ज्यामिति द्वि-आयामी और स्थानिक आकृतियों के गुणों और संयोजनों को समझती है। ऐसी संरचनाओं की विशेषता वाले संख्यात्मक मान हैं वर्गऔर परिधि, जिसकी गणना प्रसिद्ध सूत्रों के अनुसार की जाती है या एक के माध्यम से व्यक्त की जाती है।

अनुदेश

1. आयत कार्य: गणना करें वर्गआयत, यदि यह ज्ञात है कि इसकी परिधि 40 है, और लंबाई b चौड़ाई a से 1.5 गुना अधिक है।

2. हल प्रसिद्ध परिधि सूत्र का उपयोग करें, यह आकृति के सभी पक्षों के योग के बराबर है। इस स्थिति में, P = 2 a + 2 b। समस्या के प्रारंभिक आंकड़ों से, आप जानते हैं कि b = 1.5 a, इसलिए, P = 2 a + 2 1.5 a = 5 a, जिसमें से a = 8. लंबाई b = 1.5 8 = 12 ज्ञात कीजिए।

3. एक आयत के क्षेत्रफल के लिए सूत्र लिखिए: S = a b, ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें: S = 8 * 12 = 96।

4. स्क्वायर.समस्या: पता लगाएँ वर्गवर्ग अगर परिधि 36 है।

5. हल एक वर्ग आयत की एक विशेष स्थिति है, जहाँ सभी भुजाएँ समान होती हैं, अतः इसका परिमाप 4 a होता है, जिससे a = 8 सूत्र S = a द्वारा वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। = 64।

6. त्रिभुज।समस्या: एक मनमाना त्रिभुज एबीसी दिया जाता है, जिसकी परिधि 29 है। इसके क्षेत्रफल का मान ज्ञात करें, यदि यह ज्ञात हो कि ऊंचाई BH, AC की ओर कम हो जाती है, तो इसे 3 की लंबाई वाले खंडों में विभाजित करती है और 4 सेमी.

7. समाधान... सबसे पहले, त्रिभुज के लिए क्षेत्रफल सूत्र याद रखें: S \u003d 1/2 c h, जहाँ c आधार है और h आकृति की ऊँचाई है। हमारे मामले में, आधार एसी होगा, जो समस्या की स्थिति से जाना जाता है: एसी = 3 + 4 = 7, यह ऊंचाई बीएच खोजने के लिए बनी हुई है।

8. ऊँचाई विपरीत शीर्ष से भुजा पर खींचा गया लंब है, इसलिए, यह त्रिभुज ABC को दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है। इस गुण को जानने के बाद त्रिभुज ABH पर विचार करें। पायथागॉरियन सूत्र याद रखें, जिसके अनुसार: AB? = बीएच? + आह? = बीएच? + 9 ? AB \u003d? (h? + 9)। त्रिभुज BHC में, उसी थीसिस के अनुसार, नीचे लिखें: BC? = बीएच? +एचसी? = बीएच? + 16 ? बीसी =? (एच? + 16)।

9. परिधि सूत्र लागू करें: पी = एबी + बीसी + एसी

10. समीकरण हल करें: ?(एच? + 9) +?(एच? + 16) = 22? [प्रतिस्थापन टी? = ज? + 9]:?(t? + 7) = 22 - t, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग: t? + 7 \u003d 484 - 44 टी + टी? ? टी? 10.84 घंटे? + 9 = 117.5? एच? 10.42

11. खोज करना वर्गत्रिभुज ABC:S = 1/2 7 10.42 = 36.47।

आयत चतुर्भुज की एक विशेष स्थिति है। इसका अर्थ है कि आयत की चार भुजाएँ होती हैं। इसकी विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं: उदाहरण के लिए, यदि इसकी एक भुजा 10 सेमी है, तो विपरीत भुजा भी 10 सेमी होगी। आयत का एक विशेष मामला एक वर्ग है। एक वर्ग एक आयत है जिसकी सभी भुजाएँ समान हैं। किसी वर्ग के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आप उसी एल्गोरिथम का उपयोग कर सकते हैं, जिसका उपयोग आयत के क्षेत्रफल की गणना के लिए किया जाता है।

दो पक्षों पर एक आयत का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, उसकी लंबाई को उसकी चौड़ाई से गुणा करें: क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई। नीचे दिए गए मामले में: क्षेत्रफल = AB × BC।

विकर्ण की भुजा और लंबाई को देखते हुए आयत का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

कुछ समस्याओं में, आपको विकर्ण की लंबाई और एक भुजा का उपयोग करके आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता है। एक आयत का विकर्ण इसे दो समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है। इसलिए, आप पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके आयत की दूसरी भुजा निर्धारित कर सकते हैं। उसके बाद, समस्या पिछले बिंदु पर कम हो जाती है।

परिमाप और भुजा द्वारा आयत का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

एक आयत का परिमाप उसकी सभी भुजाओं का योग होता है। यदि आप आयत की परिधि और एक तरफ (उदाहरण के लिए, चौड़ाई) जानते हैं, तो आप निम्न सूत्र का उपयोग करके आयत के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं:
क्षेत्र \u003d (परिधि × चौड़ाई - चौड़ाई ^ 2) / 2।

विकर्णों और विकर्ण की लंबाई के बीच एक तीव्र कोण की ज्या के संदर्भ में एक आयत का क्षेत्रफल

एक आयत में विकर्ण बराबर होते हैं, इसलिए विकर्ण की लंबाई और उनके बीच के तीव्र कोण की ज्या के आधार पर क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, निम्न सूत्र का उपयोग करें: क्षेत्रफल = विकर्ण^2 × sin(विकर्णों के बीच का तीव्र कोण)/ 2.

परिभाषा।

आयतयह एक चतुर्भुज है जिसकी दो विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं और चारों कोण बराबर होते हैं।

आयत एक दूसरे से केवल लंबी भुजा और छोटी भुजा के अनुपात में भिन्न होते हैं, लेकिन उनमें से चारों सही हैं, अर्थात प्रत्येक 90 डिग्री।

आयत की लंबी भुजा कहलाती है आयताकार लंबाई, और छोटा आयताकार चौड़ाई.

एक आयत की भुजाएँ भी उसकी ऊँचाई होती हैं।

एक आयत के मूल गुण

एक आयत एक समांतर चतुर्भुज, एक वर्ग या एक समचतुर्भुज हो सकता है।

1. आयत की सम्मुख भुजाओं की लम्बाई समान होती है, अर्थात् वे बराबर होती हैं:

एबी = सीडी, बीसी = एडी

2. आयत की सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं:

3. आयत की आसन्न भुजाएँ हमेशा लंबवत होती हैं:

एबी ┴ बीसी, बीसी ┴ सीडी, सीडी ┴ एडी, एडी ┴ एबी

4. आयत के चारों कोने सीधे होते हैं:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. आयत के कोणों का योग 360 डिग्री होता है:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. आयत के विकर्णों की लंबाई समान होती है:

7. आयत के विकर्ण के वर्गों का योग भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. आयत का प्रत्येक विकर्ण आयत को दो समरूप आकृतियों अर्थात् समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है।

9. आयत के विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और चौराहे के बिंदु पर आधे में विभाजित होते हैं:

		एओ = बीओ = सीओ = डीओ =	डी
			2

10. विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु को आयत का केंद्र कहा जाता है और यह परिधि वाले वृत्त का केंद्र भी है

11. आयत का विकर्ण परिबद्ध वृत्त का व्यास होता है

12. एक वृत्त को हमेशा एक आयत के चारों ओर वर्णित किया जा सकता है, क्योंकि विपरीत कोणों का योग 180 डिग्री होता है:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. एक वृत्त को एक आयत में अंकित नहीं किया जा सकता है जिसकी लंबाई उसकी चौड़ाई के बराबर नहीं है, क्योंकि विपरीत भुजाओं का योग एक दूसरे के बराबर नहीं है (एक वृत्त को केवल एक आयत के एक विशेष मामले में अंकित किया जा सकता है - एक वर्ग)।

एक आयत की भुजाएँ

परिभाषा।

आयताकार लंबाईभुजाओं के लंबे युग्म की लंबाई कहिए। आयताकार चौड़ाईइसकी भुजाओं के छोटे युग्म की लंबाई बताइए।

एक आयत की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने के सूत्र

1. विकर्ण और दूसरी भुजा के संदर्भ में एक आयत की भुजा (आयत की लंबाई और चौड़ाई) के लिए सूत्र:

ए = √ डी 2 - बी 2

बी = √ डी 2 - ए 2

2. क्षेत्रफल और दूसरी भुजा के संदर्भ में आयत की भुजा (आयत की लंबाई और चौड़ाई) का सूत्र:

बी = डीसीओ	β
	2

आयत विकर्ण

परिभाषा।

विकर्ण आयतआयत के विपरीत कोनों के दो शीर्षों को जोड़ने वाला खंड कहलाता है।

आयत के विकर्ण की लंबाई ज्ञात करने के सूत्र

1. आयत की दो भुजाओं के संदर्भ में आयत के विकर्ण का सूत्र (पाइथागोरस प्रमेय के माध्यम से):

डी = √ ए 2 + बी 2

2. क्षेत्रफल और किसी भी भुजा के संदर्भ में आयत के विकर्ण का सूत्र:

4. परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या के संदर्भ में आयत के विकर्ण का सूत्र:

डी = 2आर

5. परिधि वाले वृत्त के व्यास के संदर्भ में आयत के विकर्ण का सूत्र:

डी = डी ओ

6. विकर्ण से सटे कोण की ज्या और इस कोण के विपरीत भुजा की लंबाई के संदर्भ में आयत के विकर्ण का सूत्र:

8. विकर्णों और आयत के क्षेत्रफल के बीच एक तीव्र कोण की ज्या के संदर्भ में एक आयत के विकर्ण का सूत्र

डी = √2S: sinβ

एक आयत की परिधि

परिभाषा।

एक आयत की परिधिआयत की सभी भुजाओं की लंबाई का योग है।

एक आयत की परिधि की लंबाई निर्धारित करने के सूत्र

1. आयत की दो भुजाओं के संदर्भ में आयत की परिधि का सूत्र:

पी = 2ए + 2बी

पी = 2 (ए + बी)

2. क्षेत्रफल और किसी भी भुजा के संदर्भ में आयत की परिधि का सूत्र:

पी =	2एस + 2ए 2	=	2एस + 2बी 2
	ए		बी

3. विकर्ण और किसी भी भुजा के संदर्भ में आयत की परिधि के लिए सूत्र:

पी = 2 (ए + √ डी 2 - ए 2) = 2 (बी + √ डी 2 - बी 2)

4. परिधि वाले वृत्त की त्रिज्या और किसी भी भुजा के संदर्भ में आयत की परिधि का सूत्र:

पी = 2 (ए + √4आर 2 - एक 2) = 2(बी + √4R 2 - बी 2)

5. परिधि वाले वृत्त के व्यास और किसी भी पक्ष के संदर्भ में आयत की परिधि का सूत्र:

पी = 2(ए + √डी ओ 2 - एक 2) = 2(बी + √डी ओ 2 - बी 2)

आयताकार क्षेत्र

परिभाषा।

आयताकार क्षेत्रआयत की भुजाओं से घिरा हुआ स्थान, अर्थात् आयत की परिधि के भीतर, कहलाता है।

आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र

1. दो भुजाओं के संदर्भ में एक आयत के क्षेत्रफल का सूत्र:

एस = ए बी

2. परिधि और किसी भी पक्ष के माध्यम से एक आयत के क्षेत्रफल का सूत्र:

5. परिधि वाले वृत्त की त्रिज्या और किसी भी पक्ष के संदर्भ में आयत के क्षेत्रफल का सूत्र:

एस = एक √4R 2 - एक 2= बी √4R 2 - बी 2

6. परिधि वाले वृत्त के व्यास और किसी भी पक्ष के संदर्भ में आयत के क्षेत्रफल का सूत्र:

एस \u003d ए √ डी ओ 2 - एक 2= बी √ डी ओ 2 - बी 2

एक आयत के चारों ओर परिचालित वृत्त

परिभाषा।

एक आयत के चारों ओर परिचालित एक चक्रएक वृत्त एक आयत के चार शीर्षों से होकर गुजरने वाला एक वृत्त कहलाता है, जिसका केंद्र आयत के विकर्णों के प्रतिच्छेदन पर स्थित होता है।

एक आयत के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या निर्धारित करने के सूत्र

1. एक आयत के चारों ओर दो पक्षों के माध्यम से परिचालित एक वृत्त की त्रिज्या का सूत्र:

4. एक वर्ग के विकर्ण के माध्यम से एक आयत के बारे में वर्णित एक वृत्त की त्रिज्या के लिए सूत्र:

5. एक वृत्त की त्रिज्या का सूत्र, जो एक वृत्त के व्यास (परिक्रमित) के माध्यम से एक आयत के पास वर्णित है:

6. एक वृत्त की त्रिज्या के लिए सूत्र, जो एक आयत के पास विकर्ण के निकटवर्ती कोण की ज्या के माध्यम से वर्णित है, और इस कोण के विपरीत भुजा की लंबाई है:

7. एक वृत्त की त्रिज्या के लिए सूत्र, जो एक आयत के बारे में वर्णित है, कोण के कोसाइन के संदर्भ में जो विकर्ण से सटे हुए हैं, और इस कोण पर भुजा की लंबाई:

8. एक वृत्त की त्रिज्या का सूत्र, जो विकर्णों और आयत के क्षेत्रफल के बीच एक तीव्र कोण की ज्या के माध्यम से एक आयत के पास वर्णित है:

आयत की एक भुजा और एक विकर्ण के बीच का कोण।

आयत के किनारे और विकर्ण के बीच के कोण को निर्धारित करने के सूत्र:

1. विकर्ण और भुजा के माध्यम से एक आयत के किनारे और विकर्ण के बीच के कोण को निर्धारित करने का सूत्र:

2. विकर्णों के बीच के कोण के माध्यम से एक आयत की भुजा और विकर्ण के बीच के कोण को निर्धारित करने का सूत्र:

आयत के विकर्णों के बीच का कोण।

आयत के विकर्णों के बीच के कोण को निर्धारित करने के सूत्र:

1. भुजा और विकर्ण के बीच के कोण से आयत के विकर्णों के बीच का कोण ज्ञात करने का सूत्र:

β = 2α

2. क्षेत्रफल और विकर्ण के माध्यम से एक आयत के विकर्णों के बीच के कोण को निर्धारित करने का सूत्र।

आयत - पी = 2 * ए + 2 * बी = 2 * 3 + 2 * 6 = 6 + 12 = 18। इस समस्या में, परिधि आकृति के क्षेत्र के साथ मूल्य में मेल खाती है।

वर्ग समस्या: एक वर्ग का परिमाप ज्ञात करें यदि इसका क्षेत्रफल 9 है। इसलिए, P = 4 * a = 4 * 3 = 12।

त्रिभुज कार्य: एक मनमाना एबीसी दिया गया है, जिसका क्षेत्रफल 14 के बराबर है। त्रिभुज की परिधि ज्ञात करें यदि शीर्ष B से खींची गई रेखा त्रिभुज के आधार को लंबाई 3 और 4 सेमी के खंडों में विभाजित करती है . एस = ½ * एसी * बीई। परिधि सभी पक्षों की लंबाई के योग के बराबर है। लंबाई AE और EC, AC = 3 + 4 = 7 को जोड़कर भुजा AC की लंबाई ज्ञात करें। त्रिभुज BE = S*2/AC = 14*2/7 = 4 की ऊँचाई ज्ञात करें। एक समकोण त्रिभुज ABE पर विचार करें। एई और बीई को जानने के बाद, आप पायथागॉरियन फॉर्मूला एबी^2 = एई^2 + बीई^2, एबी = √(3^2 + 4^2) = √25 = 5 का उपयोग करके कर्ण का पता लगा सकते हैं। समकोण त्रिभुज बीईसी पर विचार करें। पाइथागोरस के सूत्र के अनुसार BC^2 = BE^2 + EC^2, BC = √(4^2 + 4^2) = 4*√2। अब त्रिभुज की सभी भुजाओं की लंबाई। उनके योग P = AB + BC + AC = 5 + 4*√2 + 7 = 12 + 4*√2 = 4*(3+√2) से परिमाप ज्ञात कीजिए।

वृत्त समस्या: यह ज्ञात है कि एक वृत्त का क्षेत्रफल 16*π है, इसकी परिधि ज्ञात कीजिए। हल: वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र S = π*r^2 लिखिए। वृत्त r = √(S/π) = √16 = 4 की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। सूत्र के अनुसार, परिमाप P = 2*π*r = 2*π*4 = 8*π है। अगर हम स्वीकार करते हैं कि π = 3.14, तो P = 8*3.14 = 25.12।

स्रोत:

• क्षेत्र परिधि के बराबर है

हम सभी स्कूल में एक बार एक आयत की परिधि का अध्ययन करना शुरू कर देते हैं। तो आइए याद करें कि इसकी गणना कैसे करें और सामान्य तौर पर परिधि क्या है?

शब्द "परिधि" दो ग्रीक शब्दों से आता है: "पेरी", जिसका अर्थ है "चारों ओर", "के बारे में" और "मेट्रॉन", जिसका अर्थ है "मापना", "मापना"। वे। परिधि, ग्रीक से अनुवादित का अर्थ है "चारों ओर माप।"

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दूसरी परिभाषा इस तरह सुनाई देगी: एक आयत की परिधि उसकी लंबाई और चौड़ाई के योग का दोगुना है।

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मददगार सलाह

एक आयत का क्षेत्रफल उसकी लंबाई गुणा उसकी चौड़ाई का गुणनफल होता है। पेमीटर सभी पक्षों का योग है।

स्रोत:

एक वृत्त एक ज्यामितीय आकृति है जो केंद्र से दूर स्थित बिंदुओं के समूह से बनती है। मंडलियांसमान दूरी के लिए। ज्ञात के आधार पर मंडलियांडेटा, इसके क्षेत्र का निर्धारण करने के लिए एक दूसरे से उत्पन्न होने वाले 2 सूत्र हैं।

आपको चाहिये होगा

• स्थिर π का ​​मान (3.14 के बराबर);
• एक वृत्त के व्यास/त्रिज्या का आकार।

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एक वर्ग एक सुंदर और सरल सपाट ज्यामितीय आकृति है। यह बराबर भुजाओं वाला एक आयत है। कैसे ढूंढें परिमाप वर्गयदि उसकी भुजा की लम्बाई ज्ञात हो?

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सबसे पहले तो यह याद रखें परिमापएक ज्यामितीय आकृति के योग से ज्यादा कुछ नहीं है। हमारे द्वारा चार भुजाएँ मानी जाती हैं। इसके अलावा, द्वारा, इन सभी पक्षों के बीच बराबर हैं।
इन परिसरों से, इसे खोजना आसान है परिमापए वर्ग – परिमाप वर्गकिनारे की लंबाई वर्गचार से गुणा:
P \u003d 4a, जहाँ a पक्ष की लंबाई है वर्ग.

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टिप 6: त्रिभुज और आयत का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

यूक्लिडियन ज्यामिति में त्रिभुज और आयत दो सबसे सरल समतल ज्यामितीय आकृतियाँ हैं। इन बहुभुजों की भुजाओं द्वारा निर्मित परिमापों के भीतर तल का एक निश्चित भाग होता है, जिसका क्षेत्रफल कई प्रकार से ज्ञात किया जा सकता है। प्रत्येक विशेष मामले में विधि का चुनाव आंकड़ों के ज्ञात मापदंडों पर निर्भर करेगा।

अनुदेश

यदि आप एक या एक से अधिक कोणों के मान जानते हैं, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए त्रिकोणमितीय सूत्रों में से किसी एक का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, कोण (α) के ज्ञात मान और इसे बनाने वाले पक्षों की लंबाई (बी और सी) के साथ, क्षेत्र (एस) सूत्र एस \u003d बी * सी * पाप (α) द्वारा प्राप्त किया जा सकता है ) / 2. और सभी कोणों (α, β और γ) के मूल्यों के साथ और एक तरफ की लंबाई (A) के अलावा, आप सूत्र S \u003d A² * sin (β) * sin (γ) / का उपयोग कर सकते हैं (2 * पाप (α))। यदि, सभी कोणों के अतिरिक्त, परिबद्ध वृत्त का (R) ज्ञात है, तो सूत्र S=2*R²*sin(α)*sin(β)*sin(γ) का उपयोग करें।

यदि कोण ज्ञात नहीं हैं, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आप बिना त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि (H) एक तरफ से खींचा गया है जो (A) को भी जानता है, तो सूत्र S \u003d A * H / 2 का उपयोग करें। और यदि प्रत्येक भुजा (ए, बी और सी) की लंबाई दी गई है, तो पहले अर्ध-परिधि p \u003d (A + B + C) / 2 ज्ञात करें, और फिर \ के क्षेत्रफल की गणना करें u200सूत्र S \u003d √ (p * (p-A) * (p-B) * (p-C)) का उपयोग करके त्रिभुज। यदि, (A, B और C) के अलावा, परिधि वाले वृत्त की त्रिज्या (R) ज्ञात है, तो सूत्र S \u003d A * B * C / (4 * R) का उपयोग करें।

एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, त्रिकोणमितीय कार्यों का भी उपयोग किया जा सकता है - उदाहरण के लिए, यदि इसके विकर्ण (C) की लंबाई और इसके एक तरफ का कोण (α) ज्ञात हो। इस स्थिति में, सूत्र S=С²*sin(α)*cos(α) का उपयोग करें। और यदि विकर्णों की लंबाई (C) और उनके द्वारा बनाए गए कोण (α) ज्ञात हैं, तो सूत्र S \u003d C² * sin (α) / 2 का उपयोग करें।