गणित में यूएसई से कार्य बी 14 में, आपको एक चर के फ़ंक्शन का सबसे छोटा या सबसे बड़ा मान खोजने की आवश्यकता है। यह गणितीय विश्लेषण से काफी तुच्छ समस्या है, और यह इस कारण से है कि प्रत्येक हाई स्कूल स्नातक इसे सामान्य रूप से हल करना सीख सकता है और सीखना चाहिए। आइए कुछ उदाहरणों का विश्लेषण करें जो स्कूली बच्चों ने 7 दिसंबर, 2011 को मॉस्को में हुए गणित के नैदानिक ​​​​कार्य में हल किए।

अंतराल के आधार पर जिस पर फ़ंक्शन के अधिकतम या न्यूनतम मान को खोजने की आवश्यकता होती है, इस समस्या को हल करने के लिए निम्न मानक एल्गोरिदम में से एक का उपयोग किया जाता है।

I. किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान खोजने के लिए एल्गोरिथम:

• किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं।
• एक चरम सीमा के संदिग्ध बिंदुओं में से उन बिंदुओं का चयन करें जो किसी दिए गए सेगमेंट और फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित हैं।
• मानों की गणना करें कार्य(व्युत्पन्न नहीं!) इन बिंदुओं पर।
• प्राप्त मूल्यों में से, सबसे बड़ा या सबसे छोटा चुनें, यह वांछित होगा।

उदाहरण 1किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें
वाई = एक्स 3 – 18एक्स 2 + 81एक्स+ 23 खंड पर।

समाधान:हम किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करने के लिए एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं:

• समारोह का दायरा सीमित नहीं है: डी (वाई) = आर।
• समारोह का व्युत्पन्न है: वाई' = 3एक्स 2 – 36एक्स+ 81. किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का दायरा भी सीमित नहीं है: डी (वाई') = आर।
• व्युत्पन्न के शून्य: वाई' = 3एक्स 2 – 36एक्स+ 81 = 0, इसलिए एक्स 2 – 12एक्स+ 27 = 0, जहाँ से एक्स= 3 और एक्स= 9, हमारे अंतराल में केवल शामिल है एक्स= 9 (एक चरम के लिए एक बिंदु संदिग्ध)।
• हम फ़ंक्शन के मान को एक चरम बिंदु और अंतराल के किनारों पर संदिग्ध बिंदु पर पाते हैं। गणना की सुविधा के लिए, हम फॉर्म में फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करते हैं: वाई = एक्स 3 – 18एक्स 2 + 81एक्स + 23 = एक्स(एक्स-9) 2 +23:
  • वाई(8) \u003d 8 (8-9) 2 +23 \u003d 31;
  • वाई(9) = 9 (9-9) 2 +23 = 23;
  • वाई(13) = 13 (13-9) 2 +23 = 231।

अतः, प्राप्त मानों में से सबसे छोटा 23 है। उत्तर : 23.

द्वितीय। किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान ज्ञात करने के लिए एल्गोरिथम:

• समारोह का दायरा खोजें।
• किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं।
• उन बिंदुओं को निर्धारित करें जो एक चरम सीमा के लिए संदिग्ध हैं (वे बिंदु जहां फ़ंक्शन का व्युत्पन्न गायब हो जाता है, और जिन बिंदुओं पर कोई दो तरफा परिमित व्युत्पन्न नहीं होता है)।
• संख्या रेखा पर इन बिंदुओं और फलन के प्रांत को चिन्हित करें और चिह्नों का निर्धारण करें यौगिक(कार्य नहीं!) परिणामी अंतराल पर।
• मूल्यों को परिभाषित करें कार्य(व्युत्पन्न नहीं!) न्यूनतम बिंदुओं पर (वे बिंदु जिन पर व्युत्पन्न का चिह्न माइनस से प्लस में बदल जाता है), इनमें से सबसे छोटा मान फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान होगा। यदि कोई न्यूनतम बिंदु नहीं हैं, तो फ़ंक्शन का कोई न्यूनतम मान नहीं है।
• मूल्यों को परिभाषित करें कार्य(व्युत्पन्न नहीं!) अधिकतम बिंदुओं पर (वे बिंदु जिन पर व्युत्पन्न का चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाता है), इनमें से सबसे बड़ा मान फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान होगा। यदि अधिकतम बिंदु नहीं हैं, तो फ़ंक्शन का अधिकतम मान नहीं है।

उदाहरण 2फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात कीजिए।

जुलाई 2020 में, नासा ने मंगल ग्रह के लिए एक अभियान शुरू किया। अंतरिक्ष यान अभियान के सभी पंजीकृत सदस्यों के नाम के साथ एक इलेक्ट्रॉनिक वाहक को मंगल ग्रह पर पहुंचाएगा।

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एक और नए साल की पूर्व संध्या... ठंढा मौसम और खिड़की के शीशे पर बर्फ के टुकड़े... इन सबने मुझे फिर से लिखने के लिए प्रेरित किया ... फ्रैक्टल्स, और वोल्फ्राम अल्फा इसके बारे में क्या जानता है। इस अवसर पर, एक दिलचस्प लेख है जिसमें द्वि-आयामी भग्न संरचनाओं के उदाहरण हैं। यहां हम त्रि-आयामी भग्न के अधिक जटिल उदाहरणों पर विचार करेंगे।

एक फ्रैक्टल को एक ज्यामितीय आकृति या शरीर के रूप में नेत्रहीन रूप से दर्शाया (वर्णित) किया जा सकता है (जिसका अर्थ है कि दोनों एक सेट हैं, इस मामले में, बिंदुओं का एक सेट), जिसका विवरण मूल आकृति के समान आकार का है। अर्थात्, यह एक स्व-समान संरचना है, जिसके विवरण को देखते हुए, जब आवर्धित किया जाता है, तो हम बिना आवर्धन के समान आकार देखेंगे। जबकि एक साधारण ज्यामितीय आकृति (भग्न नहीं) के मामले में, जब ज़ूम इन किया जाता है, तो हम उन विवरणों को देखेंगे जिनका आकार मूल आकृति की तुलना में सरल होता है। उदाहरण के लिए, पर्याप्त उच्च आवर्धन पर, दीर्घवृत्त का भाग एक सीधी रेखा खंड जैसा दिखता है। फ्रैक्टल्स के साथ ऐसा नहीं होता है: उनमें किसी भी वृद्धि के साथ, हम फिर से वही जटिल आकृति देखेंगे, जो प्रत्येक वृद्धि के साथ बार-बार दोहराई जाएगी।

फ्रैक्टल्स के विज्ञान के संस्थापक बेनोइट मंडेलब्रोट ने अपने लेख फ्रैक्टल्स एंड आर्ट फॉर साइंस में लिखा है: "फ्रैक्टल्स ज्यामितीय आकार हैं जो अपने विवरण में उतने ही जटिल हैं जितना कि वे अपने समग्र रूप में हैं। यानी, अगर फ्रैक्टल का हिस्सा होगा पूरे के आकार में बड़ा किया जा सकता है, यह पूरे जैसा दिखेगा, या बिल्कुल, या शायद थोड़ी विकृति के साथ।

समारोह होने दें वाई =एफ(एक्स)खंड पर निरंतर [ ए, बी]। जैसा कि जाना जाता है, ऐसा फ़ंक्शन इस खंड पर अपने अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों तक पहुंचता है। फ़ंक्शन इन मानों को या तो खंड के आंतरिक बिंदु पर ले सकता है [ ए, बी], या खंड की सीमा पर।

खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करने के लिए [ ए, बी] ज़रूरी:

1) अंतराल में फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें ( ए, बी);

2) पाए गए महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें;

3) सेगमेंट के सिरों पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें, अर्थात एक्स=एऔर एक्स = बी;

4) फ़ंक्शन के सभी परिकलित मानों में से, सबसे बड़ा और सबसे छोटा चुनें।

उदाहरण।किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए

खंड पर।

महत्वपूर्ण बिंदु ढूँढना:

ये बिंदु खंड के अंदर स्थित हैं; वाई(1) = ‒ 3; वाई(2) = ‒ 4; वाई(0) = ‒ 8; वाई(3) = 1;

बिंदु पर एक्स= 3 और बिंदु पर एक्स= 0.

उत्तलता और एक विभक्ति बिंदु के लिए एक समारोह की जांच।

समारोह वाई = एफ (एक्स) बुलाया उत्तलबीच में (ए, बी) , यदि इसका ग्राफ इस अंतराल के किसी भी बिंदु पर खींची गई स्पर्शरेखा के अंतर्गत आता है, और कहा जाता है उत्तल नीचे (अवतल)यदि इसका ग्राफ स्पर्शरेखा के ऊपर स्थित है।

संक्रमण के उस बिंदु को कहा जाता है जिसके माध्यम से उत्तलता को अवतलता द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है या इसके विपरीत कहा जाता है संक्रमण का बिन्दु.

उत्तलता और विभक्ति बिंदु के अध्ययन के लिए एल्गोरिथम:

1. दूसरे प्रकार के महत्वपूर्ण बिंदुओं का पता लगाएं, अर्थात, जिन बिंदुओं पर दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर है या मौजूद नहीं है।

2. महत्वपूर्ण बिंदुओं को संख्या रेखा पर रखें, इसे अंतरालों में विभाजित करें। प्रत्येक अंतराल पर दूसरे अवकलज का चिह्न ज्ञात कीजिए; यदि , तो फलन ऊपर की ओर उत्तल है, यदि, तो फलन नीचे की ओर उत्तल है।

3. यदि, दूसरी तरह के महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरते समय, यह संकेत बदलता है और इस बिंदु पर दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, तो यह बिंदु विभक्ति बिंदु का भुज होता है। इसकी कोटि ज्ञात कीजिए।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शोन्मुख। स्पर्शोन्मुख में एक समारोह की जांच।

परिभाषा।किसी फलन के ग्राफ की अनंतस्पर्शी रेखा कहलाती है सीधा, जिसका यह गुण है कि ग्राफ़ के किसी भी बिंदु से इस रेखा तक की दूरी ग्राफ़ बिंदु को मूल बिंदु से असीमित रूप से हटाने पर शून्य हो जाती है।

स्पर्शोन्मुख तीन प्रकार के होते हैं: ऊर्ध्वाधर, क्षैतिज और झुका हुआ।

परिभाषा।डायरेक्ट कॉल किया ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोटसमारोह ग्राफ वाई = एफ (एक्स), यदि इस बिंदु पर फ़ंक्शन की कम से कम एक तरफा सीमा अनंत के बराबर है, अर्थात

फलन का विच्छिन्नता बिंदु कहाँ है, अर्थात् यह परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित नहीं है।

उदाहरण।

डी( वाई) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

एक्स= 2 - ब्रेकिंग पॉइंट।

परिभाषा।सीधा वाई =एबुलाया समस्तरीय अनंतस्पर्शी रेखासमारोह ग्राफ वाई = एफ (एक्स)पर, अगर

उदाहरण।

एक्स
वाई

परिभाषा।सीधा वाई =कएक्स +बी (क≠ 0) कहा जाता है तिरछा स्पर्शोन्मुखसमारोह ग्राफ वाई = एफ (एक्स)कहा पर

कार्यों और प्लॉटिंग के अध्ययन के लिए सामान्य योजना।

फंक्शन रिसर्च एल्गोरिथमवाई = एफ (एक्स) :

1. फलन का प्रांत ज्ञात कीजिए डी (वाई).

2. (यदि संभव हो तो) निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजें (साथ में एक्स= 0 और पर वाई = 0).

3. सम और विषम कार्यों के लिए जाँच करें ( वाई (‒ एक्स) = वाई (एक्स) ‒ समानता; वाई(‒ एक्स) = ‒ वाई (एक्स) ‒ अजीब)।

4. फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शोन्मुख खोजें।

5. समारोह की एकरसता के अंतराल का पता लगाएं।

6. फलन का चरम ज्ञात कीजिए।

7. फ़ंक्शन के ग्राफ के उत्तलता (अवतलता) और विभक्ति बिंदुओं के अंतराल का पता लगाएं।

8. किए गए शोध के आधार पर, फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं।

उदाहरण।फ़ंक्शन की जांच करें और इसके ग्राफ को प्लॉट करें।

1) डी (वाई) =

एक्स= 4 - ब्रेकिंग पॉइंट।

2) कब एक्स = 0,

(0; – 5) – के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ओए.

पर वाई = 0,

3) वाई(‒ एक्स)= सामान्य कार्य (न तो सम और न ही विषम)।

4) हम स्पर्शोन्मुख के लिए जांच करते हैं।

ए) लंबवत

बी) क्षैतिज

ग) तिरछे स्पर्शोन्मुख खोजें जहां

- तिरछा स्पर्शोन्मुख समीकरण

5) इस समीकरण में, फ़ंक्शन की एकरसता के अंतरालों को खोजने की आवश्यकता नहीं है।

6)

ये महत्वपूर्ण बिंदु फ़ंक्शन के पूरे डोमेन को अंतराल (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) और (10; +∞) पर विभाजित करते हैं। निम्नलिखित तालिका के रूप में प्राप्त परिणामों को प्रस्तुत करना सुविधाजनक है:

				कोई अतिरिक्त नहीं।

तालिका से यह देखा जा सकता है कि बिंदु एक्स= -2‒अधिकतम बिंदु, बिंदु पर एक्स= 4‒ कोई चरम सीमा नहीं, एक्स= 10 - न्यूनतम बिंदु।

समीकरण में मान (‒ 3) को प्रतिस्थापित करें:

9 + 24 ‒ 20 > 0

25 ‒ 40 ‒ 20 < 0

121 ‒ 88 ‒ 20 > 0

इस समारोह की अधिकतम है

(– 2; – 4) – अधिकतम चरम।

इस समारोह का न्यूनतम है

(10; 20) न्यूनतम चरम है।

7) फ़ंक्शन के ग्राफ़ के उत्तलता और विभक्ति बिंदु की जाँच करें

किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों की अवधारणा।

सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों की अवधारणा किसी फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु की अवधारणा से निकटता से संबंधित है।

परिभाषा 1

$x_0$ को फ़ंक्शन $f(x)$ का एक महत्वपूर्ण बिंदु कहा जाता है यदि:

1) $x_0$ - परिभाषा के क्षेत्र का आंतरिक बिंदु;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ या मौजूद नहीं है।

आइए अब किसी फलन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों की परिभाषाएँ प्रस्तुत करते हैं।

परिभाषा 2

अंतराल $X$ पर परिभाषित एक फ़ंक्शन $y=f(x)$ अपने अधिकतम मूल्य तक पहुंचता है यदि कोई बिंदु $x_0\in X$ मौजूद है जैसे कि सभी $x\in X$ के लिए असमानता

परिभाषा 3

अंतराल $X$ पर परिभाषित एक फ़ंक्शन $y=f(x)$ अपने न्यूनतम मूल्य तक पहुंचता है यदि कोई बिंदु $x_0\in X$ मौजूद है जैसे कि सभी $x\in X$ के लिए असमानता

एक अंतराल पर निरंतर एक समारोह पर वीयरस्ट्रैस प्रमेय

आइए हम पहले एक अंतराल पर निरंतर फलन की अवधारणा का परिचय दें:

परिभाषा 4

एक फ़ंक्शन $f\left(x\right)$ को खंड $$ पर निरंतर कहा जाता है यदि यह अंतराल $(a,b)$ के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर है, और बिंदु $x= पर दाईं ओर भी निरंतर है a$ और बाईं ओर $x =b$।

आइए हम एक अंतराल पर निरंतर फलन पर एक प्रमेय तैयार करें।

प्रमेय 1

वीयरस्ट्रास प्रमेय

फंक्शन $f\left(x\right)$, जो अंतराल $$ पर निरंतर है, इस अंतराल पर अपने अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों तक पहुँचता है, अर्थात, बिंदु $\alpha ,\beta \in $ ऐसे हैं कि सभी के लिए $x\in $ असमानता $f(\alpha)\le f(x)\le f(\beta)$।

प्रमेय की ज्यामितीय व्याख्या चित्र 1 में दिखाई गई है।

यहां फ़ंक्शन $f(x)$ बिंदु $x=\alpha $ पर अपने न्यूनतम मूल्य तक पहुंचता है बिंदु $x=\beta $ पर अपने अधिकतम मूल्य तक पहुंचता है।

$$ खंड पर फ़ंक्शन $f(x)$ के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने की योजना

1) अवकलज f"(x)$ ज्ञात कीजिए;

2) उन बिंदुओं को खोजें जहां व्युत्पन्न $f"\left(x\right)=0$;

3) ऐसे बिंदु खोजें जहां व्युत्पन्न $f"(x)$ मौजूद नहीं है;

4) पैराग्राफ 2 और 3 में प्राप्त बिंदुओं में से चुनें जो $$ सेगमेंट से संबंधित हैं;

5) चरण 4 में प्राप्त बिंदुओं के साथ-साथ सेगमेंट $$ के सिरों पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें;

6) प्राप्त मूल्यों में से सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान चुनें।

किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों को खोजने में समस्याएँ

उदाहरण 1

सेगमेंट पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान पाएं: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

समाधान।

1) $f"\बाएं(x\दाएं)=6x^2-30x+36$;

2) $f"\बाएं(x\दाएं)=0$;

\ \ \

4) $2\in \बाएं,\ 3\in $;

5) मान:

\ \ \ \

6) पाए गए मूल्यों में सबसे बड़ा $33$ है, पाए गए मूल्यों में सबसे छोटा $1$ है। इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं:

उत्तर:$अधिकतम=33,\ मिनट=1$।

उदाहरण 2

सेगमेंट पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजें: $f\left(x\right)=x^3-3x^2-45x+225$

समाधान।

उपरोक्त योजना के अनुसार समाधान किया जाएगा।

1) $f"\बाएं(x\दाएं)=3x^2-6x-45$;

2) $f"\बाएं(x\दाएं)=0$;

\ \ \

3) $f"(x)$ परिभाषा के क्षेत्र के सभी बिंदुओं पर मौजूद है;

4) $-3\notin\बाएं,\5\in $;

5) मान:

\ \ \

6) पाए गए मूल्यों में सबसे बड़ा मूल्य $225$ है, पाए गए मूल्यों में सबसे छोटा मूल्य $50$ है। इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं:

उत्तर:$अधिकतम=225,\ मिनट=50$।

उदाहरण 3

अंतराल पर एक फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें [-2,2]: $f\left(x\right)=\frac(x^2-6x+9)(x-1)$

समाधान।

उपरोक्त योजना के अनुसार समाधान किया जाएगा।

1) $f"\बाएं(x\दाएं)=\frac(\बाएं(2x-6\दाएं)\बाएं(x-1\दाएं)-(x^2-6x+9))(((x- 1))^2)=\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)$;

2) $f"\बाएं(x\दाएं)=0$;

\[\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)=0\] \ \

3) $f"(x)$ बिंदु $x=1$ पर मौजूद नहीं है

4) $3\notin \left[-2,2\right],\ -1\in \left[-2,2\right],\ 1\in \left[-2,2\right]$, हालांकि 1 दायरे से संबंधित नहीं है;

5) मान:

\ \ \

6) पाए गए मानों में सबसे बड़ा $1$ है, पाए गए मानों में सबसे छोटा $-8\frac(1)(3)$ है। इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं: \end(गणना)

उत्तर:$max=1,\ min==-8\frac(1)(3)$।

नीचे दिए गए आंकड़े दिखाते हैं कि फ़ंक्शन अपने सबसे छोटे और सबसे बड़े मान तक कहां पहुंच सकता है। बाएं आंकड़े में, स्थानीय न्यूनतम और अधिकतम फ़ंक्शन के बिंदुओं पर सबसे छोटे और सबसे बड़े मान तय किए गए हैं। सही आकृति में - खंड के सिरों पर।

यदि समारोह वाई = एफ(एक्स) खंड पर निरंतर [ ए, बी] , फिर यह इस सेगमेंट पर पहुंचता है कम से कम और उच्चतम मूल्य . यह, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, दोनों में हो सकता है चरम बिंदुया खंड के अंत में। इसलिए खोजने के लिए कम से कम और समारोह का सबसे बड़ा मूल्य , अंतराल पर निरंतर [ ए, बी] , आपको इसके सभी मूल्यों की गणना करने की आवश्यकता है महत्वपूर्ण बिंदुऔर खंड के अंत में, और फिर उनमें से सबसे छोटा और सबसे बड़ा चुनें।

मान लीजिए, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन का अधिकतम मान निर्धारित करना आवश्यक है एफ(एक्स) खंड पर [ ए, बी] . ऐसा करने के लिए, इसके सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजें [ ए, बी] .

महत्वपूर्ण बिन्दू बिंदु कहा जाता है समारोह परिभाषित, और वह यौगिकया तो शून्य है या मौजूद नहीं है। फिर आपको महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करनी चाहिए। और, अंत में, किसी को महत्वपूर्ण बिंदुओं पर और खंड के अंत में फ़ंक्शन के मूल्यों की तुलना करनी चाहिए ( एफ(ए) और एफ(बी) ). इनमें से सबसे बड़ी संख्या होगी अंतराल पर समारोह का सबसे बड़ा मूल्य [ए, बी] .

खोजने की समस्या फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान .

हम एक साथ फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों की तलाश कर रहे हैं

उदाहरण 1. किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर [-1, 2] .

समाधान। हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं। व्युत्पन्न को शून्य () के बराबर करें और दो महत्वपूर्ण बिंदु प्राप्त करें: और। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, यह खंड के अंत में और बिंदु पर इसके मूल्यों की गणना करने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि बिंदु खंड से संबंधित नहीं है [-1, 2] . ये Function Values ​​निम्नलिखित हैं: , , . यह इस प्रकार है कि सबसे छोटा फ़ंक्शन मान(नीचे दिए गए ग्राफ़ पर लाल रंग से चिह्नित), -7 के बराबर, खंड के दाहिने सिरे पर पहुँच जाता है - बिंदु पर, और महानतम(ग्राफ पर भी लाल), 9 के बराबर है, - महत्वपूर्ण बिंदु पर।

यदि फ़ंक्शन एक निश्चित अंतराल में निरंतर है और यह अंतराल एक खंड नहीं है (लेकिन, उदाहरण के लिए, एक अंतराल है; एक अंतराल और एक खंड के बीच का अंतर: अंतराल के सीमा बिंदु अंतराल में शामिल नहीं हैं, लेकिन सेगमेंट के सीमा बिंदुओं को सेगमेंट में शामिल किया गया है), तो फ़ंक्शन के मानों में सबसे छोटा और सबसे बड़ा नहीं हो सकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए चित्र में दर्शाया गया कार्य ]-∞, +∞[ पर निरंतर है और इसका सबसे बड़ा मान नहीं है।

हालांकि, किसी भी अंतराल (बंद, खुला, या अनंत) के लिए, निरंतर कार्यों की निम्नलिखित संपत्ति रखती है।

गणना के दौरान स्व-जांच के लिए, आप उपयोग कर सकते हैं ऑनलाइन डेरिवेटिव कैलकुलेटर .

उदाहरण 4. किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर [-1, 3] .

समाधान। हम इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को भागफल के व्युत्पन्न के रूप में पाते हैं:

.

हम व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हैं, जो हमें एक महत्वपूर्ण बिंदु देता है:। यह अंतराल [-1, 3] से संबंधित है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, हम इसके मूल्यों को खंड के अंत में और पाए गए महत्वपूर्ण बिंदु पर पाते हैं:

आइए इन मूल्यों की तुलना करें। निष्कर्ष: -5/13 के बराबर, बिंदु पर और सबसे बड़ा मूल्यबिंदु पर 1 के बराबर।

हम फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मानों को एक साथ खोजना जारी रखते हैं

ऐसे शिक्षक हैं, जो किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के विषय पर, छात्रों को उन उदाहरणों की तुलना में अधिक जटिल नहीं देते हैं, जिनमें फ़ंक्शन एक बहुपद या एक अंश है, अंश और जिनके हर बहुपद हैं। लेकिन हम खुद को ऐसे उदाहरणों तक सीमित नहीं रखेंगे, क्योंकि शिक्षकों में छात्रों को पूर्ण रूप से सोचने के प्रेमी हैं (डेरिवेटिव की तालिका)। इसलिए, लघुगणक और त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का उपयोग किया जाएगा।

उदाहरण 8. किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर .

समाधान। हम इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को इस प्रकार पाते हैं उत्पाद का व्युत्पन्न :

हम व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हैं, जो एक महत्वपूर्ण बिंदु देता है:। यह खंड के अंतर्गत आता है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, हम इसके मूल्यों को खंड के अंत में और पाए गए महत्वपूर्ण बिंदु पर पाते हैं:

सभी कार्यों का परिणाम: समारोह अपने न्यूनतम मूल्य तक पहुँच जाता है, 0 के बराबर, एक बिंदु पर और एक बिंदु पर और सबसे बड़ा मूल्यके बराबर इ², बिंदु पर।

गणना के दौरान स्व-जांच के लिए, आप उपयोग कर सकते हैं ऑनलाइन डेरिवेटिव कैलकुलेटर .

उदाहरण 9। किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर .

समाधान। हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं:

व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें:

एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु खंड से संबंधित है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, हम इसके मूल्यों को खंड के अंत में और पाए गए महत्वपूर्ण बिंदु पर पाते हैं:

निष्कर्ष: समारोह अपने न्यूनतम मूल्य तक पहुँच जाता है, के बराबर, बिंदु पर और सबसे बड़ा मूल्य, के बराबर, बिंदु पर।

लागू चरम समस्याओं में, एक नियम के रूप में, सबसे छोटे (सबसे बड़े) फ़ंक्शन मानों को न्यूनतम (अधिकतम) खोजने के लिए कम किया जाता है। लेकिन यह स्वयं मिनिमा या मैक्सिमा नहीं है जो अधिक व्यावहारिक हित के हैं, बल्कि उस तर्क के मूल्य हैं जिस पर उन्हें हासिल किया जाता है। लागू समस्याओं को हल करते समय, एक अतिरिक्त कठिनाई उत्पन्न होती है - कार्यों का संकलन जो विचाराधीन घटना या प्रक्रिया का वर्णन करता है।

उदाहरण 10 4 की क्षमता वाला एक टैंक, जिसमें चौकोर आधार के साथ समानांतर चतुर्भुज का आकार होता है और शीर्ष पर खुला होता है, को टिन किया जाना चाहिए। कम से कम सामग्री के साथ इसे कवर करने के लिए टैंक का आयाम क्या होना चाहिए?

समाधान। होने देना एक्स- आधार पक्ष एच-टैंक ऊंचाई, एस- इसका सतह क्षेत्र बिना आवरण के, वी- इसकी मात्रा। टैंक का सतह क्षेत्र सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है, अर्थात। दो चर का एक कार्य है। ज़ाहिर करना एसएक चर के एक समारोह के रूप में, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि, जहां से। मिली अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करना एचके लिए सूत्र में एस:

आइए हम इस फ़ंक्शन की चरम सीमा की जाँच करें। यह ]0, +∞[ , और में हर जगह परिभाषित और भिन्न है

.

हम व्युत्पन्न को शून्य () के बराबर करते हैं और महत्वपूर्ण बिंदु पाते हैं। इसके अलावा, पर व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, लेकिन यह मान परिभाषा के डोमेन में शामिल नहीं है और इसलिए एक चरम बिंदु नहीं हो सकता। तो, - एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु। आइए इसे दूसरे पर्याप्त मानदंड का उपयोग करके एक चरम सीमा की उपस्थिति के लिए जांचें। आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें। जब दूसरा व्युत्पन्न शून्य () से अधिक हो। इसका मतलब यह है कि जब फ़ंक्शन न्यूनतम तक पहुंचता है . क्योंकि यह न्यूनतम - इस फ़ंक्शन का एकमात्र चरम, यह इसका सबसे छोटा मान है. तो, टैंक के आधार का किनारा 2 मीटर और इसकी ऊंचाई के बराबर होना चाहिए।

गणना के दौरान स्व-जांच के लिए, आप उपयोग कर सकते हैं