20. बहुफलकीय कोणों का बहुस्तरीय अध्ययन, त्रिफलकीय कोण और बहुफलकीय कोण के समतल कोणों के गुण।

का एक बुनियादी स्तर:

अतनास्यान

केवल डायहेड्रल कोण पर विचार करता है।

पोगोरेलोव

पहले डायहेड्रल कोण और फिर तुरंत ट्राइहेड्रल और पॉलीहेड्रल पर विचार करें।

तीन किरणों a, b, c पर विचार करें, जो एक बिंदु से आती हैं और एक ही तल में पड़ी हैं। एक त्रिकोणीय कोण (एबीसी) तीन समतल कोणों (एबी), (बीसी) और (एसी) (चित्र 400) से बना एक आकृति है। इन कोणों को त्रिफलकीय कोण के फलक कहा जाता है, और उनकी भुजाओं को किनारा कहा जाता है। समतल कोणों का उभयनिष्ठ शीर्ष त्रिफलकीय कोण का शीर्ष कहलाता है। त्रिफलकीय कोण के फलकों द्वारा निर्मित द्वितल कोण त्रिफलकीय कोण के द्वितल कोण कहलाते हैं।

एक पॉलीहेड्रल कोण की अवधारणा को इसी तरह पेश किया गया है (चित्र। 401)।

अंजीर. 400 और अंजीर. 401

पी प्रोफ़ाइल स्तर(A.D. अलेक्जेंड्रोव, A.L. वर्नर, V.I. Ryzhikh):

मनमाने बहुफलकीय कोणों की परिभाषा और अध्ययन को § 31 तक छोड़ते हुए, अब हम उनमें से सबसे सरल - त्रिफलकीय कोणों पर विचार करेंगे। यदि स्टीरियोमेट्री में डायहेड्रल कोणों को समतल कोणों के अनुरूप माना जा सकता है, तो त्रिभुज कोणों को समतल त्रिभुजों के अनुरूप माना जा सकता है, और निम्नलिखित पैराग्राफ में हम देखेंगे कि वे स्वाभाविक रूप से गोलाकार त्रिभुजों से कैसे संबंधित हैं।

आप निम्न प्रकार से त्रिफलकीय कोण का निर्माण (और इसलिए रचनात्मक रूप से परिभाषित) कर सकते हैं। आइए, कोई तीन किरणें a, b, c लें, जिनकी उभयनिष्ठ उत्पत्ति 0 हो और जो एक ही तल में न हों (चित्र 150)। ये किरणें तीन उत्तल समतल कोणों की भुजाएँ हैं: कोण α पक्षों के साथ b, c, कोण β पक्षों के साथ a, c, और कोण γ भुजाओं a, b के साथ। इन तीन कोणों α, β, γ के मिलन को त्रिफलकीय कोण Oabc (या, संक्षेप में, त्रिफलकीय कोण O) कहा जाता है। किरणों a, b, c को त्रिभुज कोण Oabc के किनारे कहा जाता है, और समतल कोण α, β, γ इसके चेहरे कहलाते हैं। बिंदु O को त्रिभुज कोण का शीर्ष कहा जाता है।

नोट 3. एक गैर-उत्तल फलक (चित्र 151) के साथ त्रिफलक कोण को परिभाषित करना संभव होगा, लेकिन हम ऐसे त्रिफलक कोणों पर विचार नहीं करेंगे।

त्रिकोणीय कोण के किनारों में से प्रत्येक के लिए, एक संबंधित डायहेड्रल कोण निर्धारित किया जाता है, जैसे कि जिसके किनारे में त्रिकोणीय कोण के संबंधित किनारे होते हैं, और जिनके चेहरों में इस किनारे से सटे त्रिकोणीय कोण के चेहरे होते हैं।

त्रिकोणीय कोण Oabc के किनारों a, b, c के डायहेड्रल कोणों के मानों को क्रमशः a^, b^, c^ (अक्षरों के ठीक ऊपर कैप) द्वारा निरूपित किया जाएगा।

त्रिकोणीय कोण Oabc के तीन चेहरे α, β, γ और इसके तीन डायहेड्रल कोण किनारों पर a, b, c, साथ ही मान α, β, γ और a^, b^, c^ होंगे त्रिफलक कोण के अवयव कहलाते हैं। (याद रखें कि समतल त्रिभुज के अवयव उसकी भुजाएँ और कोण होते हैं।)

हमारा काम एक त्रिभुज कोण के कुछ तत्वों को उसके अन्य तत्वों के संदर्भ में व्यक्त करना है, यानी, त्रिकोणीय कोणों के "त्रिकोणमिति" का निर्माण करना।

1) कोसाइन प्रमेय के एक एनालॉग की व्युत्पत्ति के साथ शुरू करते हैं। पहले, ऐसे त्रिभुज कोण Oabc पर विचार करें, जिसके कम से कम दो फलक हों, उदाहरण के लिए, α और β न्यूनकोण हैं। इसके किनारे c पर एक बिंदु C लें और इससे फलकों α और β में लंबवत CB और CA को किनारे c पर तब तक खींचे जब तक कि वे बिंदु A और B (चित्र 152) पर किनारों a और b के साथ प्रतिच्छेद न कर दें। हम कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके त्रिकोण OAB और CAB से दूरी AB को व्यक्त करते हैं।

AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 -2AC * BC * Cos (c ^) और AB 2 \u003d OA 2 + OB 2 -2AO * BO * Cosγ।

पहली समानता को दूसरी समानता से घटाकर, हम प्राप्त करते हैं:

OA 2 -AC 2 + OB 2 - BC 2 + 2AC * BC * Cos (c ^) -2AO * BO * Cosγ \u003d 0 (1)। क्योंकि त्रिकोण OSV और OSA आयताकार हैं, फिर AC 2 -AC 2 \u003d OS 2 और OB 2 - BC 2 \u003d OS 2 (2)

इसलिए, (1) और (2) से यह इस प्रकार है कि OA*OB*Cosγ=OC 2 +AC*BC*Cos(c^)

वे।

लेकिन
,
,
,
. इसीलिए

(3) त्रिकोणीय कोणों के लिए कोसाइन प्रमेय का एक एनालॉग है कोज्या सूत्र.

दोनों फलक α और β अधिक कोण हैं।

α और β में से एक कोण, उदाहरण के लिए α, तीव्र है, और दूसरा β-आंशिक है।

कम से कम 1 कोण α या β सही है।

त्रिकोणीय कोणों की समानता के संकेतत्रिकोणों की समानता के संकेतों के समान। लेकिन एक अंतर है: उदाहरण के लिए, दो त्रिभुज कोण समान होते हैं यदि उनके डायहेड्रल कोण क्रमशः बराबर होते हैं। याद कीजिए कि दो समतल त्रिभुज जिनके संगत कोण बराबर हैं समरूप होते हैं। और त्रिकोणीय कोणों के लिए, समान स्थिति समानता की ओर नहीं, बल्कि समानता की ओर ले जाती है।

त्रिकोणीय कोणों में एक उल्लेखनीय है संपत्तिजिसे द्वैत कहते हैं। यदि त्रिकोणीय कोण Oabc पर किसी भी प्रमेय में हम a, b, c को π-α, π-β, π-γ से बदल दें और, इसके विपरीत, α, β, γ को π-a^, π-b^ से बदल दें , π -c^, फिर से हमें त्रिफलकीय कोणों के बारे में सही कथन मिलता है, जो मूल प्रमेय से दोहरा है। सच है, अगर ऐसा प्रतिस्थापन साइन प्रमेय में किया जाता है, तो हम फिर से साइन प्रमेय पर आते हैं (यह स्वयं के लिए दोहरी है)। लेकिन अगर हम इसे कोज्या प्रमेय (3) में करते हैं, तो हमें एक नया सूत्र मिलता है

cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.

ऐसा द्वैत क्यों होता है, यह स्पष्ट हो जाएगा यदि, एक त्रिभुज कोण के लिए, हम इसके दोहरे त्रिफलक कोण का निर्माण करते हैं, जिसके किनारे मूल कोण के फलकों के लंबवत हैं (देखिए भाग 33.3 और चित्र 356)।

कुछ सबसे सरल सतहें हैं बहुफलकीय कोण. वे साधारण कोणों से बने होते हैं (अब हम ऐसे कोणों को समतल कोण कहेंगे), ठीक उसी तरह जैसे एक बंद टूटी हुई रेखा खंडों से बनी होती है। अर्थात्, निम्नलिखित परिभाषा दी गई है:

बहुफलकीय कोण होता हैसमतल कोणों द्वारा बनाई गई एक आकृति ताकि निम्नलिखित शर्तें पूरी हों:

1) किसी भी दो कोणों में उभयनिष्ठ शीर्ष या संपूर्ण भुजा के अलावा अन्य उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होते हैं।

2) इनमें से प्रत्येक कोण का प्रत्येक पक्ष एक और केवल एक अन्य कोण के साथ उभयनिष्ठ है।

3) प्रत्येक कोने से प्रत्येक कोने तक, आप उन कोनों के साथ जा सकते हैं जिनकी भुजाएँ उभयनिष्ठ हैं।

4) उभयनिष्ठ भुजा वाले दो कोण एक ही तल में नहीं होते (चित्र 324)।

इस स्थिति के तहत, बहुफलकीय कोण बनाने वाले समतल कोण इसके फलक कहलाते हैं, और उनकी भुजाएँ इसके किनारे कहलाती हैं।

एक डायहेड्रल कोण भी इस परिभाषा में फिट बैठता है। यह दो विकसित समतल कोनों से बना है। इसके किनारे पर किसी भी बिंदु को इसका शीर्ष माना जा सकता है, और यह बिंदु किनारे को दो किनारों में विभाजित करता है जो शीर्ष पर अभिसरण करते हैं। लेकिन शीर्ष की स्थिति में इस अनिश्चितता को ध्यान में रखते हुए, डायहेड्रल कोण को पॉलीहेड्रल कोणों की संख्या से बाहर रखा गया है।

पी

पॉलीहेड्रा के सिद्धांत में - पॉलीहेड्रा के अध्ययन में विशेष रूप से पॉलीहेड्रल कोण की अवधारणा महत्वपूर्ण है। एक पॉलीहेड्रॉन की संरचना की विशेषता यह है कि यह किन चेहरों से बना है और कैसे वे शीर्षों पर अभिसरण करते हैं, यानी पॉलीहेड्रल कोण क्या हैं।

विभिन्न पॉलीहेड्रा के पॉलीहेड्रल कोणों पर विचार करें।

ध्यान दें कि बहुफलकीय कोनों के फलक गैर-उत्तल कोने भी हो सकते हैं।

№1 दिनांक05.09.14

विषय ज्यामिति

कक्षा 11

पाठ विषय: बहुफलकीय कोण की अवधारणा। त्रिकोणीय कोण।

पाठ मकसद:

अवधारणाओं का परिचय दें: "त्रिकोणीय कोण", "बहुफलकीय कोण", "बहुफलक";

त्रिफलकीय और बहुफलकीय कोणों, बहुफलकीय के तत्वों के साथ-साथ उत्तल बहुफलकीय कोण की परिभाषाओं और बहुफलकीय कोण के समतल कोणों के गुणों से छात्रों को परिचित कराने के लिए;

स्थानिक अभ्यावेदन और स्थानिक कल्पना के विकास के साथ-साथ छात्रों की तार्किक सोच पर काम जारी रखना।

पाठ प्रकार: नई सामग्री सीखना

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण।

छात्रों का अभिवादन करना, पाठ के लिए कक्षा की तत्परता की जाँच करना, छात्रों का ध्यान आकर्षित करना, पाठ के सामान्य उद्देश्यों और उसकी योजना का खुलासा करना।

2. नई अवधारणाओं और कार्रवाई के तरीकों का निर्माण।

कार्य: छात्रों द्वारा अध्ययन की गई सामग्री की धारणा, समझ और याद सुनिश्चित करना। यह सुनिश्चित करने के लिए कि छात्रों ने अध्ययन की गई सामग्री को पुन: प्रस्तुत करने के लिए कार्यप्रणाली में महारत हासिल की है, अवधारणाओं, कानूनों, नियमों, सूत्रों को आत्मसात करने की दार्शनिक समझ को बढ़ावा देने के लिए। छात्रों द्वारा अध्ययन की गई सामग्री की शुद्धता और जागरूकता स्थापित करना, प्राथमिक समझ में अंतराल की पहचान करना, सुधार करना। यह सुनिश्चित करने के लिए कि छात्र वैज्ञानिक ज्ञान के संकेतों के साथ अपने व्यक्तिपरक अनुभव को सहसंबंधित करते हैं।

तीन किरणें दी जाएंए, बी औरएस एस सामान्य प्रारंभ बिंदुके बारे में (चित्र 1.1)। जरूरी नहीं कि ये तीनों किरणें एक ही तल में हों। चित्र 1.2 में, किरणेंबी औरसाथ एक विमान में लेट जाओआर, एक किरणए इस विमान में झूठ नहीं है।

किरणोंए, बी औरसाथ जोड़े आर्क्स द्वारा प्रतिष्ठित तीन समतल कोणों को परिभाषित करते हैं (चित्र 1.3)।

ऊपर बताए गए तीन कोणों और इन समतल कोणों से घिरे अंतरिक्ष के हिस्से से बनी एक आकृति पर विचार करें। यह स्थानिक आकृति कहलाती हैत्रिकोणीय कोण (अंक 2)।

किरणोंए, बी और साथ बुलायात्रिकोणीय कोण के किनारे, और कोने: = एओसी, = एओबी,

= बीओसी , त्रिकोणीय कोण को सीमित करना, - इसकाचेहरे के। ये कोने बनते हैंत्रिकोणीय सतह। डॉटके बारे में बुलायाएक त्रिकोणीय कोण का शीर्ष। एक त्रिकोणीय कोण को निम्नानुसार निरूपित किया जा सकता है: ओएबीसी

चित्र 3 में दिखाए गए सभी बहुफलकीय कोणों की सावधानीपूर्वक जाँच करने के बाद, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि प्रत्येक बहुफलकीय कोण के किनारों और फलकों की संख्या समान है:

4 चेहरे और एक शीर्ष;

पांच तरफा कोने में 5 किनारे, 5 चेहरे और एक शीर्ष है;

• 
  एक षट्कोणीय कोने में 6 किनारे, 6 फलक और एक शीर्ष आदि होते हैं।

बहुफलकीय कोण होते हैं उत्तल और गैर उत्तल।

कल्पना कीजिए कि हमने चार किरणें एक ही मूल से लीं, जैसा कि चित्र 4 में दिखाया गया है। इस मामले में, हमें मिलागैर-उत्तल बहुफलकीय कोण।

परिभाषा 1. बहुफलकीय कोण उत्तल कोण कहलाता है,वह अगरइसके प्रत्येक चेहरे के तल के एक तरफ स्थित है।

दूसरे शब्दों में, एक उत्तल बहुफलकीय कोण हमेशा किसी तल पर इसके किसी भी फलक द्वारा रखा जा सकता है। आप देख सकते हैं कि चित्र 4 में दिखाए गए मामले में, यह हमेशा संभव नहीं होता है। चित्रा 4 में दिखाया गया टेट्राहेड्रल कोण गैर-उत्तल है।

ध्यान दें कि हमारे ट्यूटोरियल में, यदि हम "बहुफलकीय कोण" कहते हैं, तो हमारा मतलब है कि यह उत्तल है। यदि विचार किया गया बहुफलकीय कोण उत्तल नहीं है, तो इस पर अलग से चर्चा की जाएगी।

बहुफलकीय कोने के समतल कोनों के गुण

प्रमेय 1।त्रिभुज कोण का प्रत्येक समतल कोण अन्य दो समतल कोणों के योग से कम होता है।

प्रमेय 2।एक उत्तल बहुफलकीय कोण के सभी समतल कोणों के मानों का योग 360° से कम होता है।

3. आवेदन। कौशल और क्षमताओं का गठन।

उद्देश्य: यह सुनिश्चित करने के लिए कि छात्रों ने एसडब्ल्यू के लिए आवश्यक ज्ञान और कार्रवाई के तरीकों को लागू किया है, छात्रों ने जो सीखा है उसे लागू करने के व्यक्तिगत तरीकों की पहचान करने के लिए परिस्थितियों का निर्माण किया है।

6. होमवर्क के बारे में स्टेज की जानकारी।

उद्देश्य: यह सुनिश्चित करने के लिए कि छात्र गृहकार्य करने के उद्देश्य, सामग्री और विधियों को समझते हैं।

§1(1.1, 1.2) पृष्ठ 4, संख्या 9।

7. पाठ का सारांश।

उद्देश्य: कक्षा और व्यक्तिगत छात्रों के काम का गुणात्मक मूल्यांकन देना।

8. प्रतिबिंब का चरण।

कार्य: अपनी गतिविधियों के आत्म-मूल्यांकन पर छात्रों के प्रतिबिंब को आरंभ करना। यह सुनिश्चित करने के लिए कि छात्र स्व-नियमन और सहयोग के सिद्धांतों को सीखते हैं।

पर बातचीत:

आपने पाठ में क्या दिलचस्प पाया?

क्या स्पष्ट नहीं है?

अगले पाठ में शिक्षक को किस पर ध्यान देना चाहिए?

आप कक्षा में अपने काम का मूल्यांकन कैसे करेंगे?

त्रिकोणीय कोण

त्रिकोणीय कोण।

त्रिकोणीय कोण- यह अंतरिक्ष का एक हिस्सा है जो तीन समतल कोनों से घिरा होता है जिसमें एक सामान्य शीर्ष और जोड़ीदार आम भुजाएँ होती हैं जो एक ही तल में नहीं होती हैं। इन कोणों का उभयनिष्ठ शीर्ष O त्रिभुज कोण का शीर्ष कहलाता है। कोनों के किनारों को किनारे कहा जाता है, त्रिकोणीय कोण के शीर्ष पर सपाट कोनों को इसके चेहरे कहा जाता है। त्रिकोणीय कोण के चेहरों के तीन जोड़े में से प्रत्येक एक डायहेड्रल कोण बनाता है (तीसरे चेहरे द्वारा सीमित जो जोड़ी में शामिल नहीं है; यदि आवश्यक हो, तो यह प्रतिबंध स्वाभाविक रूप से हटा दिया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप पूरे डायहेड्रल बनाने वाले आवश्यक आधे-विमान होते हैं कोण प्रतिबंध के बिना)। यदि आप एक त्रिफलकीय कोण के शीर्ष को एक गोले के केंद्र में रखते हैं, तो इसकी सतह पर इससे घिरा एक गोलाकार त्रिभुज बनता है, जिसकी भुजाएँ त्रिभुज कोण के समतल कोणों के बराबर होती हैं, और कोण इसके बराबर होते हैं डायहेड्रल कोण।

त्रिकोणीय कोण के लिए त्रिभुज असमानता

त्रिभुज कोण का प्रत्येक समतल कोण इसके अन्य दो समतल कोणों के योग से कम होता है।

त्रिभुज कोण के समतल कोणों का योग

त्रिभुज कोण के समतल कोणों का योग 360 डिग्री से कम होता है।

सबूत

माना OABC एक दिया हुआ त्रिफलकीय कोण है। ABO, ACO और कोण BAC द्वारा निर्मित शीर्ष A वाले त्रिफलकीय कोण पर विचार करें। आइए असमानता लिखें:

इसी प्रकार, शेष त्रिभुज कोणों के लिए शीर्ष बी और सी के साथ:

इन असमानताओं को जोड़ने और यह ध्यान में रखते हुए कि त्रिभुज ABC के कोणों का योग 180° है, हम प्राप्त करते हैं

इस तरह:

त्रिकोणीय कोण के लिए कोसाइन प्रमेय

त्रिकोणीय कोण के लिए प्रथम कोसाइन प्रमेय

त्रिकोणीय कोण के लिए दूसरा कोसाइन प्रमेय
जहाँ α, β, γ समतल कोण हैं, A, B, C डायहेड्रल कोण हैं जो कोणों β और γ, α और γ, α और β के तलों से बने हैं।

त्रिकोणीय कोण के लिए द्वितीय कोसाइन प्रमेय का प्रमाण

माना OABC एक दिया हुआ त्रिफलकीय कोण है। आइए हम त्रिकोणीय कोण के आंतरिक बिंदु से उसके फलकों पर लम्ब डालते हैं और एक नया ध्रुवीय त्रिभुज कोण प्राप्त करते हैं (दिए गए एक के लिए दोहरा)। एक त्रिकोणीय कोण के फ्लैट कोण दूसरे के डायहेड्रल कोणों को पूरक करते हैं, और एक कोण के डायहेड्रल कोण 180 डिग्री तक दूसरे के फ्लैट वाले को पूरक करते हैं। वे। ध्रुवीय कोण के समतल कोण क्रमशः बराबर होते हैं: 180 - A; 180 - बी; 180 - सी, और डायहेड्रल - 180 - α; 180-β; 180-γ

आइए इसके लिए पहला कोसाइन प्रमेय लिखें

और सरलीकरण के बाद हमें मिलता है:

त्रिकोणीय कोण के लिए ज्या प्रमेय

जहां α, β, γ त्रिकोणीय कोण के समतल कोण हैं; ए, बी, सी - विपरीत डायहेड्रल कोण।

यह सभी देखें

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010।

अन्य शब्दकोशों में देखें कि "त्रिकोणीय कोण" क्या है:

एक अनंत त्रिकोणीय पिरामिड से घिरा अंतरिक्ष का हिस्सा (अंजीर देखें।)। इस पिरामिड के चेहरों को T. u. का चेहरा कहा जाता है, इसका शीर्ष T. u का शीर्ष है। पसलियां बनती हैं...... महान सोवियत विश्वकोश

त्रिकोणीय कोण- एक बिंदु से निकलने वाली और एक ही तल में न पड़ने वाली तीन किरणों से बनी एक स्थानिक आकृति। सामान्य रूप से इंजीनियरिंग विषय… तकनीकी अनुवादक की पुस्तिका

ठोस कोण देखें। * * *त्रिफलक कोण त्रिफलक कोण, ठोस कोण देखें (ठोस कोण देखें)... विश्वकोश शब्दकोशविश्वकोश शब्दकोश

शंकु के एक निश्चित झुंड से घिरा अंतरिक्ष का एक हिस्सा। सतह (चित्र 1); विशेष रूप से, त्रिफलकीय (चित्र 2) और बहुफलकीय (चित्र 3) कोण क्रमशः परिबद्ध हैं। तीन और अधिक T. के शीर्ष पर अभिसारी समतल फलक। टी। का मूल्य। संबंध के बराबर है ... ... प्राकृतिक विज्ञान। विश्वकोश शब्दकोश

त्रिकोणीय- ओ ओ। 1) तीन मुख वाला । त्रिकोणीय फ़ाइल। टी एस संगीन। 2) गणित। एक बिंदु से गुजरने वाले तीन चेहरों के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्मित। त्रिकोणीय / एनवाई कोण ... कई भावों का शब्दकोश

कर्ण c, पैर a और b और समकोण C के साथ एक समकोण गोलाकार त्रिभुज। गोलाकार पायथागॉरियन प्रमेय एक प्रमेय है जो एक आयताकार की भुजाओं के बीच संबंध स्थापित करता है ... विकिपीडिया

उभयनिष्ठ शीर्ष और जोड़ीदार उभयनिष्ठ भुजाओं के साथ जो एक ही तल में स्थित नहीं हैं। इन कोणों का उभयनिष्ठ शीर्ष O त्रिभुज कोण का शीर्ष कहलाता है। कोनों के किनारों को किनारे कहा जाता है, त्रिकोणीय कोण के शीर्ष पर सपाट कोनों को इसके चेहरे कहा जाता है। त्रिकोणीय कोण के चेहरों के तीन जोड़े में से प्रत्येक एक डायहेड्रल कोण बनाता है (तीसरे चेहरे से घिरा हुआ है जो जोड़ी में शामिल नहीं है; यदि आवश्यक हो, तो यह प्रतिबंध स्वाभाविक रूप से हटा दिया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप पूरे डायहेड्रल बनाने वाले आवश्यक आधे-विमान होते हैं। कोण प्रतिबंध के बिना). यदि आप किसी त्रिफलकीय कोण के शीर्ष को एक गोले के केंद्र में रखते हैं, तो इसकी सतह पर इससे घिरा एक गोलाकार त्रिभुज बनता है, जिसकी भुजाएँ त्रिभुज कोण के समतल कोणों के बराबर होती हैं, और कोण इसके द्वितल कोणों के बराबर होते हैं .

त्रिकोणीय कोण के लिए त्रिभुज असमानता

त्रिभुज कोण का प्रत्येक समतल कोण इसके अन्य दो समतल कोणों के योग से कम होता है।

त्रिभुज कोण के समतल कोणों का योग

त्रिभुज कोण के समतल कोणों का योग 360 डिग्री से कम होता है।

सबूत

मान लीजिए OABC एक दिया हुआ त्रिफलकीय कोण है (चित्र 1 देखें)। ABO, ACO और कोण BAC द्वारा निर्मित शीर्ष A वाले त्रिफलकीय कोण पर विचार करें। आइए असमानता लिखें:

इसी प्रकार, शेष त्रिभुज कोणों के लिए शीर्ष बी और सी के साथ:

इन असमानताओं को जोड़ने और यह ध्यान में रखते हुए कि त्रिभुज ABC के कोणों का योग 180° है, हम प्राप्त करते हैं

इस तरह:

त्रिकोणीय कोण के लिए कोसाइन प्रमेय

एक त्रिकोणीय कोण दिया जाए (चित्र 2 देखें), α, β, γ - इसके समतल कोण, A, B, C - कोणों के विमानों द्वारा रचित β और γ, α और γ, α और β।

त्रिकोणीय कोण के लिए पहला कोसाइन प्रमेय: $\backslash cos\; (\backslash alpha)\; =\; \backslash cos\; (\backslash beta)\; \backslash cos\; (\backslash gamma)\; +\; \backslash sin\; (\backslash beta)\; \backslash sin\; (\backslash gamma)\; \backslash cos\; (ए)$

त्रिकोणीय कोण के लिए दूसरा कोसाइन प्रमेय: $\backslash cos\; (ए)\; =\; -\; \backslash cos\; (बी)\; \backslash cos\; (सी)\; +\; \backslash sin\; (बी)\; \backslash sin\; (सी)\; \backslash cos\; (\backslash alpha)\; ,$

त्रिकोणीय कोण के लिए द्वितीय कोसाइन प्रमेय का प्रमाण

माना OABC एक दिया हुआ त्रिफलकीय कोण है। आइए हम त्रिकोणीय कोण के आंतरिक बिंदु से उसके फलकों पर लम्ब डालते हैं और एक नया ध्रुवीय त्रिभुज कोण प्राप्त करते हैं (दिए गए एक के लिए दोहरा)। एक त्रिकोणीय कोण के फ्लैट कोण दूसरे के डायहेड्रल कोणों को पूरक करते हैं, और एक कोण के डायहेड्रल कोण 180 डिग्री तक दूसरे के फ्लैट वाले को पूरक करते हैं। अर्थात्, ध्रुवीय कोण के समतल कोण क्रमशः बराबर होते हैं: 180 - A; 180 - बी; 180 - सी, और डायहेड्रल - 180 - α; 180-β; 180-γ

आइए इसके लिए पहला कोसाइन प्रमेय लिखें

$\backslash cos\; ((\backslash pi\; -A))\; =\; \backslash cos\; ((\backslash pi\; -\; \backslash alpha))\; \backslash sin\; ((\backslash pi\; -\; B))\; \backslash sin\; ((\backslash pi\; -\; C))\; +$ $+\backslash cos\; ((\backslash pi\; -\; B))\; \backslash cos\; ((\backslash pi\; -\; C))$

और सरलीकरण के बाद हमें मिलता है:

$\backslash cos\; (ए)\; =\; \backslash cos\; (\backslash alpha)\; \backslash sin\; (बी)\; \backslash sin\; (सी)\; -\; \backslash cos\; (बी)\; \backslash cos\; (सी)$

त्रिकोणीय कोण के लिए ज्या प्रमेय

$(\backslash sin(\backslash alpha)\; \backslash over\; \backslash sin\; A)\; =\; (\backslash sin\; \backslash beta\; \backslash over\; \backslash sin\; B)\; =\; (\; \backslash sin\; \backslash gamma\; \backslash over\; \backslash sin\; C)$, जहां α, β, γ त्रिकोणीय कोण के समतल कोण हैं; ए, बी, सी - विपरीत डायहेड्रल कोण (चित्र 2 देखें)।

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त्रिकोणीय कोण को दर्शाने वाला एक अंश

- यह पेड़। बैठो, मधु, बैठो। एंटोनोव, अपना ओवरकोट पहन लो।
जंकर रोस्तोव थे। उसने दूसरे हाथ को एक हाथ से पकड़ रखा था, पीला पड़ गया था, और उसका निचला जबड़ा बुखार से काँप रहा था। उन्होंने उसे मतवेवना पर रखा, उसी बंदूक पर जिससे मृत अधिकारी को लिटाया गया था। लाइन वाले ओवरकोट पर खून लगा था, जिसमें रोस्तोव की पतलून और हाथ गंदे थे।
- क्या, तुम घायल हो, मेरे प्रिय? - रोस्तोव जिस बंदूक पर बैठा था, उसके पास आते हुए तुशिन ने कहा।
- नहीं, शेल-शॉक्ड।
- बिस्तर पर खून क्यों है? तुशिन ने पूछा।
"यह अधिकारी, आपका सम्मान, लहूलुहान," तोपखाने के सिपाही ने जवाब दिया, अपने ओवरकोट की आस्तीन से खून पोंछते हुए और जैसे कि बंदूक स्थित अशुद्धता के लिए माफी मांग रहा हो।
जबरन, पैदल सेना की मदद से, वे बंदूकें पहाड़ पर ले गए, और गुंटर्सडॉर्फ गांव में पहुंचकर रुक गए। यह पहले से ही इतना अंधेरा था कि दस कदम की दूरी पर सैनिकों की वर्दी को भेदना असंभव था, और झड़पें कम होने लगीं। अचानक दाहिनी ओर के करीब फिर से चीख-पुकार और फायरिंग सुनाई दी। शॉट्स से पहले ही अंधेरे में चमक गया। यह फ्रांसीसियों का अन्तिम आक्रमण था, जिसका उत्तर गाँव के घरों में बसे सैनिकों ने दिया। सब कुछ फिर से गाँव से बाहर चला गया, लेकिन तुशिन की बंदूकें नहीं चल सकीं, और बंदूकधारियों, तुशिन और कैडेट ने चुपचाप एक-दूसरे को देखा, अपने भाग्य की प्रतीक्षा कर रहे थे। गोलाबारी कम होने लगी और अनुप्राणित सैनिक बगल की गली से बाहर निकल आए।
- टसेल, पेट्रोव? एक ने पूछा।
- पूछा, भाई, गर्मी। अब वे नहीं आएंगे, दूसरे ने कहा।
- कुछ भी नहीं देखने के लिए। उन्होंने इसे अपने में कैसे तला! देखने के लिए नहीं; अंधेरा, भाइयों। क्या कोई पेय है?
फ्रांसीसी आखिरी बार खदेड़ दिए गए थे। और फिर से, पूर्ण अंधेरे में, तुशिन की बंदूकें, मानो गर्जन वाली पैदल सेना के एक फ्रेम से घिरी हुई थीं, कहीं आगे बढ़ गईं।
अंधेरे में, यह ऐसा था जैसे एक अदृश्य, उदास नदी बह रही थी, सभी एक दिशा में, फुसफुसाते हुए, आवाज़ें और खुरों और पहियों की आवाज़ें। सामान्य गड़गड़ाहट में, अन्य सभी ध्वनियों के कारण, रात के अंधेरे में घायलों के कराहने और आवाजें सबसे स्पष्ट थीं। उनके कराहने से ऐसा लग रहा था कि सैनिकों को घेरने वाला यह सारा अंधेरा भर गया है। उनकी कराहना और उस रात का अँधेरा एक ही था। कुछ देर बाद चलती भीड़ में भगदड़ मच गई। कोई सफेद घोड़े पर रिटिन्यू के साथ सवार हुआ और गाड़ी चलाते समय कुछ कहा। क्या कहा आपने? अब कहाँ जाएं? रहो, क्या? धन्यवाद, है ना? - हर तरफ से लालची सवाल सुने गए, और पूरे चलते हुए द्रव्यमान ने खुद को दबाना शुरू कर दिया (यह स्पष्ट है कि सामने वाले रुक गए), और एक अफवाह फैल गई कि इसे रोकने का आदेश दिया गया था। कीचड़ भरे रास्ते के बीच में चलते-चलते सभी रुक गए।
बत्तियां जल उठीं और आवाज तेज हो गई। कैप्टन तुशिन ने कंपनी को आदेश दिए, सैनिकों में से एक को कैडेट के लिए ड्रेसिंग स्टेशन या डॉक्टर की तलाश करने के लिए भेजा, और सैनिकों द्वारा सड़क पर बिछाई गई आग से बैठ गया। रोस्तोव ने भी खुद को आग के हवाले कर लिया। दर्द, ठंड और सीलन से कांपते हुए बुखार ने उसके पूरे शरीर को हिला दिया। नींद ने उसे बेकाबू कर दिया, लेकिन उसके दर्द और हाथ की स्थिति से बाहर होने के कष्टदायी दर्द के कारण वह सो नहीं सका। उसने या तो अपनी आँखें बंद कर लीं, या आग को देखा, जो उसे बहुत लाल लग रहा था, फिर तुशिन की झुकी हुई, कमजोर आकृति पर, जो उसके बगल में तुर्की शैली में बैठी थी। तुशिन की बड़ी, दयालु और बुद्धिमान आँखों ने उसे सहानुभूति और करुणा से भर दिया। उसने देखा कि तुशिन पूरे दिल से चाहता था और उसकी किसी भी तरह से मदद नहीं कर सकता था।

आइए हम तीन किरणों a, b, c पर विचार करें, जो एक ही बिंदु से निकलती हैं और एक ही तल में नहीं होती हैं। एक त्रिकोणीय कोण (एबीसी) "तीन फ्लैट कोण (एबी), (बीसी) और (एसी) (चित्र 2) से बना एक आकृति है। इन कोणों को त्रिकोणीय कोण के चेहरे कहा जाता है, और उनके पक्ष किनारे हैं, समतल कोणों का उभयनिष्ठ शीर्ष कहलाता है त्रिफलकीय कोण के फलकों से बने द्वितल कोण त्रिफलक कोण के द्विफलक कोण कहलाते हैं।

बहुफलकीय कोण की अवधारणा को इसी तरह परिभाषित किया गया है (चित्र 3)।

बहुतल

स्टीरियोमेट्री में, अंतरिक्ष में मौजूद आकृतियों, जिन्हें पिंड कहा जाता है, का अध्ययन किया जाता है। दृष्टिगत रूप से, एक (ज्यामितीय) पिंड की कल्पना एक भौतिक पिंड के कब्जे वाले स्थान के एक हिस्से के रूप में की जानी चाहिए और एक सतह से घिरा होना चाहिए।

एक पॉलीहेड्रॉन एक शरीर है जिसकी सतह में समतल बहुभुजों की एक सीमित संख्या होती है (चित्र 4)। एक पॉलीहेड्रॉन को उत्तल कहा जाता है यदि यह इसकी सतह पर प्रत्येक समतल बहुभुज के तल के एक तरफ स्थित होता है। ऐसे समतल का उभयनिष्ठ भाग और उत्तल बहुफलक की सतह को फलक कहते हैं। एक उत्तल बहुफलक के फलक समतल उत्तल बहुभुज होते हैं। फलकों की भुजाओं को बहुफलक के किनारे कहा जाता है, और शीर्षों को बहुफलक के शीर्ष कहा जाता है।

आइए हम समझाते हैं कि एक परिचित घन (चित्र 5) के उदाहरण पर क्या कहा गया था। घन एक उत्तल बहुफलक है। इसकी सतह छह वर्गों से बनी है: ABCD, BEFC, .... ये इसके फलक हैं। घन के किनारे इन वर्गों की भुजाएँ हैं: AB, BC, BE,.... घन के शीर्ष वर्गों के शीर्ष हैं: A, B, C, D, E, .... घन के छह फलक, बारह किनारे और आठ शीर्ष हैं।

सबसे सरल पॉलीहेड्रा - प्रिज्म और पिरामिड, जो हमारे अध्ययन का मुख्य उद्देश्य होगा - हम ऐसी परिभाषाएँ देंगे जो संक्षेप में शरीर की अवधारणा का उपयोग नहीं करती हैं। उन्हें अंतरिक्ष के सभी बिंदुओं के संकेत के साथ ज्यामितीय आकृतियों के रूप में परिभाषित किया जाएगा। सामान्य मामले में एक ज्यामितीय निकाय और इसकी सतह की अवधारणा बाद में दी जाएगी।