे शब्दों में, मूल भावों में कोई भी गुणनखंडों को आपस में बदल सकता है और समान रूप से सही समीकरण प्राप्त कर सकता है। यह क्रिया निम्नलिखित नियम द्वारा नियंत्रित होती है:

परिभाषा 2

उत्पाद में, कारकों को स्थानों में पुनर्व्यवस्थित करने से गणना के परिणाम पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

यह नियम गुणन के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुणों पर आधारित है, जो समान परिवर्तन की शुद्धता की पुष्टि करते हैं।

उदाहरण 8

काम 3 5 7कारकों के क्रमपरिवर्तन को निम्नलिखित रूपों में से एक में दर्शाया जा सकता है: 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 या 3 7 5.

उदाहरण 9

गुणनफल x + 1 x 2 - x + 1 x में गुणनखंडों का क्रमपरिवर्तन करने पर x 2 - x + 1 x x + 1 प्राप्त होगा।

ब्रैकेट विस्तार

कोष्ठक में संख्यात्मक अभिव्यक्तियों और चर के साथ अभिव्यक्तियों की प्रविष्टियां हो सकती हैं। इन भावों को समान रूप से समान भावों में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसमें कोई कोष्ठक नहीं होगा या मूल भावों की तुलना में उनमें से कम होंगे। व्यंजकों को परिवर्तित करने के इस तरीके को कोष्ठक विस्तार कहा जाता है।

उदाहरण 10

आइए फॉर्म की अभिव्यक्ति में ब्रैकेट के साथ क्रियाएं करें 3 + एक्स - 1 एक्ससमान रूप से सत्य अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए 3 + एक्स - 1 एक्स.

व्यंजक 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x को समान रूप से समान व्यंजक में बिना कोष्ठक 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x में बदला जा सकता है।

हमने "ब्रैकेट विस्तार" विषय में भावों को कोष्ठक में बदलने के नियमों पर विस्तार से चर्चा की, जो हमारे संसाधन पर पोस्ट किया गया है।

समूहीकरण शर्तें, कारक

ऐसे मामलों में जहां हम तीन या अधिक शर्तों के साथ काम कर रहे हैं, हम शब्दों के समूह के रूप में इस तरह के समान परिवर्तनों का सहारा ले सकते हैं। परिवर्तन की इस पद्धति से तात्पर्य कई पदों को एक समूह में पुनर्व्यवस्थित करके और उन्हें कोष्ठक में रखकर संघ से है।

समूहीकरण करते समय, शब्दों को इस तरह से आपस में बदल दिया जाता है कि समूहीकृत शब्द एक दूसरे के बगल में अभिव्यक्ति रिकॉर्ड में होते हैं। उसके बाद, उन्हें कोष्ठक में संलग्न किया जा सकता है।

उदाहरण 11

अभिव्यक्ति लें 5 + 7 + 1 . यदि हम पहले पद को तीसरे के साथ समूहित करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है (5 + 1) + 7 .

कारकों का समूहन शर्तों के समूहीकरण के समान ही किया जाता है।

उदाहरण 12

काम में 2 3 4 5पहले कारक को तीसरे के साथ और दूसरे कारक को चौथे के साथ समूहित करना संभव है, इस मामले में हम व्यंजक पर पहुंचते हैं (2 4) (35). और अगर हम पहले, दूसरे और चौथे कारकों को समूहित करते हैं, तो हमें व्यंजक प्राप्त होगा (2 3 5) 4.

समूहबद्ध किए गए पदों और कारकों को अभाज्य संख्याओं और व्यंजकों दोनों द्वारा निरूपित किया जा सकता है। "समूहीकरण नियम और कारक" विषय में समूहीकरण नियमों पर विस्तार से चर्चा की गई।

अंतर को रकम, आंशिक उत्पादों और इसके विपरीत से बदलना

विषम संख्याओं के साथ हमारे परिचित होने के कारण अंतरों को रकम से बदलना संभव हो गया। अब एक संख्या से घटाना एकनंबर बीसंख्या के अतिरिक्त के रूप में देखा जा सकता है एकनंबर बी. समानता ए - बी = ए + (- बी)इसे उचित माना जा सकता है और इसके आधार पर अंतरों को राशियों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

उदाहरण 13

अभिव्यक्ति लें 4 + 3 − 2 , जिसमें संख्याओं का अंतर 3 − 2 हम योग के रूप में लिख सकते हैं 3 + (− 2) . प्राप्त 4 + 3 + (− 2) .

उदाहरण 14

अभिव्यक्ति में सभी अंतर 5 + 2 एक्स - एक्स 2 - 3 एक्स 3 - 0, 2जैसे रकम से बदला जा सकता है 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0 , 2).

हम किसी भी अंतर से रकम के लिए आगे बढ़ सकते हैं। इसी तरह, हम एक रिवर्स प्रतिस्थापन कर सकते हैं।

भाजक के व्युत्क्रम द्वारा गुणन द्वारा विभाजन का प्रतिस्थापन व्युत्क्रम संख्याओं की अवधारणा द्वारा संभव बनाया गया है। इस परिवर्तन को इस प्रकार लिखा जा सकता है ए: बी = ए (बी -1).

यह नियम साधारण भिन्नों को विभाजित करने के नियम का आधार था।

उदाहरण 15

निजी 1 2: 3 5 प्रपत्र के उत्पाद द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है 1 2 5 3.

इसी तरह, सादृश्य द्वारा, विभाजन को गुणा द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

उदाहरण 16

अभिव्यक्ति के मामले में 1+5:x:(x+3)विभाजन को से बदलें एक्ससे गुणा किया जा सकता है 1 एक्स. डिवीजन द्वारा एक्स + 3हम से गुणा करके प्रतिस्थापित कर सकते हैं 1 एक्स + 3. परिवर्तन हमें एक अभिव्यक्ति प्राप्त करने की अनुमति देता है जो मूल अभिव्यक्ति के समान है: 1 + 5 1 x 1 x + 3।

योजना के अनुसार गुणन को विभाजन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है ए बी = ए: (बी -1).

उदाहरण 17

व्यंजक 5 x x 2 + 1 - 3 में, गुणा को 5: x 2 + 1 x - 3 के रूप में भाग द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

संख्याओं के साथ क्रिया करना

संख्याओं के साथ संचालन करना संचालन के क्रम के नियम के अधीन है। सबसे पहले, संख्याओं की शक्तियों और संख्याओं की जड़ों के साथ संचालन किया जाता है। उसके बाद, हम लघुगणक, त्रिकोणमितीय और अन्य कार्यों को उनके मूल्यों से बदल देते हैं। फिर कोष्ठक में क्रियाएं की जाती हैं। और फिर आप बाएँ से दाएँ अन्य सभी क्रियाओं को पहले से ही कर सकते हैं। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि जोड़ और घटाव से पहले गुणा और भाग किया जाता है।

संख्याओं के साथ संचालन आपको मूल अभिव्यक्ति को इसके बराबर एक समान में बदलने की अनुमति देता है।

उदाहरण 18

आइए व्यंजक 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x को सभी संभावित संक्रियाओं को संख्याओं के साथ निष्पादित करके रूपांतरित करें।

समाधान

सबसे पहले, आइए डिग्री देखें 2 3 और रूट 4 और उनके मूल्यों की गणना करें: 2 3 = 8 और 4 = 2 2 = 2।

प्राप्त मानों को मूल व्यंजक में रखें और प्राप्त करें: 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) ।

अब कोष्ठक करते हैं: 8 − 1 = 7 . और अब हम व्यंजक 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) की ओर बढ़ते हैं।

हमें बस गुणा करना है 3 तथा 7 . हम प्राप्त करते हैं: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) ।

उत्तर: 3 2 3 - 1 ए + 4 एक्स 2 + 5 एक्स = 21 ए + 2 (एक्स 2 + 5 एक्स)

संख्याओं के साथ संचालन अन्य प्रकार के समान परिवर्तनों से पहले हो सकता है, जैसे समूह संख्याएं या कोष्ठक का विस्तार करना।

उदाहरण 19

अभिव्यक्ति लें 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11.

समाधान

सबसे पहले, हम भागफल को कोष्ठकों में बदलेंगे 6: 3 इसके अर्थ पर 2 . हम पाते हैं: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11।

आइए कोष्ठक का विस्तार करें: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 - 2 + 11.

आइए उत्पाद में संख्यात्मक कारकों को समूहबद्ध करें, साथ ही वे शब्द जो संख्याएं हैं: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

आइए कोष्ठक करते हैं: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

उत्तर:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

यदि हम संख्यात्मक भावों के साथ कार्य करते हैं, तो हमारे कार्य का उद्देश्य व्यंजक का मान ज्ञात करना होगा। यदि हम व्यंजकों को चरों से बदलते हैं, तो हमारे कार्यों का लक्ष्य व्यंजक को सरल बनाना होगा।

सामान्य कारक को ब्रैकेट करना

ऐसे मामलों में जहां व्यंजक के पदों का गुणनखंड समान हो, तब हम इस उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से निकाल सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें पहले मूल अभिव्यक्ति को एक सामान्य कारक के उत्पाद के रूप में और कोष्ठक में एक अभिव्यक्ति के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता है, जिसमें एक सामान्य कारक के बिना मूल शब्द शामिल हैं।

उदाहरण 20

संख्यानुसार 2 7 + 2 3हम सामान्य कारक निकाल सकते हैं 2 कोष्ठक के बाहर और प्रपत्र की एक समान रूप से सही अभिव्यक्ति प्राप्त करें 2 (7 + 3).

आप हमारे संसाधन के संबंधित अनुभाग में सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर रखने के नियमों की स्मृति को ताज़ा कर सकते हैं। सामग्री कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालने के नियमों पर विस्तार से चर्चा करती है और कई उदाहरण प्रदान करती है।

समान शब्दों में कमी

अब आइए उन योगों पर चलते हैं जिनमें समान पद होते हैं। यहां दो विकल्प संभव हैं: समान पदों वाले योग, और वे योग जिनके पद एक संख्यात्मक गुणांक से भिन्न होते हैं। समान पदों वाले योगों वाले संक्रियाओं को समान पदों का अपचयन कहते हैं। इसे निम्नानुसार किया जाता है: हम सामान्य अक्षर भाग को कोष्ठक से बाहर रखते हैं और कोष्ठक में संख्यात्मक गुणांक के योग की गणना करते हैं।

उदाहरण 21

अभिव्यक्ति पर विचार करें 1 + 4 एक्स - 2 एक्स. हम कोष्ठक से x का शाब्दिक भाग निकाल सकते हैं और व्यंजक प्राप्त कर सकते हैं 1 + एक्स (4 - 2). आइए कोष्ठकों में व्यंजक के मान की गणना करें और 1 + x · 2 के रूप का योग प्राप्त करें।

समान भावों के साथ संख्याओं और व्यंजकों को बदलना

मूल व्यंजक बनाने वाली संख्याओं और व्यंजकों को उन व्यंजकों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जो उनके समान रूप से समान हों। मूल अभिव्यक्ति के इस तरह के परिवर्तन से एक अभिव्यक्ति होती है जो समान रूप से इसके बराबर होती है।

उदाहरण 22 उदाहरण 23

अभिव्यक्ति पर विचार करें 1 + ए5, जिसमें हम डिग्री a 5 को समान रूप से समान उत्पाद से बदल सकते हैं, उदाहरण के लिए, प्रपत्र एक 4. यह हमें अभिव्यक्ति देगा 1 + ए 4.

किया गया परिवर्तन कृत्रिम है। यह केवल अन्य परिवर्तनों की तैयारी में समझ में आता है।

उदाहरण 24

योग के परिवर्तन पर विचार करें 4 x 3 + 2 x 2. यहाँ शब्द 4x3हम एक उत्पाद के रूप में प्रतिनिधित्व कर सकते हैं 2 एक्स 2 एक्स 2 एक्स. नतीजतन, मूल अभिव्यक्ति रूप लेती है 2 x 2 2 x + 2 x 2. अब हम उभयनिष्ठ गुणनखंड को पृथक कर सकते हैं 2x2और इसे कोष्ठक से बाहर निकालें: 2 x 2 (2 x + 1).

एक ही संख्या को जोड़ना और घटाना

एक ही समय में एक ही संख्या या व्यंजक को जोड़ना और घटाना एक कृत्रिम व्यंजक रूपांतरण तकनीक है।

उदाहरण 25

अभिव्यक्ति पर विचार करें एक्स 2 + 2 एक्स. हम इसमें से एक को जोड़ या घटा सकते हैं, जो हमें बाद में एक और समान परिवर्तन करने की अनुमति देगा - द्विपद के वर्ग का चयन करने के लिए: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

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