इससे पहले कि हम फैसला करना शुरू करें अंकगणितीय प्रगति की समस्याएं, विचार करें कि संख्या अनुक्रम क्या है, क्योंकि अंकगणितीय प्रगति संख्या अनुक्रम का एक विशेष मामला है।

एक संख्यात्मक अनुक्रम एक संख्यात्मक सेट है, जिसके प्रत्येक तत्व का अपना सीरियल नंबर होता है. इस सेट के तत्वों को अनुक्रम के सदस्य कहा जाता है। एक अनुक्रम तत्व की क्रमिक संख्या एक सूचकांक द्वारा इंगित की जाती है:

अनुक्रम का पहला तत्व;

अनुक्रम का पांचवां तत्व;

- अनुक्रम का "नवां" तत्व, अर्थात संख्या n पर तत्व "कतार में खड़ा"।

एक अनुक्रम तत्व के मान और उसकी क्रमिक संख्या के बीच एक निर्भरता है। इसलिए, हम एक अनुक्रम को एक फ़ंक्शन के रूप में मान सकते हैं जिसका तर्क अनुक्रम के एक तत्व की क्रमिक संख्या है। दूसरे शब्दों में, कोई ऐसा कह सकता है अनुक्रम प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है:

अनुक्रम तीन तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है:

1 . तालिका का उपयोग करके अनुक्रम निर्दिष्ट किया जा सकता है।इस मामले में, हम केवल अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य का मान निर्धारित करते हैं।

उदाहरण के लिए, किसी ने व्यक्तिगत समय प्रबंधन करने का फैसला किया, और सबसे पहले यह गणना करने के लिए कि वह सप्ताह के दौरान VKontakte पर कितना समय व्यतीत करता है। तालिका में समय लिखकर, वह सात तत्वों से युक्त अनुक्रम प्राप्त करेगा:

तालिका की पहली पंक्ति में सप्ताह के दिन की संख्या होती है, दूसरी - मिनटों में समय। हम देखते हैं कि, यानी सोमवार को किसी ने VKontakte पर 125 मिनट बिताए, यानी गुरुवार को - 248 मिनट, और, यानी शुक्रवार को केवल 15।

2 . nth सदस्य सूत्र का उपयोग करके अनुक्रम निर्दिष्ट किया जा सकता है।

इस मामले में, इसकी संख्या पर अनुक्रम तत्व के मूल्य की निर्भरता सीधे सूत्र के रूप में व्यक्त की जाती है।

उदाहरण के लिए, यदि, तब

दी गई संख्या के साथ अनुक्रम तत्व का मान ज्ञात करने के लिए, हम तत्व संख्या को nवें सदस्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

यदि तर्क का मान ज्ञात है तो हमें किसी फ़ंक्शन का मान ज्ञात करने की आवश्यकता होने पर हम ऐसा ही करते हैं। हम इसके बजाय फ़ंक्शन के समीकरण में तर्क के मान को प्रतिस्थापित करते हैं:

यदि, उदाहरण के लिए, , वह

एक बार फिर, मैं ध्यान देता हूं कि एक क्रम में, एक मनमाना संख्यात्मक फ़ंक्शन के विपरीत, केवल एक प्राकृतिक संख्या एक तर्क हो सकती है।

3 . अनुक्रम को एक सूत्र का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है जो अनुक्रम के सदस्य के मूल्य की संख्या n के साथ पिछले सदस्यों के मूल्य पर निर्भरता को व्यक्त करता है। इस मामले में, इसके मूल्य को खोजने के लिए केवल एक अनुक्रम सदस्य की संख्या जानना हमारे लिए पर्याप्त नहीं है। हमें अनुक्रम के पहले सदस्य या पहले कुछ सदस्यों को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम पर विचार करें ,

हम किसी क्रम के सदस्यों के मान ज्ञात कर सकते हैं अनुक्रम में, तीसरे से शुरू:

अर्थात्, हर बार अनुक्रम के nवें सदस्य का मान ज्ञात करने के लिए, हम पिछले दो पर लौटते हैं। अनुक्रमण के इस तरीके को कहा जाता है आवर्तक, लैटिन शब्द से पुनरावृत्ति- वापस लौटें।

अब हम अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित कर सकते हैं। एक अंकगणितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम का एक साधारण विशेष मामला है।

अंकगणितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम कहा जाता है, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, उसी संख्या के साथ जोड़ा जाता है।

नंबर कहा जाता है एक अंकगणितीय प्रगति का अंतर. अंकगणितीय प्रगति का अंतर धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।

यदि शीर्षक="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} की बढ़ती.

उदाहरण के लिए, 2; 5; 8; ग्यारह;...

यदि , तो अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक पद पिछले वाले से कम है, और प्रगति है घट.

उदाहरण के लिए, 2; -1; -4; -7;...

यदि , तो श्रेणी के सभी सदस्य समान संख्या के बराबर हैं, और श्रेणी है अचल.

उदाहरण के लिए, 2;2;2;2;...

अंकगणितीय प्रगति की मुख्य संपत्ति:

आइए तस्वीर देखें।

हमने देखा कि

, और उस समय पर ही

इन दो समानताओं को जोड़ने पर, हम पाते हैं:

.

समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें:

तो, अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, दो पड़ोसी लोगों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है:

इसके अलावा, क्योंकि

, और उस समय पर ही

, वह

, और इसलिए

अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य शीर्षक से शुरू होता है="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

वें सदस्य सूत्र।

हम देखते हैं कि अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के लिए निम्नलिखित संबंध हैं:

और अंत में

हमें मिला nवें पद का सूत्र।

महत्वपूर्ण!अंकगणितीय प्रगति के किसी भी सदस्य को और के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। पहले पद और अंकगणितीय प्रगति के अंतर को जानने के बाद, आप इसके किसी भी सदस्य को ढूंढ सकते हैं।

अंकगणितीय प्रगति के n सदस्यों का योग।

एक मनमाना अंकगणितीय प्रगति में, चरम शब्दों से समान रूप से दूरी वाले शब्दों का योग एक दूसरे के बराबर होता है:

एन सदस्यों के साथ अंकगणितीय प्रगति पर विचार करें। मान लीजिए कि इस श्रेणी के n सदस्यों का योग बराबर है।

श्रेढ़ी के पदों को पहले संख्याओं के आरोही क्रम में और फिर अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें:

आइए इसे पेयर करें:

प्रत्येक कोष्ठक में योग है, जोड़े की संख्या n है।

हम पाते हैं:

इसलिए, अंकगणितीय प्रगति के n सदस्यों का योग सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

विचार करना अंकगणितीय प्रगति समस्याओं को हल करना.

1 . अनुक्रम nवें पद के सूत्र द्वारा दिया गया है: . सिद्ध कीजिए कि यह क्रम एक अंकगणितीय प्रगति है।

आइए सिद्ध करें कि अनुक्रम के दो आसन्न सदस्यों के बीच का अंतर एक ही संख्या के बराबर है।

हमने पाया है कि अनुक्रम के दो आसन्न सदस्यों का अंतर उनकी संख्या पर निर्भर नहीं करता है और एक स्थिरांक है। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, यह अनुक्रम अंकगणितीय प्रगति है।

2 . अंकगणितीय प्रगति -31 दी गई है; -27;...

a) श्रेढ़ी के 31 पद ज्ञात कीजिए।

बी) निर्धारित करें कि क्या संख्या 41 इस प्रगति में शामिल है।

ए)हमने देखा कि ;

आइए हमारी प्रगति के लिए nवें पद के लिए सूत्र लिखें।

सामान्य रूप में

हमारे मामले में , इसीलिए

एक अंकगणितीय प्रगति का योग।

अंकगणितीय प्रगति का योग एक साधारण बात है। अर्थ और सूत्र दोनों में। लेकिन इस विषय पर सभी प्रकार के कार्य हैं। प्राथमिक से काफी ठोस तक।

सबसे पहले, योग के अर्थ और सूत्र से निपटते हैं। और फिर हम फैसला करेंगे। आपकी अपनी खुशी के लिए।) योग का अर्थ कम करना जितना आसान है। अंकगणितीय प्रगति का योग ज्ञात करने के लिए, आपको केवल इसके सभी सदस्यों को सावधानीपूर्वक जोड़ना होगा। यदि ये शब्द कम हैं, तो आप बिना किसी सूत्र के जोड़ सकते हैं। लेकिन अगर बहुत कुछ है, या बहुत कुछ है ... जोड़ कष्टप्रद है।) इस मामले में, सूत्र बचाता है।

योग सूत्र सरल है:

आइए जानें कि सूत्र में किस प्रकार के अक्षर शामिल हैं। इससे काफी कुछ साफ हो जाएगा।

एस एन एक अंकगणितीय प्रगति का योग है। जोड़ परिणाम सभीसदस्यों, के साथ पहलाद्वारा अंतिम।क्या यह महत्वपूर्ण है। बिल्कुल जोड़ो सभीसदस्यों को एक पंक्ति में, बिना अंतराल और कूद के। और, बिल्कुल, से शुरू पहला।तीसरे और आठवें पदों का योग ज्ञात करने जैसी समस्याओं में, या पाँच से बीसवें पदों का योग खोजने में, सूत्र का सीधा प्रयोग निराशाजनक होगा।)

एक 1 - पहलाप्रगति के सदस्य। यहाँ सब कुछ स्पष्ट है, यह सरल है पहलापंक्ति नंबर।

एक- अंतिमप्रगति के सदस्य। पंक्ति की अंतिम संख्या। बहुत जाना-पहचाना नाम नहीं है, लेकिन जब राशि के लिए लागू किया जाता है, तो यह बहुत उपयुक्त होता है। तब आप अपने लिए देखेंगे।

एन अंतिम सदस्य का नंबर है। यह समझना महत्वपूर्ण है कि सूत्र में यह संख्या जोड़े गए शब्दों की संख्या के साथ मेल खाता है।

आइए अवधारणा को परिभाषित करें अंतिमसदस्य एक. भरने का प्रश्न: किस प्रकार का सदस्य होगा अंतिम,अगर दिया गया अनंतअंकगणितीय प्रगति?

एक आश्वस्त उत्तर के लिए, आपको अंकगणितीय प्रगति के प्रारंभिक अर्थ को समझने की आवश्यकता है और ... असाइनमेंट को ध्यान से पढ़ें!)

अंकगणितीय प्रगति का योग खोजने के कार्य में, अंतिम शब्द हमेशा प्रकट होता है (प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष रूप से), जो सीमित होना चाहिए।अन्यथा, एक परिमित, विशिष्ट राशि बस मौजूद नहीं है।समाधान के लिए, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि किस प्रकार की प्रगति दी गई है: परिमित या अनंत। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह कैसे दिया जाता है: संख्याओं की एक श्रृंखला द्वारा, या nवें सदस्य के सूत्र द्वारा।

सबसे महत्वपूर्ण बात यह समझना है कि सूत्र प्रगति के पहले पद से संख्या वाले पद तक काम करता है एन।दरअसल, सूत्र का पूरा नाम इस प्रकार है: अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग।इन सबसे पहले सदस्यों की संख्या, यानी एन, केवल कार्य द्वारा निर्धारित किया जाता है। कार्य में, यह सभी मूल्यवान जानकारी अक्सर एन्क्रिप्ट की जाती है, हाँ ... लेकिन कुछ भी नहीं, नीचे दिए गए उदाहरणों में हम इन रहस्यों को उजागर करेंगे।)

अंकगणितीय प्रगति के योग के लिए कार्यों के उदाहरण।

सबसे पहले, उपयोगी जानकारी:

अंकगणितीय प्रगति के योग के कार्यों में मुख्य कठिनाई सूत्र के तत्वों का सही निर्धारण है।

असाइनमेंट के लेखक इन तत्वों को असीम कल्पना के साथ एन्क्रिप्ट करते हैं।) यहां मुख्य बात डरना नहीं है। तत्वों के सार को समझना, उन्हें समझने के लिए पर्याप्त है। आइए कुछ उदाहरणों को विस्तार से देखें। आइए एक वास्तविक जीआईए पर आधारित कार्य से शुरू करें।

1. अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है: a n = 2n-3.5। पहले 10 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

अच्छी नौकरी। आसान।) सूत्र के अनुसार राशि निर्धारित करने के लिए, हमें क्या जानने की आवश्यकता है? प्रथम सदस्य एक 1, पिछला कार्यकाल एक, हाँ अंतिम अवधि की संख्या एन।

अंतिम सदस्य संख्या कहाँ से प्राप्त करें एन? हाँ, उसी जगह, हालत में! यह कहते हैं कि योग खोजें पहले 10 सदस्य।अच्छा, वह कौन सा नंबर होगा अंतिम,दसवां सदस्य?) आप विश्वास नहीं करेंगे, उसका नंबर दसवां है!) इसलिए, इसके बजाय एकहम सूत्र में स्थानापन्न करेंगे एक 10, लेकिन इसके बजाय एन- दस। दोबारा, अंतिम सदस्य की संख्या सदस्यों की संख्या के समान होती है।

यह तय होना बाकी है एक 1और एक 10. यह nवें पद के सूत्र द्वारा आसानी से परिकलित किया जाता है, जो समस्या कथन में दिया गया है। पता नहीं कैसे करना है? पिछले पाठ पर जाएँ, इसके बिना - कुछ भी नहीं।

एक 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

एक 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

एस एन = एस 10.

हमें अंकगणितीय प्रगति के योग के लिए सूत्र के सभी तत्वों का अर्थ पता चला। यह उन्हें स्थानापन्न करने और गिनने के लिए बना हुआ है:

इसके लिए यही सब कुछ है। उत्तर : 75.

GIA पर आधारित एक अन्य कार्य। थोड़ा और जटिल:

2. अंकगणितीय प्रगति (एन) दी गई है, जिसका अंतर 3.7 है; ए 1 \u003d 2.3। पहले 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हम तुरंत योग सूत्र लिखते हैं:

यह सूत्र हमें किसी भी सदस्य का मान उसकी संख्या से ज्ञात करने की अनुमति देता है। हम एक साधारण प्रतिस्थापन की तलाश कर रहे हैं:

एक 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

यह अंकगणितीय प्रगति के योग के सूत्र में सभी तत्वों को प्रतिस्थापित करने और उत्तर की गणना करने के लिए बनी हुई है:

उत्तर: 423.

वैसे, योग सूत्र में अगर के बजाय एककेवल nवें पद के सूत्र को प्रतिस्थापित करें, हम पाते हैं:

हम समान देते हैं, हमें अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के योग के लिए एक नया सूत्र मिलता है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यहाँ nवें पद की आवश्यकता नहीं है। एक. कुछ कामों में यह सूत्र बहुत मदद करता है, जी हां... आप इस सूत्र को याद कर सकते हैं। और आप इसे सही समय पर वापस ले सकते हैं, जैसा कि यहाँ है। आखिरकार, योग के सूत्र और nवें पद के सूत्र को हर तरह से याद किया जाना चाहिए।)

अब संक्षिप्त एन्क्रिप्शन के रूप में कार्य):

3. तीन के गुणक वाली सभी धनात्मक दो अंकों की संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

कैसे! कोई पहला सदस्य नहीं, कोई अंतिम नहीं, कोई प्रगति नहीं... कैसे जीना है!?

आपको अपने दिमाग से सोचना होगा और अंकगणितीय प्रगति के योग के सभी तत्वों को स्थिति से बाहर निकालना होगा। दो अंकों की संख्या क्या होती है - हम जानते हैं। उनमें दो संख्याएँ होती हैं।) दो अंकों की संख्या क्या होगी पहला? 10, संभवतः।) आखिरी बातदो अंकों की संख्या? 99, बिल्कुल! तीन अंक वाले उसका अनुसरण करेंगे ...

तीन का गुणज... हम्म... ये ऐसी संख्याएँ हैं जो तीन से समान रूप से विभाज्य हैं, यहाँ! दस तीन से विभाज्य नहीं है, 11 विभाज्य नहीं है... 12... विभाज्य है! तो, कुछ उभर रहा है। आप समस्या की स्थिति के अनुसार पहले से ही एक श्रृंखला लिख ​​सकते हैं:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

क्या यह श्रृंखला अंकगणितीय प्रगति होगी? निश्चित रूप से! प्रत्येक शब्द पिछले एक से कड़ाई से तीन से भिन्न होता है। यदि पद में 2, या 4 जोड़ा जाता है, मान लीजिए परिणाम, अर्थात् एक नई संख्या अब 3 से विभाजित नहीं होगी। आप ढेर के लिए अंकगणितीय प्रगति के अंतर को तुरंत निर्धारित कर सकते हैं: डी = 3।उपयोगी!)

इसलिए, हम कुछ प्रगति मापदंडों को सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं:

नम्बर क्या होगा एनअंतिम सदस्य? जो कोई भी सोचता है कि 99 गलत है ... संख्याएं - वे हमेशा एक पंक्ति में जाती हैं, और हमारे सदस्य शीर्ष तीन पर कूदते हैं। वे मेल नहीं खाते।

यहाँ दो समाधान हैं। एक तरीका सुपर मेहनती के लिए है। आप प्रगति को पेंट कर सकते हैं, संख्याओं की पूरी श्रृंखला, और अपनी उंगली से शब्दों की संख्या गिन सकते हैं।) दूसरा तरीका विचारशील के लिए है। आपको nवें पद के सूत्र को याद रखना होगा। यदि सूत्र को हमारी समस्या पर लागू किया जाता है, तो हम पाते हैं कि 99 श्रेढ़ी का तीसवां सदस्य है। वे। एन = 30।

हम अंकगणितीय प्रगति के योग के सूत्र को देखते हैं:

हम देखते हैं और आनन्दित होते हैं।) हमने समस्या की स्थिति से राशि की गणना के लिए आवश्यक सब कुछ निकाल लिया:

एक 1= 12.

एक 30= 99.

एस एन = एस 30.

जो बचता है वह प्राथमिक अंकगणित है। सूत्र में संख्याओं को प्रतिस्थापित करें और गणना करें:

उत्तर: 1665

एक अन्य प्रकार की लोकप्रिय पहेलियाँ:

4. एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

बीसवीं से चौंतीसवीं तक की शर्तों का योग ज्ञात कीजिए।

हम योग सूत्र को देखते हैं और ... हम परेशान हैं।) सूत्र, मैं आपको याद दिला दूं, योग की गणना करता है पहले सेसदस्य। और समस्या में आपको योग की गणना करने की आवश्यकता है बीसवीं के बाद से ...फॉर्मूला काम नहीं करेगा।

आप निश्चित रूप से, पूरी प्रगति को एक पंक्ति में चित्रित कर सकते हैं, और सदस्यों को 20 से 34 तक रख सकते हैं। लेकिन ... किसी तरह यह मूर्खतापूर्ण और लंबे समय के लिए निकलता है, है ना?)

एक और अधिक सुरुचिपूर्ण समाधान है। आइए हमारी श्रृंखला को दो भागों में तोड़ते हैं। पहला भाग होगा पहले कार्यकाल से उन्नीसवीं तक।दूसरा हिस्सा - बीस से चौंतीस।यह स्पष्ट है कि यदि हम पहले भाग के पदों के योग की गणना करें एस 1-19, इसे दूसरे भाग के सदस्यों के योग में जोड़ते हैं एस 20-34, हम पहले पद से चौंतीसवें पद की प्रगति का योग प्राप्त करते हैं एस 1-34. इस कदर:

एस 1-19 + एस 20-34 = एस 1-34

इससे पता चलता है कि योग खोजने के लिए एस 20-34सरल घटाव द्वारा किया जा सकता है

एस 20-34 = एस 1-34 - एस 1-19

दाहिनी ओर के दोनों योगों पर विचार किया जाता है पहले सेसदस्य, यानी मानक योग सूत्र उन पर काफी लागू होता है। क्या हम शुरू कर रहे हैं?

हम कार्य की स्थिति से प्रगति पैरामीटर निकालते हैं:

डी = 1.5।

एक 1= -21,5.

पहले 19 और पहले 34 पदों का योग निकालने के लिए हमें 19वें और 34वें पदों की आवश्यकता होगी। हम उन्हें nवें पद के सूत्र के अनुसार गिनते हैं, जैसा कि समस्या 2 में है:

एक 19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

एक 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

वहाँ कुछ नहीं बचा है। 34 पदों के योग में से 19 पदों के योग को घटाइए:

एस 20-34 = एस 1-34 - एस 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

उत्तर: 262.5

एक महत्वपूर्ण नोट! इस समस्या को हल करने में एक बहुत ही उपयोगी विशेषता है। सीधी गणना के बजाय आपको क्या चाहिए (S 20-34),हमने गिना क्या, ऐसा प्रतीत होता है, इसकी आवश्यकता नहीं है - एस 1-19।और फिर उन्होंने निश्चय किया एस 20-34, पूर्ण परिणाम से अनावश्यक को हटाना। ऐसा "कानों के साथ झगड़ा" अक्सर बुरी पहेली में बचाता है।)

इस पाठ में, हमने उन समस्याओं की जाँच की जिनके लिए अंकगणितीय प्रगति के योग का अर्थ समझना पर्याप्त है। ठीक है, आपको कुछ सूत्रों को जानने की जरूरत है।)

प्रायोगिक उपकरण:

अंकगणितीय प्रगति के योग के लिए किसी भी समस्या को हल करते समय, मैं इस विषय से दो मुख्य सूत्र तुरंत लिखने की सलाह देता हूं।

nवें सदस्य का सूत्र:

ये सूत्र आपको तुरंत बताएंगे कि समस्या को हल करने के लिए क्या देखना है, किस दिशा में सोचना है। मदद करता है।

और अब स्वतंत्र समाधान के कार्य।

5. दो अंकों की उन सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो तीन से विभाज्य नहीं हैं।

कूल?) समस्या 4 के नोट में संकेत छिपा है। ठीक है, समस्या 3 मदद करेगी।

6. अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है: a 1 =-5.5; एक एन + 1 = एक एन +0.5। पहले 24 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

असामान्य?) यह एक आवर्ती सूत्र है। आप इसके बारे में पिछले पाठ में पढ़ सकते हैं। लिंक को नज़रअंदाज़ न करें, ऐसी पहेलियाँ अक्सर GIA में पाई जाती हैं।

7. वासिया ने छुट्टी के लिए पैसे बचाए। जितना 4550 रूबल! और मैंने सबसे प्यारे व्यक्ति (खुद को) को कुछ दिनों की खुशी देने का फैसला किया)। अपने आप को कुछ भी नकारे बिना खूबसूरती से जिएं। पहले दिन 500 रूबल खर्च करें, और बाद के प्रत्येक दिन पिछले एक की तुलना में 50 रूबल अधिक खर्च करें! जब तक पैसा खत्म नहीं हो जाता। वास्या को कितने दिनों का सुख मिला?

क्या यह मुश्किल है?) कार्य 2 से एक अतिरिक्त सूत्र मदद करेगा।

उत्तर (अव्यवस्था में): 7, 3240, 6।

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वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

अंकगणितीय प्रगतिसंख्याओं का एक क्रम नाम दें (एक प्रगति के सदस्य)

जिसमें प्रत्येक बाद का पद पिछले वाले से स्टील शब्द से भिन्न होता है, जिसे भी कहा जाता है कदम या प्रगति अंतर.

इस प्रकार, प्रगति के चरण और उसके पहले पद को निर्धारित करके, आप सूत्र का उपयोग करके इसके किसी भी तत्व का पता लगा सकते हैं

एक अंकगणितीय प्रगति के गुण

1) अंकगणितीय श्रेणी का प्रत्येक सदस्य, दूसरी संख्या से शुरू होकर, श्रेणी के पिछले और अगले सदस्य का अंकगणितीय माध्य है

इसका उलटा भी सच है। यदि प्रगति के पड़ोसी विषम (सम) सदस्यों का अंकगणितीय माध्य उस सदस्य के बराबर है जो उनके बीच खड़ा है, तो संख्याओं का यह क्रम अंकगणितीय प्रगति है। इस अभिकथन से किसी भी अनुक्रम की जाँच करना बहुत आसान है।

साथ ही अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति द्वारा, उपरोक्त सूत्र को निम्नलिखित के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है

यदि हम पदों को समान चिह्न के दाईं ओर लिखते हैं तो इसे सत्यापित करना आसान होता है

समस्याओं में गणना को सरल बनाने के लिए इसका प्रयोग अक्सर अभ्यास में किया जाता है।

2) अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों के योग की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

अंकगणितीय प्रगति के योग के सूत्र को अच्छी तरह याद रखें, यह गणना में अनिवार्य है और सरल जीवन स्थितियों में काफी सामान्य है।

3) यदि आपको संपूर्ण योग नहीं, बल्कि इसके k -th सदस्य से शुरू होने वाले अनुक्रम का एक भाग ज्ञात करना है, तो निम्नलिखित योग सूत्र आपके काम आएगा

4) k वें नंबर से शुरू होने वाली अंकगणितीय प्रगति के n सदस्यों का योग ज्ञात करना व्यावहारिक रुचि है। ऐसा करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें

यहीं पर सैद्धांतिक सामग्री समाप्त हो जाती है और हम उन समस्याओं को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं जो व्यवहार में आम हैं।

उदाहरण 1. समांतर श्रेढ़ी 4;7;... का चालीसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान:

शर्त के अनुसार, हमारे पास है

प्रगति चरण को परिभाषित करें

सुप्रसिद्ध सूत्र के अनुसार, हम श्रेढ़ी का चालीसवाँ पद ज्ञात करते हैं

उदाहरण 2। अंकगणितीय प्रगति इसके तीसरे और सातवें सदस्यों द्वारा दी गई है। श्रेढ़ी का पहला पद और दस का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

हम प्रगति के दिए गए तत्वों को सूत्रों के अनुसार लिखते हैं

हम पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाते हैं, परिणामस्वरूप हम प्रगति चरण पाते हैं

अंकगणितीय प्रगति का पहला पद ज्ञात करने के लिए पाया गया मान किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है

प्रगति के पहले दस पदों के योग की गणना करें

जटिल गणनाओं को लागू किए बिना, हमें सभी आवश्यक मान मिले।

उदाहरण 3. एक अंकगणितीय श्रेढ़ी हर और उसके सदस्यों में से एक द्वारा दी गई है। श्रेढ़ी का पहला पद, 50 से शुरू करते हुए इसके 50 पदों का योग और पहले 100 का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

आइए प्रगति के सौवें तत्व के लिए सूत्र लिखें

और पहले का पता लगाएं

पहले के आधार पर, हम श्रेढ़ी का 50वाँ पद ज्ञात करते हैं

प्रगति के हिस्से का योग ढूँढना

और पहले 100 का योग

प्रगति का योग 250 है।

उदाहरण 4

अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संख्या ज्ञात करें यदि:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

समाधान:

हम पहले पद और प्रगति के चरण के संदर्भ में समीकरण लिखते हैं और उन्हें परिभाषित करते हैं

योग में सदस्यों की संख्या निर्धारित करने के लिए हम प्राप्त मूल्यों को योग सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं

सरलीकरण करना

और द्विघात समीकरण को हल करें

प्राप्त दो मानों में से केवल 8 अंक ही समस्या की स्थिति के लिए उपयुक्त है। इस प्रकार श्रेढ़ी के पहले आठ पदों का योग 111 है।

उदाहरण 5

प्रश्न हल करें

1+3+5+...+x=307.

हल: यह समीकरण अंकगणितीय श्रेढ़ी का योग है। हम इसका पहला पद लिखते हैं और श्रेढ़ी का अंतर ज्ञात करते हैं

चतुर्थ याकोवलेव | गणित पर सामग्री | MathUs.ru

अंकगणितीय प्रगति

एक अंकगणितीय प्रगति एक विशेष प्रकार का अनुक्रम है। इसलिए, एक अंकगणितीय (और फिर ज्यामितीय) श्रेणी को परिभाषित करने से पहले, हमें संख्या अनुक्रम की महत्वपूर्ण अवधारणा पर संक्षेप में चर्चा करने की आवश्यकता है।

परिणाम को

स्क्रीन पर एक डिवाइस की कल्पना करें जिसमें कुछ नंबर एक के बाद एक प्रदर्शित होते हैं। मान लीजिए 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : संख्याओं का ऐसा समूह अनुक्रम का एक उदाहरण मात्र है।

परिभाषा। एक संख्यात्मक अनुक्रम संख्याओं का एक समूह है जिसमें प्रत्येक संख्या को एक अद्वितीय संख्या निर्दिष्ट की जा सकती है (अर्थात, एक प्राकृतिक संख्या के साथ पत्राचार में रखा जाता है)। संख्या n वाली संख्या को अनुक्रम का nवाँ सदस्य कहा जाता है।

तो, उपरोक्त उदाहरण में, पहली संख्या में संख्या 2 है, जो अनुक्रम का पहला सदस्य है, जिसे a1 द्वारा निरूपित किया जा सकता है; संख्या पाँच में संख्या 6 है जो अनुक्रम का पाँचवाँ सदस्य है, जिसे a5 निरूपित किया जा सकता है। सामान्य तौर पर, किसी अनुक्रम के nवें सदस्य को a (या bn , cn , आदि) द्वारा दर्शाया जाता है।

एक बहुत ही सुविधाजनक स्थिति तब होती है जब अनुक्रम के nवें सदस्य को किसी सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सूत्र a = 2n 3 अनुक्रम निर्दिष्ट करता है: 1; 1; 3; 5; 7; : : सूत्र a = (1)n अनुक्रम को परिभाषित करता है: 1; 1; 1; 1; : : :

संख्याओं का प्रत्येक समुच्चय एक क्रम नहीं होता है। तो, एक खंड एक अनुक्रम नहीं है; इसमें पुनर्संख्यांकित करने के लिए ¾बहुत अधिक¿ संख्याएँ हैं। सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R भी अनुक्रम नहीं है। ये तथ्य गणितीय विश्लेषण के क्रम में सिद्ध होते हैं।

अंकगणितीय प्रगति: बुनियादी परिभाषाएँ

अब हम अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित करने के लिए तैयार हैं।

परिभाषा। एक अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक पद (दूसरे से शुरू) पिछले पद के योग के बराबर होता है और कुछ निश्चित संख्या (अंकगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है)।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम 2; 5; 8; ग्यारह; : : : एक अंकगणितीय श्रेढ़ी है जिसका पहला पद 2 और अंतर 3 है। क्रम 7; 2; 3; 8; : : : एक अंकगणितीय श्रेढ़ी है जिसका पहला पद 7 और अंतर 5 है। क्रम 3; 3; 3; : : : शून्य अंतर वाली अंकगणितीय श्रेढ़ी है।

समतुल्य परिभाषा: एक अनुक्रम a को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है यदि अंतर a+1 an एक स्थिर मान है (n पर निर्भर नहीं)।

एक अंकगणितीय प्रगति को बढ़ता हुआ कहा जाता है यदि इसका अंतर सकारात्मक है, और यदि इसका अंतर नकारात्मक है तो घट रहा है।

1 और यहाँ एक अधिक संक्षिप्त परिभाषा है: अनुक्रम प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर परिभाषित एक फलन है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं का क्रम फलन f: N! आर।

डिफ़ॉल्ट रूप से, अनुक्रमों को अनंत माना जाता है, अर्थात, जिसमें अनंत संख्याएँ होती हैं। लेकिन कोई भी परिमित अनुक्रमों पर विचार करने की जहमत नहीं उठाता; वास्तव में, संख्याओं के किसी भी परिमित समुच्चय को परिमित अनुक्रम कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, अंतिम अनुक्रम 1; 2; 3; 4; 5 में पाँच संख्याएँ होती हैं।

अंकगणितीय प्रगति के nवें सदस्य का सूत्र

यह समझना आसान है कि अंकगणितीय प्रगति पूरी तरह से दो संख्याओं द्वारा निर्धारित होती है: पहला पद और अंतर। इसलिए, प्रश्न उठता है: कैसे, पहले पद और अंतर को जानने के बाद, अंकगणितीय प्रगति का एक मनमाना पद ज्ञात करें?

समांतर श्रेढ़ी के nवें पद के लिए वांछित सूत्र प्राप्त करना कठिन नहीं है। चलो एक

अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति d. अपने पास:
an+1 = a + d (n = 1; 2; : ::):
विशेष रूप से, हम लिखते हैं:
ए2 = ए1 + डी;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
और अब यह स्पष्ट हो गया है कि a का सूत्र है:
ए = ए1 + (एन 1)डी:

टास्क 1. अंकगणितीय प्रगति 2 में; 5; 8; ग्यारह; : : : nवें पद का सूत्र ज्ञात कीजिए और सौवें पद की गणना कीजिए।

समाधान। सूत्र (1) के अनुसार हमारे पास है:

ए = 2 + 3(एन 1) = 3एन 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

संपत्ति और अंकगणितीय प्रगति का संकेत

एक अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति। अंकगणितीय प्रगति में किसी के लिए

दूसरे शब्दों में, अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य (दूसरे से शुरू) पड़ोसी सदस्यों का अंकगणितीय माध्य है।

	सबूत। अपने पास:
	एक n 1+ एक n+1		(ए डी) + (ए + डी)

जो कि आवश्यक था।

अधिक आम तौर पर, अंकगणितीय प्रगति समानता को संतुष्ट करती है

एक एन = एक एन के + एक एन + के

किसी भी n > 2 और किसी भी प्राकृतिक k के लिए< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

यह पता चला है कि सूत्र (2) न केवल एक आवश्यक बल्कि एक अंकगणितीय प्रगति होने के लिए एक अनुक्रम के लिए पर्याप्त स्थिति भी है।

एक अंकगणितीय प्रगति का संकेत। यदि समानता (2) सभी n > 2 पर लागू होती है, तो अनुक्रम a अंकगणितीय प्रगति है।

सबूत। आइए सूत्र (2) को निम्नानुसार फिर से लिखें:

एक ना एन 1= एक एन+1ए एन:

इससे पता चलता है कि अंतर a+1 a n पर निर्भर नहीं करता है, और इसका मतलब यह है कि अनुक्रम a अंकगणितीय प्रगति है।

गुण और एक अंकगणितीय प्रगति का संकेत एक बयान के रूप में तैयार किया जा सकता है; सुविधा के लिए, हम इसे तीन नंबरों के लिए करेंगे (यह स्थिति अक्सर समस्याओं में होती है)।

एक अंकगणितीय प्रगति की विशेषता। तीन संख्याएँ a, b, c एक समांतर श्रेणी बनाती हैं यदि और केवल यदि 2b = a + c।

समस्या 2. (मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी, अर्थशास्त्र के संकाय, 2007) निर्दिष्ट क्रम में तीन संख्याएं 8x, 3 x2 और 4 घटती अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं। एक्स खोजें और इस प्रगति का अंतर लिखें।

समाधान। अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति से, हमारे पास है:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; एक्स = 5:

यदि x = 1, तो 8, 2, 4 की घटती हुई श्रेढ़ी 6 के अंतर से प्राप्त होती है। यदि x = 5, तो 40, 22, 4 की वर्धमान श्रेढ़ी प्राप्त होती है; यह मामला काम नहीं करता।

उत्तर: x = 1, अंतर 6 है।

अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग

किंवदंती कहती है कि एक बार शिक्षक ने बच्चों को 1 से 100 तक की संख्याओं का योग खोजने के लिए कहा और चुपचाप अखबार पढ़ने बैठ गए। हालाँकि, कुछ ही मिनटों में, एक लड़के ने कहा कि उसने समस्या हल कर दी है। यह 9 वर्षीय कार्ल फ्रेडरिक गॉस था, जो बाद में इतिहास के महानतम गणितज्ञों में से एक था।

लिटिल गॉस का विचार यह था। होने देना

एस = 1 + 2 + 3 + : : : : + 98 + 99 + 100:

इस योग को उल्टे क्रम में लिखते हैं:

एस = 100 + 99 + 98 + : : : : + 3 + 2 + 1;

और इन दो सूत्रों को जोड़ें:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

कोष्ठक में प्रत्येक पद 101 के बराबर है, और कुल 100 ऐसे पद हैं। इसलिए

2S = 101 100 = 10100;

हम इस विचार का उपयोग योग सूत्र प्राप्त करने के लिए करते हैं

एस = ए1 + ए2 + : : : + ए + एन एन: (3)

सूत्र (3) का एक उपयोगी संशोधन nवें पद a = a1 + (n 1)d के सूत्र को इसमें प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है:

		2ए1 + (एन 1)डी

टास्क 3। 13 से विभाज्य सभी सकारात्मक तीन अंकों की संख्या का योग ज्ञात करें।

समाधान। तीन अंकों की संख्याएँ जो 13 की गुणज हैं, पहले पद 104 और अंतर 13 के साथ अंकगणितीय श्रेढ़ी बनाती हैं; इस श्रेढ़ी का nवाँ पद है:

ए = 104 + 13(एन 1) = 91 + 13एन:

आइए जानें कि हमारी प्रगति में कितने सदस्य हैं। ऐसा करने के लिए, हम असमानता को हल करते हैं:

एक 6999; 91 + 13एन 6999;

एन 6 908 13 = 6911 13; एन 6 69:

तो हमारी प्रगति में 69 सदस्य हैं। सूत्र (4) के अनुसार हम आवश्यक राशि पाते हैं:

एस = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

सूत्र का सार क्या है?

यह सूत्र आपको खोजने की अनुमति देता है कोई उसके नंबर से" एन" .

बेशक, आपको पहला कार्यकाल जानने की जरूरत है एक 1और प्रगति अंतर डी, ठीक है, इन मापदंडों के बिना, आप एक विशिष्ट प्रगति नहीं लिख सकते।

इस फॉर्मूले को याद कर लेना (या धोखा देना) काफी नहीं है। इसके सार को आत्मसात करना और सूत्र को विभिन्न समस्याओं में लागू करना आवश्यक है। हाँ, और सही समय पर मत भूलना, हाँ ...) कैसे भूलना नहीं- मुझें नहीं पता। और यहां कैसे याद करेंअगर जरूरत पड़ी तो मैं आपको एक संकेत दूंगा। उन लोगों के लिए जो पाठ को अंत तक सीखते हैं।)

तो, चलिए अंकगणितीय प्रगति के एन-वें सदस्य के सूत्र से निपटते हैं।

सामान्य रूप में एक सूत्र क्या है - हम कल्पना करते हैं।) एक अंकगणितीय प्रगति, एक सदस्य संख्या, एक प्रगति अंतर क्या है - पिछले पाठ में स्पष्ट रूप से बताया गया है। अगर आपने इसे नहीं पढ़ा है तो देख लें। वहां सब कुछ सरल है। यह पता लगाना बाकी है वां सदस्य।

सामान्य रूप से प्रगति को संख्याओं की एक श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है:

एक 1, एक 2, एक 3, एक 4, एक 5, .....

एक 1- अंकगणितीय प्रगति के पहले पद को दर्शाता है, एक 3- तीसरा सदस्य एक 4- चौथा, और इसी तरह। यदि हम पाँचवें कार्यकाल में रुचि रखते हैं, तो मान लें कि हम साथ काम कर रहे हैं एक 5, अगर एक सौ बीसवीं - से एक 120.

सामान्य रूप से कैसे परिभाषित करें कोईएक अंकगणितीय प्रगति के सदस्य, एस कोईसंख्या? बहुत सरल! इस कदर:

एक

यह वही है एक अंकगणितीय प्रगति का n-वाँ सदस्य।पत्र एन के तहत सभी सदस्यों की संख्या एक साथ छिपी हुई है: 1, 2, 3, 4, और इसी तरह।

और ऐसा रिकॉर्ड हमें क्या देता है? जरा सोचिए, उन्होंने नंबर की जगह एक खत लिख दिया...

यह अंकन हमें अंकगणितीय प्रगति के साथ काम करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण देता है। अंकन का उपयोग करना एक, हम जल्दी से पा सकते हैं कोईसदस्य कोईअंकगणितीय प्रगति। और प्रगति में हल करने के लिए कार्यों का एक समूह। आप आगे देखेंगे।

अंकगणितीय प्रगति के nवें सदस्य के सूत्र में:

एक एन = एक 1 + (एन-1)घ

एक 1- अंकगणितीय प्रगति का पहला सदस्य;

एन- सदस्य संख्या।

सूत्र किसी भी प्रगति के प्रमुख मापदंडों को जोड़ता है: एक ; एक 1; डीऔर एन. इन मापदंडों के आसपास, सभी पहेलियाँ प्रगति में घूमती हैं।

nवाँ पद सूत्र का उपयोग एक विशिष्ट प्रगति लिखने के लिए भी किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समस्या में यह कहा जा सकता है कि स्थिति द्वारा प्रगति दी गई है:

एन = 5 + (एन -1) 2।

इस तरह की समस्या भ्रमित भी कर सकती है ... कोई श्रृंखला नहीं है, कोई अंतर नहीं है ... लेकिन सूत्र के साथ स्थिति की तुलना करके यह पता लगाना आसान है कि इस प्रगति में ए 1 \u003d 5, और डी \u003d 2।

और यह और भी अधिक क्रोधित हो सकता है!) यदि हम एक ही स्थिति लें: एक एन = 5 + (एन-1) 2,हाँ, कोष्ठक खोलो और समान दो? हमें एक नया सूत्र मिलता है:

ए = 3 + 2एन।

यह केवल सामान्य नहीं, बल्कि एक विशिष्ट प्रगति के लिए। यहीं पर गड्ढा होता है। कुछ लोग सोचते हैं कि पहला पद तीन है। हालांकि वास्तव में पहला सदस्य एक पांच है... थोड़ा कम हम इस तरह के एक संशोधित सूत्र के साथ काम करेंगे।

प्रगति के कार्यों में एक और अंकन है - एक एन + 1. यह, आपने अनुमान लगाया है, प्रगति का "एन प्लस द फर्स्ट" शब्द है। इसका अर्थ सरल और हानिरहित है।) यह प्रगति का एक सदस्य है, जिसकी संख्या संख्या n से एक से अधिक है। उदाहरण के लिए, यदि हम किसी समस्या में लेते हैं एकपांचवां कार्यकाल, फिर एक एन + 1छठे सदस्य होंगे। वगैरह।

सबसे अधिक बार पदनाम एक एन + 1पुनरावर्ती सूत्रों में होता है। इस भयानक शब्द से डरो मत!) यह अंकगणितीय प्रगति की अवधि को व्यक्त करने का एक तरीका है पिछले एक के माध्यम से।मान लीजिए कि आवर्ती सूत्र का उपयोग करके हमें इस रूप में अंकगणितीय प्रगति दी गई है:

एक एन + 1 = एक एन +3

ए 2 = ए 1 + 3 = 5 + 3 = 8

एक 3 = एक 2 + 3 = 8 + 3 = 11

चौथा - तीसरे के माध्यम से, पांचवां - चौथे के माध्यम से, और इसी तरह। और तुरंत कैसे गिनें, बीसवाँ पद कहें, एक 20? लेकिन कोई रास्ता नहीं!) जबकि 19वाँ ​​पद ज्ञात नहीं है, 20वाँ पद गिना नहीं जा सकता है। यह पुनरावर्ती सूत्र और nवें पद के सूत्र के बीच मूलभूत अंतर है। रिकर्सिव के माध्यम से ही काम करता है पहले कापद, और nवें पद का सूत्र - के माध्यम से पहलाऔर अनुमति देता है तुरंतकिसी भी सदस्य को उसकी संख्या से खोजें। संख्याओं की पूरी श्रृंखला को क्रम से नहीं गिनना।

एक अंकगणितीय प्रगति में, एक पुनरावर्ती सूत्र को आसानी से एक नियमित सूत्र में बदला जा सकता है। लगातार शब्दों की एक जोड़ी गिनें, अंतर की गणना करें डी,यदि आवश्यक हो, तो पहला कार्यकाल खोजें एक 1, सूत्र को सामान्य रूप में लिखें, और उसके साथ काम करें। जीआईए में ऐसे कार्य अक्सर पाए जाते हैं।

अंकगणितीय प्रगति के एन-वें सदस्य के सूत्र का अनुप्रयोग।

पहले, आइए सूत्र के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग को देखें। पिछले पाठ के अंत में एक समस्या थी:

एक अंकगणितीय प्रगति (एन) दी गई है। एक 121 ज्ञात करें यदि a 1 =3 और d=1/6 है।

अंकगणितीय प्रगति के अर्थ के आधार पर, इस समस्या को बिना किसी सूत्र के हल किया जा सकता है। जोड़ें, हाँ जोड़ें ... एक या दो घंटे।)

और सूत्र के अनुसार समाधान में एक मिनट से भी कम समय लगेगा। आप इसे समय दे सकते हैं।) हम तय करते हैं।

शर्तें सूत्र का उपयोग करने के लिए सभी डेटा प्रदान करती हैं: ए 1 \u003d 3, डी \u003d 1/6।यह देखना बाकी है कि क्या एन।कोई बात नहीं! हमें खोजने की जरूरत है एक 121. यहाँ हम लिखते हैं:

कृपया ध्यान दीजिए! इंडेक्स के बजाय एनएक विशिष्ट संख्या दिखाई दी: 121। जो काफी तार्किक है।) हम अंकगणितीय प्रगति के सदस्य में रुचि रखते हैं संख्या एक सौ इक्कीस।यह हमारा होगा एन।यही अर्थ है एन= 121 हम आगे सूत्र में, कोष्ठक में स्थानापन्न करेंगे। सूत्र में सभी संख्याओं को प्रतिस्थापित करें और गणना करें:

एक 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

इसके लिए यही सब कुछ है। जितनी जल्दी कोई पाँच सौ दसवाँ सदस्य, और एक हज़ार तीसरा, कोई भी पा सकता है। हम इसके बजाय डालते हैं एनपत्र के सूचकांक में वांछित संख्या " ए"और कोष्ठक में, और हम विचार करते हैं।

मैं आपको सार याद दिलाता हूं: यह सूत्र आपको खोजने की अनुमति देता है कोईएक अंकगणितीय प्रगति की अवधि उसके नंबर से" एन" .

आइए समस्या को समझदारी से हल करें। मान लें कि हमें निम्नलिखित समस्या है:

समांतर श्रेढ़ी का पहला पद ज्ञात कीजिए (a n) यदि a 17 =-2; डी = -0.5।

यदि आपको कोई कठिनाई आती है, तो मैं पहला कदम सुझाऊंगा। अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र लिखिए!हां हां। हाथ से लिखें, ठीक आपकी नोटबुक में:

एक एन = एक 1 + (एन-1)घ

और अब, सूत्र के अक्षरों को देखते हुए, हम समझते हैं कि हमारे पास क्या डेटा है और क्या गायब है? उपलब्ध डी = -0.5,सत्रहवां सदस्य है ... सब कुछ? अगर आपको लगता है कि बस इतना ही है तो आप समस्या का समाधान नहीं कर सकते, जी हां...

हमारा भी एक नंबर है एन! हालत में एक 17 = -2छिपा हुआ दो विकल्प।यह सत्रहवें सदस्य (-2) और इसकी संख्या (17) दोनों का मान है। वे। एन = 17।यह "छोटी चीज़" अक्सर सिर के पिछले हिस्से से फिसल जाती है, और इसके बिना, ("छोटी चीज़" के बिना, सिर नहीं!) समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। हालांकि ... और बिना सिर के भी।)

अब हम बेवकूफी से अपने डेटा को सूत्र में बदल सकते हैं:

एक 17 \u003d एक 1 + (17-1) (-0.5)

ओह हां, एक 17हम जानते हैं कि यह -2 है। ठीक है, चलिए इसे डालते हैं:

-2 \u003d ए 1 + (17-1) (-0.5)

वह, संक्षेप में, सब है। यह सूत्र से अंकगणितीय प्रगति की पहली अवधि को व्यक्त करने और गणना करने के लिए बनी हुई है। आपको जवाब मिलता है: एक 1 = 6।

ऐसी तकनीक - एक सूत्र लिखना और केवल ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करना - सरल कार्यों में बहुत मदद करता है। ठीक है, आपको निश्चित रूप से एक सूत्र से एक चर को व्यक्त करने में सक्षम होना चाहिए, लेकिन क्या करें !? इस कौशल के बिना गणित का अध्ययन बिल्कुल नहीं किया जा सकता है ...

एक अन्य लोकप्रिय समस्या:

समांतर श्रेढ़ी का अंतर ज्ञात कीजिए (a n) यदि a 1 =2; एक 15 = 12।

हम क्या कर रहे हैं? आप हैरान होंगे, हम सूत्र लिखते हैं!)

एक एन = एक 1 + (एन-1)घ

हम जो जानते हैं उस पर विचार करें: ए 1 = 2; एक 15 =12; और (विशेष हाइलाइट!) एन = 15। सूत्र में स्थानापन्न करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें:

12=2 + (15-1)डी

चलो अंकगणित करते हैं।)

12=2 + 14डी

डी=10/14 = 5/7

यह सही जवाब है।

तो, कार्य एक एन, एक 1और डीतय। यह सीखना बाकी है कि संख्या कैसे ज्ञात करें:

संख्या 99 अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य है, जहां 1 = 12; डी = 3। इस सदस्य की संख्या ज्ञात कीजिए।

हम ज्ञात मात्राओं को nवें पद के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

एक n = 12 + (n-1) 3

पहली नज़र में, यहाँ दो अज्ञात राशियाँ हैं: एक एन और एन।लेकिन एकसंख्या के साथ प्रगति का कुछ सदस्य है एन... और प्रगति के इस सदस्य को हम जानते हैं! यह 99 है। हम उसकी संख्या नहीं जानते। एन,तो यह संख्या भी खोजने की जरूरत है। सूत्र में प्रगति पद 99 को प्रतिस्थापित करें:

99 = 12 + (एन-1) 3

हम सूत्र से व्यक्त करते हैं एन, हमें लगता है कि। हमें उत्तर मिलता है: एन = 30।

और अब उसी विषय पर एक समस्या, लेकिन अधिक रचनात्मक):

निर्धारित करें कि संख्या 117 अंकगणितीय प्रगति का सदस्य होगा (एन):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

आइए सूत्र को फिर से लिखें। क्या, कोई पैरामीटर नहीं हैं? हम्म... हमें आँखों की आवश्यकता क्यों है?) क्या हम प्रगति के पहले सदस्य को देखते हैं? हम देखते हैं। यह -3.6 है। आप सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं: ए 1 \u003d -3.6।अंतर डीश्रृंखला से ज्ञात किया जा सकता है? यदि आप जानते हैं कि अंकगणितीय प्रगति का अंतर क्या है तो यह आसान है:

डी = -2.4 - (-3.6) = 1.2

हाँ, हमने सबसे आसान काम किया। यह एक अज्ञात संख्या से निपटने के लिए बनी हुई है एनऔर एक समझ से बाहर संख्या 117। पिछली समस्या में, कम से कम यह ज्ञात था कि यह दी गई प्रगति की अवधि थी। लेकिन यहाँ हम यह भी नहीं जानते कि ... कैसे हो !? खैर, कैसे हो, कैसे हो... अपनी रचनात्मक क्षमताओं को चालू करें!)

हम कल्पना करनाआखिरकार, वह 117 हमारी प्रगति का एक सदस्य है। किसी अनजान नंबर से एन. और, पिछली समस्या की तरह, आइए इस संख्या को खोजने का प्रयास करें। वे। हम सूत्र लिखते हैं (हाँ-हाँ!)) और अपनी संख्याएँ प्रतिस्थापित करते हैं:

117 = -3.6 + (एन-1) 1.2

फिर से हम सूत्र से व्यक्त करते हैंएन, हम गिनते हैं और प्राप्त करते हैं:

उफ़! नंबर निकला आंशिक!डेढ़ सौ। और भिन्नात्मक संख्या क्रम में हो नहीं सकता।हम क्या निष्कर्ष निकालते हैं? हाँ! संख्या 117 क्या नहीं हैहमारी प्रगति का सदस्य। यह कहीं 101वें और 102वें सदस्यों के बीच है। यदि संख्या प्राकृतिक निकली, अर्थात। सकारात्मक पूर्णांक, तो संख्या मिली संख्या के साथ प्रगति का सदस्य होगी। और हमारे मामले में, समस्या का उत्तर होगा: नहीं।

GIA के वास्तविक संस्करण पर आधारित कार्य:

अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है:

एक n \u003d -4 + 6.8n

श्रेढ़ी का पहला और दसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

यहां प्रगति को असामान्य तरीके से सेट किया गया है। किसी प्रकार का सूत्र... होता है।) तथापि, यह सूत्र (जैसा कि मैंने ऊपर लिखा है) - अंकगणितीय प्रगति के एन-वें सदस्य का सूत्र भी!वह अनुमति भी देती है प्रगति के किसी भी सदस्य को उसकी संख्या से खोजें।

हम पहले सदस्य की तलाश कर रहे हैं। वह जो सोचता है। कि पहला पद माइनस चार है, मोटे तौर पर गलत है!) क्योंकि समस्या में सूत्र संशोधित है। इसमें अंकगणितीय प्रगति का पहला पद छिपा हुआ।कुछ नहीं, हम इसे अभी खोज लेंगे।)

पिछले कार्यों की तरह ही, हम स्थानापन्न करते हैं एन = 1इस सूत्र में:

ए 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

यहाँ! पहला पद 2.8 है, न कि -4!

इसी तरह, हम दसवें पद की तलाश कर रहे हैं:

एक 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

इसके लिए यही सब कुछ है।

और अब, उन लोगों के लिए जिन्होंने इन पंक्तियों को पढ़ा है, वादा किया गया बोनस।)

मान लीजिए, GIA या एकीकृत राज्य परीक्षा की एक कठिन मुकाबला स्थिति में, आप अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य के उपयोगी सूत्र को भूल गए। कुछ मन में आता है, लेकिन किसी तरह अनिश्चितता ... चाहे एनवहाँ, या एन + 1, या एन-1...हो कैसे!?

शांत! यह सूत्र निकालना आसान है। बहुत सख्त नहीं है, लेकिन आत्मविश्वास और सही निर्णय के लिए निश्चित रूप से पर्याप्त है!) निष्कर्ष के लिए, यह अंकगणितीय प्रगति के प्राथमिक अर्थ को याद रखने और कुछ मिनटों के समय के लिए पर्याप्त है। आपको बस एक चित्र बनाने की जरूरत है। विस्तृत जानकारी के लिए।

हम एक संख्यात्मक अक्ष बनाते हैं और उस पर पहले वाले को चिह्नित करते हैं। दूसरा, तीसरा, आदि सदस्य। और अंतर नोट करें डीसदस्यों के बीच। इस कदर:

हम चित्र को देखते हैं और सोचते हैं: दूसरा पद किसके बराबर है? दूसरा एक डी:

ए 2 = एक 1 + 1 डी

तीसरा कार्यकाल क्या है? तीसराटर्म पहले टर्म प्लस के बराबर है दो डी.

ए 3 = एक 1 + 2 डी

आपको समझ आया? मैं व्यर्थ में कुछ शब्दों को बोल्ड में नहीं डालता। ठीक है, एक और कदम।)

चौथा कार्यकाल क्या है? चौथीटर्म पहले टर्म प्लस के बराबर है तीन डी.

ए 4 = एक 1 + 3 डी

यह महसूस करने का समय है कि अंतराल की संख्या, यानी। डी, हमेशा आप जिस सदस्य की तलाश कर रहे हैं, उसकी संख्या से एक कम एन. यानी संख्या तक एन, अंतराल की संख्याइच्छा एन-1।तो, सूत्र होगा (कोई विकल्प नहीं!):

एक एन = एक 1 + (एन-1)घ

सामान्यतः दृश्य चित्र गणित की अनेक समस्याओं को हल करने में बहुत सहायक होते हैं। चित्रों की उपेक्षा मत करो। लेकिन अगर चित्र बनाना मुश्किल है, तो ... केवल एक सूत्र!) इसके अलावा, nवें पद का सूत्र आपको गणित के संपूर्ण शक्तिशाली शस्त्रागार को समाधान - समीकरणों, असमानताओं, प्रणालियों, आदि से जोड़ने की अनुमति देता है। आप समीकरण में तस्वीर नहीं लगा सकते...

स्वतंत्र निर्णय के लिए कार्य।

वार्म-अप के लिए:

1. अंकगणितीय श्रेढ़ी में (a n) a 2 =3; ए 5 \u003d 5.1। एक 3 खोजें।

संकेत: चित्र के अनुसार, समस्या 20 सेकंड में हल हो जाती है ... सूत्र के अनुसार, यह अधिक कठिन हो जाता है। लेकिन सूत्र में महारत हासिल करने के लिए यह अधिक उपयोगी है।) धारा 555 में, इस समस्या को चित्र और सूत्र दोनों द्वारा हल किया गया है। फर्क महसूस करो!)

और यह अब वार्म-अप नहीं है।)

2. अंकगणितीय प्रगति में (एन) ए 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. a 3 ज्ञात कीजिये।

क्या, चित्र बनाने की अनिच्छा?) फिर भी! यह सूत्र में बेहतर है, हाँ...

3. अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है:ए 1 \u003d -5.5; एक एन + 1 = एक एन +0.5। इस श्रेणी का एक सौ पच्चीसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

इस कार्य में, प्रगति को आवर्तक तरीके से दिया जाता है। लेकिन एक सौ पच्चीसवें पद तक की गिनती... हर कोई ऐसा कारनामा नहीं कर सकता।) लेकिन nवें पद का सूत्र हर किसी की शक्ति के भीतर है!

4. एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है (एक एन):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

श्रेणी के सबसे छोटे धनात्मक पद की संख्या ज्ञात कीजिए।

5. कार्य 4 की स्थिति के अनुसार, श्रेणी के सबसे छोटे धनात्मक और सबसे बड़े ऋणात्मक सदस्यों का योग ज्ञात कीजिए।

6. बढ़ती अंकगणितीय प्रगति की पांचवीं और बारहवीं शर्तों का उत्पाद -2.5 है, और तीसरी और ग्यारहवीं शर्तों का योग शून्य है। एक 14 खोजें।

सबसे आसान काम नहीं है, हाँ ...) यहाँ "उंगलियों पर" विधि काम नहीं करेगी। आपको सूत्र लिखने हैं और समीकरणों को हल करना है।

उत्तर (विवाद में):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

घटित? यह अच्छा है!)

सब कुछ नहीं चलता? ह ाेती है। वैसे लास्ट टास्क में एक सूक्ष्म बात है। समस्या को पढ़ते समय ध्यान देने की आवश्यकता होगी। और तर्क।

इन सभी समस्याओं के समाधान की धारा 555 में विस्तार से चर्चा की गई है। और चौथे के लिए फंतासी तत्व, और छठे के लिए सूक्ष्म क्षण, और एनवें पद के सूत्र के लिए किसी भी समस्या को हल करने के लिए सामान्य दृष्टिकोण - सब कुछ चित्रित किया गया है। मेरा सुझाव है।

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