ऐतिहासिक रूप से, पहला पूर्णांकों$N$, farts के पुनर्गणना के परिणामस्वरूप। इन संख्याओं का समुच्चय अनंत है और एक प्राकृतिक श्रृंखला बनाता है $N=\(1, 2, 3, ..., n, ...\)$। इस समुच्चय में योग और गुणन की संक्रियाएँ संभव हैं। घटाव ऑपरेशन करने के लिए, नए नंबरों की आवश्यकता थी, जिसके कारण पूर्णांकों का एक सेट दिखाई दिया: $Z$। $Z=N_+\कप N_- \कप \(0\)$। इस प्रकार, पूर्णांकों के समुच्चय में, जोड़, गुणा, घटाव की संक्रियाएँ हमेशा की जाती हैं।
परिमेय संख्या
विभाजन करने की आवश्यकता ने परिमेय संख्याओं $Q$ के समुच्चय को जन्म दिया। $Q=\(\frac(m)(n), m\in Z, n\in N\)$।
परिभाषा।दो परिमेय संख्याएँ समान हैं: $\frac(m_1)(n_1)=\frac(m_2)(n_2)$ - अगर $m_1\cdot n_2=n_1\cdot m_2$। इसका मतलब है कि हर परिमेय संख्याविशिष्ट रूप से एक अपरिवर्तनीय अंश $\frac(m)(n)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है। $ जीसीडी (एम, एन) = 1 $।
परिमेय संख्याओं के समुच्चय के गुण
1. परिणामस्वरूप अंकगणितीय आपरेशनसपरिमेय संख्याओं (जोड़, गुणा, घटाव, भाग, शून्य से भाग को छोड़कर) पर एक परिमेय संख्या प्राप्त होती है।
2. परिमेय संख्याओं के समुच्चय को क्रमित किया जाता है, अर्थात् परिमेय संख्याओं $a$ और $b$ या $a के किसी भी युग्म के लिए
3. परिमेय संख्याओं का समुच्चय सघन होता है, अर्थात् परिमेय संख्याओं $a$ और $b$ के किसी भी युग्म के लिए एक परिमेय संख्या $c$ इस प्रकार मौजूद होती है कि $a किसी भी धनात्मक परिमेय संख्या को हमेशा दशमलव भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है: या तो परिमित या अनंत आवर्त। उदाहरण के लिए: $\frac(3)(5)=0.6$, $\frac(1)(3)=0.333...=0,(3)$। $\frac(m)(n)=a_0,a_1a_1...a_kb_1b_2b_3...b_nb_1b_2b_3...b_n...$. $b_1b_2b_3...b_n...$ - दशमलव भिन्न का आवर्त कहलाता है, जहां सभी $b_i=0$ नहीं होते हैं। ध्यान दें कि एक परिमित भिन्न को आवर्त में शून्य के साथ अनंत आवर्त भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। $\frac(m)(n)=a_0,a_1a_1...a_k000000...$, $a_k\ne0$। हालांकि, दशमलव भिन्न के रूप में परिमेय संख्याओं का एक और प्रतिनिधित्व अधिक सामान्य है: $\frac(m)(n)=a_0,a_1a_1...(a_k-1)999...$। ऋणात्मक परिमेय संख्याएं $-\frac(m)(n)$ को विपरीत चिह्न के साथ लिए गए $\frac(m)(n)$ के रूप की एक परिमेय संख्या के दशमलव प्रसार के रूप में लिखा जाता है। संख्या $0$ को $0.000...$ के रूप में दर्शाया गया है। इस प्रकार, कोई भी परिमेय संख्या हमेशा एक अनंत दशमलव आवधिक अंश के रूप में प्रतिनिधित्व योग्य होती है, जिसमें $0$ की संख्या को छोड़कर, अवधि में $0$ नहीं होता है। यह नजारा इकलौता है। परिमेय संख्याओं के समुच्चय को चार अंकगणितीय संक्रियाओं के अंतर्गत बंद किया जाता है। हालांकि, परिमेय संख्याओं के सेट में, $x^2-n=0$ फॉर्म के सबसे सरल समीकरण का समाधान हमेशा नहीं होता है। इसलिए नए नंबर पेश करने की जरूरत है। आइए हम दिखाते हैं कि परिमेय संख्याओं में ऐसी कोई संख्या नहीं है जिसका वर्ग तीन के बराबर हो। प्रमाण विरोधाभास की विधि द्वारा किया जाता है। मान लीजिए कि एक परिमेय संख्या $\frac(m)(n)$ मौजूद है, जैसे कि इसका वर्ग तीन है: $\left(\frac(m)(n)\right)^2=3\;\;\;( 1 )$. $\frac(m^2)(n^2)=3$, $m^2=3n^2.\;\;\;(2)$ समानता का दाहिना पक्ष (2) 3 से विभाज्य है। इसलिए, $m^2$ भी 3 से विभाज्य है, इसलिए $m$ 3 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि $m=3k$। समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: $3k^2=n^2.\;\;\;(3)$ $(3)$ की बाईं ओर $3$ से विभाज्य है, इसलिए दाईं ओर भी $3$ से विभाज्य है। इसलिए $n^2$, $3$ से विभाज्य है, इसलिए $n$ भी $3$ से विभाज्य है, जहां से $n=3p$। नतीजतन, हमें मिलता है: $\frac(m)(n)=\frac(3k)(3p)$, यानी अंश $\frac(m)(n)$ कम करने योग्य निकला, जो धारणा के विपरीत है . इसका अर्थ है कि परिमेय संख्याओं में ऐसी कोई संख्या नहीं है जिसका वर्ग तीन के बराबर हो। लेकिन एक संख्या ऐसी भी होती है जिसका वर्ग तीन होता है। इसे एक अनंत गैर-आवधिक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। और हमें एक नए तरह के नंबर मिले। आइए उन्हें तर्कहीन कहते हैं। परिभाषा।एक अपरिमेय संख्या कोई भी अनंत गैर-आवधिक अंश है। सभी अनंत गैर-आवधिक भिन्नों के समुच्चय को अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय कहा जाता है और इसे $I$ द्वारा दर्शाया जाता है। परिमेय संख्याओं $Q$ और अपरिमेय संख्याओं $I$ के समुच्चय का मिलन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $R$ देता है: $Q\cup I=R$। इस प्रकार, किसी भी वास्तविक संख्या को एक अनंत दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है: एक परिमेय संख्या के मामले में आवधिक और एक अपरिमेय संख्या के मामले में गैर-आवधिक। वास्तविक संख्या $a=a_0,a_1a_2a_3\ldots a_n\ldots$, $b=b_0,b_1b_2b_3\ldots b_n\ldots$ के लिए तुलना इस प्रकार है: 1) मान लें कि $a$ और $b$ दोनों सकारात्मक हैं: $a>0$, $b>0$, फिर: $a=b$ अगर किसी के लिए $k$ $a_k=b_k$; $a>b$ अगर $\मौजूद s$ $\forall k 2) चलो $a>0$, $b<0$, или иначе: $b<0 3) मान लीजिए $a$ और $b$ दोनों ऋणात्मक हैं: $a<0$, $b<0$, тогда: $a=b$ अगर $-a=-b$ के लिए; एक अलग प्रकृति की संख्याएँ हैं - एक वर्गमूल निकालने की क्रिया अक्सर उन्हें ले जाती है (और केवल यही नहीं, हम इसे अभी तक नहीं जानते हैं)। इसलिए, हमें नए नंबरों को और अधिक विस्तार से जानने की जरूरत है। लेकिन पहले, आइए "पुराने", यानी परिमेय, संख्याओं के अपने ज्ञान को व्यवस्थित करने का प्रयास करें। 1. गणितीय भाषा के कुछ प्रतीक
ये पूर्णांक, सामान्य भिन्न, दशमलव भिन्न थे। इन सभी संख्याओं के लिए, आप उसी अंकन का उपयोग कर सकते हैं, जिसकी चर्चा अब हम करेंगे। 5 = 5.00000... = 5,(0)। संख्या 8.377: 8.377 = 8.377000... = 8.377(0) के लिए भी यही सच है। सब कुछ साफ-सुथरा बनाने के लिए, वे यह कहते हैं: 8.377 एक परिमित दशमलव अंश है, और 8.377000 ... एक अनंत दशमलव अंश है। सामान्य तौर पर, किसी भी परिमेय संख्या को अनंत दशमलव आवर्त भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। टिप्पणी।
यह निष्कर्ष सिद्धांत के लिए सुविधाजनक है, लेकिन अभ्यास के लिए बहुत सुविधाजनक नहीं है। आखिर दशमलव भिन्न 8.377 दिया हो तो उसे 8.377 (0) के रूप में लिखना क्यों आवश्यक है? इसलिए, वे आमतौर पर यह कहते हैं: किसी भी परिमेय संख्या को एक परिमित दशमलव अंश के रूप में या एक अनंत दशमलव आवधिक अंश के रूप में लिखा जा सकता है। परिमेय संख्याओं के समुच्चय को निरूपित किया जाता है और इसे निम्नानुसार लिखा जा सकता है: यह पता चला है कि विभिन्न प्रविष्टियाँ एक ही भिन्न का प्रतिनिधित्व कर सकती हैं, उदाहरण के लिए, और, (सभी भिन्न जो एक ही प्राकृतिक संख्या से गुणा या विभाजित करके एक दूसरे से प्राप्त की जा सकती हैं, एक ही परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करती हैं)। चूँकि किसी भिन्न के अंश और हर को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करके, कोई एक परिमेय संख्या का एकमात्र इरेड्यूसेबल प्रतिनिधित्व प्राप्त कर सकता है, कोई उनके समुच्चय को समुच्चय के रूप में कह सकता है अलघुकरणीयकोप्राइम पूर्णांक अंश और प्राकृतिक हर के साथ अंश: यहाँ संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है और . परिमेय संख्याओं का समुच्चय पूर्णांकों के समुच्चय का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण है। यह देखना आसान है कि यदि किसी परिमेय संख्या में एक हर होता है, तो वह एक पूर्णांक होता है। परिमेय संख्याओं का समुच्चय संख्या अक्ष पर हर जगह सघन होता है: किन्हीं दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच कम से कम एक परिमेय संख्या होती है (और इसलिए परिमेय संख्याओं का एक अनंत समुच्चय)। हालांकि, यह पता चला है कि परिमेय संख्याओं के सेट में एक गणनीय कार्डिनैलिटी है (अर्थात, इसके सभी तत्वों को फिर से क्रमांकित किया जा सकता है)। ध्यान दें, वैसे, प्राचीन यूनानी भी संख्याओं के अस्तित्व के बारे में आश्वस्त थे जिन्हें एक अंश के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, उन्होंने साबित किया कि कोई तर्कसंगत संख्या नहीं है जिसका वर्ग 2 है) गुण मूल गुण परिमेय संख्याओं का समुच्चय सोलह मूल गुणों को संतुष्ट करता है, जिन्हें पूर्णांकों के गुणों से आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। अतिरिक्त गुण परिमेय संख्याओं में निहित अन्य सभी गुणों को मूल गुणों के रूप में अलग नहीं किया जाता है, क्योंकि, सामान्यतया, वे अब सीधे पूर्णांकों के गुणों पर आधारित नहीं होते हैं, बल्कि दिए गए मूल गुणों के आधार पर या सीधे परिभाषा द्वारा सिद्ध किए जा सकते हैं। कुछ गणितीय वस्तु। ऐसी बहुत सारी अतिरिक्त संपत्तियां हैं। उनमें से कुछ का ही उल्लेख करना यहाँ उचित प्रतीत होता है। 25.. अपरिमेय संख्याओं का J सेट करें अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण: अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को एक बड़े अंग्रेजी अक्षर [ai] - "I" द्वारा दर्शाया जाता है। संख्याओं के समुच्चय में अपरिमेय संख्याएँ एक विशेष स्थान रखती हैं। वे परिमेय संख्याओं में शामिल नहीं हैं। तर्कहीन संख्या(तर्कसंगत लोगों के विपरीत) को भिन्न a / b के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जहां a Z (a पूर्णांकों से संबंधित है), b∈N (b प्राकृतिक संख्याओं से संबंधित है)। 26. वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R वास्तविक संख्या विकिपीडिया, निःशुल्क विश्वकोष से यहां जाएं: नेविगेशन, खोजें असली, या वास्तविक संख्या- एक गणितीय अमूर्तता जो आसपास की दुनिया की ज्यामितीय और भौतिक मात्राओं को मापने की आवश्यकता के साथ-साथ जड़ निकालने, लघुगणक की गणना करने, बीजीय समीकरणों को हल करने जैसे कार्यों को करने की आवश्यकता से उत्पन्न हुई। संख्या रेखा यदि प्राकृतिक संख्याएँ गिनती की प्रक्रिया में उत्पन्न हुईं, परिमेय संख्याएँ - एक पूरे के भागों के साथ काम करने की आवश्यकता से, तो वास्तविक संख्याएँ निरंतर मात्राओं को मापने के लिए अभिप्रेत हैं। इस प्रकार, विचाराधीन संख्याओं के भंडार के विस्तार ने वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को जन्म दिया है, जिसमें परिमेय संख्याओं के अलावा, अन्य तत्व भी शामिल हैं जिन्हें कहा जाता है तर्कहीन संख्या. वास्तविक संख्या की अवधारणा का उपयोग करके कल्पना की जा सकती है संख्या रेखा. यदि आप खंडों को मापने के लिए एक सीधी रेखा, एक प्रारंभिक बिंदु और लंबाई की एक इकाई पर एक दिशा चुनते हैं, तो प्रत्येक वास्तविक संख्या को इस सीधी रेखा पर एक निश्चित बिंदु से जोड़ा जा सकता है, और इसके विपरीत, प्रत्येक बिंदु कुछ का प्रतिनिधित्व करेगा, और इसके अलावा , केवल एक, वास्तविक संख्या। इस पत्राचार के कारण, संख्या रेखा शब्द का प्रयोग आमतौर पर वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के पर्यायवाची के रूप में किया जाता है। वास्तविक संख्या की अवधारणा ने बनने का एक लंबा सफर तय किया है। प्राचीन ग्रीस में भी, पाइथागोरस के स्कूल में, जिसने पूर्ण संख्याओं और उनके संबंधों को हर चीज के आधार के रूप में रखा, का अस्तित्व अतुलनीय मात्रा(एक वर्ग के पक्ष और विकर्ण की असंगति), यानी आधुनिक शब्दावली में, संख्याएं जो तर्कसंगत नहीं हैं। इसके बाद, Cnidus के यूडोक्सस ने संख्या के एक सामान्य सिद्धांत का निर्माण करने का प्रयास किया जिसमें अतुलनीय मात्राएँ शामिल थीं। उसके बाद, दो हजार से अधिक वर्षों तक, इस अवधारणा के क्रमिक विस्तार के बावजूद, किसी ने वास्तविक संख्या की अवधारणा की सटीक परिभाषा की आवश्यकता महसूस नहीं की। केवल उन्नीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध में, जब गणितीय विश्लेषण के विकास के लिए एक नए, उच्च स्तर की कठोरता पर इसकी नींव के पुनर्गठन की आवश्यकता थी, के। वीयरस्ट्रैस, आर। डेडेकिंड के कार्यों में वास्तविक संख्याओं का एक कठोर सिद्धांत बनाया गया था। , जी. कैंटर, ई. हेइन, एस. मेरे। आधुनिक गणित की दृष्टि से वास्तविक संख्याओं का समुच्चय एक सतत क्रमित क्षेत्र है। यह परिभाषा, या स्वयंसिद्धों की एक समकक्ष प्रणाली, वास्तविक संख्या की अवधारणा को इस अर्थ में परिभाषित करती है कि केवल एक ही है, समरूपता तक, निरंतर आदेशित क्षेत्र। वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का एक मानक अंकन होता है - आर("बोल्ड आर"), या (इंग्लैंड। ब्लैकबोर्ड बोल्ड"आर") लेट से। वास्तविक- वैध। 27. संख्या प्रणाली नोटेशन- संख्याओं को लिखने का एक प्रतीकात्मक तरीका, लिखित वर्णों का उपयोग करके संख्याओं का प्रतिनिधित्व करना। संकेतन: संख्या प्रणाली में विभाजित हैं अवस्था का, गैर स्थितीयऔर मिला हुआ.तर्कहीन संख्या
वास्तविक संख्या
वास्तविक संख्याओं की तुलना
उदाहरण के लिए, पूर्णांक 5, सामान्य भिन्न और दशमलव 8.377 पर विचार करें। पूर्णांक 5 को अनंत दशमलव के रूप में लिखा जा सकता है: 5.0000... दशमलव 8.377 को अनंत के रूप में भी लिखा जा सकता है दशमलव अंश: 8.377000... संख्या के लिए, आइए "कोण विभाजन" विधि का उपयोग करें:
जैसा कि आप देख सकते हैं, दशमलव बिंदु के बाद दूसरे अंक से शुरू होकर, संख्याओं का एक ही समूह दोहराया जाता है: 18, 18, 18, .... अत: = 0.3181818... संक्षेप में, इसे इस प्रकार लिखा जाता है: 0.3 (18)। दशमलव बिंदु के बाद अंकों के दोहराव वाले समूह को आवर्त कहा जाता है, और दशमलव अंश को ही अनंत दशमलव आवर्त भिन्न कहा जाता है।
अनंत दशमलव आवधिक अंश। ऐसा करने के लिए, अवधि में संख्या 0 लिखें:
इस प्रकार, संख्या 5, और संख्या, और संख्या 8.377 को एक अनंत दशमलव आवधिक अंश के रूप में लिखा गया था।
