विडा आप= एफ(एक्स), एक्सहे एन, कहाँ पे एनप्राकृतिक संख्याओं का समूह है (या प्राकृतिक तर्क का एक कार्य), निरूपित आप=एफ(एन) या आप 1 ,आप 2 ,…, Y n,…. मूल्यों आप 1 ,आप 2 ,आप 3 ,… अनुक्रम के क्रमशः प्रथम, द्वितीय, तृतीय, ... सदस्य कहलाते हैं।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन के लिए आप= एन 2 लिखा जा सकता है:

आप 1 = 1 2 = 1;

आप 2 = 2 2 = 4;

आप 3 = 3 2 = 9;…वाई एन = एन 2 ;…

अनुक्रम स्थापित करने के तरीके।अनुक्रमों को विभिन्न तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है, जिनमें से तीन विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं: विश्लेषणात्मक, वर्णनात्मक और आवर्तक।

1. एक अनुक्रम विश्लेषणात्मक रूप से दिया जाता है यदि उसका सूत्र दिया गया हो एन-वें सदस्य:

Y n=एफ(एन).

उदाहरण। Y n= 2एन- 1 – विषम संख्याओं का क्रम: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. वर्णनात्मक एक संख्यात्मक अनुक्रम निर्दिष्ट करने का तरीका यह है कि यह बताता है कि अनुक्रम किन तत्वों से बनाया गया है।

उदाहरण 1. "अनुक्रम के सभी सदस्य 1 के बराबर हैं।" इसका मतलब है कि हम एक स्थिर क्रम 1, 1, 1, ..., 1, ... के बारे में बात कर रहे हैं।

उदाहरण 2. "अनुक्रम में सभी अभाज्य संख्याएँ आरोही क्रम में हैं।" इस प्रकार, क्रम 2, 3, 5, 7, 11, ... दिया गया है। इस उदाहरण में अनुक्रम को निर्दिष्ट करने के इस तरीके से, यह उत्तर देना कठिन है कि अनुक्रम का 1000वाँ तत्व किसके बराबर है।

3. अनुक्रम निर्दिष्ट करने का आवर्ती तरीका यह है कि एक नियम इंगित किया जाता है जो किसी को गणना करने की अनुमति देता है एन- अनुक्रम का सदस्य, यदि इसके पिछले सदस्य ज्ञात हैं। नाम आवर्तक विधि लैटिन शब्द . से आया है पुनरावर्ती- वापस लौटें। सबसे अधिक बार, ऐसे मामलों में, एक सूत्र का संकेत दिया जाता है जो व्यक्त करने की अनुमति देता है एनपिछले वाले के माध्यम से अनुक्रम का वां सदस्य, और अनुक्रम के 1-2 प्रारंभिक सदस्यों को निर्दिष्ट करें।

उदाहरण 1 आप 1 = 3; वाई एन = वाई एन-1 + 4 अगर एन = 2, 3, 4,….

यहां आप 1 = 3; आप 2 = 3 + 4 = 7;आप 3 = 7 + 4 = 11; ….

यह देखा जा सकता है कि इस उदाहरण में प्राप्त अनुक्रम को विश्लेषणात्मक रूप से भी निर्दिष्ट किया जा सकता है: Y n= 4एन- 1.

उदाहरण 2 आप 1 = 1; आप 2 = 1; Y n = Y n –2 + Y n-1 अगर एन = 3, 4,….

यहां: आप 1 = 1; आप 2 = 1; आप 3 = 1 + 1 = 2; आप 4 = 1 + 2 = 3; आप 5 = 2 + 3 = 5; आप 6 = 3 + 5 = 8;

इस उदाहरण में रचित अनुक्रम का गणित में विशेष रूप से अध्ययन किया जाता है क्योंकि इसमें कई दिलचस्प गुण और अनुप्रयोग हैं। इसे 13वीं शताब्दी के इतालवी गणितज्ञ के बाद - फिबोनाची अनुक्रम कहा जाता है। फाइबोनैचि अनुक्रम को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित करना बहुत आसान है, लेकिन विश्लेषणात्मक रूप से यह बहुत कठिन है। एनवें फाइबोनैचि संख्या को निम्न सूत्र द्वारा इसकी क्रमसूचक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है।

पहली नज़र में, के लिए सूत्र एनफाइबोनैचि संख्या असंभव लगती है, क्योंकि सूत्र जो केवल प्राकृतिक संख्याओं के अनुक्रम को निर्दिष्ट करता है, में वर्गमूल होते हैं, लेकिन आप पहले कुछ के लिए इस सूत्र की "मैन्युअल रूप से" वैधता की जांच कर सकते हैं। एन.

संख्यात्मक अनुक्रमों के गुण।

एक संख्यात्मक अनुक्रम एक संख्यात्मक कार्य का एक विशेष मामला है, इसलिए अनुक्रमों के लिए कार्यों के कई गुणों पर भी विचार किया जाता है।

परिभाषा . परवर्ती ( Y n} वृद्धि कहलाती है यदि इसका प्रत्येक पद (पहले को छोड़कर) पिछले एक से बड़ा है:

आप 1 y 2 y 3 y n n +1

परिभाषा। अनुक्रम ( Y n} घटती हुई कहलाती है यदि इसका प्रत्येक पद (पहले को छोड़कर) पिछले एक से कम है:

आप 1 > आप 2 > आप 3 > … > Y n> Y n +1 > … .

बढ़ते और घटते क्रम एक सामान्य शब्द - मोनोटोनिक अनुक्रम द्वारा एकजुट होते हैं।

उदाहरण 1 आप 1 = 1; Y n= एन 2 एक बढ़ता हुआ क्रम है।

इस प्रकार, निम्नलिखित प्रमेय सत्य है (एक अंकगणितीय प्रगति का एक विशिष्ट गुण)। एक संख्यात्मक अनुक्रम अंकगणितीय होता है यदि और केवल यदि इसके प्रत्येक सदस्य, पहले (और परिमित अनुक्रम के मामले में अंतिम) को छोड़कर, पिछले और बाद के सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

उदाहरण। किस मूल्य पर एक्ससंख्या 3 एक्स + 2, 5एक्स- 4 और 11 एक्स+12 एक परिमित अंकगणितीय प्रगति बनाता है?

विशेषता गुण के अनुसार, दिए गए व्यंजकों को संबंध को संतुष्ट करना चाहिए

5एक्स – 4 = ((3एक्स + 2) + (11एक्स + 12))/2.

इस समीकरण को हल करने पर प्राप्त होता है एक्स= –5,5. इस मूल्य के साथ एक्सदिए गए भाव 3 एक्स + 2, 5एक्स- 4 और 11 एक्स+ 12 क्रमशः मान -14.5 लेते हैं, –31,5, –48,5. यह एक समांतर श्रेणी है, इसका अंतर -17 है।

ज्यामितीय अनुक्रम।

एक संख्यात्मक अनुक्रम जिसके सभी सदस्य गैर-शून्य हैं और जिनमें से प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले सदस्य से उसी संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। क्यू, को एक ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है, और संख्या क्यू- एक ज्यामितीय प्रगति का भाजक।

इस प्रकार, एक ज्यामितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है ( बी नहीं) संबंधों द्वारा पुनरावर्ती रूप से दिया गया

बी 1 = बी, बी नहीं = बी नहीं –1 क्यू (एन = 2, 3, 4…).

(बीतथा क्यू-दिए गए नंबर, बी ≠ 0, क्यू ≠ 0).

उदाहरण 1. 2, 6, 18, 54, ... - बढ़ती हुई ज्यामितीय प्रगति बी = 2, क्यू = 3.

उदाहरण 2. 2, -2, 2, -2, ... – ज्यामितीय अनुक्रम बी= 2,क्यू= –1.

उदाहरण 3. 8, 8, 8, 8,… – ज्यामितीय अनुक्रम बी= 8, क्यू= 1.

एक ज्यामितीय प्रगति एक बढ़ता हुआ क्रम है यदि बी 1 > 0, क्यू> 1, और घट रहा है अगर बी 1 > 0, 0q

एक ज्यामितीय प्रगति के स्पष्ट गुणों में से एक यह है कि यदि कोई अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है, तो वर्गों का अनुक्रम, अर्थात।

बी 1 2 , बी 2 2 , बी 3 2 , …, बी नहीं 2,... एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद के बराबर है बी 1 2 , और हर है क्यू 2 .

सूत्र एन-एक ज्यामितीय प्रगति के वें पद का रूप है

बी नहीं= बी 1 क्यू एन- 1 .

आप एक परिमित ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के योग के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं।

मान लीजिए कि एक परिमित ज्यामितीय प्रगति है

बी 1 ,बी 2 ,बी 3 , …, बी नहीं

होने देना एस एन -इसके सदस्यों का योग, अर्थात्।

एस नहीं= बी 1 + बी 2 + बी 3 + … +बी नहीं.

यह स्वीकार किया जाता है कि क्यूनंबर 1. निर्धारित करने के लिए एस नहींएक कृत्रिम चाल लागू की जाती है: अभिव्यक्ति के कुछ ज्यामितीय परिवर्तन किए जाते हैं एस एन क्यू.

एस एन क्यू = (बी 1 + बी 2 + बी 3 + … + बी नहीं –1 + बी नहीं)क्यू = बी 2 + बी 3 + बी 4 + …+ बी नहीं+ बी एन क्यू = एस नहीं+ बी एन क्यू– बी 1 .

इस तरह, एस एन क्यू= एस नहीं +बी एन क्यू - बी 1 और इसलिए

यह सूत्र है उम्मा n एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यमामले के लिए जब क्यू≠ 1.

पर क्यू= 1 सूत्र अलग से नहीं निकाला जा सकता है, यह स्पष्ट है कि इस स्थिति में एस नहीं= एक 1 एन.

ज्यामितीय प्रगति का नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि इसमें पहले को छोड़कर प्रत्येक पद पिछले और बाद के पदों के ज्यामितीय माध्य के बराबर है। दरअसल, चूंकि

बी एन = बी एन- 1 क्यू;

बीएन = बीएन+ 1 /क्यू,

फलस्वरूप, बी नहीं 2= बी एन- 1 बीएन+ 1 और निम्नलिखित प्रमेय सत्य है (एक ज्यामितीय प्रगति का एक विशिष्ट गुण):

एक संख्यात्मक अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है यदि और केवल यदि इसके प्रत्येक पद का वर्ग, पहले (और एक परिमित अनुक्रम के मामले में अंतिम) को छोड़कर, पिछले और बाद के शब्दों के उत्पाद के बराबर है।

अनुक्रम सीमा।

एक क्रम होने दो ( ग नहीं} = {1/एन}. इस अनुक्रम को हार्मोनिक कहा जाता है, क्योंकि इसके प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले और बाद के सदस्यों के बीच हार्मोनिक माध्य है। संख्याओं का ज्यामितीय माध्य एकतथा बीएक संख्या है

अन्यथा, अनुक्रम को अपसारी कहा जाता है।

इस परिभाषा के आधार पर, उदाहरण के लिए, एक सीमा के अस्तित्व को सिद्ध किया जा सकता है ए = 0हार्मोनिक अनुक्रम के लिए ( ग नहीं} = {1/एन) मान लीजिए एक मनमाना लघु धनात्मक संख्या है। हम अंतर पर विचार करते हैं

क्या ऐसा है एनकि सबके लिए नहीं एनअसमानता 1 /एन? अगर के रूप में लिया एनसे बड़ी कोई प्राकृत संख्या 1/ε , तो सभी के लिए एन नहींअसमानता 1 /एन 1/एन , क्यू.ई.डी.

किसी विशेष अनुक्रम के लिए एक सीमा के अस्तित्व को सिद्ध करना कभी-कभी बहुत कठिन होता है। सबसे सामान्य अनुक्रमों का अच्छी तरह से अध्ययन किया जाता है और उन्हें संदर्भ पुस्तकों में सूचीबद्ध किया जाता है। ऐसे महत्वपूर्ण प्रमेय हैं जो यह निष्कर्ष निकालना संभव बनाते हैं कि किसी दिए गए अनुक्रम में पहले से ही अध्ययन किए गए अनुक्रमों के आधार पर एक सीमा होती है (और यहां तक ​​​​कि इसकी गणना भी होती है)।

प्रमेय 1. यदि किसी अनुक्रम की एक सीमा होती है, तो वह परिबद्ध होता है।

प्रमेय 2. यदि कोई अनुक्रम नीरस और परिबद्ध है, तो उसकी एक सीमा होती है।

प्रमेय 3. यदि अनुक्रम ( एक} एक सीमा है ए, फिर अनुक्रम ( कर सकते हैं}, {एक+ ग) और (| एक|} सीमाएं हैं सीए, ए +सी, |ए| क्रमशः (यहाँ सीएक मनमाना संख्या है)।

प्रमेय 4. यदि अनुक्रम ( एक} तथा ( बी नहीं) के बराबर सीमाएं हैं एतथा बी बरतन + क्यूबी एन) की एक सीमा है देहात+ क्यूबी.

प्रमेय 5. यदि अनुक्रम ( एक) तथा ( बी नहीं) के बराबर सीमाएं हैं एतथा बीक्रमशः, फिर अनुक्रम ( एक एन बी नहीं) की एक सीमा है एबी.

प्रमेय 6. यदि अनुक्रम ( एक} तथा ( बी नहीं) के बराबर सीमाएं हैं एतथा बीक्रमशः, और इसके अतिरिक्त बी एन 0 और ब 0, फिर अनुक्रम ( ए एन / बी एन) की एक सीमा है ए/बी.

अन्ना चुगैनोवा

इससे पहले कि हम फैसला करना शुरू करें अंकगणितीय प्रगति की समस्या, विचार करें कि एक संख्या अनुक्रम क्या है, क्योंकि एक अंकगणितीय प्रगति एक संख्या अनुक्रम का एक विशेष मामला है।

एक संख्यात्मक अनुक्रम एक संख्यात्मक सेट है, जिसके प्रत्येक तत्व का अपना क्रमांक होता है. इस सेट के तत्वों को अनुक्रम के सदस्य कहा जाता है। अनुक्रम तत्व की क्रमिक संख्या एक सूचकांक द्वारा इंगित की जाती है:

अनुक्रम का पहला तत्व;

अनुक्रम का पाँचवाँ तत्व;

- अनुक्रम का "nth" तत्व, अर्थात। तत्व "कतार में खड़ा" नंबर n पर।

एक अनुक्रम तत्व के मूल्य और उसकी क्रमिक संख्या के बीच एक निर्भरता है। इसलिए, हम एक अनुक्रम को एक फ़ंक्शन के रूप में मान सकते हैं जिसका तर्क अनुक्रम के एक तत्व की क्रमिक संख्या है। दूसरे शब्दों में, कोई कह सकता है कि अनुक्रम प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है:

अनुक्रम को तीन तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है:

1 . अनुक्रम को एक तालिका का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है।इस मामले में, हम केवल अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य का मान निर्धारित करते हैं।

उदाहरण के लिए, किसी ने व्यक्तिगत समय प्रबंधन करने का फैसला किया, और शुरुआत करने के लिए, यह गणना करने के लिए कि वह सप्ताह के दौरान VKontakte पर कितना समय बिताता है। समय को एक तालिका में लिखने से उसे सात तत्वों का एक क्रम प्राप्त होगा:

तालिका की पहली पंक्ति में सप्ताह के दिनों की संख्या होती है, दूसरी - मिनटों में समय। हम देखते हैं कि, सोमवार को किसी ने VKontakte पर 125 मिनट बिताए, यानी गुरुवार को - 248 मिनट, और, शुक्रवार को, केवल 15।

2 . अनुक्रम को nवें सदस्य सूत्र का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है।

इस मामले में, अनुक्रम तत्व के मूल्य की संख्या पर निर्भरता सीधे सूत्र के रूप में व्यक्त की जाती है।

उदाहरण के लिए, यदि , तो

किसी दी गई संख्या के साथ अनुक्रम तत्व का मान ज्ञात करने के लिए, हम तत्व संख्या को nवें सदस्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

हम ऐसा ही करते हैं यदि हमें किसी फ़ंक्शन का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है यदि तर्क का मान ज्ञात है। हम फ़ंक्शन के समीकरण के बजाय तर्क के मान को प्रतिस्थापित करते हैं:

यदि, उदाहरण के लिए, , फिर

एक बार फिर, मैं ध्यान देता हूं कि एक क्रम में, एक मनमाना संख्यात्मक कार्य के विपरीत, केवल एक प्राकृतिक संख्या एक तर्क हो सकती है।

3 . अनुक्रम को एक सूत्र का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है जो पिछले सदस्यों के मूल्य पर संख्या n के साथ अनुक्रम के सदस्य के मूल्य की निर्भरता को व्यक्त करता है। इस मामले में, हमारे लिए इसका मूल्य ज्ञात करने के लिए केवल अनुक्रम सदस्य की संख्या जानना पर्याप्त नहीं है। हमें अनुक्रम के पहले सदस्य या पहले कुछ सदस्यों को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम पर विचार करें ,

हम अनुक्रम के सदस्यों के मान पा सकते हैं अनुक्रम में, तीसरे से शुरू:

अर्थात्, हर बार अनुक्रम के nवें सदस्य का मान ज्ञात करने के लिए, हम पिछले दो पर लौटते हैं। अनुक्रमण के इस तरीके को कहा जाता है आवर्तक, लैटिन शब्द . से पुनरावर्ती- वापस लौटें।

अब हम एक अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित कर सकते हैं। एक अंकगणितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम का एक साधारण विशेष मामला है।

अंकगणितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम कहा जाता है, जिसमें से प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, उसी संख्या के साथ जोड़ा जाता है।

नंबर कहा जाता है एक अंकगणितीय प्रगति का अंतर. अंकगणितीय प्रगति का अंतर सकारात्मक, नकारात्मक या शून्य हो सकता है।

अगर शीर्षक = "(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} की बढ़ती.

उदाहरण के लिए, 2; 5; आठ; ग्यारह;...

यदि , तो समांतर श्रेणी का प्रत्येक पद पिछले वाले से कम है, और प्रगति है घट.

उदाहरण के लिए, 2; -एक; -चार; -7;...

यदि , तो प्रगति के सभी सदस्य समान संख्या के बराबर हैं, और प्रगति है स्थावर.

उदाहरण के लिए, 2;2;2;2;...

अंकगणितीय प्रगति की मुख्य संपत्ति:

आइए तस्वीर को देखें।

हम देखते है कि

, और उस समय पर ही

इन दो समानताओं को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं:

.

समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें:

तो, अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, दो पड़ोसी लोगों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है:

इसके अलावा, चूंकि

, और उस समय पर ही

, फिर

, और इसलिए

शीर्षक से शुरू होने वाली अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य = "(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

वें सदस्य सूत्र।

हम देखते हैं कि अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के लिए, निम्नलिखित संबंध हैं:

और अंत में

हमें मिला nवें पद का सूत्र।

महत्वपूर्ण!अंकगणितीय प्रगति के किसी भी सदस्य को और के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। पहले पद और अंकगणितीय प्रगति के अंतर को जानने के बाद, आप इसके किसी भी सदस्य को ढूंढ सकते हैं।

अंकगणितीय प्रगति के n सदस्यों का योग।

एक मनमानी अंकगणितीय प्रगति में, चरम पदों से समान दूरी वाले पदों का योग एक दूसरे के बराबर होता है:

n सदस्यों के साथ एक अंकगणितीय प्रगति पर विचार करें। मान लीजिए कि इस प्रगति के n सदस्यों का योग बराबर है।

प्रगति के पदों को पहले संख्याओं के आरोही क्रम में और फिर अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें:

आइए इसे जोड़ते हैं:

प्रत्येक कोष्ठक में योग है, युग्मों की संख्या n है।

हम पाते हैं:

इसलिए, एक अंकगणितीय प्रगति के n सदस्यों का योग सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

विचार करना अंकगणितीय प्रगति की समस्याओं को हल करना.

1 . क्रम nवें सदस्य के सूत्र द्वारा दिया गया है: . सिद्ध कीजिए कि यह क्रम एक समांतर श्रेढ़ी है।

आइए हम सिद्ध करें कि अनुक्रम के दो आसन्न सदस्यों के बीच का अंतर समान संख्या के बराबर है।

हमने प्राप्त किया है कि अनुक्रम के दो आसन्न सदस्यों का अंतर उनकी संख्या पर निर्भर नहीं करता है और एक अचर है। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, यह अनुक्रम एक अंकगणितीय प्रगति है।

2 . एक समांतर श्रेणी को देखते हुए -31; -27;...

a) प्रगति के 31 पद ज्ञात कीजिए।

बी) निर्धारित करें कि क्या संख्या 41 इस प्रगति में शामिल है।

एक)हम देखते है कि ;

आइए अपनी प्रगति के लिए nवें पद का सूत्र लिखें।

सामान्य रूप में

हमारे मामले में , इसीलिए

हम पाते हैं:

बी)मान लीजिए कि संख्या 41 अनुक्रम का सदस्य है। आइए जानते हैं उसका नंबर। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण को हल करते हैं:

हमें n का एक प्राकृतिक मान मिला है, इसलिए, हाँ, संख्या 41 प्रगति का सदस्य है। यदि n का पाया गया मान एक प्राकृत संख्या नहीं होता, तो हम उत्तर देते कि संख्या 41 प्रगति का सदस्य नहीं है।

3 . a) संख्या 2 और 8 के बीच, 4 संख्याएँ डालें ताकि वे दी गई संख्याओं के साथ मिलकर एक समान्तर श्रेणी बना सकें।

बी) परिणामी प्रगति की शर्तों का योग पाएं।

एक)आइए संख्या 2 और 8 के बीच चार संख्याएँ डालें:

हमें एक समान्तर श्रेणी प्राप्त हुई है, जिसमें 6 पद हैं।

आइए इस प्रगति का अंतर खोजें। ऐसा करने के लिए, हम nवें पद के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

अब संख्याओं का मान ज्ञात करना आसान है:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

बी)

उत्तर: ए) हाँ; बी) 30

4. ट्रक 240 टन वजन के कुचल पत्थर के एक बैच का परिवहन करता है, प्रतिदिन परिवहन दर में समान टन की वृद्धि करता है। मालूम हो कि पहले दिन 2 टन मलबा ले जाया गया। निर्धारित करें कि बारहवें दिन कितने टन कुचल पत्थर का परिवहन किया गया था यदि सभी काम 15 दिनों में पूरा किया गया था।

समस्या की स्थिति के अनुसार, ट्रक द्वारा परिवहन किए जाने वाले कुचल पत्थर की मात्रा हर दिन उतनी ही बढ़ जाती है। इसलिए, हम एक अंकगणितीय प्रगति के साथ काम कर रहे हैं।

हम इस समस्या को अंकगणितीय प्रगति के रूप में तैयार करते हैं।

पहले दिन के दौरान, 2 टन कुचल पत्थर ले जाया गया: a_1=2.

15 दिनों में पूरा हुआ सारा काम:.

ट्रक 240 टन वजन वाले कुचल पत्थर के एक बैच का परिवहन करता है:

हमें खोजने की जरूरत है।

सबसे पहले, आइए प्रगति अंतर का पता लगाएं। आइए प्रगति के n सदस्यों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करें।

हमारे मामले में:

संख्यात्मक क्रम।
कैसे ?

इस पाठ में, हम Vkontakte . नामक एक बड़े समुदाय के सदस्यों के जीवन से बहुत सी रोचक बातें सीखेंगे संख्या क्रम. विचाराधीन विषय न केवल गणितीय विश्लेषण के पाठ्यक्रम को संदर्भित करता है, बल्कि मूल बातों को भी छूता है गणित पृथक करें. इसके अलावा, टॉवर के अन्य वर्गों के विकास के लिए सामग्री की आवश्यकता होगी, विशेष रूप से, अध्ययन के दौरान संख्या श्रृंखलातथा कार्यात्मक पंक्तियाँ. आप स्पष्ट रूप से कह सकते हैं कि यह महत्वपूर्ण है, आप आश्वस्त रूप से कह सकते हैं कि यह सरल है, आप बहुत अधिक ऑन-ड्यूटी वाक्यांश कह सकते हैं, लेकिन आज पहला, असामान्य रूप से आलसी स्कूल सप्ताह है, इसलिए मेरे लिए पहला पैराग्राफ लिखना बहुत मुश्किल है। =) मैंने पहले ही फ़ाइल को अपने दिल में सहेज लिया था और सोने के लिए तैयार हो गया था, अचानक ... एक स्पष्ट स्वीकारोक्ति के विचार ने सिर को जलाया, जिसने अविश्वसनीय रूप से आत्मा को राहत दी और कीबोर्ड पर उंगलियों के आगे दोहन के लिए धक्का दिया।

आइए गर्मियों की यादों से पीछे हटें और एक नए सामाजिक नेटवर्क की इस आकर्षक और सकारात्मक दुनिया को देखें:

एक संख्यात्मक अनुक्रम की अवधारणा

सबसे पहले, आइए शब्द के बारे में ही सोचें: अनुक्रम क्या है? संगति तब होती है जब कोई चीज किसी चीज के पीछे स्थित होती है। उदाहरण के लिए, क्रियाओं का क्रम, ऋतुओं का क्रम। या जब कोई किसी के पीछे स्थित हो। उदाहरण के लिए, एक कतार में लोगों का एक क्रम, पानी के गड्ढे के रास्ते पर हाथियों का एक क्रम।

आइए हम अनुक्रम की विशिष्ट विशेषताओं को तुरंत स्पष्ट करें। पहले तो, अनुक्रम सदस्यस्थित हैं एक निश्चित क्रम में सख्ती से. तो, अगर कतार में दो लोगों की अदला-बदली की जाती है, तो यह पहले से ही होगा दूसराबाद में। दूसरे, प्रत्येक के लिए अनुक्रम सदस्यआप एक सीरियल नंबर असाइन कर सकते हैं:

संख्याओं के साथ भी ऐसा ही है। होने देना प्रत्येक के लिएप्राकृतिक मूल्य किसी नियम के अनुसारवास्तविक संख्या में मैप किया गया। तब हम कहते हैं कि एक संख्यात्मक अनुक्रम दिया गया है।

हाँ, गणितीय समस्याओं में, जीवन स्थितियों के विपरीत, अनुक्रम में लगभग हमेशा होता है असीम रूप से कईसंख्याएं।

जिसमें:
बुलाया पहला सदस्यक्रम;
– दूसरा सदस्यक्रम;
– तीसरा सदस्यक्रम;
…
– n वेंया आम सदस्यक्रम;
…

व्यवहार में, अनुक्रम आमतौर पर दिया जाता है सामान्य शब्द सूत्र, उदाहरण के लिए:
धनात्मक सम संख्याओं का एक क्रम है:

इस प्रकार, रिकॉर्ड विशिष्ट रूप से अनुक्रम के सभी सदस्यों को निर्धारित करता है - यह नियम (सूत्र) है जिसके अनुसार प्राकृतिक मूल्य संख्याओं का मिलान किया जाता है। इसलिए, अनुक्रम को अक्सर एक सामान्य सदस्य द्वारा संक्षिप्त रूप से दर्शाया जाता है, और उदाहरण के लिए "x" के बजाय अन्य लैटिन अक्षरों का उपयोग किया जा सकता है:

धनात्मक विषम संख्याओं का क्रम:

एक और सामान्य अनुक्रम:

जैसा कि, शायद, कई लोगों ने देखा है, चर "एन" एक प्रकार के काउंटर की भूमिका निभाता है।

वास्तव में, हमने मध्य विद्यालय में संख्यात्मक अनुक्रमों को वापस निपटाया। चलो याद करते हैं अंकगणितीय प्रगति. मैं परिभाषा को फिर से नहीं लिखूंगा, आइए एक विशिष्ट उदाहरण के साथ सार को स्पर्श करें। आज्ञा देना पहला पद हो और कदमअंकगणितीय प्रगति। फिर:
इस प्रगति का दूसरा कार्यकाल है;
इस प्रगति का तीसरा सदस्य है;
- चौथा;
- पांचवां;
…
और, जाहिर है, nवें सदस्य से पूछा जाता है आवर्तकसूत्र

टिप्पणी : एक पुनरावर्ती सूत्र में, प्रत्येक अगले पद को पिछले पद के संदर्भ में या यहां तक ​​कि पिछले शब्दों के पूरे सेट के रूप में व्यक्त किया जाता है।

परिणामी सूत्र व्यवहार में बहुत कम उपयोग होता है - प्राप्त करने, कहने, करने के लिए, आपको पिछले सभी शब्दों से गुजरना होगा। और गणित में, अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के लिए एक अधिक सुविधाजनक व्यंजक प्राप्त होता है: . हमारे मामले में:

सूत्र में प्राकृतिक संख्याओं को प्रतिस्थापित करें और ऊपर निर्मित संख्यात्मक अनुक्रम की शुद्धता की जाँच करें।

इसी तरह की गणना के लिए किया जा सकता है ज्यामितीय अनुक्रम, जिसका nवाँ पद सूत्र द्वारा दिया गया है, पहला पद कहाँ है, और है भाजकप्रगति। मटन असाइनमेंट में, पहला पद अक्सर एक के बराबर होता है।

प्रगति अनुक्रम सेट करती है ;
प्रगति अनुक्रम सेट करता है;
प्रगति अनुक्रम सेट करता है ;
प्रगति अनुक्रम सेट करता है .

मुझे आशा है कि हर कोई जानता है कि -1 से विषम घात -1 है, और सम घात के लिए एक है।

प्रगति कहलाती है असीम रूप से घट रहा है, अगर (पिछले दो मामले)।

आइए अपनी सूची में दो नए मित्र जोड़ें, जिनमें से एक ने अभी-अभी मॉनिटर मैट्रिक्स पर दस्तक दी है:

गणितीय शब्दजाल में अनुक्रम को "फ्लैशर" कहा जाता है:

इस तरह, अनुक्रम सदस्यों को दोहराया जा सकता है. तो, विचारित उदाहरण में, अनुक्रम में दो अपरिमित रूप से प्रत्यावर्ती संख्याएँ होती हैं।

क्या ऐसा होता है कि अनुक्रम में समान संख्याएँ होती हैं? बेशक। उदाहरण के लिए, यह "ट्रिपल" की अनंत संख्या सेट करता है। सौंदर्यशास्त्र के लिए, एक ऐसा मामला है जब सूत्र में "एन" अभी भी औपचारिक रूप से प्रकट होता है:

आइए एक साधारण प्रेमिका को नृत्य करने के लिए आमंत्रित करें:

क्या होता है जब "एन" अनंत तक बढ़ जाता है? जाहिर है, अनुक्रम की शर्तें होंगी असीम रूप से करीबदृष्टिकोण शून्य। यह इस क्रम की सीमा है, जो इस प्रकार लिखी गई है:

यदि किसी अनुक्रम की सीमा शून्य हो, तो वह कहलाती है बहुत छोता.

गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत में, यह दिया गया है अनुक्रम सीमा की सख्त परिभाषातथाकथित एप्सिलॉन पड़ोस के माध्यम से। अगला लेख इस परिभाषा के लिए समर्पित होगा, लेकिन अभी के लिए आइए इसके अर्थ का विश्लेषण करें:

आइए वास्तविक रेखा पर शून्य (सीमा) के संबंध में अनुक्रम की शर्तों और पड़ोस सममित को चित्रित करें:


अब नीले पड़ोस को अपनी हथेलियों के किनारों से पकड़ें और इसे सीमा (लाल बिंदु) तक खींचते हुए इसे कम करना शुरू करें। एक संख्या अनुक्रम की सीमा है यदि किसी पूर्व-चयनित -पड़ोस के लिए (मनमाने ढंग से छोटा)इसके अंदर होगा असीम रूप से कईअनुक्रम के सदस्य, और इसके बाहर - केवल अंतिमसदस्यों की संख्या (या बिल्कुल नहीं)। यही है, एप्सिलॉन पड़ोस सूक्ष्म हो सकता है, और इससे भी कम, लेकिन अनुक्रम की "अनंत पूंछ" जल्द या बाद में होनी चाहिए पूरी तरह सेइस क्षेत्र में प्रवेश करें।

अनुक्रम भी असीम रूप से छोटा है: इस अंतर के साथ कि इसके सदस्य आगे-पीछे नहीं कूदते हैं, लेकिन विशेष रूप से दाईं ओर से सीमा तक पहुंचते हैं।

स्वाभाविक रूप से, सीमा किसी अन्य परिमित संख्या के बराबर हो सकती है, एक प्राथमिक उदाहरण:

यहां भिन्न शून्य हो जाता है, और तदनुसार, सीमा "दो" के बराबर होती है।

यदि क्रम एक सीमित सीमा है, तो इसे कहा जाता है अभिसारी(विशेष रूप से, बहुत छोतापर )। अन्यथा - विभिन्न, जबकि दो विकल्प संभव हैं: या तो सीमा बिल्कुल मौजूद नहीं है, या यह अनंत है। बाद के मामले में, अनुक्रम कहा जाता है असीम रूप से बड़ा. आइए पहले पैराग्राफ के उदाहरणों के माध्यम से सरपट दौड़ें:

दृश्यों हैं असीम रूप से बड़ा, क्योंकि उनके सदस्य "प्लस इनफिनिटी" की ओर तेजी से बढ़ते हैं:

पहले पद और एक चरण के साथ एक अंकगणितीय प्रगति भी असीम रूप से बड़ी है:

वैसे, शून्य चरण वाले मामले को छोड़कर, कोई भी अंकगणितीय प्रगति भी अलग हो जाती है - जब एक विशिष्ट संख्या में असीम रूप से जोड़ा जाता है। इस तरह के अनुक्रम की सीमा मौजूद है और पहले पद के साथ मेल खाती है।

अनुक्रमों का एक समान भाग्य है:

कोई भी अपरिमित रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति, जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है, असीम रूप से छोटा:

यदि हर एक ज्यामितीय प्रगति है, तो अनुक्रम असीम रूप से बड़ा हैए:

यदि, उदाहरण के लिए, तो कोई सीमा नहीं है, क्योंकि सदस्य अथक रूप से या तो "प्लस इनफिनिटी" पर कूदते हैं, फिर "माइनस इनफिनिटी" पर। और सामान्य ज्ञान और मतन के प्रमेयों से पता चलता है कि अगर कहीं कुछ प्रयास करता है, तो यह पोषित स्थान अद्वितीय है।

एक छोटे से रहस्योद्घाटन के बाद यह स्पष्ट हो जाता है कि फ्लैशर को अनर्गल फेंकने के लिए दोषी ठहराया जाता है, जो वैसे, अपने आप अलग हो जाता है।
दरअसल, एक अनुक्रम के लिए एक -पड़ोस चुनना आसान होता है, जो कहता है, केवल संख्या -1 को क्लैंप करता है। परिणामस्वरूप, दिए गए पड़ोस के बाहर अनंत संख्या में अनुक्रम सदस्य ("प्लस वाले") रहेंगे। लेकिन परिभाषा के अनुसार, एक निश्चित क्षण (प्राकृतिक संख्या) से अनुक्रम की "अनंत पूंछ" अवश्य होनी चाहिए पूरी तरह सेइसकी सीमा के किसी भी पड़ोस में प्रवेश करें। निष्कर्ष: कोई सीमा नहीं है।

फैक्टोरियल है असीम रूप से बड़ाक्रम:

इसके अलावा, यह छलांग और सीमा से बढ़ता है, इसलिए यह एक ऐसी संख्या है जिसमें 100 से अधिक अंक (अंक) होते हैं! बिल्कुल 70 क्यों? यह मेरे इंजीनियरिंग कैलकुलेटर पर दया मांगता है।

एक नियंत्रण शॉट के साथ, सब कुछ थोड़ा अधिक जटिल है, और हम अभी व्याख्यान के व्यावहारिक भाग पर आए हैं, जिसमें हम युद्ध के उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे:

लेकिन अब कम से कम दो बुनियादी पाठों के स्तर पर, कार्यों की सीमाओं को हल करने में सक्षम होना आवश्यक है: सीमाएं। समाधान उदाहरणतथा उल्लेखनीय सीमाएं. क्योंकि कई समाधान विधियां समान होंगी। लेकिन, सबसे पहले, आइए अनुक्रम की सीमा और फ़ंक्शन की सीमा के बीच मूलभूत अंतरों का विश्लेषण करें:

अनुक्रम की सीमा में, "गतिशील" चर "एन" की प्रवृत्ति हो सकती है केवल "प्लस इनफिनिटी" के लिए- प्राकृतिक संख्या बढ़ाने की दिशा में .
फ़ंक्शन की सीमा में, "x" को कहीं भी निर्देशित किया जा सकता है - "प्लस / माइनस इनफिनिटी" या एक मनमाना वास्तविक संख्या के लिए।

परिणाम को अलग(असंतत), यानी इसमें अलग-अलग सदस्य होते हैं। एक, दो, तीन, चार, पाँच, खरगोश टहलने निकला। फ़ंक्शन का तर्क निरंतरता की विशेषता है, अर्थात, "x" सुचारू रूप से, बिना किसी घटना के, एक या दूसरे मूल्य पर जाता है। और, तदनुसार, फ़ंक्शन के मान भी लगातार अपनी सीमा तक पहुंचेंगे।

वजह से पृथक्ताअनुक्रमों के भीतर उनकी अपनी ब्रांडेड चीजें होती हैं, जैसे कि फैक्टोरियल, फ्लैशर्स, प्रोग्रेस आदि। और अब मैं उन सीमाओं का विश्लेषण करने का प्रयास करूंगा जो अनुक्रमों की विशेषता हैं।

आइए प्रगति के साथ शुरू करें:

उदाहरण 1

अनुक्रम की सीमा ज्ञात कीजिए

समाधान: एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के समान, लेकिन क्या यह वास्तव में है? स्पष्टता के लिए, हम पहले कुछ शब्द लिखते हैं:

चूंकि, हम बात कर रहे हैं जोड़एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के सदस्य, जिसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है।

फ़ैसला करना:

हम अनंत रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति के योग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं: . पर ये मामला:- प्रथम पद,-प्रगति का भाजक।

उदाहरण 2

अनुक्रम के प्रथम चार पद लिखिए तथा इसकी सीमा ज्ञात कीजिए

यह स्वयं का उदाहरण है। अंश में अनिश्चितता को समाप्त करने के लिए, आपको अंकगणितीय प्रगति के पहले पदों के योग के लिए सूत्र लागू करना होगा:
, जहां पहला है और प्रगति का nवाँ पद है।

चूंकि 'एन' हमेशा अनुक्रमों के भीतर 'प्लस इन्फिनिटी' की ओर जाता है, इसलिए यह आश्चर्य की बात नहीं है कि अनिश्चितता सबसे लोकप्रिय में से एक है।
और कई उदाहरण ठीक उसी तरह हल किए जाते हैं जैसे कार्यों की सीमा!

या शायद कुछ और जटिल जैसे ? लेख का उदाहरण #3 देखें हल करने के तरीके सीमित करें.

औपचारिक दृष्टिकोण से, अंतर केवल एक अक्षर में होगा - "x" है, और यहां "एन" है।
रिसेप्शन समान है - अंश और हर को उच्चतम डिग्री में "एन" से विभाजित किया जाना चाहिए।

इसके अलावा, अनुक्रमों के भीतर, अनिश्चितता काफी सामान्य है। मर्यादाओं को कैसे हल करें जैसे इसी लेख के उदाहरण संख्या 11-13 में पाया जा सकता है।

सीमा से निपटने के लिए, पाठ का उदाहरण #7 देखें उल्लेखनीय सीमाएं(दूसरी उल्लेखनीय सीमा असतत मामले के लिए भी मान्य है)। समाधान फिर से एक अक्षर में अंतर के साथ कार्बन कॉपी की तरह होगा।

निम्नलिखित चार उदाहरण (संख्या 3-6) भी "दो-मुंह" हैं, लेकिन व्यवहार में, किसी कारण से, वे कार्यों की सीमाओं की तुलना में अनुक्रमों की सीमाओं के लिए अधिक विशिष्ट हैं:

उदाहरण 3

अनुक्रम की सीमा ज्ञात कीजिए

समाधान: पहले पूर्ण समाधान, फिर चरण दर चरण टिप्पणियाँ:

(1) अंश में हम सूत्र का दो बार प्रयोग करते हैं।

(2) हम अंश में समान पद देते हैं।

(3) अनिश्चितता को खत्म करने के लिए, हम अंश और हर को (उच्चतम डिग्री में "एन") से विभाजित करते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है।

उदाहरण 4

अनुक्रम की सीमा ज्ञात कीजिए

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है, संक्षिप्त गुणन सूत्रकी मदद।

s . के भीतर ठोसअनुक्रम अंश और हर को विभाजित करने की एक समान विधि का उपयोग करते हैं:

उदाहरण 5

अनुक्रम की सीमा ज्ञात कीजिए

समाधानचलो इसे उसी तरह करते हैं:

एक समान प्रमेय भी, वैसे, कार्यों के लिए भी सच है: एक अन्तर्निहित फ़ंक्शन द्वारा एक सीमित फ़ंक्शन का उत्पाद एक इनफिनिटिमल फ़ंक्शन है।

उदाहरण 9

अनुक्रम की सीमा ज्ञात कीजिए

होवनिस्यान इवा

संख्यात्मक अनुक्रम। सार।

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पूर्वावलोकन:

नगर बजटीय शिक्षण संस्थान
"माध्यमिक विद्यालय नंबर 31"
बरनौली का शहर

संख्या अनुक्रम

सार

काम पूरा हो गया है:
ओगनेसियन ईवा,
8 वीं कक्षा के छात्र एमबीओयू "माध्यमिक विद्यालय संख्या 31"
पर्यवेक्षक:
पोलेवा इरीना अलेक्जेंड्रोवना,
गणित शिक्षक एमबीओयू "माध्यमिक विद्यालय संख्या 31"

बरनौल - 2014

परिचय ……………………………………………………………… 2

संख्यात्मक अनुक्रम। ………………………………………………… 3

संख्यात्मक अनुक्रम सेट करने के तरीके…………………………4

प्रगति के सिद्धांत का विकास……………………………………………..5

संख्यात्मक अनुक्रमों के गुण …………………………………… 7

अंकगणितीय प्रगति……………………………..................................... ...............9

ज्यामितीय प्रगति ……………………………………………….10

निष्कर्ष ………………………………………………………… 11

सन्दर्भ ………………………………………………………11

परिचय

इस सार का उद्देश्य- संख्यात्मक अनुक्रमों से संबंधित बुनियादी अवधारणाओं का अध्ययन, व्यवहार में उनका अनुप्रयोग।
कार्य:

1. प्रगति के सिद्धांत के विकास के ऐतिहासिक पहलुओं का अध्ययन करना;
2. संख्यात्मक अनुक्रमों की स्थापना के तरीकों और गुणों पर विचार करें;
3. अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति के बारे में जानें।

वर्तमान में, संख्यात्मक अनुक्रमों को किसी फ़ंक्शन के विशेष मामलों के रूप में माना जाता है। संख्यात्मक अनुक्रम प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है। संख्यात्मक अनुक्रम की अवधारणा कार्य के सिद्धांत के निर्माण से बहुत पहले उत्पन्न हुई और विकसित हुई। यहाँ प्राचीन काल में ज्ञात अनंत संख्या अनुक्रमों के उदाहरण दिए गए हैं:

1, 2, 3, 4, 5,… - प्राकृत संख्याओं का क्रम।

2, 4, 6, 8, 10,… - सम संख्याओं का एक क्रम।

1, 3, 5, 7, 9,… - विषम संख्याओं का एक क्रम।

1, 4, 9, 16, 25,… - प्राकृत संख्याओं के वर्गों का क्रम।

2, 3, 5, 7, 11… - अभाज्य संख्याओं का एक क्रम।

1, ½, 1/3, , 1/5,… - प्राकृत संख्याओं के व्युत्क्रमों का क्रम।

इनमें से प्रत्येक श्रृंखला के सदस्यों की संख्या अनंत है; पहले पांच क्रम नीरस रूप से बढ़ रहे हैं, अंतिम एक नीरस रूप से घट रहा है। 5वें को छोड़कर सभी सूचीबद्ध अनुक्रम इस तथ्य के कारण दिए गए हैं कि उनमें से प्रत्येक के लिए सामान्य शब्द ज्ञात है, अर्थात, किसी भी संख्या के साथ एक पद प्राप्त करने का नियम। अभाज्य संख्याओं के अनुक्रम के लिए, एक सामान्य शब्द अज्ञात है, लेकिन तीसरी शताब्दी की शुरुआत में। ईसा पूर्व इ। अलेक्जेंड्रिया के वैज्ञानिक एराटोस्थनीज ने इसके एन-वें सदस्य को प्राप्त करने के लिए एक विधि (यद्यपि बहुत बोझिल) का संकेत दिया। इस विधि को "इराटोस्थनीज की छलनी" कहा जाता था।

प्रगति - विशेष प्रकार के संख्यात्मक अनुक्रम - द्वितीय सहस्राब्दी ईसा पूर्व के स्मारकों में पाए जाते हैं। इ।

संख्या अनुक्रम

संख्या अनुक्रम की विभिन्न परिभाषाएँ हैं।

संख्यात्मक अनुक्रम – यह एक संख्या स्थान (विकिपीडिया) के तत्वों का एक क्रम है।

संख्यात्मक अनुक्रम – यह एक क्रमांकित संख्या सेट है।

y = f (x), x . के रूप का एक फलनप्राकृतिक तर्क का फलन कहलाता है यासंख्यात्मक अनुक्रमऔर y = f(n) or . को निरूपित करें

, , , …, संकेतन ().

हम धनात्मक सम संख्याओं को आरोही क्रम में लिखेंगे। पहली ऐसी संख्या 2 है, दूसरी 4 है, तीसरी 6 है, चौथी 8 है, और इसी तरह, हमें अनुक्रम मिलता है: 2; चार; 6; आठ; दस …।

जाहिर है, इस क्रम में पांचवां स्थान 10, दसवां - 20, सौवां - 200 होगा। सामान्य तौर पर, किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, आप संबंधित सकारात्मक सम संख्या निर्दिष्ट कर सकते हैं; यह 2n के बराबर है।

आइए एक और क्रम देखें। हम 1 के बराबर अंश वाले उचित भिन्नों को अवरोही क्रम में लिखेंगे:

; ; ; ; ; … .

किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए, हम संगत भिन्न निर्दिष्ट कर सकते हैं; यह बराबर है. अत: छठे स्थान पर भिन्न होना चाहिए, तीसवें पर - , हजारवें पर - एक अंश .

अनुक्रम बनाने वाली संख्याएँ क्रमशः प्रथम, द्वितीय, तृतीय, चतुर्थ आदि कहलाती हैं। अनुक्रम के सदस्य। अनुक्रम के सदस्यों को आमतौर पर सदस्य की क्रमिक संख्या को इंगित करने वाले सबस्क्रिप्ट वाले अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए:, , आदि। सामान्य तौर पर, संख्या n के साथ अनुक्रम की अवधि, या, जैसा कि वे कहते हैं, अनुक्रम के nवें सदस्य को निरूपित किया जाता है. अनुक्रम स्वयं द्वारा निरूपित किया जाता है () एक अनुक्रम में सदस्यों की अनंत संख्या और एक परिमित दोनों हो सकते हैं। इस मामले में, इसे अंतिम कहा जाता है। उदाहरण के लिए: दो अंकों की संख्याओं का एक क्रम।10; ग्यारह; 12; 13; …; 98; 99

संख्यात्मक अनुक्रम निर्दिष्ट करने के तरीके

अनुक्रमों को कई तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है।

आमतौर पर अनुक्रम सेट करने के लिए अधिक उपयुक्त होता हैइसके उभयनिष्ठ nवें पद का सूत्र, जो आपको अनुक्रम के किसी भी सदस्य को उसकी संख्या जानने के लिए खोजने की अनुमति देता है। इस मामले में, अनुक्रम दिया जाना कहा जाता हैविश्लेषणात्मक रूप से। उदाहरण के लिए: सकारात्मक सम पदों का क्रम= 2एन।

एक कार्य: अनुक्रम के सामान्य पद के लिए सूत्र खोजें (:

6; 20; 56; 144; 352;…

समाधान। हम अनुक्रम के प्रत्येक पद को निम्नलिखित रूप में लिखते हैं:

एन = 1: 6 = 2 3 = 3 =

n=2: 20=4 5=5=

n=3: 56 = 8 7 = 7 =

जैसा कि आप देख सकते हैं, अनुक्रम की शर्तें लगातार विषम संख्याओं से दो गुणा की शक्ति का उत्पाद हैं, और दो को एक शक्ति तक बढ़ाया जाता है जो प्रश्न में तत्व की संख्या के बराबर है। इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि

उत्तर: सामान्य शब्द सूत्र:

अनुक्रम निर्दिष्ट करने का एक अन्य तरीका अनुक्रम का उपयोग करके निर्दिष्ट करना हैआवर्तक संबंध. एक सूत्र जो किसी अनुक्रम के किसी सदस्य को पिछले वाले (एक या अधिक) के माध्यम से कुछ से शुरू करके व्यक्त करता है, कहलाता हैआवर्तक (लैटिन शब्द रिकुरो से - वापसी के लिए)।

इस मामले में, अनुक्रम के एक या कई पहले तत्व निर्दिष्ट हैं, और बाकी किसी नियम के अनुसार निर्धारित किए जाते हैं।

पुनरावर्ती रूप से दिए गए अनुक्रम का एक उदाहरण फाइबोनैचि संख्याओं का अनुक्रम है - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... वाले: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 इत्यादि। यह क्रम पुनरावर्ती रूप से दिया जा सकता है:

एन एन, = 1.

एक कार्य: परिणाम कोपुनरावृत्ति संबंध द्वारा दिया गया+, एन एन, = 4. इस क्रम के पहले कुछ पद लिखिए।

समाधान। आइए दिए गए अनुक्रम का तीसरा पद ज्ञात करें:

+ =

आदि।

जब अनुक्रमों को बार-बार निर्दिष्ट किया जाता है, तो गणना बहुत बोझिल होती है, क्योंकि बड़ी संख्या वाले तत्वों को खोजने के लिए, निर्दिष्ट अनुक्रम के सभी पिछले सदस्यों को खोजना आवश्यक है, उदाहरण के लिए, खोजने के लिएहमें पिछले सभी 499 पदों को खोजने की जरूरत है।

वर्णनात्मक तरीकाएक संख्यात्मक अनुक्रम के असाइनमेंट में यह समझाना शामिल है कि अनुक्रम किन तत्वों से बनाया गया है।

उदाहरण 1 । "अनुक्रम के सभी सदस्य 1 हैं।" इसका मतलब है कि हम एक स्थिर क्रम 1, 1, 1, ..., 1, ... के बारे में बात कर रहे हैं।

उदाहरण 2. "अनुक्रम में सभी अभाज्य संख्याएँ आरोही क्रम में हैं।" इस प्रकार, क्रम 2, 3, 5, 7, 11, ... दिया गया है। इस उदाहरण में अनुक्रम को निर्दिष्ट करने के इस तरीके से, यह उत्तर देना कठिन है कि अनुक्रम का 1000वाँ तत्व किसके बराबर है।

साथ ही, एक सरल द्वारा एक संख्यात्मक अनुक्रम दिया जा सकता हैअपने सदस्यों को सूचीबद्ध करना।

प्रगति के सिद्धांत का विकास

प्रोग्रेस शब्द लैटिन मूल (प्रोग्रेसियो) का है, जिसका शाब्दिक अर्थ है "आगे बढ़ना" (जैसे शब्द "प्रगति") और पहली बार रोमन लेखक बोथियस (5वीं-6वीं शताब्दी) द्वारा पाया गया है। इसे एक दिशा में अनिश्चित काल तक जारी रखें। , उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं का एक क्रम, उनके वर्ग और घन। मध्य युग के अंत में और आधुनिक समय की शुरुआत में, इस शब्द का आमतौर पर इस्तेमाल बंद हो जाता है। 17वीं शताब्दी में, उदाहरण के लिए, जे. ग्रेगरी ने प्रगति के बजाय "श्रृंखला" शब्द का प्रयोग किया, और एक अन्य प्रमुख अंग्रेजी गणितज्ञ, जे. वालिस ने अनंत श्रृंखला के लिए "अनंत प्रगति" शब्द का प्रयोग किया।

वर्तमान में, हम प्रगति को संख्यात्मक अनुक्रमों के विशेष मामले मानते हैं।

प्रगति से संबंधित सैद्धांतिक जानकारी सबसे पहले प्राचीन ग्रीस के उन दस्तावेजों में मिलती है जो हमारे पास आए हैं।

Psammite में, आर्किमिडीज ने पहली बार अंकगणितीय और ज्यामितीय प्रगति की तुलना की:

1,2,3,4,5,………………..

10, , ………….

प्रगति को अनुपातों की निरंतरता के रूप में माना जाता था, यही वजह है कि अंकगणित और ज्यामितीय को अनुपात से प्रगति में स्थानांतरित किया गया था।

प्रगति के इस दृष्टिकोण को 17वीं और यहां तक ​​कि 18वीं शताब्दी के कई गणितज्ञों द्वारा संरक्षित रखा गया था। इस तरह से इस तथ्य की व्याख्या की जानी चाहिए कि बैरो में पाया गया प्रतीक, और फिर उस समय के अन्य अंग्रेजी वैज्ञानिकों में एक निरंतर ज्यामितीय अनुपात को निरूपित करने के लिए, 18 वीं शताब्दी की अंग्रेजी और फ्रेंच पाठ्यपुस्तकों में एक ज्यामितीय प्रगति को दर्शाना शुरू किया। सादृश्य से, उन्होंने एक अंकगणितीय प्रगति को नामित करना शुरू किया।

आर्किमिडीज के प्रमाणों में से एक, उनके काम "द क्वाड्रेचर ऑफ द पैराबोला" में निर्धारित किया गया है, अनिवार्य रूप से एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग के लिए उबलता है।

ज्यामिति और यांत्रिकी से कुछ समस्याओं को हल करने के लिए, आर्किमिडीज ने प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग के लिए सूत्र निकाला, हालांकि यह उनके सामने इस्तेमाल किया गया था।

1/6n(n+1)(2n+1)

प्रगति से संबंधित कुछ सूत्र चीनी और भारतीय वैज्ञानिकों को ज्ञात थे। तो, आर्यभट्ट (वी शताब्दी) सामान्य शब्द के सूत्रों को जानता था, अंकगणितीय प्रगति का योग, आदि, मगवीरा (IX शताब्दी) ने सूत्र का उपयोग किया: + + + ... + = 1/6n(n+1)(2n+1) और अन्य अधिक जटिल श्रृंखला। हालांकि, एक मनमानी अंकगणितीय प्रगति की शर्तों के योग को खोजने का नियम सबसे पहले पीसा के लियोनार्डो द्वारा बुक ऑफ द एबैकस (1202) में पाया गया है। द साइंस ऑफ नंबर्स (1484) में, एन. शुक, आर्किमिडीज की तरह, अंकगणितीय प्रगति की तुलना ज्यामितीय एक से करते हैं और किसी भी असीम रूप से छोटी घटती ज्यामितीय प्रगति के योग के लिए एक सामान्य नियम देते हैं। अनंत रूप से घटती प्रगति के योग का सूत्र पी. फ़र्मेट और 17वीं शताब्दी के अन्य गणितज्ञों को ज्ञात था।

अंकगणित (और ज्यामितीय) प्रगति के लिए समस्याएं प्राचीन चीनी पथ "मैथमैटिक्स इन नाइन बुक्स" में भी पाई जाती हैं, हालांकि, किसी भी योग सूत्र के उपयोग पर कोई निर्देश नहीं है।

पहली प्रगति की समस्याएँ जो हमारे सामने आई हैं, वे आर्थिक जीवन और सामाजिक व्यवहार की माँगों से जुड़ी हैं, जैसे कि उत्पादों का वितरण, विरासत का विभाजन, और इसी तरह।

एक क्यूनिफॉर्म टैबलेट से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि, अमावस्या से पूर्णिमा तक चंद्रमा का अवलोकन करते हुए, बेबीलोन के लोग इस निष्कर्ष पर पहुंचे: अमावस्या के बाद पहले पांच दिनों में, कानून के अनुसार चंद्र डिस्क की रोशनी में वृद्धि होती है। 2 के हर के साथ ज्यामितीय प्रगति का। बाद के एक अन्य टैबलेट में, हम योग ज्यामितीय प्रगति के बारे में बात कर रहे हैं:

1+2+ +…+ . समाधान और उत्तर S=512+(512-1), प्लेट में डेटा सुझाव देता है कि लेखक ने सूत्र का उपयोग किया है।

एसएन = +( -1), लेकिन कोई नहीं जानता कि वह उस तक कैसे पहुंचा।

ज्यामितीय प्रगति का योग और संबंधित समस्याओं का संकलन जो हमेशा व्यावहारिक जरूरतों को पूरा नहीं करते हैं, प्राचीन और मध्य युग में गणित के कई प्रेमियों द्वारा अभ्यास किया गया था।

संख्या अनुक्रम गुण

एक संख्यात्मक अनुक्रम एक संख्यात्मक कार्य का एक विशेष मामला है, और इसलिए अनुक्रमों के लिए कार्यों के कुछ गुणों (सीमा, एकरसता) पर भी विचार किया जाता है।

सीमित क्रम

परवर्ती () कहा जाता है ऊपर से बंधा हुआ, कि किसी भी संख्या n के लिए,एम।

परवर्ती () कहा जाता है नीचे से घिरा हुआ, यदि ऐसी कोई संख्या m . है, कि किसी भी संख्या n के लिए,एम।

परवर्ती () को बाउंडेड . कहा जाता है , यदि यह ऊपर से घिरा हुआ है और नीचे से घिरा हुआ है, यानी ऐसी संख्या मौजूद है M0 , जो किसी भी संख्या n के लिए,एम।

परवर्ती () को अनबाउंड . कहा जाता है , यदि ऐसी कोई संख्या M . मौजूद है0 है कि एक संख्या n मौजूद है जैसे कि,एम।

एक कार्य: अनुक्रम का अन्वेषण करें = सीमा तक।

समाधान। दिया गया क्रम परिबद्ध है, क्योंकि किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए निम्नलिखित असमानताएँ होती हैं:

0 1,

अर्थात्, अनुक्रम नीचे से शून्य से घिरा हुआ है, और साथ ही ऊपर से एकता से घिरा हुआ है, और इसलिए भी बाध्य है।

उत्तर: अनुक्रम सीमित है - नीचे से शून्य, और ऊपर से एक।

बढ़ते और घटते क्रम

परवर्ती () वृद्धि कहा जाता है , यदि प्रत्येक पद पिछले पद से बड़ा है:

उदाहरण के लिए, 1, 3, 5, 7.....2n -1,... एक बढ़ता हुआ क्रम है।

परवर्ती () घटते कहा जाता है , यदि प्रत्येक पद पिछले एक से कम है:

उदाहरण के लिए, 1; अवरोही क्रम है।

बढ़ते और घटते अनुक्रमों को एक सामान्य शब्द से जोड़ा जाता है -मोनोटोनिक अनुक्रम. आइए कुछ और उदाहरण लेते हैं।

1; - यह क्रम न तो बढ़ रहा है और न ही घट रहा है (नॉनमोनोटोनिक अनुक्रम)।

2एन. हम बात कर रहे हैं क्रम 2, 4, 8, 16, 32,... - एक बढ़ता हुआ क्रम।

सामान्य तौर पर, यदि a > 1, तो अनुक्रम= बढ़ता है;

अगर 0 = घट रहा है।

अंकगणितीय प्रगति

एक संख्यात्मक अनुक्रम, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले सदस्य के योग के बराबर होता है और वही संख्या d, कहलाती हैअंकगणितीय प्रगति, और संख्या d अंकगणितीय प्रगति का अंतर है।

इस प्रकार, एक अंकगणितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है

एक्स, == + d, (n = 2, 3, 4,…; a और d दी गई संख्याएँ हैं)।

उदाहरण 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... एक बढ़ती हुई समांतर श्रेणी है, जिसमें= 1, डी = 2.

उदाहरण 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... - एक घटती हुई अंकगणितीय प्रगति, जिसमें= 20, डी = -3।

उदाहरण 3. प्राकृत संख्याओं के एक अनुक्रम पर विचार करें, जिन्हें चार से विभाजित करने पर शेषफल 1:1 प्राप्त होता है; 5; 9; 13; 17; 21…

प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले पद में संख्या 4 जोड़कर प्राप्त किया जाता है। यह क्रम एक अंकगणितीय प्रगति का एक उदाहरण है।

एक स्पष्ट (सूत्र) अभिव्यक्ति खोजना आसान हैएन के माध्यम से अगले तत्व का मान पिछले एक की तुलना में d से बढ़ जाता है, इस प्रकार, n तत्व का मान अंकगणितीय प्रगति के पहले सदस्य की तुलना में (n - 1)d से बढ़ जाएगा, अर्थात।

= + डी (एन -1)। यह एक समान्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र है।

यह योग सूत्र है एक अंकगणितीय प्रगति के n सदस्य।

अंकगणितीय प्रगति का नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि इसमें प्रत्येक पद, पहले को छोड़कर, उसके आसन्न दो के अंकगणितीय माध्य के बराबर है - पिछला और अगला, वास्तव में,

ज्यामितीय अनुक्रम

एक संख्यात्मक अनुक्रम, जिसके सभी सदस्य गैर-शून्य हैं और जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले सदस्य से उसी संख्या q से गुणा करके प्राप्त किया जाता है, कहलाता हैज्यामितीय अनुक्रम, और संख्या q एक ज्यामितीय प्रगति का हर है। इस प्रकार, एक ज्यामितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है (संबंधों द्वारा पुनरावर्ती रूप से दिया गया

बी, = q (n = 2, 3, 4…; b और q दी गई संख्याएँ हैं)।

उदाहरण 1. 2, 6, 18, 54, ... - बढ़ती हुई ज्यामितीय प्रगति

2, क्यू = 3.

उदाहरण 2. 2, -2, 2, -2, ... एक गुणोत्तर श्रेणी है= 2, क्यू = -1।

एक ज्यामितीय प्रगति के स्पष्ट गुणों में से एक यह है कि यदि कोई अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है, तो वर्गों का अनुक्रम, अर्थात।; ;…-

एक ज्यामितीय प्रगति है जिसका पहला पद के बराबर है, और हर है.

एक ज्यामितीय प्रगति के nवें सदस्य का सूत्र है:

एक ज्यामितीय प्रगति के n सदस्यों के योग का सूत्र:

विशेषता संपत्तिज्यामितीय प्रगति: एक संख्या अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है यदि और केवल यदि इसके प्रत्येक पद का वर्ग, पहले (और परिमित अनुक्रम के मामले में अंतिम) को छोड़कर, पिछले और बाद के शब्दों के उत्पाद के बराबर है,

निष्कर्ष

कई वैज्ञानिकों द्वारा कई सदियों से संख्यात्मक अनुक्रमों का अध्ययन किया गया है।पहली प्रगति की समस्याएँ जो हमारे सामने आई हैं, वे आर्थिक जीवन और सामाजिक व्यवहार की माँगों से जुड़ी हैं, जैसे कि उत्पादों का वितरण, विरासत का विभाजन, और इसी तरह। वे गणित की प्रमुख अवधारणाओं में से एक हैं। अपने काम में, मैंने संख्यात्मक अनुक्रमों से जुड़ी बुनियादी अवधारणाओं को प्रतिबिंबित करने की कोशिश की, उन्हें कैसे सेट किया जाए, गुण, और उनमें से कुछ पर विचार किया। अलग-अलग, प्रगति (अंकगणित और ज्यामितीय) पर विचार किया गया, और उनसे जुड़ी बुनियादी अवधारणाओं का वर्णन किया गया।

ग्रन्थसूची

1. ए.जी. मोर्दकोविच, बीजगणित, ग्रेड 10, पाठ्यपुस्तक, 2012
2. ए.जी. मोर्दकोविच, बीजगणित, ग्रेड 9, पाठ्यपुस्तक, 2012
3. महान छात्र मार्गदर्शक। मॉस्को, "ड्रोफा", 2001
4. जी.आई. ग्लेसर, स्कूल में गणित का इतिहास,

एम.: ज्ञानोदय, 1964।

1. "स्कूल में गणित", पत्रिका, 2002.
2. शैक्षिक ऑनलाइन सेवाएं Webmath.ru
3. सार्वभौमिक लोकप्रिय विज्ञान ऑनलाइन विश्वकोश "क्रुगोस्वेट"

पालना। डायपर। रोना।
शब्द। कदम। ठंडा। चिकित्सक।
आसपास चल रहा है। खिलौने। भइया।
यार्ड। झूला। बालवाड़ी।
स्कूल। ड्यूस। ट्रोइका। पाँच।
गेंद। कदम। जिप्सम। बिस्तर।
झगड़ा करना। खून। टूटी हुई नाक।
यार्ड। मित्र। समारोह। ताकत।
संस्थान। वसन्त। झाड़ियाँ।
ग्रीष्म ऋतु। सत्र। पूंछ।
बीयर। वोदका। आइस्ड जिन।
कॉफ़ी। सत्र। डिप्लोमा।
स्वच्छंदतावाद। प्यार। सितारा।
हथियार। होंठ। बिना नींद के रात।
शादी। सास। ससुर। जाल।
बहस। क्लब। मित्र। कप।
मकान। काम। मकान। एक परिवार।
रवि। ग्रीष्म ऋतु। बर्फ। सर्दी।
बेटा। डायपर। पालना।
तनाव। मालकिन। बिस्तर।
व्यवसाय। पैसे। योजना। एवरल।
टेलीविजन। टीवी सीरीज।
बहुत बड़ा घर। चेरी। तुरई।
भूरे बाल। माइग्रेन। चश्मा।
पोता। डायपर। पालना।
तनाव। दबाव। बिस्तर।
हृदय। गुर्दे। हड्डियाँ। चिकित्सक।
भाषण। ताबूत। बिदाई। रोना।

जीवन क्रम

SEQUENCE - (अनुक्रम), संगठित तरीके से व्यवस्थित संख्याएँ या तत्व। अनुक्रम परिमित (तत्वों की सीमित संख्या वाले) या अनंत हो सकते हैं, जैसे प्राकृतिक संख्याओं 1, 2, 3, 4 का एक पूर्ण अनुक्रम ….……

वैज्ञानिक और तकनीकी विश्वकोश शब्दकोश

परिभाषा:संख्यात्मक अनुक्रमप्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय N पर दिया गया संख्यात्मक कहलाता है। संख्यात्मक अनुक्रमों के लिए, आमतौर पर के बजाय च (एन)लिखना एक और इस तरह अनुक्रम को निरूपित करें: एक ) नंबर एक 1 , एक 2 , …, एक,… बुलाया अनुक्रम तत्व।

आमतौर पर संख्यात्मक अनुक्रम सेटिंग द्वारा निर्धारित किया जाता है एन-वें तत्व या एक पुनरावर्ती सूत्र, जिसके अनुसार प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक के माध्यम से निर्धारित किया जाता है। एक संख्यात्मक अनुक्रम निर्दिष्ट करने का एक वर्णनात्मक तरीका भी संभव है। उदाहरण के लिए:

• अनुक्रम के सभी सदस्य "1" हैं. इसका मतलब है कि हम एक स्थिर क्रम 1, 1, 1, ..., 1, ... के बारे में बात कर रहे हैं।

• अनुक्रम में आरोही क्रम में सभी अभाज्य संख्याएँ होती हैं।इस प्रकार, क्रम 2, 3, 5, 7, 11, ... दिया गया है। इस उदाहरण में अनुक्रम को निर्दिष्ट करने के इस तरीके से, यह उत्तर देना कठिन है कि अनुक्रम का 1000वाँ तत्व किसके बराबर है।

आवर्तक विधि के साथ, एक सूत्र इंगित किया जाता है जो आपको व्यक्त करने की अनुमति देता है एनपिछले वाले के माध्यम से अनुक्रम का वां सदस्य, और अनुक्रम के 1-2 प्रारंभिक सदस्यों को निर्दिष्ट करें।

• आप 1 = 3; वाई एन =आप एन-1 + 4 , यदि एन = 2, 3, 4,…

यहां आप 1 = 3; आप 2 = 3 + 4 = 7;आप 3 = 7 + 4 = 11; ….

• आप 1 = 1; आप 2 = 1; Y n =आप एन-2 + आप एन-1 , यदि एन = 3, 4,…

यहां: आप 1 = 1; आप 2 = 1; आप 3 = 1 + 1 = 2; आप 4 = 1 + 2 = 3; आप 5 = 2 + 3 = 5; आप 6 = 3 + 5 = 8;

पुनरावर्ती सूत्र द्वारा व्यक्त अनुक्रम वाई एन =आप एन-1 + 4 विश्लेषणात्मक रूप से भी दिया जा सकता है: Y n= वाई 1 +4 * (एन -1)

जाँच करें: y2=3+4*(2-1)=7, y3=3+4*(3-1)=11

यहां हमें n-वें तत्व की गणना करने के लिए संख्यात्मक अनुक्रम के पिछले सदस्य को जानने की आवश्यकता नहीं है, हमें केवल इसकी संख्या और पहले तत्व का मान निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।

जैसा कि हम देख सकते हैं, संख्यात्मक अनुक्रम निर्दिष्ट करने का यह तरीका कार्यों को निर्दिष्ट करने के विश्लेषणात्मक तरीके के समान है। वास्तव में, एक संख्यात्मक अनुक्रम एक विशेष प्रकार का संख्यात्मक कार्य है, इसलिए अनुक्रमों के लिए कार्यों के कई गुणों पर भी विचार किया जा सकता है।

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