डिग्री
संख्या सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी)बुलाया एन-संख्या की घात ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए), अगर
सी = ए ⋅ ए ⋅ . . . ⋅ a ⏟ n (\displaystyle c=\underbrace (a\cdot a\cdot ...\cdot a) _(n)).गुण:
- (a b) n = a n b n (\displaystyle \left(ab\right)^(n)=a^(n)b^(n))
- (a b) n = a n b n (\displaystyle \left((a \over b)\right)^(n)=((a^(n)) \over (b^(n))))
- a n a m = a n + m (\displaystyle a^(n)a^(m)=a^(n+m))
- a n a m = a n - m (\displaystyle \left.(a^(n) \over (a^(m)))\right.=a^(n-m))
- (a n) m = a n m (\displaystyle \left(a^(n)\right)^(m)=a^(nm))
- रिकॉर्ड में साहचर्यता (संयोजनशीलता) का गुण नहीं है, अर्थात, सामान्य स्थिति में, बाएँ साहचर्यता दाएँ साहचर्य के बराबर नहीं है (a n) m ≠ a (n m) (\displaystyle (a^(n))^(m)\neq a^(\left((n^(m))\right))), परिणाम क्रियाओं के अनुक्रम पर निर्भर करेगा, उदाहरण के लिए, (2 2) 3 = 4 3 = 64 (\displaystyle (2^(2))^(3)=4^(3)=64), ए 2 (2 3) = 2 8 = 256 (\displaystyle 2^(\left((2^(3))\right))=2^(8)=256). आम तौर पर यह स्वीकार किया जाता है कि रिकार्ड a n m (\displaystyle a^(n^(m)))समकक्ष a (n m) (\displaystyle a^(\left((n^(m))\right))), और इसके बजाय (a n) m (\displaystyle (a^(n))^(m))आप सरलता से लिख सकते हैं a n m (\displaystyle a^(nm)), पिछली संपत्ति का उपयोग करना। हालाँकि, कुछ प्रोग्रामिंग भाषाएँ इस सम्मेलन का पालन नहीं करती हैं (देखें);
- घातांक में क्रमविनिमेयता का गुण नहीं होता है: सामान्यतया, a b ≠ b a (\displaystyle a^(b)\neq b^(a)), उदाहरण के लिए, 2 5 = 32 (\displaystyle 2^(5)=32), लेकिन 5 2 = 25 (\displaystyle 5^(2)=25).
असली डिग्री
होने देना a ⩾ 0 , r (\displaystyle a\geqslant 0,r)- वास्तविक संख्याएँ, और आर (\डिस्प्लेस्टाइल आर)- अपरिमेय संख्या। आइए मान को इस प्रकार परिभाषित करें।
जैसा कि ज्ञात है, किसी भी वास्तविक संख्या का अनुमान ऊपर और नीचे से, दो परिमेय संख्याओं द्वारा लगाया जा सकता है, अर्थात इसे इसके लिए चुना जा सकता है आर (\डिस्प्लेस्टाइल आर)तर्कसंगत अंतराल [पी, क्यू] (\प्रदर्शन शैली)सटीकता की किसी भी डिग्री के साथ. फिर सभी संगत अंतरालों का उभयनिष्ठ भाग [ए पी, ए क्यू] (\डिस्प्लेस्टाइल)इसमें एक बिंदु होता है, जिसे इस प्रकार लिया जाता है ए आर (\डिस्प्लेस्टाइल ए^(आर)).
एक अन्य दृष्टिकोण श्रृंखला और लघुगणक के सिद्धांत पर आधारित है (देखें)।
पोटेंशिएशन
एकीकृत डिग्री
पहले हम दिखाएंगे कि घातांक की गणना कैसे की जाती है e z (\displaystyle e^(z)), कहाँ इ- यूलर संख्या, जेड- मनमाना सम्मिश्र संख्या, z = x + y i (\displaystyle z=x+yi).
ई जेड = ई एक्स ई वाई आई = ई एक्स (कॉस वाई + आई सिन वाई) = ई एक्स कॉस वाई + आई ई एक्स सिन वाई। (\displaystyle e^(z)=e^(x)e^(yi)=e^(x)(\cos y+i\sin y)=e^(x)\cos y+ie^(x) \ पाप y.)अब सामान्य मामले पर विचार करें, कहां ए , बी (\डिस्प्लेस्टाइल ए,बी)दोनों सम्मिश्र संख्याएँ हैं। ऐसा करने का सबसे आसान तरीका कल्पना करना है ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)घातांकीय रूप में और पहचान का उपयोग करते हुए a b = e b Ln (a) (\displaystyle a^(b)=e^(b\ \operatorname (Ln) (a))), कहाँ एलएन (\displaystyle \ऑपरेटरनाम (एलएन) )- जटिल लघुगणक:
ए बी = (आर ई θ आई) बी = (ई एलएन (आर) + θ आई) बी = ई (एलएन (आर) + θ आई) बी। (\displaystyle a^(b)=(re^((\theta )i))^(b)=(e^(\operatorname (Ln) (r)+(\theta )i))^(b)= e^((\operatorname (Ln) (r)+(\theta )i)b).)यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि जटिल लघुगणक एक बहुमूल्यवान फ़ंक्शन है, इसलिए, आम तौर पर बोलते हुए, जटिल शक्ति विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं होती है।
एक समारोह के रूप में डिग्री
चूँकि अभिव्यक्ति दो वर्णों का उपयोग करती है ( एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x)और वाई (\डिस्प्लेस्टाइल वाई)), तो इसे तीन कार्यों में से एक माना जा सकता है:
उपयोगी सूत्र
X y = a y log a x (\displaystyle x^(y)=a^(y\log _(a)x)) x y = e y ln x (\displaystyle x^(y)=e^(y\ln x)) x y = 10 y lg x (\displaystyle x^(y)=10^(y\lg x))
अंतिम दो सूत्रों का उपयोग इलेक्ट्रॉनिक कैलकुलेटर (कंप्यूटर प्रोग्राम सहित) पर सकारात्मक संख्याओं को मनमानी शक्ति तक बढ़ाने के लिए किया जाता है जिनमें कोई अंतर्निहित फ़ंक्शन नहीं होता है x y (\displaystyle x^(y)).
मौखिक भाषण में उपयोग
अभिलेख a n (\displaystyle a^(n))आमतौर पर "के रूप में पढ़ा जाता है एवी एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन)वें डिग्री" या " एएक स्तर तक एन" उदाहरण के लिए, 10 4 (\प्रदर्शन शैली 10^(4))"दस से चौथी घात" के रूप में पढ़ें 10 3 / 2 (\प्रदर्शन शैली 10^(3/2))इसे "तीन सेकंड की घात दस (या: डेढ़)" के रूप में पढ़ा जाता है।
दूसरी और तीसरी शक्तियों के लिए विशेष नाम हैं: क्रमशः वर्ग और घन। उदाहरण के लिए, 10 2 (\प्रदर्शनशैली 10^(2))"दस वर्ग" के रूप में पढ़ें 10 3 (\प्रदर्शन शैली 10^(3))"दस घन" के रूप में पढ़ें। यह शब्दावली प्राचीन यूनानी गणित से उत्पन्न हुई है। प्राचीन यूनानियों ने ज्यामितीय बीजगणित की भाषा में बीजगणितीय निर्माण तैयार किए (अंग्रेज़ी)रूसी. विशेष रूप से, "गुणा" शब्द का उपयोग करने के बजाय उन्होंने क्षेत्रफल a 3 (\displaystyle a^(3)) के बारे में बात की - यह "है एअपने आप से गुणा तीनटाइम्स", जिसका अर्थ है कि तीन कारक लिए गए हैं ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए). यह पूरी तरह से सटीक नहीं है, और इससे अस्पष्टता हो सकती है क्योंकि गुणन संक्रियाओं की संख्या एक कम होगी: a 3 = a ⋅ a ⋅ a (\displaystyle a^(3)=a\cdot a\cdot a)(तीन गुणक, लेकिन दो गुणन संक्रियाएँ)। अक्सर जब वे कहते हैं, "और के रूप में दर्शाया गया है x I V (\displaystyle x^(IV))क्रमश । डेसकार्टेस से शुरुआत करते हुए, डिग्री को फॉर्म के "दो-मंजिला" अंकन द्वारा दर्शाया गया था a b (\displaystyle a^(b)).
कंप्यूटर और कंप्यूटर प्रोग्राम के आगमन के साथ, एक समस्या उत्पन्न हुई कि कंप्यूटर प्रोग्राम के पाठ में डिग्री को "दो मंजिला" रूप में लिखना असंभव है। इस संबंध में, घातांक के संचालन को इंगित करने के लिए विशेष प्रतीकों का आविष्कार किया गया था। ऐसा पहला आइकन दो सितारे थे।
प्रोग्रामिंग भाषाओं और कंप्यूटर सिस्टम में कुछ घातांक चिह्न।
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सबसे पहले, आइए शक्तियों और उनके गुणों के मूल सूत्रों को याद रखें।
किसी संख्या का गुणनफल एस्वयं n बार घटित होता है, हम इस अभिव्यक्ति को a a … a=a n के रूप में लिख सकते हैं
1. ए 0 = 1 (ए ≠ 0)
3. ए एन ए एम = ए एन + एम
4. (ए एन) एम = ए एनएम
5. ए एन बी एन = (एबी) एन
7. ए एन / ए एम = ए एन - एम
शक्ति या घातीय समीकरण- ये ऐसे समीकरण हैं जिनमें चर घातों (या घातांक) में हैं, और आधार एक संख्या है।
घातांकीय समीकरणों के उदाहरण:
इस उदाहरण में, संख्या 6 आधार है; यह हमेशा सबसे नीचे है, और चर है एक्सडिग्री या सूचक.
आइए हम घातीय समीकरणों के और उदाहरण दें।
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0
अब देखते हैं कि घातीय समीकरणों को कैसे हल किया जाता है?
आइए एक सरल समीकरण लें:
2 एक्स = 2 3
यह उदाहरण आपके दिमाग में भी हल हो सकता है। यह देखा जा सकता है कि x=3. आख़िरकार, बाएँ और दाएँ पक्ष बराबर होने के लिए, आपको x के स्थान पर संख्या 3 डालनी होगी।
अब आइए देखें कि इस निर्णय को औपचारिक रूप कैसे दिया जाए:
2 एक्स = 2 3
एक्स = 3
ऐसे समीकरण को हल करने के लिए, हमने हटा दिया समान आधार(अर्थात, दो) और जो बचा था उसे लिख लिया, ये डिग्रियाँ हैं। हमें वह उत्तर मिल गया जिसकी हम तलाश कर रहे थे।
आइए अब अपने निर्णय को संक्षेप में प्रस्तुत करें।
घातीय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम:
1. जाँच करने की आवश्यकता है जो उसीक्या समीकरण का आधार दाएँ और बाएँ है। यदि कारण समान नहीं हैं, तो हम इस उदाहरण को हल करने के लिए विकल्प तलाश रहे हैं।
2. आधार एक समान हो जाने पर, समान बनानाडिग्री और परिणामी नए समीकरण को हल करें।
आइए अब कुछ उदाहरण देखें:
आइए कुछ सरल से शुरुआत करें।
बायीं और दायीं ओर के आधार संख्या 2 के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम आधार को त्याग सकते हैं और उनकी डिग्री को बराबर कर सकते हैं।
x+2=4 सबसे सरल समीकरण प्राप्त होता है।
x=4 – 2
एक्स=2
उत्तर: x=2
निम्नलिखित उदाहरण में आप देख सकते हैं कि आधार भिन्न हैं: 3 और 9.
3 3x - 9 x+8 = 0
सबसे पहले, नौ को दाहिनी ओर ले जाएँ, हमें मिलता है:
अब आपको वही आधार बनाने की जरूरत है। हम जानते हैं कि 9=3 2. आइए शक्ति सूत्र (a n) m = a nm का उपयोग करें।
3 3x = (3 2) x+8
हमें 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16 मिलता है
3 3x = 3 2x+16 अब यह स्पष्ट है कि बायीं और दायीं ओर आधार समान हैं और तीन के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम उन्हें त्याग सकते हैं और डिग्री को बराबर कर सकते हैं।
3x=2x+16 हमें सबसे सरल समीकरण मिलता है
3x - 2x=16
एक्स=16
उत्तर: x=16.
आइए निम्नलिखित उदाहरण देखें:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
सबसे पहले, हम आधारों को देखते हैं, आधार दो और चार। और हमें चाहिए कि वे भी वैसे ही हों। हम सूत्र (a n) m = a nm का उपयोग करके चारों को रूपांतरित करते हैं।
4 एक्स = (2 2) एक्स = 2 2एक्स
और हम एक सूत्र a n a m = a n + m का भी उपयोग करते हैं:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
समीकरण में जोड़ें:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
हमने उन्हीं कारणों से एक उदाहरण दिया। लेकिन अन्य अंक 10 और 24 हमें परेशान करते हैं। उनका क्या करें? यदि आप ध्यान से देखें तो आप देख सकते हैं कि बाईं ओर हमने 2 2x को दोहराया है, यहां उत्तर है - हम 2 2x को कोष्ठक से बाहर रख सकते हैं:
2 2x (2 4 - 10) = 24
आइए कोष्ठक में अभिव्यक्ति की गणना करें:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
हम पूरे समीकरण को 6 से विभाजित करते हैं:
आइए कल्पना करें 4=2 2:
2 2x = 2 2 आधार समान हैं, हम उन्हें त्याग देते हैं और डिग्री को बराबर करते हैं।
2x = 2 सबसे सरल समीकरण है. इसे 2 से विभाजित करें और हमें प्राप्त होता है
एक्स = 1
उत्तर: एक्स = 1.
आइए समीकरण हल करें:
9 x – 12*3 x +27= 0
आइए परिवर्तन करें:
9 एक्स = (3 2) एक्स = 3 2एक्स
हमें समीकरण मिलता है:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
हमारे आधार समान हैं, तीन के बराबर। इस उदाहरण में, आप देख सकते हैं कि पहले तीन की डिग्री दूसरे (सिर्फ x) की तुलना में दोगुनी (2x) है। इस मामले में, आप हल कर सकते हैं प्रतिस्थापन विधि. हम संख्या को सबसे छोटी डिग्री से बदलते हैं:
तब 3 2x = (3 x) 2 = t 2
हम समीकरण में सभी x शक्तियों को t से प्रतिस्थापित करते हैं:
टी 2 - 12टी+27 = 0
हमें एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है। विवेचक के माध्यम से हल करने पर, हमें मिलता है:
डी=144-108=36
टी 1 = 9
टी2 = 3
वेरिएबल पर लौटना एक्स.
टी 1 लें:
टी 1 = 9 = 3 एक्स
वह है,
3 एक्स = 9
3 एक्स = 3 2
एक्स 1 = 2
एक जड़ मिल गयी. हम टी 2 से दूसरे की तलाश कर रहे हैं:
टी 2 = 3 = 3 एक्स
3 एक्स = 3 1
एक्स 2 = 1
उत्तर: x 1 = 2; एक्स 2 = 1.
वेबसाइट पर आप हेल्प डिसाइड सेक्शन में अपना कोई भी प्रश्न पूछ सकते हैं, हम निश्चित रूप से आपको उत्तर देंगे।
समूह में शामिल हो
संख्या और डिग्री दर्ज करें, फिर = दबाएँ।
^डिग्री की तालिका
उदाहरण: 2 3 =8
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डिग्री के गुण - 2 भाग
बीजगणित में मुख्य डिग्रियों की एक तालिका संक्षिप्त रूप में (चित्र, मुद्रण के लिए सुविधाजनक), संख्या के शीर्ष पर, डिग्री के किनारे पर।
य (एक्स) = ई एक्स, जिसका व्युत्पन्न स्वयं फ़ंक्शन के बराबर है।प्रतिपादक को , या के रूप में दर्शाया जाता है।
संख्या ई
घातांक डिग्री का आधार है संख्या ई. यह एक अपरिमेय संख्या है. यह लगभग बराबर है
इ ≈ 2,718281828459045...
संख्या ई अनुक्रम की सीमा के माध्यम से निर्धारित की जाती है। यह तथाकथित है दूसरी अद्भुत सीमा:
.
संख्या ई को एक श्रृंखला के रूप में भी दर्शाया जा सकता है:
.
घातीय ग्राफ
घातीय ग्राफ़, y = e x .ग्राफ़ घातांक दिखाता है इएक स्तर तक एक्स.
य (एक्स) = ई एक्स
ग्राफ से पता चलता है कि घातांक नीरस रूप से बढ़ता है।
सूत्रों
बुनियादी सूत्र डिग्री ई के आधार के साथ घातीय फ़ंक्शन के समान हैं।
;
;
;
एक घातांक के माध्यम से डिग्री के एक मनमाना आधार के साथ एक घातांकीय फलन की अभिव्यक्ति:
.
निजी मूल्य
चलो y (एक्स) = ई एक्स. तब
.
प्रतिपादक गुण
घातांक में घातांकीय फलन के गुण होते हैं इ > 1 .
डोमेन, मानों का सेट
प्रतिपादक वाई (एक्स) = ई एक्ससभी x के लिए परिभाषित।
इसकी परिभाषा का क्षेत्र:
- ∞ < x + ∞
.
इसके कई अर्थ हैं:
0
< y < + ∞
.
चरम, बढ़ रहा है, घट रहा है
घातांक एक नीरस रूप से बढ़ने वाला कार्य है, इसलिए इसका कोई चरम नहीं है। इसके मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किये गये हैं।
उलटा काम करना
घातांक का व्युत्क्रम प्राकृतिक लघुगणक है।
;
.
प्रतिपादक की व्युत्पत्ति
यौगिक इएक स्तर तक एक्सके बराबर इएक स्तर तक एक्स
:
.
nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
सूत्र व्युत्पन्न करना > > >
अभिन्न
जटिल आंकड़े
जटिल संख्याओं के साथ संचालन का उपयोग करके किया जाता है यूलर के सूत्र:
,
काल्पनिक इकाई कहाँ है:
.
अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ
;
;
.
त्रिकोणमितीय फलनों का उपयोग करते हुए व्यंजक
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;
;
.
शक्ति शृंखला विस्तार
सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।
डिग्री सूत्रसमीकरणों और असमानताओं को हल करने में, जटिल अभिव्यक्तियों को कम करने और सरल बनाने की प्रक्रिया में उपयोग किया जाता है।
संख्या सीहै एन-किसी संख्या की घात एकब:
डिग्री के साथ संचालन.
1. अंशों को एक ही आधार से गुणा करने पर उनके संकेतक जोड़े जाते हैं:
पूर्वाह्न·ए एन = ए एम + एन .
2. अंशों को समान आधार से विभाजित करने पर उनके घातांक घटा दिए जाते हैं:
3. 2 या अधिक कारकों के उत्पाद की डिग्री इन कारकों की डिग्री के उत्पाद के बराबर है:
(एबीसी…) एन = ए एन · बी एन · सी एन …
4. भिन्न की डिग्री लाभांश और भाजक की डिग्री के अनुपात के बराबर होती है:
(ए/बी) एन = ए एन /बी एन।
5. एक घात को एक घात तक बढ़ाने पर, घातांक को गुणा किया जाता है:
(ए एम) एन = ए एम एन।
उपरोक्त प्रत्येक सूत्र बाएँ से दाएँ और इसके विपरीत दिशाओं में सत्य है।
उदाहरण के लिए. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
जड़ों के साथ संचालन.
1. कई कारकों के उत्पाद का मूल इन कारकों की जड़ों के उत्पाद के बराबर है:
2. किसी अनुपात का मूल लाभांश और मूल के भाजक के अनुपात के बराबर होता है:
3. किसी जड़ को किसी घात तक बढ़ाते समय, मूलांक को इस घात तक बढ़ाने के लिए पर्याप्त है:
4. यदि आप जड़ की डिग्री बढ़ाते हैं एनएक बार और एक ही समय में निर्माण करें एनवां घात एक मूल संख्या है, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:
5. यदि आप जड़ की डिग्री को कम करते हैं एनउसी समय जड़ निकालें एन-किसी मूलांक की घात, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:
नकारात्मक घातांक वाली डिग्री.एक गैर-धनात्मक (पूर्णांक) घातांक वाली एक निश्चित संख्या की घात को गैर-धनात्मक घातांक के निरपेक्ष मान के बराबर घातांक वाली उसी संख्या की घात से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया गया है:
FORMULA पूर्वाह्न:ए एन =ए एम - एनन केवल के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है एम> एन, लेकिन साथ भी एम< एन.
उदाहरण के लिए. ए4:ए 7 = ए 4 - 7 = ए -3.
सूत्रीकरण के लिए पूर्वाह्न:ए एन =ए एम - एनकब निष्पक्ष हो गया म=एनशून्य डिग्री की उपस्थिति आवश्यक है.
शून्य सूचकांक वाली डिग्री.शून्य घातांक वाली किसी भी संख्या की घात शून्य के बराबर नहीं होती है।
उदाहरण के लिए. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री.वास्तविक संख्या बढ़ाने के लिए एडिग्री तक एम/एन, आपको जड़ निकालने की जरूरत है एनकी डिग्री एम-इस संख्या की घात ए.
