>> चरम

समारोह चरम

चरम की परिभाषा

समारोह वाई = एफ (एक्स) कहा जाता है की बढ़ती (घट) कुछ अंतराल में यदि x 1 के लिए< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >च (x2))।

यदि एक खंड पर एक भिन्न कार्य y \u003d f (x) बढ़ता है (घटता है), तो इस खंड पर इसका व्युत्पन्न f " (एक्स )> 0

(एफ"(एक्स)< 0).

डॉट एक्स हे बुलाया स्थानीय अधिकतम बिंदु (न्यूनतम) फ़ंक्शन f (x ) का यदि बिंदु का एक पड़ोस है एक्स ओ, जिनमें से सभी बिंदुओं के लिए असमानता f (x)≤ एफ (एक्स ओ) (एफ (एक्स)≥ एफ (एक्स ओ ))।

अधिकतम और न्यूनतम अंक कहलाते हैं चरम बिंदु, और इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान इसके हैं extrema.

चरम बिंदु

एक चरम के लिए आवश्यक शर्तें . अगर बिंदु एक्स हे फलन f (x) का चरम बिंदु है, तो या तो f " (एक्स ओ) = 0, या एफ(एक्स ओ) मौजूद नहीं है। ऐसे बिन्दु कहलाते हैं गंभीर,जहां फ़ंक्शन को महत्वपूर्ण बिंदु पर ही परिभाषित किया गया है। किसी फ़ंक्शन के चरम को उसके महत्वपूर्ण बिंदुओं में से खोजा जाना चाहिए।

पहली पर्याप्त स्थिति। होने देना एक्स हे - महत्वपूर्ण बिन्दू। अगर च" (x) बिंदु से गुजरते समय एक्स हे धन चिह्न को ऋण में बदलता है, फिर बिंदु पर एक्स ओसमारोह में अधिकतम है, अन्यथा इसकी न्यूनतम है। यदि महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरने पर व्युत्पन्न चिह्न नहीं बदलता है, तो बिंदु पर एक्स हे कोई अति नहीं है।

दूसरी पर्याप्त स्थिति। माना फलन f(x) है
एफ" (x) बिंदु के आसपास के क्षेत्र में एक्स हे और दूसरा व्युत्पन्न बिल्कुल बिंदु पर एक्स ओ. अगर च"(एक्स ओ) = 0, >0 ( <0), то точка एक्स ओफलन f(x) का एक स्थानीय न्यूनतम (अधिकतम) बिंदु है। यदि = 0 है, तो व्यक्ति को या तो पहली पर्याप्त स्थिति का उपयोग करना चाहिए, या उच्चतर को शामिल करना चाहिए।

किसी खंड पर, फ़ंक्शन y \u003d f (x) महत्वपूर्ण बिंदुओं पर या खंड के अंत में सबसे छोटे या सबसे बड़े मान तक पहुँच सकता है।

उदाहरण 3.22।

समाधान।क्योंकि एफ " (

किसी फ़ंक्शन के चरम को खोजने के लिए कार्य

उदाहरण 3.23। ए

समाधान। एक्सऔर वाई वाई
0 ≤ एक्स≤
> 0, जबकि एक्स> ए / 4 एस " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение कार्य वर्ग।. इकाइयां).

उदाहरण 3.24।पी ≈

समाधान।पीपी
एस"
आर = 2, एच = 16/4 = 4।

उदाहरण 3.22।फलन f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 का चरम ज्ञात कीजिए।

समाधान।क्योंकि एफ " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), फिर फ़ंक्शन x 1 \u003d 2 और x 2 \u003d 3 के महत्वपूर्ण बिंदु। चरम बिंदु केवल इन पर हो सकते हैं अंक। चूंकि बिंदु x 1 \u003d 2 से गुजरते समय, व्युत्पन्न परिवर्तन प्लस से माइनस में बदल जाता है, फिर इस बिंदु पर फ़ंक्शन में अधिकतम होता है। बिंदु x 2 \u003d 3 से गुजरते समय, व्युत्पन्न परिवर्तन साइन माइनस से प्लस तक होता है, इसलिए, बिंदु x 2 \u003d 3 पर, फ़ंक्शन का न्यूनतम होता है। बिंदुओं में फ़ंक्शन के मानों की गणना करना
x 1 = 2 और x 2 = 3, हम फलन का चरम पाते हैं: अधिकतम f (2) = 14 और न्यूनतम f (3) = 13।

उदाहरण 3.23।पत्थर की दीवार के पास एक आयताकार क्षेत्र बनाना जरूरी है ताकि इसे तीन तरफ तार जाल से बंद कर दिया जाए और चौथी तरफ दीवार से जुड़ा हो। इसके लिए है एग्रिड के रैखिक मीटर। किस अभिमुखता अनुपात पर स्थल का क्षेत्रफल सबसे अधिक होगा?

समाधान।के माध्यम से साइट के पक्षों को निरूपित करें एक्सऔर वाई. साइट का क्षेत्रफल S = xy के बराबर है। होने देना वाईदीवार से सटे पक्ष की लंबाई है। फिर, शर्त के अनुसार, समानता 2x + y = a होनी चाहिए। इसलिए y = a - 2x और S = x (a - 2x), जहाँ
0 ≤ एक्स≤ a /2 (पैड की लंबाई और चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती)।एस "= ए - 4x, ए - 4x = 0 एक्स = ए / 4 के लिए, जहां से
वाई \u003d ए - 2 × ए / 4 \u003d ए / 2। क्योंकि x = a /4 एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु है, आइए देखें कि इस बिंदु से गुजरने पर व्युत्पन्न का चिह्न बदलता है या नहीं। एक्स ए /4 एस के लिए "> 0, जबकि एक्स> ए / 4 एस " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение कार्य एस(ए/4) = ए/4(ए - ए/2) = ए 2/8 (वर्ग।. इकाइयां). चूँकि S निरंतर चालू है और S(0) के सिरों पर इसके मान और S(a /2) शून्य के बराबर हैं, तो पाया गया मान फलन का सबसे बड़ा मान होगा। इस प्रकार, समस्या की दी गई शर्तों के तहत साइट का सबसे अनुकूल पहलू अनुपात y = 2x है।

उदाहरण 3.24।V = 16 की क्षमता वाला एक बंद बेलनाकार टैंक बनाना आवश्यक हैपी ≈ 50 मीटर 3. इसके निर्माण के लिए कम से कम सामग्री का उपयोग करने के लिए टैंक (त्रिज्या आर और ऊंचाई एच) के आयाम क्या होने चाहिए?

समाधान।बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल S = 2 हैपी आर (आर + एच)। हम जानते हैं कि बेलन का आयतन V = हैपी आर 2 एन Þ एन \u003d वी / पी आर 2 \u003d 16 पी / पी आर 2 \u003d 16 / आर 2। तो एस (आर) = 2पी (आर2+16/आर). हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं:
एस"(आर) \u003d 2 पी (2आर- 16 / आर 2) \u003d 4 पी (आर- 8 / आर 2)। एस" (आर) = 0 आर 3 = 8 के लिए, इसलिए,
आर = 2, एच = 16/4 = 4।

किसी फ़ंक्शन का चरम बिंदु फ़ंक्शन के डोमेन में वह बिंदु होता है जहां फ़ंक्शन का मान न्यूनतम या अधिकतम मान लेता है। इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन मान को फ़ंक्शन का एक्स्ट्रेमा (न्यूनतम और अधिकतम) कहा जाता है.

परिभाषा. डॉट एक्स1 समारोह का दायरा एफ(एक्स) कहा जाता है समारोह का अधिकतम बिंदु , यदि इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मान फ़ंक्शन के मूल्यों से अधिक है, तो इसके करीब बिंदुओं पर, इसके दाईं और बाईं ओर स्थित है (अर्थात, असमानता एफ(एक्स0 ) > एफ(एक्स 0 + Δ एक्स) एक्स1 अधिकतम।

परिभाषा. डॉट एक्स2 समारोह का दायरा एफ(एक्स) कहा जाता है समारोह का न्यूनतम बिंदु, यदि इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मान फ़ंक्शन के मूल्यों से कम है, तो इसके करीब बिंदुओं पर, इसके दाईं और बाईं ओर स्थित है (अर्थात, असमानता एफ(एक्स0 ) < एफ(एक्स 0 + Δ एक्स) ). इस मामले में, फ़ंक्शन को बिंदु पर कहा जाता है एक्स2 न्यूनतम।

चलिए बात बताते हैं एक्स1 - फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु एफ(एक्स) . फिर अंतराल में एक्स1 कार्य बढ़ता है, इसलिए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य से अधिक है ( एफ "(एक्स) > 0), और बाद के अंतराल में एक्स1 कार्य घट रहा है, इसलिए समारोह व्युत्पन्नशून्य से कम ( एफ "(एक्स) < 0 ). Тогда в точке एक्स1

आइए हम भी मान लें कि बिंदु एक्स2 - फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु एफ(एक्स) . फिर अंतराल में एक्स2 फ़ंक्शन घट रहा है और फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य से कम है ( एफ "(एक्स) < 0 ), а в интервале после एक्स2 फ़ंक्शन बढ़ रहा है और फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य से अधिक है ( एफ "(एक्स) > 0 ). इस मामले में भी मौके पर एक्स2 फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है या मौजूद नहीं है।

फ़र्मेट का प्रमेय (एक फ़ंक्शन के चरम के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक मानदंड). अगर बिंदु एक्स0 - समारोह का चरम बिंदु एफ(एक्स), तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है ( एफ "(एक्स) = 0) या मौजूद नहीं है।

परिभाषा. जिन बिंदुओं पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है या मौजूद नहीं होता है, कहलाते हैं महत्वपूर्ण बिंदु .

उदाहरण 1आइए एक समारोह पर विचार करें।

बिंदु पर एक्स= 0 फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, इसलिए, बिंदु एक्स= 0 महत्वपूर्ण बिंदु है। हालाँकि, जैसा कि फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर देखा जा सकता है, यह परिभाषा के संपूर्ण डोमेन में बढ़ता है, इसलिए बिंदु एक्स= 0 इस फलन का चरम बिन्दु नहीं है।

इस प्रकार, एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है या मौजूद नहीं है, यह एक चरम सीमा के लिए आवश्यक शर्तें हैं, लेकिन पर्याप्त नहीं हैं, क्योंकि कार्यों के अन्य उदाहरण दिए जा सकते हैं जिनके लिए ये शर्तें संतुष्ट हैं, लेकिन फ़ंक्शन संबंधित बिंदु पर चरम सीमा नहीं है। इसीलिए पर्याप्त संकेत होने चाहिए, जो यह निर्धारित करना संभव बनाता है कि क्या एक विशेष महत्वपूर्ण बिंदु पर एक चरम है और कौन सा - अधिकतम या न्यूनतम।

प्रमेय (एक फ़ंक्शन के चरम के अस्तित्व के लिए पहला पर्याप्त मानदंड)।महत्वपूर्ण बिन्दू एक्स0 एफ(एक्स) , यदि फ़ंक्शन का व्युत्पन्न इस बिंदु से गुजरने पर हस्ताक्षर बदलता है, और यदि संकेत "प्लस" से "माइनस" में बदलता है, तो अधिकतम बिंदु, और यदि "शून्य" से "प्लस" तक, तो न्यूनतम बिंदु .

अगर बिंदु के पास एक्स0 , बाईं ओर और उसके दाईं ओर, व्युत्पन्न अपने चिह्न को बनाए रखता है, इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन या तो केवल घटता है या केवल बिंदु के कुछ पड़ोस में बढ़ता है एक्स0 . इस मामले में मौके पर एक्स0 कोई अति नहीं है।

इसलिए, फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए, आपको निम्न कार्य करने की आवश्यकता है :

1. किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं।
2. व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें और महत्वपूर्ण बिंदुओं को निर्धारित करें।
3. मानसिक रूप से या कागज पर, संख्यात्मक अक्ष पर महत्वपूर्ण बिंदुओं को चिह्नित करें और परिणामी अंतराल में फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के संकेतों को निर्धारित करें। यदि व्युत्पन्न का चिन्ह "प्लस" से "माइनस" में बदलता है, तो महत्वपूर्ण बिंदु अधिकतम बिंदु है, और यदि "ऋण" से "प्लस" तक, तो महत्वपूर्ण बिंदु न्यूनतम बिंदु है।
4. चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें।

उदाहरण 2किसी फ़ंक्शन का एक्स्ट्रेमा खोजें .

समाधान। आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजने के लिए व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें:

.

चूँकि "x" के किसी भी मान के लिए भाजक शून्य के बराबर नहीं है, तो हम अंश को शून्य के बराबर करते हैं:

एक महत्वपूर्ण बिंदु मिला एक्स= 3। हम इस बिंदु द्वारा सीमांकित अंतराल में व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करते हैं:

माइनस इनफिनिटी से लेकर 3 - माइनस साइन तक की रेंज में, यानी फंक्शन घटता है,

3 से प्लस अनंत तक की सीमा में - एक प्लस साइन, यानी फ़ंक्शन बढ़ता है।

यानी बिंदु एक्स= 3 न्यूनतम बिंदु है।

न्यूनतम बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें:

इस प्रकार, फ़ंक्शन का चरम बिंदु पाया जाता है: (3; 0) , और यह न्यूनतम बिंदु है।

प्रमेय (एक समारोह के चरम के अस्तित्व के लिए दूसरा पर्याप्त मानदंड)।महत्वपूर्ण बिन्दू एक्स0 समारोह का चरम बिंदु है एफ(एक्स) , यदि इस बिंदु पर फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर नहीं है ( एफ ""(एक्स) ≠ 0), इसके अलावा, यदि दूसरा व्युत्पन्न शून्य से अधिक है ( एफ ""(एक्स) > 0), तो अधिकतम बिंदु, और यदि दूसरा अवकलज शून्य से कम है ( एफ ""(एक्स) < 0 ), то точкой минимума.

टिप्पणी 1. यदि एक बिंदु पर एक्स0 पहले और दूसरे डेरिवेटिव दोनों गायब हो जाते हैं, तो इस बिंदु पर दूसरे पर्याप्त संकेत के आधार पर चरम सीमा की उपस्थिति का न्याय करना असंभव है। इस मामले में, आपको फ़ंक्शन के चरम के लिए पहले पर्याप्त मानदंड का उपयोग करने की आवश्यकता है।

टिप्पणी 2। किसी फ़ंक्शन के चरम के लिए दूसरा पर्याप्त मानदंड भी लागू नहीं होता है जब पहला व्युत्पन्न स्थिर बिंदु पर मौजूद नहीं होता है (तब दूसरा व्युत्पन्न भी मौजूद नहीं होता है)। इस मामले में, फ़ंक्शन के चरम के लिए पहले पर्याप्त मानदंड का उपयोग करना भी आवश्यक है।

समारोह के एक्स्ट्रेमा की स्थानीय प्रकृति

उपरोक्त परिभाषाओं से यह पता चलता है कि किसी फ़ंक्शन का चरम एक स्थानीय प्रकृति का है - निकटतम मानों की तुलना में यह फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान है।

मान लीजिए कि आप एक वर्ष की अवधि में अपनी कमाई पर विचार करते हैं। यदि मई में आपने 45,000 रूबल और अप्रैल में 42,000 रूबल और जून में 39,000 रूबल कमाए, तो मई की कमाई निकटतम मूल्यों की तुलना में कमाई का अधिकतम कार्य है। लेकिन अक्टूबर में आपने 71,000 रूबल, सितंबर में 75,000 रूबल और नवंबर में 74,000 रूबल कमाए, इसलिए अक्टूबर की कमाई आस-पास के मूल्यों की तुलना में कमाई का न्यूनतम कार्य है। और आप आसानी से देख सकते हैं कि अप्रैल-मई-जून के मूल्यों में अधिकतम सितंबर-अक्टूबर-नवंबर के न्यूनतम मूल्यों से कम है।

आम तौर पर, एक फ़ंक्शन में एक अंतराल पर कई एक्स्ट्रेमा हो सकते हैं, और यह पता चल सकता है कि फ़ंक्शन का कोई भी न्यूनतम किसी भी अधिकतम से अधिक है। तो, ऊपर की आकृति में दिखाए गए फ़ंक्शन के लिए, .

यही है, किसी को यह नहीं सोचना चाहिए कि अधिकतम और न्यूनतम कार्य क्रमशः पूरे खंड पर इसके अधिकतम और न्यूनतम मान हैं। अधिकतम बिंदु पर, फ़ंक्शन का केवल उन मानों की तुलना में सबसे बड़ा मान होता है, जो सभी बिंदुओं पर पर्याप्त रूप से अधिकतम बिंदु के करीब होता है, और न्यूनतम बिंदु पर, केवल उन मानों की तुलना में सबसे छोटा मान होता है कि यह सभी बिंदुओं पर पर्याप्त रूप से न्यूनतम बिंदु के करीब है।

इसलिए, हम ऊपर दिए गए फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं की अवधारणा को परिष्कृत कर सकते हैं और न्यूनतम अंक को स्थानीय न्यूनतम अंक और अधिकतम अंक - स्थानीय अधिकतम अंक कह सकते हैं।

हम एक साथ समारोह के एक्स्ट्रेमा की तलाश कर रहे हैं

उदाहरण 3

समाधान। फलन पूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित और सतत है। इसका व्युत्पन्न संपूर्ण संख्या रेखा पर भी मौजूद है। इसलिए, इस मामले में, केवल वे ही जिन पर, यानी, महत्वपूर्ण बिंदुओं के रूप में कार्य करते हैं। , कहा से और . महत्वपूर्ण बिंदु और फ़ंक्शन के पूरे डोमेन को एकरसता के तीन अंतरालों में विभाजित करें: . हम उनमें से प्रत्येक में एक नियंत्रण बिंदु का चयन करते हैं और इस बिंदु पर व्युत्पन्न का चिह्न पाते हैं।

अंतराल के लिए, संदर्भ बिंदु हो सकता है: हम पाते हैं। अंतराल में एक बिंदु लेने पर, हमें मिलता है, और अंतराल में एक बिंदु लेने पर, हमारे पास होता है। तो, अंतराल में और , और अंतराल में । किसी एक्सट्रीमम के पहले पर्याप्त संकेत के अनुसार, बिंदु पर कोई एक्सट्रीम नहीं है (चूंकि डेरिवेटिव अंतराल में अपना चिन्ह बनाए रखता है), और फ़ंक्शन का बिंदु पर न्यूनतम होता है (चूंकि डेरिवेटिव परिवर्तन साइन माइनस से प्लस तक गुजरता है) इस बिंदु के माध्यम से)। फ़ंक्शन के संबंधित मान खोजें: और। अंतराल में, फ़ंक्शन घटता है, क्योंकि इस अंतराल में , और अंतराल में यह बढ़ता है, क्योंकि इस अंतराल में।

ग्राफ के निर्माण को स्पष्ट करने के लिए, हम निर्देशांक अक्षों के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदुओं को ढूंढते हैं। जब हम एक समीकरण प्राप्त करते हैं जिसकी जड़ें और फलन के ग्राफ के दो बिंदु (0; 0) और (4; 0) पाए जाते हैं। प्राप्त सभी सूचनाओं का उपयोग करते हुए, हम एक ग्राफ बनाते हैं (उदाहरण की शुरुआत में देखें)।

उदाहरण 4फ़ंक्शन का एक्स्ट्रेमा खोजें और उसका ग्राफ़ बनाएं।

फ़ंक्शन का डोमेन बिंदु को छोड़कर, यानी संपूर्ण संख्या रेखा है। .

अध्ययन को छोटा करने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि यह कार्य सम है, चूँकि . इसलिए, इसका ग्राफ अक्ष के सापेक्ष सममित है ओएऔर अध्ययन केवल अंतराल के लिए किया जा सकता है।

व्युत्पन्न ढूँढना और समारोह के महत्वपूर्ण बिंदु:

1) ;

2) ,

लेकिन फ़ंक्शन इस बिंदु पर विराम लेता है, इसलिए यह चरम बिंदु नहीं हो सकता है।

इस प्रकार, दिए गए फ़ंक्शन के दो महत्वपूर्ण बिंदु हैं: और। फ़ंक्शन की समता को ध्यान में रखते हुए, हम चरम के दूसरे पर्याप्त चिह्न द्वारा केवल बिंदु की जांच करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम दूसरा व्युत्पन्न पाते हैं और इसके चिन्ह को यहाँ निर्धारित करें : हम प्राप्त करते हैं। चूँकि और , तब फलन का न्यूनतम बिंदु है, जबकि .

फ़ंक्शन के ग्राफ़ की अधिक संपूर्ण तस्वीर प्राप्त करने के लिए, आइए परिभाषा के डोमेन की सीमाओं पर इसके व्यवहार का पता लगाएं:

(यहाँ प्रतीक इच्छा को इंगित करता है एक्सदाईं ओर शून्य करने के लिए, और एक्ससकारात्मक रहता है; इसी प्रकार आकांक्षा का अर्थ है एक्सबाईं ओर शून्य करने के लिए, और एक्सनकारात्मक रहता है)। इस प्रकार, यदि, तब। अगला, हम पाते हैं

,

वे। तो अगर ।

फ़ंक्शन के ग्राफ़ में कुल्हाड़ियों के साथ प्रतिच्छेदन का कोई बिंदु नहीं है। तस्वीर उदाहरण की शुरुआत में है।

हम एक साथ फ़ंक्शन के चरम की खोज करना जारी रखते हैं

उदाहरण 8फ़ंक्शन का एक्स्ट्रेमा खोजें।

समाधान। फ़ंक्शन का डोमेन खोजें। चूंकि असमानता को धारण करना चाहिए, हम से प्राप्त करते हैं।

आइए फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न खोजें:

आइए फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें।

कई चरों के एक फ़ंक्शन f(x) के लिए, बिंदु x एक वेक्टर है, f'(x) फ़ंक्शन f(x) के पहले डेरिवेटिव (ग्रेडिएंट) का वेक्टर है, f ′ ′(x) एक सममित मैट्रिक्स है दूसरे आंशिक डेरिवेटिव का (हेस्से मैट्रिक्स - हेस्सियन) फ़ंक्शन f(x)।
कई चर के एक समारोह के लिए, इष्टतमता की स्थिति निम्नानुसार तैयार की जाती है।
स्थानीय इष्टतमता के लिए एक आवश्यक शर्त। मान लीजिए f(x) बिंदु x * R n पर अवकलनीय है। यदि x * एक स्थानीय चरम बिंदु है, तो f'(x *) = 0।
पहले की तरह, बिंदु जो समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान हैं, स्थिर कहलाते हैं। स्थिर बिंदु x * की प्रकृति हेस्सियन मैट्रिक्स f′ ′ (x) के संकेत-निश्चितता से संबंधित है।
मैट्रिक्स ए की साइन-निश्चितता द्विघात रूप क्यू (α) = के संकेतों पर निर्भर करती है< α A, α >सभी शून्येतर α∈R n के लिए।
यहाँ और आगे के माध्यम से सदिशों x और y का अदिश गुणनफल निरूपित किया जाता है। ए-प्रायरी,

एक मैट्रिक्स ए सकारात्मक रूप से (गैर-नकारात्मक) निश्चित है अगर Q(α)>0 (Q(α)≥0) सभी गैर-शून्य α∈R n के लिए; नकारात्मक रूप से (गैर-सकारात्मक) निश्चित अगर Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>कुछ अशून्य α∈R n और Q(α) के लिए 0<0 для остальных ненулевых α∈R n .
स्थानीय इष्टतमता के लिए एक पर्याप्त शर्त। चलो f(x) बिंदु पर दो बार भिन्न हो x * R n , तथा f’(x *)=0 , अर्थात एक्स * - स्थिर बिंदु। फिर, यदि मैट्रिक्स f (x *) सकारात्मक (नकारात्मक) निश्चित है, तो x * एक स्थानीय न्यूनतम (अधिकतम) बिंदु है; यदि मैट्रिक्स f′′(x *) अनिश्चित है, तो x * एक काठी बिंदु है।
यदि मैट्रिक्स f''(x *) गैर-नकारात्मक (गैर-सकारात्मक) निश्चित है, तो स्थिर बिंदु x * की प्रकृति को निर्धारित करने के लिए, उच्च-क्रम के डेरिवेटिव का अध्ययन आवश्यक है।
मैट्रिक्स की साइन-निश्चितता की जांच करने के लिए, एक नियम के रूप में, सिल्वेस्टर कसौटी का उपयोग किया जाता है। इस कसौटी के अनुसार, एक सममित मैट्रिक्स ए सकारात्मक निश्चित है अगर और केवल अगर इसके सभी कोणीय नाबालिग सकारात्मक हैं। इस मामले में, मैट्रिक्स ए का कोणीय माइनर मैट्रिक्स ए के तत्वों से निर्मित मैट्रिक्स का निर्धारक है, जो समान (और पहले) संख्याओं के साथ पंक्तियों और स्तंभों के चौराहे पर खड़ा होता है। नकारात्मक निश्चितता के लिए सममित मैट्रिक्स ए की जांच करने के लिए, सकारात्मक निश्चितता के लिए मैट्रिक्स (-ए) की जांच करनी चाहिए।
तो, कई चर के एक समारोह के स्थानीय एक्स्ट्रेमा के बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है।
1. f'(x) ज्ञात कीजिए।
2. सिस्टम हल हो गया है

परिणामस्वरूप, स्थिर बिंदु x i की गणना की जाती है।
3. f′′(x), समुच्चय i=1 ज्ञात कीजिए।
4. f''(x i) ज्ञात कीजिए।
5. मैट्रिक्स f''(x i) के कोणीय नाबालिगों की गणना की जाती है। यदि सभी कोणीय माइनर गैर-शून्य नहीं हैं, तो स्थिर बिंदु x i की प्रकृति का निर्धारण करने के लिए, उच्च-क्रम के डेरिवेटिव का अध्ययन आवश्यक है। इस स्थिति में, आइटम 8 में परिवर्तन किया जाता है।
अन्यथा, चरण 6 पर जाएँ।
6. कोणीय अवयस्क f''(x i) के चिह्नों का विश्लेषण किया जाता है। अगर f''(x i) सकारात्मक निश्चित है, तो x i एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है। इस स्थिति में, आइटम 8 में परिवर्तन किया जाता है।
अन्यथा, आइटम 7 पर जाएँ।
7. मैट्रिक्स -f′′(x i) के कोणीय नाबालिगों की गणना की जाती है और उनके संकेतों का विश्लेषण किया जाता है।
अगर -f''(x i) - सकारात्मक निश्चित है, तो f''(x i) नकारात्मक निश्चित है और x i एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है।
अन्यथा, f′′(x i) अनिश्चित है और x i एक काठी बिंदु है।
8. सभी स्थिर बिंदुओं i = N की प्रकृति का निर्धारण करने की स्थिति की जाँच की जाती है।
यदि यह संतुष्ट हो जाता है, तो गणना पूरी हो जाती है।
यदि शर्त पूरी नहीं होती है, तो i=i+1 मान लिया जाता है और चरण 4 में परिवर्तन किया जाता है।

उदाहरण 1। फलन f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 के स्थानीय चरम बिंदु निर्धारित करें









चूंकि सभी कोना अवयस्क गैर-शून्य हैं, x 2 का वर्ण f''(x) द्वारा निर्धारित किया जाता है।
चूंकि आव्यूह f''(x 2) सकारात्मक निश्चित है, x 2 एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।
उत्तर: फलन f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 का बिंदु x = (5/3; 8/3) पर एक स्थानीय न्यूनतम है।

फ़ंक्शन तर्क वृद्धि में वृद्धि करता है, जो शून्य हो जाता है। इसे खोजने के लिए, डेरिवेटिव्स की तालिका का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y = x3 का व्युत्पन्न y' = x2 के बराबर होगा।

इस व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें (इस मामले में x2=0)।

दिए गए चर का मान ज्ञात कीजिए। ये वे मान होंगे जिनके लिए यह व्युत्पन्न 0. के बराबर होगा। ऐसा करने के लिए, x के बजाय अभिव्यक्ति में मनमानी संख्याएँ रखें, जिस पर संपूर्ण अभिव्यक्ति शून्य हो जाएगी। उदाहरण के लिए:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1

प्राप्त मूल्यों को समन्वय रेखा पर लागू करें और प्राप्त किए गए प्रत्येक के लिए व्युत्पन्न के चिह्न की गणना करें। बिंदुओं को समन्वय रेखा पर चिह्नित किया जाता है, जिन्हें मूल के रूप में लिया जाता है। अंतराल में मूल्य की गणना करने के लिए, मानदंड से मेल खाने वाले मनमाने मूल्यों को प्रतिस्थापित करें। उदाहरण के लिए, पिछले फ़ंक्शन के लिए अंतराल -1 तक, आप मान -2 चुन सकते हैं। -1 से 1 के लिए, आप 0 चुन सकते हैं, और 1 से अधिक मानों के लिए, 2 चुनें। इन नंबरों को डेरिवेटिव में बदलें और डेरिवेटिव के चिह्न का पता लगाएं। इस स्थिति में, x = -2 वाला अवकलज -0.24 के बराबर होगा, अर्थात ऋणात्मक होगा और इस अंतराल पर ऋण चिह्न होगा। यदि x = 0, तो मान 2 के बराबर होगा, और इस अंतराल पर एक चिन्ह लगाया जाता है। यदि x=1, तो अवकलज भी -0.24 के बराबर होगा और एक ऋण लगाया जाता है।

यदि, समन्वय रेखा पर एक बिंदु से गुजरते हुए, व्युत्पन्न अपने चिन्ह को माइनस से प्लस में बदलता है, तो यह एक न्यूनतम बिंदु है, और यदि प्लस से माइनस तक है, तो यह एक अधिकतम बिंदु है।

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मददगार सलाह

व्युत्पन्न खोजने के लिए, ऑनलाइन सेवाएं हैं जो आवश्यक मूल्यों की गणना करती हैं और परिणाम प्रदर्शित करती हैं। ऐसी साइटों पर, आप अधिकतम 5 ऑर्डर का डेरिवेटिव पा सकते हैं।

स्रोत:

• डेरिवेटिव की गणना के लिए सेवाओं में से एक
• समारोह का अधिकतम बिंदु

फ़ंक्शन के अधिकतम बिंदुओं के साथ-साथ न्यूनतम बिंदुओं को चरम बिंदु कहा जाता है। इन बिंदुओं पर, फ़ंक्शन अपना व्यवहार बदलता है। एक्स्ट्रेमा सीमित संख्यात्मक अंतराल पर निर्धारित होते हैं और हमेशा स्थानीय होते हैं।

अनुदेश

स्थानीय एक्स्ट्रेमा को खोजने की प्रक्रिया को एक फ़ंक्शन कहा जाता है और फ़ंक्शन के पहले और दूसरे डेरिवेटिव का विश्लेषण करके किया जाता है। अन्वेषण शुरू करने से पहले, सुनिश्चित करें कि तर्क मानों की निर्दिष्ट सीमा अनुमत मानों से संबंधित है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन F=1/x के लिए, तर्क x=0 का मान अमान्य है। या फ़ंक्शन Y=tg(x) के लिए, तर्क का मान x=90° नहीं हो सकता।

सुनिश्चित करें कि Y फ़ंक्शन पूरे दिए गए अंतराल पर अवकलनीय है। पहला व्युत्पन्न वाई खोजें। "यह स्पष्ट है कि स्थानीय अधिकतम बिंदु तक पहुंचने से पहले, कार्य बढ़ता है, और अधिकतम से गुजरने पर, कार्य कम हो जाता है। इसके भौतिक अर्थ में पहला व्युत्पन्न कार्य के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। जबकि फ़ंक्शन बढ़ रहा है, इस प्रक्रिया की दर एक सकारात्मक मान है। स्थानीय अधिकतम से गुजरने पर, फ़ंक्शन घटने लगता है, और फ़ंक्शन के परिवर्तन की प्रक्रिया की दर नकारात्मक हो जाती है। परिवर्तन की दर का संक्रमण फ़ंक्शन का शून्य के माध्यम से स्थानीय अधिकतम के बिंदु पर होता है।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन Y \u003d -x² + x + 1 के अंतराल पर -1 से 1 तक एक निरंतर व्युत्पन्न Y "\u003d -2x + 1 है। x \u003d 1/2 पर, व्युत्पन्न शून्य है, और जब इस बिंदु से गुजरते हुए, व्युत्पन्न परिवर्तन "+" से "-" पर हस्ताक्षर करते हैं। फ़ंक्शन Y का दूसरा व्युत्पन्न "= -2। फ़ंक्शन Y=-x²+x+1 का एक बिंदु-दर-बिंदु ग्राफ़ बनाएं और जांचें कि भुज x=1/2 वाला बिंदु संख्यात्मक अक्ष के दिए गए खंड पर एक स्थानीय अधिकतम है या नहीं।

परिभाषा:बिंदु x0 को फ़ंक्शन का स्थानीय अधिकतम (या न्यूनतम) बिंदु कहा जाता है, यदि बिंदु x0 के किसी पड़ोस में फ़ंक्शन सबसे बड़ा (या सबसे छोटा) मान लेता है, अर्थात। बिंदु x0 के किसी पड़ोस से सभी х के लिए शर्त f(x) f(x0) (या f(x) f(x0)) संतुष्ट है।

स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम के अंक एक सामान्य नाम से एकजुट होते हैं - किसी फ़ंक्शन के स्थानीय चरम बिंदु।

ध्यान दें कि स्थानीय चरम बिंदु पर, फ़ंक्शन केवल कुछ स्थानीय क्षेत्र में अपने अधिकतम या न्यूनतम मान तक पहुंचता है। ऐसे मामले हैं जब, уmaxуmin के मूल्य के अनुसार।

एक समारोह के एक स्थानीय चरम के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक मानदंड

प्रमेय . यदि एक निरंतर कार्य y = f(x) बिंदु x0 पर एक स्थानीय चरम सीमा है, तो इस बिंदु पर पहला व्युत्पन्न या तो शून्य है या मौजूद नहीं है, अर्थात। स्थानीय चरम सीमा पहली तरह के महत्वपूर्ण बिंदुओं पर होती है।

स्थानीय चरम बिंदुओं पर, या तो स्पर्शरेखा 0x अक्ष के समानांतर होती है, या दो स्पर्शरेखाएँ होती हैं (चित्र देखें)। ध्यान दें कि महत्वपूर्ण बिंदु एक स्थानीय चरम सीमा के लिए एक आवश्यक लेकिन पर्याप्त स्थिति नहीं है। एक स्थानीय चरम सीमा केवल पहली तरह के महत्वपूर्ण बिंदुओं पर होती है, लेकिन सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं पर स्थानीय चरम सीमा नहीं होती है।

उदाहरण के लिए: एक घन परवलय y = x3, का एक महत्वपूर्ण बिंदु x0=0 है, जिस पर व्युत्पन्न है y/(0)=0, लेकिन महत्वपूर्ण बिंदु x0=0 एक चरम बिंदु नहीं है, लेकिन इसमें एक मोड़ बिंदु है (नीचे देखें)।

एक समारोह के एक स्थानीय चरम के अस्तित्व के लिए एक पर्याप्त मानदंड

प्रमेय . यदि, जब तर्क पहली तरह के एक महत्वपूर्ण बिंदु से होकर गुजरता है, तो बाएं से दाएं, पहला व्युत्पन्न y / (x)

चिह्न को "+" से "-" में बदलता है, तो इस महत्वपूर्ण बिंदु पर निरंतर फलन y(x) का एक स्थानीय अधिकतम होता है;

चिह्न "-" से "+" में बदलता है, तो इस महत्वपूर्ण बिंदु पर निरंतर कार्य y(x) का एक स्थानीय न्यूनतम होता है

संकेत नहीं बदलता है, तो इस महत्वपूर्ण बिंदु पर कोई स्थानीय चरम सीमा नहीं है, एक विभक्ति बिंदु है।

एक स्थानीय अधिकतम के लिए, बढ़ते हुए कार्य के क्षेत्र (y/0) को घटते हुए कार्य के क्षेत्र (y/0) से बदल दिया जाता है। एक स्थानीय न्यूनतम के लिए, घटते कार्य के क्षेत्र (y/0) को बढ़ते हुए कार्य के क्षेत्र (y/0) से बदल दिया जाता है।

उदाहरण: फ़ंक्शन y \u003d x3 + 9x2 + 15x - 9 की एकरसता, चरम सीमा के लिए जाँच करें और फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएँ।

व्युत्पन्न (y/) को परिभाषित करके और इसे शून्य के बराबर करके पहले प्रकार के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें: y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0

हम विविक्तकर का उपयोग करके वर्ग त्रिपद को हल करते हैं:

x2 + 6x + 5 = 0 (a=1, b=6, c=5) D=, x1k = -5, x2k = -1।

2) आइए संख्यात्मक अक्ष को महत्वपूर्ण बिंदुओं से 3 क्षेत्रों में विभाजित करें और उनमें व्युत्पन्न (y/) के चिह्न निर्धारित करें। इन संकेतों के आधार पर, हम कार्यों की एकरसता (वृद्धि और कमी) के क्षेत्रों का पता लगाते हैं, और संकेतों को बदलकर, हम स्थानीय चरम बिंदु (अधिकतम और न्यूनतम) निर्धारित करते हैं।

अध्ययन के परिणाम तालिका के रूप में प्रस्तुत किए गए हैं, जिनसे निम्नलिखित निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं:

• 1. अंतराल y /(-10) 0 पर, फ़ंक्शन नीरस रूप से बढ़ता है (व्युत्पन्न y का संकेत नियंत्रण बिंदु x = -10 से इस अंतराल में लिया गया था);
• 2. अंतराल (-5; -1) y /(-2) 0 पर, फ़ंक्शन मोनोटोनिक रूप से घटता है (व्युत्पन्न y का संकेत नियंत्रण बिंदु x = -2 से इस अंतराल में लिया गया था);
• 3. अंतराल y /(0) 0 पर, फ़ंक्शन नीरस रूप से बढ़ता है (व्युत्पन्न y का चिह्न इस अंतराल में लिए गए नियंत्रण बिंदु x = 0 से अनुमान लगाया गया था);
• 4. महत्वपूर्ण बिंदु X1k \u003d -5 से गुजरते समय, व्युत्पन्न परिवर्तन "+" से "-" पर हस्ताक्षर करता है, इसलिए यह बिंदु एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है
• (ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
• 5. महत्वपूर्ण बिंदु x2k \u003d -1 से गुजरते समय, व्युत्पन्न परिवर्तन "-" से "+" पर हस्ताक्षर करता है, इसलिए यह बिंदु एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है
• (यमिन(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16)।

एक्स -5 (-5; -1) -1

3) हम नियंत्रण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की अतिरिक्त गणनाओं की भागीदारी के साथ अध्ययन के परिणामों के आधार पर एक ग्राफ बनाएंगे:

हम एक आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी बनाते हैं;

अधिकतम (-5; 16) और न्यूनतम (-1; -16) बिंदुओं के निर्देशांक दिखाएं;

ग्राफ़ को परिष्कृत करने के लिए, हम नियंत्रण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करते हैं, उन्हें अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं के बाईं और दाईं ओर और मध्य अंतराल के अंदर चुनते हैं, उदाहरण के लिए: y(-6)=(-6)3 +9(-6)2+15(-6 )-9=9; वाई(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

वाई (0) = -9 (-6; 9); (-3;0) और (0;-9) - परिकलित नियंत्रण बिंदु, जो एक ग्राफ बनाने के लिए प्लॉट किए जाते हैं;

हम अधिकतम बिंदु पर उभार के साथ एक वक्र के रूप में ग्राफ दिखाते हैं और न्यूनतम बिंदु पर एक उभार और परिकलित नियंत्रण बिंदुओं से गुजरते हैं।