किसी पिंड या आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को खोजने के लिए निम्नलिखित विधियों का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है:

· समरूपता विधि;

· विभाजन विधि;

· नकारात्मक द्रव्यमान विधि.

आइए प्रत्येक सूचीबद्ध विधियों में उपयोग की जाने वाली तकनीकों को देखें।

समरूपता विधि

आइए एक सजातीय पिंड की कल्पना करें जिसमें समरूपता का एक तल हो। आइए हम एक समन्वय प्रणाली चुनें जैसे कि अक्ष एक्स और जेड समरूपता के तल में रखना (चित्र 1 देखें).

इस मामले में, प्रत्येक प्राथमिक कण गुरुत्वाकर्षण द्वारा जी मैं एब्सिस्सा के साथ वाई मैं = +ए एब्सिस्सा के साथ एक ही प्राथमिक कण से मेल खाता है य मैं = -ए , तब:

y C = Σ(G i x i)/ΣG i = 0.

इसलिए निष्कर्ष: यदि एक सजातीय शरीर में समरूपता का एक विमान है, तो शरीर का गुरुत्वाकर्षण का केंद्र इस विमान में स्थित है।

निम्नलिखित प्रस्तावों को इसी प्रकार सिद्ध किया जा सकता है:

· यदि किसी सजातीय पिंड में समरूपता का अक्ष है, तो पिंड का गुरुत्वाकर्षण केंद्र इस अक्ष पर स्थित है;

· यदि किसी सजातीय पिंड में समरूपता के दो अक्ष हों, तो पिंड का गुरुत्वाकर्षण केंद्र उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर होता है;

· किसी सजातीय घूर्णन पिंड का गुरुत्व केंद्र घूर्णन अक्ष पर स्थित होता है।

विभाजन विधि

इस विधि में शरीर को सबसे छोटी संख्या में भागों में विभाजित किया जाता है, गुरुत्वाकर्षण बल और गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों की स्थिति ज्ञात की जाती है, जिसके बाद शरीर के गुरुत्वाकर्षण के समग्र केंद्र को निर्धारित करने के लिए पहले दिए गए सूत्रों का उपयोग किया जाता है।

मान लीजिए कि हमने गुरुत्वाकर्षण से शरीर को तोड़ दिया जी तीन भागों में जी" , जी"" , जी""" , इन भागों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के भुज x" C , x"" C , x""" C ज्ञात।
पूरे शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का भुज निर्धारित करने का सूत्र:

x C = Σ(G i x i)/ΣG i.

आइए इसे निम्नलिखित रूप में पुनः लिखें:

x C ΣG i = Σ(G i x i)या जीएक्स सी = Σ(जी आई एक्स आई) .

हम शरीर के तीनों भागों में से प्रत्येक के लिए अंतिम समानता अलग-अलग लिखते हैं:

G"x" C = Σ(G"x" i), G""x"" C = Σ(G"" i x"" i), G"""x"" C = Σ(G""" मैं x""" मैं).

इन तीन समानताओं के बाएँ और दाएँ पक्षों को जोड़ने पर, हमें मिलता है:

G"x" C + G"x"" C + G"""x"" C = Σ(G" i x" i) + Σ(G""x"" i) + Σ(G""" i x """ i) = Σ(G i x i).

लेकिन अंतिम समानता का दाहिना हाथ उत्पाद है जीएक्स सी , क्योंकि

जीएक्स सी = Σ(जी आई एक्स आई),

इस तरह, x C = (G"x" C + G"x"" C + G"""x""" C)/G , जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता थी।
निर्देशांक अक्षों पर गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक इसी प्रकार निर्धारित किए जाते हैं य और जेड :

वाई सी = (जी"वाई" सी + जी""वाई"" सी + जी"""वाई""" सी)/जी ,
z C = (G"z" C + G""z"" C + G"""z""" C)/G .

परिणामी सूत्र ऊपर दिए गए गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करने के सूत्रों के समान हैं। इसलिए, प्राथमिक कणों के गुरुत्वाकर्षण बलों को मूल सूत्रों में प्रतिस्थापित करना संभव नहीं है जी मैं , और अंतिम भागों का गुरुत्वाकर्षण बल; निर्देशांक के अंतर्गत एक्स मैं ,यी ,z मैं शरीर जिन भागों में विभाजित है उनके गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक को समझें।

नकारात्मक द्रव्यमान विधि

यह विधि इस तथ्य पर आधारित है कि मुक्त गुहाओं वाले पिंड को ठोस माना जाता है, और मुक्त गुहाओं का द्रव्यमान नकारात्मक माना जाता है। पिंड के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करने के सूत्रों का रूप नहीं बदलता है।

इस प्रकार, मुक्त गुहाओं वाले किसी पिंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का निर्धारण करते समय, विभाजन विधि का उपयोग किया जाना चाहिए, लेकिन गुहाओं के द्रव्यमान को नकारात्मक मानें।

पिंडों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को निर्धारित करने की व्यावहारिक विधियाँ

व्यवहार में, जटिल आकार के सपाट पिंडों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को निर्धारित करने के लिए, उनका उपयोग अक्सर किया जाता है लटकाने की विधि , जिसमें एक सपाट शरीर को किसी बिंदु से धागे पर लटकाना शामिल है। धागे के साथ एक रेखा खींची जाती है, और शरीर को किसी अन्य बिंदु से निलंबित कर दिया जाता है जो परिणामी रेखा पर स्थित नहीं है।
फिर धागे के साथ फिर से एक रेखा खींचें।
दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु समतल पिंड के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र होगा।

व्यवहार में उपयोग की जाने वाली गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को निर्धारित करने की एक अन्य विधि कहलाती है तौलने की विधि . इस पद्धति का उपयोग अक्सर बड़ी मशीनों और उत्पादों - कारों, हवाई जहाज, पहिएदार ट्रैक्टरों आदि के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को निर्धारित करने के लिए किया जाता है, जिनका एक जटिल बड़ा आकार और जमीन पर बिंदु समर्थन होता है।
विधि में संतुलन की स्थिति लागू करना शामिल है, इस तथ्य के आधार पर कि एक स्थिर शरीर पर कार्य करने वाले सभी बलों के क्षणों का योग शून्य के बराबर है।
व्यवहार में, यह मशीन के किसी एक समर्थन को तौलकर किया जाता है (पीछे या सामने के पहिये तराजू पर लगे होते हैं), जबकि तराजू की रीडिंग, वास्तव में, समर्थन की प्रतिक्रिया होती है, जिसे ड्राइंग करते समय ध्यान में रखा जाता है समर्थन के दूसरे बिंदु (तराजू के बाहर स्थित) के सापेक्ष संतुलन समीकरण को ऊपर उठाएं।
शरीर के ज्ञात द्रव्यमान (क्रमशः वजन) के आधार पर, किसी एक समर्थन बिंदु पर तराजू की रीडिंग और समर्थन बिंदुओं के बीच की दूरी के आधार पर, आप किसी एक समर्थन बिंदु से उस विमान तक की दूरी निर्धारित कर सकते हैं जिसमें गुरुत्वाकर्षण का केंद्र स्थित है.
इस तरह से उस रेखा (अक्ष) को खोजने के लिए जिस पर मशीन का गुरुत्वाकर्षण का केंद्र स्थित है, लटकने की विधि के लिए ऊपर बताए गए सिद्धांत के अनुसार दो बार वजन करना आवश्यक है। (चित्र 1ए देखें).

प्रश्न 12

शरीर की जड़ता का क्षण.

निष्क्रियता के पल- एक मात्रा जो शरीर में द्रव्यमान के वितरण को दर्शाती है और द्रव्यमान के साथ-साथ गति न करने पर शरीर की जड़ता का माप है। आंदोलन। यांत्रिकी में, एम और हैं। अक्षीय और केन्द्रापसारक. ओसेव एम. और. z-अक्ष के सापेक्ष पिंड को कहा जाता है। समानता द्वारा परिभाषित मात्रा

कहाँ एम मैं- शरीर के बिंदुओं का समूह, नमस्ते- z अक्ष से उनकी दूरी, r - द्रव्यमान घनत्व, वी- शरीर का आयतन. परिमाण इज़किसी अक्ष के चारों ओर घूमने के दौरान किसी पिंड की जड़ता का माप है (घूर्णी गति देखें)। ) . अक्षीय एम. और. इसे एक रैखिक मात्रा r z के माध्यम से भी व्यक्त किया जा सकता है, जिसे कहा जाता है। एफ-ले के अनुसार, ज़ेड अक्ष के सापेक्ष घुमाव की त्रिज्या इज़ = एमआर 2 जेड, कहां एम- शरीर का भार। आयाम एम. और.- एल 2 एम;माप की इकाइयाँ - किग्रा। मी 2.

केन्द्रापसारक एम. और. आयताकार प्रणाली के सापेक्ष. कुल्हाड़ियों एक्स, वाई, जेड, बिंदु पर किया गया के बारे में, बुलाया समानताओं द्वारा निर्धारित मात्राएँ

या संबंधित वॉल्यूम इंटीग्रल्स। ये मात्राएँ गतिशील की विशेषताएँ हैं। शरीर का असंतुलन. उदाहरण के लिए, किसी पिंड को मानों से z अक्ष के चारों ओर घुमाते समय मैं xzऔर मैं yzबीयरिंगों पर दबाव बल निर्भर करता है जिसमें धुरी तय होती है।

एम. और. समानांतर अक्षों z और z" के सापेक्ष संबंध (ह्यूजेंस प्रमेय) से संबंधित हैं

जहां z" पिंड के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली धुरी है, डी- अक्षों के बीच की दूरी.

एम. और. मूल से गुजरने वाले किसी भी व्यक्ति के सापेक्ष के बारे मेंकुल्हाड़ियों राजभाषादिक् सहज्या a, b, g के साथ सूत्र के अनुसार पाया जाता है

छह मात्राओं को जानना I x, I y, I z, I xy, I yz, I zx, आप क्रमिक रूप से, सूत्र (4) और (3) का उपयोग करके, एम और के पूरे सेट की गणना कर सकते हैं। किसी भी अक्ष के सापेक्ष पिंड। ये छह मात्राएँ तथाकथित निर्धारित करती हैं। शरीर जड़ता टेंसर. शरीर के प्रत्येक बिंदु के माध्यम से आप 3 ऐसे परस्पर लंबवत अक्ष खींच सकते हैं, जिन्हें कहा जाता है। चौ. जड़ता के अक्ष, जिसके लिए मैं xy = मैं yz= इज़एक्स= 0. फिर एम. तथा. किसी भी अक्ष के सापेक्ष पिंडों को Ch जानकर निर्धारित किया जा सकता है। जड़त्व की धुरी और एम. और. इन अक्षों के सापेक्ष.

सरल आकृतियों, जैसे कि आयताकार, गोल, गोलाकार या बेलनाकार, साथ ही चौकोर आकार वाली आकृतियों के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र खोजने से पहले, आपको यह जानना होगा कि किसी विशेष आकृति की समरूपता का केंद्र किस बिंदु पर स्थित है। क्योंकि इन मामलों में, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र समरूपता के केंद्र के साथ मेल खाएगा।

एक सजातीय छड़ का गुरुत्वाकर्षण केंद्र उसके ज्यामितीय केंद्र पर स्थित होता है। यदि आपको एक सजातीय संरचना की गोल डिस्क के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र निर्धारित करने की आवश्यकता है, तो पहले वृत्त के व्यासों के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं। यह इस पिंड के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र होगा। एक गेंद, एक घेरा और एक समान आयताकार समानांतर चतुर्भुज जैसी आकृतियों को ध्यान में रखते हुए, हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि घेरा का गुरुत्वाकर्षण का केंद्र आकृति के केंद्र में होगा, लेकिन इसके बिंदुओं के बाहर, गेंद का गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है गोले का ज्यामितीय केंद्र, और बाद के मामले में, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के प्रतिच्छेदन विकर्णों को माना जाता है।

अमानवीय पिंडों के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र

गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक, साथ ही एक अमानवीय शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को खोजने के लिए, यह पता लगाना आवश्यक है कि किसी दिए गए शरीर के किस खंड पर वह बिंदु स्थित है जिस पर कार्य करने वाले सभी गुरुत्वाकर्षण बल प्रतिच्छेद करते हैं यदि इसे पलट दिया जाए तो यह आंकड़ा। व्यवहार में, ऐसे बिंदु को खोजने के लिए, शरीर को एक धागे पर लटका दिया जाता है, धीरे-धीरे शरीर से धागे के लगाव के बिंदुओं को बदल दिया जाता है। ऐसी स्थिति में जब शरीर संतुलन में है, शरीर का गुरुत्वाकर्षण केंद्र उस रेखा पर स्थित होगा जो धागे की रेखा से मेल खाती है। अन्यथा, गुरुत्वाकर्षण शरीर को गति करने का कारण बनता है।

एक पेंसिल और एक रूलर लें, ऊर्ध्वाधर सीधी रेखाएँ खींचें जो धागे की दिशाओं (शरीर के विभिन्न बिंदुओं से जुड़े धागे) के साथ दृष्टिगत रूप से मेल खाएँ। यदि शरीर का आकार काफी जटिल है, तो कई रेखाएँ खींचें जो एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करें। यह उस पिंड के लिए गुरुत्वाकर्षण का केंद्र बन जाएगा जिस पर आपने प्रयोग किया था।

त्रिकोण गुरुत्वाकर्षण का केंद्र

किसी त्रिभुज के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को खोजने के लिए, आपको एक त्रिभुज बनाना होगा - एक आकृति जिसमें तीन खंड तीन बिंदुओं पर एक दूसरे से जुड़े होते हैं। आकृति के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र खोजने से पहले, आपको त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई मापने के लिए एक रूलर का उपयोग करना होगा। किनारे के मध्य में एक निशान रखें, फिर विपरीत शीर्ष और खंड के मध्य को माध्यिका नामक रेखा से जोड़ दें। त्रिभुज की दूसरी भुजा के साथ और फिर तीसरी भुजा के साथ भी यही एल्गोरिथ्म दोहराएँ। आपके कार्य का परिणाम तीन माध्यिकाएँ होंगी जो एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो त्रिभुज का गुरुत्वाकर्षण का केंद्र होगा।

यदि आपके सामने यह समस्या है कि समबाहु त्रिभुज के आकार में किसी पिंड का गुरुत्वाकर्षण केंद्र कैसे खोजा जाए, तो आपको एक आयताकार रूलर का उपयोग करके प्रत्येक शीर्ष से ऊंचाई खींचने की आवश्यकता है। एक समबाहु त्रिभुज में गुरुत्वाकर्षण का केंद्र ऊँचाई, माध्यिका और समद्विभाजक के प्रतिच्छेदन पर होगा, क्योंकि समान खंड एक साथ ऊँचाई, माध्यिका और समद्विभाजक होते हैं।

त्रिभुज के गुरुत्व केंद्र के निर्देशांक

त्रिभुज के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र और उसके निर्देशांक को खोजने से पहले, आइए आकृति पर करीब से नज़र डालें। यह एक सजातीय त्रिकोणीय प्लेट है, जिसमें शीर्ष A, B, C और, तदनुसार, निर्देशांक हैं: शीर्ष A के लिए - x1 और y1; शीर्ष B के लिए - x2 और y2; शीर्ष C - x3 और y3 के लिए। गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक ज्ञात करते समय, हम त्रिकोणीय प्लेट की मोटाई को ध्यान में नहीं रखेंगे। चित्र स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि त्रिभुज के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को अक्षर E द्वारा दर्शाया गया है - इसे खोजने के लिए, हमने तीन माध्यिकाएँ बनाईं, जिनके चौराहे पर हमने बिंदु E रखा। इसके अपने निर्देशांक हैं: xE और yE।

शीर्ष A से खंड B तक खींचे गए माध्यिका के एक छोर पर निर्देशांक x 1, y 1 हैं (यह बिंदु A है), और माध्यिका के दूसरे निर्देशांक इस तथ्य के आधार पर प्राप्त किए जाते हैं कि बिंदु D (माध्यिका का दूसरा छोर) खंड BC के मध्य में है. इस खंड के सिरों पर हमें ज्ञात निर्देशांक हैं: B(x 2, y 2) और C(x 3, y 3)। बिंदु D के निर्देशांक xD और yD द्वारा दर्शाए गए हैं। निम्नलिखित सूत्रों के आधार पर:

x=(X1+X2)/2; y=(U1+U2)/2

खंड के मध्य के निर्देशांक निर्धारित करें। हमें निम्नलिखित परिणाम मिलता है:

xd=(X2+X3)/2; уd=(У2+У3)/2;

डी *((X2+X3)/2, (U2+U3)/2).

हम जानते हैं कि खंड AD के सिरों के लिए कौन से निर्देशांक विशिष्ट हैं। हम बिंदु E के निर्देशांक, यानी त्रिकोणीय प्लेट के गुरुत्वाकर्षण केंद्र को भी जानते हैं। हम यह भी जानते हैं कि गुरुत्वाकर्षण का केंद्र खंड AD के मध्य में स्थित है। अब, ज्ञात सूत्रों और डेटा का उपयोग करके, हम गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक पा सकते हैं।

इस प्रकार, हम त्रिभुज के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक, या बल्कि, त्रिकोणीय प्लेट के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक पा सकते हैं, यह देखते हुए कि इसकी मोटाई हमारे लिए अज्ञात है। वे त्रिकोणीय प्लेट के शीर्षों के सजातीय निर्देशांक के अंकगणितीय माध्य के बराबर हैं।

आयत। चूँकि एक आयत में समरूपता के दो अक्ष होते हैं, इसका गुरुत्वाकर्षण केंद्र समरूपता के अक्षों के प्रतिच्छेदन पर होता है, अर्थात। आयत के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर।

त्रिकोण. गुरुत्वाकर्षण का केंद्र इसकी माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित है। ज्यामिति से यह ज्ञात होता है कि त्रिभुज की माध्यिकाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और आधार से 1:2 के अनुपात में विभाजित होती हैं।

घेरा। चूँकि एक वृत्त में सममिति के दो अक्ष होते हैं, इसका गुरुत्वाकर्षण केंद्र समरूपता के अक्षों के प्रतिच्छेदन पर होता है।

अर्धवृत्त. अर्धवृत्त में सममिति का एक अक्ष होता है, तो गुरुत्वाकर्षण का केंद्र इस अक्ष पर स्थित होता है। गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के एक अन्य निर्देशांक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:।

कई संरचनात्मक तत्व मानक रोल्ड उत्पादों से बने होते हैं - कोण, आई-बीम, चैनल और अन्य। सभी आयाम, साथ ही रोल्ड प्रोफाइल की ज्यामितीय विशेषताएं, सारणीबद्ध डेटा हैं जो सामान्य वर्गीकरण (GOST 8239-89, GOST 8240-89) की तालिकाओं में संदर्भ साहित्य में पाए जा सकते हैं।

उदाहरण 1। चित्र में दिखाए गए चित्र के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति निर्धारित करें।

समाधान:

हम समन्वय अक्षों का चयन करते हैं ताकि ऑक्स अक्ष सबसे निचले समग्र आयाम के साथ चले, और ओए अक्ष सबसे बाएं समग्र आयाम के साथ चले।

हम एक जटिल आकृति को न्यूनतम संख्या में सरल आकृतियों में तोड़ते हैं:

आयत 20x10;

त्रिकोण 15x10;

वृत्त R=3 सेमी.

हम प्रत्येक साधारण आकृति के क्षेत्रफल और उसके गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक की गणना करते हैं। गणना परिणाम तालिका में दर्ज किए गए हैं

चित्र संख्या	आकृति A का क्षेत्रफल,	गुरुत्वाकर्षण का केंद्र समन्वय करता है

उत्तर: सी(14.5; 4.5)

उदाहरण 2 . एक शीट और रोल्ड अनुभागों से युक्त समग्र अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करें।

समाधान।

हम निर्देशांक अक्षों का चयन करते हैं जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

आइए आंकड़ों को संख्याओं द्वारा निर्दिष्ट करें और तालिका से आवश्यक डेटा लिखें:

चित्र संख्या	आकृति A का क्षेत्रफल,	गुरुत्वाकर्षण का केंद्र समन्वय करता है

हम सूत्रों का उपयोग करके आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक की गणना करते हैं:

उत्तर: सी(0; 10)

प्रयोगशाला कार्य संख्या 1 "मिश्रित सपाट आकृतियों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का निर्धारण"

लक्ष्य: प्रयोगात्मक और विश्लेषणात्मक तरीकों का उपयोग करके किसी दी गई सपाट जटिल आकृति के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र निर्धारित करें और उनके परिणामों की तुलना करें।

कार्य - आदेश

अपनी नोटबुक में निर्देशांक अक्षों को दर्शाते हुए आकार में अपनी सपाट आकृति बनाएं।

विश्लेषणात्मक रूप से गुरुत्वाकर्षण का केंद्र निर्धारित करें।

1. आकृति को न्यूनतम संख्या में आकृतियों में विभाजित करें जिनके गुरुत्वाकर्षण के केंद्र हम जानते हैं कि कैसे निर्धारित किया जाए।

   प्रत्येक आकृति के गुरुत्वाकर्षण केंद्र की क्षेत्रफल संख्या और निर्देशांक इंगित करें।

   प्रत्येक आकृति के गुरुत्व केंद्र के निर्देशांक की गणना करें।

   प्रत्येक आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें।

   सूत्रों का उपयोग करके संपूर्ण आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक की गणना करें (गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति आकृति के चित्र पर अंकित है):

हैंगिंग विधि का उपयोग करके गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक को प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित करने के लिए इंस्टॉलेशन में एक ऊर्ध्वाधर स्टैंड होता है 1 (चित्र देखें) जिससे सुई जुड़ी हुई है 2 . सपाट आकृति 3 कार्डबोर्ड से बना है, जिसमें छेद करना आसान है। छेद ए और में बेतरतीब ढंग से स्थित बिंदुओं पर छेद किया गया (अधिमानतः एक दूसरे से सबसे दूर की दूरी पर)। एक सपाट आकृति को पहले एक बिंदु पर सुई पर लटकाया जाता है ए , और फिर बिंदु पर में . प्लंब लाइन का उपयोग करना 4 , उसी सुई से जुड़ा हुआ, प्लंब लाइन के धागे के अनुरूप एक पेंसिल के साथ आकृति पर एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचें। ग्रैविटी केंद्र साथ आकृति को बिंदुओं पर लटकाते समय खींची गई ऊर्ध्वाधर रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर आकृति स्थित होगी ए और में .

6.1. सामान्य जानकारी

समानांतर बलों का केंद्र
आइए हम एक दिशा में निर्देशित दो समानांतर बलों पर विचार करें, और, शरीर पर बिंदुओं पर लागू होते हैं ए 1 और ए 2 (चित्र.6.1). बलों की इस प्रणाली में एक परिणाम होता है, जिसकी क्रिया की रेखा एक निश्चित बिंदु से होकर गुजरती है साथ. बिंदु स्थिति साथवेरिग्नन के प्रमेय का उपयोग करके पाया जा सकता है:

यदि आप बलों को मोड़ते हैं और बिंदुओं के पास ए 1 और ए 2 एक दिशा में और एक ही कोण पर, फिर हमें समान मॉड्यूल वाले समानांतर साला की एक नई प्रणाली मिलती है। इस स्थिति में, उनका परिणाम भी बिंदु से होकर गुजरेगा साथ. इस बिंदु को समानांतर बलों का केंद्र कहा जाता है।
आइए एक ठोस पिंड पर बिंदुओं पर लागू समानांतर और समान रूप से निर्देशित बलों की एक प्रणाली पर विचार करें। इस प्रणाली का एक परिणाम है.
यदि सिस्टम के प्रत्येक बल को उनके अनुप्रयोग के बिंदुओं के पास एक ही दिशा में और एक ही कोण पर घुमाया जाता है, तो समान मॉड्यूल और अनुप्रयोग के बिंदुओं के साथ समान रूप से निर्देशित समानांतर बलों की नई प्रणालियाँ प्राप्त की जाएंगी। ऐसी प्रणालियों के परिणामी का मापांक समान होगा आर, लेकिन हर बार एक अलग दिशा। अपनी ताकत जोड़कर एफ 1 और एफ 2 हम पाते हैं कि उनका परिणामी आर 1, जो सदैव बिंदु से होकर गुजरेगा साथ 1, जिसकी स्थिति समानता से निर्धारित होती है। आगे मोड़ना आर 1 और एफ 3, हम उनका परिणाम पाते हैं, जो हमेशा बिंदु से होकर गुजरेगा साथ 2 एक सीधी रेखा पर लेटना ए 3 साथ 2. अंत में बलों को जोड़ने की प्रक्रिया पूरी करने के बाद, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचेंगे कि सभी बलों का परिणाम वास्तव में हमेशा एक ही बिंदु से होकर गुजरेगा साथ, जिनकी बिंदुओं के सापेक्ष स्थिति अपरिवर्तित रहेगी।
डॉट साथ, जिसके माध्यम से समान दिशा में एक ही कोण पर इन बलों के अनुप्रयोग के बिंदुओं के निकट इन बलों के किसी भी घूर्णन के लिए समानांतर बलों की परिणामी प्रणाली की क्रिया की रेखा गुजरती है, समानांतर बलों का केंद्र कहलाती है (चित्र 6.2)।

चित्र.6.2

आइए हम समानांतर बलों के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करें। बिंदु की स्थिति के बाद से साथशरीर के सापेक्ष अपरिवर्तित है, तो इसके निर्देशांक समन्वय प्रणाली की पसंद पर निर्भर नहीं करते हैं। आइए सभी बलों को उनके अनुप्रयोग के चारों ओर घुमाएँ ताकि वे अक्ष के समानांतर हो जाएँ कहांऔर घुमाए गए बलों पर वेरिग्नन के प्रमेय को लागू करें। क्योंकि आर"इन बलों का परिणाम है, तो, वेरिग्नन के प्रमेय के अनुसार, हमारे पास है , क्योंकि , , हम पाते हैं

यहां से हम समानांतर बलों के केंद्र का निर्देशांक पाते हैं zc:

निर्देशांक निर्धारित करने के लिए एक्ससीआइए अक्ष के चारों ओर बलों के क्षण के लिए एक अभिव्यक्ति बनाएं आउंस.

निर्देशांक निर्धारित करने के लिए वाईसीआइए सभी बलों को मोड़ दें ताकि वे अक्ष के समानांतर हो जाएं आउंस.

मूल बिंदु के सापेक्ष समानांतर बलों के केंद्र की स्थिति (चित्र 6.2) इसके त्रिज्या वेक्टर द्वारा निर्धारित की जा सकती है:

6.2. किसी कठोर पिंड का गुरुत्व केंद्र

ग्रैविटी केंद्रएक कठोर पिंड का एक बिंदु इस पिंड से हमेशा जुड़ा रहता है साथ, जिसके माध्यम से अंतरिक्ष में शरीर की किसी भी स्थिति के लिए किसी दिए गए शरीर के परिणामी गुरुत्वाकर्षण बलों की कार्रवाई की रेखा गुजरती है।
गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का उपयोग गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव के तहत निकायों और निरंतर मीडिया की संतुलन स्थिति की स्थिरता का अध्ययन करने में किया जाता है और कुछ अन्य मामलों में, अर्थात्: सामग्रियों की ताकत में और संरचनात्मक यांत्रिकी में - वीरशैचिन के नियम का उपयोग करते समय।
किसी पिंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को निर्धारित करने के दो तरीके हैं: विश्लेषणात्मक और प्रयोगात्मक। गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को निर्धारित करने की विश्लेषणात्मक विधि सीधे समानांतर बलों के केंद्र की अवधारणा से अनुसरण करती है।
गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक, समानांतर बलों के केंद्र के रूप में, सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

कहाँ आर- पूरे शरीर का वजन; पी- शरीर के कणों का वजन; एक्सके, वाईके, ज़ेडके- शरीर के कणों के निर्देशांक.
एक सजातीय शरीर के लिए, पूरे शरीर और उसके किसी भी हिस्से का वजन आयतन के समानुपाती होता है पी=वीγ, पीके =वीके γ, कहाँ γ - प्रति इकाई आयतन वजन, वी- शरीर का आयतन. भावों को प्रतिस्थापित करना पी, पीगुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करने के सूत्र में और, एक सामान्य कारक द्वारा कम करना γ , हम पाते हैं:

डॉट साथ, जिसके निर्देशांक परिणामी सूत्रों द्वारा निर्धारित होते हैं, कहलाते हैं आयतन का गुरुत्व केंद्र.
यदि पिंड एक पतली सजातीय प्लेट है, तो गुरुत्वाकर्षण का केंद्र सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

कहाँ एस- संपूर्ण प्लेट का क्षेत्रफल; एसके- इसके भाग का क्षेत्रफल; एक्सके, वाईके- प्लेट भागों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक।
डॉट साथइस मामले में इसे कहा जाता है क्षेत्र के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र.
भावों के अंश जो समतल आकृतियों के गुरुत्व केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करते हैं, कहलाते हैं क्षेत्र के स्थिर क्षणअक्षों के सापेक्ष परऔर एक्स:

फिर क्षेत्र के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:

उन पिंडों के लिए जिनकी लंबाई क्रॉस-अनुभागीय आयामों से कई गुना अधिक है, रेखा के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र निर्धारित करें। रेखा के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

कहाँ एल- दिशा और रेखा; लालकृष्ण- इसके भागों की लंबाई; एक्सके, वाईके, ज़ेडके- रेखा के हिस्सों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का समन्वय।

6.3. पिंडों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक निर्धारित करने की विधियाँ

प्राप्त सूत्रों के आधार पर, निकायों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों को निर्धारित करने के लिए व्यावहारिक तरीकों का प्रस्ताव करना संभव है।
1. समरूपता. यदि किसी पिंड में समरूपता का केंद्र है, तो गुरुत्वाकर्षण का केंद्र समरूपता के केंद्र पर है।
यदि शरीर में सममिति का तल है। उदाहरण के लिए, XOU विमान, तो गुरुत्वाकर्षण का केंद्र इस विमान में स्थित है।
2. विभाजन. सरल आकार वाले पिंडों से युक्त पिंडों के लिए, विभाजन विधि का उपयोग किया जाता है। शरीर को भागों में विभाजित किया गया है, जिसका गुरुत्वाकर्षण केंद्र समरूपता की विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है। संपूर्ण पिंड का गुरुत्व केंद्र आयतन (क्षेत्रफल) के गुरुत्व केंद्र के सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है।

उदाहरण. नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए प्लेट का गुरुत्वाकर्षण केंद्र निर्धारित करें (चित्र 6.3)। प्लेट को विभिन्न तरीकों से आयतों में विभाजित किया जा सकता है और प्रत्येक आयत के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक और उनका क्षेत्रफल निर्धारित किया जा सकता है।

चित्र.6.3

उत्तर: एक्ससी=17.0 सेमी; यसी=18.0 सेमी.

3. जोड़ना. यह विधि विभाजन विधि का एक विशेष मामला है। इसका उपयोग तब किया जाता है जब शरीर में कटआउट, स्लाइस इत्यादि होते हैं, यदि कटआउट के बिना शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक ज्ञात होते हैं।

उदाहरण. कटआउट त्रिज्या वाली एक गोलाकार प्लेट के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र निर्धारित करें आर = 0,6 आर(चित्र 6.4)।

चित्र.6.4

एक गोल प्लेट में समरूपता का केंद्र होता है। आइए निर्देशांक की उत्पत्ति को प्लेट के केंद्र में रखें। कटआउट रहित प्लेट क्षेत्र, कटआउट क्षेत्र। कटआउट के साथ चौकोर प्लेट; .
कटआउट वाली प्लेट में समरूपता का अक्ष होता है О1 एक्स, इस तरह, वाईसी=0.

4. एकीकरण. यदि शरीर को भागों की एक सीमित संख्या में विभाजित नहीं किया जा सकता है, जिसके गुरुत्वाकर्षण केंद्रों की स्थिति ज्ञात है, तो शरीर को मनमाने ढंग से छोटी मात्रा में विभाजित किया जाता है, जिसके लिए विभाजन विधि का उपयोग करने वाला सूत्र रूप लेता है: .
फिर वे सीमा तक चले जाते हैं, प्राथमिक आयतन को शून्य की ओर निर्देशित करते हैं, अर्थात। मात्राओं को अंकों में अनुबंधित करना। योगों को शरीर के संपूर्ण आयतन तक विस्तारित अभिन्नों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, फिर आयतन के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करने के सूत्र रूप लेते हैं:

किसी क्षेत्र के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करने के सूत्र:

संरचनात्मक यांत्रिकी में मोहर इंटीग्रल की गणना करते समय, प्लेटों के संतुलन का अध्ययन करते समय क्षेत्र के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित किए जाने चाहिए।

उदाहरण. त्रिज्या के एक वृत्ताकार चाप का गुरुत्वाकर्षण केंद्र निर्धारित करें आरकेंद्रीय कोण के साथ एओबी= 2α (चित्र 6.5)।

चावल। 6.5

वृत्त का चाप अक्ष के सममित होता है ओह, इसलिए, चाप का गुरुत्वाकर्षण केंद्र अक्ष पर स्थित है ओह, हाँ = 0.
एक रेखा के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के सूत्र के अनुसार:

6.प्रयोगात्मक विधि. जटिल विन्यास के अमानवीय निकायों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों को प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है: लटकाने और वजन करने की विधि द्वारा। पहली विधि शरीर को विभिन्न बिंदुओं पर केबल पर लटकाना है। जिस केबल पर शरीर लटका हुआ है उसकी दिशा गुरुत्वाकर्षण की दिशा देगी। इन दिशाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु पिंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को निर्धारित करता है।
वज़न मापने की विधि में सबसे पहले किसी शरीर, जैसे कि कार, का वज़न निर्धारित करना शामिल होता है। फिर समर्थन पर वाहन के रियर एक्सल का दबाव तराजू पर निर्धारित किया जाता है। एक बिंदु के सापेक्ष संतुलन समीकरण बनाकर, उदाहरण के लिए, सामने के पहियों की धुरी, आप इस धुरी से कार के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र तक की दूरी की गणना कर सकते हैं (चित्र 6.6)।

चित्र.6.6

कभी-कभी, समस्याओं को हल करते समय, गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए विभिन्न तरीकों का एक साथ उपयोग करना आवश्यक होता है।

6.4. कुछ सरल ज्यामितीय आकृतियों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र

बार-बार आने वाली आकृतियों (त्रिकोण, गोलाकार चाप, सेक्टर, खंड) के पिंडों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों को निर्धारित करने के लिए, संदर्भ डेटा (तालिका 6.1) का उपयोग करना सुविधाजनक है।

तालिका 6.1

कुछ सजातीय पिंडों के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक

№	आकृति का नाम	चित्रकला
	एक वृत्त का चाप: एकसमान वृत्त के चाप का गुरुत्व केंद्र सममिति (निर्देशांक) के अक्ष पर होता है यूसी=0). आर- वृत्त की त्रिज्या.
	सजातीय वृत्ताकार क्षेत्र यूसी=0). जहां α केंद्रीय कोण का आधा है; आर- वृत्त की त्रिज्या.
	खंड:गुरुत्वाकर्षण का केंद्र समरूपता के अक्ष (समन्वय) पर स्थित है यूसी=0). जहां α केंद्रीय कोण का आधा है; आर- वृत्त की त्रिज्या.
	आधा गोला:
	त्रिकोण: एक सजातीय त्रिभुज का गुरुत्वाकर्षण केंद्र उसकी माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर होता है। कहाँ X1, y1, x2, y2, x3, y3- त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक
	कोन: एक समान गोलाकार शंकु का गुरुत्वाकर्षण केंद्र उसकी ऊंचाई पर होता है और शंकु के आधार से ऊंचाई के 1/4 की दूरी पर स्थित होता है।

गुरुत्वाकर्षण का केंद्र कैसे खोजें

लेखक: आइए मनमाने आकार का एक पिंड लें। क्या इसे धागे पर लटकाना संभव है ताकि लटकने के बाद यह अपनी स्थिति बनाए रखे (यानी मुड़ना शुरू न कर दे) कोईप्रारंभिक अभिविन्यास (चित्र 27.1)?

दूसरे शब्दों में, क्या कोई ऐसा बिंदु है जिसके सापेक्ष शरीर के विभिन्न भागों पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण के क्षणों का योग शून्य के बराबर होगा? कोईअंतरिक्ष में शरीर का उन्मुखीकरण?

पाठक: हां मुझे ऐसा लगता है। इस बिंदु को कहा जाता है शरीर के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र.

सबूत।सरलता के लिए, आइए मनमाने आकार की एक सपाट प्लेट के रूप में एक पिंड पर विचार करें, जो मनमाने ढंग से अंतरिक्ष में उन्मुख हो (चित्र 27.2)। आइए समन्वय प्रणाली लें एक्स 0परद्रव्यमान के केंद्र पर शुरुआत के साथ - बिंदु साथ, तब एक्स सी = 0, सी पर = 0.

आइए हम इस पिंड की कल्पना बड़ी संख्या में बिंदु द्रव्यमानों के संग्रह के रूप में करें एम मैं, जिनमें से प्रत्येक की स्थिति त्रिज्या वेक्टर द्वारा निर्दिष्ट है।

परिभाषा के अनुसार, द्रव्यमान का केंद्र और निर्देशांक है एक्स सी = .

चूँकि समन्वय प्रणाली में हमने अपना लिया एक्स सी= 0, फिर . आइए इस समानता को इससे गुणा करें जीऔर हमें मिलता है

जैसे कि चित्र से देखा जा सकता है। 27.2, | एक्स मैं| - यह सत्ता का कंधा है. और अगर एक्स मैं> 0, फिर बल का क्षण एम मैं> 0, और यदि एक्स जे < 0, то एम जे < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого एक्स मैंबल का क्षण बराबर होगा एम आई = एम आई जीएक्स आई।तब समानता (1) समानता के बराबर है, जहां एम मैं-गुरुत्वाकर्षण का क्षण. इसका मतलब यह है कि शरीर के मनमाने ढंग से अभिविन्यास के साथ, शरीर पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण के क्षणों का योग इसके द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष शून्य के बराबर होगा।

जिस शरीर को हम संतुलन में मान रहे हैं, उसके लिए उस बिंदु पर लागू होना आवश्यक है साथबल टी = एमजी, लंबवत ऊपर की ओर निर्देशित। बिंदु के सापेक्ष इस बल का क्षण साथशून्य के बराबर.

चूँकि हमारा तर्क किसी भी तरह से इस बात पर निर्भर नहीं था कि पिंड वास्तव में अंतरिक्ष में कैसे उन्मुख है, हमने साबित कर दिया कि गुरुत्वाकर्षण का केंद्र द्रव्यमान के केंद्र के साथ मेल खाता है, जिसे हमें साबित करने की आवश्यकता है।

समस्या 27.1.लंबाई की एक भारहीन छड़ का गुरुत्वाकर्षण केंद्र ज्ञात कीजिए एल, जिसके सिरों पर दो बिंदु द्रव्यमान स्थिर होते हैं टी 1 और टी 2 .

टी 1 टी 2 एल	समाधान। हम गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की नहीं, बल्कि द्रव्यमान के केंद्र की तलाश करेंगे (क्योंकि ये एक ही चीज़ हैं)। आइए अक्ष का परिचय दें एक्स(चित्र 27.3)। चावल। 27.3
एक्स सी =?

उत्तर: द्रव्यमान से कुछ दूरी पर टी 1 .

रुकना! स्वयं निर्णय करें: B1–B3.

कथन 1 . यदि एक सजातीय सपाट पिंड में समरूपता की धुरी है, तो गुरुत्वाकर्षण का केंद्र इस धुरी पर है।

दरअसल, किसी भी बिंदु द्रव्यमान के लिए एम मैं, समरूपता अक्ष के दाईं ओर स्थित, वही बिंदु द्रव्यमान है जो पहले वाले के सापेक्ष सममित रूप से स्थित है (चित्र 27.4)। इस मामले में, बलों के क्षणों का योग।

चूँकि संपूर्ण पिंड को बिंदुओं के समान युग्मों में विभाजित करके दर्शाया जा सकता है, समरूपता अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के सापेक्ष गुरुत्वाकर्षण का कुल क्षण शून्य के बराबर है, जिसका अर्थ है कि पिंड का गुरुत्वाकर्षण केंद्र इस अक्ष पर स्थित है . इससे एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकलता है: यदि किसी पिंड में समरूपता के कई अक्ष हैं, तो गुरुत्वाकर्षण का केंद्र इन अक्षों के प्रतिच्छेदन पर स्थित होता है(चित्र 27.5)।

चावल। 27.5

कथन 2. यदि दो पिंडों में द्रव्यमान है टी 1 और टी 2 को एक में जोड़ा जाता है, तो ऐसे पिंड का गुरुत्वाकर्षण केंद्र पहले और दूसरे पिंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा खंड पर स्थित होगा (चित्र 27.6)।

चावल। 27.6 चावल। 27.7

सबूत।आइए समग्र पिंड को इस प्रकार रखें कि पिंडों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों को जोड़ने वाला खंड लंबवत हो। फिर बिंदु के सापेक्ष पहले पिंड के गुरुत्वाकर्षण के क्षणों का योग साथ 1 शून्य के बराबर है, और बिंदु के सापेक्ष दूसरे पिंड के गुरुत्वाकर्षण के क्षणों का योग है साथ 2 शून्य के बराबर है (चित्र 27.7)।

नोटिस जो कंधाकिसी बिंदु द्रव्यमान का गुरुत्वाकर्षण टी मैंखंड पर स्थित किसी भी बिंदु के संबंध में भी यही बात लागू होती है साथ 1 साथ 2, और इसलिए खंड पर स्थित किसी भी बिंदु के सापेक्ष गुरुत्वाकर्षण का क्षण साथ 1 साथ 2, वही. नतीजतन, पूरे शरीर का गुरुत्वाकर्षण बल खंड पर किसी भी बिंदु के सापेक्ष शून्य है साथ 1 साथ 2. इस प्रकार, समग्र शरीर का गुरुत्वाकर्षण केंद्र खंड पर स्थित है साथ 1 साथ 2 .

कथन 2 से एक महत्वपूर्ण व्यावहारिक निष्कर्ष निकलता है, जो निर्देशों के रूप में स्पष्ट रूप से तैयार किया गया है।

निर्देश,

यदि किसी ठोस पिंड को तोड़ा जा सकता है तो उसके गुरुत्वाकर्षण का केंद्र कैसे खोजा जाए

भागों में, जिनमें से प्रत्येक के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों की स्थिति ज्ञात है

1. प्रत्येक भाग को उस भाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र पर स्थित एक द्रव्यमान से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।

2. खोजें सेंटर ऑफ मास(और यह गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के समान है) बिंदु द्रव्यमान की परिणामी प्रणाली का, एक सुविधाजनक समन्वय प्रणाली का चयन करना एक्स 0पर, सूत्रों के अनुसार:

वास्तव में, आइए समग्र निकाय को इस प्रकार व्यवस्थित करें कि खंड साथ 1 साथ 2 क्षैतिज था, और इसे बिंदुओं पर धागे पर लटकाएं साथ 1 और साथ 2 (चित्र 27.8, ए). यह स्पष्ट है कि शरीर संतुलन में होगा। और यदि हम प्रत्येक पिंड को बिंदु द्रव्यमान से प्रतिस्थापित कर दें तो यह संतुलन नहीं बिगड़ेगा टी 1 और टी 2 (चित्र 27.8, बी).

चावल। 27.8

रुकना! स्वयं निर्णय करें: C3.

समस्या 27.2.द्रव्यमान की गेंदों को एक समबाहु त्रिभुज के दो शीर्षों पर रखा गया है टीप्रत्येक। द्रव्यमान 2 की एक गेंद को तीसरे शीर्ष पर रखा गया है टी(चित्र 27.9, ए). त्रिभुज पक्ष ए. इस प्रणाली के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र निर्धारित करें।

टी 2टी ए	चावल। 27.9
एक्स सी = ? सी पर = ?

समाधान. आइए समन्वय प्रणाली का परिचय दें एक्स 0पर(चित्र 27.9, बी). तब

,

.

उत्तर: एक्स सी = ए/2; ; गुरुत्वाकर्षण का केंद्र आधी ऊंचाई पर स्थित है विज्ञापन.