अंश और हर का पता लगाएं।एक भिन्न में दो संख्याएँ होती हैं: रेखा के ऊपर की संख्या को अंश कहा जाता है, और रेखा के नीचे की संख्या को हर कहा जाता है। भाजक उन भागों की कुल संख्या को इंगित करता है जिनमें एक पूर्ण टूटा हुआ है, और अंश ऐसे भागों की मानी गई संख्या है।

• उदाहरण के लिए, भिन्न ½ में अंश 1 है और हर 2 है।

भाजक ज्ञात कीजिए।यदि दो या दो से अधिक भिन्नों में एक समान हर होता है, तो ऐसे भिन्नों की रेखा के नीचे समान संख्या होती है, अर्थात इस स्थिति में, कुछ पूर्ण को समान भागों में विभाजित किया जाता है। एक सामान्य हर के साथ भिन्नों को जोड़ना बहुत आसान है, क्योंकि कुल भिन्न का हर वही होगा जो भिन्न को जोड़ा जा रहा है। उदाहरण के लिए:

• भिन्न 3/5 और 2/5 में एक उभयनिष्ठ हर 5 है।
• भिन्न 3/8, 5/8, 17/8 में एक सार्व भाजक 8 है।

अंकगणित ज्ञात कीजिए।एक सामान्य हर के साथ अंशों को जोड़ने के लिए, उनके अंश जोड़ें और परिणाम को जोड़े गए अंशों के हर के ऊपर लिखें।

• भिन्न 3/5 और 2/5 के अंश 3 और 2 हैं।
• भिन्न 3/8, 5/8, 17/8 के अंश 3, 5, 17 हैं।

अंशों को जोड़ें।प्रश्न 3/5 + 2/5 में अंश 3 + 2 = 5 जोड़ें। समस्या 3/8 + 5/8 + 17/8 में अंश 3 + 5 + 17 = 25 जोड़ें।

कुल लिखिए।याद रखें कि एक सामान्य भाजक के साथ भिन्न जोड़ते समय, यह अपरिवर्तित रहता है - केवल अंश जोड़े जाते हैं।

• 3/5 + 2/5 = 5/5
• 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

यदि आवश्यक हो तो भिन्न को परिवर्तित करें।कभी-कभी एक अंश को एक सामान्य या दशमलव अंश के बजाय एक पूर्ण संख्या के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, भिन्न 5/5 आसानी से 1 में परिवर्तित हो जाता है, क्योंकि कोई भी भिन्न जिसका अंश हर के बराबर होता है, 1 होता है। एक पाई को तीन भागों में काटने की कल्पना करें। यदि आप तीनों भागों को खा लेंगे, तो आप पूरी (एक) पाई खाएंगे।

• किसी भी सामान्य अंश को दशमलव में बदला जा सकता है; ऐसा करने के लिए, अंश को हर से विभाजित करें। उदाहरण के लिए, भिन्न 5/8 को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 5 8 = 0.625।

यदि संभव हो तो भिन्न को सरल कीजिए।सरलीकृत भिन्न वह भिन्न होती है जिसके अंश और हर में एक उभयनिष्ठ भाजक नहीं होता है।

• उदाहरण के लिए, भिन्न 3/6 पर विचार करें। यहाँ, अंश और हर दोनों का एक उभयनिष्ठ भाजक 3 के बराबर है, अर्थात अंश और हर 3 से पूरी तरह से विभाज्य हैं। इसलिए, भिन्न 3/6 को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 3 3/6 ÷ 3 = आधा

यदि आवश्यक हो, तो अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न (मिश्रित संख्या) में बदलें।एक अनुचित भिन्न के लिए, अंश हर से बड़ा होता है, उदाहरण के लिए, 25/8 (उचित भिन्न के लिए, अंश हर से छोटा होता है)। एक अनुचित अंश को मिश्रित भिन्न में बदला जा सकता है, जिसमें एक पूर्णांक भाग (अर्थात, एक पूर्ण संख्या) और एक भिन्नात्मक भाग (अर्थात, एक उचित अंश) होता है। एक अनुचित भिन्न जैसे 25/8 को मिश्रित संख्या में बदलने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

• अनुचित भिन्न के अंश को उसके हर से विभाजित करें; अपूर्ण भागफल (पूरा उत्तर) लिखिए। हमारे उदाहरण में: 25 ÷ 8 = 3 जमा कुछ शेष। पर ये मामलासंपूर्ण उत्तर मिश्रित संख्या का पूर्णांक भाग है।
• बाकी का पता लगाएं। हमारे उदाहरण में: 8 x 3 = 24; मूल अंश से परिणाम घटाएं: 25 - 24 \u003d 1, यानी शेष 1 है। इस मामले में, शेष मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग का अंश है।
• मिश्रित भिन्न लिखिए। हर नहीं बदलता है (अर्थात, यह अनुचित भिन्न के हर के बराबर है), इसलिए 25/8 = 3 1/8।

पाठ सामग्री

समान हर के साथ भिन्न जोड़ना

भिन्नों को जोड़ना दो प्रकार का होता है:

1. समान हर के साथ भिन्न जोड़ना
2. भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ना

आइए समान हर वाले भिन्नों को जोड़कर प्रारंभ करें। यहाँ सब कुछ सरल है। समान हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा, और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा। उदाहरण के लिए, आइए भिन्नों को जोड़ें और . हम अंश जोड़ते हैं, और हर को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम एक पिज्जा के बारे में सोचते हैं जो चार भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 2भिन्न जोड़ें और .

उत्तर एक अनुचित अंश है। यदि कार्य का अंत आता है, तो यह अनुचित अंशों से छुटकारा पाने के लिए प्रथागत है। एक अनुचित भिन्न से छुटकारा पाने के लिए, आपको उसमें पूरे भाग का चयन करना होगा। हमारे मामले में, पूर्णांक भाग आसानी से आवंटित किया जाता है - दो को दो से विभाजित करना एक के बराबर होता है:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम एक पिज्जा के बारे में सोचते हैं जो दो भागों में विभाजित है। यदि आप पिज्जा में अधिक पिज्जा जोड़ते हैं, तो आपको एक पूरा पिज्जा मिलता है:

उदाहरण 3. भिन्न जोड़ें और .

फिर से, अंश जोड़ें, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम एक पिज्जा के बारे में सोचते हैं जो तीन भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज्जा में अधिक पिज्जा जोड़ते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है:

उदाहरण 4व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण पिछले वाले की तरह ही हल किया गया है। अंशों को जोड़ा जाना चाहिए और हर को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए:

आइए एक चित्र का उपयोग करके हमारे समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा जोड़ते हैं और अधिक पिज़्ज़ा जोड़ते हैं, तो आपको 1 संपूर्ण पिज़्ज़ा और अधिक पिज़्ज़ा मिलता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, समान हर वाले भिन्नों को जोड़ना मुश्किल नहीं है। निम्नलिखित नियमों को समझना पर्याप्त है:

1. समान हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा, और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा;

भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ना

अब हम सीखेंगे कि भिन्न हरों वाली भिन्नों को कैसे जोड़ा जाता है। भिन्नों को जोड़ते समय, उन भिन्नों के हर समान होने चाहिए। लेकिन वे हमेशा एक जैसे नहीं होते हैं।

उदाहरण के लिए, भिन्नों को जोड़ा जा सकता है क्योंकि उनके हर समान होते हैं।

लेकिन भिन्नों को एक साथ नहीं जोड़ा जा सकता, क्योंकि इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं। ऐसे मामलों में, भिन्नों को समान (सामान्य) हर में घटाया जाना चाहिए।

भिन्नों को एक ही हर में कम करने के कई तरीके हैं। आज हम उनमें से केवल एक पर विचार करेंगे, क्योंकि बाकी विधियाँ एक शुरुआत के लिए जटिल लग सकती हैं।

इस पद्धति का सार इस तथ्य में निहित है कि दोनों भिन्नों के हर के पहले (LCM) की तलाश की जाती है। फिर एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित किया जाता है और पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है। वे दूसरे भिन्न के साथ भी ऐसा ही करते हैं - NOC को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित किया जाता है और दूसरा अतिरिक्त गुणक प्राप्त किया जाता है।

फिर भिन्नों के अंश और हर को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा किया जाता है। इन क्रियाओं के परिणामस्वरूप, भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल जाते हैं जिनके हर समान होते हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे जोड़ना है।

उदाहरण 1. भिन्न जोड़ें और

सबसे पहले, हम दोनों भिन्नों के हरों में से सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज पाते हैं। पहली भिन्न का हर संख्या 3 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 2 है। इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज 6 है।

एलसीएम (2 और 3) = 6

अब वापस भिन्नों पर और . सबसे पहले, हम एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित करते हैं और पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त करते हैं। LCM संख्या 6 है, और पहली भिन्न का हर 3 संख्या है। 6 को 3 से भाग देने पर हमें 2 प्राप्त होता है।

परिणामी संख्या 2 पहला अतिरिक्त कारक है। हम इसे पहले अंश में लिखते हैं। ऐसा करने के लिए, हम भिन्न के ऊपर एक छोटी तिरछी रेखा बनाते हैं और इसके ऊपर पाया गया अतिरिक्त कारक लिखते हैं:

हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। हम LCM को दूसरे भिन्न के हर से भाग देते हैं और दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करते हैं। LCM संख्या 6 है, और दूसरी भिन्न का हर 2 संख्या है। 6 को 2 से भाग देने पर हमें 3 प्राप्त होता है।

परिणामी संख्या 3 दूसरा अतिरिक्त कारक है। हम इसे दूसरे अंश में लिखते हैं। फिर से, हम दूसरी भिन्न के ऊपर एक छोटी तिरछी रेखा बनाते हैं और इसके ऊपर पाया गया अतिरिक्त गुणनखंड लिखते हैं:

अब हम जोड़ने के लिए पूरी तरह तैयार हैं। यह अंशों के अंशों और हरों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा करने के लिए बनी हुई है:

गौर से देखिए कि हम क्या हासिल कर चुके हैं। हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल गए जिनके हर समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे जोड़ना है। आइए इस उदाहरण को अंत तक पूरा करें:

इस प्रकार उदाहरण समाप्त होता है। जोड़ने के लिए यह पता चला है।

आइए एक चित्र का उपयोग करके हमारे समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा जोड़ते हैं, तो आपको एक पूरा पिज़्ज़ा और दूसरा पिज़्ज़ा का छठा हिस्सा मिलता है:

भिन्नों को समान (सामान्य) हर में कम करना भी एक चित्र का उपयोग करके चित्रित किया जा सकता है। भिन्नों को और एक सामान्य हर में लाने पर, हमें भिन्न और . इन दो भिन्नों को पिज्जा के समान स्लाइस द्वारा दर्शाया जाएगा। फर्क सिर्फ इतना होगा कि इस बार उन्हें बराबर शेयरों (एक ही हर में घटाकर) में बांटा जाएगा।

पहला चित्र एक भिन्न दिखाता है (छह में से चार टुकड़े) और दूसरी तस्वीर एक भिन्न (छह में से तीन टुकड़े) दिखाती है। इन टुकड़ों को एक साथ रखने पर हमें (छः में से सात टुकड़े) मिलते हैं। यह भिन्न गलत है, इसलिए हमने इसमें पूर्णांक भाग को हाइलाइट किया है। परिणाम था (एक पूरा पिज्जा और दूसरा छठा पिज्जा)।

ध्यान दें कि हमने इस उदाहरण को बहुत अधिक विस्तार से चित्रित किया है। शिक्षण संस्थानों में इस तरह के विस्तृत तरीके से लिखने की प्रथा नहीं है। आपको दोनों हरों और उनके लिए अतिरिक्त कारकों के एलसीएम को जल्दी से खोजने में सक्षम होना चाहिए, साथ ही आपके अंश और हरों द्वारा पाए गए अतिरिक्त कारकों को जल्दी से गुणा करना होगा। स्कूल में रहते हुए, हमें इस उदाहरण को इस प्रकार लिखना होगा:

लेकिन सिक्के का दूसरा पहलू भी है। यदि गणित के अध्ययन के पहले चरणों में विस्तृत नोट्स नहीं बनाए जाते हैं, तो इस तरह के प्रश्न "वह संख्या कहाँ से आती है?", "अंश अचानक पूरी तरह से भिन्न भिन्नों में क्यों बदल जाते हैं? «.

भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ना आसान बनाने के लिए, आप निम्न चरण-दर-चरण निर्देशों का उपयोग कर सकते हैं:

1. भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए;
2. प्रत्येक भिन्न के हर से LCM को विभाजित करें और प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणक प्राप्त करें;
3. भिन्नों के अंशों और हरों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें;
4. समान भाजक वाले भिन्न जोड़ें;
5. यदि उत्तर गलत भिन्न निकला हो, तो उसके पूरे भाग का चयन करें;

उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए .

आइए ऊपर दिए गए निर्देशों का उपयोग करें।

चरण 1. भिन्नों के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए

दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए। भिन्नों के हर संख्या 2, 3 और 4 . हैं

चरण 2. एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करें और प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणक प्राप्त करें

एलसीएम को पहले भिन्न के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 12 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 2 है। 12 को 2 से विभाजित करने पर, हमें 6 मिलता है। हमें पहला अतिरिक्त गुणनखंड 6 मिलता है। हम इसे पहले भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम LCM को दूसरी भिन्न के हर से भाग देते हैं। LCM संख्या 12 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 3 है। 12 को 3 से विभाजित करने पर, हमें 4 मिलता है। हमें दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड 4 मिलता है। हम इसे दूसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम LCM को तीसरे भिन्न के हर से भाग देते हैं। LCM संख्या 12 है, और तीसरे भिन्न का हर संख्या 4 है। 12 को 4 से विभाजित करने पर, हमें 3 मिलता है। हमें तीसरा अतिरिक्त कारक मिलता है। हम इसे तीसरे अंश पर लिखते हैं:

चरण 3. भिन्नों के अंशों और हरों को अपने अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें

हम अंशों और हरों को अपने अतिरिक्त कारकों से गुणा करते हैं:

चरण 4. भिन्नों को जोड़ें जिनमें समान हर हों

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल गए जिनके समान (सामान्य) भाजक हैं। इन अंशों को जोड़ना बाकी है। जोड़ें:

जोड़ एक पंक्ति में फिट नहीं हुआ, इसलिए हमने शेष व्यंजक को अगली पंक्ति में स्थानांतरित कर दिया। गणित में इसकी अनुमति है। जब कोई व्यंजक एक पंक्ति में फिट नहीं होता है, तो उसे अगली पंक्ति में ले जाया जाता है, और पहली पंक्ति के अंत में और एक नई पंक्ति की शुरुआत में एक समान चिह्न (=) लगाना आवश्यक है। दूसरी पंक्ति पर समान चिह्न इंगित करता है कि यह उस व्यंजक की निरंतरता है जो पहली पंक्ति पर था।

चरण 5. यदि उत्तर गलत भिन्न निकला हो, तो उसमें पूरे भाग का चयन करें

हमारा उत्तर एक अनुचित भिन्न है। हमें इसके पूरे हिस्से को अलग करना होगा। हम हाइलाइट करते हैं:

जवाब मिला

समान हर वाले भिन्नों का घटाव

अंश घटाव दो प्रकार के होते हैं:

1. समान हर वाले भिन्नों का घटाव
2. भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव

सबसे पहले, आइए जानें कि समान हर वाले भिन्नों को कैसे घटाना है। यहाँ सब कुछ सरल है। एक भिन्न से दूसरे को घटाने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाना होगा, और हर को वही छोड़ देना होगा।

उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक का मान ज्ञात करें। इस उदाहरण को हल करने के लिए, पहले अंश के अंश से दूसरे अंश के अंश को घटाना आवश्यक है, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें। चलो इसे करते हैं:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम एक पिज्जा के बारे में सोचते हैं जो चार भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज्जा से पिज्जा काटते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है:

उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

फिर से, पहले अंश के अंश से, दूसरे अंश के अंश को घटाएं, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम एक पिज्जा के बारे में सोचते हैं जो तीन भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज्जा से पिज्जा काटते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है:

उदाहरण 3व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण पिछले वाले की तरह ही हल किया गया है। पहले भिन्न के अंश से, आपको शेष भिन्नों के अंशों को घटाना होगा:

जैसा कि आप देख सकते हैं, समान हर वाले भिन्नों को घटाने में कुछ भी जटिल नहीं है। निम्नलिखित नियमों को समझना पर्याप्त है:

1. एक भिन्न से दूसरे को घटाने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाना होगा, और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा;
2. यदि उत्तर गलत भिन्न निकला, तो आपको उसमें पूरे भाग का चयन करने की आवश्यकता है।

भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव

उदाहरण के लिए, भिन्न में से भिन्न को घटाया जा सकता है, क्योंकि इन भिन्नों के हर समान होते हैं। लेकिन भिन्न में से भिन्न को घटाया नहीं जा सकता, क्योंकि इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं। ऐसे मामलों में, भिन्नों को समान (सामान्य) हर में घटाया जाना चाहिए।

सार्व भाजक उसी सिद्धांत के अनुसार पाया जाता है जिसका उपयोग हमने भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ते समय किया था। सबसे पहले दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए। फिर एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित किया जाता है और पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है, जिसे पहले अंश के ऊपर लिखा जाता है। इसी तरह, एलसीएम को दूसरे अंश के हर से विभाजित किया जाता है और दूसरा अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है, जिसे दूसरे अंश के ऊपर लिखा जाता है।

फिर भिन्नों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा किया जाता है। इन संक्रियाओं के परिणामस्वरूप, भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल जाते हैं जिनके हर समान होते हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाना है।

उदाहरण 1एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

इन भिन्नों के अलग-अलग हर होते हैं, इसलिए आपको उन्हें समान (सामान्य) हर में लाना होगा।

सबसे पहले, हम दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करते हैं। पहली भिन्न का हर संख्या 3 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 4 है। इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज 12 है।

एलसीएम (3 और 4) = 12

अब वापस भिन्नों पर और

आइए पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। ऐसा करने के लिए, हम एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित करते हैं। LCM संख्या 12 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 3 है। 12 को 3 से विभाजित करने पर, हमें 4 मिलता है। हम पहली भिन्न के ऊपर चार लिखते हैं:

हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। हम LCM को दूसरे भिन्न के हर से भाग देते हैं। LCM संख्या 12 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 4 है। 12 को 4 से विभाजित करने पर, हमें 3 मिलता है। दूसरे भिन्न पर एक तिहाई लिखें:

अब हम सब घटाव के लिए तैयार हैं। यह भिन्नों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा करने के लिए बनी हुई है:

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल गए जिनके हर समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाना है। आइए इस उदाहरण को अंत तक पूरा करें:

जवाब मिला

आइए एक चित्र का उपयोग करके हमारे समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज्जा से पिज्जा काटते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है।

यह समाधान का विस्तृत संस्करण है। स्कूल में होने के कारण, हमें इस उदाहरण को छोटे तरीके से हल करना होगा। ऐसा समाधान इस तरह दिखेगा:

भिन्नों की कमी और एक सामान्य हर को भी एक चित्र का उपयोग करके चित्रित किया जा सकता है। इन भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में लाने पर, हमें भिन्न और . इन भिन्नों को समान पिज़्ज़ा स्लाइस द्वारा दर्शाया जाएगा, लेकिन इस बार उन्हें समान भिन्नों में विभाजित किया जाएगा (एक ही हर में घटाकर):

पहला चित्र एक भिन्न दिखाता है (बारह में से आठ टुकड़े), और दूसरी तस्वीर एक अंश (बारह में से तीन टुकड़े) दिखाती है। आठ टुकड़ों में से तीन टुकड़े करने से हमें बारह में से पांच टुकड़े मिलते हैं। अंश इन पांच टुकड़ों का वर्णन करता है।

उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

इन भिन्नों के अलग-अलग हर होते हैं, इसलिए आपको पहले उन्हें समान (सामान्य) हर में लाना होगा।

इन भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए।

भिन्नों के हर संख्याएँ 10, 3 और 5 हैं। इन संख्याओं का न्यूनतम सामान्य गुणज 30 . है

एलसीएम(10, 3, 5) = 30

अब हम प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करते हैं।

आइए पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। LCM संख्या 30 है, और पहली भिन्न का हर 10 संख्या है। 30 को 10 से विभाजित करने पर, हमें पहला अतिरिक्त गुणनखंड 3 मिलता है। हम इसे पहले भिन्न पर लिखते हैं:

अब हम दूसरी भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड पाते हैं। LCM को दूसरे भिन्न के हर से भाग दें। LCM संख्या 30 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 3 है। 30 को 3 से विभाजित करने पर, हमें दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड 10 मिलता है। हम इसे दूसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम तीसरे भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड पाते हैं। एलसीएम को तीसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। LCM संख्या 30 है, और तीसरे भिन्न का हर 5 है। 30 को 5 से विभाजित करने पर, हमें तीसरा अतिरिक्त गुणनखंड 6 मिलता है। हम इसे तीसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब सब कुछ घटाव के लिए तैयार है। यह भिन्नों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा करने के लिए बनी हुई है:

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल गए जिनके समान (सामान्य) भाजक हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाना है। आइए इस उदाहरण को समाप्त करें।

उदाहरण की निरंतरता एक पंक्ति में फिट नहीं होगी, इसलिए हम निरंतरता को अगली पंक्ति में ले जाते हैं। नई लाइन पर बराबर चिह्न (=) के बारे में मत भूलना:

उत्तर सही अंश निकला, और सब कुछ हमें सूट करता है, लेकिन यह बहुत बोझिल और बदसूरत है। हमें इसे आसान बनाना चाहिए। क्या किया जा सकता है? आप इस अंश को कम कर सकते हैं।

किसी भिन्न को कम करने के लिए, आपको उसके अंश और हर को (gcd) संख्याओं 20 और 30 से विभाजित करना होगा।

तो, हम संख्या 20 और 30 की जीसीडी पाते हैं:

अब हम अपने उदाहरण पर लौटते हैं और अंश के अंश और हर को जीसीडी से विभाजित करते हैं, यानी 10 से

जवाब मिला

भिन्न को किसी संख्या से गुणा करना

किसी भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको दिए गए भिन्न के अंश को इस संख्या से गुणा करना होगा, और हर को वही छोड़ देना होगा।

उदाहरण 1. अंश को संख्या 1 से गुणा करें।

भिन्न के अंश को संख्या 1 . से गुणा करें

प्रविष्टि को आधा 1 बार लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप 1 बार पिज़्ज़ा लेते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है

गुणन के नियमों से, हम जानते हैं कि यदि गुणक और गुणक को आपस में बदल दिया जाए, तो गुणनफल नहीं बदलेगा। यदि व्यंजक को , के रूप में लिखा जाता है, तो गुणनफल अभी भी के बराबर होगा। फिर से, एक पूर्णांक और एक भिन्न को गुणा करने का नियम काम करता है:

इस प्रविष्टि को इकाई का आधा भाग लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि 1 पूरा पिज्जा है और हम उसका आधा हिस्सा लेते हैं, तो हमारे पास पिज्जा होगा:

उदाहरण 2. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

भिन्न के अंश को 4 . से गुणा करें

उत्तर एक अनुचित अंश है। आइए इसका एक पूरा हिस्सा लें:

व्यंजक को दो चौथाई 4 बार लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप 4 बार पिज्जा लेते हैं, तो आपको दो पूरे पिज्जा मिलते हैं।

और यदि हम गुणक और गुणक को स्थानों में अदला-बदली करते हैं, तो हमें व्यंजक प्राप्त होता है। यह भी 2 के बराबर होगा। इस अभिव्यक्ति को चार पूरे पिज्जा से दो पिज्जा लेने के रूप में समझा जा सकता है:

भिन्नों का गुणन

भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंशों और हरों को गुणा करना होगा। यदि उत्तर गलत भिन्न है, तो आपको उसमें पूरे भाग का चयन करना होगा।

उदाहरण 1व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

जवाब मिला। इस अंश को कम करना वांछनीय है। भिन्न को 2 से कम किया जा सकता है। फिर अंतिम समाधान निम्नलिखित रूप लेगा:

अभिव्यक्ति को आधा पिज्जा से पिज्जा लेने के रूप में समझा जा सकता है। मान लें कि हमारे पास आधा पिज्जा है:

इस आधे से दो तिहाई कैसे लें? सबसे पहले आपको इस आधे हिस्से को तीन बराबर भागों में बांटना होगा:

और इन तीन टुकड़ों में से दो ले लो:

हमें पिज्जा मिलेगा। याद रखें कि पिज्जा कैसा दिखता है जिसे तीन भागों में बांटा गया है:

इस पिज़्ज़ा से एक स्लाइस और हमने जो दो स्लाइस लिए हैं, उनके आयाम समान होंगे:

दूसरे शब्दों में हम बात कर रहे हैं उसी पिज़्ज़ा साइज़ की। इसलिए, व्यंजक का मान है

उदाहरण 2. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से और पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें:

उत्तर एक अनुचित अंश है। आइए इसका एक पूरा हिस्सा लें:

उदाहरण 3व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से और पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें:

उत्तर सही अंश निकला, लेकिन घटाया जाए तो अच्छा होगा। इस भिन्न को कम करने के लिए, आपको इस भिन्न के अंश और हर को 105 और 450 की संख्या के सबसे बड़े सामान्य भाजक (GCD) से विभाजित करना होगा।

तो, आइए 105 और 450 की संख्याओं का GCD ज्ञात करें:

अब हम अपने उत्तर के अंश और हर को उस GCD से भाग देते हैं जो हमें अब मिली है, यानी 15 से

एक पूर्णांक को भिन्न के रूप में निरूपित करना

किसी भी पूर्ण संख्या को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, संख्या 5 को इस रूप में दर्शाया जा सकता है। इससे, पाँच का अर्थ नहीं बदलेगा, क्योंकि अभिव्यक्ति का अर्थ है "संख्या पाँच को एक से विभाजित करना", और यह, जैसा कि आप जानते हैं, पाँच के बराबर है:

रिवर्स नंबर

अब हम गणित के एक बहुत ही रोचक विषय से परिचित होंगे। इसे "रिवर्स नंबर" कहा जाता है।

परिभाषा। संख्या के विपरीतएक वह संख्या है जिसे गुणा करने परएक एक इकाई देता है।

आइए एक चर के बजाय इस परिभाषा में स्थानापन्न करें एकसंख्या 5 और परिभाषा को पढ़ने का प्रयास करें:

संख्या के विपरीत 5 वह संख्या है जिसे गुणा करने पर 5 एक इकाई देता है।

क्या ऐसी कोई संख्या ज्ञात करना संभव है जिसे 5 से गुणा करने पर एक प्राप्त हो? यह पता चला है कि आप कर सकते हैं। आइए पाँच को भिन्न के रूप में निरूपित करें:

फिर इस भिन्न को अपने आप से गुणा करें, बस अंश और हर की अदला-बदली करें। दूसरे शब्दों में, आइए भिन्न को अपने आप से गुणा करें, केवल उल्टा:

इसका क्या परिणाम होगा? यदि हम इस उदाहरण को हल करना जारी रखते हैं, तो हमें एक मिलता है:

इसका मतलब है कि संख्या 5 का विलोम वह संख्या है, क्योंकि जब 5 को एक से गुणा किया जाता है, तो एक प्राप्त होता है।

व्युत्क्रम किसी अन्य पूर्णांक के लिए भी पाया जा सकता है।

आप किसी अन्य भिन्न का व्युत्क्रम भी ज्ञात कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, इसे पलटना पर्याप्त है।

एक संख्या से भिन्न का विभाजन

मान लें कि हमारे पास आधा पिज्जा है:

आइए इसे दो के बीच समान रूप से विभाजित करें। प्रत्येक को कितने पिज्जा मिलेंगे?

यह देखा जा सकता है कि पिज्जा के आधे हिस्से को विभाजित करने के बाद, दो बराबर टुकड़े प्राप्त हुए, जिनमें से प्रत्येक एक पिज्जा बनाता है। तो सभी को पिज्जा मिलता है।

भिन्नों का विभाजन व्युत्क्रम का उपयोग करके किया जाता है। व्युत्क्रम आपको विभाजन को गुणा से बदलने की अनुमति देता है।

किसी भिन्न को किसी संख्या से भाग देने के लिए, आपको इस भिन्न को भाजक के व्युत्क्रम से गुणा करना होगा।

इस नियम का उपयोग करते हुए, हम अपने आधे पिज़्ज़ा के विभाजन को दो भागों में लिखेंगे।

तो, आपको भिन्न को संख्या 2 से विभाजित करने की आवश्यकता है। यहाँ भाज्य भिन्न है और भाजक 2 है।

किसी भिन्न को संख्या 2 से भाग देने के लिए, आपको इस भिन्न को भाजक 2 के व्युत्क्रम से गुणा करना होगा। भाजक 2 का व्युत्क्रम भिन्न है। तो आपको से गुणा करना होगा

आपका बच्चा स्कूल से होमवर्क लाया और आप नहीं जानते कि इसे कैसे हल किया जाए? तो यह मिनी ट्यूटोरियल आपके लिए है!

दशमलव कैसे जोड़ें

किसी कॉलम में दशमलव भिन्नों को जोड़ना अधिक सुविधाजनक होता है। दशमलव जोड़ने के लिए, आपको एक सरल नियम का पालन करना होगा:

• अंक अंक के नीचे होना चाहिए, अल्पविराम के नीचे अल्पविराम।

जैसा कि आप उदाहरण में देख सकते हैं, पूरी इकाइयाँ एक दूसरे के अधीन हैं, दसवां और सौवां एक दूसरे के अधीन हैं। अब हम अल्पविराम को अनदेखा करते हुए संख्याएँ जोड़ते हैं। अल्पविराम के साथ क्या करना है? अल्पविराम को उस स्थान पर स्थानांतरित कर दिया जाता है जहां वह पूर्णांकों के निर्वहन में खड़ा था।

समान हर वाले भिन्नों को जोड़ना

एक सामान्य हर के साथ जोड़ करने के लिए, आपको हर को अपरिवर्तित रखना होगा, अंशों का योग ज्ञात करना होगा और एक अंश प्राप्त करना होगा, जो कुल राशि होगी।

एक सामान्य गुणक ज्ञात करके भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ना

ध्यान देने वाली पहली बात भाजक है। भाजक भिन्न होते हैं, चाहे एक दूसरे से विभाज्य हो, चाहे वे अभाज्य संख्याएँ हों। सबसे पहले आपको एक आम भाजक लाने की जरूरत है, ऐसा करने के कई तरीके हैं:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, इस उदाहरण को हल करने के लिए, हमें कम से कम सामान्य गुणक (LCM) खोजने की आवश्यकता है जो 2 हर से विभाज्य हो। a और b के सबसे छोटे गुणज को निरूपित करना - LCM (a; b)। इस उदाहरण में एलसीएम (3;4)=12. जाँच करें: 12:3=4; 12:4=3.
• हम कारकों को गुणा करते हैं और परिणामी संख्याओं का योग करते हैं, हमें 13/12 - एक अनुचित अंश मिलता है।

• एक अनुचित भिन्न को उचित में बदलने के लिए, हम अंश को हर से विभाजित करते हैं, हमें पूर्णांक 1 मिलता है, शेष 1 अंश होता है और 12 हर होता है।

क्रॉस गुणन का उपयोग करके भिन्नों को जोड़ना

भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, "क्रॉस बाय क्रॉस" सूत्र के अनुसार एक और तरीका है। यह हर को बराबर करने का एक गारंटीकृत तरीका है, इसके लिए आपको अंशों को एक भिन्न के हर से गुणा करना होगा और इसके विपरीत। यदि आप भिन्न सीखने के प्रारंभिक चरण में हैं, तो भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ते समय सही परिणाम प्राप्त करने का यह तरीका सबसे आसान और सटीक तरीका है।

भिन्न साधारण संख्याएँ हैं, इन्हें जोड़ा और घटाया भी जा सकता है। लेकिन इस तथ्य के कारण कि उनके पास एक भाजक है, यहां पूर्णांकों की तुलना में अधिक जटिल नियमों की आवश्यकता है।

सबसे सरल मामले पर विचार करें, जब एक ही हर के साथ दो भिन्न हों। फिर:

समान हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, उनके अंश जोड़ें और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

समान हर के साथ अंशों को घटाने के लिए, पहले अंश के अंश से दूसरे के अंश को घटाना आवश्यक है, और फिर से हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

प्रत्येक व्यंजक में भिन्नों के हर बराबर होते हैं। भिन्नों के जोड़ और घटाव की परिभाषा से, हम प्राप्त करते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है: बस अंशों को जोड़ें या घटाएं - और बस।

लेकिन इस तरह के साधारण कार्यों में भी लोग गलती करने में सफल हो जाते हैं। बहुधा वे यह भूल जाते हैं कि भाजक नहीं बदलता है। उदाहरण के लिए, उन्हें जोड़ते समय, वे भी जोड़ना शुरू कर देते हैं, और यह मौलिक रूप से गलत है।

हर को जोड़ने की बुरी आदत से छुटकारा पाना काफी सरल है। घटाते समय भी ऐसा ही करने की कोशिश करें। नतीजतन, हर शून्य होगा, और अंश (अचानक!) अपना अर्थ खो देगा।

इसलिए, एक बार और सभी के लिए याद रखें: जोड़ने और घटाने पर, भाजक नहीं बदलता है!

साथ ही, बहुत से लोग अनेक ऋणात्मक भिन्नों को जोड़ते समय गलतियाँ करते हैं। संकेतों के साथ भ्रम है: माइनस कहां लगाना है, और कहां - प्लस।

इस समस्या का समाधान भी बहुत आसान है। यह याद रखने के लिए पर्याप्त है कि अंश चिह्न से पहले का ऋण हमेशा अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है - और इसके विपरीत। और हां, दो सरल नियमों को न भूलें:

1. प्लस टाइम्स माइनस माइनस देता है;
2. दो नकारात्मक सकारात्मक बनाते हैं।

आइए विशिष्ट उदाहरणों के साथ इन सबका विश्लेषण करें:

एक कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

पहले मामले में, सब कुछ सरल है, और दूसरे में, हम अंशों के अंशों में माइनस जोड़ देंगे:

क्या होगा यदि हर अलग हैं

आप भिन्न हर के साथ भिन्नों को सीधे नहीं जोड़ सकते। कम से कम, यह विधि मेरे लिए अज्ञात है। हालाँकि, मूल भिन्नों को हमेशा फिर से लिखा जा सकता है ताकि हर समान बन जाएँ।

भिन्नों को परिवर्तित करने के कई तरीके हैं। उनमें से तीन पर पाठ में चर्चा की गई है " एक आम भाजक के लिए अंश लाना", इसलिए हम यहां उन पर ध्यान नहीं देंगे। आइए कुछ उदाहरण देखें:

एक कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

पहले मामले में, हम "क्रॉस-वाइज" विधि का उपयोग करके भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं। दूसरे में, हम एलसीएम की तलाश करेंगे। ध्यान दें कि 6 = 2 3; 9 = 3 · 3। इन विस्तारों में अंतिम कारक समान हैं, और पहले वाले सहअभाज्य हैं। इसलिए, एलसीएम(6; 9) = 2 3 3 = 18।

क्या होगा यदि भिन्न में एक पूर्णांक भाग है

मैं आपको खुश कर सकता हूं: भिन्नों के विभिन्न भाजक सबसे बड़ी बुराई नहीं हैं। बहुत अधिक त्रुटियाँ तब होती हैं जब पूरे भाग को भिन्नात्मक शब्दों में हाइलाइट किया जाता है।

बेशक, ऐसे अंशों के लिए स्वयं के जोड़ और घटाव एल्गोरिदम हैं, लेकिन वे जटिल हैं और एक लंबे अध्ययन की आवश्यकता है। नीचे दिए गए सरल आरेख का बेहतर उपयोग करें:

1. पूर्णांक भाग वाले सभी भिन्नों को अनुचित में बदलें। हमें सामान्य पद मिलते हैं (भले ही विभिन्न हरों के साथ), जिनकी गणना ऊपर वर्णित नियमों के अनुसार की जाती है;
2. दरअसल, परिणामी भिन्नों के योग या अंतर की गणना करें। नतीजतन, हम व्यावहारिक रूप से उत्तर पाएंगे;
3. यदि यह वह सब है जो कार्य में आवश्यक था, तो हम उलटा परिवर्तन करते हैं, अर्थात। हम इसमें पूर्णांक भाग को हाइलाइट करते हुए, अनुचित अंश से छुटकारा पाते हैं।

अनुचित भिन्नों पर स्विच करने और पूर्णांक भाग को हाइलाइट करने के नियमों को "संख्यात्मक अंश क्या है" पाठ में विस्तार से वर्णित किया गया है। यदि आपको याद नहीं है, तो दोहराना सुनिश्चित करें। उदाहरण:

एक कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

यहाँ सब कुछ सरल है। प्रत्येक व्यंजक के अंदर हर बराबर होते हैं, इसलिए यह सभी भिन्नों को अनुचित अंशों में बदलने और गिनने के लिए बना रहता है। हमारे पास है:

गणनाओं को सरल बनाने के लिए, मैंने पिछले उदाहरणों में कुछ स्पष्ट चरणों को छोड़ दिया।

पिछले दो उदाहरणों के लिए एक छोटा नोट, जहां हाइलाइट किए गए पूर्णांक वाले अंशों को घटाया जाता है। दूसरे भिन्न से पहले के माइनस का अर्थ है कि यह संपूर्ण भिन्न है जिसे घटाया जाता है, न कि केवल उसका पूरा भाग।

इस वाक्य को दोबारा पढ़ें, उदाहरणों को देखें और इसके बारे में सोचें। यह वह जगह है जहाँ शुरुआती अनुमति देते हैं बड़ी राशित्रुटियाँ। वे ऐसे कार्यों को नियंत्रण कार्य पर देना पसंद करते हैं। इस पाठ के लिए परीक्षाओं में आप उनसे बार-बार मिलेंगे, जो शीघ्र ही प्रकाशित किया जाएगा।

सारांश: कंप्यूटिंग की सामान्य योजना

अंत में, मैं एक सामान्य एल्गोरिथम दूंगा जो आपको दो या दो से अधिक अंशों का योग या अंतर खोजने में मदद करेगा:

1. यदि पूर्णांक भाग को एक या अधिक भिन्नों में हाइलाइट किया जाता है, तो इन भिन्नों को अनुचित अंशों में बदलें;
2. आपके लिए सुविधाजनक किसी भी तरह से सभी भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ (जब तक कि, निश्चित रूप से, समस्याओं के संकलक ने ऐसा नहीं किया);
3. समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने और घटाने के नियमों के अनुसार परिणामी संख्याओं को जोड़ें या घटाएं;
4. हो सके तो परिणाम कम करें। यदि भिन्न गलत निकला, तो पूरे भाग का चयन करें।

याद रखें कि उत्तर लिखने से ठीक पहले, कार्य के अंत में पूरे भाग को हाइलाइट करना बेहतर है।

भिन्न $\frac63$ पर विचार करें। इसका मान 2 है, क्योंकि $\frac63 =6:3 = 2$। यदि अंश और हर को 2 से गुणा किया जाए तो क्या होगा? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. जाहिर है, भिन्न का मान नहीं बदला है, इसलिए $\frac(12)(6)$ भी 2 के बराबर y है। अंश और हर को गुणा करें 3 से और $\frac(18)(9)$, या 27 से प्राप्त करें और $\frac(162)(81)$ या 101 से प्राप्त करें और $\frac(606)(303)$ प्राप्त करें। इनमें से प्रत्येक स्थिति में, अंश को हर से भाग देने पर प्राप्त होने वाली भिन्न का मान 2 होता है। इसका अर्थ है कि यह परिवर्तित नहीं हुआ है।

अन्य भिन्नों के मामले में भी यही पैटर्न देखा जाता है। यदि भिन्न $\frac(120)(60)$ (2 के बराबर) के अंश और हर को 2 से विभाजित किया जाता है ($\frac(60)(30)$ का परिणाम), या 3 से ($\ का परिणाम) frac(40)(20) $), या 4 से ($\frac(30)(15)$ का परिणाम) और इसी तरह, फिर प्रत्येक मामले में भिन्न का मान अपरिवर्तित रहता है और 2 के बराबर होता है।

यह नियम उन भिन्नों पर भी लागू होता है जो समान नहीं हैं। पूरा नंबर.

यदि भिन्न $\frac(1)(3)$ के अंश और हर को 2 से गुणा किया जाए, तो हमें $\frac(2)(6)$ प्राप्त होता है, अर्थात भिन्न का मान नहीं बदला है। और वास्तव में, यदि आप केक को 3 भागों में विभाजित करते हैं और उनमें से एक लेते हैं, या इसे 6 भागों में विभाजित करते हैं और 2 भाग लेते हैं, तो आपको दोनों मामलों में समान मात्रा में पाई मिलेगी। इसलिए, संख्या $\frac(1)(3)$ और $\frac(2)(6)$ समान हैं। आइए एक सामान्य नियम तैयार करें।

किसी भी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा या भाग किया जा सकता है, और भिन्न का मान नहीं बदलता है।

यह नियम बहुत उपयोगी है। उदाहरण के लिए, यह कुछ मामलों में अनुमति देता है, लेकिन हमेशा नहीं, बड़ी संख्या में संचालन से बचने के लिए।

उदाहरण के लिए, हम अंश $\frac(126)(189)$ के अंश और हर को 63 से विभाजित कर सकते हैं और अंश $\frac(2)(3)$ प्राप्त कर सकते हैं जो कि गणना करना बहुत आसान है। एक और उदाहरण। हम भिन्न $\frac(155)(31)$ के अंश और हर को 31 से विभाजित कर सकते हैं और 5:1=5 से भिन्न $\frac(5)(1)$ या 5 प्राप्त कर सकते हैं।

इस उदाहरण में, हमने पहली बार सामना किया एक भिन्न जिसका हर 1 . है. इस तरह के अंश गणना में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। यह याद रखना चाहिए कि किसी भी संख्या को 1 से विभाजित किया जा सकता है और उसका मान नहीं बदलेगा। अर्थात्, $\frac(273)(1)$ 273 के बराबर है; $\frac(509993)(1)$ 509993 के बराबर है और इसी तरह। इसलिए, हमें संख्याओं को से विभाजित करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि प्रत्येक पूर्ण संख्या को 1 के हर के साथ भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।

ऐसे भिन्नों के साथ, जिनका हर 1 के बराबर है, आप अन्य सभी भिन्नों के समान अंकगणितीय संक्रियाएँ कर सकते हैं: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$।

आप पूछ सकते हैं कि एक पूर्णांक को भिन्न के रूप में प्रदर्शित करने का क्या उपयोग है, जिसकी एक इकाई बार के नीचे होगी, क्योंकि यह एक पूर्णांक के साथ काम करने के लिए अधिक सुविधाजनक है। लेकिन तथ्य यह है कि एक पूर्णांक का एक भिन्न के रूप में प्रतिनिधित्व हमें विभिन्न क्रियाओं को अधिक कुशलता से करने का अवसर देता है जब हम एक ही समय में पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्या दोनों के साथ काम कर रहे होते हैं। उदाहरण के लिए, सीखने के लिए भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ें. मान लीजिए हमें $\frac(1)(3)$ और $\frac(1)(5)$ जोड़ने की जरूरत है।

हम जानते हैं कि आप केवल उन भिन्नों को जोड़ सकते हैं जिनके हर बराबर हैं। इसलिए, हमें यह सीखने की जरूरत है कि भिन्नों को ऐसे रूप में कैसे लाया जाए जब उनके हर बराबर हों। इस मामले में, हमें फिर से इस तथ्य की आवश्यकता है कि आप किसी भिन्न के अंश और हर को उसके मान को बदले बिना उसी संख्या से गुणा कर सकते हैं।

सबसे पहले, हम भिन्न $\frac(1)(3)$ के अंश और हर को 5 से गुणा करते हैं। हमें $\frac(5)(15)$ मिलता है, भिन्न का मान नहीं बदला है। फिर हम भिन्न $\frac(1)(5)$ के अंश और हर को 3 से गुणा करते हैं। हमें $\frac(3)(15)$ मिलता है, फिर से भिन्न का मान नहीं बदला है। इसलिए, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$।

आइए अब इस प्रणाली को पूर्णांक और भिन्नात्मक दोनों भागों वाली संख्याओं के योग पर लागू करने का प्रयास करते हैं।

हमें $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$ जोड़ना होगा। सबसे पहले, हम सभी पदों को भिन्नों में परिवर्तित करते हैं और प्राप्त करते हैं: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$। अब हमें सभी भिन्नों को एक समान हर में लाने की आवश्यकता है, इसके लिए हम पहली भिन्न के अंश और हर को 12 से, दूसरे को 4 से, और तीसरे को 3 से गुणा करते हैं। परिणामस्वरूप, हमें $\frac(36) मिलता है। )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, जो $\frac(55)(12)$ के बराबर है। अगर आप छुटकारा पाना चाहते हैं अनुचित अंश, इसे एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग वाली संख्या में बदला जा सकता है: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ या $4\frac( 7)(12)$।

सभी नियम जो अनुमति देते हैं भिन्नों के साथ संचालन, जिनका हमने अभी अध्ययन किया है, ऋणात्मक संख्याओं के मामले में भी मान्य हैं। तो, -1: 3 को $\frac(-1)(3)$, और 1: (-3) को $\frac(1)(-3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

चूँकि दोनों एक ऋणात्मक संख्या को एक धनात्मक संख्या से भाग देते हैं और एक धनात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्याओं में एक ऋणात्मक परिणाम से विभाजित करते हैं, दोनों ही मामलों में हमें ऋणात्मक संख्या के रूप में उत्तर मिलेगा। वह है

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ या $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$। इस तरह से लिखे जाने पर ऋण चिह्न संपूर्ण भिन्न को समग्र रूप से संदर्भित करता है, न कि अंश या हर को अलग से।

दूसरी ओर, (-1) : (-3) को $\frac(-1)(-3)$ के रूप में लिखा जा सकता है, और चूंकि ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने पर एक धनात्मक संख्या प्राप्त होती है, तो $\frac (-1 )(-3)$ को $+\frac(1)(3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

ऋणात्मक भिन्नों का जोड़ और घटाव उसी तरह किया जाता है जैसे धनात्मक भिन्नों का जोड़ और घटाव। उदाहरण के लिए, $1- 1\frac13$ क्या है? आइए दोनों संख्याओं को भिन्नों के रूप में निरूपित करें और $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$ प्राप्त करें। आइए भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करें और $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, यानी $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$, या $-\frac(1)(3)$।