लघुगणक के मूल गुण, लघुगणक ग्राफ, परिभाषा का क्षेत्र, मानों का सेट, मूल सूत्र, बढ़ते और घटते हुए दिए गए हैं। लघुगणक का व्युत्पन्न ज्ञात करने पर विचार किया जाता है। साथ ही अभिन्न, शक्ति श्रृंखला विस्तार और जटिल संख्याओं का उपयोग करके प्रतिनिधित्व।

सामग्री

डोमेन, मानों का सेट, बढ़ रहा है, घट रहा है

लघुगणक एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन है, इसलिए इसका कोई चरम नहीं है। लघुगणक के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

कार्यक्षेत्र	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
मूल्यों की श्रृंखला	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
एक लय	नीरस रूप से बढ़ता है	नीरस रूप से घटता है
शून्य, y = 0	एक्स = 1	एक्स = 1
कोटि अक्ष के साथ बिंदुओं को अवरोधित करें, x = 0	नहीं	नहीं
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

निजी मूल्य

आधार 10 का लघुगणक कहलाता है दशमलव लघुगणकऔर इसे इस प्रकार दर्शाया गया है:

आधार का लघुगणक इबुलाया प्राकृतिक:

लघुगणक के लिए मूल सूत्र

व्युत्क्रम फलन की परिभाषा से उत्पन्न लघुगणक के गुण:

लघुगणक का मुख्य गुण और उसके परिणाम

आधार प्रतिस्थापन सूत्र

लघुगणक लघुगणक लेने की गणितीय संक्रिया है। लघुगणक लेते समय, कारकों के उत्पादों को पदों के योग में बदल दिया जाता है।
पोटेंशिएशन लघुगणक के विपरीत गणितीय संक्रिया है। पोटेंशिएशन के दौरान, किसी दिए गए आधार को अभिव्यक्ति की डिग्री तक बढ़ाया जाता है जिस पर पोटेंशिएशन किया जाता है। इस स्थिति में, पदों का योग कारकों के उत्पादों में बदल जाता है।

लघुगणक के लिए बुनियादी सूत्रों का प्रमाण

लघुगणक से संबंधित सूत्र घातांकीय फलनों के सूत्रों और व्युत्क्रम फलन की परिभाषा से अनुसरण करते हैं।

घातीय फ़ंक्शन की संपत्ति पर विचार करें
.
तब
.
आइए घातीय फ़ंक्शन की संपत्ति को लागू करें
:
.

आइए आधार प्रतिस्थापन सूत्र को सिद्ध करें।
;
.
सी = बी मानते हुए, हमारे पास है:

उलटा काम करना

आधार a के लघुगणक का व्युत्क्रम घातांक a के साथ एक घातांकीय फलन है।

तो अगर

तो अगर

लघुगणक का व्युत्पन्न

मापांक x के लघुगणक का व्युत्पन्न:
.
nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
सूत्र व्युत्पन्न करना > > >

लघुगणक का व्युत्पन्न ज्ञात करने के लिए, इसे आधार तक घटाया जाना चाहिए इ.
;
.

अभिन्न

लघुगणक के अभिन्न अंग की गणना भागों द्वारा एकीकृत करके की जाती है:।
इसलिए,

सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हुए व्यंजक

सम्मिश्र संख्या फलन पर विचार करें जेड:
.
आइए एक सम्मिश्र संख्या को व्यक्त करें जेडमॉड्यूल के माध्यम से आरऔर तर्क φ :
.
फिर, लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:
.
या

हालाँकि, तर्क φ विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं. यदि आप डालते हैं
, जहां n एक पूर्णांक है,
तो यह अलग-अलग के लिए एक ही संख्या होगी एन.

इसलिए, एक जटिल चर के एक फ़ंक्शन के रूप में लघुगणक, एकल-मूल्य वाला फ़ंक्शन नहीं है।

शक्ति शृंखला विस्तार

जब विस्तार होता है:

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।

यह सभी देखें:

विकिपीडिया से सामग्री - निःशुल्क विश्वकोश

परिभाषा एवं गुण

सम्मिश्र शून्य में लघुगणक नहीं होता क्योंकि सम्मिश्र घातांक शून्य का मान नहीं लेता। शून्येतर $जेड$प्रदर्शनात्मक रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

$z=r\; \backslash cdot\; e^(i\; (\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k))\backslash ;\backslash ;,$कहाँ $क$- मनमाना पूर्णांक

तब $\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z$सूत्र द्वारा पाया जाता है:

$\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z\; =\; \backslash ln\; r\; +\; i\; \backslash left(\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k\; \backslash right)$

यहाँ $\backslash ln\backslash ,r=\; \backslash ln\backslash ,|z|$- वास्तविक लघुगणक. इससे यह निष्कर्ष निकलता है:

$\backslash mathrm(Ln)\; (-x)\; =\; \backslash ln\; x\; +\; i\; \backslash pi\; (2\; k\; +\; 1)\; \backslash qquad\; (x>0,\backslash \; k\; =\; 0,\; \backslash pm\; 1,\; \backslash pm\; 2\; \backslash dots)$

जटिल लघुगणक मानों के उदाहरण

आइए लघुगणक का मुख्य मान प्रस्तुत करें ( $\backslash ln$) और इसकी सामान्य अभिव्यक्ति ( $\backslash mathrm(एलएन)$) कुछ तर्कों के लिए:

$\backslash ln\; (1)\; =\; 0;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (1)\; =\; 2k\backslash pi\; i$ $\backslash ln\; (-1)\; =\; i\; \backslash pi;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (-1)\; =\; (2k+1)i\; \backslash pi$ $\backslash ln\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(\backslash pi)\; (2);\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(4k+1)(2)\; \backslash pi$

जटिल लघुगणक को परिवर्तित करते समय आपको सावधान रहना चाहिए, यह ध्यान में रखते हुए कि वे बहु-मूल्यवान हैं, और इसलिए किसी भी अभिव्यक्ति के लघुगणक की समानता इन अभिव्यक्तियों की समानता का संकेत नहीं देती है। उदाहरण ग़लततर्क:

$i\backslash pi\; =\; \backslash ln(-1)\; =\; \backslash ln((-i)^2)\; =\; 2\backslash ln(-i)\; =\; 2(-i\backslash pi/2)\; =\; -i\backslash pi$- एक स्पष्ट गलती.

ध्यान दें कि बाईं ओर लघुगणक का मुख्य मान है, और दाईं ओर अंतर्निहित शाखा का मान है ( $क=-1$). त्रुटि का कारण संपत्ति का लापरवाह उपयोग है $\backslash log\_a((b^p))\; =\; p~\backslash log\_a\; b$, जो, आम तौर पर बोलते हुए, जटिल मामले में लघुगणक के मानों के संपूर्ण अनंत सेट को दर्शाता है, न कि केवल मुख्य मान को।

जटिल लघुगणकीय फ़ंक्शन और रीमैन सतह

इसकी सरलता से जुड़ी होने के कारण, लघुगणक की रीमैन सतह एक बिंदु के बिना जटिल विमान के लिए एक सार्वभौमिक आवरण है $0$.

विश्लेषणात्मक निरंतरता

किसी जटिल संख्या के लघुगणक को संपूर्ण जटिल तल पर वास्तविक लघुगणक की विश्लेषणात्मक निरंतरता के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। चलो वक्र $\backslash गामा$एक से शुरू होता है, शून्य से होकर नहीं जाता है और वास्तविक अक्ष के नकारात्मक भाग को पार नहीं करता है। फिर अंतिम बिंदु पर लघुगणक का मुख्य मान $डब्ल्यू$टेढ़ा $\backslash गामा$सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:

$\backslash ln\; z\; =\; \backslash int\backslash limits\_\backslash Gamma\; (du\; \backslash over\; u)$

अगर $\backslash गामा$- एक साधारण वक्र (स्वयं-प्रतिच्छेदन के बिना), फिर उस पर पड़ी संख्याओं के लिए, लघुगणकीय पहचान का उपयोग बिना किसी डर के किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:

$\backslash ln\; (wz)\; =\; \backslash ln\; w\; +\; \backslash ln\; z,\; ~\backslash forall\; z,w\backslash in\backslash Gamma\backslash colon\; zw\backslash in\; \backslash Gamma$

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की मुख्य शाखा वास्तविक अक्ष के नकारात्मक भाग को छोड़कर, पूरे जटिल विमान पर निरंतर और भिन्न होती है, जिस पर काल्पनिक भाग अचानक बदल जाता है $2\backslash pi$. लेकिन यह तथ्य अंतराल द्वारा मुख्य मूल्य के काल्पनिक भाग की कृत्रिम सीमा का परिणाम है $(-\backslash pi,\; \backslash pi]$. यदि हम फ़ंक्शन की सभी शाखाओं पर विचार करते हैं, तो निरंतरता शून्य को छोड़कर सभी बिंदुओं पर होती है, जहां फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है। यदि आप वक्र को हल करते हैं $\backslash गामा$वास्तविक अक्ष के नकारात्मक भाग को पार करें, फिर पहला ऐसा चौराहा परिणाम को मुख्य मान शाखा से आसन्न शाखा में स्थानांतरित करता है, और प्रत्येक बाद का चौराहा लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की शाखाओं के साथ एक समान बदलाव का कारण बनता है (आंकड़ा देखें)।

विश्लेषणात्मक निरंतरता सूत्र से यह निम्नानुसार है कि लघुगणक की किसी भी शाखा पर:

$\backslash frac(d)(dz)\; \backslash ln\; z\; =\; (1\backslash over\; z)$

किसी भी सर्कल के लिए $एस$, बिंदु को कवर करते हुए $0$:

$\backslash oint\backslash limits\_S\; (dz\; \backslash over\; z)\; =\; 2\backslash pi\; i$

अभिन्न को सकारात्मक दिशा (वामावर्त) में लिया जाता है। यह पहचान अवशेषों के सिद्धांत को रेखांकित करती है।

वास्तविक मामले के लिए ज्ञात श्रृंखला का उपयोग करके जटिल लघुगणक की विश्लेषणात्मक निरंतरता को भी परिभाषित किया जा सकता है:

{{{2}}}

(पंक्ति 1)

{{{2}}}

(पंक्ति 2)

हालाँकि, इन श्रृंखलाओं के स्वरूप से यह पता चलता है कि एक पर श्रृंखला का योग शून्य के बराबर है, अर्थात श्रृंखला केवल जटिल लघुगणक के बहुमूल्यवान फ़ंक्शन की मुख्य शाखा से संबंधित है। दोनों श्रृंखलाओं के अभिसरण की त्रिज्या 1 है।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय और अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के साथ संबंध

$\backslash ऑपरेटरनाम(आर्क्सिन)\; z\; =\; -i\; \backslash ऑपरेटरनाम(Ln)\; (i\; z\; +\; \backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatorname(Arccos)\; z\; =\; -i\; \backslash operatorname(Ln)\; (z\; +\; i\backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatorname(Arctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(1+z\; i)(1-z\; i)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatorname(Arcctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(z\; i-1)(z\; i+1)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash ऑपरेटरनाम(Arsh)z\; =\; \backslash ऑपरेटरनाम(Ln)(z+\backslash sqrt(z^2+1))$- व्युत्क्रम अतिपरवलयिक ज्या $\backslash operatorname(Arch)z=\backslash operatorname(Ln)\; \backslash left(z+\backslash sqrt(z^(2)-1)\; \backslash right)$- व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन $\backslash operatorname(Arth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatorname(Ln)\backslash left(\backslash frac(1+z)(1-z)\backslash right)$- व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शज्या $\backslash operatorname(Arcth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatorname(Ln)\backslash left(\backslash frac(z+1)(z-1)\backslash right)$- व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण कोटैंजेंट

ऐतिहासिक रेखाचित्र

लघुगणक को जटिल संख्याओं तक विस्तारित करने का पहला प्रयास 17वीं-18वीं शताब्दी के अंत में लीबनिज़ और जोहान बर्नौली द्वारा किया गया था, लेकिन वे एक समग्र सिद्धांत बनाने में विफल रहे, मुख्यतः क्योंकि लघुगणक की अवधारणा अभी तक स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं हुई थी। इस मुद्दे पर चर्चा सबसे पहले लाइबनिज़ और बर्नौली के बीच हुई, और 18वीं शताब्दी के मध्य में डी'अलेम्बर्ट और यूलर के बीच हुई। बर्नौली और डी'अलेम्बर्ट का मानना ​​था कि इसे निर्धारित किया जाना चाहिए $\backslash लॉग(-x)\; =\; \backslash लॉग(x)$, जबकि लीबनिज ने सिद्ध किया कि ऋणात्मक संख्या का लघुगणक एक काल्पनिक संख्या है। ऋणात्मक और सम्मिश्र संख्याओं के लघुगणक का पूरा सिद्धांत यूलर द्वारा 1747-1751 में प्रकाशित किया गया था और यह मूलतः आधुनिक सिद्धांत से भिन्न नहीं है। यद्यपि बहस जारी रही (डी'अलेम्बर्ट ने अपने दृष्टिकोण का बचाव किया और अपने विश्वकोश और अन्य कार्यों में एक लेख में विस्तार से तर्क दिया), यूलर के दृष्टिकोण को 18 वीं शताब्दी के अंत तक सार्वभौमिक मान्यता प्राप्त हुई।

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साहित्य

लघुगणक का सिद्धांत

• कोर्न जी., कोर्न टी.. - एम.: नौका, 1973. - 720 पी।
• स्वेशनिकोव ए.जी., तिखोनोव ए.एन.एक जटिल चर के कार्यों का सिद्धांत. - एम.: नौका, 1967. - 304 पी।
• फिख्तेनगोल्ट्स जी.एम.डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस का कोर्स। - ईडी। छठा. - एम.: नौका, 1966. - 680 पी।

लघुगणक का इतिहास

• 18वीं सदी का गणित // / ए. पी. युशकेविच द्वारा संपादित, तीन खंडों में। - एम.: विज्ञान, 1972. - टी. III.
• कोलमोगोरोव ए.एन., युशकेविच ए.पी. (संस्करण)। 19वीं सदी का गणित. ज्यामिति। विश्लेषणात्मक कार्यों का सिद्धांत. - एम.: विज्ञान, 1981. - टी. II.

टिप्पणियाँ

1. लघुगणकीय कार्य. // . - एम.: सोवियत इनसाइक्लोपीडिया, 1982. - टी. 3.
2. , खंड II, पृ. 520-522..
3. , साथ। 623..
4. , साथ। 92-94..
5. , साथ। 45-46, 99-100..
6. बोल्ट्यांस्की वी.जी., एफ़्रेमोविच वी.ए.. - एम.: नौका, 1982. - पी. 112. - (क्वांट लाइब्रेरी, अंक 21)।
7. , खंड II, पृ. 522-526..
8. , साथ। 624..
9. , साथ। 325-328..
10. रब्बनिकोव के.ए.गणित का इतिहास. दो खंडों में. - एम.: पब्लिशिंग हाउस। मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी, 1963. - टी. II. - पृ. 27, 230-231..
11. , साथ। 122-123..
12. क्लेन एफ.. - एम.: विज्ञान, 1987. - टी. II. ज्यामिति। - पृ. 159-161. - 416 एस.

जटिल लघुगणक की विशेषता बताने वाला एक अंश

यह स्पष्ट था कि यह मजबूत, अजीब आदमी उस अंधेरे, सुंदर, प्यार करने वाली लड़की द्वारा उस पर डाले गए अनूठे प्रभाव के तहत था।
रोस्तोव ने डोलोखोव और सोन्या के बीच कुछ नया देखा; लेकिन उन्होंने खुद को परिभाषित नहीं किया कि यह किस तरह का नया रिश्ता था। "वे सभी वहां किसी से प्यार करते हैं," उसने सोन्या और नताशा के बारे में सोचा। लेकिन वह सोन्या और डोलोखोव के साथ पहले की तरह सहज नहीं था और वह घर पर कम ही रहने लगा।
1806 की शरद ऋतु के बाद से, हर कोई फिर से नेपोलियन के साथ युद्ध के बारे में पिछले साल से भी अधिक उत्साह से बात करने लगा। न केवल रंगरूटों को नियुक्त किया गया, बल्कि एक हजार में से 9 और योद्धाओं को भी नियुक्त किया गया। हर जगह उन्होंने बोनापार्ट को अभिशाप दिया, और मॉस्को में केवल आगामी युद्ध के बारे में चर्चा हुई। रोस्तोव परिवार के लिए, युद्ध की इन तैयारियों का पूरा हित केवल इस तथ्य में निहित था कि निकोलुश्का कभी भी मास्को में रहने के लिए सहमत नहीं होगा और छुट्टियों के बाद उसके साथ रेजिमेंट में जाने के लिए केवल डेनिसोव की छुट्टी खत्म होने का इंतजार कर रहा था। आगामी प्रस्थान ने न केवल उसे मौज-मस्ती करने से नहीं रोका, बल्कि उसे ऐसा करने के लिए प्रोत्साहित भी किया। उन्होंने अपना अधिकांश समय घर से बाहर, रात्रिभोज, शाम और गेंदों पर बिताया।

ग्यारहवीं
क्रिसमस के तीसरे दिन, निकोलाई ने घर पर भोजन किया, जो हाल ही में उनके साथ शायद ही कभी हुआ हो। यह आधिकारिक तौर पर एक विदाई रात्रिभोज था, क्योंकि वह और डेनिसोव एपिफेनी के बाद रेजिमेंट के लिए जा रहे थे। डोलोखोव और डेनिसोव सहित लगभग बीस लोग दोपहर का भोजन कर रहे थे।
रोस्तोव हाउस में कभी भी प्यार की हवा, प्यार का माहौल इतनी ताकत से महसूस नहीं हुआ जितना इन छुट्टियों में हुआ। “खुशी के क्षणों को पकड़ें, अपने आप को प्यार करने के लिए मजबूर करें, खुद से प्यार करें! संसार में केवल यही एक चीज़ वास्तविक है - बाकी सब बकवास है। और हम यहां यही सब कर रहे हैं,'' माहौल ने कहा। निकोलाई, हमेशा की तरह, दो जोड़ी घोड़ों को प्रताड़ित करने के बाद और उन सभी जगहों पर जाने का समय नहीं होने के कारण जहां उसे जाना था और जहां उसे बुलाया गया था, दोपहर के भोजन से ठीक पहले घर पहुंचे। जैसे ही उन्होंने प्रवेश किया, उन्होंने घर में तनावपूर्ण, प्रेमपूर्ण माहौल देखा और महसूस किया, लेकिन उन्होंने समाज के कुछ सदस्यों के बीच एक अजीब भ्रम भी देखा। सोन्या, डोलोखोव, बूढ़ी काउंटेस और छोटी नताशा विशेष रूप से उत्साहित थीं। निकोलाई को एहसास हुआ कि सोन्या और डोलोखोव के बीच रात्रिभोज से पहले कुछ होने वाला था, और अपने हृदय की विशिष्ट संवेदनशीलता के कारण रात्रिभोज के दौरान उन दोनों के साथ व्यवहार करते समय वह बहुत सौम्य और सावधान था। छुट्टियों के तीसरे दिन की उसी शाम को योगेल (नृत्य शिक्षक) में उन गेंदों में से एक होनी थी, जो उन्होंने अपने सभी छात्रों और महिला छात्रों को छुट्टियों पर दी थी।
- निकोलेन्का, क्या तुम योगेल जाओगे? कृपया जाएँ,'' नताशा ने उससे कहा, ''उसने विशेष रूप से आपसे पूछा था, और वासिली दिमित्रिच (यह डेनिसोव था) जा रहा है।''
"मिस्टर एथेना के आदेश पर मैं जहां भी जाता हूं!" डेनिसोव ने कहा, जिसने मजाक में खुद को रोस्तोव हाउस में नाइट नताशा के पैर पर रखा था, "पस दे चले [शॉल के साथ नृत्य] नृत्य करने के लिए तैयार है।"
- अगर मेरे पास समय है तो! निकोलाई ने कहा, "मैंने अरखारोव से वादा किया था, यह उनकी शाम है।"
"और आप?..." वह डोलोखोव की ओर मुड़ा। और अभी मैंने यह पूछा, मैंने देखा कि यह नहीं पूछा जाना चाहिए था।
"हाँ, हो सकता है..." डोलोखोव ने सोन्या की ओर देखते हुए ठंडे और गुस्से से उत्तर दिया और, भौंहें चढ़ाते हुए, बिल्कुल उसी नज़र से जैसे उसने क्लब डिनर में पियरे को देखा था, उसने फिर से निकोलाई की ओर देखा।
"वहाँ कुछ है," निकोलाई ने सोचा, और इस धारणा की पुष्टि इस तथ्य से हुई कि डोलोखोव रात के खाने के तुरंत बाद चला गया। उन्होंने नताशा को फोन किया और पूछा कि यह क्या है?
नताशा ने उसकी ओर दौड़ते हुए कहा, "मैं तुम्हें ढूंढ रही थी।" "मैंने तुमसे कहा था, तुम अब भी विश्वास नहीं करना चाहते," उसने विजयी भाव से कहा, "उसने सोन्या को प्रस्ताव दिया।"
इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि इस दौरान निकोलाई ने सोन्या के साथ कितना कम किया, जब उसने यह सुना तो उसे कुछ महसूस हुआ। डोलोखोव दहेज-मुक्त अनाथ सोन्या के लिए एक सभ्य और कुछ मामलों में एक शानदार मैच था। पुरानी काउंटेस और दुनिया के दृष्टिकोण से, उसे मना करना असंभव था। और इसलिए जब निकोलाई ने यह सुना तो पहली भावना सोन्या के प्रति क्रोध की थी। वह कहने की तैयारी कर रहा था: "और बढ़िया, निःसंदेह, हमें अपने बचपन के वादों को भूल जाना चाहिए और प्रस्ताव स्वीकार करना चाहिए"; लेकिन उसके पास अभी तक यह कहने का समय नहीं था...
- आप समझ सकते हैं! उसने मना कर दिया, बिल्कुल मना कर दिया! – नताशा बोली. थोड़ी देर की चुप्पी के बाद उसने कहा, "उसने कहा कि वह किसी और से प्यार करती है।"
"हाँ, मेरी सोन्या अन्यथा कुछ नहीं कर सकती थी!" निकोलाई ने सोचा।
"चाहे मेरी माँ ने उससे कितना भी पूछा, उसने मना कर दिया, और मुझे पता है कि उसने जो कहा वह नहीं बदलेगी...
- और माँ ने उससे पूछा! - निकोलाई ने तिरस्कारपूर्वक कहा।
"हाँ," नताशा ने कहा। - तुम्हें पता है, निकोलेंका, नाराज़ मत हो; लेकिन मैं जानती हूं कि तुम उससे शादी नहीं करोगे. मैं जानता हूं, भगवान जाने क्यों, मैं निश्चित रूप से जानता हूं, तुम शादी नहीं करोगे।
"ठीक है, आप यह नहीं जानते," निकोलाई ने कहा; - लेकिन मुझे उससे बात करनी है। यह सोन्या कितनी सुंदर है! - उसने मुस्कुराते हुए जोड़ा।
- यह बहुत प्यारा है! मेरे द्वारा ये तुमको भेज दिया जाएगा। - और नताशा अपने भाई को चूमते हुए भाग गई।
एक मिनट बाद सोन्या भयभीत, भ्रमित और दोषी होकर अंदर आई। निकोलाई उसके पास आये और उसका हाथ चूमा। इस दौरे पर यह पहली बार था जब उन्होंने आमने-सामने बैठकर अपने प्यार के बारे में बात की।
“सोफी,” उसने पहले तो डरपोक होकर कहा, और फिर अधिकाधिक साहसपूर्वक कहा, “यदि तुम न केवल एक शानदार, लाभदायक मैच को अस्वीकार करना चाहती हो; लेकिन वह एक अद्भुत, नेक आदमी है... वह मेरा दोस्त है...
सोन्या ने उसे रोका।
"मैंने पहले ही मना कर दिया था," उसने जल्दी से कहा।
- अगर तुम मेरे लिए मना करोगे, तो मुझे डर है कि मुझ पर...
सोन्या ने उसे फिर टोका। उसने याचना, भयभीत आँखों से उसकी ओर देखा।
"निकोलस, मुझे यह मत बताओ," उसने कहा।
- नहीं, मुझे करना होगा। शायद यह मेरी ओर से पर्याप्तता [अहंकार] है, लेकिन यह कहना बेहतर है। अगर तुम मेरे लिए मना करोगे तो मुझे तुम्हें पूरी सच्चाई बतानी पड़ेगी। मैं तुमसे प्यार करता हूँ, मुझे लगता है, किसी से भी ज्यादा...
"यह मेरे लिए काफी है," सोन्या ने शरमाते हुए कहा।
- नहीं, लेकिन मुझे हज़ारों बार प्यार हुआ है और प्यार होता रहेगा, हालाँकि मेरे मन में किसी के लिए दोस्ती, विश्वास, प्यार की ऐसी भावना नहीं है जितनी आपके प्रति है। फिर मैं जवान हूं. मामन यह नहीं चाहती. खैर, बात सिर्फ इतनी है कि मैं कोई वादा नहीं करता। और मैं आपसे डोलोखोव के प्रस्ताव के बारे में सोचने के लिए कहता हूं,'' उन्होंने अपने मित्र का अंतिम नाम उच्चारण करने में कठिनाई महसूस करते हुए कहा।
- मुझे वह मत बताओ. मुझे कुछ नहीँ चाहिए। मैं तुम्हें एक भाई की तरह प्यार करता हूं, और हमेशा तुमसे प्यार करता रहूंगा, और मुझे इससे ज्यादा कुछ नहीं चाहिए।
“तुम फ़रिश्ते हो, मैं तुम्हारे लायक नहीं, पर बस तुम्हें धोखा देने से डरता हूँ।” - निकोलाई ने फिर से उसका हाथ चूमा।

मॉस्को में योगेल की गेंदें सबसे मज़ेदार थीं। यह वही बात थी जो माताओं ने अपनी किशोरियों [लड़कियों] को नए सीखे हुए कदम उठाते हुए देखकर कही थी; यह स्वयं किशोरों और किशोरों द्वारा कहा गया था, [लड़कियां और लड़के] जो गिरने तक नृत्य करते थे; ये वयस्क लड़कियाँ और युवा पुरुष जो इन गेंदों पर कृपालु होने और उनमें सबसे अच्छा मज़ा खोजने के विचार से आए थे। एक ही साल में इन गेंदों पर दो शादियां हुईं. गोरचकोव की दो सुंदर राजकुमारियों को प्रेमी मिले और उन्होंने शादी कर ली, और इससे भी अधिक उन्होंने इन गेंदों को महिमा में लॉन्च किया। इन गेंदों के बारे में विशेष बात यह थी कि वहां कोई मेज़बान और परिचारिका नहीं थी: वहाँ अच्छे स्वभाव वाला योगेल था, जैसे पंख उड़ाना, कला के नियमों के अनुसार इधर-उधर घूमना, जिसने अपने सभी मेहमानों से पाठ के लिए टिकट स्वीकार किए; क्या केवल वे लोग ही इन गेंदों में जाना चाहते हैं जो नृत्य करना और मौज-मस्ती करना चाहते हैं, जैसे कि 13 और 14 साल की लड़कियां जो पहली बार लंबे कपड़े पहनती हैं। दुर्लभ अपवादों को छोड़कर हर कोई सुंदर था या लग रहा था: वे सभी बहुत उत्साह से मुस्कुराए और उनकी आँखें बहुत चमक उठीं। कभी-कभी सबसे अच्छे छात्र भी पास दे चले नृत्य करते थे, जिनमें से सबसे अच्छी नताशा थी, जो अपनी सुंदरता से प्रतिष्ठित थी; लेकिन इस आखिरी गेंद पर केवल इकोसेज़, एंग्लिसेज़ और माजुरका, जो अभी फैशन में आ रहे थे, नृत्य किया गया। योगेल द्वारा हॉल को बेजुखोव के घर ले जाया गया, और गेंद एक बड़ी सफलता थी, जैसा कि सभी ने कहा। वहाँ बहुत सारी सुंदर लड़कियाँ थीं, और रोस्तोव महिलाएँ उनमें से सर्वश्रेष्ठ थीं। वे दोनों विशेष रूप से खुश और प्रसन्न थे। उस शाम, सोन्या, डोलोखोव के प्रस्ताव, उसके इनकार और निकोलाई के साथ स्पष्टीकरण पर गर्व करते हुए, अभी भी घर पर घूम रही थी, लड़की को अपनी चोटी पूरी करने की अनुमति नहीं दे रही थी, और अब वह लगातार खुशी से चमक रही थी।
नताशा, इस बात से कम गर्वित नहीं थी कि उसने पहली बार असली गेंद पर लंबी पोशाक पहनी थी, और भी अधिक खुश थी। दोनों ने गुलाबी रिबन के साथ सफेद मलमल की पोशाक पहनी हुई थी।
गेंद में प्रवेश करते ही नताशा को उससे प्यार हो गया। वह किसी से विशेष प्रेम नहीं करती थी, बल्कि वह सभी से प्रेम करती थी। जिस पर उसने तुरंत नज़र डाली, वह वही था जिससे वह प्यार करती थी।
- ओह, कितना अच्छा! - वह सोन्या के पास दौड़ते हुए कहती रही।
निकोलाई और डेनिसोव हॉल में घूमते रहे, नर्तकियों को स्नेहपूर्वक और संरक्षणपूर्वक देखते रहे।
"वह कितनी प्यारी होगी," डेनिसोव ने कहा।
- कौन?
"एथेना नताशा," डेनिसोव ने उत्तर दिया।
"और वह कैसे नाचती है, क्या गज़ब का माहौल है!" थोड़ी चुप्पी के बाद, उसने फिर कहा।
- आप किसके बारे में बात कर रहे हैं?
"तुम्हारी बहन के बारे में," डेनिसोव गुस्से से चिल्लाया।
रोस्तोव मुस्कुराया।
- मोन चेर कॉम्टे; वौस एट्स एल'अन डे मेस मेइलेर्स इकोलियर्स, इल फाउट क्यू वौस डेन्सिएज़,' छोटे जोगेल ने निकोलाई के पास आते हुए कहा। 'वोयेज़ कॉम्बिएन डे जोलीज़ डेमोइसेलेस।' [मेरे प्रिय काउंट, आप मेरे सबसे अच्छे छात्रों में से एक हैं। आपको नृत्य करने की ज़रूरत है। देखो कितनी सुंदर लड़कियाँ हैं!] - उन्होंने अपने पूर्व छात्र डेनिसोव से भी यही अनुरोध किया।
डेनिसोव ने कहा, "नॉन, मोन चेर, जे फ़े"ऐ टेपिसे" यानी, [नहीं, मेरे प्रिय, मैं दीवार के पास बैठूंगा।" "क्या तुम्हें याद नहीं कि मैंने तुम्हारे पाठों का कितना बुरा उपयोग किया?"
- अरे नहीं! - जोगेल ने जल्दी से उसे सांत्वना देते हुए कहा। - आप बस असावधान थे, लेकिन आपके पास क्षमताएं थीं, हां, आपके पास क्षमताएं थीं।
नवप्रवर्तित माजुरका बजाया गया; निकोलाई योगेल को मना नहीं कर सके और सोन्या को आमंत्रित किया। डेनिसोव बूढ़ी महिलाओं के बगल में बैठ गया और, अपनी कृपाण पर अपनी कोहनी झुकाकर, अपनी ताल पर मुहर लगाते हुए, खुशी से कुछ बताया और नाचते युवाओं को देखकर बूढ़ी महिलाओं को हँसाया। पहले जोड़े में योगेल ने अपनी शान और सबसे अच्छी छात्रा नताशा के साथ नृत्य किया। धीरे से, कोमलता से अपने पैरों को अपने जूतों में हिलाते हुए, योगेल नताशा के साथ हॉल में उड़ने वाला पहला व्यक्ति था, जो डरपोक थी, लेकिन लगन से कदम उठा रही थी। डेनिसोव ने उस पर से अपनी नज़रें नहीं हटाईं और अपनी कृपाण से ताल पर प्रहार किया, एक ऐसी उपस्थिति के साथ जिसने स्पष्ट रूप से कहा कि वह स्वयं केवल इसलिए नृत्य नहीं करता था क्योंकि वह नहीं चाहता था, और इसलिए नहीं कि वह नहीं कर सकता था। आकृति के बीच में, उसने रोस्तोव को, जो पास से गुजर रहा था, अपने पास बुलाया।
"यह बिल्कुल भी वैसा नहीं है," उन्होंने कहा। - क्या यह पोलिश माजुरका है? और वह उत्कृष्ट नृत्य करती है। - यह जानते हुए कि डेनिसोव पोलिश माजुरका नृत्य में अपने कौशल के लिए पोलैंड में भी प्रसिद्ध था, निकोलाई नताशा के पास भागे:
- जाओ और डेनिसोव को चुनो। यहाँ वह नाच रहा है! चमत्कार! - उसने कहा।
जब नताशा की बारी फिर से आई, तो वह खड़ी हो गई और जल्दी से अपने जूतों में उंगलियाँ हिलाते हुए, डरपोक होकर, अकेले हॉल से उस कोने तक भाग गई जहाँ डेनिसोव बैठा था। उसने देखा कि हर कोई उसकी ओर देख रहा था और इंतज़ार कर रहा था। निकोलाई ने देखा कि डेनिसोव और नताशा मुस्कुराते हुए बहस कर रहे थे, और डेनिसोव मना कर रहा था, लेकिन खुशी से मुस्कुरा रहा था। वह ऊपर भागा.
"कृपया, वसीली दिमित्रिच," नताशा ने कहा, "चलो, कृपया।"
"हाँ, यही बात है, गैथेना," डेनिसोव ने कहा।
"ठीक है, यह काफी है, वास्या," निकोलाई ने कहा।
डेनिसोव ने मजाक में कहा, "ऐसा लगता है जैसे वे बिल्ली वास्का को मनाने की कोशिश कर रहे हैं।"
नताशा ने कहा, "मैं पूरी शाम आपके लिए गाऊंगी।"
- जादूगरनी मेरे साथ कुछ भी करेगी! - डेनिसोव ने कहा और अपनी कृपाण खोल दी। वह कुर्सियों के पीछे से बाहर आया, मजबूती से अपनी महिला का हाथ पकड़ा, अपना सिर उठाया और अपना पैर नीचे रखा, चतुराई की प्रतीक्षा करने लगा। केवल घोड़े पर और मज़ारका में, डेनिसोव का छोटा कद दिखाई नहीं दे रहा था, और वह वही युवा व्यक्ति लग रहा था जैसा वह खुद को महसूस करता था। बीट की प्रतीक्षा करने के बाद, उसने अपनी महिला को बगल से विजयी और चंचलता से देखा, अचानक एक पैर थपथपाया और, एक गेंद की तरह, फर्श से उछल गया और अपनी महिला को अपने साथ खींचते हुए एक घेरे में उड़ गया। वह चुपचाप एक पैर पर आधे हॉल में उड़ गया, और ऐसा लगा कि उसने अपने सामने खड़ी कुर्सियाँ नहीं देखीं और सीधे उनकी ओर दौड़ पड़ा; लेकिन अचानक, अपने स्पर्स पर क्लिक करते हुए और अपने पैरों को फैलाते हुए, वह अपनी एड़ियों पर रुक गया, एक सेकंड के लिए वहीं खड़ा रहा, स्पर्स की गर्जना के साथ, अपने पैरों को एक जगह पर पटक दिया, जल्दी से घूम गया और, अपने दाहिने पैर को अपने बाएं पैर से क्लिक करते हुए, फिर से एक घेरे में उड़ गया. नताशा ने अनुमान लगाया कि वह क्या करने का इरादा रखता है, और, बिना जाने कैसे, वह उसके पीछे चली गई - खुद को उसके सामने समर्पित कर दिया। अब उसने उसका चक्कर लगाया, अब अपनी दाहिनी ओर, अब अपने बाएँ हाथ पर, अब अपने घुटनों के बल गिरते हुए, उसने उसे अपने चारों ओर घेरा, और फिर से वह उछला और इतनी तेजी से आगे की ओर भागा, मानो वह सभी कमरों में दौड़ने का इरादा रखता हो बिना सांस लिए; फिर अचानक वह रुका और फिर से एक नया और अप्रत्याशित घुटना बनाया। जब उसने तेजी से महिला को उसकी जगह के सामने घुमाते हुए, उसके सामने झुकते हुए अपना स्पर तोड़ दिया, तो नताशा ने उसके लिए जरा भी उत्सुकता नहीं दिखाई। वह हैरानी से उसे देखती रही, मुस्कुराती रही जैसे वह उसे पहचानती ही न हो। - यह क्या है? - उसने कहा।
इस तथ्य के बावजूद कि योगेल ने इस माजुरका को असली के रूप में नहीं पहचाना, हर कोई डेनिसोव के कौशल से खुश था, उन्होंने उसे लगातार चुनना शुरू कर दिया और बूढ़े लोग मुस्कुराते हुए पोलैंड और अच्छे पुराने दिनों के बारे में बात करने लगे। डेनिसोव, माजुरका से बह गया और खुद को रूमाल से पोंछते हुए, नताशा के बगल में बैठ गया और पूरी गेंद के दौरान उसका साथ नहीं छोड़ा।

परिभाषा एवं गुण

सम्मिश्र शून्य में लघुगणक नहीं होता क्योंकि सम्मिश्र घातांक शून्य का मान नहीं लेता। शून्येतर texvc प्रदर्शनात्मक रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; गणित/रीडमी देखें - सेटअप में सहायता।): z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;,कहाँ अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): के- मनमाना पूर्णांक

तब अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): \mathrm(Ln)\,zसूत्र द्वारा पाया जाता है:

अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; गणित/रीडमी देखें - सेटअप में सहायता।): \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)

यहाँ अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): \ln\,r= \ln\,|z|- वास्तविक लघुगणक. इससे यह निष्कर्ष निकलता है:

सूत्र से स्पष्ट है कि अंतराल में एक और केवल एक मान का काल्पनिक भाग होता है अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvc . इस मान को कहा जाता है मुख्य महत्वजटिल प्राकृतिक लघुगणक. संबंधित (पहले से ही स्पष्ट) फ़ंक्शन को कहा जाता है मुख्य शाखालघुगणक तथा निरूपित किया जाता है अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): \ln\,z. कभी-कभी के माध्यम से अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): \ln\, zउस लघुगणक के मान को भी निरूपित करें जो मुख्य शाखा पर स्थित नहीं है। अगर अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): zएक वास्तविक संख्या है, तो उसके लघुगणक का मुख्य मान सामान्य वास्तविक लघुगणक से मेल खाता है।

उपरोक्त सूत्र से यह भी पता चलता है कि लघुगणक का वास्तविक भाग तर्क के घटकों के माध्यम से निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है:

अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप में सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): \operatorname(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

चित्र से पता चलता है कि घटकों के कार्य के रूप में वास्तविक भाग केंद्रीय रूप से सममित है और केवल मूल से दूरी पर निर्भर करता है। यह वास्तविक लघुगणक के ग्राफ़ को ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त किया जाता है। जैसे-जैसे यह शून्य के करीब पहुंचता है, फ़ंक्शन की प्रवृत्ति बढ़ती जाती है अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; गणित/रीडमी देखें - सेटअप में सहायता।): -\infty।

ऋणात्मक संख्या का लघुगणक सूत्र द्वारा पाया जाता है:

अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1 ,\ अपराह्न 2\बिंदु)

जटिल लघुगणक मानों के उदाहरण

आइए लघुगणक का मुख्य मान प्रस्तुत करें ( अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): \ln) और इसकी सामान्य अभिव्यक्ति ( अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): \mathrm(Ln)) कुछ तर्कों के लिए:

अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; गणित/रीडमी देखें - सेटअप में सहायता।): \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

जटिल लघुगणक को परिवर्तित करते समय आपको सावधान रहना चाहिए, यह ध्यान में रखते हुए कि वे बहु-मूल्यवान हैं, और इसलिए किसी भी अभिव्यक्ति के लघुगणक की समानता इन अभिव्यक्तियों की समानता का संकेत नहीं देती है। उदाहरण ग़लततर्क:

अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; गणित/रीडमी देखें - सेटअप में सहायता।): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2 ) = -i\pi- एक स्पष्ट गलती.

ध्यान दें कि बाईं ओर लघुगणक का मुख्य मान है, और दाईं ओर अंतर्निहित शाखा का मान है ( अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; गणित/रीडमी देखें - सेटअप में सहायता।): k=-1). त्रुटि का कारण संपत्ति का लापरवाह उपयोग है अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): \log_a((b^p)) = p~\log_a b, जो, आम तौर पर बोलते हुए, जटिल मामले में लघुगणक के मानों के संपूर्ण अनंत सेट को दर्शाता है, न कि केवल मुख्य मान को।

जटिल लघुगणकीय फ़ंक्शन और रीमैन सतह

इसकी सरलता से जुड़ी होने के कारण, लघुगणक की रीमैन सतह एक बिंदु के बिना जटिल विमान के लिए एक सार्वभौमिक आवरण है अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvc .

विश्लेषणात्मक निरंतरता

किसी जटिल संख्या के लघुगणक को संपूर्ण जटिल तल पर वास्तविक लघुगणक की विश्लेषणात्मक निरंतरता के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। चलो वक्र अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvc एक से शुरू होता है, शून्य से होकर नहीं जाता है और वास्तविक अक्ष के नकारात्मक भाग को पार नहीं करता है। फिर अंतिम बिंदु पर लघुगणक का मुख्य मान अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): डब्ल्यूटेढ़ा अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): \गामासूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:

अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप में सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

अगर अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): \गामा- एक साधारण वक्र (स्वयं-प्रतिच्छेदन के बिना), फिर उस पर पड़ी संख्याओं के लिए, लघुगणकीय पहचान का उपयोग बिना किसी डर के किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:

अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप में सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की मुख्य शाखा वास्तविक अक्ष के नकारात्मक भाग को छोड़कर, पूरे जटिल विमान पर निरंतर और भिन्न होती है, जिस पर काल्पनिक भाग अचानक बदल जाता है अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; गणित/रीडमी देखें - सेटअप में सहायता।): 2\pi. लेकिन यह तथ्य अंतराल द्वारा मुख्य मूल्य के काल्पनिक भाग की कृत्रिम सीमा का परिणाम है अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): (-\pi, \pi]. यदि हम फ़ंक्शन की सभी शाखाओं पर विचार करते हैं, तो निरंतरता शून्य को छोड़कर सभी बिंदुओं पर होती है, जहां फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है। यदि आप वक्र को हल करते हैं अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): \गामावास्तविक अक्ष के नकारात्मक भाग को पार करें, फिर पहला ऐसा चौराहा परिणाम को मुख्य मान शाखा से आसन्न शाखा में स्थानांतरित करता है, और प्रत्येक बाद का चौराहा लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की शाखाओं के साथ एक समान बदलाव का कारण बनता है (आंकड़ा देखें)।

विश्लेषणात्मक निरंतरता सूत्र से यह निम्नानुसार है कि लघुगणक की किसी भी शाखा पर:

अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): \frac(d)(dz) \ln z = (1\over z)

किसी भी सर्कल के लिए अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): एस, बिंदु को कवर करते हुए अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): 0 :

अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप में सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

अभिन्न को सकारात्मक दिशा (वामावर्त) में लिया जाता है। यह पहचान अवशेषों के सिद्धांत को रेखांकित करती है।

वास्तविक मामले के लिए ज्ञात श्रृंखला का उपयोग करके जटिल लघुगणक की विश्लेषणात्मक निरंतरता को भी परिभाषित किया जा सकता है:

हालाँकि, इन श्रृंखलाओं के स्वरूप से यह पता चलता है कि एक पर श्रृंखला का योग शून्य के बराबर है, अर्थात श्रृंखला केवल जटिल लघुगणक के बहुमूल्यवान फ़ंक्शन की मुख्य शाखा से संबंधित है। दोनों श्रृंखलाओं के अभिसरण की त्रिज्या 1 है।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय और अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के साथ संबंध

अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): \operatorname(Arcsin) z = -i \operatorname(Ln) (i z + \sqrt(1-z^2)) अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): \operatorname(Arccos) z = -i \operatorname(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; गणित/रीडमी देखें - सेटअप में सहायता।): \operatorname(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z \ne \pm i) अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; गणित/रीडमी देखें - सेटअप में सहायता।): \operatorname(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z \ne \pm i) अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): \operatorname(Arsh)z = \operatorname(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- व्युत्क्रम अतिपरवलयिक ज्या अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; गणित/रीडमी देखें - सेटअप में सहायता।): \operatorname(Arch)z=\operatorname(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): \operatorname(Arth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शज्या अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\right)- व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण कोटैंजेंट

ऐतिहासिक रेखाचित्र

लघुगणक को जटिल संख्याओं तक विस्तारित करने का पहला प्रयास 17वीं-18वीं शताब्दी के अंत में लीबनिज़ और जोहान बर्नौली द्वारा किया गया था, लेकिन वे एक समग्र सिद्धांत बनाने में विफल रहे, मुख्यतः क्योंकि लघुगणक की अवधारणा अभी तक स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं हुई थी। इस मुद्दे पर चर्चा सबसे पहले लाइबनिज़ और बर्नौली के बीच हुई, और 18वीं शताब्दी के मध्य में डी'अलेम्बर्ट और यूलर के बीच हुई। बर्नौली और डी'अलेम्बर्ट का मानना ​​था कि इसे निर्धारित किया जाना चाहिए अभिव्यक्ति को पार्स करने में असमर्थ (निष्पादन योग्य फ़ाइल texvcनहीं मिला; सेटअप सहायता के लिए गणित/रीडमी देखें।): \log(-x) = \log(x), जबकि लीबनिज ने सिद्ध किया कि ऋणात्मक संख्या का लघुगणक एक काल्पनिक संख्या है। ऋणात्मक और सम्मिश्र संख्याओं के लघुगणक का पूरा सिद्धांत यूलर द्वारा 1747-1751 में प्रकाशित किया गया था और यह मूलतः आधुनिक सिद्धांत से भिन्न नहीं है। यद्यपि बहस जारी रही (डी'अलेम्बर्ट ने अपने दृष्टिकोण का बचाव किया और अपने विश्वकोश और अन्य कार्यों में एक लेख में विस्तार से तर्क दिया), यूलर के दृष्टिकोण को 18 वीं शताब्दी के अंत तक सार्वभौमिक मान्यता प्राप्त हुई।

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साहित्य

लघुगणक का सिद्धांत

• कोर्न जी., कोर्न टी.. - एम.: नौका, 1973. - 720 पी।
• स्वेशनिकोव ए.जी., तिखोनोव ए.एन.एक जटिल चर के कार्यों का सिद्धांत. - एम.: नौका, 1967. - 304 पी।
• फिख्तेनगोल्ट्स जी.एम.डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस का कोर्स। - ईडी। छठा. - एम.: नौका, 1966. - 680 पी।

लघुगणक का इतिहास

• 18वीं सदी का गणित // / ए. पी. युशकेविच द्वारा संपादित, तीन खंडों में। - एम.: विज्ञान, 1972. - टी. III.
• कोलमोगोरोव ए.एन., युशकेविच ए.पी. (संस्करण)। 19वीं सदी का गणित. ज्यामिति। विश्लेषणात्मक कार्यों का सिद्धांत. - एम.: विज्ञान, 1981. - टी. II.

टिप्पणियाँ

1. लघुगणकीय कार्य. // . - एम.: सोवियत इनसाइक्लोपीडिया, 1982. - टी. 3.
2. , खंड II, पृ. 520-522..
3. , साथ। 623..
4. , साथ। 92-94..
5. , साथ। 45-46, 99-100..
6. बोल्ट्यांस्की वी.जी., एफ़्रेमोविच वी.ए.. - एम.: नौका, 1982. - पी. 112. - (क्वांट लाइब्रेरी, अंक 21)।
7. , खंड II, पृ. 522-526..
8. , साथ। 624..
9. , साथ। 325-328..
10. रब्बनिकोव के.ए.गणित का इतिहास. दो खंडों में. - एम.: पब्लिशिंग हाउस। मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी, 1963. - टी. II. - पृ. 27, 230-231..
11. , साथ। 122-123..
12. क्लेन एफ.. - एम.: विज्ञान, 1987. - टी. II. ज्यामिति। - पृ. 159-161. - 416 एस.

जटिल लघुगणक की विशेषता बताने वाला एक अंश

जिस भयंकर आतंक ने हमें जकड़ लिया था, हम गोलियों की तरह एक विस्तृत घाटी में दौड़ पड़े, यह भी नहीं सोचा कि हम जल्दी से दूसरी "मंजिल" पर जा सकते हैं... हमारे पास इसके बारे में सोचने का समय ही नहीं था - हम बहुत डरे हुए थे।
जीव हमारे ठीक ऊपर उड़ गया, जोर-जोर से अपनी उभरी हुई दांतेदार चोंच को क्लिक कर रहा था, और हम जितनी तेजी से हो सकते थे, दौड़े, पक्षों पर घिनौने घिनौने छींटे मारते रहे, और मानसिक रूप से प्रार्थना करते रहे कि कुछ और अचानक इस खौफनाक "चमत्कारी पक्षी" को दिलचस्पी दे... यह महसूस किया गया कि वह बहुत तेज़ थी और हमारे पास उससे अलग होने का कोई मौका नहीं था। जैसा कि किस्मत में था, आस-पास एक भी पेड़ नहीं उग आया, कोई झाड़ियाँ या पत्थर भी नहीं थे जिनके पीछे कोई छिप सके, केवल दूरी पर एक अशुभ काली चट्टान दिखाई दे रही थी।
- वहाँ! - स्टेला उसी चट्टान की ओर उंगली दिखाते हुए चिल्लाई।
लेकिन अचानक, अप्रत्याशित रूप से, ठीक हमारे सामने, कहीं से एक प्राणी प्रकट हुआ, जिसे देखकर सचमुच हमारी रगों में खून जम गया... ऐसा प्रतीत हुआ मानो "सीधे हवा से निकला हो" और वास्तव में भयानक था... विशाल काला शव पूरी तरह से लंबे, मोटे बालों से ढका हुआ था, जिससे वह पॉट-बेलिड भालू जैसा दिखता था, केवल यह "भालू" तीन मंजिला घर जितना लंबा था... राक्षस का ढेलेदार सिर दो विशाल घुमावदार के साथ "ताज पहनाया" गया था सींग, और भयानक मुंह अविश्वसनीय रूप से लंबे नुकीले दांतों की एक जोड़ी से सजाया गया था, चाकू की तरह तेज, जिसे देखते ही, डर के मारे, हमारे पैर जवाब दे गए... और फिर, हमें अविश्वसनीय रूप से आश्चर्यचकित करते हुए, राक्षस आसानी से कूद गया और। .. उसके विशाल नुकीले दांतों में से एक पर उड़ती हुई "कीचड़" को उठाया... हम सदमे में फंस गए।
- चलो भागते हैं!!! - स्टेला चिल्लाई। - चलो दौड़ें जब वह "व्यस्त" हो!..
और हम बिना पीछे देखे फिर से भागने के लिए तैयार थे, तभी अचानक हमारी पीठ के पीछे से एक पतली आवाज़ सुनाई दी:
- लड़कियाँ, रुको!!! भागने की जरूरत नहीं!.. डीन ने तुम्हें बचा लिया, वह दुश्मन नहीं है!
हम तेजी से मुड़े - एक छोटी, बहुत सुंदर काली आंखों वाली लड़की हमारे पीछे खड़ी थी... और शांति से उस राक्षस को सहला रही थी जो उसके पास आया था!... हमारी आंखें आश्चर्य से फैल गईं... यह अविश्वसनीय था! निश्चित रूप से - यह आश्चर्य का दिन था! .. लड़की, हमारी ओर देखकर, स्वागत करते हुए मुस्कुराई, हमारे बगल में खड़े प्यारे राक्षस से बिल्कुल भी नहीं डरी।
- कृपया उससे डरें नहीं। वह बहुत दयालु है। हमने देखा कि ओवारा आपका पीछा कर रहा था और हमने मदद करने का फैसला किया। डीन महान थे, उन्होंने इसे समय पर बनाया। सच में, मेरे प्रिय?
"अच्छा" घुरघुराया, जो हल्के भूकंप की तरह लग रहा था, और अपना सिर झुकाकर लड़की के चेहरे को चाटा।
- ओवारा कौन है और उसने हम पर हमला क्यों किया? - मैंने पूछ लिया।
"वह हर किसी पर हमला करती है, वह एक शिकारी है।" और बहुत खतरनाक,'' लड़की ने शांति से उत्तर दिया। – क्या मैं पूछ सकता हूँ कि आप यहाँ क्या कर रहे हैं? तुम यहाँ से नहीं हो, लड़कियाँ?
- नहीं, यहां से नहीं. हम बस चल रहे थे. लेकिन आपके लिए भी वही सवाल - आप यहां क्या कर रहे हैं?
"मैं अपनी माँ से मिलने जा रही हूँ..." छोटी लड़की उदास हो गई। "हम एक साथ मर गए, लेकिन किसी कारण से वह यहीं रह गई।" और अब मैं यहां रहता हूं, लेकिन मैं उसे यह नहीं बताता, क्योंकि वह इससे कभी सहमत नहीं होगी। वह सोचती है कि मैं बस आ रहा हूं...
– क्या अभी आ जाना बेहतर नहीं है? यहाँ बहुत भयानक है!.. - स्टेला ने अपने कंधे उचकाए।
"मैं उसे यहाँ अकेला नहीं छोड़ सकता, मैं उस पर नज़र रख रहा हूँ ताकि उसे कुछ न हो जाए।" और यहाँ डीन मेरे साथ है... वह मेरी मदद करता है।
मैं बस इस पर विश्वास नहीं कर सका... इस छोटी बहादुर लड़की ने स्वेच्छा से अपनी सुंदर और दयालु "मंजिल" को छोड़ कर इस ठंडी, भयानक और विदेशी दुनिया में रहने के लिए, अपनी माँ की रक्षा की, जो किसी तरह से बहुत "दोषी" थी! मुझे नहीं लगता कि इतने बहादुर और निस्वार्थ (यहां तक ​​कि वयस्क भी!) बहुत से लोग होंगे जो इस तरह का कारनामा करने की हिम्मत करेंगे... और मैंने तुरंत सोचा - शायद उसे समझ ही नहीं आया कि वह खुद को क्या बर्बाद करने जा रही है ?!
- तुम यहाँ कितने समय से हो, लड़की, अगर यह कोई रहस्य नहीं है?
"हाल ही में..." काली आंखों वाली बच्ची ने उदासी से उत्तर दिया, अपने घुंघराले बालों के काले बालों को अपनी उंगलियों से खींचते हुए। - जब मेरी मृत्यु हुई तो मैंने खुद को एक ऐसी खूबसूरत दुनिया में पाया!.. वह बहुत दयालु और उज्ज्वल था!.. और फिर मैंने देखा कि मेरी माँ मेरे साथ नहीं थी और मैं उसकी तलाश करने के लिए दौड़ा। पहले तो यह बहुत डरावना था! किसी कारण से वह कहीं नहीं मिली... और फिर मैं इस भयानक दुनिया में गिर गया... और फिर मैंने उसे पाया। मैं यहाँ बहुत डरा हुआ था... इतना अकेला... माँ ने मुझे जाने के लिए कहा, उन्होंने मुझे डांटा भी। लेकिन मैं उसे नहीं छोड़ सकता... अब मेरा एक दोस्त है, मेरा अच्छा डीन, और मैं पहले से ही किसी तरह यहां मौजूद रह सकता हूं।
उसका "अच्छा दोस्त" फिर से गुर्राया, जिससे स्टेला और मेरे रोंगटे खड़े हो गए... खुद को संभालते हुए, मैंने थोड़ा शांत होने की कोशिश की और इस प्यारे चमत्कार को करीब से देखना शुरू कर दिया... और वह, तुरंत यह महसूस करते हुए कि उस पर ध्यान दिया गया है, उसने बुरी तरह से अपना नुकीला मुंह बाहर निकाल लिया... मैं वापस कूद गया।
- ओह, डरो मत, कृपया! "वह तुम्हें देखकर मुस्कुरा रहा है," लड़की ने "आश्वस्त किया।"
हाँ... ऐसी मुस्कान से तुम तेज़ दौड़ना सीख जाओगे... - मैंने मन में सोचा।
- ऐसा कैसे हुआ कि आपकी उससे दोस्ती हो गई? - स्टेला ने पूछा।
- जब मैं पहली बार यहां आया था, तो मैं बहुत डरा हुआ था, खासकर जब आप जैसे राक्षस आज हमला कर रहे थे। और फिर एक दिन, जब मैं लगभग मर गया, डीन ने मुझे खौफनाक उड़ने वाले "पक्षियों" के एक पूरे झुंड से बचाया। पहले तो मैं भी उससे डरता था, लेकिन फिर मुझे एहसास हुआ कि उसका दिल कितना सोने का है... वह सबसे अच्छा दोस्त है! जब मैं पृथ्वी पर रहता था तब भी मेरे पास ऐसा कुछ नहीं था।
- आपको इतनी जल्दी इसकी आदत कैसे पड़ गई? उसकी शक्ल बिल्कुल परिचित नहीं है, मान लीजिए, परिचित है...
- और यहां मुझे एक बहुत ही सरल सत्य समझ में आया, जो किसी कारण से मैंने पृथ्वी पर नहीं देखा - अगर किसी व्यक्ति या प्राणी का दिल अच्छा है तो उपस्थिति कोई मायने नहीं रखती... मेरी माँ बहुत सुंदर थी, लेकिन कभी-कभी वह बहुत गुस्से में थी बहुत। और फिर उसकी सारी सुंदरता कहीं गायब हो गई... और डीन, हालांकि डरावना है, हमेशा बहुत दयालु है, और हमेशा मेरी रक्षा करता है, मैं उसकी दयालुता महसूस करता हूं और किसी भी चीज से नहीं डरता। लेकिन आप दिखावे के आदी हो सकते हैं...
- क्या आप जानते हैं कि आप यहां बहुत लंबे समय तक रहेंगे, पृथ्वी पर जितने लोग रहते हैं उससे कहीं अधिक समय तक? क्या तुम सच में यहाँ रहना चाहते हो?
"मेरी माँ यहाँ है, इसलिए मुझे उसकी मदद करनी होगी।" और जब वह फिर से पृथ्वी पर रहने के लिए "छोड़" देगी, तो मैं भी चला जाऊंगा... जहां अधिक अच्छाई है। इस भयानक दुनिया में लोग बहुत अजीब हैं - जैसे कि वे रहते ही नहीं हैं। ऐसा क्यों? क्या आप इस बारे में कुछ भी जानते हैं?
- तुमसे किसने कहा कि तुम्हारी माँ फिर से जीवित रहने के लिए चली जाएगी? - स्टेला को दिलचस्पी हो गई।
- डीन, बिल्कुल। वह बहुत कुछ जानता है, वह यहां बहुत लंबे समय से रह रहा है। उन्होंने यह भी कहा कि जब हम (मैं और मेरी मां) दोबारा रहेंगे तो हमारे परिवार अलग होंगे। और फिर मेरी यह माँ नहीं रहेगी... इसलिए मैं अब उसके साथ रहना चाहता हूँ।
- आप उससे कैसे बात करते हैं, आपके डीन? - स्टेला ने पूछा। – और आप हमें अपना नाम क्यों नहीं बताना चाहते?
लेकिन यह सच है - हम अभी भी उसका नाम नहीं जानते थे! और वे यह भी नहीं जानते थे कि वह कहाँ से आई है...
- मेरा नाम मारिया था... लेकिन क्या यह वास्तव में यहाँ मायने रखता है?
- अवश्य! - स्टेला हँसी। - मैं आपसे कैसे संवाद कर सकता हूं? जब तुम जाओगे तो वे तुम्हें एक नया नाम देंगे, लेकिन जब तक तुम यहां रहोगे, तुम्हें पुराने के साथ रहना होगा। क्या तुमने यहां किसी और से बात की, लड़की मारिया? - स्टेला ने आदत से मजबूर होकर एक विषय से दूसरे विषय पर कूदते हुए पूछा।
“हाँ, मैंने बात की…” छोटी लड़की ने झिझकते हुए कहा। "लेकिन वे यहाँ बहुत अजीब हैं।" और इतने दुखी... वे इतने दुखी क्यों हैं?
– क्या आप यहां जो देख रहे हैं वह खुशी के लिए अनुकूल है? - मैं उसके सवाल से हैरान था। - यहां तक ​​कि स्थानीय "वास्तविकता" भी किसी भी उम्मीद को पहले ही खत्म कर देती है!.. आप यहां कैसे खुश रह सकते हैं?
- पता नहीं। जब मैं अपनी माँ के साथ होता हूँ, तो मुझे ऐसा लगता है कि मैं भी यहाँ खुश रह सकता हूँ... सच है, यहाँ बहुत डरावना है, और उसे यहाँ वास्तव में पसंद नहीं है... जब मैंने कहा कि मैं साथ रहने के लिए सहमत हो गया वह मुझ पर चिल्लाई और कहा कि मैं उसका "बुद्धिहीन दुर्भाग्य" हूं... लेकिन मैं नाराज नहीं हूं... मुझे पता है कि वह सिर्फ डरी हुई है। मेरी तरह...
- शायद वह आपको आपके "चरम" निर्णय से बचाना चाहती थी, और केवल यही चाहती थी कि आप अपनी "मंजिल" पर वापस जाएँ? - स्टेला ने सावधानी से पूछा, ताकि अपमान न हो।
- नहीं, बिल्कुल... लेकिन अच्छे शब्दों के लिए धन्यवाद। माँ अक्सर मुझे बहुत अच्छे नामों से नहीं बुलाती थीं, यहाँ तक कि पृथ्वी पर भी... लेकिन मुझे पता है कि यह गुस्से के कारण नहीं था। वह मेरे जन्म से नाखुश थी और अक्सर मुझसे कहती थी कि मैंने उसकी जिंदगी बर्बाद कर दी। लेकिन यह मेरी गलती नहीं थी, है ना? मैंने हमेशा उसे खुश करने की कोशिश की, लेकिन किसी कारण से मैं बहुत सफल नहीं हो सका... और मेरे कभी पिता नहीं थे। - मारिया बहुत दुखी थी और उसकी आवाज कांप रही थी, जैसे वह रोने वाली हो।
स्टेला और मैंने एक-दूसरे को देखा, और मुझे पूरा यकीन था कि उसके मन में भी ऐसे ही विचार आते थे... मुझे पहले से ही यह बिगड़ैल, स्वार्थी "माँ" पसंद नहीं थी, जो खुद अपने बच्चे के बारे में चिंता करने के बजाय, उसकी परवाह नहीं करती थी उसके वीरतापूर्ण बलिदान को मैं बिल्कुल समझ गया और साथ ही मैंने उसे पीड़ा भी पहुंचाई।
"लेकिन डीन कहता है कि मैं अच्छा हूँ, और मैं उसे बहुत खुश करता हूँ!" - छोटी लड़की अधिक प्रसन्नता से बड़बड़ाने लगी। "और वह मुझसे दोस्ती करना चाहता है।" और जिन अन्य लोगों से मैं यहां मिला हूं वे बहुत ठंडे और उदासीन हैं, और कभी-कभी दुष्ट भी... विशेष रूप से वे जिनसे राक्षस जुड़े हुए हैं...
"राक्षस-क्या?.." हमें समझ नहीं आया।
- ठीक है, उनकी पीठ पर भयानक राक्षस बैठे हैं और उन्हें बता रहे हैं कि उन्हें क्या करना चाहिए। और अगर वे नहीं सुनते हैं, तो राक्षस उनका बहुत मज़ाक उड़ाते हैं... मैंने उनसे बात करने की कोशिश की, लेकिन ये राक्षस मुझे अनुमति नहीं देते।
हमें इस "स्पष्टीकरण" से कुछ भी समझ में नहीं आया, लेकिन यह तथ्य कि कुछ सूक्ष्म प्राणी लोगों पर अत्याचार कर रहे थे, हमारे द्वारा "अन्वेषण" किए बिना नहीं रह सका, इसलिए हमने तुरंत उससे पूछा कि हम इस अद्भुत घटना को कैसे देख सकते हैं।
- ओह, हाँ हर जगह! विशेषकर "काले पहाड़" पर। वह वहाँ है, पेड़ों के पीछे। क्या आप चाहते हैं कि हम भी आपके साथ चलें?
- बेशक, हम बहुत खुश होंगे! - प्रसन्न स्टेला ने तुरंत उत्तर दिया।
सच कहूँ तो, मैं किसी और के साथ डेटिंग की संभावना पर भी वास्तव में मुस्कुराया नहीं, "डरावना और समझ से बाहर," खासकर अकेले। लेकिन रुचि ने डर पर काबू पा लिया, और हम, निश्चित रूप से, चले गए होंगे, इस तथ्य के बावजूद कि हम थोड़ा डरे हुए थे... लेकिन जब डीन जैसा रक्षक हमारे साथ चला, तो यह तुरंत और अधिक मजेदार हो गया...
और फिर, एक छोटे से क्षण के बाद, वास्तविक नर्क हमारी आँखों के सामने प्रकट हो गया, विस्मय से खुला... यह दृश्य बॉश (या बॉश, इस पर निर्भर करता है कि आप इसे किस भाषा में अनुवाद करते हैं) के चित्रों की याद दिला रहे थे, एक "पागल" कलाकार जिसने एक बार अपनी कला की दुनिया से पूरी दुनिया को चौंका दिया था... बेशक, वह पागल नहीं था, लेकिन बस एक द्रष्टा था जो किसी कारण से केवल निचले एस्ट्रल को देख सकता था। लेकिन हमें उन्हें उनका हक देना चाहिए - उन्होंने उन्हें शानदार ढंग से चित्रित किया... मैंने उनकी पेंटिंग्स एक किताब में देखीं जो मेरे पिता की लाइब्रेरी में थी, और मुझे अभी भी वह भयानक एहसास याद है जो उनकी अधिकांश पेंटिंग्स में था...
"क्या भयावहता है!..." चौंकी हुई स्टेला फुसफुसाई।
कोई शायद यह कह सकता है कि हम पहले ही यहां "मंजिलों" पर बहुत कुछ देख चुके हैं... लेकिन यहां तक ​​कि हम अपने सबसे भयानक दुःस्वप्न में इसकी कल्पना भी नहीं कर पाए!.. "काली चट्टान" के पीछे कुछ पूरी तरह से अकल्पनीय खुल गया। .. यह चट्टान में उकेरी गई एक विशाल, सपाट "कढ़ाई" की तरह लग रहा था, जिसके नीचे लाल रंग का "लावा" बुदबुदा रहा था... गर्म हवा अजीब चमकते लाल बुलबुले के साथ हर जगह "फट" गई, जिसमें से जलती हुई भाप निकल रही थी और बड़ी-बड़ी बूंदों में जमीन पर गिर गया, या उन लोगों पर जो उस समय उसके नीचे गिर गए... दिल दहला देने वाली चीखें सुनी गईं, लेकिन तुरंत शांत हो गईं, क्योंकि सबसे घृणित जीव उन्हीं लोगों की पीठ पर बैठे थे, जो एक के साथ थे संतुष्ट नज़र ने अपने पीड़ितों को "नियंत्रित" किया, उनकी पीड़ा पर ज़रा भी ध्यान नहीं दिया... लोगों के नंगे पैरों के नीचे, गर्म पत्थर लाल हो गए, लाल रंग की धरती, गर्मी से फट गई, उबल गई और "पिघल गई"... गर्म के छींटे बड़ी-बड़ी दरारों से भाप फूटी और, दर्द से कराहते इंसानों के पैरों को जलाते हुए, हल्के धुएं के साथ वाष्पित होते हुए, ऊंचाइयों पर ले जाया गया... और "गड्ढे" के ठीक बीच में एक चमकदार लाल, चौड़ी उग्र नदी बहती थी, जिसमें, समय-समय पर, उन्हीं घृणित राक्षसों ने अप्रत्याशित रूप से एक या एक अन्य पीड़ित इकाई को फेंक दिया, जो गिरने पर, नारंगी चिंगारी की केवल एक छोटी सी छींटे का कारण बना, और फिर, एक पल के लिए एक शराबी सफेद बादल में बदल गया, यह गायब हो गया। .. हमेशा के लिए... यह वास्तविक नर्क था, और स्टेला और मैं जितनी जल्दी हो सके वहां से "गायब" होना चाहते थे...
"हम क्या करने जा रहे हैं?" स्टेला शांत भय से फुसफुसाई। - क्या आप वहां नीचे जाना चाहते हैं? क्या हम उनकी मदद के लिए कुछ कर सकते हैं? देखो कितने हैं!...
हम एक काली-भूरी, गर्मी से सूखी चट्टान पर खड़े थे, नीचे फैल रहे दर्द, निराशा और हिंसा के डरावने "मैश" को देख रहे थे, और हम इतने बचकाने रूप से शक्तिहीन महसूस कर रहे थे कि मेरी युद्धप्रिय स्टेला ने भी इस बार स्पष्ट रूप से अपने उलझे हुए "पंखों को मोड़ लिया" ।" "और पहली कॉल पर ही वह अपनी, इतनी प्रिय और विश्वसनीय, ऊपरी "मंजिल" पर जाने के लिए तैयार थी...

सूत्र का प्रमाण .

=

= =

चूँकि ज्या और कोज्या किसी ऐसे कोण को जोड़ने पर निर्भर नहीं करते जो कि का गुणज हो

और यह समानता पहले से ही स्पष्ट है, क्योंकि यह एक सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप है।

इस प्रकार, शून्य को छोड़कर विमान में सभी बिंदुओं के लिए लघुगणक मौजूद है। एक वास्तविक सकारात्मक संख्या के लिए, तर्क 0 है, इसलिए बिंदुओं के इस अनंत सेट का रूप है , अर्थात्, मानों में से एक, अर्थात्, वास्तविक अक्ष पर गिरेगा। यदि हम किसी ऋणात्मक संख्या के लघुगणक की गणना करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है, अर्थात, बिंदुओं का समूह ऊपर की ओर स्थानांतरित हो जाता है और उनमें से कोई भी वास्तविक अक्ष पर नहीं पड़ता है।

सूत्र से स्पष्ट है कि मूल संख्या का तर्क शून्य होने पर ही लघुगणक का एक मान वास्तविक अक्ष पर पड़ता है। और यह सही अर्ध-अक्ष से मेल खाता है, और यही कारण है कि स्कूल के गणित पाठ्यक्रम में केवल सकारात्मक संख्याओं के लघुगणक पर विचार किया गया था। ऋणात्मक और काल्पनिक संख्याओं के लघुगणक भी मौजूद हैं, लेकिन वास्तविक अक्ष पर उनका एक भी मान नहीं होता है।

निम्नलिखित चित्र दिखाता है कि एक धनात्मक संख्या के लघुगणक के सभी मान समतल में कहाँ स्थित हैं। उनमें से एक वास्तविक अक्ष पर है, बाकी ऊपर और नीचे हैं, और इसी तरह। एक ऋणात्मक या जटिल संख्या के लिए, तर्क गैर-शून्य है, इसलिए बिंदुओं का यह क्रम लंबवत रूप से स्थानांतरित हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप वास्तविक अक्ष पर कोई बिंदु नहीं होता है।

उदाहरण।गणना करें.

समाधान। आइए संख्या के मापांक (2 के बराबर) और तर्क 180 0 को परिभाषित करें, अर्थात। फिर = .

परिशिष्ट 1. साक्ष्य के लिए प्रश्न (टिकट के लिए)।

व्याख्यान क्रमांक 1

1. भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र सिद्ध कीजिए।

व्याख्यान क्रमांक 2

1. साबित करें कि प्रतिस्थापन, जहां आर = एलसीएम (आर 1,...,आर के) एक परिमेय भिन्न के अभिन्न अंग को कम कर देता है।

2. सिद्ध करें कि प्रतिस्थापन प्रपत्र के अभिन्न अंग को कम कर देता है एक तर्कसंगत भिन्न के अभिन्न अंग के लिए.

3. साइन और कोसाइन को परिवर्तित करने के लिए सूत्र व्युत्पन्न करें

सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन के लिए.

4. साबित करें कि उस स्थिति में जब फ़ंक्शन कोसाइन के संबंध में विषम है, तो प्रतिस्थापन अभिन्न को तर्कसंगत अंश में कम कर देता है।

5. उस स्थिति में सिद्ध करें जब

प्रतिस्थापन: अभिन्न को एक परिमेय भिन्न में कम कर देता है।

6. प्रपत्र के अभिन्न अंग के लिए इसे सिद्ध करें

7. सूत्र सिद्ध करें

8. प्रपत्र के अभिन्न अंग के लिए इसे सिद्ध करें प्रतिस्थापन एक परिमेय भिन्न का अभिन्न अंग उत्पन्न करता है।

9. प्रपत्र के अभिन्न अंग के लिए इसे सिद्ध करें प्रतिस्थापन अभिन्न को एक परिमेय भिन्न में कम कर देता है।

व्याख्यान संख्या 3

1. सिद्ध करें कि फलन फ़ंक्शन का एक प्रतिव्युत्पन्न है।

2. न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र सिद्ध करें: .

3. स्पष्ट रूप से दिए गए वक्र की लंबाई के लिए सूत्र सिद्ध करें:

.

4. ध्रुवीय निर्देशांक में दिए गए वक्र की लंबाई के सूत्र को सिद्ध करें

व्याख्यान संख्या 4

प्रमेय सिद्ध करें: अभिसरण, अभिसरण।

व्याख्यान क्रमांक 5

1. स्पष्ट रूप से दी गई सतह के क्षेत्रफल का सूत्र व्युत्पन्न (साबित) करें .

2. ध्रुवीय निर्देशांक में संक्रमण के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति।

3. ध्रुवीय निर्देशांक के जैकोबियन निर्धारक की व्युत्पत्ति।

4. बेलनाकार निर्देशांक में संक्रमण के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति।

5. बेलनाकार निर्देशांक के जैकोबियन निर्धारक की व्युत्पत्ति।

6. गोलाकार निर्देशांक में संक्रमण के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति:

.

व्याख्यान संख्या 6

1. सिद्ध करें कि प्रतिस्थापन एक सजातीय समीकरण को वियोज्य चर वाले समीकरण में बदल देता है।

2. एक रैखिक सजातीय समीकरण के समाधान का सामान्य रूप व्युत्पन्न करें।

3. लैग्रेंज विधि द्वारा एक रैखिक अमानवीय समीकरण के समाधान का सामान्य रूप व्युत्पन्न करें।

4. सिद्ध करें कि प्रतिस्थापन बर्नौली के समीकरण को एक रैखिक समीकरण में बदल देता है।

व्याख्यान संख्या 7.

1. सिद्ध करें कि प्रतिस्थापन से समीकरण का क्रम k कम हो जाता है।

2. सिद्ध करें कि प्रतिस्थापन से समीकरण का क्रम एक कम हो जाता है .

3. प्रमेय सिद्ध करें: फलन एक रैखिक समांगी अवकल समीकरण का समाधान है और इसका एक विशिष्ट मूल होता है।

4. इस प्रमेय को सिद्ध करें कि समाधानों का एक रैखिक संयोजन एक रैखिक सजातीय अंतर है। समीकरण इसका समाधान भी है.

5. समाधानों के अधिरोपण पर प्रमेय को सिद्ध करें: यदि दाएं हाथ की ओर से एक रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण का समाधान है, और उसी अंतर समीकरण का समाधान है, लेकिन दाईं ओर के साथ, तो योग है दायीं ओर वाले समीकरण का हल।

व्याख्यान संख्या 8.

1. इस प्रमेय को सिद्ध करें कि कार्यों की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

2. इस प्रमेय को सिद्ध करें कि क्रम n के रैखिक सजातीय अवकल समीकरण के n रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान हैं।

3. सिद्ध करें कि यदि 0 बहुलता का मूल है, तो इस मूल के अनुरूप समाधान प्रणाली का रूप होता है।

व्याख्यान संख्या 9.

1. घातांकीय रूप का उपयोग करके सिद्ध करें कि जटिल संख्याओं को गुणा करते समय, मॉड्यूल को गुणा किया जाता है और तर्क जोड़े जाते हैं।

2. डिग्री n के लिए मोइवरे का सूत्र सिद्ध करें

3. किसी क्रम n सम्मिश्र संख्या के मूल का सूत्र सिद्ध करें

4. सिद्ध करो और

साइन और कोसाइन के सामान्यीकरण हैं, यानी वास्तविक संख्याओं के लिए, ये सूत्र साइन (कोसाइन) प्राप्त करेंगे।

5. सम्मिश्र संख्या के लघुगणक का सूत्र सिद्ध करें:

परिशिष्ट 2।

सिद्धांत के ज्ञान पर लघु और मौखिक प्रश्न (बोलचाल के लिए)।

व्याख्यान क्रमांक 1

1. प्रतिअवकलज और अनिश्चित समाकलन क्या हैं, वे कैसे भिन्न हैं?

2. स्पष्ट करें कि यह एक प्रतिअवकलन भी क्यों है।

3. भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र लिखिए।

4. फॉर्म इंटीग्रल में किस प्रतिस्थापन की आवश्यकता है और यह जड़ों को कैसे समाप्त करता है?

5. किसी परिमेय भिन्न के समाकलन के सरलतम अंशों में विघटित होने के प्रकार को उस स्थिति में लिखिए जब सभी जड़ें भिन्न और वास्तविक हों।

6. किसी परिमेय भिन्न के समाकलन के सरलतम अंशों में अपघटन के प्रकार को उस स्थिति में लिखिए जब सभी मूल वास्तविक हों और बहुलता k का एक गुणज मूल हो।

व्याख्यान क्रमांक 2.

1. उस स्थिति में एक परिमेय भिन्न का सरलतम अंशों में अपघटन क्या होता है, लिखें जब हर में ऋणात्मक विभेदक के साथ 2 डिग्री का गुणनखंड हो।

2. कौन सा प्रतिस्थापन पूर्णांक को एक परिमेय भिन्न में घटा देता है?

3. सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन क्या हैं?

4. उन मामलों में क्या प्रतिस्थापन किए जाते हैं जहां अभिन्न चिह्न के तहत फ़ंक्शन साइन (कोसाइन) के संबंध में विषम है?

5. यदि इंटीग्रैंड में अभिव्यक्ति , , या हो तो क्या प्रतिस्थापन किया जाता है।

व्याख्यान संख्या 3.

1. एक निश्चित अभिन्न की परिभाषा.

2. निश्चित समाकलन के कुछ मूल गुणों की सूची बनाइये।

3. न्यूटन-लीबनिज सूत्र लिखिए।

4. परिक्रमण पिंड के आयतन का सूत्र लिखिए।

5. स्पष्ट रूप से दिए गए वक्र की लंबाई के लिए एक सूत्र लिखें।

6. पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित वक्र की लंबाई का सूत्र लिखें।

व्याख्यान संख्या 4.

1. एक अनुचित अभिन्न अंग की परिभाषा (एक सीमा का उपयोग करके)।

2. पहली और दूसरी तरह के अनुचित अभिन्नों के बीच क्या अंतर है?

3. प्रथम और द्वितीय प्रकार के अभिसारी समाकलनों के सरल उदाहरण दीजिए।

4. इंटीग्रल (T1) किन मूल्यों पर अभिसरण करते हैं?

5. अभिसरण प्रतिअवकलन (T2) की परिमित सीमा से किस प्रकार संबंधित है

6. अभिसरण के लिए आवश्यक मापदण्ड क्या है, उसका निरूपण।

7. अंतिम रूप में तुलना परीक्षण

8. चरम रूप में तुलना का संकेत.

9. एकाधिक अभिन्न की परिभाषा.

व्याख्यान क्रमांक 5.

1. एकीकरण के क्रम को बदलना, एक सरल उदाहरण के साथ दिखाएँ।

2. पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र लिखिए।

3. ध्रुवीय निर्देशांक क्या हैं, संक्रमण सूत्र लिखिए।

4. ध्रुवीय समन्वय प्रणाली का जैकोबियन क्या है?

5. बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक क्या हैं, इनका अंतर क्या है?

6. बेलनाकार (गोलाकार) निर्देशांक का जैकोबियन क्या है?

व्याख्यान संख्या 6.

1. प्रथम कोटि अवकल समीकरण (सामान्य दृश्य) क्या है।

2. व्युत्पन्न के संबंध में हल किया गया प्रथम क्रम का अंतर समीकरण क्या है। कुछ उदाहरण दीजिए.

3. वियोज्य चर वाला समीकरण क्या है?

4. सामान्य, विशेष समाधान क्या है, कॉची स्थितियाँ।

5. सजातीय समीकरण क्या है, इसे हल करने की सामान्य विधि क्या है?

6. रैखिक समीकरण क्या है, इसे हल करने के लिए एल्गोरिदम क्या है, लैग्रेंज विधि क्या है।

7. बर्नौली समीकरण क्या है, इसे हल करने के लिए एक एल्गोरिदम।

व्याख्यान संख्या 7.

1. फॉर्म के समीकरण के लिए क्या प्रतिस्थापन आवश्यक है।

2. फॉर्म के समीकरण के लिए किस प्रतिस्थापन की आवश्यकता है .

3. उदाहरण सहित दिखाएँ कि इसे किस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है।

4. क्रम n का रैखिक अवकल समीकरण क्या है?

5. अभिलक्षणिक बहुपद, अभिलक्षणिक समीकरण क्या है?

6. इस बारे में एक प्रमेय तैयार करें कि किस r पर फ़ंक्शन एक रैखिक सजातीय अंतर समीकरण का समाधान है।

7. एक प्रमेय बनाइए कि एक रैखिक सजातीय समीकरण के समाधानों का एक रैखिक संयोजन भी उसका समाधान है।

8. समाधानों के अधिरोपण और उसके परिणामों पर प्रमेय तैयार करें।

9. कार्यों की रैखिक रूप से आश्रित और रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणालियाँ क्या हैं, कुछ उदाहरण दें।

10. n फ़ंक्शंस की प्रणाली का व्रोन्स्की निर्धारक क्या है, LZS और LNS प्रणालियों के लिए व्रोन्स्की निर्धारक का एक उदाहरण दें।

व्याख्यान संख्या 8.

1. यदि सिस्टम फ़ंक्शन रैखिक रूप से निर्भर है तो व्रोनस्की निर्धारक के पास क्या संपत्ति है।

2. क्रम n के एक रैखिक समांगी अवकल समीकरण के कितने रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान मौजूद हैं।

3. क्रम n के एक रैखिक सजातीय समीकरण के FSR (समाधान की मौलिक प्रणाली) का निर्धारण।

4. एफएसआर में कितने कार्य शामिल हैं?

5. n=2 के लिए लैग्रेंज विधि द्वारा ज्ञात करने के लिए समीकरणों की प्रणाली का रूप लिखिए।

6. उस स्थिति में विशेष समाधान का प्रकार लिखिए जब

7. अवकल समीकरणों की रैखिक प्रणाली क्या है, कुछ उदाहरण लिखिए।

8. विभेदक समीकरणों की एक स्वायत्त प्रणाली क्या है?

9. विभेदक समीकरणों की प्रणाली का भौतिक अर्थ।

10. लिखिए कि समीकरणों की प्रणाली के एफएसआर में कौन से कार्य शामिल हैं, यदि इस प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स के आइगेनवैल्यू और आइजेनवेक्टर ज्ञात हैं।

व्याख्यान संख्या 9.

1. काल्पनिक इकाई क्या है?

2. संयुग्मी संख्या क्या है और जब आप इसे मूल संख्या से गुणा करते हैं तो क्या होता है।

3. सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय, घातांकीय रूप क्या है?

4. यूलर का सूत्र लिखिए।

5. सम्मिश्र संख्या का मापांक, तर्क क्या है?

6. गुणन (विभाजन) के दौरान मॉड्यूल और तर्कों का क्या होता है।

7. डिग्री n के लिए मोइवरे का सूत्र लिखें।

8. क्रम n के मूल के लिए सूत्र लिखिए।

9. एक जटिल तर्क के लिए सामान्यीकृत साइन और कोसाइन सूत्र लिखें।

10. किसी सम्मिश्र संख्या के लघुगणक का सूत्र लिखिए।

परिशिष्ट 3. व्याख्यान से समस्याएँ।

व्याख्यान क्रमांक 1

उदाहरण। . उदाहरण। .

उदाहरण। . उदाहरण। .

उदाहरण। उदाहरण। .

उदाहरण। . उदाहरण। .

व्याख्यान क्रमांक 2

उदाहरण। . उदाहरण। .

उदाहरण। . उदाहरण। .

उदाहरण। . उदाहरण।. , कहाँ , संख्या .

उदाहरण।तेजी से विभाजित करें.

उदाहरण. मोइवरे के सूत्र का उपयोग करके खोजें।

उदाहरण. मूल के सभी मान ज्ञात कीजिए।

एक वास्तविक चर (सकारात्मक आधार के साथ) का घातीय कार्य कई चरणों में निर्धारित किया जाता है। सबसे पहले, प्राकृतिक मूल्यों के लिए - समान कारकों के उत्पाद के रूप में। फिर परिभाषा नियमों के अनुसार ऋणात्मक पूर्णांकों और गैर-शून्य मानों तक विस्तारित होती है। इसके बाद, हम भिन्नात्मक घातांकों पर विचार करते हैं जिनमें घातांकीय फलन का मान मूलों का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है:। अपरिमेय मूल्यों के लिए, परिभाषा पहले से ही गणितीय विश्लेषण की मूल अवधारणा से जुड़ी हुई है - निरंतरता के कारणों के लिए, सीमा तक पारित होने के साथ। ये सभी विचार किसी भी तरह से संकेतक के जटिल मूल्यों तक घातीय फ़ंक्शन को विस्तारित करने के प्रयासों पर लागू नहीं होते हैं, और यह क्या है, उदाहरण के लिए, पूरी तरह से अस्पष्ट है।

पहली बार, प्राकृतिक आधार के साथ एक जटिल घातांक वाली एक शक्ति को इंटीग्रल कैलकुलस के कई निर्माणों के विश्लेषण के आधार पर यूलर द्वारा पेश किया गया था। कभी-कभी बहुत समान बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ, एकीकृत होने पर, पूरी तरह से अलग उत्तर देती हैं:

साथ ही, यहाँ दूसरा समाकलन औपचारिक रूप से पहले से प्रतिस्थापित होने पर प्राप्त होता है

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक जटिल घातांक वाले घातांकीय फलन की उचित परिभाषा के साथ, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन लघुगणक से संबंधित होते हैं और इस प्रकार घातांकीय फलन त्रिकोणमितीय फलन से संबंधित होते हैं।

यूलर के पास एक आधार के साथ एक घातांकीय फलन की उचित परिभाषा देने का साहस और कल्पनाशक्ति थी, अर्थात्,

यह एक परिभाषा है, और इसलिए इस सूत्र को सिद्ध नहीं किया जा सकता है; कोई केवल ऐसी परिभाषा की तर्कसंगतता और समीचीनता के पक्ष में तर्क ढूंढ सकता है। गणितीय विश्लेषण इस प्रकार के कई तर्क प्रदान करता है। हम खुद को सिर्फ एक तक ही सीमित रखेंगे।

यह ज्ञात है कि वास्तव में एक सीमित संबंध है: . दाहिनी ओर एक बहुपद है जो जटिल मानों के लिए भी समझ में आता है। सम्मिश्र संख्याओं के अनुक्रम की सीमा स्वाभाविक रूप से निर्धारित होती है। एक अनुक्रम को अभिसरण माना जाता है यदि वास्तविक और काल्पनिक भागों के अनुक्रम अभिसरण होते हैं और स्वीकार किए जाते हैं

आइए इसे खोजें. ऐसा करने के लिए, आइए त्रिकोणमितीय रूप की ओर मुड़ें और तर्क के लिए हम अंतराल से मानों का चयन करेंगे। इस विकल्प से यह स्पष्ट है कि . आगे,

सीमा तक जाने के लिए, आपको सीमाओं के अस्तित्व को सत्यापित करना होगा और इन सीमाओं को ढूंढना होगा। यह स्पष्ट है कि

तो, अभिव्यक्ति में

वास्तविक भाग ऐसा ही करता है, काल्पनिक भाग भी ऐसा ही करता है

यह सरल तर्क यूलर की घातीय फलन की परिभाषा के पक्ष में एक तर्क प्रदान करता है।

आइए अब हम यह स्थापित करें कि किसी घातांकीय फलन के मानों को गुणा करने पर घातांक जुड़ जाते हैं। वास्तव में:

2. यूलर के सूत्र.

आइए हम घातीय फलन की परिभाषा डालें। हम पाते हैं:

b को -b से बदलने पर, हमें मिलता है

इन समानताओं को पद दर पद जोड़कर और घटाकर, हम सूत्र पाते हैं

यूलर के सूत्र कहलाते हैं। वे त्रिकोणमितीय कार्यों और घातीय कार्यों के बीच काल्पनिक घातांक के साथ संबंध स्थापित करते हैं।

3. सम्मिश्र संख्या का प्राकृतिक लघुगणक।

त्रिकोणमितीय रूप में दी गई सम्मिश्र संख्या को इस रूप में लिखा जा सकता है। सम्मिश्र संख्या को लिखने के इस रूप को घातांक कहा जाता है। यह त्रिकोणमितीय रूप के सभी अच्छे गुणों को बरकरार रखता है, लेकिन और भी अधिक संक्षिप्त है। इसके अलावा, इसलिए, यह मान लेना स्वाभाविक है कि किसी सम्मिश्र संख्या के लघुगणक का वास्तविक भाग उसके मापांक का लघुगणक है, और काल्पनिक भाग उसका तर्क है। यह कुछ हद तक तर्क की "लघुगणकीय" संपत्ति की व्याख्या करता है - उत्पाद का तर्क कारकों के तर्कों के योग के बराबर है।