विएटा के प्रमेय का उपयोग अक्सर उन जड़ों की जांच के लिए किया जाता है जो पहले ही पाई जा चुकी हैं। यदि आपको मूल मिल गए हैं, तो आप \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) सूत्रों का उपयोग करके \(p) के मान की गणना कर सकते हैं \) और \(q\ ). और यदि वे मूल समीकरण के समान ही निकलते हैं, तो मूल सही पाए जाते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए, का उपयोग करके, समीकरण \(x^2+x-56=0\) को हल करें और मूल प्राप्त करें: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). आइए जाँच करें कि क्या हमने समाधान प्रक्रिया में कोई गलती की है। हमारे मामले में, \(p=1\), और \(q=-56\). विएटा के प्रमेय से हमारे पास है:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

दोनों कथन अभिसरण हुए, जिसका अर्थ है कि हमने समीकरण को सही ढंग से हल किया।

यह जाँच मौखिक रूप से की जा सकती है। इसमें 5 सेकंड का समय लगेगा और यह आपको मूर्खतापूर्ण गलतियों से बचाएगा।

विएटा का व्युत्क्रम प्रमेय

यदि \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), तो \(x_1\) और \(x_2\) द्विघात समीकरण के मूल हैं \ (x^ 2+px+q=0\).

या सरल तरीके से: यदि आपके पास \(x^2+px+q=0\) फॉर्म का समीकरण है, तो सिस्टम को हल करें \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) आपको इसकी जड़ें मिलेंगी।

इस प्रमेय के लिए धन्यवाद, आप द्विघात समीकरण की जड़ों को जल्दी से पा सकते हैं, खासकर यदि ये जड़ें हैं। यह कौशल महत्वपूर्ण है क्योंकि यह बहुत समय बचाता है।

उदाहरण . समीकरण \(x^2-5x+6=0\) को हल करें।

समाधान : विएटा के व्युत्क्रम प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि जड़ें शर्तों को पूरा करती हैं: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\)।
सिस्टम के दूसरे समीकरण \(x_1 \cdot x_2=6\) को देखें। संख्या \(6\) को किन दो भागों में विघटित किया जा सकता है? \(2\) और \(3\), \(6\) और \(1\) या \(-2\) और \(-3\), और \(-6\) और \(- पर) 1\). सिस्टम का पहला समीकरण आपको बताएगा कि कौन सा जोड़ा चुनना है: \(x_1+x_2=5\). \(2\) और \(3\) समान हैं, क्योंकि \(2+3=5\).
उत्तर : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

उदाहरण . विएटा के प्रमेय के व्युत्क्रम का उपयोग करके, द्विघात समीकरण की जड़ें खोजें:
ए) \(x^2-15x+14=0\); बी) \(x^2+3x-4=0\); सी) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

समाधान :
a) \(x^2-15x+14=0\) - \(14\) किन कारकों में विघटित होता है? \(2\) और \(7\), \(-2\) और \(-7\), \(-1\) और \(-14\), \(1\) और \(14\) ). संख्याओं के किन युग्मों का योग \(15\) बनता है? उत्तर: \(1\) और \(14\).

बी) \(x^2+3x-4=0\) - \(-4\) किन कारकों में विघटित होता है? \(-2\) और \(2\), \(4\) और \(-1\), \(1\) और \(-4\). संख्याओं के किन युग्मों का योग \(-3\) बनता है? उत्तर: \(1\) और \(-4\).

सी) \(x^2+9x+20=0\) - \(20\) किन कारकों में विघटित होता है? \(4\) और \(5\), \(-4\) और \(-5\), \(2\) और \(10\), \(-2\) और \(-10\ ), \(-20\) और \(-1\), \(20\) और \(1\). संख्याओं के किन युग्मों का योग \(-9\) बनता है? उत्तर: \(-4\) और \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) - \(780\) किन कारकों में विघटित होता है? \(390\) और \(2\). क्या उनका योग \(88\) होगा? नहीं। \(780\) में अन्य कौन से गुणक हैं? \(78\) और \(10\). क्या उनका योग \(88\) होगा? हाँ। उत्तर: \(78\) और \(10\).

अंतिम पद को सभी संभावित कारकों में विस्तारित करना आवश्यक नहीं है (जैसा कि पिछले उदाहरण में है)। आप तुरंत जांच सकते हैं कि उनका योग \(-p\) देता है या नहीं।

महत्वपूर्ण!विएटा का प्रमेय और व्युत्क्रम प्रमेय केवल के साथ काम करते हैं, अर्थात, जिसके लिए \(x^2\) का गुणांक एक के बराबर है। यदि हमें शुरू में एक गैर-घटाया हुआ समीकरण दिया गया था, तो हम इसे केवल \(x^2\) के सामने वाले गुणांक से विभाजित करके कम कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि समीकरण \(2x^2-4x-6=0\) दिया गया है और हम विएटा के प्रमेय में से एक का उपयोग करना चाहते हैं। लेकिन हम ऐसा नहीं कर सकते, क्योंकि \(x^2\) का गुणांक \(2\) के बराबर है। आइए पूरे समीकरण को \(2\) से विभाजित करके इससे छुटकारा पाएं।

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

तैयार। अब आप दोनों प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नों के उत्तर

सवाल: विएटा के प्रमेय का उपयोग करके, किसी को हल करना संभव है?
उत्तर: दुर्भाग्यवश नहीं। यदि समीकरण में पूर्णांक नहीं हैं या समीकरण का कोई मूल नहीं है, तो विएटा का प्रमेय मदद नहीं करेगा। ऐसे में आपको इस्तेमाल करने की जरूरत है विभेदक . सौभाग्य से, स्कूली गणित पाठ्यक्रम में 80% समीकरणों का समाधान पूर्णांक होता है।

स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में दूसरे क्रम के समीकरणों को हल करने के तरीकों का अध्ययन करते समय, परिणामी जड़ों के गुणों पर विचार किया जाता है। वे वर्तमान में विएटा के प्रमेय के रूप में जाने जाते हैं। इस आलेख में इसके उपयोग के उदाहरण दिये गये हैं।

द्विघात समीकरण

दूसरे क्रम का समीकरण नीचे दी गई तस्वीर में दिखाई गई समानता है।

यहां प्रतीक ए, बी, सी कुछ संख्याएं हैं जिन्हें विचाराधीन समीकरण के गुणांक कहा जाता है। किसी समानता को हल करने के लिए, आपको x के मान खोजने होंगे जो इसे सत्य बनाते हैं।

ध्यान दें कि चूँकि x को जिस अधिकतम शक्ति तक बढ़ाया जा सकता है वह दो है, तो सामान्य स्थिति में जड़ों की संख्या भी दो है।

इस प्रकार की समानताओं को हल करने के कई तरीके हैं। इस लेख में हम उनमें से एक पर विचार करेंगे, जिसमें तथाकथित विएटा प्रमेय का उपयोग शामिल है।

विएटा के प्रमेय का निरूपण

16वीं शताब्दी के अंत में, प्रसिद्ध गणितज्ञ फ्रेंकोइस विएते (फ्रांसीसी) ने विभिन्न द्विघात समीकरणों की जड़ों के गुणों का विश्लेषण करते हुए देखा कि उनमें से कुछ संयोजन विशिष्ट संबंधों को संतुष्ट करते हैं। विशेष रूप से, ये संयोजन उनके उत्पाद और योग हैं।

विएटा का प्रमेय निम्नलिखित स्थापित करता है: एक द्विघात समीकरण की जड़ें, जब संक्षेपित होती हैं, तो विपरीत चिह्न के साथ लिए गए रैखिक और द्विघात गुणांक का अनुपात देती हैं, और जब उन्हें गुणा किया जाता है, तो वे मुक्त पद और द्विघात गुणांक के अनुपात की ओर ले जाते हैं। .

यदि समीकरण का सामान्य रूप लेख के पिछले भाग में फोटो में दिखाए अनुसार लिखा जाए, तो गणितीय रूप से यह प्रमेय दो समानताओं के रूप में लिखा जा सकता है:

• आर 2 + आर 1 = -बी/ए;
• आर 1 एक्स आर 2 = सी/ए.

जहाँ r 1, r 2 प्रश्नगत समीकरण के मूलों का मान है।

उपरोक्त दो समानताओं का उपयोग विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। समाधान के साथ उदाहरणों में विएटा के प्रमेय का उपयोग लेख के निम्नलिखित अनुभागों में दिया गया है।

द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच, मूल सूत्रों के अलावा, अन्य उपयोगी संबंध भी दिए गए हैं विएटा का प्रमेय. इस लेख में हम द्विघात समीकरण के लिए विएटा के प्रमेय का सूत्रीकरण और प्रमाण देंगे। आगे हम विएटा के प्रमेय के विपरीत प्रमेय पर विचार करते हैं। इसके बाद, हम सबसे विशिष्ट उदाहरणों के समाधानों का विश्लेषण करेंगे। अंत में, हम विएटा सूत्र लिखते हैं जो वास्तविक जड़ों के बीच संबंध को परिभाषित करते हैं बीजगणितीय समीकरणडिग्री n और उसके गुणांक।

पेज नेविगेशन.

विएटा का प्रमेय, सूत्रीकरण, प्रमाण

द्विघात समीकरण a·x 2 +b·x+c=0 के रूप के मूलों के सूत्रों से, जहां D=b 2 −4·a·c, निम्नलिखित संबंध निम्नानुसार हैं: x 1 +x 2 =− बी/ए, एक्स 1 ·एक्स 2 = सी/ए। इन परिणामों की पुष्टि की जाती है विएटा का प्रमेय:

प्रमेय.

अगर x 1 और x 2 द्विघात समीकरण a x 2 +b x+c=0 के मूल हैं, तो मूलों का योग विपरीत चिह्न के साथ लिए गए गुणांक b और a के अनुपात और के गुणनफल के बराबर होता है मूल गुणांक c और a के अनुपात के बराबर है, अर्थात।

सबूत।

हम निम्नलिखित योजना के अनुसार विएटा के प्रमेय का प्रमाण देंगे: हम ज्ञात मूल सूत्रों का उपयोग करके द्विघात समीकरण की जड़ों का योग और उत्पाद बनाते हैं, फिर हम परिणामी अभिव्यक्तियों को बदलते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि वे −b/ के बराबर हैं ए और सी/ए, क्रमशः।

आइए जड़ों के योग से शुरू करें और इसे बनाएं। अब हम भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में लाते हैं, हमारे पास है। परिणामी भिन्न के अंश में, जिसके बाद:. अंत में, 2 के बाद, हमें मिलता है। यह द्विघात समीकरण के मूलों के योग के लिए विएटा के प्रमेय का पहला संबंध सिद्ध करता है। चलिए दूसरे पर चलते हैं।

हम द्विघात समीकरण की जड़ों का उत्पाद बनाते हैं:। भिन्नों को गुणा करने के नियम के अनुसार अंतिम गुणनफल को इस प्रकार लिखा जा सकता है। अब हम अंश में एक कोष्ठक को एक कोष्ठक से गुणा करते हैं, लेकिन इस गुणनफल को संक्षिप्त करना अधिक तेज़ है वर्ग अंतर सूत्र, इसलिए । फिर, याद करते हुए, हम अगला परिवर्तन करते हैं। और चूँकि द्विघात समीकरण का विभेदक सूत्र D=b 2 −4·a·c से मेल खाता है, तो अंतिम भिन्न में D के स्थान पर हम b 2 −4·a·c प्रतिस्थापित कर सकते हैं, हमें मिलता है। कोष्ठकों को खोलने और समान पदों को लाने के बाद, हम भिन्न पर पहुंचते हैं, और इसे 4·a से घटाने पर प्राप्त होता है। यह जड़ों के गुणनफल के लिए विएटा के प्रमेय का दूसरा संबंध सिद्ध करता है।

यदि हम स्पष्टीकरणों को छोड़ दें, तो विएटा के प्रमेय का प्रमाण एक संक्षिप्त रूप ले लेगा:
,
.

यह केवल ध्यान देने योग्य है कि यदि विभेदक शून्य के बराबर है, तो द्विघात समीकरण का एक मूल होता है। हालाँकि, अगर हम मानते हैं कि इस मामले में समीकरण की दो समान जड़ें हैं, तो विएटा के प्रमेय से समानताएं भी लागू होंगी। वास्तव में, जब D=0 द्विघात समीकरण का मूल , तब और के बराबर होता है, और चूँकि D=0, अर्थात, b 2 −4·a·c=0, जहां से b 2 =4·a·c, तब .

व्यवहार में, विएटा के प्रमेय का उपयोग अक्सर x 2 +p·x+q=0 के रूप के कम किए गए द्विघात समीकरण (1 के बराबर अग्रणी गुणांक के साथ) के संबंध में किया जाता है। कभी-कभी इसे केवल इसी प्रकार के द्विघात समीकरणों के लिए तैयार किया जाता है, जो व्यापकता को सीमित नहीं करता है, क्योंकि किसी भी द्विघात समीकरण को एक गैर-शून्य संख्या ए द्वारा दोनों पक्षों को विभाजित करके समकक्ष समीकरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। आइए हम विएटा के प्रमेय का संगत सूत्रीकरण दें:

प्रमेय.

घटे हुए द्विघात समीकरण x 2 +p x+q=0 के मूलों का योग विपरीत चिह्न के साथ लिए गए x के गुणांक के बराबर है, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है, अर्थात x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

प्रमेय विएटा के प्रमेय से मेल खाता है

विएटा के प्रमेय का दूसरा सूत्रीकरण, पिछले पैराग्राफ में दिया गया है, जो दर्शाता है कि यदि x 1 और x 2 घटे हुए द्विघात समीकरण x 2 +p x+q=0 के मूल हैं, तो संबंध x 1 +x 2 =−p , एक्स 1 एक्स 2 =क्यू. दूसरी ओर, लिखित संबंध x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q से यह निष्कर्ष निकलता है कि x 1 और x 2 द्विघात समीकरण x 2 +p x+q=0 के मूल हैं। दूसरे शब्दों में, विएटा के प्रमेय का विपरीत सत्य है। आइए इसे एक प्रमेय के रूप में तैयार करें और सिद्ध करें।

प्रमेय.

यदि संख्याएँ x 1 और x 2 ऐसी हैं कि x 1 +x 2 =−p और x 1 · x 2 =q, तो x 1 और x 2 घटे हुए द्विघात समीकरण x 2 +p · x+q के मूल हैं =0.

सबूत।

समीकरण x 2 +p·x+q=0 में गुणांक p और q को x 1 और x 2 के माध्यम से उनके व्यंजकों से बदलने के बाद, यह एक समतुल्य समीकरण में बदल जाता है।

आइए हम परिणामी समीकरण में x के स्थान पर संख्या x 1 रखें, और हमारे पास समानता है x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, जो किसी भी x 1 और x 2 के लिए सही संख्यात्मक समानता 0=0 को दर्शाता है एक्स 1 2 −(एक्स 1 +एक्स 2) एक्स 1 +एक्स 1 एक्स 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. इसलिए, x 1 समीकरण का मूल है x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, जिसका अर्थ है कि x 1 समतुल्य समीकरण x 2 +p·x+q=0 का मूल है।

यदि समीकरण में x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 x के स्थान पर संख्या x 2 रखें, हमें समानता प्राप्त होती है x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. चूँकि, यह सच्ची समानता है एक्स 2 2 −(एक्स 1 +एक्स 2) एक्स 2 +एक्स 1 एक्स 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. इसलिए, x 2 भी समीकरण का मूल है x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, और इसलिए समीकरण x 2 +p·x+q=0.

यह विएटा के प्रमेय के विपरीत प्रमेय का प्रमाण पूरा करता है।

विएटा के प्रमेय का उपयोग करने के उदाहरण

अब विएटा के प्रमेय और इसके विपरीत प्रमेय के व्यावहारिक अनुप्रयोग के बारे में बात करने का समय आ गया है। इस अनुभाग में हम कई सबसे विशिष्ट उदाहरणों के समाधानों का विश्लेषण करेंगे।

आइए विएटा के प्रमेय के विपरीत प्रमेय को लागू करके शुरुआत करें। यह जांचने के लिए इसका उपयोग करना सुविधाजनक है कि क्या दी गई दो संख्याएँ किसी दिए गए द्विघात समीकरण की जड़ें हैं। इस मामले में, उनके योग और अंतर की गणना की जाती है, जिसके बाद संबंधों की वैधता की जांच की जाती है। यदि ये दोनों संबंध संतुष्ट हैं, तो विएटा के प्रमेय के विपरीत प्रमेय के आधार पर, यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि ये संख्याएँ समीकरण की जड़ें हैं। यदि कम से कम एक संबंध संतुष्ट नहीं है, तो ये संख्याएँ द्विघात समीकरण की जड़ें नहीं हैं। इस दृष्टिकोण का उपयोग द्विघात समीकरणों को हल करते समय पाए गए मूलों की जांच के लिए किया जा सकता है।

उदाहरण।

संख्याओं का कौन सा जोड़ा 1) x 1 =−5, x 2 =3, या 2) या 3) द्विघात समीकरण 4 x 2 −16 x+9=0 के मूलों का एक जोड़ा है?

समाधान।

दिए गए द्विघात समीकरण 4 x 2 −16 x+9=0 के गुणांक a=4, b=−16, c=9 हैं। विएटा के प्रमेय के अनुसार, द्विघात समीकरण के मूलों का योग -b/a के बराबर होना चाहिए, अर्थात 16/4=4, और मूलों का गुणनफल c/a के बराबर होना चाहिए, अर्थात 9 /4.

आइए अब दिए गए तीन जोड़े में से प्रत्येक में संख्याओं के योग और उत्पाद की गणना करें, और उनकी तुलना अभी प्राप्त मूल्यों से करें।

पहले मामले में हमारे पास x 1 +x 2 =−5+3=−2 है। परिणामी मान 4 से भिन्न है, इसलिए आगे कोई जांच नहीं की जा सकती है, लेकिन विएटा के प्रमेय के विपरीत प्रमेय का उपयोग करके, कोई तुरंत निष्कर्ष निकाल सकता है कि संख्याओं की पहली जोड़ी दिए गए द्विघात समीकरण की जड़ों की एक जोड़ी नहीं है।

आइए दूसरे मामले पर चलते हैं। यहाँ, अर्थात्, पहली शर्त पूरी होती है। हम दूसरी शर्त की जाँच करते हैं: परिणामी मान 9/4 से भिन्न है। परिणामस्वरूप, संख्याओं का दूसरा युग्म द्विघात समीकरण के मूलों का युग्म नहीं है।

एक आखिरी मामला बाकी है. और यहाँ । दोनों शर्तें पूरी होती हैं, इसलिए ये संख्याएं x 1 और x 2 दिए गए द्विघात समीकरण की जड़ें हैं।

उत्तर:

विएटा के प्रमेय के व्युत्क्रम का उपयोग अभ्यास में द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए किया जा सकता है। आमतौर पर, पूर्णांक गुणांक वाले दिए गए द्विघात समीकरणों की पूर्णांक जड़ों का चयन किया जाता है, क्योंकि अन्य मामलों में ऐसा करना काफी कठिन होता है। इस मामले में, वे इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि यदि दो संख्याओं का योग एक ऋण चिह्न के साथ लिए गए द्विघात समीकरण के दूसरे गुणांक के बराबर है, और इन संख्याओं का उत्पाद मुक्त पद के बराबर है, तो ये संख्याएँ हैं इस द्विघात समीकरण की जड़ें. आइए इसे एक उदाहरण से समझते हैं.

आइए द्विघात समीकरण x 2 −5 x+6=0 लें। संख्याओं x 1 और x 2 को इस समीकरण की जड़ें बनाने के लिए, दो समानताएं संतुष्ट होनी चाहिए: x 1 + x 2 =5 और x 1 · x 2 =6। बस ऐसी संख्याओं का चयन करना बाकी है। इस मामले में, यह करना काफी सरल है: ऐसी संख्याएँ 2 और 3 हैं, क्योंकि 2+3=5 और 2·3=6। इस प्रकार, 2 और 3 इस द्विघात समीकरण के मूल हैं।

विएटा के प्रमेय के व्युत्क्रम प्रमेय का उपयोग किसी दिए गए द्विघात समीकरण की दूसरी जड़ को खोजने के लिए विशेष रूप से सुविधाजनक होता है जब जड़ों में से एक पहले से ही ज्ञात या स्पष्ट हो। इस मामले में, दूसरा मूल किसी भी रिश्ते से पाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, आइए द्विघात समीकरण 512 x 2 −509 x −3=0 लें। यहां यह देखना आसान है कि एकता समीकरण का मूल है, क्योंकि इस द्विघात समीकरण के गुणांकों का योग शून्य के बराबर है। तो x 1 =1. दूसरा मूल x 2 पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, संबंध x 1 ·x 2 =c/a से। हमारे पास 1 x 2 =−3/512 है, जिसमें से x 2 =−3/512 है। इस प्रकार हमने द्विघात समीकरण के दोनों मूल निर्धारित किए: 1 और −3/512।

यह स्पष्ट है कि जड़ों का चयन केवल सरलतम मामलों में ही उचित है। अन्य मामलों में, मूल खोजने के लिए, आप एक विवेचक के माध्यम से द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं।

विएटा के प्रमेय के व्युत्क्रम का एक अन्य व्यावहारिक अनुप्रयोग मूल x 1 और x 2 को देखते हुए द्विघात समीकरण बनाना है। ऐसा करने के लिए, मूलों के योग की गणना करना पर्याप्त है, जो दिए गए द्विघात समीकरण के विपरीत चिह्न के साथ x का गुणांक देता है, और मूलों का गुणनफल, जो मुक्त पद देता है।

उदाहरण।

एक द्विघात समीकरण लिखिए जिसके मूल −11 और 23 हैं।

समाधान।

आइए x 1 =−11 और x 2 =23 को निरूपित करें। हम इन संख्याओं के योग और गुणनफल की गणना करते हैं: x 1 +x 2 =12 और x 1 ·x 2 =−253। इसलिए, संकेतित संख्याएं -12 के दूसरे गुणांक और -253 के मुक्त पद के साथ कम किए गए द्विघात समीकरण की जड़ें हैं। अर्थात्, x 2 −12·x−253=0 आवश्यक समीकरण है।

उत्तर:

x 2 −12·x−253=0 .

द्विघात समीकरणों के मूलों के चिह्नों से संबंधित समस्याओं को हल करते समय विएटा के प्रमेय का अक्सर उपयोग किया जाता है। विएटा का प्रमेय घटे हुए द्विघात समीकरण x 2 +p·x+q=0 के मूलों के चिह्नों से किस प्रकार संबंधित है? यहां दो प्रासंगिक कथन हैं:

• यदि मुक्त पद q एक धनात्मक संख्या है और यदि द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक हैं, तो या तो वे दोनों धनात्मक हैं या दोनों ऋणात्मक हैं।
• यदि मुक्त पद q एक ऋणात्मक संख्या है और यदि द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक हैं, तो उनके चिह्न भिन्न-भिन्न होते हैं, दूसरे शब्दों में, एक मूल धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक होता है।

ये कथन सूत्र x 1 · x 2 =q के साथ-साथ धनात्मक, ऋणात्मक संख्याओं और विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को गुणा करने के नियमों का पालन करते हैं। आइए उनके अनुप्रयोग के उदाहरण देखें।

उदाहरण।

आर यह सकारात्मक है. विभेदक सूत्र का उपयोग करके हम पाते हैं D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, अभिव्यक्ति का मान r 2 +8 किसी भी वास्तविक r के लिए सकारात्मक है, इस प्रकार किसी भी वास्तविक r के लिए D>0 है। नतीजतन, मूल द्विघात समीकरण में पैरामीटर r के किसी भी वास्तविक मान के लिए दो जड़ें हैं।

आइए अब जानें कि जड़ों में कब अलग-अलग लक्षण होते हैं। यदि मूलों के चिह्न भिन्न-भिन्न हों तो उनका गुणनफल ऋणात्मक होता है और विएटा के प्रमेय के अनुसार घटे हुए द्विघात समीकरण के मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर होता है। इसलिए, हम r के उन मानों में रुचि रखते हैं जिनके लिए मुक्त पद r−1 ऋणात्मक है। इस प्रकार, आर के उन मूल्यों को खोजने के लिए जिनमें हम रुचि रखते हैं, हमें इसकी आवश्यकता है रैखिक असमानता को हल करेंआर−1<0 , откуда находим r<1 .

उत्तर:

आर पर<1 .

वियतनाम सूत्र

ऊपर हमने द्विघात समीकरण के लिए विएटा के प्रमेय के बारे में बात की और इसके द्वारा बताए गए रिश्तों का विश्लेषण किया। लेकिन ऐसे सूत्र हैं जो न केवल द्विघात समीकरणों के वास्तविक मूलों और गुणांकों को जोड़ते हैं, बल्कि घन समीकरणों, चौथी डिग्री के समीकरणों और सामान्य तौर पर भी जोड़ते हैं। बीजगणितीय समीकरणडिग्री एन. वे कहते हैं विएटा के सूत्र.

आइए फॉर्म की डिग्री n के बीजगणितीय समीकरण के लिए विएटा सूत्र लिखें, और हम मान लेंगे कि इसकी n वास्तविक जड़ें x 1, x 2, ..., x n हैं (उनमें से कुछ संयोग भी हो सकते हैं):

विएटा के सूत्र प्राप्त किये जा सकते हैं एक बहुपद को रैखिक गुणनखंडों में विघटित करने पर प्रमेय, साथ ही उनके सभी संगत गुणांकों की समानता के माध्यम से समान बहुपदों की परिभाषा। अतः बहुपद और उसके रूप के रैखिक गुणनखंडों में विस्तार बराबर है। अंतिम उत्पाद में कोष्ठक खोलने और संबंधित गुणांकों को बराबर करने पर, हमें विएटा के सूत्र प्राप्त होते हैं।

विशेष रूप से, n=2 के लिए हमारे पास द्विघात समीकरण के लिए पहले से ही परिचित Vieta सूत्र हैं।

घन समीकरण के लिए, विएटा के सूत्रों का रूप होता है

यह केवल ध्यान देने योग्य है कि विएटा के सूत्रों के बाईं ओर तथाकथित प्राथमिक हैं सममित बहुपद.

ग्रंथ सूची.

• बीजगणित:पाठयपुस्तक आठवीं कक्षा के लिए. सामान्य शिक्षा संस्थान / [यू. एन. मकार्यचेव, एन. जी. माइंड्युक, के. आई. नेशकोव, एस. बी. सुवोरोवा]; द्वारा संपादित एस. ए. तेल्यकोवस्की। - 16वाँ संस्करण। - एम.: शिक्षा, 2008. - 271 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019243-9।
• मोर्दकोविच ए.जी.बीजगणित. 8 वीं कक्षा। 2 घंटे में। भाग 1। सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच। - 11वां संस्करण, मिटाया गया। - एम.: मेनेमोसिन, 2009. - 215 पी.: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-01155-2।
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आठवीं कक्षा में, छात्रों को द्विघात समीकरणों और उन्हें हल करने के तरीके से परिचित कराया जाता है। उसी समय, जैसा कि अनुभव से पता चलता है, अधिकांश छात्र पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करते समय केवल एक विधि का उपयोग करते हैं - एक द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र। जिन छात्रों के पास अच्छा मानसिक अंकगणित कौशल है, उनके लिए यह विधि स्पष्ट रूप से तर्कहीन है। छात्रों को अक्सर हाई स्कूल में भी द्विघात समीकरणों को हल करना पड़ता है, और वहां विवेचक की गणना करने में समय बर्बाद करना अफ़सोस की बात है। मेरी राय में, द्विघात समीकरणों का अध्ययन करते समय, विएटा के प्रमेय के अनुप्रयोग पर अधिक समय और ध्यान दिया जाना चाहिए (ए.जी. मोर्दकोविच बीजगणित -8 कार्यक्रम के अनुसार, "विएटा के प्रमेय" विषय का अध्ययन करने के लिए केवल दो घंटे की योजना बनाई गई है। एक द्विघात का अपघटन रैखिक गुणनखंडों में त्रिपद”)।

अधिकांश बीजगणित पाठ्यपुस्तकों में, यह प्रमेय कम द्विघात समीकरण के लिए तैयार किया गया है और कहा गया है यदि समीकरण की जड़ें हैं और, तो समानताएं, उनके लिए संतुष्ट हैं।फिर विएटा के प्रमेय के अनुरूप एक कथन तैयार किया जाता है, और इस विषय का अभ्यास करने के लिए कई उदाहरण पेश किए जाते हैं।

आइए विशिष्ट उदाहरण लें और विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समाधान के तर्क का पता लगाएं।

उदाहरण 1. समीकरण हल करें.

मान लीजिए कि इस समीकरण की जड़ें हैं, अर्थात्, और। फिर, विएटा के प्रमेय के अनुसार, समानताएं एक साथ होनी चाहिए:

कृपया ध्यान दें कि जड़ों का गुणनफल एक धनात्मक संख्या है। इसका मतलब यह है कि समीकरण की जड़ें एक ही चिह्न की हैं। और चूँकि मूलों का योग भी एक धनात्मक संख्या है, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि समीकरण के दोनों मूल धनात्मक हैं। चलिए फिर से जड़ों के उत्पाद पर लौटते हैं। आइए मान लें कि समीकरण के मूल धनात्मक पूर्णांक हैं। तब सही पहली समानता केवल दो तरीकों से प्राप्त की जा सकती है (कारकों के क्रम तक): या। आइए संख्याओं के प्रस्तावित युग्मों के लिए विएटा के प्रमेय के दूसरे कथन की व्यवहार्यता की जाँच करें: . इस प्रकार, संख्याएँ 2 और 3 दोनों समानताओं को संतुष्ट करती हैं, और इसलिए दिए गए समीकरण की जड़ें हैं।

उत्तर: 2; 3.

आइए विएटा के प्रमेय का उपयोग करके उपरोक्त द्विघात समीकरण को हल करते समय तर्क के मुख्य चरणों पर प्रकाश डालें:

विएटा के प्रमेय का कथन लिखिए

(*)

• समीकरण के मूलों के चिह्न निर्धारित करें (यदि गुणनफल और मूलों का योग धनात्मक है, तो दोनों मूल धनात्मक संख्याएँ हैं। यदि मूलों का गुणनफल एक धनात्मक संख्या है, और मूलों का योग ऋणात्मक है, तो दोनों मूल ऋणात्मक संख्याएँ हैं। यदि मूलों का गुणनफल एक ऋणात्मक संख्या है, तो मूलों के अलग-अलग चिह्न होते हैं। इसके अलावा, यदि मूलों का योग धनात्मक है, तो बड़े मापांक वाला मूल एक धनात्मक संख्या है मूलों का योग शून्य से कम है, तो बड़े मापांक वाला मूल एक ऋणात्मक संख्या है);
• पूर्णांकों के ऐसे युग्मों का चयन करें जिनका गुणनफल नोटेशन (*) में सही पहली समानता देता है;
• संख्याओं के पाए गए युग्मों में से, उस युग्म का चयन करें, जो संकेतन (*) में दूसरी समानता में प्रतिस्थापित करने पर, सही समानता देगा;
• अपने उत्तर में समीकरण के पाए गए मूलों को इंगित करें।

चलिए कुछ और उदाहरण देते हैं.

उदाहरण 2: समीकरण हल करें .

समाधान।

मान लीजिए तथा दिए गए समीकरण के मूल हैं। फिर, विएटा के प्रमेय के अनुसार, हम ध्यान देते हैं कि उत्पाद सकारात्मक है, और योग एक नकारात्मक संख्या है। इसका अर्थ यह है कि दोनों मूल ऋणात्मक संख्याएँ हैं। हम उन कारकों के जोड़े का चयन करते हैं जो 10 (-1 और -10; -2 और -5) का उत्पाद देते हैं। संख्याओं के दूसरे युग्म का योग -7 होता है। इसका मतलब है कि संख्याएँ -2 और -5 इस समीकरण की जड़ें हैं।

उत्तर: -2; -5.

उदाहरण 3: समीकरण हल करें .

समाधान।

मान लीजिए तथा दिए गए समीकरण के मूल हैं। फिर, विएटा के प्रमेय के अनुसार, हम ध्यान दें कि उत्पाद नकारात्मक है। इसका मतलब यह है कि जड़ें अलग-अलग चिन्हों की होती हैं। मूलों का योग भी एक ऋणात्मक संख्या है। इसका मतलब यह है कि सबसे बड़े मापांक वाला मूल ऋणात्मक है। हम उन कारकों के जोड़े का चयन करते हैं जो उत्पाद -10 (1 और -10; 2 और -5) देते हैं। संख्याओं की दूसरी जोड़ी का योग -3 होता है। इसका मतलब है कि संख्याएँ 2 और -5 इस समीकरण की जड़ें हैं।

उत्तर: 2; -5.

ध्यान दें कि विएटा का प्रमेय, सिद्धांत रूप में, पूर्ण द्विघात समीकरण के लिए तैयार किया जा सकता है: यदि द्विघात समीकरण जड़ें हैं और, फिर समानताएं, उनके लिए संतुष्ट हैं।हालाँकि, इस प्रमेय का अनुप्रयोग काफी समस्याग्रस्त है, क्योंकि एक पूर्ण द्विघात समीकरण में कम से कम एक मूल (यदि कोई हो, निश्चित रूप से) एक भिन्नात्मक संख्या है। और भिन्नों के चयन के साथ काम करना लंबा और कठिन है। लेकिन फिर भी एक रास्ता है.

संपूर्ण द्विघात समीकरण पर विचार करें . समीकरण के दोनों पक्षों को पहले गुणांक से गुणा करें एऔर समीकरण को फॉर्म में लिखें . आइए हम एक नया चर प्रस्तुत करें और कम किए गए द्विघात समीकरण प्राप्त करें, जिसके मूल और (यदि उपलब्ध हो) विएटा के प्रमेय का उपयोग करके पाए जा सकते हैं। तब मूल समीकरण की जड़ें होंगी। कृपया ध्यान दें कि सहायक कम समीकरण बनाना बहुत सरल है: दूसरा गुणांक संरक्षित है, और तीसरा गुणांक उत्पाद के बराबर है एसी. एक निश्चित कौशल के साथ, छात्र तुरंत एक सहायक समीकरण बनाते हैं, विएटा के प्रमेय का उपयोग करके इसकी जड़ें ढूंढते हैं, और दिए गए पूर्ण समीकरण की जड़ों को इंगित करते हैं। चलिए उदाहरण देते हैं.

उदाहरण 4: समीकरण हल करें .

आइए एक सहायक समीकरण बनाएं और विएटा के प्रमेय का उपयोग करके हम इसकी जड़ें ढूंढेंगे। इसका मतलब है कि मूल समीकरण की जड़ें .

उत्तर: .

उदाहरण 5: समीकरण हल करें .

सहायक समीकरण का रूप है। विएटा के प्रमेय के अनुसार, इसकी जड़ें हैं। मूल समीकरण की जड़ें ढूँढना .

उत्तर: .

और एक और मामला जब विएटा के प्रमेय का अनुप्रयोग आपको मौखिक रूप से पूर्ण द्विघात समीकरण की जड़ें खोजने की अनुमति देता है। इसे साबित करना मुश्किल नहीं है संख्या 1 समीकरण का मूल है , अगर और केवल अगर. समीकरण का दूसरा मूल विएटा के प्रमेय द्वारा पाया जाता है और इसके बराबर है। एक अन्य कथन: ताकि संख्या -1 समीकरण का मूल हो के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त है. फिर विएटा के प्रमेय के अनुसार समीकरण का दूसरा मूल बराबर है। घटे हुए द्विघात समीकरण के लिए समान कथन तैयार किए जा सकते हैं।

उदाहरण 6: समीकरण हल करें.

ध्यान दें कि समीकरण के गुणांकों का योग शून्य है। तो, समीकरण की जड़ें .

उत्तर: .

उदाहरण 7. समीकरण हल करें.

इस समीकरण के गुणांक संपत्ति को संतुष्ट करते हैं (वास्तव में, 1-(-999)+(-1000)=0)। तो, समीकरण की जड़ें .

उत्तर: ..

विएटा के प्रमेय के अनुप्रयोग के उदाहरण

कार्य 1. विएटा के प्रमेय का उपयोग करके दिए गए द्विघात समीकरण को हल करें।

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

कार्य 2. सहायक लघु द्विघात समीकरण को पारित करके पूर्ण द्विघात समीकरण को हल करें।

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

कार्य 3. गुण का उपयोग करके एक द्विघात समीकरण को हल करें।

सबसे पहले, आइए स्वयं प्रमेय तैयार करें: आइए हमारे पास x^2+b*x + c = 0 के रूप का एक छोटा द्विघात समीकरण है। मान लें कि इस समीकरण में मूल x1 और x2 हैं। फिर, प्रमेय के अनुसार, निम्नलिखित कथन मान्य हैं:

1) मूल x1 और x2 का योग गुणांक b के ऋणात्मक मान के बराबर होगा।

2) इन्हीं मूलों का गुणनफल हमें गुणांक c देगा।

लेकिन दिया गया समीकरण क्या है?

एक घटा हुआ द्विघात समीकरण एक द्विघात समीकरण है जिसका उच्चतम डिग्री का गुणांक एक के बराबर है, अर्थात। यह x^2 + b*x + c = 0 के रूप का एक समीकरण है। (और समीकरण a*x^2 + b*x + c = 0 कम नहीं है)। दूसरे शब्दों में, समीकरण को दिए गए रूप में लाने के लिए, हमें इस समीकरण को उच्चतम शक्ति के गुणांक (ए) से विभाजित करना होगा। कार्य इस समीकरण को निम्नलिखित रूप में लाना है:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1.5*x^2 + 7.5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

प्रत्येक समीकरण को उच्चतम डिग्री के गुणांक से विभाजित करें, हमें मिलता है:

एक्स^2 4*x + 6 = 0; एक्स^2 8*एक्स − 4 = 0; एक्स^2 + 5*एक्स + 2 = 0;

एक्स^2 + 3.5*x − 5.5 = 0.

जैसा कि आप उदाहरणों से देख सकते हैं, भिन्न वाले समीकरणों को भी दिए गए रूप में घटाया जा सकता है।

विएटा के प्रमेय का उपयोग करना

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

हमें मूल मिलते हैं: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;

परिणामस्वरूप हमें मूल प्राप्त होते हैं: x1 = -2 ; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;

हमें मूल मिलते हैं: x1 = −1; x2 = −4.

विएटा के प्रमेय का अर्थ

विएटा का प्रमेय हमें किसी भी द्विघात समीकरण को लगभग सेकंड में हल करने की अनुमति देता है। पहली नज़र में, यह एक कठिन काम लगता है, लेकिन 5-10 समीकरणों के बाद, आप तुरंत जड़ों को देखना सीख सकते हैं।

दिए गए उदाहरणों से, और प्रमेय का उपयोग करके, यह स्पष्ट है कि आप कैसे द्विघात समीकरणों के समाधान को महत्वपूर्ण रूप से सरल बना सकते हैं, क्योंकि इस प्रमेय का उपयोग करके, आप व्यावहारिक रूप से जटिल गणनाओं और विवेचक की गणना के बिना एक द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं, और जैसा कि आप जानते हैं, जितनी कम गणनाएँ होंगी, गलती करना उतना ही कठिन होगा, जो महत्वपूर्ण है।

सभी उदाहरणों में, हमने दो महत्वपूर्ण मान्यताओं के आधार पर इस नियम का उपयोग किया:

दिया गया समीकरण, अर्थात उच्चतम डिग्री का गुणांक एक के बराबर है (इस स्थिति से बचना आसान है। आप समीकरण के अपरिवर्तित रूप का उपयोग कर सकते हैं, तो निम्नलिखित कथन मान्य होंगे x1+x2=-b/a; x1*x2=c/ ए, लेकिन इसे हल करना आमतौर पर अधिक कठिन होता है :))

जब किसी समीकरण के दो अलग-अलग मूल हों. हम मानते हैं कि असमानता सत्य है और विभेदक शून्य से अधिक है।

इसलिए, हम विएटा के प्रमेय का उपयोग करके एक सामान्य समाधान एल्गोरिदम बना सकते हैं।

विएटा के प्रमेय का उपयोग करते हुए सामान्य समाधान एल्गोरिदम

यदि समीकरण हमें अघटीकृत रूप में दिया गया है तो हम एक द्विघात समीकरण को लघुकृत रूप में बदल देते हैं। जब द्विघात समीकरण में गुणांक, जिसे हमने पहले दिए गए रूप में प्रस्तुत किया था, भिन्नात्मक (दशमलव नहीं) हो जाता है, तो इस स्थिति में हमारे समीकरण को विवेचक के माध्यम से हल किया जाना चाहिए।

ऐसे भी मामले हैं जब प्रारंभिक समीकरण पर लौटने से हमें "सुविधाजनक" संख्याओं के साथ काम करने की अनुमति मिलती है।