सामान्य फलनों की परिभाषा के क्षेत्र खोजने के लिए, इस पाठ में हम एक चर वाले समीकरणों और असमानताओं को हल करेंगे।

आपके लिए स्वयं हल करने के लिए समस्याएं भी होंगी, जिनके उत्तर आप देख सकते हैं।

किसी फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र क्या है? आइए चित्र में फ़ंक्शन के ग्राफ़ को देखें। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर प्रत्येक बिंदु "x" के एक निश्चित मान से मेल खाता है - फ़ंक्शन का तर्क और "y" का एक निश्चित मान - स्वयं फ़ंक्शन। तर्क से - "x" - "y" - फ़ंक्शन का मान - की गणना की जाती है। किसी फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र "x" के सभी मानों का समूह है जिसके लिए "y" - फ़ंक्शन का मान - मौजूद है, अर्थात गणना की जा सकती है। दूसरे शब्दों में, तर्क मानों का सेट जिस पर "फ़ंक्शन काम करता है"। अधिकांश फ़ंक्शन सूत्रों द्वारा निर्दिष्ट होते हैं। इसलिए, किसी फ़ंक्शन का डोमेन भी सबसे बड़ा सेट होता है जिस पर सूत्र समझ में आता है।

यह चित्र फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। भिन्न का हर शून्य के बराबर नहीं हो सकता, क्योंकि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते। इसलिए, हर को शून्य के बराबर करके, हम एक मान प्राप्त करते हैं जो फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र में शामिल नहीं है: 1. और फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन शून्य से अनंत तक "x" के सभी मान हैं एक और एक से प्लस अनंत तक। यह ग्राफ़ पर स्पष्ट रूप से दिखाई देता है

उदाहरण 0.फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन कैसे खोजें i, x माइनस फाइव (रेडिकल एक्सप्रेशन x माइनस फाइव) () के वर्गमूल के बराबर है? आपको बस असमानता को हल करने की जरूरत है

एक्स - 5 ≥ 0 ,

चूँकि खेल का वास्तविक मूल्य प्राप्त करने के लिए मूल अभिव्यक्ति शून्य से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए। हमें समाधान मिलता है: फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र x के सभी मान पांच से अधिक या उसके बराबर है (या x पांच समावेशी से प्लस अनंत तक के अंतराल से संबंधित है)।

उपरोक्त चित्र में संख्या अक्ष का एक टुकड़ा है। इस पर, विचारित फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र छायांकित है, जबकि "प्लस" दिशा में अक्ष के साथ-साथ हैचिंग अनिश्चित काल तक जारी रहती है।

स्थिरांक की परिभाषा का क्षेत्र

स्थिरांक (स्थिर) परिभाषित किसी भी वास्तविक मूल्य के लिए एक्स आर वास्तविक संख्या। इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है: इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण संख्या रेखा है ]- ∞; + ∞[ .

उदाहरण 1. किसी फ़ंक्शन का डोमेन खोजें य = 2 .

समाधान। फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र इंगित नहीं किया गया है, जिसका अर्थ है कि उपरोक्त परिभाषा के आधार पर, परिभाषा का प्राकृतिक डोमेन अभिप्रेत है। अभिव्यक्ति एफ(एक्स) = 2 किसी वास्तविक मान के लिए परिभाषित एक्स, इसलिए, यह फ़ंक्शन पूरे सेट पर परिभाषित है आर वास्तविक संख्या।

इसलिए, उपरोक्त चित्र में, संख्या रेखा ऋण अनंत से धन अनंत तक पूरी तरह से छायांकित है।

जड़ परिभाषा क्षेत्र एनवें डिग्री

उस स्थिति में जब फ़ंक्शन सूत्र द्वारा दिया जाता है और एन- प्राकृतिक संख्या:

उदाहरण 2. किसी फ़ंक्शन का डोमेन खोजें .

समाधान। जैसा कि परिभाषा से पता चलता है, एक सम डिग्री की जड़ समझ में आती है यदि मूल अभिव्यक्ति गैर-नकारात्मक है, यानी, यदि - 1 ≤ एक्स≤ 1. इसलिए, इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र [- 1; 1] .

उपरोक्त चित्र में संख्या रेखा का छायांकित क्षेत्र इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र है।

पावर फ़ंक्शन का डोमेन

पूर्णांक घातांक के साथ पावर फ़ंक्शन का डोमेन

अगर ए- सकारात्मक, तो फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, अर्थात ]- ∞; + ∞[ ;

अगर ए- नकारात्मक, तो फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र सेट है ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , अर्थात शून्य को छोड़कर संपूर्ण संख्या रेखा।

उपरोक्त संबंधित चित्र में, संपूर्ण संख्या रेखा को छायांकित किया गया है, और शून्य के अनुरूप बिंदु को छिद्रित किया गया है (यह फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र में शामिल नहीं है)।

उदाहरण 3. किसी फ़ंक्शन का डोमेन खोजें .

समाधान। पहला पद x की पूर्णांक घात 3 के बराबर है, और दूसरे पद में x की घात को एक - एक पूर्णांक के रूप में भी दर्शाया जा सकता है। नतीजतन, इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण संख्या रेखा है, अर्थात ]- ∞; + ∞[ .

भिन्नात्मक घातांक के साथ पावर फ़ंक्शन का डोमेन

उस स्थिति में जब फ़ंक्शन सूत्र द्वारा दिया गया हो:

यदि सकारात्मक है, तो फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र सेट 0 है; + ∞[ .

उदाहरण 4. किसी फ़ंक्शन का डोमेन खोजें .

समाधान। फलन अभिव्यक्ति में दोनों पद सकारात्मक भिन्नात्मक घातांक वाले घात फलन हैं। नतीजतन, इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र सेट है - ∞; + ∞[ .

घातीय और लघुगणकीय कार्यों का डोमेन

घातीय फलन का डोमेन

ऐसे मामले में जब कोई फ़ंक्शन किसी सूत्र द्वारा दिया जाता है, तो फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण संख्या रेखा होती है, अर्थात ] - ∞; + ∞[ .

लघुगणकीय फ़ंक्शन का डोमेन

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन को परिभाषित किया गया है बशर्ते कि इसका तर्क सकारात्मक हो, अर्थात, इसकी परिभाषा का क्षेत्र सेट ]0 है; + ∞[ .

फ़ंक्शन का डोमेन स्वयं ढूंढें और फिर समाधान देखें

त्रिकोणमितीय कार्यों का डोमेन

फ़ंक्शन डोमेन य= क्योंकि( एक्स) - भी कई आर वास्तविक संख्या।

फ़ंक्शन डोमेन य= टीजी( एक्स) - गुच्छा आर संख्याओं के अलावा वास्तविक संख्याएँ .

फ़ंक्शन डोमेन य= सीटीजी( एक्स) - गुच्छा आर संख्याओं को छोड़कर वास्तविक संख्याएँ।

उदाहरण 8. किसी फ़ंक्शन का डोमेन खोजें .

समाधान। बाहरी फ़ंक्शन एक दशमलव लघुगणक है और इसकी परिभाषा का क्षेत्र सामान्य रूप से लघुगणक फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र की शर्तों के अधीन है। यानी उसका तर्क सकारात्मक होना चाहिए. यहाँ तर्क "x" की ज्या है। एक वृत्त के चारों ओर एक काल्पनिक कम्पास को घुमाते हुए, हम देखते हैं कि स्थिति पाप है एक्स> 0 का उल्लंघन तब होता है जब "x" शून्य के बराबर होता है, "pi", दो, "pi" से गुणा किया जाता है और आम तौर पर "pi" और किसी भी सम या विषम पूर्णांक के उत्पाद के बराबर होता है।

इस प्रकार, इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है

,

कहाँ क- पूर्णांक।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषा का क्षेत्र

फ़ंक्शन डोमेन य= आर्कसिन( एक्स) - सेट [-1; 1] .

फ़ंक्शन डोमेन य= आर्ककोस( एक्स) - सेट भी [-1; 1] .

फ़ंक्शन डोमेन य= आर्कटान( एक्स) - गुच्छा आर वास्तविक संख्या।

फ़ंक्शन डोमेन य= आर्कसीटीजी( एक्स) - भी कई आर वास्तविक संख्या।

उदाहरण 9. किसी फ़ंक्शन का डोमेन खोजें .

समाधान। आइए असमानता को हल करें:

इस प्रकार, हम इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र प्राप्त करते हैं - खंड [- 4; 4] .

उदाहरण 10. किसी फ़ंक्शन का डोमेन खोजें .

समाधान। आइए दो असमानताओं को हल करें:

पहली असमानता का समाधान:

दूसरी असमानता का समाधान:

इस प्रकार, हमें इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र - खंड प्राप्त होता है।

अंश का दायरा

यदि कोई फ़ंक्शन भिन्नात्मक अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है जिसमें चर भिन्न के हर में है, तो फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र सेट है आर इन्हें छोड़कर वास्तविक संख्याएँ एक्स, जिस पर भिन्न का हर शून्य हो जाता है।

उदाहरण 11. किसी फ़ंक्शन का डोमेन खोजें .

समाधान। भिन्न के हर की समानता को शून्य तक हल करके, हम इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र पाते हैं - सेट ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .

उदाहरण 12. किसी फ़ंक्शन का डोमेन खोजें .

समाधान। आइए समीकरण हल करें:

इस प्रकार, हम इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र प्राप्त करते हैं - ]- ∞; - 1[ ∪ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[ .

सबसे पहले, आइए सीखें कि कैसे खोजें कार्यों के योग की परिभाषा का क्षेत्र. यह स्पष्ट है कि ऐसा फ़ंक्शन वेरिएबल के ऐसे सभी मानों के लिए समझ में आता है जिनके लिए योग बनाने वाले सभी फ़ंक्शन समझ में आते हैं। इसलिए, निम्नलिखित कथन की वैधता के बारे में कोई संदेह नहीं है:

यदि फलन f, n फलनों f 1, f 2, …, f n का योग है, अर्थात् फलन f सूत्र y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x) द्वारा दिया जाता है ), तो फ़ंक्शन f की परिभाषा का डोमेन फ़ंक्शन f 1, f 2, ..., f n की परिभाषा के डोमेन का प्रतिच्छेदन है। चलिए इसे ऐसे लिखते हैं.

आइए पिछले वाले के समान प्रविष्टियों का उपयोग जारी रखने के लिए सहमत हों, जिसका अर्थ है घुंघराले ब्रेस के अंदर लिखा हुआ, या किसी भी शर्त की एक साथ पूर्ति। यह सुविधाजनक है और स्वाभाविक रूप से सिस्टम के अर्थ से मेल खाता है।

उदाहरण।

फ़ंक्शन y=x 7 +x+5+tgx दिया गया है, और हमें इसकी परिभाषा का क्षेत्र खोजने की आवश्यकता है।

समाधान।

फ़ंक्शन f को चार फ़ंक्शनों के योग द्वारा दर्शाया जाता है: f 1 - घातांक 7 के साथ पावर फ़ंक्शन, f 2 - घातांक 1 के साथ पावर फ़ंक्शन, f 3 - स्थिर फ़ंक्शन और f 4 - स्पर्शरेखा फ़ंक्शन।

बुनियादी प्रारंभिक कार्यों की परिभाषा के डोमेन की तालिका को देखते हुए, हम पाते हैं कि D(f 1)=(−∞, +∞), D(f 2)=(−∞, +∞), D(f 3)= (−∞, +∞), और स्पर्शरेखा की परिभाषा का क्षेत्र संख्याओं को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समूह है .

फ़ंक्शन f की परिभाषा का डोमेन फ़ंक्शन f 1, f 2, f 3 और f 4 की परिभाषा के डोमेन का प्रतिच्छेदन है। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि यह संख्याओं को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है .

उत्तर:

को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय .

आइए खोजने की ओर आगे बढ़ें कार्यों के उत्पाद की परिभाषा का क्षेत्र. इस मामले के लिए, एक समान नियम लागू होता है:

यदि फलन f, n फलनों f 1, f 2, ..., f n का गुणनफल है, अर्थात् फलन f सूत्र द्वारा दिया गया है y=f 1 (x) f 2 (x)… f n (x), तो फ़ंक्शन f की परिभाषा का डोमेन फ़ंक्शन f 1, f 2, ..., f n की परिभाषा के डोमेन का प्रतिच्छेदन है। इसलिए, ।

यह समझने योग्य है, संकेतित क्षेत्र में सभी उत्पाद फ़ंक्शन परिभाषित हैं, और इसलिए फ़ंक्शन f स्वयं।

उदाहरण।

Y=3·arctgx·lnx .

समाधान।

फ़ंक्शन को परिभाषित करने वाले सूत्र के दाईं ओर की संरचना को f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) के रूप में माना जा सकता है, जहां f 1 एक स्थिर फ़ंक्शन है, f 2 आर्कटेंजेंट फ़ंक्शन है, और f 3 आधार e के साथ एक लघुगणकीय फलन है।

हम जानते हैं कि D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) और D(f 3)=(0, +∞) । तब .

उत्तर:

फ़ंक्शन y=3·arctgx·lnx की परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक सकारात्मक संख्याओं का सेट है।

आइए हम सूत्र y=C·f(x) द्वारा दिए गए फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र को खोजने पर अलग से ध्यान केंद्रित करें, जहां C कुछ वास्तविक संख्या है। यह दिखाना आसान है कि इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र और फ़ंक्शन f की परिभाषा का क्षेत्र मेल खाता है। वास्तव में, फलन y=C·f(x) एक स्थिर फलन और फलन f का गुणनफल है। एक स्थिर फ़ंक्शन का डोमेन सभी वास्तविक संख्याओं का सेट है, और फ़ंक्शन f का डोमेन D(f) है। तब फलन y=C f(x) की परिभाषा का क्षेत्र है , जिसे दिखाने की जरूरत है।

तो, फ़ंक्शन y=f(x) और y=C·f(x) की परिभाषा के डोमेन, जहां C कुछ वास्तविक संख्या है, मेल खाते हैं। उदाहरण के लिए, रूट का डोमेन है, यह स्पष्ट हो जाता है कि D(f) फ़ंक्शन f 2 के डोमेन से सभी x का सेट है जिसके लिए फ़ंक्शन f 1 के डोमेन में f 2 (x) शामिल है।

इस प्रकार, एक जटिल फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र y=f 1 (f 2 (x)) दो सेटों का प्रतिच्छेदन है: ऐसे सभी x का सेट x∈D(f 2) और ऐसे सभी x का सेट जिसके लिए f 2 (x)∈D(f 1) . यानी हमने जो नोटेशन अपनाया है (यह मूलतः असमानताओं की एक प्रणाली है)।

आइए कुछ उदाहरण समाधान देखें. हम प्रक्रिया का विस्तार से वर्णन नहीं करेंगे, क्योंकि यह इस लेख के दायरे से बाहर है।

उदाहरण।

फ़ंक्शन y=lnx 2 की परिभाषा का क्षेत्र खोजें।

समाधान।

मूल फ़ंक्शन को y=f 1 (f 2 (x)) के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां f 1 आधार e के साथ एक लघुगणक है, और f 2 घातांक 2 के साथ एक घात फ़ंक्शन है।

मुख्य प्रारंभिक कार्यों की परिभाषा के ज्ञात डोमेन की ओर मुड़ते हुए, हमारे पास D(f 1)=(0, +∞) और D(f 2)=(−∞, +∞) हैं।

तब

इसलिए हमें जिस फ़ंक्शन की आवश्यकता थी उसकी परिभाषा का क्षेत्र मिल गया, यह शून्य को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का सेट है।

उत्तर:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

उदाहरण।

किसी फ़ंक्शन का डोमेन क्या है ?

समाधान।

यह फ़ंक्शन जटिल है, इसे y=f 1 (f 2 (x)) के रूप में माना जा सकता है, जहां f 1 घातांक के साथ एक पावर फ़ंक्शन है, और f 2 आर्क्साइन फ़ंक्शन है, और हमें इसकी परिभाषा का डोमेन खोजने की आवश्यकता है।

आइए देखें कि हम क्या जानते हैं: D(f 1)=(0, +∞) और D(f 2)=[−1, 1] । यह x∈D(f 2) और f 2 (x)∈D(f 1) मानों के सेट का प्रतिच्छेदन ज्ञात करना बाकी है:

arcsinx>0 के लिए, arcsinx फ़ंक्शन के गुणों को याद रखें। परिभाषा के पूरे क्षेत्र में आर्कसाइन बढ़ता है [−1, 1] और x=0 पर शून्य हो जाता है, इसलिए, अंतराल (0, 1] से किसी भी x के लिए arcsinx>0।

आइए सिस्टम पर वापस लौटें:

इस प्रकार, फ़ंक्शन की परिभाषा का आवश्यक डोमेन अर्ध-अंतराल (0, 1] है।

उत्तर:

(0, 1] .

अब आइए सामान्य रूप y=f 1 (f 2 (...f n (x)))) के जटिल कार्यों पर चलते हैं। इस मामले में फ़ंक्शन f की परिभाषा का डोमेन इस प्रकार पाया जाता है .

उदाहरण।

किसी फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढें .

समाधान।

किसी दिए गए जटिल फ़ंक्शन को y=f 1 (f 2 (f 3 (x))) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां f 1 - पाप, f 2 - चौथी-डिग्री रूट फ़ंक्शन, f 3 - लॉग।

हम जानते हैं कि D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=∪∪∪/एक्सेस मोड: साइटों से सामग्री www.fipi.ru, www.eg

स्वीकार्य मानों की सीमा - एक समाधान है [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]/एक्सेस मोड: rudocs.exdat.com›docs/index-16853.html

ODZ - स्वीकार्य मूल्यों का क्षेत्र, ODZ [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]/एक्सेस मोड कैसे खोजें: चतुर छात्र.ru›expressions/odz.html

स्वीकार्य मूल्यों की सीमा: सिद्धांत और व्यवहार [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]/एक्सेस मोड: pandia.ru›text/78/083/13650.php

ODZ [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]/एक्सेस मोड क्या है: www.cleverstudents.ru›odz.html

ओडीजेड क्या है और इसे कैसे देखें - स्पष्टीकरण और उदाहरण। इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]/ एक्सेस मोड: cos-cos.ru›math/82/

परिशिष्ट 1

व्यावहारिक कार्य "ODZ: कब, क्यों और कैसे?"

विकल्प 1	विकल्प 2
│x+14│= 2 - 2x
	│3x│=1 - 3x

परिशिष्ट 2

व्यावहारिक कार्य के कार्यों के उत्तर "ODZ: कब, क्यों और कैसे?"

विकल्प 1	विकल्प 2
उत्तर: कोई जड़ नहीं	उत्तर: x-x=5 को छोड़कर कोई भी संख्या
9x+ = +27 ODZ: x≠3 उत्तर: कोई जड़ नहीं	ओडीजेड: x=-3, x=5. उत्तर:-3;5.
y= -घटता है, y= -बढ़ता है इसका मतलब यह है कि समीकरण का अधिकतम एक मूल है। उत्तर: x=6.	ओडीजेड: → →х≥5 उत्तर: x≥5, x≤-6.
│x+14│=2-2x ODZ:2-2x≥0, x≤1 x=-4, x=16, 16 ODZ से संबंधित नहीं है	घटता है, बढ़ता है समीकरण का अधिकतम एक मूल होता है। उत्तर: कोई जड़ नहीं.
0, ODZ: x≥3, x≤2 उत्तर: x≥3, x≤2	8x+ = -32, ODZ: x≠-4. उत्तर: कोई जड़ नहीं.
x=7, x=1. उत्तर: कोई समाधान नहीं	बढ़ना-घटना उत्तर: x=2.
0 ओडीजेड: x≠15 उत्तर: x=15 को छोड़कर x कोई भी संख्या है।	│3-х│=1-3х, ODZ: 1-3х≥0, x≤ x=-1, x=1 ODZ से संबंधित नहीं है। उत्तर: x=-1.

भिन्नात्मक समीकरण. ओडीजेड.

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

हम समीकरणों में महारत हासिल करना जारी रखते हैं। हम पहले से ही जानते हैं कि रैखिक और द्विघात समीकरणों के साथ कैसे काम करना है। अंतिम दृश्य शेष - भिन्नात्मक समीकरण. या फिर इन्हें और भी अधिक आदरपूर्वक बुलाया जाता है - भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण. यह एक ही है।

भिन्नात्मक समीकरण.

जैसा कि नाम से पता चलता है, इन समीकरणों में आवश्यक रूप से भिन्न होते हैं। लेकिन केवल भिन्न ही नहीं, बल्कि भिन्न भी होते हैं हर में अज्ञात. कम से कम एक में. उदाहरण के लिए:

मैं आपको याद दिला दूं कि यदि हर ही हैं नंबर, ये रैखिक समीकरण हैं।

कैसे निर्णय करें भिन्नात्मक समीकरण? सबसे पहले, भिन्नों से छुटकारा पाएं! इसके बाद अक्सर समीकरण रैखिक या द्विघात में बदल जाता है. और फिर हम जानते हैं कि क्या करना है... कुछ मामलों में यह एक पहचान में बदल सकता है, जैसे 5=5 या गलत अभिव्यक्ति, जैसे 7=2। लेकिन ऐसा कम ही होता है. मैं इसका उल्लेख नीचे करूंगा.

लेकिन भिन्नों से छुटकारा कैसे पाएं!? बहुत सरल। समान समान परिवर्तन लागू करना।

हमें संपूर्ण समीकरण को उसी व्यंजक से गुणा करना होगा। ताकि सभी हर कम हो जाएं! सब कुछ तुरंत आसान हो जाएगा. मैं एक उदाहरण से समझाता हूँ. आइए हमें समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

आपको प्राथमिक विद्यालय में कैसे पढ़ाया गया? हम हर चीज को एक तरफ ले जाते हैं, उसे एक सामान्य भाजक पर लाते हैं, आदि। इसे एक बुरे सपने की तरह भूल जाओ! जब आप भिन्न जोड़ते या घटाते हैं तो आपको यही करने की आवश्यकता होती है। या आप असमानताओं के साथ काम करते हैं। और समीकरणों में, हम तुरंत दोनों पक्षों को एक अभिव्यक्ति से गुणा करते हैं जो हमें सभी हरों को कम करने का अवसर देगा (यानी, संक्षेप में, एक सामान्य हर द्वारा)। और यह अभिव्यक्ति क्या है?

बाईं ओर, हर को कम करने के लिए गुणा करने की आवश्यकता होती है एक्स+2. और दाईं ओर, 2 से गुणा करना आवश्यक है। इसका मतलब है कि समीकरण को 2 से गुणा करना होगा 2(x+2). गुणा करें:

यह भिन्नों का एक सामान्य गुणन है, लेकिन मैं इसका विस्तार से वर्णन करूंगा:

कृपया ध्यान दें कि मैं अभी ब्रैकेट नहीं खोल रहा हूँ (एक्स + 2)! तो, इसकी संपूर्णता में, मैं इसे लिखता हूं:

बाईं ओर यह पूरी तरह से सिकुड़ जाता है (एक्स+2), और दाईं ओर 2. जो आवश्यक था! कटौती के बाद हमें मिलता है रेखीयसमीकरण:

और हर कोई इस समीकरण को हल कर सकता है! एक्स = 2.

आइए एक और उदाहरण हल करें, जो थोड़ा अधिक जटिल है:

अगर हम याद रखें कि 3 = 3/1, और 2x = 2x/ 1, हम लिख सकते हैं:

और फिर से हम उस चीज़ से छुटकारा पा लेते हैं जो हमें वास्तव में पसंद नहीं है - भिन्न।

हम देखते हैं कि हर को X से कम करने के लिए, हमें भिन्न को इससे गुणा करना होगा (एक्स - 2). और कुछ हमारे लिए बाधा नहीं हैं। अच्छा, चलो गुणा करें। सभीबाईं ओर और सभीदाहिनी ओर:

पुनः कोष्ठक (एक्स - 2)मैं खुलासा नहीं कर रहा हूं. मैं ब्रैकेट के साथ समग्र रूप से काम करता हूं जैसे कि यह एक संख्या हो! ऐसा हमेशा करना चाहिए, नहीं तो कुछ भी कम नहीं होगा.

गहरी संतुष्टि की भावना से हम कम हो जाते हैं (एक्स - 2)और हमें एक रूलर के साथ, बिना किसी भिन्न के एक समीकरण मिलता है!

अब कोष्ठक खोलें:

हम समान लाते हैं, सब कुछ बाईं ओर ले जाते हैं और प्राप्त करते हैं:

लेकिन उससे पहले हम अन्य समस्याओं का समाधान करना सीखेंगे। ब्याज पर. वैसे, यह एक रेक है!

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आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। त्वरित सत्यापन के साथ परीक्षण। आइए जानें - रुचि के साथ!)

आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

गणित में कार्यों की संख्या अनंत है। और प्रत्येक का अपना चरित्र है।) विभिन्न प्रकार के कार्यों के साथ काम करने के लिए आपको आवश्यकता होती है अकेलाएक दृष्टिकोण। अन्यथा, यह किस प्रकार का गणित है?!) और ऐसा दृष्टिकोण है!

किसी भी फ़ंक्शन के साथ काम करते समय, हम इसे प्रश्नों के एक मानक सेट के साथ प्रस्तुत करते हैं। और सबसे पहला, सबसे महत्वपूर्ण प्रश्न है किसी फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन.कभी-कभी इस क्षेत्र को वैध तर्क मानों का सेट, वह क्षेत्र जहां कोई फ़ंक्शन निर्दिष्ट किया जाता है, आदि कहा जाता है।

किसी फ़ंक्शन का डोमेन क्या है? इसे कैसे खोजें? ये प्रश्न अक्सर जटिल और समझ से बाहर लगते हैं... हालाँकि, वास्तव में, सब कुछ बेहद सरल है। आप इस पेज को पढ़कर स्वयं देख सकते हैं। जाना?)

खैर, मैं क्या कह सकता हूं... बस सम्मान।) हाँ! किसी फ़ंक्शन का प्राकृतिक डोमेन (जिसकी चर्चा यहां की गई है) माचिसफ़ंक्शन में शामिल अभिव्यक्तियों के ODZ के साथ। तदनुसार, उन्हीं नियमों के अनुसार उनकी खोज की जाती है।

अब आइए परिभाषा के पूरी तरह से प्राकृतिक क्षेत्र को न देखें।)

किसी फ़ंक्शन के दायरे पर अतिरिक्त प्रतिबंध.

यहां हम उन प्रतिबंधों के बारे में बात करेंगे जो कार्य द्वारा लगाए जाते हैं। वे। कार्य में कुछ अतिरिक्त शर्तें शामिल हैं जो संकलक के साथ आईं। या फिर फ़ंक्शन को परिभाषित करने की विधि से ही प्रतिबंध सामने आते हैं।

जहां तक ​​कार्य में प्रतिबंधों की बात है तो सब कुछ सरल है। आमतौर पर, कुछ भी देखने की ज़रूरत नहीं होती है, कार्य में सब कुछ पहले ही कहा जा चुका होता है। मैं आपको याद दिला दूं कि कार्य के लेखक द्वारा लिखे गए प्रतिबंध रद्द नहीं होते हैं गणित की मूलभूत सीमाएँ.आपको बस कार्य की शर्तों को ध्यान में रखना याद रखना होगा।

उदाहरण के लिए, यह कार्य:

किसी फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढें:

धनात्मक संख्याओं के समुच्चय पर.

हमें ऊपर इस फ़ंक्शन की परिभाषा का प्राकृतिक क्षेत्र मिला। यह क्षेत्र:

डी(एफ)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की मौखिक विधि में, आपको स्थिति को ध्यान से पढ़ने और वहां एक्स पर प्रतिबंध ढूंढने की आवश्यकता है। कभी-कभी आँखें सूत्रों की तलाश में रहती हैं, लेकिन शब्द चेतना के सामने सीटी बजाते हैं हाँ...) पिछले पाठ से उदाहरण:

फ़ंक्शन को शर्त द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है: प्राकृतिक तर्क x का प्रत्येक मान उन अंकों के योग से जुड़ा होता है जो x का मान बनाते हैं।

यहां बता दें कि हम बात कर रहे हैं केवल X के प्राकृतिक मूल्यों के बारे में। तब डी(एफ)तुरंत रिकॉर्ड किया गया:

डी(एफ): एक्स ∈ एन

जैसा कि आप देख सकते हैं, किसी फ़ंक्शन का डोमेन इतनी जटिल अवधारणा नहीं है। इस क्षेत्र को खोजने से फ़ंक्शन की जांच करना, असमानताओं की एक प्रणाली लिखना और इस प्रणाली को हल करना आता है। बेशक, सभी प्रकार की प्रणालियाँ हैं, सरल और जटिल। लेकिन...

मैं तुम्हें एक छोटा सा रहस्य बताता हूँ. कभी-कभी एक फ़ंक्शन जिसके लिए आपको परिभाषा का क्षेत्र ढूंढना होता है वह बस डराने वाला लगता है। मैं पीला पड़ जाना और रोना चाहता हूं।) लेकिन जैसे ही मैं असमानताओं की प्रणाली लिखता हूं... और, अचानक, प्रणाली प्राथमिक हो जाती है! इसके अलावा, अक्सर, फ़ंक्शन जितना अधिक भयानक होता है, सिस्टम उतना ही सरल होता है...

नैतिक: आँखें डरती हैं, सिर निर्णय लेता है!)