सम विषम फलन y 2x। सम और विषम कार्य

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लक्ष्य:

सम और विषम कार्यों की अवधारणा बनाने के लिए, कार्यों के अध्ययन में इन गुणों को निर्धारित करने और उपयोग करने की क्षमता सिखाने के लिए, रेखांकन की साजिश रचने के लिए;
छात्रों की रचनात्मक गतिविधि, तार्किक सोच, तुलना करने की क्षमता, सामान्यीकरण विकसित करना;
परिश्रम, गणितीय संस्कृति की खेती करना; संचार कौशल विकसित करें .

उपकरण:मल्टीमीडिया इंस्टॉलेशन, इंटरेक्टिव व्हाइटबोर्ड, हैंडआउट्स।

काम के रूप:खोज और अनुसंधान गतिविधियों के तत्वों के साथ ललाट और समूह।

सूत्रों की जानकारी:

1. बीजगणित कक्षा 9 ए.जी. मोर्दकोविच। पाठ्यपुस्तक।
2. बीजगणित ग्रेड 9 एजी मोर्दकोविच। कार्यपुस्तिका।
3. बीजगणित ग्रेड 9. छात्रों के सीखने और विकास के लिए कार्य। बेलेंकोवा ई.यू. लेबेदित्सेवा ई.ए.

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण

पाठ के लक्ष्य और उद्देश्य निर्धारित करना।

2. होमवर्क की जाँच करना

नंबर 10.17 (समस्या पुस्तक 9 वीं कक्षा ए.जी. मोर्दकोविच)।

एक) पर = एफ(एक्स), एफ(एक्स) =

बी) एफ (–2) = –3; एफ (0) = –1; एफ(5) = 69;

सी) 1. डी ( एफ) = [– 2; + ∞)
2. ई( एफ) = [– 3; + ∞)
3. एफ(एक्स) = 0 के लिए एक्स ~ 0,4
4. एफ(एक्स)>0 बजे एक्स > 0,4 ; एफ(एक्स) < 0 при – 2 < एक्स < 0,4.
5. फलन के साथ बढ़ता है एक्स € [– 2; + ∞)
6. फ़ंक्शन नीचे से सीमित है।
7. परकिराया = - 3, परनायब मौजूद नहीं है
8. फ़ंक्शन निरंतर है।

(क्या आपने फीचर एक्सप्लोरेशन एल्गोरिथम का उपयोग किया था?) फिसलना।

2. आइए उस तालिका की जांच करें जो आपसे स्लाइड पर पूछी गई थी।

तालिका भरें
	कार्यक्षेत्र	फंक्शन जीरो	निरंतरता अंतराल		Oy . के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक
	कार्यक्षेत्र	फंक्शन जीरो			Oy . के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक
		एक्स = -5, एक्स = 2	х € (-5;3) यू यू(2;∞)	€ (-∞;–5) यू यू (-3; 2)
	एक्स -5, एक्स 2		х € (-5;3) यू यू(2;∞)	€ (-∞;–5) यू यू (-3; 2)
	एक्स -5, एक्स 2		एक्स € (-∞; -5) यू यू(2;∞)	एक्स € (-5; 2)

3. ज्ञान अद्यतन

- फंक्शन दिए गए हैं।
- प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए परिभाषा का डोमेन निर्दिष्ट करें।
- तर्क मूल्यों की प्रत्येक जोड़ी के लिए प्रत्येक फ़ंक्शन के मूल्य की तुलना करें: 1 और -1; 2 और - 2.
- परिभाषा के क्षेत्र में दिए गए कार्यों में से किसके लिए समानताएं हैं एफ(– एक्स) = एफ(एक्स), एफ(– एक्स) = – एफ(एक्स)? (डेटा को तालिका में रखें) फिसलना

		एफ(1) और एफ(– 1)	एफ(2) और एफ(– 2)	चार्ट	एफ(– एक्स) = –एफ(एक्स)	एफ(– एक्स) = एफ(एक्स)
1. एफ(एक्स) =
2. एफ(एक्स) = एक्स 3
3. एफ(एक्स) = \| एक्स \|
4.एफ(एक्स) = 2एक्स – 3
5. एफ(एक्स) =	एक्स ≠ 0
6. एफ(एक्स)=	एक्स > –1		और परिभाषित नहीं।

4. नई सामग्री

- यह काम करते हुए, दोस्तों, हमने फ़ंक्शन की एक और संपत्ति का खुलासा किया है, जो आपके लिए अपरिचित है, लेकिन दूसरों से कम महत्वपूर्ण नहीं है - यह फ़ंक्शन की समता और विषमता है। पाठ का विषय लिखें: "सम और विषम कार्य", हमारा कार्य यह सीखना है कि सम और विषम कार्यों को कैसे निर्धारित किया जाए, कार्यों और प्लॉटिंग के अध्ययन में इस संपत्ति के महत्व का पता लगाएं।
तो, आइए पाठ्यपुस्तक में परिभाषाएँ खोजें और पढ़ें (पृष्ठ 110) . फिसलना

डीईएफ़। एकसमारोह पर = एफ (एक्स) सेट एक्स पर परिभाषित कहा जाता है यहाँ तक की, यदि किसी मूल्य के लिए एक्सЄ एक्स प्रगति पर है समानता f (-x) = f (x)। उदाहरण दो।

डीईएफ़। 2समारोह वाई = एफ (एक्स), सेट X पर परिभाषित कहा जाता है अजीब, यदि किसी मूल्य के लिए एक्सएक्स समानता f(–х)= –f(х) पूरी होती है। उदाहरण दो।

हम "सम" और "विषम" शब्द कहां से मिले?
इनमें से कौन सा फलन सम होगा, क्या आपको लगता है? क्यों? कौन से अजीब हैं? क्यों?
फॉर्म के किसी भी फंक्शन के लिए पर= एक्स एन, कहाँ पे एनएक पूर्णांक है, यह तर्क दिया जा सकता है कि फ़ंक्शन विषम है एनविषम है और फलन सम है एन- यहाँ तक की।
- कार्य देखें पर= और पर = 2एक्स- 3 न तो सम है और न ही विषम, क्योंकि समानताएं पूरी नहीं हुई हैं एफ(– एक्स) = – एफ(एक्स), एफ(– एक्स) = एफ(एक्स)

किसी फलन के सम या विषम होने के प्रश्न का अध्ययन समता के लिए फलन का अध्ययन कहलाता है।फिसलना

परिभाषाएँ 1 और 2 x और - x पर फ़ंक्शन के मानों से निपटते हैं, इस प्रकार यह माना जाता है कि फ़ंक्शन को मान पर भी परिभाषित किया गया है एक्स, और कम से - एक्स.

ओडीए 3.यदि किसी संख्या के प्रत्येक अवयव x के साथ समुच्चय में विपरीत अवयव x है, तो समुच्चय एक्ससममित समुच्चय कहलाता है।

उदाहरण:

(-2;2), [-5;5]; (∞;∞) सममित समुच्चय हैं, और [–5;4] असममित हैं।

- क्या फ़ंक्शंस में भी परिभाषा का एक डोमेन होता है - एक सममित सेट? अजीब वाले?
- अगर डी ( एफ) एक असममित समुच्चय है, तो कार्य क्या है?
- इस प्रकार, यदि फलन पर = एफ(एक्स) सम या विषम है, तो इसकी परिभाषा का क्षेत्र D है ( एफ) एक सममित सेट है। लेकिन क्या इसका विलोम सत्य है, यदि किसी फलन का प्रांत एक सममित समुच्चय है, तो यह सम या विषम है?
- तो परिभाषा के क्षेत्र के एक सममित सेट की उपस्थिति एक आवश्यक शर्त है, लेकिन पर्याप्त नहीं है।
- तो हम समानता के लिए फ़ंक्शन की जांच कैसे कर सकते हैं? आइए एक एल्गोरिथ्म लिखने का प्रयास करें।

फिसलना

समानता के लिए एक समारोह की जांच के लिए एल्गोरिदम

1. निर्धारित करें कि क्या फ़ंक्शन का डोमेन सममित है। यदि नहीं, तो फलन न तो सम है और न ही विषम। यदि हाँ, तो एल्गोरिथम के चरण 2 पर जाएँ।

2. के लिए व्यंजक लिखिए एफ(–एक्स).

3. तुलना करें एफ(–एक्स)।तथा एफ(एक्स):

यदि एफ(–एक्स).= एफ(एक्स), तो फ़ंक्शन सम है;
यदि एफ(–एक्स).= – एफ(एक्स), तो फ़ंक्शन विषम है;
यदि एफ(–एक्स) ≠ एफ(एक्स) तथा एफ(–एक्स) ≠ –एफ(एक्स), तो फलन न तो सम है और न ही विषम।

उदाहरण:

समता के लिए फलन की जाँच कीजिए a) पर= एक्स 5 +; बी) पर=; में) पर= .

समाधान।

ए) एच (एक्स) \u003d एक्स 5 +,

1) डी(एच) = (-∞; 0) यू (0; +∞), सममित सेट।

2) एच (- एक्स) \u003d (-एक्स) 5 + - एक्स 5 - \u003d - (एक्स 5 +),

3) एच (- एक्स) \u003d - एच (एक्स) \u003d\u003e फ़ंक्शन एच (एक्स)= x 5 + विषम।

बी) वाई =,

पर = एफ(एक्स), डी (एफ) = (-∞; -9)? (-9; +∞), असममित समुच्चय, इसलिए फलन न तो सम है और न ही विषम।

में) एफ(एक्स) = , y = f(x),

1) डी ( एफ) = (-∞; 3] ; बी) (∞; -2), (-4; 4]?

विकल्प 2

1. क्या दिया गया समुच्चय सममित है: a) [-2;2]; बी) (∞; 0], (0; 7)?

एक); बी) वाई \u003d एक्स (5 - एक्स 2)। 2. समता के लिए फलन का परीक्षण कीजिए:

ए) वाई \u003d एक्स 2 (2x - एक्स 3), बी) वाई \u003d

3. अंजीर में। साजिश रची पर = एफ(एक्स), सभी के लिए एक्स, शर्त को संतुष्ट करना एक्स? 0.
फंक्शन प्लॉट करें पर = एफ(एक्स), यदि पर = एफ(एक्स) एक समान कार्य है।

3. अंजीर में। साजिश रची पर = एफ(एक्स), सभी x संतोषजनक x के लिए? 0.
फंक्शन प्लॉट करें पर = एफ(एक्स), यदि पर = एफ(एक्स) एक विषम कार्य है।

म्युचुअल चेक ऑन फिसल पट्टी।

6. गृहकार्य: №11.11, 11.21,11.22;

समता गुण के ज्यामितीय अर्थ का प्रमाण।

*** (यूएसई विकल्प का असाइनमेंट)।

1. विषम फलन y \u003d f (x) संपूर्ण वास्तविक रेखा पर परिभाषित है। चर x के किसी भी गैर-ऋणात्मक मान के लिए, इस फ़ंक्शन का मान फ़ंक्शन g के मान के साथ मेल खाता है ( एक्स) = एक्स(एक्स + 1)(एक्स + 3)(एक्स- 7)। फ़ंक्शन h का मान ज्ञात कीजिए ( एक्स) = अत एक्स = 3.

7. संक्षेप करना

. ऐसा करने के लिए, ग्राफ पेपर या ग्राफिकल कैलकुलेटर का उपयोग करें। स्वतंत्र चर के लिए किसी भी संख्या में संख्यात्मक मानों का चयन करें एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)और आश्रित चर के मूल्यों की गणना करने के लिए उन्हें फ़ंक्शन में प्लग करें y (\displaystyle y). बिंदुओं के पाए गए निर्देशांक को निर्देशांक तल पर रखें, और फिर फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाने के लिए इन बिंदुओं को कनेक्ट करें।

फ़ंक्शन में सकारात्मक संख्यात्मक मान बदलें एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)और संगत नकारात्मक संख्यात्मक मान। उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन दिया गया f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). इसमें निम्नलिखित मान रखें एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स):

जांचें कि फ़ंक्शन का ग्राफ y-अक्ष के बारे में सममित है या नहीं।समरूपता y-अक्ष के बारे में ग्राफ की दर्पण छवि को संदर्भित करती है। यदि y-अक्ष (स्वतंत्र चर के धनात्मक मान) के दाईं ओर ग्राफ़ का भाग y-अक्ष (स्वतंत्र चर के ऋणात्मक मान) के बाईं ओर ग्राफ़ के भाग से मेल खाता है, तो ग्राफ y-अक्ष के प्रति सममित है। यदि फलन y-अक्ष के प्रति सममित है, तो फलन सम है।

जांचें कि क्या फ़ंक्शन का ग्राफ मूल के बारे में सममित है।मूल बिंदु निर्देशांक (0,0) वाला बिंदु है। मूल के बारे में समरूपता का अर्थ है कि एक सकारात्मक मूल्य y (\displaystyle y)(एक सकारात्मक मूल्य के साथ एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)) एक नकारात्मक मूल्य से मेल खाती है y (\displaystyle y)(ऋणात्मक मान के साथ एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)), और इसके विपरीत। विषम फलनों में मूल के संबंध में सममिति होती है।

जांचें कि फ़ंक्शन के ग्राफ़ में कोई समरूपता है या नहीं।अंतिम प्रकार का फलन एक ऐसा फलन है जिसके ग्राफ में सममिति नहीं होती है, अर्थात, y-अक्ष के सापेक्ष और मूल के सापेक्ष कोई दर्पण प्रतिबिम्ब नहीं होता है। उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन दिया गया।

फ़ंक्शन में कई सकारात्मक और संबंधित नकारात्मक मानों को प्रतिस्थापित करें एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स):
प्राप्त परिणामों के अनुसार, कोई समरूपता नहीं है। मूल्यों y (\displaystyle y)विपरीत मूल्यों के लिए एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)मेल नहीं खाते और विपरीत नहीं हैं। इस प्रकार, फलन न तो सम है और न ही विषम।
कृपया ध्यान दें कि समारोह f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1)इस तरह लिखा जा सकता है: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). इस रूप में लिखा गया फलन सम घातांक होने के कारण सम प्रतीत होता है। लेकिन यह उदाहरण साबित करता है कि यदि स्वतंत्र चर कोष्ठक में संलग्न है तो फ़ंक्शन का रूप जल्दी से निर्धारित नहीं किया जा सकता है। इस मामले में, आपको कोष्ठक खोलने और परिणामी घातांक का विश्लेषण करने की आवश्यकता है।

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फ़ंक्शन सेट करने के तरीके

मान लें कि फ़ंक्शन सूत्र द्वारा दिया गया है: y=2x^(2)-3 । स्वतंत्र चर x को कोई मान निर्दिष्ट करके, आप इस सूत्र का उपयोग आश्रित चर y के संगत मानों की गणना के लिए कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि x=-0.5 , तो सूत्र का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि y का संगत मान y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5 है।

सूत्र y=2x^(2)-3 में x तर्क द्वारा लिए गए किसी भी मान को देखते हुए, केवल एक फ़ंक्शन मान की गणना की जा सकती है जो इससे मेल खाती है। फ़ंक्शन को एक तालिका के रूप में दर्शाया जा सकता है:

एक्स	−2	−1	0	1	2	3
आप	−4	−3	−2	−1	0	1

इस तालिका का उपयोग करके, आप यह पता लगा सकते हैं कि तर्क -1 के मान के लिए, फ़ंक्शन -3 का मान संगत होगा; और मान x=2 y=0 के अनुरूप होगा, और इसी तरह। यह जानना भी महत्वपूर्ण है कि तालिका में प्रत्येक तर्क मान केवल एक फ़ंक्शन मान से मेल खाता है।

ग्राफ़ का उपयोग करके अधिक फ़ंक्शन सेट किए जा सकते हैं। ग्राफ की सहायता से, यह स्थापित किया जाता है कि फ़ंक्शन का कौन सा मान x के एक निश्चित मान से संबंधित है। अधिकतर, यह फ़ंक्शन का अनुमानित मान होगा।

सम और विषम कार्य

समारोह है यहां तक कि समारोह, जब डोमेन से किसी x के लिए f(-x)=f(x) । ऐसा फलन Oy अक्ष के परितः सममित होगा।

समारोह है पुराना फंक्शनजब डोमेन में किसी भी x के लिए f(-x)=-f(x) हो। ऐसा फलन मूल बिंदु O (0;0) के बारे में सममित होगा।

समारोह है इतना भी नहीं, न ही अजीबऔर बुलाया सामान्य कार्यजब इसमें धुरी या मूल के बारे में समरूपता नहीं होती है।

हम समता के लिए निम्नलिखित फ़ंक्शन की जांच करते हैं:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) मूल के बारे में परिभाषा के एक सममित डोमेन के साथ। एफ (-एक्स) = 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -एफ (एक्स).

अतः फलन f(x)=3x^(3)-7x^(7) विषम है।

आवधिक कार्य

फलन y=f(x) , जिसके डोमेन में f(x+T)=f(x-T)=f(x) किसी भी x के लिए सत्य है, कहलाता है आवधिक कार्यअवधि टी \neq 0 के साथ।

भुज अक्ष के किसी भी खंड पर फलन के ग्राफ की पुनरावृत्ति, जिसकी लंबाई T है।

अंतराल जहां फलन धनात्मक होता है, अर्थात्, f (x) > 0 - भुज अक्ष के खंड, जो भुज अक्ष के ऊपर स्थित फलन के ग्राफ के बिंदुओं के अनुरूप होते हैं।

f(x) > 0 पर (x_(1); x_(2)) \कप (x_(3); +\infty)

अंतराल जहां फलन ऋणात्मक है, अर्थात् f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

एफ (एक्स)< 0 на (-\infty; x_(1)) \कप (x_(2); x_(3))

कार्य सीमा

नीचे से घिरा हुआयह एक फंक्शन y=f(x), x \in X को कॉल करने के लिए प्रथागत है जब एक संख्या A मौजूद होती है जिसके लिए असमानता f(x) \geq A किसी भी x \ in X के लिए होती है।

नीचे दिए गए फ़ंक्शन का एक उदाहरण: y=\sqrt(1+x^(2)) क्योंकि y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 किसी भी x के लिए।

ऊपर से बंधा हुआएक फ़ंक्शन y=f(x), x \in X कहा जाता है यदि कोई संख्या B मौजूद है जिसके लिए असमानता f(x) \neq B किसी भी x \in X के लिए रखती है।

नीचे बंधे फ़ंक्शन का एक उदाहरण: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1]चूँकि y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 किसी भी x \in [-1;1] के लिए।

सीमितयह एक फ़ंक्शन y=f(x), x \in X को कॉल करने के लिए प्रथागत है जब एक संख्या K> 0 मौजूद होती है जिसके लिए असमानता \ left | एफ(एक्स) \दाएं | \neq K किसी भी x \in X के लिए।

एक परिबद्ध फलन का उदाहरण: y=\sin x पूर्ण संख्या रेखा पर परिबद्ध है क्योंकि \बाएं | \sin x \right | \neq 1.

बढ़ते और घटते कार्य

यह एक फ़ंक्शन के बारे में बात करने के लिए प्रथागत है जो विचाराधीन अंतराल पर बढ़ता है: बढ़ता हुआ कार्यजब x का बड़ा मान फ़ंक्शन y=f(x) के बड़े मान के अनुरूप होगा। यहाँ से यह पता चलता है कि विचारित अंतराल से तर्क x_(1) और x_(2) , और x_(1) > x_(2) के दो मनमाना मान लेते हुए, यह y(x_(1)) होगा > y(x_(2)) ।

एक फलन जो विचाराधीन अंतराल पर घटता है, कहलाता है घटते कार्यजब x का बड़ा मान फ़ंक्शन y(x) के छोटे मान के अनुरूप होगा। यहाँ से यह पता चलता है कि विचारित अंतराल से तर्क x_(1) और x_(2) , और x_(1) > x_(2) के दो मनमाना मान लेते हुए, यह y(x_(1)) होगा< y(x_{2}) .

फंक्शन रूट्सयह उन बिंदुओं को नाम देने के लिए प्रथागत है जिन पर फ़ंक्शन F=y(x) भुज अक्ष को काटता है (वे समीकरण y(x)=0 को हल करने के परिणामस्वरूप प्राप्त होते हैं)।

a) यदि x > 0 के लिए एक सम फलन बढ़ता है, तो यह x . के लिए घटता है< 0

b) जब x > 0 के लिए एक सम फलन घटता है, तो यह x . के लिए बढ़ता है< 0

ग) जब x > 0 के लिए एक विषम फलन बढ़ता है, तो यह x . के लिए भी बढ़ता है< 0

d) जब x > 0 के लिए कोई विषम फलन घटता है, तो x . के लिए भी घटेगा< 0

फंक्शन एक्सट्रीम

फंक्शन न्यूनतम बिंदु y=f(x) ऐसे बिंदु x=x_(0) को कॉल करने की प्रथा है, जिसमें इसके पड़ोस में अन्य बिंदु होंगे (बिंदु x=x_(0) को छोड़कर), और फिर असमानता f(x) > च (x_(0)) । y_(min) - बिंदु मिनट पर फ़ंक्शन का पदनाम।

फ़ंक्शन अधिकतम बिंदु y=f(x) ऐसे बिंदु x=x_(0) को कॉल करने की प्रथा है, जिसमें इसके पड़ोस में अन्य बिंदु होंगे (बिंदु x=x_(0) को छोड़कर), और फिर असमानता f(x) उनके लिए संतुष्ट हो जाएगा< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

आवश्यक शर्त

फ़र्मेट के प्रमेय के अनुसार: f"(x)=0, तब जब फलन f(x) , जो बिंदु x_(0) पर अवकलनीय है, इस बिंदु पर एक चरम दिखाई देगा।

पर्याप्त स्थिति

जब व्युत्पत्ति का चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाता है, तो x_(0) न्यूनतम बिंदु होगा;
x_(0) - केवल तभी अधिकतम बिंदु होगा जब स्थिर बिंदु x_(0) से गुजरने पर व्युत्पन्न माइनस से प्लस में बदल जाता है।

अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान

गणना चरण:

व्युत्पन्न f"(x) की तलाश में;
फ़ंक्शन के स्थिर और महत्वपूर्ण बिंदु पाए जाते हैं और अंतराल से संबंधित लोगों को चुना जाता है;
फ़ंक्शन f(x) के मान खंड के स्थिर और महत्वपूर्ण बिंदुओं और सिरों पर पाए जाते हैं। परिणामों में सबसे छोटा होगा फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान, और अधिक - महानतम.

चर y की चर x पर निर्भरता, जिसमें x का प्रत्येक मान y के एकल मान से मेल खाता है, एक फलन कहलाता है। संकेतन y=f(x) है। प्रत्येक फ़ंक्शन में कई बुनियादी गुण होते हैं, जैसे कि एकरसता, समता, आवधिकता और अन्य।

समता गुण पर अधिक विस्तार से विचार करें।

एक फलन y=f(x) कहा जाता है, भले ही वह निम्नलिखित दो शर्तों को पूरा करता हो:

2. फ़ंक्शन के दायरे से संबंधित बिंदु x पर फ़ंक्शन का मान बिंदु -x पर फ़ंक्शन के मान के बराबर होना चाहिए। अर्थात्, किसी भी बिंदु x के लिए, फ़ंक्शन के डोमेन से, निम्न समानता f (x) \u003d f (-x) सत्य होना चाहिए।

एक सम फलन का ग्राफ

यदि आप एक सम फलन का ग्राफ बनाते हैं, तो यह y-अक्ष के बारे में सममित होगा।

उदाहरण के लिए, फलन y=x^2 सम है। चलो पता करते हैं। परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष है, जिसका अर्थ है कि यह बिंदु O के बारे में सममित है।

एक मनमाना x=3 लें। f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. इसलिए, f(x) = f(-x)। इस प्रकार, दोनों शर्तें हमारे लिए संतुष्ट हैं, जिसका अर्थ है कि फलन सम है। नीचे फ़ंक्शन y=x^2 का एक ग्राफ है।

चित्र से पता चलता है कि ग्राफ y-अक्ष के बारे में सममित है।

विषम फलन का ग्राफ

एक फ़ंक्शन y=f(x) को विषम कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित दो शर्तों को पूरा करता है:

1. दिए गए फ़ंक्शन का डोमेन बिंदु O के संबंध में सममित होना चाहिए। अर्थात, यदि कोई बिंदु a फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित है, तो संबंधित बिंदु -a भी दिए गए फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित होना चाहिए।

2. किसी भी बिंदु x के लिए, फ़ंक्शन के डोमेन से, निम्नलिखित समानता f (x) \u003d -f (x) संतुष्ट होनी चाहिए।

एक विषम फलन का ग्राफ बिंदु O - मूल के संबंध में सममित होता है। उदाहरण के लिए, फलन y=x^3 विषम है। चलो पता करते हैं। परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष है, जिसका अर्थ है कि यह बिंदु O के बारे में सममित है।

एक मनमाना x=2 लें। f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. इसलिए f(x) = -f(x)। इस प्रकार, दोनों शर्तें हमारे लिए संतुष्ट हैं, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन विषम है। नीचे फ़ंक्शन y=x^3 का एक ग्राफ है।

आकृति स्पष्ट रूप से दिखाती है कि विषम फलन y=x^3 मूल के संबंध में सममित है।

- (गणित।) फ़ंक्शन y \u003d f (x) को तब भी कहा जाता है, जब यह नहीं बदलता है जब स्वतंत्र चर केवल संकेत बदलता है, अर्थात यदि f (x) \u003d f (x)। यदि f (x) = f (x), तो फलन f (x) को विषम कहा जाता है। उदाहरण के लिए, y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = x एक विषम फलन का एक उदाहरण है। f(x) = x2 सम फलन का एक उदाहरण है। f(x) = x3 ... विकिपीडिया

एक फलन जो समानता f (x) = f (x) को संतुष्ट करता है। सम और विषम कार्य देखें... महान सोवियत विश्वकोश