फर्मेट ग्रेट प्रमेय - पियरे फर्मेट (एक फ्रांसीसी वकील और अंशकालिक गणितज्ञ) का बयान है कि डायोफैंटिन समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन, एक एक्सपोनेंट एन> 2 के साथ, जहां एन = एक पूर्णांक, सकारात्मक में कोई समाधान नहीं है पूर्णांक। लेखक का पाठ: "एक घन को दो घनों में, या एक द्वि-वर्ग को दो द्वि-वर्गों में, या सामान्य रूप से दो से अधिक शक्ति को समान घातांक वाली दो शक्तियों में विघटित करना असंभव है।"

"फर्मेट एंड हिज़ थ्योरम", अमादेओ मोदिग्लिआनी, 1920

पियरे 29 मार्च, 1636 को इस प्रमेय के साथ आए। और करीब 29 साल बाद उसकी मौत हो गयी। लेकिन यहीं से यह सब शुरू हुआ। आखिरकार, वोल्फस्केल के नाम से एक धनी जर्मन गणितज्ञ ने फ़र्मेट के प्रमेय का पूरा प्रमाण प्रस्तुत करने वाले को एक लाख अंक दिए! लेकिन प्रमेय के आसपास का उत्साह न केवल इसके साथ, बल्कि पेशेवर गणितीय उत्साह से भी जुड़ा था। फर्मेट ने खुद गणितीय समुदाय को संकेत दिया कि वह प्रमाण जानता था - अपनी मृत्यु से कुछ समय पहले, 1665 में, उसने अलेक्जेंड्रिया के डायोफैंटस "अरिथमेटिक" पुस्तक के हाशिये में निम्नलिखित प्रविष्टि छोड़ी: "मेरे पास एक बहुत ही अद्भुत प्रमाण है, लेकिन यह है खेतों पर रखने के लिए बहुत बड़ा।"

यह संकेत था (प्लस, निश्चित रूप से, एक नकद पुरस्कार) जिसने गणितज्ञों को प्रमाण की खोज में असफल रूप से अपना सर्वश्रेष्ठ वर्ष बिताया (अमेरिकी वैज्ञानिकों के अनुसार, अकेले पेशेवर गणितज्ञों ने इस पर कुल मिलाकर 543 साल बिताए)।

कुछ बिंदु पर (1901 में), फ़र्मेट के प्रमेय पर काम ने "एक सतत गति मशीन की खोज के समान कार्य" की संदिग्ध प्रसिद्धि प्राप्त की (यहां तक ​​​​कि एक अपमानजनक शब्द भी था - "फर्मेटिस्ट")। और अचानक, 23 जून, 1993 को कैम्ब्रिज में संख्या सिद्धांत पर एक गणितीय सम्मेलन में, प्रिंसटन यूनिवर्सिटी (न्यू जर्सी, यूएसए) से गणित के अंग्रेजी प्रोफेसर एंड्रयू विल्स ने घोषणा की कि उन्होंने आखिरकार फर्मेट साबित कर दिया है!

हालाँकि, प्रमाण न केवल जटिल था, बल्कि स्पष्ट रूप से गलत भी था, जैसा कि विल्स ने अपने सहयोगियों द्वारा बताया था। लेकिन प्रोफेसर विल्स ने जीवन भर प्रमेय को साबित करने का सपना देखा था, इसलिए यह आश्चर्य की बात नहीं है कि मई 1994 में उन्होंने वैज्ञानिक समुदाय के लिए प्रमाण का एक नया, बेहतर संस्करण प्रस्तुत किया। इसमें कोई सामंजस्य, सुंदरता नहीं थी, और यह अभी भी बहुत जटिल था - यह तथ्य कि गणितज्ञ पूरे एक साल से इस प्रमाण का विश्लेषण कर रहे हैं (!) यह समझने के लिए कि क्या यह गलत नहीं है, अपने लिए बोलता है!

लेकिन अंत में विल्स का प्रमाण सही पाया गया। लेकिन गणितज्ञों ने पियरे फर्मेट को अंकगणित में उनके संकेत के लिए माफ नहीं किया, और वास्तव में, वे उन्हें झूठा मानने लगे। वास्तव में, फर्मेट की नैतिक अखंडता पर सवाल उठाने वाले पहले व्यक्ति खुद एंड्रयू विल्स थे, जिन्होंने टिप्पणी की थी कि "फर्मेट के पास ऐसा प्रमाण नहीं हो सकता था। यह बीसवीं सदी का प्रमाण है।" फिर, अन्य वैज्ञानिकों के बीच, राय मजबूत हो गई कि फर्मेट "अपने प्रमेय को किसी अन्य तरीके से साबित नहीं कर सका, और फर्मेट इसे उस तरीके से साबित नहीं कर सका जिस तरह विल्स गए, वस्तुनिष्ठ कारणों से।"

वास्तव में, Fermat, निश्चित रूप से इसे साबित कर सकता है, और थोड़ी देर बाद यह प्रमाण न्यू एनालिटिकल इनसाइक्लोपीडिया के विश्लेषकों द्वारा फिर से बनाया जाएगा। लेकिन - ये "उद्देश्य कारण" क्या हैं?
वास्तव में, ऐसा केवल एक ही कारण है: उन वर्षों में जब फ़र्मेट रहते थे, तानियामा का अनुमान प्रकट नहीं हो सका, जिस पर एंड्रयू विल्स ने अपना प्रमाण बनाया, क्योंकि तानियामा के अनुमान पर चलने वाले मॉड्यूलर कार्यों की खोज केवल 19 वीं शताब्दी के अंत में की गई थी। .

विल्स ने स्वयं प्रमेय को कैसे सिद्ध किया? प्रश्न निष्क्रिय नहीं है - यह समझने के लिए महत्वपूर्ण है कि फ़र्मेट स्वयं अपने प्रमेय को कैसे सिद्ध कर सकता है। विल्स ने 28 वर्षीय जापानी गणितज्ञ युताका तानियामा द्वारा 1955 में सामने रखे गए तानियामा के अनुमान के प्रमाण पर अपना प्रमाण बनाया।

अनुमान इस तरह लगता है: "प्रत्येक अण्डाकार वक्र एक निश्चित मॉड्यूलर रूप से मेल खाता है।" अण्डाकार वक्र, जो लंबे समय से ज्ञात हैं, का द्वि-आयामी रूप (एक विमान पर स्थित) है, जबकि मॉड्यूलर कार्यों का चार-आयामी रूप है। यही है, तानियामा की परिकल्पना ने पूरी तरह से अलग अवधारणाओं को जोड़ दिया - सरल सपाट वक्र और अकल्पनीय चार-आयामी रूप। विभिन्न आयामी आकृतियों को परिकल्पना में जोड़ने का तथ्य ही वैज्ञानिकों को बेतुका लगता था, यही वजह है कि 1955 में इसे कोई महत्व नहीं दिया गया।

हालाँकि, 1984 के पतन में, "तानियामा परिकल्पना" को अचानक फिर से याद किया गया, और न केवल याद किया गया, बल्कि इसका संभावित प्रमाण फर्मेट के प्रमेय के प्रमाण से जुड़ा था! यह सारब्रुकन गणितज्ञ गेरहार्ड फ्रे द्वारा किया गया था, जिन्होंने वैज्ञानिक समुदाय से कहा था कि "यदि कोई तानियामा के अनुमान को सिद्ध कर सकता है, तो फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय सिद्ध हो जाएगी।"

फ्रे ने क्या किया? उन्होंने फर्मेट के समीकरण को एक घन में परिवर्तित कर दिया, फिर इस तथ्य पर ध्यान आकर्षित किया कि फर्मेट के समीकरण को एक घन में परिवर्तित करके प्राप्त अंडाकार वक्र मॉड्यूलर नहीं हो सकता। हालांकि, तानियामा के अनुमान ने कहा कि कोई भी अण्डाकार वक्र मॉड्यूलर हो सकता है! तदनुसार, फ़र्मेट के समीकरण से निर्मित एक अण्डाकार वक्र मौजूद नहीं हो सकता है, जिसका अर्थ है कि संपूर्ण समाधान और फ़र्मेट की प्रमेय नहीं हो सकती है, जिसका अर्थ है कि यह सत्य है। ठीक है, 1993 में, एंड्रयू विल्स ने केवल तानियामा के अनुमान को सिद्ध किया, और इसलिए फर्मेट की प्रमेय।

हालांकि, फ़र्मेट के प्रमेय को उसी बहुआयामीता के आधार पर और अधिक सरलता से सिद्ध किया जा सकता है, जिस पर तानियामा और फ्रे दोनों संचालित थे।

आरंभ करने के लिए, आइए पियरे फर्मेट द्वारा स्वयं निर्धारित शर्त पर ध्यान दें - n>2। यह शर्त क्यों जरूरी थी? हां, केवल इस तथ्य के लिए कि एन = 2 के लिए सामान्य पायथागॉरियन प्रमेय एक्स 2 + वाई 2 =जेड 2 फ़र्मेट के प्रमेय का एक विशेष मामला बन जाता है, जिसमें अनंत संख्या में पूर्णांक समाधान होते हैं - 3,4,5; 5,12,13; 7.24.25; 8,15,17; 12,16,20; 51,140,149 और इसी तरह। इस प्रकार, पाइथागोरस प्रमेय फ़र्मेट के प्रमेय का एक अपवाद है।

लेकिन वास्तव में $ n = 2 $ के मामले में ऐसा अपवाद क्यों होता है? यदि आप डिग्री (n = 2) और आकृति के आयाम के बीच संबंध देखते हैं तो सब कुछ ठीक हो जाता है। पाइथागोरस त्रिभुज एक द्विविमीय आकृति है। आश्चर्य की बात नहीं है, Z (अर्थात् कर्ण) को पैरों (X और Y) के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, जो पूर्णांक हो सकते हैं। कोण (90) का आकार कर्ण को सदिश के रूप में विचार करना संभव बनाता है, और पैर कुल्हाड़ियों पर स्थित वैक्टर हैं और मूल से आ रहे हैं। तदनुसार, एक द्वि-आयामी वेक्टर को व्यक्त करना संभव है जो किसी भी अक्ष पर झूठ बोलने वाले वैक्टर के संदर्भ में झूठ नहीं बोलता है।

अब, यदि हम तीसरे आयाम पर जाते हैं, और इसलिए n = 3 तक, एक त्रि-आयामी वेक्टर को व्यक्त करने के लिए, दो वैक्टरों के बारे में पर्याप्त जानकारी नहीं होगी, और इसलिए Z को Fermat के समीकरण में व्यक्त करना संभव होगा कम से कम तीन पद (तीन सदिश क्रमशः समन्वय प्रणाली के तीन अक्षों पर स्थित हैं)।

यदि n = 4, तो 4 पद होने चाहिए, यदि n = 5, तो 5 पद होने चाहिए, इत्यादि। इस मामले में, पर्याप्त से अधिक पूरे समाधान होंगे। उदाहरण के लिए, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 और इसी तरह (आप n=3, n=4 और इसी तरह के अन्य उदाहरण चुन सकते हैं)।

इस सब से क्या होता है? इससे यह पता चलता है कि फ़र्मेट के प्रमेय का वास्तव में n>2 के लिए कोई संपूर्ण समाधान नहीं है - लेकिन केवल इसलिए कि समीकरण ही गलत है! उसी सफलता के साथ, कोई समानांतर चतुर्भुज के आयतन को उसके दो किनारों की लंबाई के संदर्भ में व्यक्त करने का प्रयास कर सकता है - बेशक, यह असंभव है (संपूर्ण समाधान कभी नहीं मिलेगा), लेकिन केवल इसलिए कि समानांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात करना , आपको इसके तीनों किनारों की लंबाई जानने की जरूरत है।

जब प्रसिद्ध गणितज्ञ डेविड गिल्बर्ट से पूछा गया कि अब विज्ञान के लिए सबसे महत्वपूर्ण कार्य क्या है, तो उन्होंने उत्तर दिया "चाँद के सबसे दूर की ओर एक मक्खी पकड़ना।" उचित प्रश्न के लिए "किसे इसकी आवश्यकता है?" उन्होंने इस तरह उत्तर दिया: "किसी को इसकी आवश्यकता नहीं है। लेकिन इस बारे में सोचें कि इसे पूरा करने के लिए आपको कितने महत्वपूर्ण और जटिल कार्यों को हल करने की आवश्यकता है।"

दूसरे शब्दों में, फर्मेट (पहले एक वकील!) ने समस्या के गलत सूत्रीकरण के आधार पर पूरे गणितीय दुनिया पर एक मजाकिया कानूनी मजाक किया। उन्होंने, वास्तव में, सुझाव दिया कि गणितज्ञों को एक उत्तर मिलता है कि एक मक्खी चंद्रमा के दूसरी तरफ क्यों नहीं रह सकती है, और अंकगणित के हाशिये में वह केवल यह लिखना चाहता था कि चंद्रमा पर बस कोई हवा नहीं है, अर्थात। n>2 के लिए उनके प्रमेय का कोई पूर्णांक समाधान नहीं हो सकता है क्योंकि n का प्रत्येक मान उसके समीकरण के बाईं ओर एक निश्चित संख्या के अनुरूप होना चाहिए।

लेकिन क्या यह सिर्फ मजाक था? बिल्कुल नहीं। फ़र्मेट की प्रतिभा इस तथ्य में सटीक रूप से निहित है कि वह वास्तव में एक गणितीय आकृति की डिग्री और आयाम के बीच के संबंध को देखने वाले पहले व्यक्ति थे - अर्थात, जो बिल्कुल समतुल्य है, समीकरण के बाईं ओर शब्दों की संख्या। उनके प्रसिद्ध प्रमेय का अर्थ न केवल गणितीय दुनिया को इस संबंध के विचार पर धकेलना था, बल्कि इस संबंध के अस्तित्व के प्रमाण को भी आरंभ करना था - सहज रूप से समझने योग्य, लेकिन गणितीय रूप से अभी तक प्रमाणित नहीं हुआ है।

फ़र्मेट, किसी और की तरह, यह नहीं समझते थे कि प्रतीत होने वाली विभिन्न वस्तुओं के बीच संबंध स्थापित करना न केवल गणित में, बल्कि किसी भी विज्ञान में अत्यंत फलदायी है। ऐसा संबंध दोनों वस्तुओं में अंतर्निहित किसी गहरे सिद्धांत की ओर इशारा करता है और उनकी गहरी समझ की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए, शुरू में भौतिकविदों ने बिजली और चुंबकत्व को पूरी तरह से असंबंधित घटना माना, और 19वीं शताब्दी में, सिद्धांतकारों और प्रयोगकर्ताओं ने महसूस किया कि बिजली और चुंबकत्व निकटता से संबंधित थे। नतीजा बिजली और चुंबकत्व दोनों की गहरी समझ थी। विद्युत धाराएं चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती हैं, और चुम्बक उन चालकों में विद्युत उत्पन्न कर सकते हैं जो चुम्बकों के निकट होते हैं। इससे डायनेमो और इलेक्ट्रिक मोटर्स का आविष्कार हुआ। आखिरकार यह पता चला कि प्रकाश चुंबकीय और विद्युत क्षेत्रों के समन्वित हार्मोनिक दोलनों का परिणाम है।

फ़र्मेट के समय के गणित में अज्ञानता के समुद्र में ज्ञान के द्वीप शामिल थे। जियोमीटर ने एक द्वीप पर आकृतियों का अध्ययन किया, और गणितज्ञों ने दूसरे द्वीप पर प्रायिकता और संयोग का अध्ययन किया। ज्यामिति की भाषा संभाव्यता सिद्धांत की भाषा से बहुत अलग थी, और बीजगणितीय शब्दावली उन लोगों के लिए अलग थी जो केवल आँकड़ों के बारे में बात करते थे। दुर्भाग्य से, हमारे समय के गणित में लगभग समान द्वीप हैं।

फार्म ने सबसे पहले महसूस किया कि ये सभी द्वीप आपस में जुड़े हुए हैं। और उनकी प्रसिद्ध प्रमेय - फ़र्मेट की महान प्रमेय - इसकी एक उत्कृष्ट पुष्टि है।

पूर्णांक n के लिए 2 से अधिक, समीकरण x n + y n = z n का प्राकृतिक संख्याओं में कोई गैर-शून्य समाधान नहीं है।

आपको शायद अपने स्कूल के दिनों की याद हो पायथागॉरियन प्रमेय: समकोण त्रिभुज के कर्ण का वर्ग पादों के वर्गों के योग के बराबर होता है। आप शास्त्रीय समकोण त्रिभुज को भी याद कर सकते हैं, जिसकी भुजाएँ 3: 4: 5 के रूप में संबंधित हैं। इसके लिए, पायथागॉरियन प्रमेय इस तरह दिखता है:

यह गैर-शून्य पूर्णांकों में सामान्यीकृत पायथागॉरियन समीकरण को हल करने का एक उदाहरण है एन= 2. फर्मेट की अंतिम प्रमेय (जिसे "फर्मेट की अंतिम प्रमेय" और "फर्मेट की अंतिम प्रमेय" भी कहा जाता है) यह कथन है कि, मूल्यों के लिए एन> फॉर्म के 2 समीकरण एक्स एन + Y n = जेड एनप्राकृतिक संख्या में अशून्य समाधान नहीं है।

फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का इतिहास बहुत ही मनोरंजक और शिक्षाप्रद है, और न केवल गणितज्ञों के लिए। पियरे डी फ़र्मेट ने गणित के विभिन्न क्षेत्रों के विकास में योगदान दिया, लेकिन उनकी वैज्ञानिक विरासत का मुख्य भाग मरणोपरांत ही प्रकाशित हुआ। तथ्य यह है कि फ़र्मेट के लिए गणित एक शौक जैसा था, पेशेवर व्यवसाय नहीं। उन्होंने अपने समय के प्रमुख गणितज्ञों के साथ पत्राचार किया, लेकिन अपने काम को प्रकाशित करने की कोशिश नहीं की। फ़र्मेट के वैज्ञानिक लेखन ज्यादातर निजी पत्राचार और खंडित नोट्स के रूप में पाए जाते हैं, जो अक्सर विभिन्न पुस्तकों के हाशिये में बनाए जाते हैं। यह हाशिये पर है (डायोफैंटस द्वारा प्राचीन यूनानी अंकगणित के दूसरे खंड का। - टिप्पणी। अनुवादक) गणितज्ञ की मृत्यु के तुरंत बाद, वंशजों ने प्रसिद्ध प्रमेय और पोस्टस्क्रिप्ट के सूत्रीकरण की खोज की:

« मुझे इसका वास्तव में एक अद्भुत प्रमाण मिला, लेकिन ये हाशिये उसके लिए बहुत संकीर्ण हैं।».

काश, जाहिरा तौर पर, फ़र्मेट ने कभी भी "चमत्कारी प्रमाण" को लिखने की जहमत नहीं उठाई, और वंशजों ने तीन शताब्दियों से अधिक समय तक असफल रूप से इसकी खोज की। फ़र्मेट की सभी असमान वैज्ञानिक विरासत में, जिसमें कई आश्चर्यजनक कथन शामिल हैं, यह महान प्रमेय था जिसने हठपूर्वक समाधान का विरोध किया।

जिसने भी फर्मेट के अंतिम प्रमेय का प्रमाण नहीं लिया - सब व्यर्थ! एक अन्य महान फ्रांसीसी गणितज्ञ, रेने डेसकार्टेस (रेने डेसकार्टेस, 1596-1650), ने फर्मेट को "डींग मारने वाला" कहा, और अंग्रेजी गणितज्ञ जॉन वालिस (जॉन वालिस, 1616-1703) ने उन्हें "लानत फ्रांसीसी" कहा। हालाँकि, खुद फर्मेट ने मामले के लिए अपने प्रमेय के प्रमाण को पीछे छोड़ दिया एन= 4. प्रमाण के साथ एन= 3 को 18वीं शताब्दी के महान स्विस-रूसी गणितज्ञ लियोनार्ड यूलर (1707-83) द्वारा हल किया गया था, जिसके बाद, इसके लिए सबूत खोजने में विफल रहे एन> 4, खोए हुए साक्ष्य की कुंजी खोजने के लिए फ़र्मेट के घर की तलाशी लेने की पेशकश की। 19वीं शताब्दी में, संख्या सिद्धांत के नए तरीकों ने 200 के भीतर कई पूर्णांकों के कथन को सिद्ध करना संभव बना दिया, लेकिन फिर से, सभी के लिए नहीं।

1908 में इस कार्य के लिए डीएम 100,000 का पुरस्कार स्थापित किया गया था। पुरस्कार राशि जर्मन उद्योगपति पॉल वोल्फस्केल को दी गई थी, जो किंवदंती के अनुसार, आत्महत्या करने वाले थे, लेकिन फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय से इतना प्रभावित हुए कि उन्होंने मरने के बारे में अपना मन बदल दिया। मशीनों को जोड़ने के आगमन के साथ, और फिर कंप्यूटर, मूल्यों की पट्टी एनउच्च और उच्चतर बढ़ना शुरू हुआ - द्वितीय विश्व युद्ध की शुरुआत तक 617 तक, 1954 में 4001 तक, 1976 में 125,000 तक। 20 वीं शताब्दी के अंत में, लॉस एलामोस (न्यू मैक्सिको, यूएसए) में सैन्य प्रयोगशालाओं के सबसे शक्तिशाली कंप्यूटरों को पृष्ठभूमि में फ़र्मेट समस्या को हल करने के लिए प्रोग्राम किया गया था (एक व्यक्तिगत कंप्यूटर के स्क्रीन सेवर मोड के समान)। इस प्रकार, यह दिखाना संभव था कि प्रमेय अविश्वसनीय रूप से बड़े मूल्यों के लिए सत्य है एक्स, वाई, जेडऔर एन, लेकिन यह निम्न में से किसी भी मान के बाद से एक कठोर प्रमाण के रूप में काम नहीं कर सका एनया प्राकृतिक संख्याओं के त्रिक प्रमेय को समग्र रूप से असिद्ध कर सकते हैं।

अंत में, 1994 में, अंग्रेजी गणितज्ञ एंड्रयू जॉन विल्स (एंड्रयू जॉन विल्स, बी। 1953) ने प्रिंसटन में काम करते हुए, फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का एक प्रमाण प्रकाशित किया, जिसे कुछ संशोधनों के बाद संपूर्ण माना गया। प्रमाण में सौ से अधिक पत्रिका पृष्ठ लगे और यह उच्च गणित के आधुनिक तंत्र के उपयोग पर आधारित था, जो कि फर्मेट के युग में विकसित नहीं हुआ था। तो फिर फ़र्माट ने पुस्तक के हाशिए पर एक संदेश छोड़ कर क्या मतलब निकाला कि उसे सबूत मिल गया है? इस विषय पर मैंने जिन गणितज्ञों से बात की है, उनमें से अधिकांश ने इंगित किया है कि सदियों से फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के पर्याप्त से अधिक गलत प्रमाण हैं, और यह संभावना है कि फ़र्मेट ने स्वयं एक समान प्रमाण पाया, लेकिन त्रुटि को देखने में विफल रहे इस में। हालाँकि, यह संभव है कि फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय का अभी भी कुछ छोटा और सुरुचिपूर्ण प्रमाण है, जो अभी तक किसी को नहीं मिला है। निश्चित रूप से केवल एक ही बात कही जा सकती है: आज हम निश्चित रूप से जानते हैं कि प्रमेय सत्य है। मुझे लगता है कि अधिकांश गणितज्ञ, एंड्रयू विल्स से पूरी तरह सहमत होंगे, जिन्होंने अपने प्रमाण के बारे में टिप्पणी की थी, "आखिरकार मेरा दिमाग शांत है।"

गणित में फ़र्मेट की रुचि किसी तरह अप्रत्याशित रूप से और काफी परिपक्व उम्र में दिखाई दी। 1629 में, पेप्पस के काम का एक लैटिन अनुवाद, जिसमें एपोलोनियस के परिणामों का एक संक्षिप्त सारांश शामिल था, शंक्वाकार वर्गों के गुणों पर, उसके हाथों में गिर गया। फ़र्मेट, एक बहुभाषाविद, कानून और प्राचीन भाषाशास्त्र का विशेषज्ञ, अचानक प्रसिद्ध वैज्ञानिक के तर्क के पाठ्यक्रम को पूरी तरह से बहाल करने के लिए निकल पड़ा। उसी सफलता के साथ, एक आधुनिक वकील स्वतंत्र रूप से बीजगणितीय टोपोलॉजी की समस्याओं से एक मोनोग्राफ से सभी सबूतों को पुन: उत्पन्न करने का प्रयास कर सकता है। हालाँकि, अकल्पनीय उद्यम को सफलता का ताज पहनाया जाता है। इसके अलावा, पूर्वजों के ज्यामितीय निर्माणों में तल्लीन करते हुए, वह एक अद्भुत खोज करता है: आंकड़ों के क्षेत्रों के अधिकतम और न्यूनतम को खोजने के लिए, सरल चित्र की आवश्यकता नहीं होती है। कुछ सरल बीजगणितीय समीकरणों को बनाना और हल करना हमेशा संभव होता है, जिनकी जड़ें चरम सीमा निर्धारित करती हैं। वह एक एल्गोरिथम के साथ आया जो डिफरेंशियल कैलकुलस का आधार बनेगा।

वह जल्दी से आगे बढ़ गया। उन्होंने मैक्सिमा के अस्तित्व के लिए पर्याप्त स्थितियाँ पाईं, विभक्ति बिंदुओं को निर्धारित करना सीखा, दूसरे और तीसरे क्रम के सभी ज्ञात वक्रों को स्पर्शरेखाएँ खींचीं। कुछ और साल, और वह मनमाना क्रम के परवलय और अतिपरवलय के लिए चतुष्कोण खोजने के लिए एक नई विशुद्ध रूप से बीजगणितीय विधि पाता है (अर्थात, प्रपत्र के कार्यों का अभिन्न अंग वाई पी = सीएक्स क्यूऔर वाई पी एक्स क्यू \u003d सी), क्रांति के निकायों की जड़ता के क्षेत्रों, मात्राओं, क्षणों की गणना करता है। यह एक वास्तविक सफलता थी। यह महसूस करते हुए, फ़र्मेट उस समय के गणितीय अधिकारियों के साथ संचार की तलाश करना शुरू कर देता है। वह आत्मविश्वासी है और मान्यता के लिए तरसता है।

1636 में उन्होंने अपने श्रद्धेय मारिन मेर्सेन को पहला पत्र लिखा: “पवित्र पिता! आपने मुझे यह आशा देकर कि हम लिखित रूप से बात कर पाएंगे, आपने मुझे जो सम्मान दिया है, उसके लिए मैं आपका बहुत आभारी हूं; ... पिछले पांच या छह वर्षों में गणित पर प्रकाशित सभी नए ग्रंथों और पुस्तकों के बारे में आपसे सुनकर मुझे बहुत खुशी होगी। ... मुझे संख्यात्मक और ज्यामितीय दोनों तरह की विभिन्न समस्याओं के लिए कई विश्लेषणात्मक तरीके भी मिले, जिनके लिए वीटा का विश्लेषण अपर्याप्त है। यह सब मैं तुम्हारे साथ जब चाहूँ, और बिना किसी अहंकार के साझा करूँगा, जिससे मैं मुक्त हूँ और दुनिया के किसी भी व्यक्ति से अधिक दूर हूँ।

फादर मेर्सेन कौन हैं? यह एक फ्रांसिस्कन भिक्षु, मामूली प्रतिभाओं का वैज्ञानिक और एक अद्भुत आयोजक है, जिसने 30 वर्षों तक पेरिस के गणितीय चक्र का नेतृत्व किया, जो फ्रांसीसी विज्ञान का सच्चा केंद्र बन गया। इसके बाद, लुईस XIV के डिक्री द्वारा मेर्सन सर्कल को पेरिस एकेडमी ऑफ साइंसेज में बदल दिया जाएगा। Mersenne ने अथक रूप से एक विशाल पत्राचार किया, और रॉयल स्क्वायर पर ऑर्डर ऑफ द मिनिम्स के मठ में उनका सेल एक प्रकार का "यूरोप के सभी वैज्ञानिकों के लिए गैलीलियो से हॉब्स तक का डाकघर था।" पत्राचार ने तब वैज्ञानिक पत्रिकाओं को बदल दिया, जो बहुत बाद में सामने आईं। मेरसेन में बैठकें साप्ताहिक हुईं। सर्कल का मूल उस समय के सबसे शानदार प्राकृतिक वैज्ञानिकों से बना था: रॉबर्टविले, पास्कल फादर, डेसार्गेस, मिडॉर्ग, हार्डी और निश्चित रूप से प्रसिद्ध और सार्वभौमिक रूप से मान्यता प्राप्त डेसकार्टेस। रेने डु पेरोन डेसकार्टेस (कार्टेसियस), बड़प्पन का एक मंत्र, दो परिवार सम्पदा, कार्टेशियनवाद के संस्थापक, विश्लेषणात्मक ज्यामिति के "पिता", नए गणित के संस्थापकों में से एक, साथ ही मेर्सन के दोस्त और जेसुइट कॉलेज में कॉमरेड। यह अद्भुत आदमी फर्मेट का दुःस्वप्न होगा।

Mersenne ने Fermat के परिणामों को इतना दिलचस्प पाया कि उन्होंने प्रांतीय को अपने एलीट क्लब में ला दिया। खेत तुरंत सर्कल के कई सदस्यों के साथ एक पत्राचार करता है और शाब्दिक रूप से मेर्सन के पत्रों के साथ सो जाता है। इसके अलावा, वह पंडितों के दरबार में पूर्ण पांडुलिपियाँ भेजता है: "सपाट और ठोस स्थानों का परिचय", और एक साल बाद - "मैक्सिमा और मिनिमा खोजने की विधि" और "बी। कैवलियरी के सवालों के जवाब"। फर्मेट ने जो प्रतिपादित किया वह बिल्कुल नया था, लेकिन सनसनी नहीं हुई। समकालीन नहीं झिझके। उन्हें बहुत कुछ समझ में नहीं आया, लेकिन उन्हें असंदिग्ध संकेत मिले कि फ़र्मेट ने जोहान्स केप्लर के ग्रंथ "द न्यू स्टीरियोमेट्री ऑफ़ वाइन बैरल्स" के मज़ेदार शीर्षक के साथ मैक्सिमाइज़ेशन एल्गोरिथम का विचार उधार लिया था। दरअसल, केप्लर के तर्क में ऐसे वाक्यांश हैं जैसे "आंकड़े का आयतन सबसे बड़ा है, अगर सबसे बड़े मूल्य के स्थान के दोनों किनारों पर, कमी पहले असंवेदनशील है।" लेकिन एक चरम सीमा के पास समारोह में एक छोटे से वृद्धि का विचार हवा में बिल्कुल नहीं था। उस समय के सर्वश्रेष्ठ विश्लेषणात्मक दिमाग छोटी मात्रा के साथ जोड़-तोड़ के लिए तैयार नहीं थे। तथ्य यह है कि उस समय बीजगणित को एक प्रकार का अंकगणित माना जाता था, अर्थात दूसरी कक्षा का गणित, आधार अभ्यास की जरूरतों के लिए विकसित एक आदिम तात्कालिक उपकरण ("केवल व्यापारी ही अच्छी तरह से गिनते हैं")। प्राचीन गणित के समय से चली आ रही प्रमाणों की विशुद्ध रूप से ज्यामितीय विधियों का पालन करने के लिए निर्धारित परंपरा। फर्मेट ने सबसे पहले यह समझा था कि अतिसूक्ष्म मात्राओं को जोड़ा और घटाया जा सकता है, लेकिन उन्हें खंडों के रूप में प्रस्तुत करना काफी कठिन है।

जीन डी'अलेम्बर्ट को अपने प्रसिद्ध विश्वकोश में स्वीकार करने में लगभग एक सदी लग गई: फर्मेट नए कैलकुलस के आविष्कारक थे। यह उनके साथ है कि हम स्पर्शरेखा खोजने के लिए अंतर के पहले आवेदन को पूरा करते हैं। 18वीं सदी के अंत में, जोसफ लुइस कॉम्टे डी लाग्रेंज ने और भी स्पष्ट रूप से बात की: “लेकिन जियोमीटर - फर्मेट के समकालीन - इस नए प्रकार के कलन को नहीं समझ पाए। उन्होंने केवल विशेष मामले देखे। और यह आविष्कार, जो डेसकार्टेस की ज्यामिति से कुछ समय पहले सामने आया था, चालीस वर्षों तक निष्फल रहा। लाग्रेंज 1674 की बात कर रहा है, जब इसहाक बैरो के "व्याख्यान" प्रकाशित हुए थे, जिसमें फर्मेट की विधि को विस्तार से शामिल किया गया था।

अन्य बातों के अलावा, यह जल्दी से स्पष्ट हो गया कि मीटर द्वारा प्रस्तावित समस्याओं को विनम्रतापूर्वक हल करने की तुलना में फ़र्मेट नई समस्याओं को तैयार करने के लिए अधिक इच्छुक था। द्वंद्वों के युग में, पंडितों के बीच कार्यों के आदान-प्रदान को आम तौर पर कमांड की श्रृंखला से संबंधित स्पष्ट मुद्दों के रूप में स्वीकार किया जाता था। हालांकि, फार्म स्पष्ट रूप से उपाय नहीं जानता है। उनका प्रत्येक पत्र एक चुनौती है जिसमें दर्जनों जटिल अनसुलझी समस्याएं और सबसे अप्रत्याशित विषयों पर हैं। यहां उनकी शैली का एक उदाहरण दिया गया है (फ्रेनिकल डी बेसी को संबोधित): "आइटम, सबसे छोटा वर्ग क्या है, जिसे 109 से घटाकर एक में जोड़ने पर एक वर्ग मिलेगा? यदि आप मुझे सामान्य समाधान नहीं भेजते हैं, तो मुझे इन दो नंबरों के लिए भागफल भेजें, जिन्हें मैंने छोटा चुना ताकि आपको बहुत मुश्किल न हो। आपका जवाब मिलने के बाद मैं आपको कुछ और चीजें सुझाऊंगा। बिना किसी विशेष आरक्षण के यह स्पष्ट है कि मेरे प्रस्ताव में पूर्णांक खोजने की आवश्यकता है, क्योंकि भिन्नात्मक संख्याओं के मामले में सबसे महत्वहीन अंकगणित लक्ष्य तक पहुँच सकता है। फर्मेट ने अक्सर खुद को दोहराया, एक ही प्रश्न को कई बार तैयार किया, और खुले तौर पर झांसा दिया, यह दावा करते हुए कि उनके पास प्रस्तावित समस्या का असामान्य रूप से सुरुचिपूर्ण समाधान था। कोई प्रत्यक्ष त्रुटि नहीं थी। उनमें से कुछ को समकालीनों द्वारा देखा गया था, और कुछ कपटी बयानों ने पाठकों को सदियों तक गुमराह किया।

Mersenne's सर्कल ने पर्याप्त रूप से प्रतिक्रिया व्यक्त की। केवल रॉबर्टविल, मंडली का एकमात्र सदस्य जिसे मूल के साथ समस्या थी, पत्रों के अनुकूल स्वर को बनाए रखता है। अच्छे चरवाहे फादर मेर्सन ने "टूलूज़ दिलेर" के साथ तर्क करने की कोशिश की। लेकिन फार्म का बहाना बनाने का इरादा नहीं है: "आदरणीय पिता! आपने मुझे लिखा है कि मेरी असंभव समस्याओं को प्रस्तुत करने से मेसर्स सेंट-मार्टिन और फ्रेनिकल नाराज और शांत हो गए, और यही उनके पत्रों को समाप्त करने का कारण था। हालांकि, मैं उनसे आपत्ति करना चाहता हूं कि जो पहली बार में असंभव लगता है वह वास्तव में नहीं है, और यह कि कई समस्याएं हैं, जैसा कि आर्किमिडीज ने कहा..." आदि।

हालाँकि, फार्म कपटी है। यह फ्रेनिकल को था कि उसने पूर्णांक भुजाओं वाले एक समकोण त्रिभुज को खोजने की समस्या भेजी, जिसका क्षेत्रफल एक पूर्णांक के वर्ग के बराबर हो। उसने इसे भेजा, हालाँकि वह जानता था कि समस्या का स्पष्ट रूप से कोई समाधान नहीं है।

फ़र्मेट के प्रति सबसे शत्रुतापूर्ण स्थिति डेसकार्टेस द्वारा ली गई थी। 1938 के मेर्सन को लिखे उनके पत्र में हमने पढ़ा: "क्योंकि मुझे पता चला कि यह वही व्यक्ति है जिसने पहले मेरे" डायोप्ट्रिक "का खंडन करने की कोशिश की थी, और चूंकि आपने मुझे सूचित किया था कि उसने इसे मेरे" ज्यामिति "को पढ़ने के बाद भेजा था और आश्चर्य की बात है कि मुझे वही चीज़ नहीं मिली, यानी (जैसा कि मेरे पास इसकी व्याख्या करने का कारण है) इसे प्रतिद्वंद्विता में प्रवेश करने के उद्देश्य से भेजा और यह दिखाया कि वह इसके बारे में मुझसे अधिक जानता है, और चूंकि आपके अधिक पत्र, मैं सीखा है कि एक बहुत ही जानकार जियोमीटर के रूप में उनकी प्रतिष्ठा थी, तो मैं खुद को उनका जवाब देने के लिए बाध्य मानता हूं। डेसकार्टेस बाद में अपने उत्तर को "श्री फ़र्मेट के खिलाफ गणित के छोटे परीक्षण" के रूप में पूरी तरह से नामित करेंगे।

यह समझना आसान है कि प्रख्यात वैज्ञानिक को क्या गुस्सा आया। सबसे पहले, फ़र्मेट के तर्क में, अक्षों का समन्वय और खंडों द्वारा संख्याओं का प्रतिनिधित्व लगातार दिखाई देता है - एक उपकरण जिसे डेसकार्टेस ने अपने अभी प्रकाशित "ज्यामिति" में व्यापक रूप से विकसित किया है। फ़र्मेट को ड्राइंग को अपने दम पर गणना के साथ बदलने का विचार आता है, कुछ मायनों में डेसकार्टेस से भी अधिक सुसंगत। दूसरे, फर्मेट ने अपने "डायोप्ट्रिक" के साथ डेसकार्टेस को परिष्कृत और पूरक करते हुए, प्रकाश किरण के सबसे छोटे पथ की समस्या के उदाहरण पर मिनीमा को खोजने की अपनी पद्धति की प्रभावशीलता को शानदार ढंग से प्रदर्शित किया।

एक विचारक और प्रर्वतक के रूप में डेसकार्टेस की खूबियां बहुत बड़ी हैं, लेकिन आइए आधुनिक "गणितीय विश्वकोश" खोलें और उनके नाम से जुड़ी शर्तों की सूची देखें: "कार्टेशियन निर्देशांक" (लीबनिज़, 1692), "कार्टेशियन शीट", "डेसकार्टेस" अंडाकार"। डेसकार्टेस के प्रमेय के रूप में उनका कोई भी तर्क इतिहास में दर्ज नहीं हुआ। डेसकार्टेस मुख्य रूप से एक विचारक हैं: वे एक दार्शनिक स्कूल के संस्थापक हैं, वे अवधारणाएँ बनाते हैं, पत्र पदनामों की प्रणाली में सुधार करते हैं, लेकिन उनकी रचनात्मक विरासत में कुछ नई विशिष्ट तकनीकें हैं। इसके विपरीत, पियरे फ़र्मेट बहुत कम लिखते हैं, लेकिन किसी भी अवसर पर वे बहुत सारे मजाकिया गणितीय ट्रिक्स के साथ आ सकते हैं (ibid देखें। "फर्मेट की प्रमेय", "फर्मेट का सिद्धांत", "फर्मेट की अनंत वंश की विधि")। वे शायद काफी हद तक एक दूसरे से ईर्ष्या करते थे। टक्कर अपरिहार्य थी। Mersenne की जेसुइट मध्यस्थता के साथ, दो साल तक चलने वाला युद्ध छिड़ गया। हालाँकि, मेर्सेन यहाँ भी इतिहास के ठीक सामने निकला: दो टाइटन्स के बीच भयंकर लड़ाई, उनका तनाव, इसे हल्के ढंग से रखने के लिए, गणितीय विश्लेषण की प्रमुख अवधारणाओं की समझ में योगदान दिया।

Fermat चर्चा में रुचि खोने वाला पहला व्यक्ति है। जाहिर तौर पर, उन्होंने डेसकार्टेस के साथ सीधे बात की और फिर कभी अपने प्रतिद्वंद्वी को नाराज नहीं किया। अपने अंतिम कार्यों में से एक में, "सिंथेसिस फॉर रिफ्रैक्शन", जिसकी पांडुलिपि उन्होंने डे ला चौम्ब्रा को भेजी थी, फ़र्मेट ने शब्द द्वारा "सबसे अधिक सीखा डेसकार्टेस" शब्द का उल्लेख किया है और हर संभव तरीके से प्रकाशिकी के मामलों में उनकी प्राथमिकता पर जोर दिया है। इस बीच, यह वह पांडुलिपि थी जिसमें प्रसिद्ध "फर्मेट के सिद्धांत" का वर्णन था, जो प्रकाश के प्रतिबिंब और अपवर्तन के नियमों का एक विस्तृत विवरण प्रदान करता है। इस स्तर के एक काम में कर्टसी से डेसकार्टेस पूरी तरह से अनावश्यक थे।

क्या हुआ? फरमाट, अभिमान को एक तरफ रखकर सुलह के लिए क्यों गया? उन वर्षों (1638 - 1640) के फ़र्मेट के पत्रों को पढ़ना, सबसे सरल बात मान सकता है: इस अवधि के दौरान, उनके वैज्ञानिक हितों में नाटकीय रूप से बदलाव आया। वह फैशनेबल साइक्लोइड को छोड़ देता है, स्पर्शरेखा और क्षेत्रों में दिलचस्पी लेना बंद कर देता है, और 20 वर्षों तक अधिकतम खोजने की अपनी विधि के बारे में भूल जाता है। निरंतर के गणित में महान गुण होने के कारण, फ़र्मेट पूरी तरह से असतत के गणित में डूब जाता है, अपने विरोधियों के लिए घृणित ज्यामितीय चित्र छोड़ देता है। नंबर उनका नया जुनून है। वास्तव में, संपूर्ण "संख्या का सिद्धांत", एक स्वतंत्र गणितीय अनुशासन के रूप में, अपने जन्म को पूरी तरह से फ़र्मेट के जीवन और कार्य के लिए देता है।

<…>फ़र्मेट की मृत्यु के बाद, उनके बेटे सैमुअल ने 1670 में अपने पिता से संबंधित अंकगणित की एक प्रति प्रकाशित की, जिसका शीर्षक था "अलेक्जेंडरियन डायोफैंटस द्वारा अंकगणित की छह पुस्तकें, एल. पुस्तक में डेसकार्टेस के कुछ पत्र और फ़र्मेट के पत्रों के आधार पर जैक्स डी बिगली की ए न्यू डिस्कवरी इन द आर्ट ऑफ़ एनालिसिस का पूरा पाठ भी शामिल है। प्रकाशन एक अविश्वसनीय सफलता थी। चकित विशेषज्ञों के सामने एक अभूतपूर्व उज्ज्वल दुनिया खुल गई। अप्रत्याशितता, और सबसे महत्वपूर्ण बात, फ़र्मेट के संख्या-सिद्धांत संबंधी परिणामों की पहुंच, लोकतांत्रिक प्रकृति ने बहुत सारी नकल को जन्म दिया। उस समय कम ही लोग समझ पाए थे कि परवलय के क्षेत्रफल की गणना कैसे की जाती है, लेकिन हर छात्र फर्मेट के अंतिम प्रमेय के सूत्रीकरण को समझ सकता था। वैज्ञानिक के अज्ञात और खोए हुए पत्रों के लिए एक वास्तविक शिकार शुरू हुआ। XVII सदी के अंत तक। उनका एक-एक शब्द जो मिलता था प्रकाशित और पुनर्प्रकाशित होता था। लेकिन फ़र्मेट के विचारों के विकास का अशांत इतिहास अभी शुरू ही हुआ था।

1

इव्लिव यू.ए.

यह लेख 20वीं सदी के अंत में फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय को सिद्ध करने की प्रक्रिया में की गई एक मौलिक गणितीय त्रुटि के वर्णन के लिए समर्पित है। खोजी गई त्रुटि न केवल प्रमेय के सही अर्थ को विकृत करती है, बल्कि संख्याओं की शक्तियों और संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला के अध्ययन के लिए एक नए स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण के विकास में भी बाधा डालती है।

1995 में, एक लेख प्रकाशित किया गया था जो एक पुस्तक के आकार के समान था और प्रसिद्ध फ़र्मेट के महान (अंतिम) प्रमेय (WTF) के प्रमाण पर रिपोर्ट किया गया था (प्रमेय के इतिहास और इसे साबित करने के प्रयासों के लिए, देखें, उदाहरण के लिए, ). इस घटना के बाद, इस प्रमाण को बढ़ावा देने वाले कई वैज्ञानिक लेख और लोकप्रिय विज्ञान पुस्तकें सामने आईं, लेकिन इनमें से किसी भी काम ने इसमें एक मौलिक गणितीय त्रुटि प्रकट नहीं की, जो लेखक की गलती से भी नहीं, बल्कि कुछ अजीब आशावाद के कारण हुई जिसने जकड़ लिया दिमागी गणितज्ञ जिन्होंने इस समस्या और संबंधित प्रश्नों से निपटा। में इस घटना के मनोवैज्ञानिक पहलुओं की जांच की गई है। यह होने वाले निरीक्षण का विस्तृत विश्लेषण भी देता है, जो किसी विशेष प्रकृति का नहीं है, बल्कि पूर्णांकों की शक्तियों के गुणों की गलत समझ का परिणाम है। जैसा कि में दिखाया गया है, फ़र्मेट की समस्या इन गुणों के अध्ययन के लिए एक नए स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण में निहित है, जिसे अभी तक आधुनिक विज्ञान में लागू नहीं किया गया है। लेकिन एक गलत सबूत उसके रास्ते में खड़ा हो गया, जिसने संख्या सिद्धांतकारों को झूठे दिशा-निर्देश दिए और फ़र्मेट की समस्या के अग्रणी शोधकर्ताओं को इसके प्रत्यक्ष और पर्याप्त समाधान से दूर कर दिया। यह कार्य इस बाधा को दूर करने के लिए समर्पित है।

1. डब्ल्यूटीएफ के प्रमाण के दौरान की गई गलती का एनाटॉमी

बहुत लंबे और थकाऊ तर्क की प्रक्रिया में, फ़र्मेट के मूल अभिकथन को तीसरे क्रम के अण्डाकार वक्रों के साथ पी-वें डिग्री के डायोफैंटाइन समीकरण के मिलान के संदर्भ में सुधार किया गया था (देखें प्रमेय 0.4 और 0.5 इंच)। इस तरह की तुलना ने वास्तविक सामूहिक प्रमाण के लेखकों को यह घोषणा करने के लिए मजबूर किया कि उनकी विधि और तर्क फ़र्मेट की समस्या के अंतिम समाधान की ओर ले जाते हैं (याद रखें कि WTF के पास 90 के दशक तक पूर्णांकों की मनमानी पूर्णांक शक्तियों के मामले के लिए मान्यता प्राप्त प्रमाण नहीं थे। पिछली शताब्दी)। इस विचार का उद्देश्य उपरोक्त तुलना की गणितीय अशुद्धता को स्थापित करना है और विश्लेषण के परिणामस्वरूप, प्रस्तुत प्रमाण में मूलभूत त्रुटि का पता लगाना है।

ए) कहां और क्या गलत है?

तो, पाठ के माध्यम से चलते हैं, जहां p.448 पर कहा गया है कि जी। फ्रे (जी। फ्रे) के "मजाकिया विचार" के बाद, डब्ल्यूटीएफ को साबित करने की संभावना खुल गई है। 1984 में, जी। फ्रे ने सुझाव दिया और

K.Ribet ने बाद में साबित कर दिया कि Fermat के समीकरण के काल्पनिक पूर्णांक समाधान का प्रतिनिधित्व करने वाले पुटेटिव अण्डाकार वक्र,

वाई 2 = एक्स (एक्स + यूपी)(एक्स - विपी) (1)

मॉड्यूलर नहीं हो सकता। हालांकि, A.Wiles और R.Taylor ने साबित किया कि परिमेय संख्याओं के क्षेत्र में परिभाषित कोई भी अर्धस्थिर अण्डाकार वक्र मॉड्यूलर है। इससे फर्मेट के समीकरण के पूर्णांक समाधान की असंभवता के बारे में निष्कर्ष निकाला गया और इसके परिणामस्वरूप, फर्मेट के बयान की वैधता, जो ए विल्स के संकेतन में प्रमेय 0.5 के रूप में लिखी गई थी: एक समानता होने दें

यूपी + विपी + डब्ल्यूपी = 0 (2)

कहाँ यू, वि, डब्ल्यू- परिमेय संख्या, पूर्णांक घातांक p ≥ 3; तब (2) तभी संतुष्ट होता है जब uvw = 0 .

अब, जाहिरा तौर पर, हमें वापस जाना चाहिए और गंभीर रूप से विचार करना चाहिए कि क्यों वक्र (1) को दीर्घवृत्त के रूप में माना जाता है और फ़र्मेट के समीकरण के साथ इसका वास्तविक संबंध क्या है। इस प्रश्न का अनुमान लगाते हुए, ए. विल्स, वाई. हेलेगोआर्क के काम को संदर्भित करते हैं, जिसमें उन्होंने फ़र्मेट के समीकरण (संभावित रूप से पूर्णांकों में हल किया गया) को एक काल्पनिक तीसरे क्रम वक्र के साथ जोड़ने का एक तरीका खोजा। G. Frey के विपरीत, I. Allegouches ने अपने वक्र को मॉड्यूलर रूपों से नहीं जोड़ा, लेकिन समीकरण (1) प्राप्त करने की उनकी विधि का उपयोग A. Wiles के प्रमाण को आगे बढ़ाने के लिए किया गया था।

आइए काम पर करीब से नज़र डालें। लेखक प्रक्षेपी ज्यामिति के संदर्भ में अपने तर्क का संचालन करता है। इसके कुछ संकेतन को सरल बनाने और उन्हें के अनुरूप लाने पर, हम पाते हैं कि एबेलियन वक्र

वाई 2 = एक्स (एक्स - β पी) (एक्स + γ पी) (3)

डायोफैंटाइन समीकरण की तुलना की जाती है

एक्सपी + वाईपी + जेडपी = 0 (4)

कहाँ एक्स, वाई, जेडअज्ञात पूर्णांक हैं, p (2) से एक पूर्णांक घातांक है, और डायोफैंटाइन समीकरण (4) α p , β p , γ p के समाधान एबेलियन वक्र (3) लिखने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

अब, यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह एक तीसरा क्रम अंडाकार वक्र है, यूक्लिडियन विमान पर (3) में चर X और Y पर विचार करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम अण्डाकार वक्रों के लिए अंकगणित के प्रसिद्ध नियम का उपयोग करते हैं: यदि एक घन बीजगणितीय वक्र पर दो तर्कसंगत बिंदु हैं और इन बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा इस वक्र को एक और बिंदु पर काटती है, तो उत्तरार्द्ध भी एक तर्कसंगत है बिंदु। परिकल्पित समीकरण (4) औपचारिक रूप से एक सीधी रेखा पर बिंदुओं के योग के नियम का प्रतिनिधित्व करता है। यदि हम चरों में परिवर्तन करते हैं एक्सपी = ए, वाईपी = बी, जेड p = C और इस प्रकार (3) में X अक्ष के साथ प्राप्त सीधी रेखा को निर्देशित करें, फिर यह 3 डिग्री वक्र को तीन बिंदुओं पर काटेगा: (X = 0, Y = 0), (X = β p, Y = 0 ), (एक्स = - γ पी , वाई = 0), जो एबेलियन वक्र (3) और इसी तरह के नोटेशन (1) के अंकन में परिलक्षित होता है। हालाँकि, वक्र (3) या (1) वास्तव में अण्डाकार है? स्पष्ट रूप से नहीं, क्योंकि यूक्लिडियन रेखा के खंड, उस पर बिंदु जोड़ते समय, एक गैर-रैखिक पैमाने पर लिए जाते हैं।

(1) और (3) के बजाय, यूक्लिडियन अंतरिक्ष के रैखिक समन्वय प्रणालियों पर लौटने से हमें ऐसे सूत्र मिलते हैं जो अण्डाकार वक्रों के सूत्रों से बहुत भिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, (1) निम्न रूप का हो सकता है:

η 2पी = ξ पी (ξ पी + यूपी)(ξ पी - विपी) (5)

जहां ξ p = x, η p = y, और इस मामले में WTF की व्युत्पत्ति के लिए अपील (1) अवैध प्रतीत होती है। इस तथ्य के बावजूद कि (1) अण्डाकार वक्रों के वर्ग के कुछ मानदंडों को पूरा करता है, यह एक रैखिक समन्वय प्रणाली में तीसरी डिग्री समीकरण होने के सबसे महत्वपूर्ण मानदंड को पूरा नहीं करता है।

बी) त्रुटि वर्गीकरण

इसलिए, एक बार फिर हम विचार की शुरुआत में लौटते हैं और अनुसरण करते हैं कि डब्ल्यूटीएफ की सच्चाई के बारे में निष्कर्ष कैसे निकाला जाता है। सबसे पहले, यह माना जाता है कि सकारात्मक पूर्णांकों में फ़र्मेट के समीकरण का एक समाधान है। दूसरे, इस समाधान को इस धारणा के तहत मनमाने ढंग से ज्ञात रूप (तीसरी डिग्री का एक समतल वक्र) के बीजगणितीय रूप में डाला जाता है कि इस तरह से प्राप्त अण्डाकार वक्र मौजूद हैं (दूसरी अपुष्ट धारणा)। तीसरा, चूंकि यह अन्य तरीकों से सिद्ध होता है कि निर्मित ठोस वक्र गैर-मॉड्यूलर है, इसका मतलब है कि यह मौजूद नहीं है। इससे निष्कर्ष निकलता है: फ़र्मेट समीकरण का कोई पूर्णांक समाधान नहीं है और इसलिए, डब्ल्यूटीएफ सत्य है।

इन तर्कों में एक कमजोर कड़ी है, जो विस्तृत जांच के बाद गलती साबित होती है। यह गलती प्रमाण प्रक्रिया के दूसरे चरण में की जाती है, जब यह मान लिया जाता है कि फर्मेट के समीकरण का एक काल्पनिक समाधान एक ज्ञात रूप के अंडाकार वक्र का वर्णन करने वाले तीसरे डिग्री के बीजीय समीकरण का भी समाधान है। अपने आप में, इस तरह की धारणा उचित होगी यदि संकेतित वक्र वास्तव में अण्डाकार थे। हालाँकि, जैसा कि आइटम 1 ए से देखा जा सकता है), यह वक्र गैर-रैखिक निर्देशांक में प्रस्तुत किया गया है, जो इसे "भ्रम" बनाता है, अर्थात। वास्तव में एक रैखिक टोपोलॉजिकल स्पेस में मौजूद नहीं है।

अब हमें मिली त्रुटि को स्पष्ट रूप से वर्गीकृत करने की आवश्यकता है। यह इस तथ्य में निहित है कि जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है उसे प्रमाण के तर्क के रूप में दिया जाता है। शास्त्रीय तर्क में, इस त्रुटि को "दुष्चक्र" के रूप में जाना जाता है। इस मामले में, फ़र्मेट समीकरण के पूर्णांक समाधान की तुलना एक काल्पनिक, गैर-मौजूद अण्डाकार वक्र के साथ (जाहिरा तौर पर, संभवतः विशिष्ट रूप से) की जाती है, और फिर आगे के तर्क के सभी मार्ग यह साबित करने के लिए जाते हैं कि इस रूप का एक विशेष अण्डाकार वक्र, प्राप्त Fermat समीकरण के काल्पनिक समाधान से, मौजूद नहीं है।

ऐसा कैसे हुआ कि एक गंभीर गणितीय कार्य में इतनी प्रारंभिक गलती चूक गई? शायद, यह इस तथ्य के कारण हुआ कि इस प्रकार के "भ्रमपूर्ण" ज्यामितीय आंकड़े पहले गणित में अध्ययन नहीं किए गए थे। वास्तव में, किसे रुचि हो सकती है, उदाहरण के लिए, चर x n/2 = A, y n/2 = B, z n/2 = C को बदलकर फ़र्मेट के समीकरण से प्राप्त एक काल्पनिक वृत्त में? आखिरकार, इसके समीकरण C 2 = A 2 + B 2 का पूर्णांक x, y, z और n ≥ 3 के लिए कोई पूर्णांक हल नहीं है। गैर-रैखिक समन्वय अक्षों X और Y में, ऐसे वृत्त को एक समीकरण द्वारा वर्णित किया जाएगा जो मानक रूप के समान दिखता है:

वाई 2 \u003d - (एक्स - ए) (एक्स + बी),

जहां ए और बी अब चर नहीं हैं, लेकिन उपरोक्त प्रतिस्थापन द्वारा निर्धारित ठोस संख्याएं हैं। लेकिन अगर संख्या ए और बी को उनका मूल रूप दिया जाता है, जिसमें उनके शक्ति चरित्र होते हैं, तो समीकरण के दाईं ओर के कारकों में संकेतन की विषमता तुरंत आंख को पकड़ लेती है। यह चिन्ह भ्रम को वास्तविकता से अलग करने और गैर-रैखिक से रैखिक निर्देशांक में जाने में मदद करता है। दूसरी ओर, यदि हम चर के साथ तुलना करते समय संख्याओं को संचालक मानते हैं, उदाहरण के लिए (1) में, तो दोनों सजातीय मात्राएँ होनी चाहिए, अर्थात समान डिग्री होनी चाहिए।

संचालकों के रूप में संख्याओं की शक्तियों की ऐसी समझ भी यह देखना संभव बनाती है कि फ़र्मेट के समीकरण की एक भ्रामक अण्डाकार वक्र के साथ तुलना असंदिग्ध नहीं है। उदाहरण के लिए, (5) के दाईं ओर के कारकों में से एक को लें और एक सम्मिश्र संख्या r को प्रस्तुत करके इसे p रैखिक कारकों में विस्तारित करें जैसे कि r p = 1 (उदाहरण के लिए देखें):

ξ पी + यूपी = (ξ + यू)(ξ + आर यू)(ξ + आर 2 यू)...(ξ + r p-1 यू) (6)

फिर फॉर्म (5) को बीजगणितीय पहचान (6) के प्रकार के अनुसार जटिल संख्याओं के प्रमुख कारकों में अपघटन के रूप में दर्शाया जा सकता है, हालांकि, सामान्य मामले में इस तरह के अपघटन की विशिष्टता संदिग्ध है, जिसे कुमेर ने एक बार दिखाया था .

2. निष्कर्ष

यह पिछले विश्लेषण से अनुसरण करता है कि अण्डाकार वक्रों का तथाकथित अंकगणित डब्ल्यूटीएफ के प्रमाण के लिए कहां देखना है, इस पर प्रकाश डालने में सक्षम नहीं है। काम के बाद, इस लेख के एपिग्राफ के रूप में लिया गया फर्मेट का बयान, एक ऐतिहासिक मजाक या व्यावहारिक मजाक के रूप में माना जाने लगा। हालांकि, वास्तव में यह पता चला है कि यह फ़र्मेट नहीं था जो मज़ाक कर रहा था, लेकिन विशेषज्ञ जो 1984 में जर्मनी के ओबेरवॉल्फ़ में एक गणितीय संगोष्ठी में एकत्र हुए थे, जिस पर जी फ्रे ने अपने मजाकिया विचार को आवाज़ दी थी। इस तरह के एक लापरवाह बयान के परिणामों ने गणित को अपने सार्वजनिक विश्वास को खोने के कगार पर ला दिया, जिसका विस्तार से वर्णन किया गया है और जो आवश्यक रूप से विज्ञान से पहले समाज के लिए वैज्ञानिक संस्थानों की जिम्मेदारी का सवाल उठाता है। फ़र्मेट समीकरण की फ़्रे कर्व (1) की मैपिंग फ़र्मेट के प्रमेय के संबंध में विल्स के संपूर्ण प्रमाण का "लॉक" है, और यदि फ़र्मेट वक्र और मॉड्यूलर अण्डाकार वक्रों के बीच कोई पत्राचार नहीं है, तो कोई प्रमाण भी नहीं है।

हाल ही में, कई इंटरनेट रिपोर्टें आई हैं कि कुछ प्रमुख गणितज्ञों ने अंततः फ़र्मेट के प्रमेय के विल्स के प्रमाण का पता लगा लिया है, जिससे उन्हें यूक्लिडियन अंतरिक्ष में पूर्णांक बिंदुओं के "न्यूनतम" पुनर्गणना के रूप में एक बहाना मिल गया है। हालांकि, कोई भी नवाचार मानव जाति द्वारा पहले से ही गणित में प्राप्त किए गए शास्त्रीय परिणामों को रद्द नहीं कर सकता है, विशेष रूप से, यह तथ्य कि यद्यपि कोई भी क्रमिक संख्या अपने मात्रात्मक समकक्ष के साथ मेल खाती है, यह एक दूसरे के साथ संख्याओं की तुलना करने के संचालन में इसका विकल्प नहीं हो सकती है, और इसलिए अनिवार्य रूप से इस निष्कर्ष का अनुसरण करता है कि फ्रे वक्र (1) प्रारंभ में अण्डाकार नहीं है, अर्थात परिभाषा से नहीं है।

ग्रंथ सूची:

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ग्रंथ सूची लिंक

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URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=2763 (एक्सेस की तिथि: 09/25/2019)। हम आपके ध्यान में पब्लिशिंग हाउस "एकेडमी ऑफ नेचुरल हिस्ट्री" द्वारा प्रकाशित पत्रिकाओं को लाते हैं

पियरे डी फ़र्मेट, अलेक्जेंड्रिया के डायोफैंटस के "अंकगणित" को पढ़ रहे थे और इसकी समस्याओं पर विचार कर रहे थे, पुस्तक के मार्जिन में संक्षिप्त टिप्पणियों के रूप में उनके प्रतिबिंबों के परिणामों को लिखने की आदत थी। पुस्तक के हाशिये में डायोफैंटस की आठवीं समस्या के खिलाफ, फर्मेट ने लिखा: " इसके विपरीत, न तो एक घन को दो घनों में विघटित करना असंभव है, न ही एक द्वि-वर्ग को दो द्वि-वर्गों में, और, सामान्य रूप से, समान घातांक वाले दो घातों में वर्ग से बड़ी कोई डिग्री नहीं है। मैंने इसका वास्तव में अद्भुत प्रमाण खोजा है, लेकिन ये मार्जिन इसके लिए बहुत संकीर्ण हैं।» / E.T.Bell "गणित के निर्माता"। एम।, 1979, पृष्ठ 69/। मैं आपके ध्यान में कृषि प्रमेय का एक प्रारंभिक प्रमाण लाता हूं, जिसे कोई भी उच्च विद्यालय का छात्र समझ सकता है जो गणित में रुचि रखता है।

आइए हम फ़र्मेट की महान प्रमेय के आधुनिक सूत्रीकरण के साथ डायोफ़ैंटाइन समस्या पर फ़र्मेट की टिप्पणी की तुलना करें, जिसमें एक समीकरण का रूप है।
« समीकरण

एक्स एन + वाई एन = जेड एन(जहाँ n दो से बड़ा पूर्णांक है)

धनात्मक पूर्णांकों में कोई हल नहीं है»

टिप्पणी कार्य के साथ एक तार्किक संबंध में है, विषय के साथ विधेय के तार्किक संबंध के समान। डायोफैंटस की समस्या से जो पुष्टि होती है, उसके विपरीत, फर्मेट की टिप्पणी द्वारा पुष्टि की जाती है।

फ़र्मेट की टिप्पणी की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है: यदि तीन अज्ञात के साथ एक द्विघात समीकरण में पाइथागोरियन संख्याओं के सभी त्रिगुणों के सेट पर अनंत संख्या में समाधान हैं, तो, इसके विपरीत, वर्ग से अधिक डिग्री में तीन अज्ञात के साथ एक समीकरण

समीकरण में डायोफैंटाइन समस्या के साथ इसके संबंध का कोई संकेत भी नहीं है। उनके अभिकथन के लिए प्रमाण की आवश्यकता है, लेकिन इसमें ऐसी कोई शर्त नहीं है जिससे यह निष्कर्ष निकाला जा सके कि सकारात्मक पूर्णांकों में इसका कोई हल नहीं है।

मुझे ज्ञात समीकरण के प्रमाण के वेरिएंट निम्न एल्गोरिथम में कम हो गए हैं।

1. फ़र्मेट के प्रमेय के समीकरण को इसके निष्कर्ष के रूप में लिया जाता है, जिसकी वैधता को प्रमाण की सहायता से सत्यापित किया जाता है।
2. ही समीकरण कहा जाता है मूलवह समीकरण जिससे इसका प्रमाण आगे बढ़ना चाहिए।

परिणाम एक तनातनी है: यदि किसी समीकरण का धनात्मक पूर्णांकों में कोई हल नहीं है, तो उसका धनात्मक पूर्णांकों में कोई हल नहीं है।"। पुनरुक्ति का प्रमाण स्पष्ट रूप से गलत है और किसी भी अर्थ से रहित है। लेकिन यह विरोधाभास से सिद्ध होता है।

• एक धारणा बनाई जाती है जो सिद्ध होने वाले समीकरण के विपरीत है। इसे मूल समीकरण के विपरीत नहीं होना चाहिए, लेकिन यह करता है। बिना प्रमाण के जो स्वीकार किया जाता है उसे सिद्ध करना और जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है उसे बिना प्रमाण के स्वीकार करने का कोई अर्थ नहीं है।
• स्वीकृत धारणा के आधार पर, बिल्कुल सही गणितीय संचालन और क्रियाएं यह साबित करने के लिए की जाती हैं कि यह मूल समीकरण के विपरीत है और गलत है।

इसलिए, 370 वर्षों से, फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के समीकरण का प्रमाण विशेषज्ञों और गणित के प्रेमियों का एक असंभव सपना बना हुआ है।

मैंने समीकरण को प्रमेय के निष्कर्ष के रूप में लिया, और डायोफैंटस की आठवीं समस्या और उसके समीकरण को प्रमेय की शर्त के रूप में लिया।

"यदि समीकरण एक्स 2 + वाई 2 = जेड 2 (1) पायथागॉरियन संख्याओं के सभी त्रिगुणों के समुच्चय पर समाधान का एक अनंत सेट है, फिर, इसके विपरीत, समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ एन > 2 (2) धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय पर कोई हल नहीं है।"

सबूत।

ए)हर कोई जानता है कि समीकरण (1) में पायथागॉरियन संख्याओं के सभी त्रिगुणों के सेट पर अनंत संख्या में समाधान हैं। आइए हम सिद्ध करें कि पायथागॉरियन संख्याओं का कोई त्रिक, जो समीकरण (1) का हल है, समीकरण (2) का हल नहीं है।

समता की उत्क्रमणीयता के नियम के आधार पर, समीकरण (1) की भुजाएँ आपस में बदल दी जाती हैं। पायथागॉरियन नंबर (जेड, एक्स, वाई) एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं और वर्गों की लंबाई के रूप में व्याख्या की जा सकती है (x2, y2, z2) इसके कर्ण और पैरों पर निर्मित वर्गों के क्षेत्रों के रूप में व्याख्या की जा सकती है।

हम समीकरण (1) के वर्गों को मनमाना ऊंचाई से गुणा करते हैं एच :

जेड 2 एच = एक्स 2 एच + वाई 2 एच (3)

समीकरण (3) की व्याख्या एक समानांतर चतुर्भुज के आयतन की समानता के रूप में की जा सकती है, जो दो समानांतर चतुर्भुजों के आयतन के योग के बराबर है।

माना कि तीन समांतर चतुर्भुजों की ऊँचाई है एच = जेड :

जेड 3 = एक्स 2 जेड + वाई 2 जेड (4)

घन का आयतन दो समांतर चतुर्भुजों के दो खंडों में विघटित होता है। हम घन के आयतन को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और पहले समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई को कम कर देते हैं एक्स और दूसरे समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई कम हो जाएगी वाई . एक घन का आयतन दो घनों के आयतन के योग से अधिक है:

जेड 3> एक्स 3 + वाई 3 (5)

पायथागॉरियन संख्याओं के त्रिक के सेट पर ( एक्स, वाई, जेड ) पर एन = 3 समीकरण (2) का कोई हल नहीं हो सकता। नतीजतन, पायथागॉरियन संख्याओं के सभी त्रिगुणों के सेट पर, एक घन को दो घनों में विघटित करना असंभव है।

मान लीजिए समीकरण (3) में तीन समांतर चतुर्भुजों की ऊँचाई है एच = जेड 2 :

जेड 2 जेड 2 = एक्स 2 जेड 2 + वाई 2 जेड 2 (6)

समानांतर चतुर्भुज का आयतन दो समानांतर चतुर्भुजों के आयतन के योग में विघटित होता है।
हम समीकरण के बाईं ओर (6) को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं। इसके दाहिनी ओर ऊंचाई है z2 कम करना एक्स पहले कार्यकाल में और तक दो पर दूसरे कार्यकाल में।

समीकरण (6) असमानता में बदल गया:

समानांतर चतुर्भुज का आयतन दो समानांतर चतुर्भुजों के दो खंडों में विघटित होता है।

हम समीकरण के बाईं ओर (8) को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं।
ऊंचाई के दाईं ओर जेएन-2 कम करना एक्सएन-2 पहले कार्यकाल में और कम करें वाई एन -2 दूसरे कार्यकाल में। समीकरण (8) असमानता में बदल जाता है:

जेड एन> एक्स एन + वाई एन

(9)

पायथागॉरियन संख्याओं के त्रिगुणों के समुच्चय पर, समीकरण (2) का एक ही हल नहीं हो सकता है।

नतीजतन, सभी के लिए पायथागॉरियन संख्याओं के सभी त्रिगुणों के सेट पर एन > 2 समीकरण (2) का कोई हल नहीं है।

प्राप्त "पोस्ट चमत्कारी प्रमाण", लेकिन केवल ट्रिपल के लिए पायथागॉरियन नंबर. यह है सबूतों के अभाव मेंऔर उससे पी. फरमाट के इनकार का कारण।

बी)आइए हम सिद्ध करें कि समीकरण (2) का गैर-पाइथागोरियन संख्याओं के त्रिक के सेट पर कोई समाधान नहीं है, जो कि मनमाने ढंग से लिए गए पाइथागोरस संख्याओं के त्रिक का परिवार है z=13, x=12, y=5 और धनात्मक पूर्णांकों के एक स्वेच्छ त्रिक का परिवार z=21, x=19, y=16

संख्याओं के दोनों त्रिक उनके परिवारों के सदस्य हैं:

	(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1)	(10)
	(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1)	(11)

परिवार के सदस्यों की संख्या (10) और (11) 13 बटा 12 और 21 बटा 20, यानी 78 और 210 के आधे गुणनफल के बराबर है।

परिवार के प्रत्येक सदस्य (10) में शामिल हैं जेड = 13 और चर एक्स और पर 13> एक्स> 0 , 13> वाई> 0 1

परिवार के प्रत्येक सदस्य (11) में शामिल हैं जेड = 21 और चर एक्स और पर , जो पूर्णांक मान लेते हैं 21> एक्स> 0 , 21> वाई> 0 . चर क्रमिक रूप से घटते हैं 1 .

अनुक्रम (10) और (11) की संख्याओं के त्रिगुणों को तीसरी डिग्री की असमानताओं के अनुक्रम के रूप में दर्शाया जा सकता है:

	13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
	21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

और चौथी डिग्री की असमानताओं के रूप में:

	13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
	21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

संख्याओं को तीसरी और चौथी शक्तियों तक बढ़ाकर प्रत्येक असमानता की शुद्धता को सत्यापित किया जाता है।

बड़ी संख्या के घन को छोटी संख्या के दो घनों में नहीं तोड़ा जा सकता। यह दो छोटी संख्याओं के घनों के योग से या तो कम या अधिक है।

किसी बड़ी संख्या के द्वि-वर्ग को छोटी संख्याओं के दो द्वि-वर्गों में विघटित नहीं किया जा सकता है। यह छोटी संख्याओं के द्वि-वर्गों के योग से या तो कम है या उससे अधिक है।

जैसे-जैसे घातांक बढ़ता है, सबसे बाएँ असमानता को छोड़कर सभी असमानताओं का एक ही अर्थ होता है:

असमानताएं, उन सभी का एक ही अर्थ है: बड़ी संख्या की डिग्री एक ही घातांक वाली छोटी दो संख्याओं की डिग्री के योग से अधिक है:

	13एन> 12एन + 12एन; 13n > 12n + 11n;…; 13n > 7n + 4n;…; 13n > 1n + 1n	(12)
	21एन> 20एन + 20एन; 21n > 20n + 19n;…; ;…; 21n > 1n + 1n	(13)

अनुक्रमों का सबसे बायां पद (12) (13) सबसे कमजोर असमानता है। इसकी शुद्धता क्रम (12) के बाद की सभी असमानताओं की शुद्धता को निर्धारित करती है एन > 8 और क्रम (13) के लिए एन> 14 .

उनमें समानता नहीं हो सकती। धनात्मक पूर्णांकों (21,19,16) का एक मनमाना ट्रिपल फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के समीकरण (2) का समाधान नहीं है। यदि सकारात्मक पूर्णांकों का एक मनमाना ट्रिपल समीकरण का समाधान नहीं है, तो सकारात्मक पूर्णांकों के सेट पर समीकरण का कोई समाधान नहीं है, जिसे सिद्ध किया जाना था।

साथ)डायोफैंटस समस्या पर फर्मेट की टिप्पणी में कहा गया है कि इसे विघटित करना असंभव है " सामान्य तौर पर, वर्ग से बड़ी कोई शक्ति नहीं, समान घातांक वाली दो शक्तियाँ».

चुंबनएक वर्ग से बड़ी शक्ति को वास्तव में एक ही घातांक वाली दो शक्तियों में विघटित नहीं किया जा सकता है। मैं चुंबन नहीं करतावर्ग से बड़ी शक्ति को समान घातांक वाली दो शक्तियों में विभाजित किया जा सकता है।

सकारात्मक पूर्णांकों का कोई भी बेतरतीब ढंग से चुना गया ट्रिपल (जेड, एक्स, वाई) एक परिवार से संबंधित हो सकता है, जिसके प्रत्येक सदस्य में एक स्थिर संख्या होती है जेड और दो संख्या से कम जेड . परिवार के प्रत्येक सदस्य को असमानता के रूप में दर्शाया जा सकता है, और सभी परिणामी असमानताओं को असमानताओं के अनुक्रम के रूप में दर्शाया जा सकता है:

जेड एन< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1एन + 1एन

(14)

असमिकाओं का क्रम (14) उन असमिकाओं से शुरू होता है जिनका बायाँ भाग दाएँ पक्ष से छोटा होता है और अंत उन असमिकाओं से होता है जिनका दायाँ पक्ष बाएँ पक्ष से छोटा होता है। बढ़ते घातांक के साथ एन > 2 अनुक्रम (14) के दाईं ओर असमानताओं की संख्या बढ़ जाती है। एक प्रतिपादक के साथ एन = के अनुक्रम के बाईं ओर की सभी असमानताएँ अपना अर्थ बदल देती हैं और अनुक्रम की असमानताओं के दाईं ओर की असमानताओं का अर्थ ले लेती हैं (14)। सभी असमानताओं के घातांक में वृद्धि के परिणामस्वरूप, बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष से बड़ा है:

z k > (z-1) k + (z-1) k ; z k > (z-1) k + (z-2) k;…; zk> 2k + 1k; zk> 1k + 1k

(15)

एक्सपोनेंट में और वृद्धि के साथ एन> के कोई भी असमानता अपना अर्थ नहीं बदलती है और समानता में नहीं बदलती है। इस आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि किसी भी मनमाने ढंग से तीन सकारात्मक पूर्णांकों को लिया जाता है (जेड, एक्स, वाई) पर एन > 2 , जेड > एक्स , जेड > वाई

सकारात्मक पूर्णांकों के एक मनमाना ट्रिपल में जेड एक मनमाने ढंग से बड़ी प्राकृतिक संख्या हो सकती है। से अधिक नहीं सभी प्राकृतिक संख्या के लिए जेड , फर्मेट का अंतिम प्रमेय सिद्ध होता है।

डी)संख्या कितनी भी बड़ी क्यों न हो जेड , संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला में इससे पहले पूर्णांकों का एक बड़ा लेकिन परिमित समुच्चय होता है, और इसके बाद पूर्णांकों का एक अनंत समुच्चय होता है।

आइए हम सिद्ध करें कि प्राकृतिक संख्याओं का संपूर्ण अनंत समुच्चय इससे बड़ा है जेड , संख्याओं का त्रिक बनाते हैं जो फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के समीकरण का समाधान नहीं हैं, उदाहरण के लिए, धनात्मक पूर्णांकों का मनमाना त्रिक (जेड+1,एक्स,वाई) , जिसमें जेड + 1> एक्स और जेड + 1> वाई एक्सपोनेंट के सभी मूल्यों के लिए एन > 2 फर्मेट के अंतिम प्रमेय के समीकरण का हल नहीं है।

धनात्मक पूर्णांकों का यादृच्छिक रूप से चुना गया त्रिक (जेड + 1, एक्स, वाई) संख्याओं के त्रिगुणों के परिवार से संबंधित हो सकता है, जिसके प्रत्येक सदस्य में एक स्थिर संख्या होती है जेड + 1 और दो नंबर एक्स और पर , अलग-अलग मान लेते हुए, छोटा जेड + 1 . परिवार के सदस्यों को उन असमानताओं के रूप में दर्शाया जा सकता है जिनकी निरंतर बाईं ओर दाईं ओर से कम या अधिक है। असमानताओं के अनुक्रम के रूप में असमानताओं को व्यवस्थित किया जा सकता है:

एक्सपोनेंट में और वृद्धि के साथ एन> के अनंत तक, अनुक्रम (17) में कोई भी असमानता इसका अर्थ नहीं बदलती है और समानता नहीं बनती है। अनुक्रम (16) में, सकारात्मक पूर्णांकों के मनमाने ढंग से लिए गए ट्रिपल से बनी असमानता (जेड + 1, एक्स, वाई) , रूप में इसके दाहिनी ओर हो सकता है (जेड + 1) एन> एक्स एन + वाई एन या रूप में इसके बाईं ओर हो (जेड+1)एन< x n + y n .

किसी भी मामले में, सकारात्मक पूर्णांकों का तिगुना (जेड + 1, एक्स, वाई) पर एन > 2 , जेड + 1> एक्स , जेड + 1> वाई क्रम में (16) एक असमानता है और यह समानता नहीं हो सकती है, यानी यह फर्मेट के अंतिम प्रमेय के समीकरण का समाधान नहीं हो सकता है।

शक्ति असमानताओं (16) के अनुक्रम की उत्पत्ति को समझना आसान और सरल है, जिसमें बाईं ओर की अंतिम असमानता और दाईं ओर की पहली असमानता विपरीत अर्थ की असमानताएँ हैं। इसके विपरीत, स्कूली बच्चों, हाई स्कूल के छात्रों और हाई स्कूल के छात्रों के लिए यह समझना आसान और कठिन नहीं है कि असमानताओं के अनुक्रम (17) से असमानताओं (16) का एक क्रम कैसे बनता है, जिसमें सभी असमानताओं का एक ही अर्थ होता है।

अनुक्रम (16) में, असमानताओं की पूर्णांक डिग्री को 1 से बढ़ाने से बाईं ओर की अंतिम असमानता दाईं ओर विपरीत अर्थ की पहली असमानता में बदल जाती है। इस प्रकार, अनुक्रम के नौवें पक्ष की असमानताओं की संख्या घट जाती है, जबकि दाईं ओर की असमानताओं की संख्या बढ़ जाती है। विपरीत अर्थ की अंतिम और पहली शक्ति असमानताओं के बीच, अनिवार्य रूप से एक शक्ति समानता है। इसकी डिग्री एक पूर्णांक नहीं हो सकती है, क्योंकि लगातार दो प्राकृतिक संख्याओं के बीच केवल गैर-पूर्णांक संख्याएँ होती हैं। प्रमेय की स्थिति के अनुसार एक गैर-पूर्णांक डिग्री की शक्ति समानता को समीकरण (1) का समाधान नहीं माना जा सकता है।

यदि क्रम (16) में हम 1 इकाई की डिग्री में वृद्धि जारी रखते हैं, तो इसके बाईं ओर की अंतिम असमानता दाईं ओर के विपरीत अर्थ की पहली असमानता में बदल जाएगी। नतीजतन, बाईं ओर कोई असमानता नहीं होगी और केवल दाईं ओर असमानताएं होंगी, जो बढ़ती शक्ति असमानताओं (17) का एक क्रम होगा। 1 इकाई द्वारा उनकी पूर्णांक डिग्री में और वृद्धि केवल इसकी शक्ति असमानताओं को मजबूत करती है और स्पष्ट रूप से पूर्णांक डिग्री में समानता की संभावना को बाहर करती है।

इसलिए, सामान्य तौर पर, शक्ति असमानताओं (17) के अनुक्रम की एक प्राकृतिक संख्या (z+1) की कोई भी पूर्णांक शक्ति समान घातांक वाली दो पूर्णांक शक्तियों में विघटित नहीं की जा सकती है। इसलिए, समीकरण (1) का प्राकृतिक संख्याओं के अनंत सेट पर कोई समाधान नहीं है, जिसे सिद्ध किया जाना था।

इसलिए, फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय सभी सामान्यता में सिद्ध होता है:

• सेक्शन ए में) सभी ट्रिपल के लिए (जेड, एक्स, वाई) पायथागॉरियन नंबर (फर्मेट की खोज वास्तव में एक चमत्कारी प्रमाण है),
• खंड सी में) किसी भी ट्रिपल के परिवार के सभी सदस्यों के लिए (जेड, एक्स, वाई) पायथागॉरियन नंबर,
• सेक्शन सी में) सभी ट्रिपल संख्याओं के लिए (जेड, एक्स, वाई) , बड़ी संख्या नहीं जेड
• सेक्शन डी में) सभी ट्रिपल नंबरों के लिए (जेड, एक्स, वाई) संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला।

05.09.2010 को परिवर्तन किए गए थे

कौन से प्रमेय हो सकते हैं और कौन से विरोधाभास द्वारा सिद्ध नहीं किए जा सकते हैं

गणितीय शर्तों का व्याख्यात्मक शब्दकोश व्युत्क्रम प्रमेय के विपरीत एक प्रमेय के विरोधाभास द्वारा प्रमाण को परिभाषित करता है।

"विरोधाभास द्वारा प्रमाण एक प्रमेय (वाक्य) को सिद्ध करने की एक विधि है, जिसमें स्वयं प्रमेय को सिद्ध नहीं करना है, बल्कि इसके समतुल्य (समतुल्य), विपरीत व्युत्क्रम (विपरीत से विपरीत) प्रमेय है। जब भी प्रत्यक्ष प्रमेय को सिद्ध करना मुश्किल होता है, लेकिन विपरीत व्युत्क्रम आसान होता है, तो विरोधाभास द्वारा उपपत्ति का उपयोग किया जाता है। विरोधाभास द्वारा सिद्ध करने पर, प्रमेय के निष्कर्ष को उसके निषेध से बदल दिया जाता है, और तर्क द्वारा व्यक्ति स्थिति के निषेध पर पहुँच जाता है, अर्थात। एक विरोधाभास के लिए, विपरीत के लिए (जो दिया गया है उसके विपरीत; बेतुकापन में यह कमी प्रमेय साबित करती है।

विरोधाभास द्वारा उपपत्ति का प्रयोग अक्सर गणित में किया जाता है। विरोधाभास द्वारा सबूत बहिष्कृत मध्य के कानून पर आधारित है, जिसमें तथ्य यह है कि दो बयानों (कथनों) ए और ए (ए की अस्वीकृति) में से एक सत्य है और दूसरा झूठा है।/ गणितीय शब्दों का व्याख्यात्मक शब्दकोश: शिक्षकों के लिए एक गाइड / ओ। वी। मंटुरोव [और अन्य]; ईडी। वी. ए. दिटकिना.- एम.: ज्ञानोदय, 1965.- 539 पृ.: बीमार.-सी.112/.

यह खुले तौर पर घोषित करना बेहतर नहीं होगा कि विरोधाभास द्वारा प्रमाण की विधि गणितीय विधि नहीं है, हालांकि इसका उपयोग गणित में किया जाता है, यह एक तार्किक विधि है और तर्क से संबंधित है। क्या यह कहना वैध है कि विरोधाभास द्वारा सबूत "जब भी प्रत्यक्ष प्रमेय साबित करना मुश्किल होता है" का उपयोग किया जाता है, जब वास्तव में इसका उपयोग किया जाता है, और केवल तभी, इसके लिए कोई विकल्प नहीं होता है।

प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम प्रमेयों के बीच संबंध की विशेषता भी विशेष ध्यान देने योग्य है। "किसी दिए गए प्रमेय (या किसी दिए गए प्रमेय के लिए) के लिए एक उलटा प्रमेय एक प्रमेय है जिसमें स्थिति निष्कर्ष है, और निष्कर्ष दिए गए प्रमेय की स्थिति है। विलोम प्रमेय के संबंध में इस प्रमेय को प्रत्यक्ष प्रमेय (प्रारंभिक) कहा जाता है। उसी समय, विलोम प्रमेय का विलोम प्रमेय दिया गया प्रमेय होगा; इसलिए, प्रत्यक्ष और प्रतिलोम प्रमेयों को परस्पर प्रतिलोम कहा जाता है। यदि प्रत्यक्ष (दिया हुआ) प्रमेय सत्य है, तो विलोम प्रमेय हमेशा सत्य नहीं होता है। उदाहरण के लिए, यदि एक चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है, तो इसके विकर्ण परस्पर लंब होते हैं (प्रत्यक्ष प्रमेय)। यदि किसी चतुर्भुज में विकर्ण परस्पर लंबवत हैं, तो चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है - यह सत्य नहीं है, अर्थात, विलोम प्रमेय सत्य नहीं है।/ गणितीय शब्दों का व्याख्यात्मक शब्दकोश: शिक्षकों के लिए एक गाइड / ओ। वी। मंटुरोव [और अन्य]; ईडी। वी. ए. दिटकिना.- एम.: ज्ञानोदय, 1965.- 539 पृ.: बीमार.-सी.261/.

प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम प्रमेयों के बीच संबंधों का यह लक्षण वर्णन इस तथ्य को ध्यान में नहीं रखता है कि प्रत्यक्ष प्रमेय की स्थिति को बिना प्रमाण के दिया गया है, ताकि इसकी शुद्धता की गारंटी न हो। व्युत्क्रम प्रमेय की स्थिति को दिए गए रूप में नहीं लिया गया है, क्योंकि यह सिद्ध प्रत्यक्ष प्रमेय का निष्कर्ष है। प्रत्यक्ष प्रमेय के प्रमाण से इसकी शुद्धता की पुष्टि होती है। प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम प्रमेयों की स्थितियों के बीच यह आवश्यक तार्किक अंतर इस प्रश्न में निर्णायक हो जाता है कि कौन से प्रमेय विपरीत से तार्किक विधि द्वारा सिद्ध किए जा सकते हैं और कौन से नहीं।

मान लेते हैं कि मन में एक प्रत्यक्ष प्रमेय है, जिसे सामान्य गणितीय विधि से सिद्ध किया जा सकता है, लेकिन यह कठिन है। हम इसे सामान्य रूप में संक्षिप्त रूप में निम्नानुसार तैयार करते हैं: से एचाहिए इ . प्रतीक ए बिना प्रमाण के स्वीकार किए गए प्रमेय की दी गई स्थिति का मान है। प्रतीक इ सिद्ध किए जाने वाले प्रमेय का निष्कर्ष है।

हम प्रत्यक्ष प्रमेय को विरोधाभास द्वारा सिद्ध करेंगे, तार्किकतरीका। तार्किक विधि एक प्रमेय को सिद्ध करती है जो है गणितीय नहींहालत, और तार्किकस्थिति। यह प्राप्त किया जा सकता है अगर प्रमेय की गणितीय स्थिति से एचाहिए इ , विपरीत स्थिति के साथ पूरक से एइसे नहीं करें इ .

नतीजतन, नए प्रमेय की एक तार्किक विरोधाभासी स्थिति प्राप्त हुई, जिसमें दो भाग शामिल हैं: से एचाहिए इ और से एइसे नहीं करें इ . नए प्रमेय की परिणामी स्थिति बहिष्कृत मध्य के तार्किक कानून से मेल खाती है और विरोधाभास द्वारा प्रमेय के प्रमाण से मेल खाती है।

कानून के अनुसार, विरोधाभासी स्थिति का एक हिस्सा झूठा है, दूसरा हिस्सा सच है और तीसरा बाहर रखा गया है। विरोधाभास द्वारा प्रमाण का अपना कार्य और लक्ष्य है कि प्रमेय की स्थिति के दो भागों में से कौन सा भाग गलत है। जैसे ही स्थिति का झूठा हिस्सा निर्धारित किया जाता है, यह स्थापित हो जाएगा कि दूसरा हिस्सा सही हिस्सा है, और तीसरा बाहर रखा गया है।

गणितीय शब्दों के व्याख्यात्मक शब्दकोश के अनुसार, "प्रमाण तर्क है, जिसके दौरान किसी कथन (निर्णय, कथन, प्रमेय) की सत्यता या असत्यता स्थापित होती है". सबूत विरोधएक चर्चा है जिसके दौरान यह स्थापित किया गया है असत्यता(बेतुकापन) उस निष्कर्ष का जो इस प्रकार है असत्यप्रमेय की शर्तें साबित हो रही हैं।

दिया गया: से एचाहिए इऔर से एइसे नहीं करें इ .

सिद्ध करना: से एचाहिए इ .

सबूत: प्रमेय की तार्किक स्थिति में एक विरोधाभास होता है जिसके समाधान की आवश्यकता होती है। स्थिति के विरोधाभास को प्रमाण और उसके परिणाम में अपना समाधान खोजना चाहिए। यदि तर्क दोषरहित और अचूक है तो परिणाम असत्य निकलता है। तार्किक रूप से सही तर्क के साथ गलत निष्कर्ष का कारण केवल एक विरोधाभासी स्थिति हो सकती है: से एचाहिए इ और से एइसे नहीं करें इ .

इसमें कोई संदेह नहीं है कि स्थिति का एक हिस्सा झूठा है, और इस मामले में दूसरा सच है। स्थिति के दोनों भागों में एक ही मूल है, दिए गए रूप में स्वीकार किया जाता है, माना जाता है, समान रूप से संभव है, समान रूप से स्वीकार्य है, आदि। तार्किक तर्क के क्रम में, एक भी तार्किक विशेषता नहीं पाई गई है जो स्थिति के एक भाग को स्थिति से अलग करेगी। अन्य। इसलिए, उसी हद तक, से एचाहिए इ और शायद से एइसे नहीं करें इ . कथन से एचाहिए इ शायद असत्य, फिर बयान से एइसे नहीं करें इ सच होगा। कथन से एइसे नहीं करें इ गलत हो सकता है, तो बयान से एचाहिए इ सच होगा।

इसलिए, विरोधाभासी विधि द्वारा प्रत्यक्ष प्रमेय को सिद्ध करना असंभव है।

अब हम उसी प्रत्यक्ष प्रमेय को सामान्य गणितीय विधि से सिद्ध करेंगे।

दिया गया: ए .

सिद्ध करना: से एचाहिए इ .

सबूत।

1. से एचाहिए बी

2. से बीचाहिए में (पहले सिद्ध प्रमेय के अनुसार))।

3. से मेंचाहिए जी (पहले सिद्ध प्रमेय के अनुसार)।

4. से जीचाहिए डी (पहले सिद्ध प्रमेय के अनुसार)।

5. से डीचाहिए इ (पहले सिद्ध प्रमेय के अनुसार)।

संक्रामकता के नियम के आधार पर, से एचाहिए इ . प्रत्यक्ष प्रमेय को सामान्य विधि से सिद्ध किया जाता है।

सिद्ध प्रत्यक्ष प्रमेय में एक सही विपरीत प्रमेय है: से इचाहिए ए .

इसे साधारण से सिद्ध करते हैं गणितीयतरीका। व्युत्क्रम प्रमेय का प्रमाण प्रतीकात्मक रूप में गणितीय संक्रियाओं के एल्गोरिथम के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

दिया गया: इ

सिद्ध करना: से इचाहिए ए .

सबूत।

1. से इचाहिए डी

2. से डीचाहिए जी (पहले सिद्ध उलटा प्रमेय द्वारा)।

3. से जीचाहिए में (पहले सिद्ध उलटा प्रमेय द्वारा)।

4. से मेंइसे नहीं करें बी (इसका उलट सत्य नहीं है)। इसीलिए से बीइसे नहीं करें ए .

इस स्थिति में, व्युत्क्रम प्रमेय के गणितीय प्रमाण को जारी रखने का कोई मतलब नहीं है। स्थिति का कारण तार्किक है। गलत व्युत्क्रम प्रमेय को किसी भी चीज़ से बदलना असंभव है। इसलिए, इस व्युत्क्रम प्रमेय को सामान्य गणितीय विधि से सिद्ध नहीं किया जा सकता है। सभी आशा इस व्युत्क्रम प्रमेय को विरोधाभास द्वारा सिद्ध करने की है।

विरोधाभास द्वारा इसे साबित करने के लिए, इसकी गणितीय स्थिति को तार्किक विरोधाभासी स्थिति से बदलना आवश्यक है, जिसके अर्थ में दो भाग होते हैं - असत्य और सत्य।

उलटा प्रमेयदावे: से इइसे नहीं करें ए . उसकी हालत इ , जिससे निष्कर्ष निकलता है ए , सामान्य गणितीय विधि द्वारा प्रत्यक्ष प्रमेय को सिद्ध करने का परिणाम है। इस स्थिति को बरकरार रखा जाना चाहिए और बयान के साथ पूरक होना चाहिए से इचाहिए ए . जोड़ के परिणामस्वरूप, नए व्युत्क्रम प्रमेय की एक विरोधाभासी स्थिति प्राप्त होती है: से इचाहिए ए और से इइसे नहीं करें ए . इस पर आधारित तर्क मेंविरोधाभासी स्थिति, विलोम प्रमेय को सही द्वारा सिद्ध किया जा सकता है तार्किकसिर्फ और सिर्फ तर्क करना, तार्किकविपरीत विधि। विरोधाभास द्वारा एक प्रमाण में, कोई भी गणितीय क्रियाएं और संक्रियाएं तार्किक क्रियाओं के अधीन होती हैं और इसलिए उनकी गणना नहीं की जाती है।

विरोधाभासी बयान के पहले भाग में से इचाहिए ए स्थिति इ प्रत्यक्ष प्रमेय के प्रमाण द्वारा सिद्ध किया गया था। दूसरे भाग में से इइसे नहीं करें ए स्थिति इ बिना प्रमाण के मान लिया गया और स्वीकार कर लिया गया। उनमें से एक असत्य है और दूसरा सत्य है। यह साबित करना आवश्यक है कि उनमें से कौन सा झूठा है।

हम सही के साथ साबित करते हैं तार्किकतर्क करते हैं और पाते हैं कि इसका परिणाम एक झूठा, बेतुका निष्कर्ष है। झूठे तार्किक निष्कर्ष का कारण प्रमेय की विरोधाभासी तार्किक स्थिति है, जिसमें दो भाग होते हैं - असत्य और सत्य। असत्य भाग केवल एक कथन हो सकता है से इइसे नहीं करें ए , जिसमें इ बिना प्रमाण के स्वीकार कर लिया। यही इसे अलग करता है इ कथन से इचाहिए ए , जो प्रत्यक्ष प्रमेय के प्रमाण से सिद्ध होता है।

इसलिए, कथन सत्य है: से इचाहिए ए जिसे साबित करना था।

निष्कर्ष: केवल वह विलोम प्रमेय विपरीत से तार्किक विधि द्वारा सिद्ध होता है, जिसमें प्रत्यक्ष प्रमेय गणितीय विधि से सिद्ध होता है और जिसे गणितीय विधि से सिद्ध नहीं किया जा सकता है।

फर्मेट के महान प्रमेय के विरोधाभास द्वारा सबूत की विधि के संबंध में प्राप्त निष्कर्ष एक असाधारण महत्व प्राप्त करता है। इसे सिद्ध करने के प्रयासों का भारी बहुमत सामान्य गणितीय पद्धति पर आधारित नहीं है, बल्कि विरोधाभास द्वारा सिद्ध करने की तार्किक पद्धति पर आधारित है। फ़र्मेट विल्स की महान प्रमेय का प्रमाण कोई अपवाद नहीं है।

दिमित्री अब्रारोव ने अपने लेख "फर्मेट की प्रमेय: द फेनोमेनन ऑफ विल्स' प्रूफ्स" में विल्स द्वारा फर्मेट की अंतिम प्रमेय के प्रमाण पर एक टिप्पणी प्रकाशित की। एब्रारोव के अनुसार, विल्स ने जर्मन गणितज्ञ गेरहार्ड फ्रे (बी। 1944) द्वारा फर्मेट के समीकरण के संभावित समाधान से संबंधित एक उल्लेखनीय खोज की मदद से फर्मेट के अंतिम प्रमेय को साबित किया। एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ एन > 2 , एक और पूरी तरह से अलग समीकरण के साथ। यह नया समीकरण एक विशेष वक्र (जिसे फ्री दीर्घवृत्तीय वक्र कहा जाता है) द्वारा दिया गया है। फ्री वक्र एक बहुत ही सरल समीकरण द्वारा दिया गया है:
.

"यह बिल्कुल फ्री था जिसने हर समाधान की तुलना की (ए, बी, सी)फ़र्मेट का समीकरण, यानी, संख्याएँ जो संबंध को संतुष्ट करती हैं ए एन + बी एन = सी एनउपरोक्त वक्र। इस मामले में, फर्मेट की अंतिम प्रमेय का पालन होगा।"(उद्धरण: अब्रारोव डी। "फर्मेट की प्रमेय: विल्स प्रूफ की घटना")

दूसरे शब्दों में, गेरहार्ड फ्रे ने फर्मेट के अंतिम प्रमेय के समीकरण का सुझाव दिया एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ एन > 2 , सकारात्मक पूर्णांकों में समाधान हैं। फ्रे की मान्यता के अनुसार वही समाधान उसके समीकरण के समाधान हैं
वाई 2 + एक्स (एक्स - ए एन) (वाई + बी एन) = 0 , जो इसके अण्डाकार वक्र द्वारा दिया गया है।

एंड्रयू विल्स ने फ्रे की इस उल्लेखनीय खोज को स्वीकार किया और इसकी मदद से गणितीयविधि ने साबित किया कि यह खोज, यानी फ्रे की अण्डाकार वक्र, मौजूद नहीं है। इसलिए, कोई समीकरण और इसका समाधान नहीं है जो एक गैर-मौजूद अण्डाकार वक्र द्वारा दिया गया है। इसलिए, विल्स को यह निष्कर्ष निकालना चाहिए था कि फर्मेट के अंतिम प्रमेय और स्वयं फर्मेट के प्रमेय का कोई समीकरण नहीं है। हालाँकि, वह अधिक विनम्र निष्कर्ष निकालता है कि फर्मेट के अंतिम प्रमेय के समीकरण का सकारात्मक पूर्णांकों में कोई समाधान नहीं है।

यह एक निर्विवाद तथ्य हो सकता है कि विल्स ने एक ऐसी धारणा को स्वीकार किया जो फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय द्वारा बताए गए अर्थ के सीधे विपरीत है। यह विल्स को फर्मेट के अंतिम प्रमेय को विरोधाभास से साबित करने के लिए बाध्य करता है। आइए उनके उदाहरण का अनुसरण करें और देखें कि इस उदाहरण से क्या होता है।

फर्मेट के अंतिम प्रमेय में कहा गया है कि समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ एन > 2 , धनात्मक पूर्णांकों में कोई हल नहीं है।

विरोधाभास द्वारा प्रमाण की तार्किक पद्धति के अनुसार, इस कथन को संरक्षित किया जाता है, बिना प्रमाण के दिए गए रूप में स्वीकार किया जाता है, और फिर अर्थ में विपरीत कथन के साथ पूरक किया जाता है: समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ एन > 2 , सकारात्मक पूर्णांकों में समाधान हैं।

परिकल्पित कथन को बिना प्रमाण के दिए हुए के रूप में भी स्वीकार किया जाता है। तर्क के बुनियादी कानूनों के दृष्टिकोण से विचार किए जाने वाले दोनों कथन समान रूप से स्वीकार्य हैं, अधिकारों में समान हैं और समान रूप से संभव हैं। सही तर्क द्वारा, यह स्थापित करना आवश्यक है कि उनमें से कौन सा असत्य है, ताकि यह स्थापित किया जा सके कि अन्य कथन सत्य है।

सही तर्क एक झूठे, बेतुके निष्कर्ष के साथ समाप्त होता है, जिसका तार्किक कारण केवल प्रमेय के सिद्ध होने की एक विरोधाभासी स्थिति हो सकती है, जिसमें सीधे विपरीत अर्थ के दो भाग होते हैं। वे बेतुके निष्कर्ष के तार्किक कारण थे, विरोधाभास द्वारा प्रमाण का परिणाम।

हालाँकि, तार्किक रूप से सही तर्क के क्रम में, एक भी संकेत नहीं मिला जिसके द्वारा यह स्थापित करना संभव हो सके कि कौन सा कथन गलत है। यह एक कथन हो सकता है: समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ एन > 2 , सकारात्मक पूर्णांकों में समाधान हैं। उसी आधार पर, यह कथन हो सकता है: समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ एन > 2 , धनात्मक पूर्णांकों में कोई हल नहीं है।

तर्क के परिणामस्वरूप, केवल एक निष्कर्ष हो सकता है: फर्मेट की अंतिम प्रमेय को विरोधाभास से सिद्ध नहीं किया जा सकता है.

यह एक बहुत ही अलग मामला होगा यदि फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय एक व्युत्क्रम प्रमेय होता है जिसमें सामान्य गणितीय पद्धति द्वारा प्रत्यक्ष प्रमेय सिद्ध होता है। इस मामले में, यह विरोधाभास द्वारा सिद्ध किया जा सकता है। और चूंकि यह एक प्रत्यक्ष प्रमेय है, इसका प्रमाण विरोधाभास द्वारा प्रमाण की तार्किक पद्धति पर नहीं, बल्कि सामान्य गणितीय पद्धति पर आधारित होना चाहिए।

डी. अब्रारोव के अनुसार, शिक्षाविद वी.आई. अर्नोल्ड, सबसे प्रसिद्ध समकालीन रूसी गणितज्ञ, ने विल्स के प्रमाण "सक्रिय रूप से संदेहवादी" पर प्रतिक्रिया व्यक्त की। शिक्षाविद ने कहा: "यह वास्तविक गणित नहीं है - वास्तविक गणित ज्यामितीय है और इसका भौतिकी से गहरा संबंध है।"

विरोधाभास से, यह साबित करना असंभव है कि फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के समीकरण का कोई समाधान नहीं है, या यह कि इसका समाधान है। विल्स की गलती गणितीय नहीं, बल्कि तार्किक है - विरोधाभास द्वारा प्रमाण का उपयोग जहां इसका उपयोग समझ में नहीं आता है और फर्मेट के अंतिम प्रमेय को सिद्ध नहीं करता है।

फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय सामान्य गणितीय पद्धति की सहायता से सिद्ध नहीं होता है, यदि यह दिया गया हो: समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ एन > 2 , सकारात्मक पूर्णांकों में कोई समाधान नहीं है, और यदि इसमें सिद्ध करने की आवश्यकता है: समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ एन > 2 , धनात्मक पूर्णांकों में कोई हल नहीं है। इस रूप में, कोई प्रमेय नहीं है, बल्कि अर्थ से रहित एक पुनरुक्ति है।

टिप्पणी।मेरे बीटीएफ प्रमाण पर एक मंच पर चर्चा की गई थी। ट्रोटिल के प्रतिभागियों में से एक, संख्या सिद्धांत के विशेषज्ञ, ने निम्नलिखित आधिकारिक बयान का हकदार बनाया: "मिरगोरोडस्की ने जो किया उसका एक संक्षिप्त विवरण।" मैं इसे शब्दशः उद्धृत करता हूं:

« एक। उन्होंने साबित कर दिया कि अगर जेड 2 \u003d एक्स 2 + वाई , वह जेड एन> एक्स एन + वाई एन . यह एक प्रसिद्ध और काफी स्पष्ट तथ्य है।

में। उन्होंने दो ट्रिपल - पायथागॉरियन और गैर-पाइथागोरियन लिया और सरल गणना द्वारा दिखाया कि ट्रिपल (78 और 210 टुकड़े) के विशिष्ट, विशिष्ट परिवार के लिए बीटीएफ किया जाता है (और केवल इसके लिए)।

साथ। और फिर लेखक ने इस तथ्य को छोड़ दिया कि से < बाद की डिग्री में हो सकता है = , न केवल > . एक साधारण प्रति उदाहरण संक्रमण है एन = 1 वी एन = 2 पायथागॉरियन ट्रिपल में।

डी। यह बिंदु BTF प्रमाण के लिए आवश्यक कुछ भी योगदान नहीं देता है। निष्कर्ष: बीटीएफ सिद्ध नहीं हुआ है।"

मैं उनके निष्कर्ष पर बिंदुवार विचार करूंगा।

एक।इसमें, पाइथागोरियन संख्याओं के त्रिगुणों के पूरे अनंत सेट के लिए BTF सिद्ध होता है। एक ज्यामितीय विधि द्वारा सिद्ध, जो, जैसा कि मेरा मानना ​​​​है, मेरे द्वारा खोजा नहीं गया था, लेकिन फिर से खोजा गया। और यह खोला गया था, जैसा कि मुझे विश्वास है, खुद पी। फर्मेट द्वारा। हो सकता है कि फर्मेट के दिमाग में यह बात आई हो जब उन्होंने लिखा:

"मैंने इसका वास्तव में अद्भुत प्रमाण खोजा है, लेकिन ये मार्जिन इसके लिए बहुत संकीर्ण हैं।" मेरी यह धारणा इस तथ्य पर आधारित है कि डायोफैंटाइन समस्या में, जिसके विरुद्ध, पुस्तक के हाशिये में, फर्मेट ने लिखा, हम डायोफैंटाइन समीकरण के समाधान के बारे में बात कर रहे हैं, जो पायथागॉरियन संख्याओं के त्रिगुण हैं।

पायथागॉरियन संख्याओं के त्रिगुणों का एक अनंत सेट डायोफेटियन समीकरण का समाधान है, और फ़र्मेट के प्रमेय में, इसके विपरीत, कोई भी समाधान फ़र्मेट के प्रमेय के समीकरण का समाधान नहीं हो सकता है। और फ़र्मेट के वास्तव में चमत्कारी प्रमाण का इस तथ्य पर सीधा असर पड़ता है। बाद में, फर्मेट अपने प्रमेय को सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय तक बढ़ा सके। सभी प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर, BTF "असाधारण सुंदर प्रमेयों के सेट" से संबंधित नहीं है। यह मेरी धारणा है, जिसे न तो सिद्ध किया जा सकता है और न ही अप्रमाणित। इसे स्वीकार और अस्वीकार दोनों किया जा सकता है।

में।इस पैराग्राफ में, मैं साबित करता हूं कि मनमाने ढंग से लिए गए पाइथागोरसियन ट्रिपल नंबरों के परिवार और मनमाने ढंग से लिए गए गैर-पाइथागोरस ट्रिपल नंबरों के बीटीएफ के परिवार दोनों संतुष्ट हैं। यह मेरे सबूत के लिए एक आवश्यक, लेकिन अपर्याप्त और मध्यवर्ती लिंक है बीटीएफ। मैंने पायथागॉरियन संख्याओं के एक ट्रिपल के परिवार और गैर-पाइथोगोरियन संख्याओं के ट्रिपल के परिवार के जो उदाहरण लिए हैं, उनका विशिष्ट उदाहरणों का अर्थ है जो समान अन्य उदाहरणों के अस्तित्व को मानते हैं और बाहर नहीं करते हैं।

ट्रोटिल का कथन कि मैंने "सरल गणना द्वारा दिखाया कि ट्रिपल (78 और 210 टुकड़े) के एक विशिष्ट, विशिष्ट परिवार के लिए बीटीएफ पूरा हो गया है (और केवल इसके लिए) बिना नींव के है। वह इस तथ्य का खंडन नहीं कर सकता है कि मैं एक और दूसरे ट्रिपल के विशिष्ट परिवार को प्राप्त करने के लिए पायथागॉरियन और गैर-पाइथागोरियन ट्रिपल के अन्य उदाहरण भी ले सकता हूं।

मैं जो भी ट्रिपल जोड़ी लेता हूं, समस्या को हल करने के लिए उनकी उपयुक्तता की जांच करना, मेरी राय में, केवल "सरल गणना" की विधि से किया जा सकता है। कोई अन्य तरीका मुझे ज्ञात नहीं है और इसकी आवश्यकता नहीं है। अगर उन्हें ट्रोटिल पसंद नहीं था तो उन्हें कोई और तरीका सुझाना चाहिए था, जो उन्हें नहीं आता। बदले में कुछ भी दिए बिना, "सरल गणना" की निंदा करना गलत है, जो इस मामले में अपूरणीय है।

साथ।मैंने छोड़ा = के बीच< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение जेड 2 \u003d एक्स 2 + वाई (1), जिसमें डिग्री एन > 2 — पूरासकारात्मक संख्या। असमानताओं के बीच समानता से यह अनुसरण करता है अनिवार्यसमीकरण पर विचार (1) डिग्री के गैर-पूर्णांक मान के साथ एन > 2 . ट्रॉटिल गिनती अनिवार्यअसमानताओं के बीच समानता का विचार, वास्तव में विचार करता है ज़रूरी BTF प्रमाण में, समीकरण (1) पर विचार करें गैर - पूर्णांकडिग्री मान एन > 2 . मैंने यह अपने लिए किया और उस समीकरण (1) को पाया गैर - पूर्णांकडिग्री मान एन > 2 तीन संख्याओं का हल है: जेड, (जेड-1), (जेड-1) एक गैर-पूर्णांक घातांक के साथ।