एक बाहरी संयुग्मन को एक संयुग्मन माना जाता है जिसमें संभोग वृत्तों (चाप) O 1 (त्रिज्या R 1) और O 2 (त्रिज्या R 2) के केंद्र त्रिज्या R के संभोग चाप के पीछे स्थित होते हैं। विचार करने के लिए एक उदाहरण का उपयोग किया जाता है चापों का बाहरी संयुग्मन (चित्र 5)। सबसे पहले हम संयुग्मन का केंद्र ढूंढते हैं। संयुग्मन का केंद्र त्रिज्या R+R 1 और R+R 2 वाले वृत्तों के चापों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, जो क्रमशः वृत्त O 1 (R 1) और O 2 (R 2) के केंद्रों से निर्मित होता है। फिर हम वृत्त O 1 और O 2 के केंद्रों को सीधी रेखाओं से संयुग्मन के केंद्र, बिंदु O से जोड़ते हैं, और वृत्त O 1 और O 2 के साथ रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर हम संयुग्मन बिंदु A और B प्राप्त करते हैं। यह, संयुग्मन के केंद्र से हम दिए गए संयुग्मन त्रिज्या R का एक चाप बनाते हैं और इसे बिंदु A और B से जोड़ते हैं।
चित्र 5. वृत्ताकार चापों का बाहरी साथी
वृत्ताकार चापों का आंतरिक साथी
एक आंतरिक संयुग्मन एक संयुग्मन है जिसमें संभोग चाप O 1, त्रिज्या R 1 और O 2, त्रिज्या R 2 के केंद्र किसी दिए गए त्रिज्या R के संयुग्म चाप के अंदर स्थित होते हैं। चित्र 6 एक आंतरिक निर्माण का एक उदाहरण दिखाता है वृत्तों (चाप) का संयुग्मन। सबसे पहले, हम संयुग्मन का केंद्र पाते हैं, जो बिंदु O है, क्रमशः वृत्त O 1 और O 2 के केंद्रों से खींचे गए त्रिज्या R-R 1 और R-R 2 वाले वृत्तों के चापों का प्रतिच्छेदन बिंदु। फिर हम वृत्त O 1 और O 2 के केंद्रों को सीधी रेखाओं से मेट केंद्र से जोड़ते हैं और वृत्त O 1 और O 2 के साथ रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर हम मेट बिंदु A और B प्राप्त करते हैं। फिर मेट केंद्र से हम निर्माण करते हैं त्रिज्या R का एक मेट चाप बनाएं और एक मेट का निर्माण करें।
|
चित्र 6. वृत्ताकार चापों का आंतरिक साथी |
चित्र 7. वृत्ताकार चापों का मिश्रित मेट |
वृत्ताकार चापों का मिश्रित साथी
चापों का मिश्रित संयुग्मन एक संयुग्मन है जिसमें संभोग चापों में से एक (O 1) का केंद्र त्रिज्या R के संयुग्म चाप के बाहर स्थित होता है, और दूसरे वृत्त (O 2) का केंद्र इसके अंदर स्थित होता है। चित्र 7 वृत्तों के मिश्रित संयुग्मन का एक उदाहरण दिखाता है। सबसे पहले, हम मेट का केंद्र, बिंदु O ढूंढते हैं। मेट का केंद्र खोजने के लिए, हम बिंदु O 1 और R-R की त्रिज्या R 1 वाले वृत्त के केंद्र से R+ R 1 त्रिज्या वाले वृत्तों के चाप बनाते हैं। 2, त्रिज्या R 2 के एक वृत्त के केंद्र से बिंदु O 2 तक। फिर हम संयुग्मन केंद्र बिंदु O को वृत्तों O 1 और O 2 के केंद्रों के साथ सीधी रेखाओं से जोड़ते हैं और संबंधित वृत्तों की रेखाओं के साथ प्रतिच्छेदन पर हमें संयुग्मन बिंदु A और B प्राप्त होते हैं। फिर हम संयुग्मन बनाते हैं।
कैम निर्माण
प्रत्येक संस्करण में कैम की रूपरेखा का निर्माण समन्वय अक्षों को चित्रित करने के साथ शुरू होना चाहिए ओहऔर कहां. फिर पैटर्न वक्रों का निर्माण उनके निर्दिष्ट मापदंडों के अनुसार किया जाता है और कैम की रूपरेखा में शामिल क्षेत्रों का चयन किया जाता है। इसके बाद, आप पैटर्न कर्व्स के बीच सहज बदलाव बना सकते हैं। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि बिंदु के माध्यम से सभी वेरिएंट में डीदीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा है.
पद का नाम आरएक्सदर्शाता है कि त्रिज्या का परिमाण निर्माण द्वारा निर्धारित होता है। इसके बजाय ड्राइंग पर आरएक्सआपको "*" चिह्न के साथ संबंधित संख्या दर्ज करनी होगी।
नमूना इसे एक ऐसा वक्र कहा जाता है जिसे कम्पास का उपयोग करके नहीं बनाया जा सकता है। इसे एक विशेष उपकरण का उपयोग करके बिंदु दर बिंदु बनाया जाता है जिसे पैटर्न कहा जाता है। पैटर्न वक्रों में दीर्घवृत्त, परवलय, अतिपरवलय, आर्किमिडीज़ सर्पिल आदि शामिल हैं।
नियमित वक्रों में, इंजीनियरिंग ग्राफिक्स के लिए सबसे बड़ी रुचि दूसरे क्रम के वक्र हैं: दीर्घवृत्त, परवलय और हाइपरबोला, जिनकी सहायता से तकनीकी विवरण को सीमित करने वाली सतहों का निर्माण होता है।
अंडाकार- दूसरे क्रम का वक्र। दीर्घवृत्त बनाने के तरीकों में से एक चित्र 8 में दो अक्षों के अनुदिश एक दीर्घवृत्त बनाने की विधि है। निर्माण करते समय, हम एक केंद्र O और एक मनमाना छेदक OA से त्रिज्या r और R के वृत्त खींचते हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु 1 और 2 से हम दीर्घवृत्त के अक्षों के समानांतर सीधी रेखाएँ खींचते हैं। उनके प्रतिच्छेदन पर हम दीर्घवृत्त के बिंदु M को चिह्नित करते हैं। हम शेष बिंदुओं को भी इसी तरह बनाते हैं।
परवलयएक समतल वक्र कहा जाता है, जिसका प्रत्येक बिंदु किसी दी गई सीधी रेखा से समान दूरी पर स्थित होता है, जिसे डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है, और एक बिंदु जिसे परवलय का फोकस कहा जाता है, एक ही तल में स्थित होता है।
चित्र 9 परवलय के निर्माण का एक तरीका दिखाता है। परवलय O का शीर्ष, परवलय A के बिंदुओं में से एक और अक्ष की दिशा - OS दिया गया है। खंड OS और CA पर एक आयत बनाई गई है, कार्य में इस आयत की भुजाएँ A1 और B1 हैं, उन्हें मनमाने ढंग से समान संख्या में समान भागों में विभाजित किया गया है और विभाजन बिंदुओं को 1, 2, 3, 4. क्रमांकित किया गया है। . 10. शीर्ष O, A1 पर विभाजन बिंदुओं से जुड़ा है, और खंड B1 के विभाजन बिंदुओं से OS अक्ष के समानांतर सीधी रेखाओं में खींचा गया है। समान संख्या वाले बिंदुओं से गुजरने वाली रेखाओं का प्रतिच्छेदन परवलय के कई बिंदुओं को निर्धारित करता है।
साइन लहरइसे एक समतल वक्र कहा जाता है जो इसके कोण में परिवर्तन के आधार पर ज्या में परिवर्तन को दर्शाता है। एक साइनसॉइड (चित्र 10) बनाने के लिए, आपको वृत्त को समान भागों में विभाजित करना होगा और सीधी रेखा खंड को समान संख्या में समान भागों में विभाजित करना होगा एबी = 2एलआर. एक ही नाम के विभाजन बिंदुओं से परस्पर लंबवत रेखाएँ खींचें, जिनके प्रतिच्छेदन पर हमें साइनसॉइड से संबंधित बिंदु प्राप्त होते हैं।
चित्र 10. एक साइनसॉइड का निर्माण
उलझा हुआइसे समतल वक्र कहा जाता है, जो एक सीधी रेखा पर किसी भी बिंदु का प्रक्षेपवक्र है जो बिना फिसले एक वृत्त के चारों ओर घूमता है। इनवॉल्व का निर्माण निम्नलिखित क्रम में किया गया है (चित्र 11): वृत्त को समान भागों में विभाजित किया गया है; वृत्त पर एक दिशा में निर्देशित और प्रत्येक विभाजन बिंदु से गुजरने वाली स्पर्शरेखाएँ खींचिए; वृत्त को विभाजित करने वाले अंतिम बिंदु से खींची गई स्पर्शरेखा पर वृत्त की लंबाई के बराबर एक खंड बिछाएं 2 एल आर, जो कई समान भागों में विभाजित है। एक विभाजन प्रथम स्पर्शरेखा पर रखा गया है 2 एल आर/एन, दूसरे पर - दो, आदि।
आर्किमिडीज़ सर्पिल- एक सपाट वक्र, जिसे एक समान रूप से घूमने वाली त्रिज्या के साथ केंद्र O से समान रूप से उत्तरोत्तर गतिमान एक बिंदु द्वारा वर्णित किया गया है (चित्र 12)।
आर्किमिडीज़ सर्पिल के निर्माण के लिए, सर्पिल पिच को सेट किया जाता है - ए, और केंद्र ओ। केंद्र ओ से, त्रिज्या पी = ए (0-8) का एक चक्र वर्णित है। वृत्त को कई समान भागों में विभाजित करें, उदाहरण के लिए, आठ (बिंदु 1, 2, ..., 8) में। खंड O8 को समान संख्या में भागों में विभाजित किया गया है। केंद्र O से त्रिज्या O1, O2, आदि के साथ। वृत्तों के चाप बनाएं, जिनके प्रतिच्छेदन बिंदु संगत त्रिज्या सदिशों के साथ सर्पिल (I, II, ..., YIII) से संबंधित हों।
तालिका 2
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
सांचा
सांचा
|
सांचा
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
सांचा
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
सांचा
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
सांचा
|
|
सांचा
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
सांचा
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
सांचा
|
||||||||||||||||||||||||||
|
सांचा
|
|
सांचा
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
सांचा
|
सांचा
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
सांचा
|
|
सांचा
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
सांचा
|
|
सांचा
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
सांचा
|
किसी दिए गए त्रिज्या के तीसरे चाप के साथ दो गोलाकार चापों के संयुग्मन का निर्माण करते समय, तीन मामलों पर विचार किया जा सकता है: जब त्रिज्या के संयुग्मन चाप आरत्रिज्या के दिए गए चाप को छूता है आर 1और आर 2बाहर से (चित्र 36, ए); जब वह एक आंतरिक स्पर्श पैदा करती है (चित्र 36, बी);जब आंतरिक और बाहरी स्पर्श संयुक्त होते हैं (चित्र 36, सी)।
एक केंद्र का निर्माण के बारे मेंसंयुग्म चाप त्रिज्या आरबाहरी रूप से स्पर्श करते समय, इसे निम्नलिखित क्रम में किया जाता है: केंद्र से ओ 1त्रिज्या के बराबर आर + आर 1,एक सहायक चाप खींचिए, और केंद्र से O2त्रिज्या के साथ एक पायलट चाप बनाएं आर + आर 2 .चापों के प्रतिच्छेदन पर केंद्र प्राप्त होता है के बारे मेंसंयुग्म चाप त्रिज्या आर,और त्रिज्या के साथ चौराहे पर र+र 1और आर + आर 2 एसवृत्तों के चापों का उपयोग संयोजक बिंदु प्राप्त करने के लिए किया जाता है एऔर ए 1.
एक केंद्र का निर्माण के बारे मेंआंतरिक रूप से स्पर्श करने पर यह केंद्र से भिन्न होता है ओ 1 आर- केंद्र से आर 1 ए ओ 2 RADIUS आर- आर2.केंद्र से आंतरिक और बाहरी स्पर्श को जोड़ते समय ओ 1के बराबर त्रिज्या वाला एक सहायक वृत्त खींचिए आर- आर1,और केंद्र से ओ 2- त्रिज्या के बराबर आर + आर 2 .
चित्र 36 - किसी दिए गए त्रिज्या के चाप के साथ वृत्तों का संयुग्मन
किसी दिए गए त्रिज्या के चाप के साथ एक वृत्त और एक सीधी रेखा का संयुग्मन
यहां दो मामलों पर विचार किया जा सकता है: बाहरी युग्मन (चित्र 37, ए) और आंतरिक (चित्र 37, बी)।दोनों मामलों में, त्रिज्या के संयुग्म चाप का निर्माण करते समय आरसाथी केंद्र के बारे मेंएक सीधी रेखा और त्रिज्या के चाप से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं के स्थान के प्रतिच्छेदन पर स्थित है आरराशि से आर1.
दूरी पर दी गई सीधी रेखा के समानांतर एक बाहरी पट्टिका का निर्माण करते समय आर 1वृत्त की ओर और केंद्र से एक सहायक रेखा खींचें के बारे मेंत्रिज्या के बराबर आर + आर 1,- एक सहायक वृत्त, और उनके प्रतिच्छेदन पर एक बिंदु प्राप्त होता है ओ 1- संयुग्म वृत्त का केंद्र. इस केंद्र से एक त्रिज्या के साथ आरबिंदुओं के बीच एक संयुग्मी चाप बनाएं एऔर ए 1,जिसका निर्माण चित्र से देखा जा सकता है।
चित्र 37 - एक वृत्त और एक सीधी रेखा का दूसरे चाप के साथ संयुग्मन
आंतरिक संयुग्मन का निर्माण केंद्र से भिन्न होता है के बारे मेंके बराबर त्रिज्या वाला एक सहायक चाप खींचिए आर- आर1.
अंडाकार
विभिन्न त्रिज्याओं के वृत्ताकार चापों द्वारा रेखांकित चिकने उत्तल वक्रों को अंडाकार कहा जाता है। अंडाकार में दो समर्थन वृत्त होते हैं जिनके बीच आंतरिक साथी होते हैं।
तीन-केंद्र और बहु-केंद्र अंडाकार होते हैं। कई भागों, जैसे कि कैम, फ्लैंज, कवर और अन्य को चित्रित करते समय, उनकी रूपरेखा अंडाकार के साथ रेखांकित की जाती है। आइए दिए गए अक्षों के अनुदिश एक अंडाकार निर्माण के एक उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए त्रिज्या के दो सहायक चापों द्वारा रेखांकित एक चार-केंद्रीय अंडाकार है आरऔर त्रिज्या r के दो संयुग्मी चाप , प्रमुख अक्ष निर्दिष्ट है अबऔर छोटी धुरी सीडी.त्रिज्या का आकार आर यू आरनिर्माण द्वारा निर्धारित किया जाना चाहिए (चित्र 38)। प्रमुख और लघु अक्ष के सिरों को खंड ए से कनेक्ट करें साथ,जिस पर हम अंतर दर्शाते हैं सेअंडाकार के प्रमुख और लघु अर्ध-अक्ष। खंड के मध्य में एक लंब खींचिए ए एफ,जो अंडाकार के प्रमुख और लघु अक्षों को बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करेगा ओ 1और ओ 2.ये बिंदु अंडाकार के संयुग्मी चाप के केंद्र होंगे, और संयुग्मन बिंदु लंबवत पर ही स्थित होगा।
चित्र 38 - एक अंडाकार का निर्माण
पैटर्न वक्र
नमूनोंपहले निर्मित बिंदुओं से पैटर्न का उपयोग करके खींचे गए सपाट वक्र कहलाते हैं। पैटर्न वक्रों में शामिल हैं: दीर्घवृत्त, परवलय, हाइपरबोला, साइक्लॉयड, साइनसॉइड, इनवॉल्व, आदि।
अंडाकारदूसरे क्रम का एक बंद समतल वक्र है। इसकी विशेषता यह है कि इसके किसी भी बिंदु से दो फोकल बिंदुओं की दूरी का योग दीर्घवृत्त के प्रमुख अक्ष के बराबर एक स्थिर मान होता है। दीर्घवृत्त बनाने के कई तरीके हैं। उदाहरण के लिए, आप इसके सबसे बड़े भाग से एक दीर्घवृत्त बना सकते हैं अबऔर छोटा सीडीकुल्हाड़ियाँ (चित्र 39, ए). दीर्घवृत्त के अक्षों पर, व्यास की तरह, दो वृत्त निर्मित होते हैं, जिन्हें त्रिज्या द्वारा कई भागों में विभाजित किया जा सकता है। बड़े वृत्त के विभाजन बिंदुओं के माध्यम से, दीर्घवृत्त के लघु अक्ष के समानांतर सीधी रेखाएँ खींची जाती हैं, और छोटे वृत्त के विभाजन बिंदुओं के माध्यम से, दीर्घवृत्त के प्रमुख अक्ष के समानांतर सीधी रेखाएँ खींची जाती हैं। इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु दीर्घवृत्त के बिंदु हैं।
आप दो संयुग्म व्यासों का उपयोग करके एक दीर्घवृत्त के निर्माण का उदाहरण दे सकते हैं (चित्र 39, बी) एमएन और केएल।दो व्यासों को संयुग्मी कहा जाता है यदि उनमें से प्रत्येक दूसरे व्यास के समानांतर जीवा को समद्विभाजित करता है। एक समांतर चतुर्भुज का निर्माण संयुग्मी व्यासों पर किया जाता है। व्यासों में से एक एम.एन.बराबर भागों में विभाजित; दूसरे व्यास के समानांतर समांतर चतुर्भुज की भुजाओं को भी समान भागों में विभाजित किया गया है, उन्हें चित्र में दिखाए अनुसार क्रमांकित किया गया है। दूसरे संयुग्म व्यास के सिरों से के.एलकिरणें विभाजन बिंदुओं से होकर गुजरती हैं। एक ही नाम की किरणों के प्रतिच्छेदन पर दीर्घवृत्त बिंदु प्राप्त होते हैं।
चित्र 39 - एक दीर्घवृत्त का निर्माण
परवलयदूसरे क्रम का एक खुला वक्र कहा जाता है, जिसके सभी बिंदु एक बिंदु - फोकस और दी गई सीधी रेखा - डायरेक्ट्रिक्स से समान रूप से दूर होते हैं।
आइए एक परवलय को उसके शीर्ष से बनाने के एक उदाहरण पर विचार करें के बारे मेंऔर कोई बिंदु में(चित्र 40, ए)। साथइस प्रयोजन के लिए एक आयत बनाया गया है OABCऔर विभाजन बिंदुओं से किरणें खींचकर इसकी भुजाओं को बराबर भागों में विभाजित करें। एक ही नाम की किरणों के प्रतिच्छेदन पर परवलय बिंदु प्राप्त होते हैं।
आप एक सीधी रेखा पर स्पर्शरेखा वाले वक्र के रूप में परवलय के निर्माण का एक उदाहरण दे सकते हैं, जिस पर बिंदु दिए गए हैं एऔर में(चित्र 40, बी)।इन सीधी रेखाओं से बने कोण की भुजाओं को समान भागों में विभाजित किया जाता है और विभाजन बिंदुओं को क्रमांकित किया जाता है। एक ही नाम के बिंदु सीधी रेखाओं से जुड़े होते हैं। परवलय को इन रेखाओं के आवरण के रूप में खींचा जाता है।
चित्र 40 - एक परवलय का निर्माण
अतिशयोक्तिदूसरे क्रम का एक सपाट, खुला वक्र कहा जाता है, जिसमें दो शाखाएँ होती हैं, जिनके सिरे अनंत तक दूर चले जाते हैं, उनके स्पर्शोन्मुख की ओर झुकते हैं। हाइपरबोला को इस तथ्य से अलग किया जाता है कि प्रत्येक बिंदु की एक विशेष संपत्ति होती है: दो दिए गए फोकल बिंदुओं से इसकी दूरी में अंतर वक्र के शीर्षों के बीच की दूरी के बराबर एक स्थिर मान होता है। यदि किसी हाइपरबोला के अनंतस्पर्शी परस्पर लंबवत हों, तो इसे समद्विबाहु कहा जाता है। जब एक बिंदु को इसके निर्देशांक दिए जाते हैं तो विभिन्न आरेखों के निर्माण के लिए एक समबाहु अतिपरवलय का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है एम(चित्र 40, वी).इस स्थिति में, रेखाएँ किसी दिए गए बिंदु से होकर खींची जाती हैं अबऔर के.एलनिर्देशांक अक्षों के समानांतर। प्राप्त प्रतिच्छेदन बिंदुओं से, निर्देशांक अक्षों के समानांतर रेखाएँ खींची जाती हैं। उनके प्रतिच्छेदन पर, अतिशयोक्तिपूर्ण बिंदु प्राप्त होते हैं।
चक्रजकिसी बिंदु के प्रक्षेपवक्र को दर्शाने वाली घुमावदार रेखा कहलाती है एएक वृत्त घुमाते समय (चित्र 41)। एक बिंदु की प्रारंभिक स्थिति से एक चक्रज का निर्माण करना एएक खंड अलग रखें एए],बिंदु की मध्यवर्ती स्थिति को चिह्नित करें एक।तो, केंद्र से वर्णित एक वृत्त के साथ बिंदु 1 से गुजरने वाली रेखा के प्रतिच्छेदन पर हे 1,चक्रज का पहला बिंदु प्राप्त करें। निर्मित बिंदुओं को एक चिकनी सीधी रेखा से जोड़ने पर एक चक्रज प्राप्त होता है।
चित्र 41 - एक चक्रवात का निर्माण
साइन लहरइसे एक समतल वक्र कहा जाता है जो इसके कोण में परिवर्तन के आधार पर ज्या में परिवर्तन को दर्शाता है। एक साइनसॉइड (चित्र 42) बनाने के लिए, आपको वृत्त को समान भागों में विभाजित करना होगा और सीधी रेखा खंड को समान संख्या में समान भागों में विभाजित करना होगा एबी = 2एलआर.एक ही नाम के विभाजन बिंदुओं से परस्पर लंबवत रेखाएँ खींचें, जिनके प्रतिच्छेदन पर हमें साइनसॉइड से संबंधित बिंदु प्राप्त होते हैं।
चित्र 42 - एक साइनसॉइड का निर्माण
उलझा हुआइसे समतल वक्र कहा जाता है, जो एक सीधी रेखा पर किसी भी बिंदु का प्रक्षेपवक्र है जो बिना फिसले एक वृत्त के चारों ओर घूमता है। इनवॉल्व का निर्माण निम्नलिखित क्रम में किया गया है (चित्र 43): वृत्त को समान भागों में विभाजित किया गया है; वृत्त पर एक दिशा में निर्देशित और प्रत्येक विभाजन बिंदु से गुजरने वाली स्पर्शरेखाएँ खींचिए; वृत्त को विभाजित करने वाले अंतिम बिंदु से खींची गई स्पर्शरेखा पर वृत्त की लंबाई के बराबर एक खंड बिछाएं 2 एल आर,जिसे कई बराबर भागों में बांटा गया है। एक विभाजन प्रथम स्पर्शरेखा पर रखा गया है 2 एल आर/एन, दूसरे पर - दो, आदि।
परिणामी बिंदु एक चिकने वक्र से जुड़े होते हैं और वृत्त का इनवॉल्व प्राप्त होता है।
चित्र 43 - एक इनवॉल्व का निर्माण
स्व-परीक्षण प्रश्न
1 किसी खंड को किसी भी समान संख्या में भागों में कैसे विभाजित करें?
2 किसी कोण को आधे में कैसे विभाजित करें?
3 एक वृत्त को पाँच बराबर भागों में कैसे बाँटें?
4 किसी दिए गए बिंदु से दिए गए वृत्त पर स्पर्शरेखा की रचना कैसे करें?
5 युग्म किसे कहते हैं?
6 दो वृत्तों को बाहर से दी गई त्रिज्या के चाप से कैसे जोड़ें?
7 अंडाकार किसे कहते हैं?
8 दीर्घवृत्त का निर्माण कैसे होता है?
अध्याय 3. कुछ ज्यामितीय निर्माण
§ 14. सामान्य जानकारी
ग्राफ़िक कार्य करते समय, आपको कई निर्माण समस्याओं का समाधान करना होता है। इस मामले में सबसे आम कार्य रेखा खंडों, कोणों और वृत्तों को समान भागों में विभाजित करना, वृत्तों के चापों और वृत्तों के चापों के साथ रेखाओं के विभिन्न कनेक्शनों का एक दूसरे के साथ निर्माण करना है। संयुग्मन एक वृत्ताकार चाप का एक सीधी रेखा में या दूसरे वृत्त के चाप में सहज संक्रमण है।
सबसे आम कार्यों में निम्नलिखित संयुग्मन का निर्माण शामिल है: एक गोलाकार चाप (गोल कोनों) के साथ दो सीधी रेखाएं; एक सीधी रेखा में वृत्तों के दो चाप; तीसरे चाप के साथ वृत्तों के दो चाप; चाप और एक सीधा दूसरा चाप।
मेट का निर्माण मेट के केंद्रों और बिंदुओं के ग्राफिक निर्धारण से जुड़ा है। संयुग्मन का निर्माण करते समय, बिंदुओं के ज्यामितीय स्थानों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है (एक वृत्त पर स्पर्शरेखा वाली सीधी रेखाएँ; एक दूसरे के स्पर्शरेखा वाले वृत्त)। ऐसा इसलिए है क्योंकि वे ज्यामिति के सिद्धांतों और प्रमेयों पर आधारित हैं।
10. स्व-परीक्षण प्रश्न
स्व-परीक्षण प्रश्न
15. किस समतल वक्र को उत्क्रमित वक्र कहा जाता है?
15. एक रेखाखंड का विभाजन
§ 15. एक रेखाखंड का विभाजन
किसी दिए गए खंड को विभाजित करना अबदो समान भागों में, इसके आरंभ और अंत के बिंदुओं को केंद्र के रूप में लिया जाता है, जहां से खंड के आधे से अधिक त्रिज्या वाले चाप खींचे जाते हैं एबी.चापों को आपसी प्रतिच्छेदन पर खींचा जाता है, जहां बिंदु प्राप्त होते हैं साथऔर डी।इन बिंदुओं को जोड़ने वाली एक रेखा खंड को बिंदु पर विभाजित करेगी कोदो बराबर भागों में (चित्र 30, ए)।
एक पंक्ति को विभाजित करना अबसमान अनुभागों की दी गई संख्या के लिए पी,किसी भी तीव्र कोण पर अबएक सहायक सीधी रेखा खींचें, जिस पर वे एक सामान्य दिए गए सीधे बिंदु से दूर जाते हैं पीमनमानी लंबाई के समान खंड (चित्र 30, बी)।अंतिम बिंदु (चित्र में छठे) से बिंदु तक एक सीधी रेखा खींचें मेंऔर बिंदु 5, 4, 3, 2, 1 से होकर खंड के समानांतर सीधी रेखाएँ खींचें 6बी.ये सीधी रेखाएं खंड पर कट जाएंगी अबसमान खंडों की दी गई संख्या (इस मामले में 6)।
चावल। 30 किसी दिए गए खंड AB को दो बराबर भागों में विभाजित करना
छवि:
16. एक वृत्त को विभाजित करना
§ 16. एक वृत्त का विभाजन
एक वृत्त को चार बराबर भागों में विभाजित करने के लिए, दो परस्पर लंबवत व्यास बनाएं: वृत्त के साथ उनके प्रतिच्छेदन पर हमें वृत्त को चार समान भागों में विभाजित करने वाले बिंदु मिलते हैं (चित्र 31, ए)।
एक वृत्त को आठ बराबर भागों में बाँटने के लिए वृत्त के एक चौथाई के बराबर चापों को आधा-आधा बाँटा जाता है। ऐसा करने के लिए, चाप के एक चौथाई को सीमित करने वाले दो बिंदुओं से, जैसे कि एक वृत्त की त्रिज्या के केंद्रों से, इसकी सीमाओं से परे पायदान बनाए जाते हैं। परिणामी बिंदु वृत्तों के केंद्र से जुड़े होते हैं और वृत्त की रेखा के साथ उनके प्रतिच्छेदन पर, ऐसे बिंदु प्राप्त होते हैं जो चौथाई खंडों को आधे में विभाजित करते हैं, अर्थात, वृत्त के आठ समान खंड प्राप्त होते हैं (चित्र 31, बी)।
वृत्त को इस प्रकार बारह बराबर भागों में विभाजित किया गया है। वृत्त को परस्पर लंबवत व्यास वाले चार भागों में विभाजित करें। वृत्त के साथ व्यासों के प्रतिच्छेदन बिंदु लेना ए बी सी डीकेंद्रों से परे, एक ही त्रिज्या के चार चाप तब तक खींचे जाते हैं जब तक कि वे वृत्त के साथ प्रतिच्छेद न कर दें। परिणामी अंक 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 और अंक ए बी सी डीवृत्त को बारह बराबर भागों में विभाजित करें (चित्र 31, सी)।
त्रिज्या का उपयोग करके वृत्त को 3, 5, 6, 7 बराबर खंडों में विभाजित करना कठिन नहीं है।
चावल। 31 त्रिज्या का उपयोग करके वृत्त को कई समान खंडों में विभाजित करना आसान है।
छवि:
17. कोनों को गोल करना
§ 17. कोनों को गोल करना
किसी दिए गए त्रिज्या के चाप के साथ दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं के संयुग्मन को कोने की गोलाई कहा जाता है। इसे निम्नानुसार किया जाता है (चित्र 32)। डेटा द्वारा बनाए गए कोण के किनारों के समानांतर
सीधी रेखाएँ, त्रिज्या के बराबर दूरी पर सहायक सीधी रेखाएँ खींचें। सहायक रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु फ़िलेट चाप का केंद्र है।
प्राप्त केंद्र से के बारे मेंवे किसी दिए गए कोण की भुजाओं पर लंब बनाते हैं और उनके प्रतिच्छेदन पर उन्हें जोड़ने वाले बिंदु मिलते हैं ए ए बीइन बिंदुओं के बीच त्रिज्या के साथ एक संयुग्म चाप बनाएं आरकेंद्र से के बारे में।
चावल। 32 किसी दिए गए त्रिज्या के चाप के साथ दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं के संयुग्मन को गोलाकार कोने कहा जाता है
छवि:
18. वृत्ताकार चापों का एक सीधी रेखा से संयुग्मन
§ 18. वृत्ताकार चापों का एक सीधी रेखा से संयुग्मन
एक सीधी रेखा के साथ वृत्ताकार चापों के संयुग्मन का निर्माण करते समय, दो समस्याओं पर विचार किया जा सकता है: संयुग्मित सीधी रेखा में एक बाहरी या आंतरिक स्पर्शरेखा होती है। पहली समस्या में (चित्र 33, ए)चाप के केंद्र से
छोटी त्रिज्या आर 1त्रिज्या द्वारा खींचे गए सहायक वृत्त पर एक स्पर्श रेखा खींचिए आर- आर.आई.उसका संपर्क बिंदु कंजंक्शन बिंदु के निर्माण के लिए उपयोग किया जाता है एत्रिज्या के एक चाप पर आर।
दूसरा मेट पॉइंट प्राप्त करने के लिए ए 1त्रिज्या के एक चाप पर आर 1एक सहायक रेखा खींचें ओ 1 ए 1समानांतर हे ए.अंक ए और ए 1बाह्य स्पर्श रेखा का भाग सीमित होगा।
एक आंतरिक स्पर्शरेखा रेखा बनाने का कार्य (चित्र 33, बी)यदि त्रिज्या के बराबर एक सहायक वृत्त का निर्माण किया जाए तो इसे हल किया जा सकता है आर + आर 1,
चावल। 33 वृत्ताकार चापों का एक सीधी रेखा के साथ संयुग्मन
छवि:
19. दो वृत्ताकार चापों का तीसरे चाप के साथ संयुग्मन
§ 19. वृत्तों के दो चापों का तीसरे चाप के साथ संयुग्मन
किसी दिए गए त्रिज्या के तीसरे चाप के साथ दो गोलाकार चापों के संयुग्मन का निर्माण करते समय, तीन मामलों पर विचार किया जा सकता है: जब त्रिज्या के संयुग्मन चाप आरत्रिज्या के दिए गए चाप को छूता है आर 1और आर 2बाहर से (चित्र 34, ए); जब यह एक आंतरिक स्पर्श बनाता है (चित्र 34, बी);जब आंतरिक और बाहरी स्पर्श संयुक्त होते हैं (चित्र 34, सी)।
एक केंद्र का निर्माण के बारे मेंसंयुग्म चाप त्रिज्या आरबाहरी रूप से स्पर्श करते समय, इसे निम्नलिखित क्रम में किया जाता है: केंद्र से ओ 1त्रिज्या के बराबर आर + आर 1,एक सहायक चाप खींचिए, और केंद्र से O2त्रिज्या के साथ एक पायलट चाप बनाएं आर + आर 2 .चापों के प्रतिच्छेदन पर केंद्र प्राप्त होता है के बारे मेंसंयुग्म चाप त्रिज्या आर,और त्रिज्या के साथ चौराहे पर र+र 1और आर + आर 2 एसवृत्तों के चापों का उपयोग संयोजक बिंदु प्राप्त करने के लिए किया जाता है एऔर ए 1.
एक केंद्र का निर्माण के बारे मेंआंतरिक रूप से स्पर्श करने पर यह केंद्र से भिन्न होता है ओ 1 आर- केंद्र से आर 1 ए ओ 2 RADIUS आर- आर2.केंद्र से आंतरिक और बाहरी स्पर्श को जोड़ते समय ओ 1के बराबर त्रिज्या वाला एक सहायक वृत्त खींचिए आर- आर1,और केंद्र से ओ 2- त्रिज्या के बराबर आर + आर 2 .
20. एक वृत्ताकार चाप और एक सीधी रेखा का दूसरे चाप के साथ संयुग्मन
§ 20. एक वृत्ताकार चाप और एक सीधी रेखा का दूसरे चाप के साथ संयुग्मन
यहां दो मामलों पर विचार किया जा सकता है: बाहरी युग्मन (चित्र 35, ए) और आंतरिक (चित्र 35, बी)।दोनों मामलों में, त्रिज्या के संयुग्म चाप का निर्माण करते समय आरसाथी केंद्र के बारे मेंएक सीधी रेखा और त्रिज्या के चाप से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं के स्थान के प्रतिच्छेदन पर स्थित है आरराशि से आर1.
दूरी पर दी गई सीधी रेखा के समानांतर एक बाहरी पट्टिका का निर्माण करते समय आर 1वृत्त की ओर और केंद्र से एक सहायक रेखा खींचें के बारे मेंत्रिज्या के बराबर आर + आर 1,- एक सहायक वृत्त, और उनके प्रतिच्छेदन पर एक बिंदु प्राप्त होता है ओ 1- संयुग्म वृत्त का केंद्र. इस केंद्र से एक त्रिज्या के साथ आरबिंदुओं के बीच एक संयुग्मी चाप बनाएं एऔर ए 1,जिसका निर्माण चित्र से देखा जा सकता है।
आंतरिक संयुग्मन का निर्माण केंद्र से भिन्न होता है के बारे मेंके बराबर त्रिज्या वाला एक सहायक चाप खींचिए आर- आर1.
चित्र 34 एक गोलाकार चाप और दूसरे चाप के साथ एक सीधी रेखा का बाहरी संयुग्मन
छवि:
चित्र: 35 एक वृत्ताकार चाप और दूसरे चाप के साथ एक सीधी रेखा का आंतरिक संयुग्मन
छवि:
21. अंडाकार
§21. अंडाकार
विभिन्न त्रिज्याओं के वृत्ताकार चापों द्वारा रेखांकित चिकने उत्तल वक्रों को अंडाकार कहा जाता है। अंडाकार में दो समर्थन वृत्त होते हैं जिनके बीच आंतरिक साथी होते हैं।
तीन-केंद्र और बहु-केंद्र अंडाकार होते हैं। कई भागों, जैसे कि कैम, फ्लैंज, कवर और अन्य को चित्रित करते समय, उनकी रूपरेखा अंडाकार के साथ रेखांकित की जाती है। आइए दिए गए अक्षों के अनुदिश एक अंडाकार निर्माण के एक उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए त्रिज्या के दो सहायक चापों द्वारा रेखांकित एक चार-केंद्रीय अंडाकार है आरऔर त्रिज्या r के दो संयुग्मी चाप , प्रमुख अक्ष निर्दिष्ट है अबऔर छोटी धुरी सीडी.त्रिज्या का आकार आर यू आरनिर्माण द्वारा निर्धारित किया जाना चाहिए (चित्र 36)। प्रमुख और लघु अक्ष के सिरों को खंड ए से कनेक्ट करें साथ,जिस पर हम अंतर दर्शाते हैं सेअंडाकार के प्रमुख और लघु अर्ध-अक्ष। खंड के मध्य में एक लंब खींचिए ए एफ,जो अंडाकार के प्रमुख और लघु अक्षों को बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करेगा ओ 1और ओ 2.ये बिंदु अंडाकार के संयुग्मी चाप के केंद्र होंगे, और संयुग्मन बिंदु लंबवत पर ही स्थित होगा।
चावल। 36 विभिन्न त्रिज्याओं के वृत्तों के चापों द्वारा रेखांकित चिकने उत्तल वक्रों को अंडाकार कहा जाता है
22. पैटर्न वक्र
§ 22. पैटर्न वक्र
नमूनोंपहले निर्मित बिंदुओं से पैटर्न का उपयोग करके खींचे गए सपाट वक्र कहलाते हैं। पैटर्न वक्रों में शामिल हैं: दीर्घवृत्त, परवलय, हाइपरबोला, साइक्लॉयड, साइनसॉइड, इनवॉल्व, आदि।
अंडाकारदूसरे क्रम का एक बंद समतल वक्र है। इसकी विशेषता यह है कि इसकी किसी से भी दूरियों का योग होता है
चावल। 37
दो फोकल बिंदुओं तक का बिंदु दीर्घवृत्त के प्रमुख अक्ष के बराबर एक स्थिर मान है। दीर्घवृत्त बनाने के कई तरीके हैं। उदाहरण के लिए, आप इसके सबसे बड़े भाग से एक दीर्घवृत्त बना सकते हैं अबऔर छोटा सीडीकुल्हाड़ियाँ (चित्र 37, ए)। दीर्घवृत्त के अक्षों पर, व्यास की तरह, दो वृत्त निर्मित होते हैं, जिन्हें त्रिज्या द्वारा कई भागों में विभाजित किया जा सकता है। बड़े वृत्त के विभाजन बिंदुओं के माध्यम से, दीर्घवृत्त के लघु अक्ष के समानांतर सीधी रेखाएँ खींची जाती हैं, और छोटे वृत्त के विभाजन बिंदुओं के माध्यम से, दीर्घवृत्त के प्रमुख अक्ष के समानांतर सीधी रेखाएँ खींची जाती हैं। इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु दीर्घवृत्त के बिंदु हैं।
आप दो संयुग्म व्यासों का उपयोग करके एक दीर्घवृत्त के निर्माण का उदाहरण दे सकते हैं (चित्र 37, बी) ) एमएन और केएल।दो व्यासों को संयुग्मी कहा जाता है यदि उनमें से प्रत्येक दूसरे व्यास के समानांतर जीवा को समद्विभाजित करता है। एक समांतर चतुर्भुज का निर्माण संयुग्मी व्यासों पर किया जाता है। व्यासों में से एक एम.एन.बराबर भागों में विभाजित; दूसरे व्यास के समानांतर समांतर चतुर्भुज की भुजाओं को भी समान भागों में विभाजित किया गया है, उन्हें चित्र में दिखाए अनुसार क्रमांकित किया गया है। दूसरे संयुग्म व्यास के सिरों से के.एलकिरणें विभाजन बिंदुओं से होकर गुजरती हैं। एक ही नाम की किरणों के प्रतिच्छेदन पर दीर्घवृत्त बिंदु प्राप्त होते हैं।
परवलयदूसरे क्रम का एक खुला वक्र कहा जाता है, जिसके सभी बिंदु एक बिंदु - फोकस और दी गई सीधी रेखा - डायरेक्ट्रिक्स से समान रूप से दूर होते हैं।
आइए एक परवलय को उसके शीर्ष से बनाने के एक उदाहरण पर विचार करें के बारे मेंऔर कोई बिंदु में(चित्र 38, ए)। साथइस प्रयोजन के लिए एक आयत बनाया गया है OABCऔर विभाजन बिंदुओं से किरणें खींचकर इसकी भुजाओं को बराबर भागों में विभाजित करें। एक ही नाम की किरणों के प्रतिच्छेदन पर परवलय बिंदु प्राप्त होते हैं।
आप एक सीधी रेखा पर स्पर्शरेखा वाले वक्र के रूप में परवलय के निर्माण का एक उदाहरण दे सकते हैं, जिस पर बिंदु दिए गए हैं एऔर में(चित्र 38, बी)।इन सीधी रेखाओं से बने कोण की भुजाओं को बराबर भागों में बाँट दिया जाता है
विभाजन बिंदु मापे जाते हैं। एक ही नाम के बिंदु सीधी रेखाओं से जुड़े होते हैं। परवलय को इन रेखाओं के आवरण के रूप में खींचा जाता है।
हाइपरबोला दूसरे क्रम का एक सपाट, खुला वक्र है, जिसमें दो शाखाएँ होती हैं, जिनके सिरे अनंत की ओर बढ़ते हैं, उनके अनंतस्पर्शी की ओर झुकते हैं। हाइपरबोला को इस तथ्य से अलग किया जाता है कि प्रत्येक बिंदु की एक विशेष संपत्ति होती है: दो दिए गए फोकल बिंदुओं से इसकी दूरी में अंतर वक्र के शीर्षों के बीच की दूरी के बराबर एक स्थिर मान होता है। यदि किसी हाइपरबोला के अनंतस्पर्शी परस्पर लंबवत हों, तो इसे समद्विबाहु कहा जाता है। जब एक बिंदु को इसके निर्देशांक दिए जाते हैं तो विभिन्न आरेखों के निर्माण के लिए एक समबाहु अतिपरवलय का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है एम(चित्र 38, वी).इस स्थिति में, रेखाएँ किसी दिए गए बिंदु से होकर खींची जाती हैं अबऔर के.एलनिर्देशांक अक्षों के समानांतर। प्राप्त प्रतिच्छेदन बिंदुओं से, निर्देशांक अक्षों के समानांतर रेखाएँ खींची जाती हैं। उनके प्रतिच्छेदन पर, अतिशयोक्तिपूर्ण बिंदु प्राप्त होते हैं।
संभोग चाप का केंद्र दो संभोग (दी गई) रेखाओं में से प्रत्येक से समान दूरी पर (समान दूरी पर स्थित) होना चाहिए। कोई भी जंक्शन बिंदु (प्रवेश बिंदु) जंक्शन केंद्र से संबंधित सीधी रेखा पर गिराए गए लंबवत के चौराहे का प्रतिनिधित्व करता है।
किसी दिए गए त्रिज्या के चाप के साथ दो सीधी रेखाओं के संयुग्मन के निर्माण के लिए एल्गोरिदम (चित्र 13.39, ए, बी) इस प्रकार है:
1. कुछ दूरी पर ( आर), संभोग चाप की त्रिज्या के बराबर, संभोग सीधी रेखाओं के समानांतर दो सीधी रेखाएं खींचें।
2. उनका प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करें, जो संभोग का केंद्र है ( के बारे में).
3. बिंदु से ( के बारे में) दी गई सीधी रेखाओं पर लंब खींचिए और जोड़ने वाले बिंदु ढूंढिए ( ए) और ( में).
4. बिंदु से ( ए) इंगित करने के लिए ( में) किसी दिए गए त्रिज्या का संयुग्मन चाप बनाएं ( आर).
चित्र 13.49
साथियों के विशिष्ट उदाहरण चित्र में दिखाए गए भागों की आकृति हैं। 13.40.
ऑटोकैड में, दो सीधे खंडों (छवि XX ए) की जोड़ी "संशोधन" मेनू से "मेट" कमांड (फ़िलेट, कुंजी, फ़िललेट) द्वारा की जाती है। कमांड का चयन करने के बाद, संयुग्मन त्रिज्या (उदाहरण के लिए, 10 मिमी) सेट करने के लिए "त्रिज्या" पैरामीटर का उपयोग करें, फिर माउस पॉइंटर के साथ दोनों खंडों को क्रमिक रूप से चिह्नित करें (चित्र XX बी देखें)।
वर्तमान सेटिंग्स: मोड = टीआरआईएम, त्रिज्या = 5.0000
RADIUS
पट्टिका त्रिज्या निर्दिष्ट करें<5.0000>: 10
पहले ऑब्जेक्ट का चयन करें या:
दूसरी वस्तु का चयन करें:
परिणामी तत्व में दो प्रारंभिक खंड और एक संभोग चाप R=10mm होते हैं (चित्र XX c देखें)।
चावल। XX ए) चित्र। XX बी) चित्र। XX सदी)
1.2. त्रिज्या वृत्त चाप पट्टिका आरऔर सीधा एकिसी दिए गए त्रिज्या के चाप के साथ आर 1
इस संयुग्मन को करने के लिए (चित्र 3.31), पहले त्रिज्या के चापों के केंद्रों का समूह निर्धारित करें आर 1. दूरी पर ऐसा करना आर 1सीधी रेखा से एइसके समानान्तर एक रेखा खींचिए एम, और केंद्र से के बारे मेंत्रिज्या ( र+र 1) – एक संकेंद्रित वृत्त के चाप. डॉट ओ 1संभोग चाप का केंद्र होगा. मिलन बिंदु साथएक बिंदु से गिराए गए लंब पर प्राप्त होता है ओ 1सीधे ए, और बिंदु में- बिंदुओं को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा पर के बारे मेंऔर ओ 1.
चित्र 3.31
चित्र में. चित्र 3.32 एक असर समोच्च की छवि का एक उदाहरण दिखाता है, जिसके निर्माण में विचाराधीन प्रकार के इंटरफेस का उपयोग किया गया था।
चित्र 3.32
ऑटोकैड में एक रेखा और एक वृत्त को संयुग्मित करना उस वृत्त के लिए एक रेखा खंड का निर्माण करते समय समझ में आता है जो इस वृत्त की स्पर्शरेखा है। ऐसा करने के लिए, एक खंड का निर्माण करते समय, खंड का प्रारंभिक बिंदु निर्देशांक या ऑब्जेक्ट स्नैप द्वारा निर्धारित किया जाता है, अंतिम बिंदु सर्कल के सापेक्ष "स्पर्शरेखा" स्नैप (स्पर्शरेखा पर जाएं) द्वारा निर्धारित किया जाता है (स्नैपिंग के साथ काम करना वर्णित है) परिशिष्ट XXXXXXXXXXX में)।
1.3. दो वृत्तों के चापों का त्रिज्याओं के साथ संयुग्मन आर 1और आर2, त्रिज्या के संयुग्मन का चाप आर
बाह्य (चित्र 13.42, ए), आंतरिक (चित्र 13.42, बी) और मिश्रित (चित्र 13.42, सी) संयुग्मन हैं। पहले मामले में, मेट का केंद्र त्रिज्या के वृत्तों के चाप का प्रतिच्छेदन बिंदु है आर 1 +आरऔर आर 2 + आर,दूसरे में - त्रिज्या के वृत्तों के प्रतिच्छेदन पर आर-आर 1और आर-आर 2, तीसरे में - त्रिज्या के वृत्तों के चापों के प्रतिच्छेदन पर र+र 1और आर-आर 2. सम्मिलन बिंदु ए 1और ए 2संयुग्मन के केंद्र को संबंधित वृत्त के केंद्र से जोड़ने वाली सीधी रेखाओं पर लेटें।
आइए ऑटोकैड में दो सर्किलों के बाहरी संयुग्मन के मामले पर विचार करें। चित्र में. XX.a त्रिज्या R 1 और R 2 के साथ दो संदर्भ वृत्त दिखाता है, जिनके केंद्र बिंदीदार रेखा के सिरों पर स्थित हैं। वृत्त R 1 के केंद्र से, त्रिज्या R 1 + R वाला एक सहायक वृत्त बनाया गया है, और वृत्त R 2 के केंद्र से, एक वृत्त R 2 + R बनाया गया है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। XX.b (सहायक वृत्त एक धराशायी रेखा के साथ दिखाए गए हैं)। फिर, सहायक वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदु से, त्रिज्या R वाला एक वृत्त बनाया जाता है (चित्र XX c में इसे धराशायी-बिंदीदार रेखा के रूप में दिखाया गया है)। अंतिम निर्माण "संशोधन" मेनू से "क्रॉप" कमांड का उपयोग करके किया जाता है। सपोर्ट सर्कल को सेकेंड ऑब्जेक्ट के रूप में चुना जाता है और सर्कल आर के ऊपरी हिस्से को काट दिया जाता है, फिर सहायक सर्कल हटा दिए जाते हैं (निर्माण का परिणाम चित्र XX.d में दिखाया गया है)।
चित्र XX.ए चित्र XX.बी
चित्र XX.c चित्र XX.d
अब आइए ऑटोकैड में दो सर्किलों के आंतरिक संयुग्मन के मामले को देखें। पिछले मामले के समान, त्रिज्या आर 1 और आर 2 के साथ समर्थन मंडल का निर्माण किया जाता है। वृत्त R 1 के केंद्र से, त्रिज्या R-R 1 वाला एक सहायक वृत्त बनाया जाता है, और वृत्त R 2 के केंद्र से, एक वृत्त R-R 2 बनाया जाता है। फिर, सहायक वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदु से, त्रिज्या R वाला एक वृत्त बनाया जाता है (चित्र XXX.a देखें)। अतिरिक्त तत्वों को पिछले मामले की तरह ही हटा दिया जाता है (परिणाम चित्र XXX.बी में दिखाया गया है)।
मापांक:चित्रों का ग्राफ़िक डिज़ाइन.
परिणाम 1: GOST 2.303 - 68 के अनुसार मानक शीटों के प्रारूप तैयार करने में सक्षम हों। भागों की रूपरेखा बनाने का कौशल हो, आयाम लागू करने में सक्षम हों, GOST 2.303 - 68 के अनुसार शिलालेख बनाने में सक्षम हों।
परिणाम 2:निर्माण नियमों को जानें और जोड़ी बनाने का कौशल रखें। निर्माण के नियम बता सकेंगे।
1. प्रारूपण के नियम, मानक के अनुसार शीर्षक ब्लॉक को भरने के नियम।
2. आयाम, रेखाओं के प्रकार लगाने के नियम।
3. GOST 2.303 - 68 के अनुसार फोंट में शिलालेख बनाने के नियम।
4. तकनीकी भागों की रूपरेखा बनाने के नियम। ज्यामितीय निर्माण.
5. कनेक्शन बनाने और बनाने के नियम।
पाठ विषय:साथी निर्माण के नियम.
लक्ष्य:
- जानिए साथी की परिभाषा, साथियों के प्रकार।
- कनेक्शन बनाने और निर्माण प्रक्रिया को समझाने में सक्षम हो।
- तकनीकी साक्षरता विकसित करें।
- समूह कार्य और स्वतंत्र कार्य में कौशल विकसित करें।
- वक्ता के प्रति सम्मानजनक रवैया और सुनने की क्षमता विकसित करें।
कक्षाओं के दौरान
1. संगठनात्मक एवं प्रेरक चरण -10 मिनटों।
1.1. विद्यार्थी प्रेरणा:
- अन्य वस्तुओं के साथ संबंध;
- भागों पर विचार, ज्यामितीय निकाय जिनसे भागों की रचना होती है और उनके बीच संबंध (एक पंक्ति से दूसरी पंक्ति में सहज संक्रमण);
1.2. समूह को 5-6 लोगों के उपसमूहों (चार उपसमूहों में) में विभाजित करना।
समूह के सभी छात्रों को चार प्रकार की ज्यामितीय आकृतियों में से एक को चुनने के लिए कहा जाता है; विकल्प चुने जाने के बाद, छात्रों को उपसमूहों में स्वतंत्र रूप से काम करने के लिए उपसमूहों में एकजुट किया जाता है।
छात्रों को बताया जाता है कि उन्हें किस विषय का अध्ययन करना है, संयुग्मन के निर्माण के नियमों से परिचित हों, जिससे उन्हें यह समझने में मदद मिलेगी कि सहज संक्रमण (संयुग्मन) का निर्माण कैसे किया जाता है। प्रत्येक समूह को किसी एक प्रकार की जोड़ी का अध्ययन करने और प्रस्तुत करने के लिए आमंत्रित किया जाता है (शिक्षक प्रत्येक अनुभाग में पाठ के विषय पर सामग्री को अनुभागों में वितरित करता है)।
2. पाठ के विषय पर छात्रों की स्वतंत्र गतिविधियों का संगठन – पच्चीस मिनट।
2.1. जोड़ी बनाने की अवधारणा.
2.2. साथी बनाने के लिए सामान्य एल्गोरिदम.
2.3. युग्म के प्रकार. इनके निर्माण के नियम.
2.3.1. दो सीधी रेखाओं के बीच संयुग्मन.
2.3.2. एक सीधी रेखा और एक वृत्त के चाप के बीच आंतरिक और बाह्य संयुग्मन।
2.3.3. वृत्तों के दो चापों के बीच आंतरिक और बाह्य रूप से संयुग्मन।
2.3.4. मिश्रित जोड़ी.
3. संक्षेप में, उपसमूहों में स्वतंत्र कार्य के बाद विषय पर समूह रिपोर्ट - 25 मिनट।
4. सामग्री की महारत की डिग्री की जाँच करना - 10 मिनट।
5. डायरी भरना (पाठ के बारे में) - 5 मिनट।
6. छात्र गतिविधियों का मूल्यांकन.
संयुग्मन एक पंक्ति से दूसरी पंक्ति में सहज संक्रमण है।
3. एक संयुग्मन का निर्माण करें (एक पंक्ति से दूसरी पंक्ति में सहज संक्रमण)
2.3.1. किसी दिए गए त्रिज्या के एक वृत्त के कोण की दो भुजाओं का संयुग्मन बनाना।
किसी दिए गए त्रिज्या R के चाप के साथ एक कोण (तीव्र और अधिक) की दो भुजाओं का संयुग्मन निम्नानुसार किया जाता है:
कोण की भुजाओं के समानांतर चाप R की त्रिज्या के बराबर दूरी पर दो सहायक सीधी रेखाएँ खींची जाती हैं। इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु (बिंदु O) त्रिज्या R के चाप का केंद्र होगा, अर्थात संयुग्मन का केंद्र होगा। बिंदु O से वे एक चाप का वर्णन करते हैं जो आसानी से सीधी रेखाओं में बदल जाता है - कोण की भुजाएँ। चाप कनेक्टिंग पॉइंट n और n1 पर समाप्त होता है, जो केंद्र O से कोण के किनारों पर खींचे गए लंबवत के आधार हैं। समकोण की भुजाओं के मेटिंग का निर्माण करते समय, कंपास का उपयोग करके मेटिंग चाप के केंद्र का पता लगाना आसान होता है। कोण A के शीर्ष से, त्रिज्या R का एक चाप बिंदु O पर परस्पर प्रतिच्छेदन तक खींचा जाता है, जो संयुग्मन का केंद्र है। केंद्र O से, संयुग्मन चाप का वर्णन करें। कोण की दो भुजाओं के युग्म का निर्माण चित्र 1 में दिखाया गया है।
जोड़ी बनाने के लिए सामान्य एल्गोरिदम:
1. जंक्शन बिंदु ज्ञात करना आवश्यक है।
2. संयोजक बिन्दुओं को खोजना आवश्यक है।
3. संयुग्मन का निर्माण (एक पंक्ति से दूसरी पंक्ति में सहज संक्रमण)।
2.3.2 एक सीधी रेखा और एक गोलाकार चाप के बीच आंतरिक और बाहरी कनेक्शन का निर्माण।
एक वृत्ताकार चाप के साथ एक सीधी रेखा का संयुग्मन चाप की आंतरिक स्पर्शरेखा और बाहरी स्पर्शरेखा वाले चाप का उपयोग करके किया जा सकता है। चित्र 2(ए, बी) बाहरी स्पर्शरेखा के साथ त्रिज्या आर के एक गोलाकार चाप और सीधी रेखा एबी के संयुग्मन को दर्शाता है। ऐसे संयुग्मन का निर्माण करने के लिए, त्रिज्या R का एक वृत्त और एक सीधी रेखा AB खींचिए। एक सीधी रेखा ab किसी दी गई सीधी रेखा के समानांतर त्रिज्या r (संयुग्म चाप की त्रिज्या) के बराबर दूरी पर खींची जाती है। केंद्र O से, त्रिज्या R और r के योग के बराबर त्रिज्या वाले एक वृत्त का चाप तब तक खींचिए जब तक कि यह सीधी रेखा ab को बिंदु O1 पर प्रतिच्छेद न कर दे। बिंदु O1 संभोग चाप का केंद्र है। संयुग्मन बिंदु c, त्रिज्या R के एक वृत्ताकार चाप के साथ सीधी रेखा OO1 के प्रतिच्छेदन पर पाया जाता है। इस सीधी रेखा AB पर संयुग्मन बिंदु O1 पाया जाता है। समान निर्माणों का उपयोग करके, बिंदु O2, c2, c3 पाए जा सकते हैं। चित्र 2(ए, बी) एक ब्रैकेट दिखाता है, इसे बनाते समय ऊपर वर्णित निर्माण को पूरा करना आवश्यक है।
फ्लाईव्हील खींचते समय, त्रिज्या R के एक चाप को आंतरिक स्पर्शरेखा के साथ त्रिज्या r के सीधे चाप AB के साथ जोड़ा जाता है। संयुग्मन चाप O1 का केंद्र अंतर R-r के बराबर त्रिज्या के साथ केंद्र O से वर्णित सहायक वृत्त के चाप के साथ दूरी r पर इस रेखा के समानांतर खींची गई एक सहायक रेखा के चौराहे पर स्थित है। 1 के साथ संयुग्मन का बिंदु बिंदु O1 से इस रेखा पर गिराए गए लंबवत का आधार है। संभोग बिंदु c, संभोग चाप के साथ सीधी रेखा OO1 के प्रतिच्छेदन पर पाया जाता है। एक सीधी रेखा और एक गोलाकार चाप के बीच संबंध बनाने का एक उदाहरण चित्र 3 में दिखाया गया है।
संयुग्मन एक पंक्ति से दूसरी पंक्ति में सहज संक्रमण है।
जोड़ी बनाने के लिए सामान्य एल्गोरिदम:
1. मेट का केंद्र ढूंढना जरूरी है.
2. संयोजक बिन्दुओं को खोजना आवश्यक है।
3. संयुग्मन रेखा का निर्माण (एक रेखा से दूसरी रेखा में सहज संक्रमण)।
2.3.3. वृत्तों के दो चापों के बीच एक संयुग्मन का निर्माण करना।
वृत्तों के दो चापों का संयुग्मन आंतरिक या बाह्य हो सकता है।
आंतरिक संयुग्मन के साथ, संभोग चापों के केंद्र O और O1 त्रिज्या R के संभोग चाप के अंदर स्थित होते हैं। बाहरी संयुग्मन के साथ, त्रिज्या R1 और R2 के संभोग चापों के केंद्र O और O1 त्रिज्या R के संभोग चाप के बाहर स्थित होते हैं। .
एक बाहरी इंटरफ़ेस का निर्माण:
ए) संभोग वृत्त आर और आर1 की त्रिज्या;
आवश्यक:
चित्र 4(बी) में दिखाया गया है। केंद्रों के बीच दी गई दूरी के अनुसार, केंद्र O और O1 को चित्र में चिह्नित किया गया है, जिससे त्रिज्या R और R1 के संयुग्म चाप का वर्णन किया गया है। केंद्र O1 से, एक वृत्त का सहायक चाप खींचिए जिसकी त्रिज्या संभोग चाप R और संभोग चाप R2 के बीच के अंतर के बराबर हो, और केंद्र O से - त्रिज्या के अंतर के बराबर त्रिज्या के साथ एक वृत्त का सहायक चाप खींचिए। संभोग चाप R और संभोग चाप R1. सहायक चाप बिंदु O2 पर प्रतिच्छेद करेंगे, जो कनेक्टिंग चाप का वांछित केंद्र होगा। संभोग चापों के साथ सीधी रेखाओं O2O और O2O1 की निरंतरता के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजने के लिए, आवश्यक संयुग्मन बिंदु (बिंदु s और s1) का उपयोग किया जाता है।
आंतरिक इंटरफ़ेस का निर्माण:
ए) संभोग वृत्ताकार चापों की त्रिज्या आर और आर1;
बी) इन चापों के केंद्रों के बीच की दूरी;
ग) संभोग चाप की त्रिज्या आर;
आवश्यक:
ए) संभोग चाप की स्थिति O2 निर्धारित करें;
बी) कनेक्टिंग पॉइंट्स s और s1 ढूंढें;
ग) एक संभोग चाप बनाएं;
बाहरी इंटरफ़ेस का निर्माण चित्र 4(सी) में दिखाया गया है। ड्राइंग में दी गई दूरियों का उपयोग करते हुए, बिंदु O और O1 पाए जाते हैं, जिनसे त्रिज्या R1 और R2 के संयुग्म चाप का वर्णन किया जाता है। केंद्र O से, एक वृत्त का सहायक चाप खींचिए, जिसकी त्रिज्या संगम चाप R2 और संधि चाप R की त्रिज्याओं के योग के बराबर हो। सहायक चाप बिंदु O2 पर प्रतिच्छेद करेंगे, जो कि युग्म चाप का वांछित केंद्र होगा। संभोग चाप. कनेक्टिंग बिंदुओं को खोजने के लिए, चापों के केंद्रों को सीधी रेखाओं OO2 और O1O2 से जोड़ा जाता है। ये दो रेखाएं संयुग्म चापों को संयुग्मन बिंदुओं s और s1 पर प्रतिच्छेद करती हैं। केंद्र O2 से त्रिज्या R के साथ, एक संयुग्म चाप खींचा जाता है, जो इसे बिंदु S और S1 तक सीमित करता है।
2.3.4. मिश्रित संयुग्मन का निर्माण.
मिश्रित युग्मन का एक उदाहरण चित्र 5 में दिखाया गया है।
ए) मेटिंग मेटिंग चापों की त्रिज्या आर और आर1 निर्दिष्ट हैं;
बी) इन चापों के केंद्रों के बीच की दूरी;
ग) संभोग चाप की त्रिज्या आर;
आवश्यक:
ए) संभोग चाप के केंद्र O2 की स्थिति निर्धारित करें;
बी) कनेक्टिंग पॉइंट्स s और s1 ढूंढें;
ग) एक संभोग चाप बनाएं;
केंद्रों के बीच दी गई दूरी के अनुसार, केंद्र O और O1 को चित्र में चिह्नित किया गया है, जिससे त्रिज्या R1 और R2 के संयुग्म चाप का वर्णन किया गया है। केंद्र O से, एक वृत्त का सहायक चाप खींचा जाता है जिसकी त्रिज्या संभोग चाप R1 और संभोग चाप R की त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है, और केंद्र O1 से - त्रिज्याओं के बीच के अंतर के बराबर त्रिज्या के साथ आर और आर2. सहायक चाप बिंदु O2 पर प्रतिच्छेद करेंगे, जो कनेक्टिंग चाप का वांछित केंद्र होगा। बिंदु O और O2 को एक सीधी रेखा से जोड़कर, हम संयुग्मन बिंदु s1 प्राप्त करते हैं; बिंदु O1 और O2 को जोड़ते हुए, संयुग्मन बिंदु s ज्ञात करें। केंद्र O2 से, s से s1 तक एक संयुग्मन चाप खींचा जाता है। चित्र 5 एक मिश्रित साथी के निर्माण का एक उदाहरण दिखाता है।
3. समूहों में छात्रों के स्वतंत्र कार्य के परिणामों का सारांश। ब्लैकबोर्ड पर पाठ विषय के प्रत्येक अनुभाग पर छात्रों की रिपोर्ट।
4. छात्र के ज्ञान अर्जन की डिग्री की जाँच करना। प्रत्येक समूह के छात्र दूसरे समूह के छात्रों से प्रश्न पूछते हैं।
5. डायरियाँ भरना. प्रत्येक विद्यार्थी को पाठ के अंत में एक डायरी भरने के लिए कहा जाता है।
अच्छी मात्रा में ज्ञान प्राप्त करने के लिए, यह रिकॉर्ड करना महत्वपूर्ण है कि पाठ कितनी सफलतापूर्वक गया। यह पत्रिका आपको मॉड्यूल के दौरान पाठ के दौरान अपने काम के हर विवरण को रिकॉर्ड करने की अनुमति देती है। यदि आप अपने पाठ के परिणाम से संतुष्ट, सन्तुष्ट, निराश हैं तो प्रश्नावली के उचित कक्ष में पाठ के तत्वों के प्रति अपना दृष्टिकोण अंकित करें।
| पाठ तत्व | संतुष्ट |
संतुष्ट |
निराश |
